陕西省西安中学2024届高三模拟考试（一）数学（文科）

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13. ； 14.；
15. 196； 16. ．
三、解答题
17.解：（1）由得
由正弦定理得：
又 即
又
且
由余弦定理得
即
解得
所以周长为
18.解：(1)根据表格数据可知抽取的女生共40人，喜欢观看足球比赛的女生为40×14=10人，
可得得2×2列联表如下：
根据列联表中的数据计算得
χ2=100×(50×30−10×10)260×40×60×40=122536≈34.028>10.828
所以有99.999%的把握认为喜爱观看足球比赛与性别有关联．
(2)按照分层随机抽样的方式抽取8人，根据抽样比可知其中男生2人，女生6人，
记男生为a,b,女生为1,2,3,4,5,6，从8人中抽2人，所以可能结果如下：
（a,b）,（a,1）,（a,2）,（a,3）,（a,4）,（a,5）,（a,6）,
（b,1）,（b,2）,（b,3）,（b,4）,（b,5）,（b,6）,
（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,
（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,
（3,4）,（3,5）,（3,6）,
（4,5）, （4,6）,
（5,6）共28种结果，
设事件A表示“抽到男生人数为1人”，共12种结果，故
19.（1）
又 所以
因为，为中点，所以，
所以平面，
所以平面平面.
（2）因为平面，平面平面，
所以.
因为为的中点，所以，.
由（1）知，平面，所以平面.
所以三棱锥的体积.
20.解：（1），得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以的极小值为，无极大值；
（2）对任意即，
设，，
①当时，单调递增，单调递增，，成立；
②当时，令单调递增，单调递增，，成立；
③当时，当时，单调递减，单调递减，，不成立.
综上，.
21.(1)解：由题意，得ca=2,2b=2 3,c2=a2+b2,解得a=1,b= 3c=2,，
所以双曲线C的方程为x2−y23=1．
(2)证明：设直线PQ的方程为x=my+2．
将其与双曲线的方程联立x2−y23=1,x=my+2,
消去x得(my+2)2−y23=1，整理得(3m2−1)y2+12my+9=0(∗)，
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则y1，y2是方程(∗)的两根，
则y1+y2=−12m3m2−1，y1y2=93m2−1．
因为直线AP的方程为y=y1x1+1(x+1)，直线BQ的方程为y=y2x2−1(x−1)，
联立方程组y=y1x1+1(x+1),y=y2x2−1(x−1),
得xT+1xT−1=y2(x1+1)y1(x2−1)=y2(my1+3)y1(my2+1)=my1y2+3y2my1y2+y1
=my1y2+3(y1+y2)−3y1my1y2+y1
=m⋅93m2−1+3⋅−12m3m2−1−3y1m⋅93m2−1+y1=−3，
由此解得xT=12，故点T在定直线x=12上.
22.（1）由曲线的参数方程可知曲线是以为圆心，半径为1的圆，
可得曲线的普通方程；
由曲线的极坐标方程可知曲线是以为圆心，半径为1的圆，
可得曲线的普通方程．
（2）当最小时，A，B在两圆圆心的连线上，
此时的值为两圆圆心距减去两圆半径，即．
由（1）可知：直线AB的直角坐标方程为，即，
因为点P的直角坐标为，
点P到直线AB的距离为，
所以的面积．
23.（1）因为是正实数，，
，当且仅当时取等号，
由，得，
所以当时，取得最小值18.
（2）因为是正实数，，
则，即，
当且仅当时取等号，又，因此当时，，
所以成立.
西安中学高2024届高三模拟考试(一)
数学学科（文科）答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
D
C
A
B
B
D
C
C
B
C
A
B
男
女
合计
喜爱看足球比赛
50
10
60
不喜爱看足球比赛
10
30
40
合计
60
40
100