2023-2024学年河南省商丘市虞城县九年级（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年河南省商丘市虞城县九年级（上）期末数学试卷(含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列成语所描述的事件属于不可能事件的是( )
A. 海底捞月B. 水涨船高C. 旭日东升D. 水滴石穿
2.下列各点不在双曲线y=−2x上的是( )
A. (1,−2)B. (−2,14)C. (−4,12)D. (2,−1)
3.数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=100°，则∠A的度数为( )
A. 100°
B. 90°
C. 80°
D. 70°
5.抛物线y=(x−2)2−6的顶点坐标是( )
A. (−6,2)B. (2,−6)C. (−2,6)D. (−2,−6)
6.关于x的方程x2−mx−1=0根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 不能确定
7.已知点A(−4,y1)，H(−2,y2)，C(1,y3)均在反比例函数y=k2+1x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y38.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，F是AE=上一点，则∠DFC的度数为( )
A. 72°
B. 54°
C. 36°
D. 30°
9.反比例函数y=kx与二次函数y=−kx2+k(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象是( )
A. B.
C. D.
10.如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在反比例函数y=12x(x>0)的图象上，D为y轴上一点，则△ACD的面积为( )
A. 12
B. 6
C. 3
D. 2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.将抛物线y=x2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的新抛物线的解析式为______．
12.在一个不透明的口袋中装有12个红球和若干个黄球，这些球除颜色外其他都相同，九年级二班数学兴趣小组进行了如下试验：从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验.经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在0.5左右，则口袋中黄球大约有______个.
13.已知一个圆锥的底面半径长为3cm、母线长为6cm，则圆锥的侧面积是______cm2．
14.如图，直线y=x+4与y轴交于点A，与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，AO=4BO，则k的值为______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，∠B=30°，P是AC的中点，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q(点Q与点P不重合)，连接BQ，当△BCQ是直角三角形时，BQ的长为______．
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
解方程：x−1=2(x−1)2．
17.(本小题5分)
如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，以点B为圆心，BA为半径，画出扇形ABE，求图中阴影部分的面积.(结果保留π)
18.(本小题9分)
小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间y(分钟)与录入文字的速度x(字/分钟)之间的函数关系图象如图所示．
(1)求y与x之间的反比例函数关系式．
(2)小明在8：20开始录入，完成录入的时间为8：40，求小明每分钟录入的字数．
19.(本小题9分)
如图，在⊙O中，AB，BC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥BC，垂足分别为D，E，求证：四边形ODBE是正方形．
20.(本小题9分)
中国古代的“四大名著”是指《红楼梦》《三国演义》《西游记》《水浒传》，“四大名著”是中国文学史中的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.某校举行文化节讲名著活动，现将四大名著制作为卡片，《红楼梦》《三国演义》《西游记》《水浒传》分别对应的编号为A，B，C，D(除编号外，卡片其余完全相同)，将它们背面朝上，洗匀后放在桌面上．
(1)琳琳随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为B的概率为______．
(2)若琳琳从这四张卡片中随机抽取一张，明明接着从余下的3张卡片中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法求琳琳、明明两人中恰好有一人抽中《红楼梦》(即A卡片)的概率．
21.(本小题9分)
如图，反比例函数y=kx(x>0)的图象与正比例函数y=12x的图象交于点A(2,m)，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，B为y轴上一点，点B的坐标为(0,4)，连接AB．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)请用无刻度的直尺和圆规在图中找出AB的中点D(保留作图痕迹，不写作法)．
(3)在(2)的条件下，连接CD，求△ACD的面积．
22.(本小题9分)
如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以边AC为直径的⊙O与BC交于点D，DF⊥AB，垂足为F，FD的延长线与AC的延长线交于点E．
(1)求证：EF是⊙O的切线．
(2)若AC=13，BD=5，求DF的长．
23.(本小题10分)
如图，一小球(看作一个点)从斜坡OA上的点O处抛出，球的抛出路线可以用抛物线y=−12x2+bx刻画，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡OA可以用直线y=12x刻画，若小球到达的最高点M的坐标为(4,m)，解答下列问题：
(1)求b和m的值．
(2)小球落点为A，求点A的坐标．
(3)在斜坡OA上的点B处有一棵树(树高看成线段且垂直于x轴)，点B的横坐标为6，树高为2，小球能否飞过这棵树？请通过计算说明理由．
24.(本小题10分)
综合与实践
【观察猜想】(1)如图1，△ACB与△DCE都是等腰直角三角形，其中∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=EC，点E在线段AC上，连接AD，BE，则AD和BE的数量关系是______．
【探索证明】(2)如图2，将(1)中的△DCE绕点C顺时针旋转，点E落在线段AB上，其他条件不变，此时∠DAB的度数是______，探究线段CE，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．
【拓展探究】(3)如图3，△ACB是等腰直角三角形，其中∠ACB=90°，AC=BC，D为△ABC外一点，且∠ADC=45°，连接BD，若BD=15，CD=5，请直接写出AD的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、海底捞月是不可能事件，故A符合题意；
B、水涨船高是必然事件，故B不符合题意；
C、旭日东升是必然事件，故C不符合题意；
D、水滴石穿是必然事件，故D不符合题意；
故选：A．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：对于选项A，当x=1时，y=−2，
∴点(1,−2)在双曲线y=−2x上，
故选项A不符合题意；
对于选项B，当x=−2时，y=1，
∴点(−2,14)不在双曲线y=−2x上，
故选项B符合题意；
对于选项C，当x=−4时，y=12，
∴点(−4,12)在双曲线y=−2x上，
故选项C不符合题意；
对于选项D，当x=2时，y=−1，
∴点(2,−1)在双曲线y=−2x上，
故选项D不符合题意．
故选：B．
分别将四个选项中的点代入双曲线y=−2x之中，满足表达式y=−2x的点在该双曲线上，否则就不在该双曲线上．
此题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标，解决问题的关键是理解满足反比例函数表达式的点都在反比例函数的图象上，反比例函数图象上的点都满足反比例函数的表达式．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查轴对称图形与中心对称图形的知识，关键是掌握轴对称图形与中心对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，沿对称轴折叠后图形两部分可重合；判断中心对称图形的关键是寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】
解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
4.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C=100°，
∴∠A=180°−100°=80°，
故选：C．
根据圆内接四边形的性质即可得到结论．
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，熟记性质是解题的关键..
5.【答案】B
【解析】解：∵抛物线解析式为y=(x−2)2−6，
∴二次函数图象的顶点坐标是(2,−6)．
故选B．
因为y=(x−2)2−6是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标．
本题考查了二次函数的性质，熟记抛物线的顶点式求顶点是解本题的关键．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．先计算△=(−m)2−4×1×(−1)=m2+4，由于m2为非负数，则m2+4>0，即△>0，根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac的意义即可判断方程根的情况．
【解答】
解：△=(−m)2−4×1×(−1)=m2+4，
∵m2≥0，
∴m2+4>0，即△>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选A．
7.【答案】D
【解析】解：在反比例函数y=k2+1x中，
∵k2+1>0，
∴反比例函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点C(1,y3)在第一象限，
∴y3>0，
∵A(−4,y1)，H(−2,y2)在第三象限，且−4<−2，
∴0>y1>y2，
∴y2故选：D．
根据反比例函数的性质进行解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：如图，连接OC，OD，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD=360°5=72°，
∴∠CFD=12∠COD=36°，
故选：C．
连接OC，OD，根据正五边形的性质得出∠COD的度数，从而得出∠CFD的度数，再根据三角形内角和定理得出∠FDC的度数即可求解．
本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，根据正五边形的性质得出∠COD的度数是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：当k>0时，二次函数y=−kx2+k的图象开口向下，顶点在y轴的正半轴；反比例函数y=kx图象在第一、三象限；
当k<0时，二次函数y=−kx2+k的图象开口向上，顶点在y轴的负半轴；反比例函数y=kx图象在第二、四象限，故选项D正确；
故选：D．
根据k的取值范围分当k>0时和当k<0时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可．
本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．
10.【答案】C
【解析】解：连接OC、OA，
∵⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，
∴BC⊥x轴，
∴BC/​/y轴，
∴S△ACD=S△ACO，
∵AC=AB，
∴S△AOC=12S△BOC，
∵点C在反比例函数y=12x(x>0)的图象上，
∴S△BOC=12丨K丨=12×12=6，
∴S△ACD=S△ACO=12S△BOC=12×6=3．
故选：C．
连接OC、OA，利用平行线间同底等高的两个三角形面积相等得到S△ACD=S△ACO=12S△BOC计算即可．
本题考查了反比例函数k值的几何意义，平行线间同底等高的两个三角形面积相等是解答本题的关键．
11.【答案】y=(x−3)2+5
【解析】解：将抛物线y=x2先向右平移3个单位长度，得：y=(x−3)2；
再向上平移5个单位长度，得：y=(x−3)2+5，
故答案为：y=(x−3)2+5．
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
12.【答案】12
【解析】解：设黄球有x个，根据题意得，
12：(12+x)=0.5，
解得x=12．
故答案为：12．
利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
此题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键．
13.【答案】18π
【解析】解：∵圆锥的底面半径长为3cm、母线长为6cm，
∴圆锥的侧面积为π×3×6=18πcm2．
故答案为：18π．
圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相关数值代入计算即可．
本题考查圆锥侧面积的计算，属于基础题．
14.【答案】5
【解析】解：在直线y=x+4中，令x=0，则y=4，
∴A(0,4)即OA=4，
∵AO=4BO，
∴BO=1，
在直线y=x+4中，令x=1，则y=5
∴C(1,5)，
∵点C(1,5)在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=5．
故答案为：5．
先求出A点坐标，再根据AO=4BO，得到点B的横坐标，将横坐标代入直线解析式可得点C坐标，k值可得．
本题考查了反比例函数与一次函数图象的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式．
15.【答案】 11或 13
【解析】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=4，∠B=30°，
∴AC=12AB=2，
∴BC= AB2−AC2= 42−22=2 3，
∵P是AC的中点，
∴CP=12AC=1，
∵将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q(点Q与点P不重合)，如图，
∴CQ=CP=1，
当∠BQC=90°时，CQ=CP=1，
则BQ= BC2−CQ2= (2 3)2−12= 11；
当∠BCQ=90°时，
则BQ= BC2+CQ2= (2 3)2+12= 13；
故答案为： 11或 13．
运用勾股定理可得BC= AB2−AC2= 42−22=2 3，由旋转得：CQ=CP=1，分两种情况：当∠BQC=90°时，当∠BCQ=90°时，利用勾股定理即可求得答案．
本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，旋转变换的性质，解题关键是运用分类讨论思想解决问题．
16.【答案】解：x−1=2(x−1)2，
2(x−1)2−(x−1)=0，
(x−1)(2x−2−1)=0，
x−1=0或2x−2−1=0，
所以x1=1，x2=32．
【解析】先移项，再利用因式分解法把方程转化为x−1=0或2x−2−1=0，然后解两个一元一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
17.【答案】解：S阴影部分=S矩形ABCD−S扇形ABE
=6×4−90π×42360
=24−4π．
答：图中阴影部分的面积为24−4π．
【解析】根据S阴影部分=S矩形ABCD−S扇形ABE，依据长方形面积、扇形面积的计算方法进行计算即可．
本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
18.【答案】解：(1)设y与x之间的反比例函数关系式为y=kx，
∵图象过点(140,10)，
∴10=k140，
解得k=1400，
∴y与x之间的函数关系式为y=1400x；
(2)在8：20开始录入，录入到4：40，共20分钟，
当y=20时，20=1400x，
解得x=70，
答：小明每分钟录入70个字．
【解析】(1)利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
(2)先求出录入时间是20分钟，再代入函数解析式即可求出每分钟应录入多少个字．
本题考查反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键．
19.【答案】证明：∵OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，AB⊥BC，
∴BD=12AB，BE=12BC，∠BDO=∠B=∠OEB=90°，
∴四边形ODBE是矩形，
∵AB=BC，
∴BD=BE，
∴四边形ODBE是正方形．
【解析】先根据垂径定理，由OD⊥AB，OE⊥AC得到AD=12AB，BE=12BC，且∠BDO=∠B=∠OEB=90°，加上∠DAE=90°，则可判断四边形ODBE是矩形，由于AB=AC，所以BD=BE，于是可判断四边形ADOE是正方形．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了正方形的判定．
20.【答案】14
【解析】解：(1)琳琳随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为B的概率=14；
故答案为：14；
(2)画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中琳琳、明明两人中恰好有一人抽中《红楼梦》(即A卡片)的结果数为6种，
所以琳琳、明明两人中恰好有一人抽中《红楼梦》(即A卡片)的概率=612=12．
(1)直接利用概率公式计算；
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
21.【答案】解：(1)∵点A(2,m)在正比例函数y=12x的图象上，
∴m=1，即点A的坐标为(2,1)，
∵点A(2,1)在反比例函数y=kx上，
∴k=2，
∴反比例函数解析式为y=2x；
(2)如图，点D即为所求．

(3)∵点D为AB的中点，
∴D(1,52)，
∴S△ACD=12AC⋅(xA−xD)=12×1×(2−1)=12．
【解析】(1)待定系数法求出反比例函数解析式即可；
(2)按照作垂直平分线的作法作图即可；
(3)由中点坐标公式求出点D坐标，S△ACD=12AC⋅(xA−xD)=12×1×(2−1)=12即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键．
22.【答案】(1)证明：连接OD，AD，
∵AC是⊙O直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴点D是BC的中点，
∵O是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD/​/AB，
∵DF⊥AB，
∴∠ODF=∠BFD=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
(2)解：由(1)知，AD⊥BC，CD=BD=5，AB=AC=13，
∵∠ADC=90°，
∴AD= AC2−CD2= 132−52=12，
∵S△ABD=12AD⋅BD=12AB⋅DF，
∴12×12×5=12×13DF，
∴DF=6013．
【解析】(1)连接OD，AD，根据圆周角定理以及等腰三角形的性质可知D是BC的中点，利用中位线的性质可知OD/​/AB，从而可知∠ODF=∠BFD=90°；
(2)由(1)知，AD⊥BC，CD=BD=5，AB=AC=13，根据勾股定理得到AD= AC2−CD2= 132−52=12，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，三角形中位线定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理三角形面积的计算，正确地找出辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)由题意，得−b2×(−12)=4，
∴b=4．
∴抛物线的解析式为y=−12x2+4x．
∴当x=4时，m=−12×42+4×4=8．
∴b=4，m=8．
(2)由题意，得y=−12x2+4xy=12x，
∴解得x=0y=0或x=7y=72．
∴点A的坐标为(7,72)．
(3)由题意，当x=6时，代入y=12x，得y=3；
当x=6时，代入y=−12x2+4x，得y=6．
∵3+2=5，且5<6，
∴小球能飞过这棵树．
【解析】(1)依据题意，得−b2×(−12)=4，从而b=4，可得抛物线的解析式为y=−12x2+4x，又把x=4代入解析式即可求出m的值；
(2)依据题意，联立两解析式，即可求出交点A的坐标；
(3)把x=6分别代入y=−12x2+4x和y=12x，即可得到答案．
本题主要考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
24.【答案】AD=BE 90°
【解析】解：(1)∵∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=EC，
∴△ADC≌△BEC(SAS)，
∴AD=BE，
故答案为：AD=BE；
(2)90°，AE2+BE2=2CE2，理由如下：
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
又∵AC=BC，DC=EC，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠ABC=∠CAD=45°，BE=AD，
∴∠BAD=90°，
∴AE2+AD2=DE2，
∵∠DCE=90°，CD=CE，
∴DE2=CD2+CE2=2CE2，
∴AE2+AD2=AE2+BE2=2CE2，
故答案为：90°；
(3)如图3，过点C作CH⊥CD于H，且CH=DC，连接AH，DH，
∴DH= 2CD=5 2，∠CDH=45°，
∵∠ACB=∠DCH=90°，
∴∠BCD=∠ACH，
又∵AC=BC，DC=CH，
∴△BCD≌△ACH(SAS)，
∴AH=BD=15，
∵∠ADC=45°，
∴∠ADH=∠ADC+∠CDH=90°，
∴AD= AH2−DH2= 225−50=5 7．
(1)由“SAS”可证△ADC≌△BEC，可得AD=BE；
(2)由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得∠ABC=∠CAD=45°，BE=AD，由勾股定理可求解；
(3)由“SAS”可证△BCD≌△ACH，可得AH=BD=15，由勾股定理可求解．
本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．