2023-2024学年广东省湛江市廉江市八年级（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年广东省湛江市廉江市八年级（上）期末数学试卷(含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列常见的微信表情包中，属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.某新型纤维的直径约为0.000028米，将该新型纤维的半径用科学记数法表示是( )
A. 2.8×10−4米B. 2.8×10−5米C. 1.4×10−4米D. 1.4×10−5米
3.若分式3xx+2有意义，则x的取值范围为( )
A. x=−2B. x≠−2C. x=0D. x≠0
4.下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A. 4，6，10B. 3，9，5C. 8，6，1D. 5，7，9
5.安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是( )
A. 三角形的稳定性
B. 两点之间线段最短
C. 两点确定一条直线
D. 垂线段最短
6.下列运算正确的是( )
A. (a4)3=a7B. a6÷a3=a2C. (3ab)3=9a3b3D. −a5⋅a5=−a10
7.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=70°，∠B=40°，则∠ECD等于( )
A. 40°
B. 50°
C. 45°
D. 55°
8.下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. a2−2ab+b2=(a−b)2B. (x−1)(x+2)=x2+x−2
C. ma+mb−1=m(a+b)−1D. 8x3y2=2x3⋅4y2
9.如图，点E在∠AOB的平分线上，EC⊥OB，垂足为C，点F在OA上，若∠AFE=30°，EC=4，则EF等于( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
10.如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数( )
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC=180°；③∠ACB=2∠APB；④S△PAC=S△MAP+S△NCP．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.因式分解：ax+ay=______．
12.一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是______．
13.已知点A(5,m)和点B(n,2)关于y轴对称，则m+n= ______．
14.若分式|x|−2x+2的值为0，则x= ．
15.已知等腰三角形的两边长是4和8，则这个三角形的周长是______．
16.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，AB⊥AC，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解方程：x2x−1−2=11−2x．
18.(本小题6分)
先化简，再求值：(a−aa−2)÷a2−9a−2，其中a=1．
19.(本小题6分)
如图，已知AB平分∠CAD，AC=AD.求证：∠C=∠D．
20.(本小题8分)
△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；写出A1，B1，C1的坐标．
(2)作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；求出△A2B2C2的面积．
21.(本小题8分)
(1)已知2x=6，2y=3，求2x⋅4y的值．
(2)已知10m=5，10n=2，10p=4，求103m+2n−p的值．
22.(本小题8分)
如图，点C在线段AB上，AD/​/EB，AC=BE，AD=BC，CF⊥DE．
(1)求证：△ACD≌△BEC；
(2)若∠DCE=110°，求∠DCF的度数．
23.(本小题8分)
某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料.已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，A型机器人搬运900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等．
(1)求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；
(2)该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于1500kg，则至少购进A型号机器人多少台？
24.(本小题10分)
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a−b)2=a2−2ab+b2是多项式乘法中的重要公式之一，它经过适当变形可以解决很多数学问题．
例如：若a+b=2，ab=1，求a2+b2的值．
解：a2+b2=(a+b)2−2ab=22−2×1=2．
根据以上信息回答下列问题：
(1)若m+n=3，m2+n2=52，求mn的值；
(2)若a−2b=3，ab=1，求a2+4b2的值；
(3)如图，点E、F分别是正方形ABCD的边AD与AB上的点，以AE、AF为边在正方形内部作面积为8的长方形AFGE，再分别以FG、EG为边作正方形FGPH和正方形GRQE.若图中阴影部分的面积为20，求长方形AFGE的周长．
25.(本小题12分)
如图1，在△ABC中，∠B=60°，点M从点B出发沿射线BC方向，在射线BC上运动.在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在射线BC上方，作等边△AMN，连结CN．
(1)当∠BAM= ______°时，AB=2BM；
(2)若△ABC为等边三角形，
①如图1，求证：CN+CM=AC；
②如图2，当点M运动到线段BC之外(即点M在线段BC的延长线上时)，其它条件不变(△ABC仍为等边三角形)，请写出此时线段CN、CM、AC满足的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，B、C、D选项中的图形都不是轴对称图形．
故选：A．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：12×0.000028=0.000014=1.4×10−5；
故选：D．
根据科学记数法定义处理：把一个绝对值小于1的数表示成a×10−n，其中1≤|a|<10，n等于原数第一个不为零的数字前零的个数．
本题考查科学记数法；熟练科学记数定义，确定指数是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：x+2≠0，
∴x≠−2
故选：B．
根据分式有意义的条件即可求出答案．
本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型．
4.【答案】D
【解析】解：根据三角形的三边关系，知
A、4+6=10，不能组成三角形，故A错误；
B、3+5<9，不能组成三角形；故B错误；
C、1+6<8，不能组成三角形；故C错误；
D、5+7>9，能够组成三角形，故D正确．
故选：D．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．
本题考查了三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性；
故选：A．
根据三角形具有稳定性即可进行解答．
本题主要考查了三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形具有稳定性．
6.【答案】D
【解析】解：(a4)3=a12，故选项A不合题意；
a6÷a3=a3，故选项B不合题意；
(3ab)3=27a3b3，故选项C不合题意；
−a5⋅a5=−a10.故选项D符合题意．
故选：D．
分别根据幂的乘方法则，同底数幂的除法法则，积的乘方法则逐一判断即可．
本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的除法，熟记幂的运算性质是解答本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵∠A=70°，∠B=40°，
∴∠ACD=∠A+∠B=110°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=12∠ACD=55°，
故选：D．
根据三角形外角性质求出∠ACD，根据角平分线定义求出即可．
本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，能熟记三角形外角性质的内容是解此题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：A、a2−2ab+b2=(a−b)2，符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
B、(x−1)(x+2)=x2+x−2，属于整式的乘法运算，故本选项不符合题意；
C、ma+mb−1=m(a+b)−1，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
D、8x3y2=2x3⋅4y2，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
故选：A．
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，根据因式分解的定义判断即可．
此题考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
9.【答案】D
【解析】解：过E点作ED⊥OA于D点，如图，
∵点E在∠AOB的平分线上，ED⊥OA，EC⊥OB，
∴ED=EC=4，
在Rt△DEF中，
∵∠DFE=30°，
∴EF=2ED=2×4=8．
故选：D．
过E点作ED⊥OA于D点，如图，先根据角平分线的性质得到ED=EC=4，然后根据含30度角的直角三角形三边的关系求解．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
10.【答案】D
【解析】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM=PN，PM=PD，
∴PM=PN=PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°，
∴∠ABC+∠MPN=180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
PM=PDPA=PA，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD(HL)，
∴∠APM=∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN(HL)，
∴∠CPD=∠CPN，
∴∠MPN=2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC=180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE=∠ABC+∠ACB=2∠PAM+∠ACB，∠PAM=12∠ABC+∠APB，
∴∠ACB=2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD(HL)，Rt△PCD≌Rt△PCN(HL)
∴S△APD=S△APM，S△CPD=S△CPN，
∴S△APM+S△CPN=S△APC，故④正确，
故选：D．
过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM=∠APD，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
11.【答案】a(x+y)
【解析】解：ax+ay=a(x+y)．
故答案为：a(x+y)．
观察等式的右边，提取公因式a即可求得答案．
此题考查了提取公因式法分解因式．解题的关键是注意找准公因式．
12.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查了多边形的内角和定理，关键是根据n边形的内角和为(n−2)×180°解答．
根据内角和定理180°⋅(n−2)即可求得．
【解答】
解：∵多边形的内角和公式为(n−2)⋅180°，
∴(n−2)×180°=720°，
解得n=6，
∴这个多边形的边数是6．
故答案为：6．
13.【答案】−3
【解析】解：∵点A(5,m)和点B(n,2)关于y轴对称，
∴n=−5，m=2，
∴m+n=2+(−5)=−3．
故答案为：−3．
先根据关于y轴对称的点的坐标特点求出m、n的值，进而可得出结论．
本题考查了关于y轴对称的点的坐标，熟知关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数是解题的关键．
14.【答案】2
【解析】【分析】
此题主要考查了分式的值为零的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零，所以|x|−2=0x+2≠0，据此求出x的取值范围即可．
【解答】
解：∵分式|x|−2x+2的值为0，
∴|x|−2=0x+2≠0
解得x=2．
故答案为：2．
15.【答案】20
【解析】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为4，底边长为8时，
∵4+4=8，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为8，底边长为4时，
∴等腰三角形的周长=8+8+4=20；
综上所述：这个三角形的周长是20，
故答案为：20．
分两种情况：当等腰三角形的腰长为4，底边长为8时；当等腰三角形的腰长为8，底边长为4时；然后分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
16.【答案】7
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，轴对称−最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．
根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值，求出AC长度即可得到结论．
【解答】
解：
∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
设AC交EF于点D，
∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，
∴△ABP周长的最小值是4+3=7．
故答案为：7．
17.【答案】解：去分母得：x−2(2x−1)=−1，
去括号得：x−4x+2=−1，
解得：x=1，
检验：当x=1时，2x−1=1≠0，
∴分式方程的解为x=1．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18.【答案】解：(a−aa−2)÷a2−9a−2
=a2−2a−aa−2⋅a−2(a−3)(a+3)
=a(a−3)a−2⋅a−2(a−3)(a+3)
=aa+3，
当a=1时，
原式=11+3
=14．
【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
19.【答案】证明：∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB=∠DAB，
在△ACB与△ADB中，
AC=AD∠CAB=∠DABAB=AB，
∴△ACB≌△ADB，
∴∠C=∠D．
【解析】根据角平分线的定义得到∠CAB=∠DAB，推出△ACB≌△ADB，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
A1(−2,−3)，B1(−3,−2)，C1(−1,−1)．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．

△A2B2C2的面积为12×(1+2)×2−12×2×1−12×1×1=3−1−12=32．
【解析】(1)根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
(2)根据轴对称的性质作图即可；利用割补法求三角形的面积即可．
本题考查作图−轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
21.【答案】解：(1)当2x=6，2y=3时，
2x⋅4y
=2x⋅(2y)2
=6×32
=6×9
=54；
(3)当10m=5，10n=2，10p=4时，
103m+2n−p
=(10m)3⋅(10n)2÷10p
=53×22÷4
=125．
【解析】(1)利用幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可；
(2)利用同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
22.【答案】(1)证明：∵AD/​/EB，
∴∠A=∠B，
在△ACD和△BEC中，
AD=BC∠A=∠BAC=BE，
∴△ACD≌△BEC(SAS)；
(2)解：∵△ACD≌△BEC，
∴DC=CE，
∵CF⊥DE，
∴∠DCF=∠ECF=12∠DCE，
∵∠DCE=110°，
∴∠DCF=55°．
【解析】(1)根据平行线性质得出∠A=∠B，根据SAS证出△ACD≌△BEC；
(2)由全等三角形的性质得出DC=CE，根据等腰三角形的三线合一定理求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设B型机器人每小时搬运x kg材料，
依题意得：900x+30=600x，
解得x=60．
经检验，x=60是原方程的解．
60+30=90(kg)．
答：A型机器人每小时搬运90kg，B型机器人每小时搬运60kg．
(2)设购进A型a台，B型(20−a)台，
由题意得，90a+60(20−a)≥1500，
90a+1200−60a≥1500，
a≥10，
故最小整数解为：a=10．
答：至少购进10台A型机器人．
【解析】(1)设B型机器人每小时搬运x kg材料，则A型机器人每小时搬运(x+30)kg，根据题意列分式方程，即可求解；
(2)设购进A型a台，根据题意列不等式，求出不等式的最小整数解即可．
本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，读懂题意，根据所给关系列出分式方程和不等式是解题的关键，注意分式方程求出解后要进行检验．
24.【答案】解：(1)∵(m+n)2=m2+2mn+n2，
∴2mn=(m+n)2−(m2+n2)，
又∵m+n=3，m2+n2=52，
∴2mn=32−52=−16，
∴mn=−8，
(2)∵a−2b=3，
∴(a−2b)2=32，
∴a2−4ab+4b2=9，
∴a2+4b2=9+4ab，
∵ab=1，
∴a2+4b2=9+4ab=13，
(3)设AE=a，EG=b，
∵长方形AFGE的面积为8，
∴ab=8，
又∵四边形FGPH和GRQE均为正方形，且面积之和为20，
∴a2+b2=20，
∵(a+b)2=a2+b2+2ab，
∴(a+b)2=20+2×8=36，
∵a，b均为正数，
∴a+b=6，
∴长方形AFGE的周长为：2(a+b)=12．
【解析】(1)先由(m+n)2=m2+2mn+n2，得2mn=(m+n)2−(m2+n2)，再将m+n=3，m2+n2=52代入计算即可得出mn的值；
(2)先由a−2b=3得(a−2b)2=32，进而得a2+4b2=9+4ab，再将ab=1代入计算即可得出答案；
(3)设AE=a，EG=b，依题意可得ab=8，a2+b2=20，然后根据(a+b)2=a2+b2+2ab可求出a+b的值，进而可得长方形AFGE的周长．
此题主要考查了完全平方公式，解答此题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征．
25.【答案】30
【解析】(1)解：当∠BAM=30°时，
∴∠AMB=180°−60°−30°=90°，
∴AB=2BM；
故答案为：30；
(1)①证明：如图1中，
∵△ABC与△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAC−∠MAC=∠MAN−∠MAC，
即∠BAM=∠CAN，
在△BAM与△CAN中，
AB=AC∠BAM=∠CANAM=AN，
∴△BAM≌△CAN(SAS)，
∴BM=CN，
∴AC=BC=CN+MC．
②解：AC=CN−CM.理由如下：
如图2中，
∵△ABC与△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAC+∠MAC=∠MAN+∠MAC，
即∠BAM=∠CAN，
在△BAM与△CAN中，
AB=AC∠BAM=∠CANAM=AN，
∴△BAM≌△CAN(SAS)，
∴BM=CN，
∴AC=BC=BM−CM=CN−CM，
∴此时线段CN、CM、AC满足的数量关系为AC=CN−CM．
(1)根据含30°角的直角三角形的性质解答即可；
(2)①利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可；
②利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可．
本题是三角形的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答，属于中考常考题型．