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北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第12讲 分组分解与十字相乘（原卷版+解析)
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这是一份北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第12讲 分组分解与十字相乘（原卷版+解析)，共69页。试卷主要包含了x2项，等内容，欢迎下载使用。
理解分组分解法十字相乘法和的概念，掌握十字相乘法分解二次项系数为1 的二次三项式，能够用分组分解法分解含有四项以上的多项式．重点能够灵活运用十字相乘法与分组分解方法进行分解因式，能够与前两种的方法相结合．难点能够总结归纳这两种方法所针对的多项式，可以在分解因式的时候快速确定方法．
知识精讲
知识点01 因式分解-分组分解法
1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．
例如：①ax+ay+bx+by
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy﹣x2+1﹣y2
＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1
＝1﹣（x﹣y）2
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）
【知识拓展1】（2023秋•十堰期末）下列多项式中，不能在有理数范围进行因式分解的是（ ）
A．﹣a2+b2B．﹣a2﹣b2
C．a3﹣3a2+2aD．a2﹣2ab+b2﹣1
【即学即练1】（2023秋•平昌县期末）下列因式分解错误的是（ ）
A．2a﹣2b＝2（a﹣b）
B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
C．a2+4a﹣4＝（a﹣2）2
D．x2﹣2x+1﹣y2＝（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）
【知识拓展2】（2023秋•广水市期末）分解因式：
9x2﹣a2﹣2a﹣1．
【即学即练1】（2023秋•丰泽区校级期末）因式分解：
a2﹣b2﹣6a+9．
【即学即练2】（2023秋•宝山区期末）分解因式：x3+2x2y﹣9x﹣18y．
【即学即练3】（2023秋•普陀区期末）因式分解：1﹣a2﹣4b2+4ab．
【即学即练4】（2023秋•浦东新区期末）分解因式：xy2﹣x﹣y2+1．
知识点02 因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
【知识拓展1】（2023秋•弋江区期末）分解因式x2﹣5x﹣14，正确的结果是（ ）
A．（x﹣5）（x﹣14）B．（x﹣2）（x﹣7）
C．（x﹣2）（x+7）D．（x+2）（x﹣7）
【即学即练1】（2023秋•应城市期末）将多项式x2﹣2x﹣8分解因式，正确的是（ ）
A．（x+2）（x﹣4）B．（x﹣2）（x﹣4）C．（x+2）（x+4）D．（x﹣2）（x+4）
【即学即练2】（2023•阿荣旗一模）把多项式18x2﹣12x+2分解因式的结果是 ．
【即学即练3】（2023秋•新抚区期末）分解因式：a2﹣2a﹣8＝ ．
【即学即练4】（2023秋•宝山区期末）分解因式：x2+4x﹣21＝ ．
【知识拓展2】（2023秋•普兰店区期末）若x2+ax﹣14＝（x+2）（x﹣7），则a＝ ．
【即学即练1】（2023秋•淮阳区期末）甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为 ．
【即学即练2】（2023秋•新泰市期中）提出问题：你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？
探究问题：如图1所示，设a，b为常数，由面积相等可得：（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，就可以对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．观察多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．
解决问题：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+3）（x+2）．
运用结论：
（1）基础运用：把多项式x2+4x﹣21进行因式分解．
（2）知识迁移：对于多项式4x2﹣4x﹣15进行因式分解还可以这样思考：
将二次项4x2分解成如图2所示中的两个2x的积，再将常数项﹣15分解成﹣5与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为﹣4x，就是4x2﹣4x﹣15的一次项，所以有4x2﹣4x﹣15＝（2x﹣5）（2x+3）．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．
请用十字相乘法进行因式分解：①3x2﹣19x﹣14；②6a2﹣13ab+6b2．
能力拓展
1．（2023秋•永吉县期末）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．
（1）利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a2x+a2y+b2x+b2y．
（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝ （直接写出结果）．
2．（2023秋•微山县期末）【知识背景】
八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
【方法探究】
对于多项式x2+（p+q）x+pq我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq分解成p与q的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数+（p+q）．
所以x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
例如，分解因式：x2+5x+6．
它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5．
所以x2+5x+6＝（x+2）（x+3）．
类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．
例如，分解因式：2x2﹣x﹣6．
分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项﹣6分解成﹣1与6（或﹣6与1，﹣2与3，﹣3与2）的积，但只有当﹣2与3时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数﹣1．所以2x2﹣x﹣6＝（2x+3）（x﹣2）．
【方法归纳】
一般地，在分解形如关于x的二次三项式ax2+bx+c时，二次项系数a分解成a1与a2的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c分解成c1与c2的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把a1，a2，c1，c2按如图4所示方式排列，当且仅当a1c2+a2c1＝b（一次项系数）时，ax2+bx+c可分解因式．即ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．
【方法应用】
利用上面的方法将下列各式分解因式：
（1）x2﹣5x+6；
（2）10x2+x﹣21；
（3）（x2﹣4x）2+7（x2﹣4x）+12．
3．（2021秋•惠安县期末）因式分解与整式乘法互为逆运算．如对多项式x2﹣7x+12进行因式分解：
首先，如果一个多项式能进行因式分解，则这个多项式可看作是有两个较低次多项式相乘得来的．故可写成x2﹣7x+12＝（x+a）（x+b），即x2﹣7x+12＝x2+（a+b）x+ab（对任意实数x成立），由此得a+b＝﹣7，ab＝12．易得一组解：a＝﹣3，b＝﹣4，所以x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4）．像这种能把一个多项式进行因式分解的方法，称为待定系数法．
（1）因式分解：x2﹣15x﹣34＝ ．
（2）因式分解：x3﹣3x2+4＝（x+a）（x2+bx+c），请写出一组满足要求的a，b，c的值： ．
（3）请你运用待定系数法，把多项式3m2+5mn﹣2n2+m+9n﹣4进行因式分解．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共10小题）
1．（2023春•吉安县期末）若m＞﹣1，则多项式m3﹣m2﹣m+1的值为（ ）
A．正数B．负数C．非负数D．非正数
2．（2023秋•十堰期末）下列多项式中，不能在有理数范围进行因式分解的是（ ）
A．﹣a2+b2B．﹣a2﹣b2
C．a3﹣3a2+2aD．a2﹣2ab+b2﹣1
3．（2023秋•平昌县期末）下列因式分解错误的是（ ）
A．2a﹣2b＝2（a﹣b）
B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
C．a2+4a﹣4＝（a﹣2）2
D．x2﹣2x+1﹣y2＝（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）
4．（2023秋•越秀区期末）若x2+x﹣12＝（x+p）（x+q），则p，q的值分别为（ ）
A．p＝3，q＝4B．p＝﹣3，q＝4C．p＝3，q＝﹣4D．p＝﹣3，q＝﹣4
5．（2023秋•临沂期末）多项式x2﹣8x+m＝（x﹣9）（x﹣n），则m，n的值为（ ）
A．m＝9，n＝1B．m＝9，n＝﹣1C．m＝﹣9，n＝﹣1D．m＝﹣9，n＝1
6．（2023秋•芜湖期末）下列因式分解结果正确的是（ ）
A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4）B．4x2﹣y2＝（4x+y）（4x﹣y）
C．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2D．x2﹣5x﹣6＝（x﹣2）（x﹣3）
7．（2023秋•博白县期末）下列因式分解错误的是（ ）
A．2a﹣2b＝2（a﹣b）B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
C．a2+4a﹣4＝（a﹣2）2D．﹣x2﹣x+2＝﹣（x﹣1）（x+2）
8．（2023秋•监利市期末）因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（ ）
A．1B．4C．11D．12
9．（2023秋•微山县期末）已知关于x的二次三项式2x2+bx+a分解因式的结果是（x+1）（2x﹣3），则代数式ab的值为（ ）
A．﹣3B．﹣1C．﹣D．
10．（2023秋•弋江区期末）分解因式x2﹣5x﹣14，正确的结果是（ ）
A．（x﹣5）（x﹣14）B．（x﹣2）（x﹣7）
C．（x﹣2）（x+7）D．（x+2）（x﹣7）
二．填空题（共9小题）
11．（2023春•碑林区校级月考）分解因式：a2﹣b2+ab2﹣a2b＝ ．
12．（2023•广饶县一模）因式分解：（m﹣n）a2+（n﹣m）b2＝ ．
13．（2023•邵阳模拟）把（a﹣2b）+（a2﹣4b2）因式分解的结果是 ．
14．（2020秋•齐河县期末）分解因式：y2﹣x2﹣2x﹣1＝ ．
15．（2023•怀宁县模拟）因式分解：4x2﹣y2+2y﹣1＝ ．
16．（2023•宣城模拟）已知m，n，p均为实数，若x﹣1，x+4均为多项式x3+mx2+nx+p的因式，则2m﹣2n﹣p+86＝ ．
17．（2023秋•普兰店区期末）若x2+ax﹣14＝（x+2）（x﹣7），则a＝ ．
18．（2023秋•鞍山期末）观察下列因式分解中的规律：
①x2+3x+2＝（x+1）（x+2）；
②x2+7x+10＝（x+2）（x+5）；
③x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；
④x2﹣2x﹣8＝（x+2）（x﹣4）；
利用上述系数特点分解因式x2+x﹣6＝ ．
19．（2023秋•隆昌市校级期末）若多项式x2+ax+6可分解为（x+2）（x+b），则a+b的值为 ．
三．解答题（共10小题）
20．（2020秋•广安期末）分解因式：4（m﹣n）a2+（n﹣m）b2．
21．（2023秋•硚口区期末）因式分解：
（1）x2y﹣4y；
（2）﹣2x2+8xy﹣8y2；
（3）（x﹣2）（x+3）﹣6x．
22．（2023秋•荔湾区期末）分解因式：
（1）x3y﹣9xy；
（2）x2（x﹣y）+2x（y﹣x）﹣（y﹣x）．
23．（2023秋•克东县期末）因式分解：
（1）（a+3）（a﹣7）+21；
（2）m2（x﹣y）+n2（y﹣x）．
24．（2023秋•广水市期末）分解因式：
（1）8a3b2+12ab3c；
（2）9x2﹣a2﹣2a﹣1．
25．（2023秋•丰泽区校级期末）因式分解：
（1）2x（x﹣3）﹣8；
（2）a2﹣b2﹣6a+9．
26．（2023秋•永吉县期末）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．
（1）利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a2x+a2y+b2x+b2y．
（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝ （直接写出结果）．
27．（2023秋•方城县期末）下面是某同学对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程，
解：设x2﹣2x＝y
原式＝（y﹣1）（y+3）+4（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2﹣2x+1）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了 ．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或者“不彻底”）
若不彻底．请直接写出因式分解的最后结果 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解．
28．（2023秋•郧阳区期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．
再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（2x﹣3y）+（2x﹣3y）2．
（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；
29．（2023秋•江陵县期末）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子x2+3x+2分解因式．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2．
所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．
解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：x2+5x﹣24＝ ；
（2）若x2+px+6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是 ；
（3）利用上面因式分解方法解方程：x2﹣4x﹣21＝0．
题组B 能力提升练
一．填空题（共6小题）
1．（2020•浙江自主招生）分解因式：2x2+7xy﹣15y2﹣3x+11y﹣2＝ ．
2．（2020•浙江自主招生）分解因式：x2﹣2x﹣2y2+4y﹣xy＝ ．
3．（2023春•西湖区校级期中）已知多项式x4+mx+n能分解为（x2+px+q）（x2+2x﹣3），则p＝ ，q＝ ．
4．（2023秋•烟台期中）多项式x2﹣8x+m＝（x﹣9）（x﹣n），则m+n＝ ．
5．（2021秋•丰台区校级期中）若x2+mx﹣12＝（x+3）（x+n），则m的值 ．
6．（2023秋•龙凤区期中）两位同学将同一个二次三项式进行因式分解时，一位同学因看错了一次项系数而分解成（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项而分解成（x﹣2）（x﹣4），则原多项式因式分解的正确结果是： ．
二．解答题（共10小题）
7．（2023秋•蕲春县月考）分解因式：
（1）（m+n）2﹣4m（m+n）+4m2；
（2）6x3﹣11x2+x+4
8．（2023秋•泰山区期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．
再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你写出下列因式分解的结果：
（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2＝ ；
（2）因式分解：25（a﹣1）2﹣10（a﹣1）+1＝ ；
（3）因式分解：（y2﹣4y）（y2﹣4y+8）+16＝ ．
9．（2021春•平顶山期末）把下列各式因式分解：
（1）x2+2xy+y2﹣c2；
（2）b2（a﹣2）+b（2﹣a）．
10．（2023春•商河县校级期末）观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）．
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
（1）m3﹣2m2﹣4m+8．
（2）x2﹣2xy+y2﹣9．
11．（2019秋•西岗区期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
12．（2019春•邵东县期中）观察下列因式分解的过程：
（1）x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）
（2）a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）
（1）请仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：
①ad﹣ac﹣bd+bc
②x2﹣y2﹣6x+9
（2）请运用上述分解因式的方法，把多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式．
13．（2023秋•建昌县期末）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：
（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．
而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．
通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子x2+2x﹣3分解因式．这个式子的二次项系数是1＝1×1，常数项﹣3＝（﹣1）×3，一次项系数2＝（﹣1）+3，可以用下图十字相乘的形式表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
（1）x2+7x+10＝ ；
（2）x2﹣2x﹣3＝ ；
（3）y2﹣7y+12＝ ；
（4）x2+7x﹣18＝ ．
14．（2023•寻乌县模拟）已知：整式A＝x（x+3）+5，整式B＝ax﹣1．
（1）若A+B＝（x+2）2，求a的值；
（2）若A﹣B可以分解为（x﹣2）（x﹣3），求A+B．
15．（2023春•渠县校级期末）因式分解：x2﹣2xy+y2﹣25．
16．（2023秋•惠安县期末）因式分解与整式乘法互为逆运算．如对多项式x2﹣7x+12进行因式分解：
首先，如果一个多项式能进行因式分解，则这个多项式可看作是有两个较低次多项式相乘得来的．故可写成x2﹣7x+12＝（x+a）（x+b），即x2﹣7x+12＝x2+（a+b）x+ab（对任意实数x成立），由此得a+b＝﹣7，ab＝12．易得一组解：a＝﹣3，b＝﹣4，所以x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4）．像这种能把一个多项式进行因式分解的方法，称为待定系数法．
（1）因式分解：x2﹣15x﹣34＝ ．
（2）因式分解：x3﹣3x2+4＝（x+a）（x2+bx+c），请写出一组满足要求的a，b，c的值： ．
（3）请你运用待定系数法，把多项式3m2+5mn﹣2n2+m+9n﹣4进行因式分解．
题组C 培优拔尖练
一．填空题（共2小题）
1．（2020•衡阳县自主招生）分解因式：x3﹣3x2﹣6x+8＝ ．
2．（2023春•历下区期中）分解因式：x6﹣28x3+27＝ ．
二．解答题（共12小题）
3．（2023春•马鞍山期末）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．
①分解因式：ab﹣a﹣b+1；
②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，求a+b的值；
（2）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，s＝a2+3ab+b2+3a﹣b，求s的最小值．
4．阅读下列文字与例题
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法
例如：
（1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）；
（2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）．
试用上述方法分解因式：
（1）x2+xy﹣2xz﹣2yz
（2）x2﹣4y2﹣6x﹣4y+8
（3）m2﹣4mn﹣3m+6n+4n2．
5．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
例1：1+ax+ax（1+ax）＝（1+ax）（1+ax）
＝（1+ax）2；
例2：1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）2＝（1+ax）（1+ax）+ax（1+ax）2
＝（1+ax）2+ax（1+ax）2
＝（1+ax）2（1+ax）
＝（1+ax）3
（1）分解因式：1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）2+…+ax（1+ax）n＝ ；
（2）分解因式：x﹣1﹣x（x﹣1）+x（x﹣1）2﹣x（x﹣1）3+…﹣x（x﹣1）2003+x（x﹣1）2004
（答题要求：请将第（1）问的答案填写在题中的横线上）
6．（2023春•永定区期中）先阅读，再因式分解：x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2），按照这种方法把多项式x4+324因式分解．
7．（2019秋•平山县期末）对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．
（1）求式子中m、n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．
8．（2018秋•涿鹿县期末）阅读与思考
x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解
x2+（p+q）x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子分解因式呢？
我们通过学习，利用多项式的乘法法则可知：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，因式分解是整式乘法相反方向的变形，利用这种关系可得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
利用这个结果可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如，将x2﹣x﹣6分解因式．这个式子的二次项系数是1，常数项﹣6＝2×（﹣3），一次项系数﹣1＝2+（﹣3），因此这是一个x2+（p+q）x+pq型的式子．所以x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）．
上述过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．
这样我们也可以得到x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．
请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：
（1）分解因式：y2﹣2y﹣24．
（2）若x2+mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，请直接写出整数m的所有可能值．
9．（2019春•岳阳期中）已知二次三项式x2+px+q的常数项与（x﹣1）（x﹣9）的常数项相同，而它的一次项与（x﹣2）（x﹣4）的一次项相同，试将此多项式因式分解．
10．（2017秋•微山县期末）【阅读材料】
对于二次三项式a2+2ab+b2可以直接分解为（a+b）2的形式，但对于二次三项式a2+2ab﹣8b2，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式a2+2ab﹣8b2中先加上一项b2，使其成为完全平方式，再减去b2这项，（这里也可把﹣8b2拆成+b2与﹣9b2的和），使整个式子的值不变．
于是有：a2+2ab﹣8b2
＝a2+2ab﹣8b2+b2﹣b2
＝（a2+2ab+b2）﹣8b2﹣b2
＝（a+b）2﹣9b2
＝[（a+b）+3b][（a+b）﹣3b]
＝（a+4b）（a﹣2b）
我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
【应用材料】
（1）上式中添（拆）项后先把完全平方式组合在一起，然后用 法实现分解因式．
（2）请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式：
①m2+6m+8；②a4+a2b2+b4
11．（2018春•安丘市期末）阅读下面的材料，解答提出的问题：
已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），由题意，得：
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：m＝﹣21，n＝﹣7
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
提出问题：
（1）已知：二次三项式x2+5x﹣p有一个因式是（x﹣1），求p的值．
（2）已知：二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式及k的值．
12．（2017春•兴化市期末）已知A＝2a﹣7，B＝a2﹣4a+3，C＝a2+6a﹣28，其中a＞2．
（1）求证：B﹣A＞0，并指出A与B的大小关系；
（2）阅读对B因式分解的方法：
解：B＝a2﹣4a+3＝a2﹣4a+4﹣1＝（a﹣2）2﹣1＝（a﹣2+1）（a﹣2﹣1）＝（a﹣1）（a﹣3）．
请完成下面的两个问题：
①仿照上述方法分解因式：x2﹣4x﹣96；
②指出A与C哪个大？并说明你的理由．
13．（2023秋•徐闻县期末）阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
14．（2018秋•安陆市期末）分解因式：x2+12x﹣189，分析：由于常数项数值较大，则将x2+12x﹣189变为完全平方公式，再运用平方差公式进行分解，这样简单易行．
x2+12x﹣189＝x2+2*6x+62﹣36﹣189
＝（x+6）2﹣225
＝（x+6）2﹣152
＝（x+6+15）（x+6﹣15）
＝（x+21）（x﹣9）
请按照上面的方法分解因式：x2﹣60x+884．
第12讲 分组分解与十字相乘
目标导航
理解分组分解法十字相乘法和的概念，掌握十字相乘法分解二次项系数为1 的二次三项式，能够用分组分解法分解含有四项以上的多项式．重点能够灵活运用十字相乘法与分组分解方法进行分解因式，能够与前两种的方法相结合．难点能够总结归纳这两种方法所针对的多项式，可以在分解因式的时候快速确定方法．
知识精讲
知识点01 因式分解-分组分解法
1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．
例如：①ax+ay+bx+by
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy﹣x2+1﹣y2
＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1
＝1﹣（x﹣y）2
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）
【知识拓展1】（2023秋•十堰期末）下列多项式中，不能在有理数范围进行因式分解的是（ ）
A．﹣a2+b2B．﹣a2﹣b2
C．a3﹣3a2+2aD．a2﹣2ab+b2﹣1
【分析】根据提公因式法，公式法进行分解即可判断．
【解答】解：A．﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a），故A不符合题意；
B．﹣a2﹣b2在有理数范围不能进行因式分解，故B符合题意；
C．a3﹣3a2+2a＝a（a﹣1）（a﹣2），故C不符合题意；
D．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1），故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，提公因式法，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
【即学即练1】（2023秋•平昌县期末）下列因式分解错误的是（ ）
A．2a﹣2b＝2（a﹣b）
B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
C．a2+4a﹣4＝（a﹣2）2
D．x2﹣2x+1﹣y2＝（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）
【分析】利用提公因式法与公式法，分组分解法进行分解逐一判断即可．
【解答】解：A.2a﹣2b＝2（a﹣b），A正确，故A不符合题意；
B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），B正确，故B不符合题意；
C．a2+4a﹣4≠（a﹣2）2，C错误，故C符合题意；
D．x2﹣2x+1﹣y2＝（x﹣1+y）（x﹣1﹣y），D正确，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项还有公因式，必须先提公因式．
【知识拓展2】（2023秋•广水市期末）分解因式：
9x2﹣a2﹣2a﹣1．
【分析】观察本式，将原式变形为9x2﹣（a2+2a+1），再把a2+2a+1依据完全平方公式进行因式分解为（a+1）2，再依据平方差公式进行因式分解．
【解答】解： 原式＝9x2﹣（a2+2a+1）
＝9x2﹣（a+1）2
＝（3x+a+1）（3x﹣a﹣1）．
【即学即练1】（2023秋•丰泽区校级期末）因式分解：
（2）a2﹣b2﹣6a+9．
【分析】先分组，用完全平方公式后，再用平方差公式分解．
【解答】原式＝（a2﹣6a+9）﹣b2
＝（a﹣3）2﹣b2
＝（a﹣b﹣3）（a+b﹣3）．
【即学即练2】（2023秋•宝山区期末）分解因式：x3+2x2y﹣9x﹣18y．
【分析】先分组各自提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可．
【解答】解：x3+2x2y﹣9x﹣18y
＝x2（x+2y）﹣9（x+2y）
＝（x+2y）（x2﹣9）
＝（x+2y）（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，一定要注意把每一个多项式分解到不能再分解为止．
【即学即练3】（2023秋•普陀区期末）因式分解：1﹣a2﹣4b2+4ab．
【分析】先分组，再逆用完全平方公式、平方差公式进行因式分解．
【解答】解：1﹣a2﹣4b2+4ab
＝1﹣（a2+4b2﹣4ab）
＝1﹣（a﹣2b）2
＝（1+a﹣2b）[1﹣（a﹣2b）]
＝（1+a﹣2b）（1﹣a+2b）．
【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握公式法以及分组分解法是解决本题的关键．
【即学即练4】（2023秋•浦东新区期末）分解因式：xy2﹣x﹣y2+1．
【分析】先分组，再提公因式分解．
【解答】解：原式＝（xy2﹣x）﹣（y2﹣1）
＝x（y2﹣1）﹣（y2﹣1）
＝（y2﹣1）（x﹣1）
＝（y﹣1）（y+1）（x﹣1）．
【点评】本题考查因式分解，根据多项式特征确定正确的分组方式是求解本题的关键．
知识点02 因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
【知识拓展1】（2023秋•弋江区期末）分解因式x2﹣5x﹣14，正确的结果是（ ）
A．（x﹣5）（x﹣14）B．（x﹣2）（x﹣7）
C．（x﹣2）（x+7）D．（x+2）（x﹣7）
【分析】根据﹣14＝﹣7×2，﹣5＝﹣7+2，进行分解即可．
【解答】解：x2﹣5x﹣14＝（x﹣7）（x+2），
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解﹣十字相乘法是解题的关键．
【即学即练1】（2023秋•应城市期末）将多项式x2﹣2x﹣8分解因式，正确的是（ ）
A．（x+2）（x﹣4）B．（x﹣2）（x﹣4）C．（x+2）（x+4）D．（x﹣2）（x+4）
【分析】利用十字相乘法分解即可．
【解答】解：x2﹣2x﹣8＝x2+（﹣4+2）x+（﹣4×2）＝（x﹣4）（x+2）．
故选：A．
【点评】本题考查用十字相乘法进行因式分解，正确掌握十字相乘法是求解本题的关键．
【即学即练2】（2023•阿荣旗一模）把多项式18x2﹣12x+2分解因式的结果是 2（3x﹣1）2 ．
【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可解答．
【解答】解：18x2﹣12x+2
＝2（9x2﹣6x+1）
＝2（3x﹣1）2．
故答案为：2（3x﹣1）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
【即学即练3】（2023秋•新抚区期末）分解因式：a2﹣2a﹣8＝ （a﹣4）（a+2） ．
【分析】根据因式分解﹣十字相乘法进行分解即可．
【解答】解：a2﹣2a﹣8＝（a﹣4）（a+2），
故答案为：（a﹣4）（a+2）．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解﹣十字相乘法是解题的关键．
【即学即练4】（2023秋•宝山区期末）分解因式：x2+4x﹣21＝ （x+7）（x﹣3） ．
【分析】根据因式分解﹣十字相乘法进行分解即可．
【解答】解：x2+4x﹣21＝（x+7）（x﹣3），
故答案为：（x+7）（x﹣3）．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解﹣十字相乘法是解题的关键．
【知识拓展2】（2023秋•普兰店区期末）若x2+ax﹣14＝（x+2）（x﹣7），则a＝ ．
【分析】直接利用多项式乘多项式化简，进而得出a的值．
【解答】解：∵x2+ax﹣14＝（x+2）（x﹣7）＝x2﹣5x﹣14，
∴a＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】此题主要考查了十字相乘法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【即学即练1】（2023秋•淮阳区期末）甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为 （x﹣6）（x+2） ．
【分析】根据甲、乙看错的情况下得出a、b的值，进而再利用十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：因式分解x2+ax+b时，
∵甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），
∴b＝6×（﹣2）＝﹣12，
又∵乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），
∴a＝﹣8+4＝﹣4，
∴原二次三项式为x2﹣4x﹣12，
因此，x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2），
故答案为：（x﹣6）（x+2）．
【点评】本题考查十字相乘法进行因式分解，掌握十字相乘法的使用方法是得出答案的关键．
【即学即练2】（2023秋•新泰市期中）提出问题：你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？
探究问题：如图1所示，设a，b为常数，由面积相等可得：（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，就可以对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．观察多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．
解决问题：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+3）（x+2）．
运用结论：
（1）基础运用：把多项式x2+4x﹣21进行因式分解．
（2）知识迁移：对于多项式4x2﹣4x﹣15进行因式分解还可以这样思考：
将二次项4x2分解成如图2所示中的两个2x的积，再将常数项﹣15分解成﹣5与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为﹣4x，就是4x2﹣4x﹣15的一次项，所以有4x2﹣4x﹣15＝（2x﹣5）（2x+3）．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．
请用十字相乘法进行因式分解：①3x2﹣19x﹣14；②6a2﹣13ab+6b2．
【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点，分解即可．
【解答】解：①原式＝（3x+2）（x﹣7）；
②原式＝（2a﹣3b）（3a﹣2b）．
【点评】本题考查了因式分解的十字相乘法，掌握十字相乘法是解决本题的关键．
能力拓展
1．（2023秋•永吉县期末）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．
（1）利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a2x+a2y+b2x+b2y．
（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝ （a+b+1）（a+b﹣1） （直接写出结果）．
【分析】（1）①直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；
②直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；
（2）将前三项利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）①原式＝（3m﹣3y）+（am﹣ay）
＝3（m﹣y）+a（m﹣y）
＝（m﹣y）（3+a）；
②原式＝（a2x+a2y）+（b2x+b2y）
＝a2（x+y）+b2（x+y）
＝（x+y）（a2+b2）；
（2）a2+2ab+b2﹣1
＝（a+b）2﹣1
＝（a+b+1）（a+b﹣1）．
故答案为：（a+b+1）（a+b﹣1）．
【点评】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．
2．（2023秋•微山县期末）【知识背景】
八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
【方法探究】
对于多项式x2+（p+q）x+pq我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq分解成p与q的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数+（p+q）．
所以x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
例如，分解因式：x2+5x+6．
它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5．
所以x2+5x+6＝（x+2）（x+3）．
类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．
例如，分解因式：2x2﹣x﹣6．
分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项﹣6分解成﹣1与6（或﹣6与1，﹣2与3，﹣3与2）的积，但只有当﹣2与3时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数﹣1．所以2x2﹣x﹣6＝（2x+3）（x﹣2）．
【方法归纳】
一般地，在分解形如关于x的二次三项式ax2+bx+c时，二次项系数a分解成a1与a2的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c分解成c1与c2的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把a1，a2，c1，c2按如图4所示方式排列，当且仅当a1c2+a2c1＝b（一次项系数）时，ax2+bx+c可分解因式．即ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．
【方法应用】
利用上面的方法将下列各式分解因式：
（1）x2﹣5x+6；
（2）10x2+x﹣21；
（3）（x2﹣4x）2+7（x2﹣4x）+12．
【分析】（1）根据6＝﹣2×（﹣3），﹣5＝﹣2+（﹣3），进行分解即可；
（2）根据10＝2×5，﹣21＝3×（﹣7），1＝2×（﹣7）+5×3，进行分解即可；
（3）先把x2﹣4x看成一个整体，利用十字相乘法分解成（x2﹣4x+4）（x2﹣4x+3），然后再利用十字相乘法继续分解即可．
【解答】解：（1）x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；
（2）10x2+x﹣21＝（2x+3）（5x﹣7）；
（3）（x2﹣4x）2+7（x2﹣4x）+12
＝（x2﹣4x+4）（x2﹣4x+3）
＝（x﹣2）2（x﹣1）（x﹣3）．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，因式分解﹣分组分解法，理解材料中的十字相乘法是解题的关键．
3．（2021秋•惠安县期末）因式分解与整式乘法互为逆运算．如对多项式x2﹣7x+12进行因式分解：
首先，如果一个多项式能进行因式分解，则这个多项式可看作是有两个较低次多项式相乘得来的．故可写成x2﹣7x+12＝（x+a）（x+b），即x2﹣7x+12＝x2+（a+b）x+ab（对任意实数x成立），由此得a+b＝﹣7，ab＝12．易得一组解：a＝﹣3，b＝﹣4，所以x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4）．像这种能把一个多项式进行因式分解的方法，称为待定系数法．
（1）因式分解：x2﹣15x﹣34＝ （x﹣17）（x+2） ．
（2）因式分解：x3﹣3x2+4＝（x+a）（x2+bx+c），请写出一组满足要求的a，b，c的值： a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣2 ．
（3）请你运用待定系数法，把多项式3m2+5mn﹣2n2+m+9n﹣4进行因式分解．
【分析】（1）用十字相乘法分解．
（2）用待定系数法分解．
（3）先分组，再用待定系数法分解．
【解答】解：（1）x2﹣15x﹣34
＝x2+（﹣17+2）x+（﹣17×2）
＝（x﹣17）（x+2）．
故答案为：（x﹣17）（x+2）．
（2）∵（x+a）（x2+bx+c）＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac．
∴x3﹣3x2+4＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac．
∴a+b＝﹣3，ab+c＝0，ac＝4．
解得：a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣2或a＝1，b＝﹣4，c＝4．
故选填一组即可．
故答案为：a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣2．
（3）原式＝3m2+（5n+1）m﹣（2n2﹣9n+4）
＝（3×1）m2+[3×（2n﹣1）﹣（n﹣4）]﹣（2n﹣1）（n﹣4）
＝（3m﹣n+4）（m+2n﹣1）．
【点评】本题考查因式分解，正确使用待定系数法是求解本题的关键．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共10小题）
1．（2023春•吉安县期末）若m＞﹣1，则多项式m3﹣m2﹣m+1的值为（ ）
A．正数B．负数C．非负数D．非正数
【分析】解此题时可把多项式m3﹣m2﹣m+1分解因式，根据分解的结果即可判断．
【解答】解：多项式m3﹣m2﹣m+1，
＝（m3﹣m2）﹣（m﹣1），
＝m2（m﹣1）﹣（m﹣1），
＝（m﹣1）（m2﹣1）
＝（m﹣1）2（m+1），
∵m＞﹣1，
∴（m﹣1）2≥0，m+1＞0，
∴m3﹣m2﹣m+1＝（m﹣1）2（m+1）≥0，
故选：C．
【点评】本题考查了分组分解法分解因式，合理分组是分解因式的关键．
2．（2023秋•十堰期末）下列多项式中，不能在有理数范围进行因式分解的是（ ）
A．﹣a2+b2B．﹣a2﹣b2
C．a3﹣3a2+2aD．a2﹣2ab+b2﹣1
【分析】根据提公因式法，公式法进行分解即可判断．
【解答】解：A．﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a），故A不符合题意；
B．﹣a2﹣b2在有理数范围不能进行因式分解，故B符合题意；
C．a3﹣3a2+2a＝a（a﹣1）（a﹣2），故C不符合题意；
D．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1），故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，提公因式法，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
3．（2023秋•平昌县期末）下列因式分解错误的是（ ）
A．2a﹣2b＝2（a﹣b）
B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
C．a2+4a﹣4＝（a﹣2）2
D．x2﹣2x+1﹣y2＝（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）
【分析】利用提公因式法与公式法，分组分解法进行分解逐一判断即可．
【解答】解：A.2a﹣2b＝2（a﹣b），A正确，故A不符合题意；
B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），B正确，故B不符合题意；
C．a2+4a﹣4≠（a﹣2）2，C错误，故C符合题意；
D．x2﹣2x+1﹣y2＝（x﹣1+y）（x﹣1﹣y），D正确，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项还有公因式，必须先提公因式．
4．（2023秋•越秀区期末）若x2+x﹣12＝（x+p）（x+q），则p，q的值分别为（ ）
A．p＝3，q＝4B．p＝﹣3，q＝4C．p＝3，q＝﹣4D．p＝﹣3，q＝﹣4
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则解答即可．
【解答】解：∵x2+x﹣12＝（x+4）（x﹣3）＝（x+p）（x+q），
∴p＝﹣3，q＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解，掌握十字相乘法因式分解是解此题的关键．
5．（2023秋•临沂期末）多项式x2﹣8x+m＝（x﹣9）（x﹣n），则m，n的值为（ ）
A．m＝9，n＝1B．m＝9，n＝﹣1C．m＝﹣9，n＝﹣1D．m＝﹣9，n＝1
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得m、n的值．
【解答】解：∵多项式x2﹣8x+m分解因式得（x﹣9）（x﹣n），
∴﹣9﹣n＝﹣8，﹣9×（﹣n）＝m，
解得：m＝﹣9，n＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
6．（2023秋•芜湖期末）下列因式分解结果正确的是（ ）
A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4）B．4x2﹣y2＝（4x+y）（4x﹣y）
C．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2D．x2﹣5x﹣6＝（x﹣2）（x﹣3）
【分析】根据提公因式法、平方差公式以及十字相乘法进行解答．
【解答】解：A、原式＝﹣x（x﹣4），故本选项不符合题意．
B、原式＝（2x+y）（2x﹣y），故本选项不符合题意．
C、原式＝﹣（x+1）2，故本选项符合题意．
D、原式＝（x+1）（x﹣6），故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了提公因式法、平方差公式以及十字相乘法因式分解，属于基础题．
7．（2023秋•博白县期末）下列因式分解错误的是（ ）
A．2a﹣2b＝2（a﹣b）B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
C．a2+4a﹣4＝（a﹣2）2D．﹣x2﹣x+2＝﹣（x﹣1）（x+2）
【分析】利用因式分解的提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法等，逐个分解做出判断．
【解答】解：∵2a﹣2b＝2（a﹣b），故选项A正确；
x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），故选项B正确；
a2+4a﹣4≠（a﹣2）2，故选项C错误；
﹣x2﹣x+2＝﹣（x2+x﹣2）＝﹣（x﹣1）（x+2），故选项D正确．
故选：C．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握整式因式分解的方法是解决本题的关键．
8．（2023秋•监利市期末）因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（ ）
A．1B．4C．11D．12
【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知m＝p+q，pq＝﹣12．
【解答】解：﹣12可以分成：﹣2×6，2×（﹣6），﹣1×12，1×（﹣12），3×（﹣4），﹣3×4，
而﹣2+6＝4，2+（﹣6）＝﹣4，﹣1+12＝11，1+（﹣12）＝﹣11，3+（﹣4）＝﹣1，﹣3+4＝1，
因为11＞4＞1＞﹣1＞﹣4＞﹣11，
所以m最大＝p+q＝11．
故选：C．
【点评】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键．
9．（2023秋•微山县期末）已知关于x的二次三项式2x2+bx+a分解因式的结果是（x+1）（2x﹣3），则代数式ab的值为（ ）
A．﹣3B．﹣1C．﹣D．
【分析】先计算多项式乘多项式，求出a，b的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
2x2+bx+a＝（x+1）（2x﹣3），
2x2+bx+a＝2x2﹣3x+2x﹣3，
2x2+bx+a＝2x2﹣x﹣3，
∴b＝﹣1，a＝﹣3，
∴ab＝（﹣3）﹣1
＝﹣，
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键．
10．（2023秋•弋江区期末）分解因式x2﹣5x﹣14，正确的结果是（ ）
A．（x﹣5）（x﹣14）B．（x﹣2）（x﹣7）
C．（x﹣2）（x+7）D．（x+2）（x﹣7）
【分析】根据﹣14＝﹣7×2，﹣5＝﹣7+2，进行分解即可．
【解答】解：x2﹣5x﹣14＝（x﹣7）（x+2），
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解﹣十字相乘法是解题的关键．
二．填空题（共9小题）
11．（2023春•碑林区校级月考）分解因式：a2﹣b2+ab2﹣a2b＝ （a﹣b）（a+b﹣ab） ．
【分析】先分组，然后直接利用平方差公式和提取公因式法分解因式得出答案；
【解答】解：a2﹣b2+ab2﹣a2b
＝（a2﹣b2）+（ab2﹣a2b）
＝（a+b）（a﹣b）﹣ab（a﹣b）
＝（a﹣b）（a+b﹣ab）．
故答案为（a﹣b）（a+b﹣ab）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及分组法分解因式，正确运用分组是解题关键．
12．（2023•广饶县一模）因式分解：（m﹣n）a2+（n﹣m）b2＝ （m﹣n）（a+b）（a﹣b） ．
【分析】直接提取公因式（m﹣n），再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝（m﹣n）a2﹣（m﹣n）b2
＝（m﹣n）（a2﹣b2）
＝（m﹣n）（a+b）（a﹣b）．
故答案为：（m﹣n）（a+b）（a﹣b）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式分解因式是解题关键．
13．（2023•邵阳模拟）把（a﹣2b）+（a2﹣4b2）因式分解的结果是 （a﹣2b）（1+a+2b） ．
【分析】直接利用公式法分解因式，再结合提取公因式法分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝（a﹣2b）+（a+2b）（a﹣2b）
＝（a﹣2b）（1+a+2b）．
故答案为：（a﹣2b）（1+a+2b）．
【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
14．（2020秋•齐河县期末）分解因式：y2﹣x2﹣2x﹣1＝ （y+x+1）（y﹣x﹣1） ．
【分析】由y2﹣x2﹣2x﹣1＝y2﹣（x2+2x+1），再根据完全平方公式与平方差公式求解即可．
【解答】解：y2﹣x2﹣2x﹣1＝y2﹣（x2+2x+1）＝y2﹣（x+1）2＝（y+x+1）（y﹣x﹣1）．
故答案为：（y+x+1）（y﹣x﹣1）．
【点评】本题考查了分组分解法分解因式，熟记完全平方公式是解答本题的关键．
15．（2023•怀宁县模拟）因式分解：4x2﹣y2+2y﹣1＝ （2x+y﹣1）（2x﹣y+1） ．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解．
【解答】解：4x2﹣y2+2y﹣1
＝4x2﹣（y2﹣2y+1）
＝（2x）2﹣（y﹣1）2
＝（2x﹣y+1）（2x+y﹣1）
故答案为：（2x+y﹣1）（2x﹣y+1）．
【点评】本题考查的是因式分解，掌握分组分解法进行因式分解的一般步骤是解题的关键．
16．（2023•宣城模拟）已知m，n，p均为实数，若x﹣1，x+4均为多项式x3+mx2+nx+p的因式，则2m﹣2n﹣p+86＝ 100 ．
【分析】根据三次项系数为1可设另一个因式为（x+k），将原式变形为x3+mx2+nx+p＝（x﹣1）（x+4）（x+k）＝x3+（k+3）x2+（3k﹣4）x﹣4k，可得，代入2m﹣2n﹣p+86可得答案．
【解答】解：∵x﹣1，x+4均为多项式x3+mx2+nx+p的因式，且三次项系数为1，
∴设另一个因式为（x+k），
则x3+mx2+nx+p＝（x﹣1）（x+4）（x+k）＝x3+（k+3）x2+（3k﹣4）x﹣4k，
∴，
∴2m﹣2n﹣p+86＝2（k+3）﹣2（3k﹣4）+4k+86
＝2k+6﹣6k+8+4k+86
＝100，
故答案为：100．
【点评】本题主要考查因式分解的意义，根据系数设另一个因式，从而变形将待求式子的未知数化为统一未知数是解题的关键．
17．（2023秋•普兰店区期末）若x2+ax﹣14＝（x+2）（x﹣7），则a＝ ﹣5 ．
【分析】直接利用多项式乘多项式化简，进而得出a的值．
【解答】解：∵x2+ax﹣14＝（x+2）（x﹣7）＝x2﹣5x﹣14，
∴a＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】此题主要考查了十字相乘法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（2023秋•鞍山期末）观察下列因式分解中的规律：
①x2+3x+2＝（x+1）（x+2）；
②x2+7x+10＝（x+2）（x+5）；
③x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；
④x2﹣2x﹣8＝（x+2）（x﹣4）；
利用上述系数特点分解因式x2+x﹣6＝ （x+3）（x﹣2） ．
【分析】根据上述因式分解的规律进行分解即可．
【解答】解：利用上述系数特点分解因式x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2），
故答案为：（x+3）（x﹣2）．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，规律型：数字的变化类，理解上述因式分解的规律是解题的关键．
19．（2023秋•隆昌市校级期末）若多项式x2+ax+6可分解为（x+2）（x+b），则a+b的值为 8 ．
【分析】先进行多项式乘多项式，求出a，b的值，然后再代入式子进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
x2+ax+6＝（x+2）（x+b），
∴x2+ax+6＝x2+（2+b）x+2b，
∴a＝2+b，2b＝6，
∴b＝3，a＝5，
∴a+b＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
20．（2020秋•广安期末）分解因式：4（m﹣n）a2+（n﹣m）b2．
【分析】先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可．
【解答】解：4（m﹣n）a2+（n﹣m）b2
＝4（m﹣n）a2﹣（m﹣n）b2
＝（m﹣n）（4a2﹣b2）
＝（m﹣n）（2a+b）（2a﹣b）．
【点评】本题考察了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意有公因式的先提取公因式，然后再继续分解．
21．（2023秋•硚口区期末）因式分解：
（1）x2y﹣4y；
（2）﹣2x2+8xy﹣8y2；
（3）（x﹣2）（x+3）﹣6x．
【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可；
（3）先计算多项式的乘法，再利用十字相乘法因式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝y（x2﹣4）＝y（x+2）（x﹣2）；
（2）原式＝﹣2（x2﹣4xy+4y2）＝﹣2（x﹣2y）2；
（3）原式＝x2+x﹣6﹣6x＝x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）．
【点评】此题考查的是因式分解，掌握因式分解的方法是解决此题关键．
22．（2023秋•荔湾区期末）分解因式：
（1）x3y﹣9xy；
（2）x2（x﹣y）+2x（y﹣x）﹣（y﹣x）．
【分析】（1）先提取公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可；
（2）先提取公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可．
【解答】解：（1）x3y﹣9xy
＝xy（x2﹣9）
＝xy（x+3）（x﹣3）；
（2）x2（x﹣y）+2x（y﹣x）﹣（y﹣x）
＝x2（x﹣y）﹣2x（x﹣y）+（x﹣y）
＝（x﹣y）（x2﹣2x+1）
＝（x﹣y）（x﹣1）2．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，提取公因式与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项有公因式，必须先提取公因式，然后再继续分解．
23．（2023秋•克东县期末）因式分解：
（1）（a+3）（a﹣7）+21；
（2）m2（x﹣y）+n2（y﹣x）．
【分析】（1）先作多项式的乘法运算，再提公因式分解因式即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）（a+3）（a﹣7）+21
＝a2﹣4a﹣21+21
＝a2﹣4a
＝a（a﹣4）；
（2）m2（x﹣y）+n2（y﹣x）
＝m2（x﹣y）﹣n2（x﹣y）
＝（x﹣y）（m2﹣n2）
＝（x﹣y）（m+n）（m﹣n）．
【点评】此题考查的是因式分解，掌握提公因式法与公式法进行因式分解是解决此题关键．
24．（2023秋•广水市期末）分解因式：
（1）8a3b2+12ab3c；
（2）9x2﹣a2﹣2a﹣1．
【分析】（1）先将公因式找到，公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项的相同的字母，且各字母的指数取次数最低的，再将公因式提出来；
（2）观察本式，将原式变形为9x2﹣（a2+2a+1），再把a2+2a+1依据完全平方公式进行因式分解为（a+1）2，再依据平方差公式进行因式分解．
【解答】解：（1）原式＝4ab2（2a2+3bc）；
（2）原式＝9x2﹣（a2+2a+1）
＝9x2﹣（a+1）2
＝（3x+a+1）（3x﹣a﹣1）．
【点评】本题考查了运用提取公因式法和公式法进行因式分解，解题的关键是准确找出多项式中的公因式，以及熟练掌握完全平方公式和平方差公式．
25．（2023秋•丰泽区校级期末）因式分解：
（1）2x（x﹣3）﹣8；
（2）a2﹣b2﹣6a+9．
【分析】（1）先展开，再分解；
（2）先分组，用完全平方公式后，再用平方差公式分解．
【解答】解：（1）原式＝2x2﹣6x﹣8
＝2（x2﹣3x﹣4）
＝2（x+1）（x﹣4）．
（2）原式＝（a2﹣6a+9）﹣b2
＝（a﹣3）2﹣b2
＝（a﹣b﹣3）（a+b﹣3）．
【点评】本题考查因式分解．解题关键在于观察式子特点，选择正确的分解方法．注意有公因式的先提取公因式．
26．（2023秋•永吉县期末）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．
（1）利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a2x+a2y+b2x+b2y．
（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝ （a+b+1）（a+b﹣1） （直接写出结果）．
【分析】（1）①直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；
②直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；
（2）将前三项利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）①原式＝（3m﹣3y）+（am﹣ay）
＝3（m﹣y）+a（m﹣y）
＝（m﹣y）（3+a）；
②原式＝（a2x+a2y）+（b2x+b2y）
＝a2（x+y）+b2（x+y）
＝（x+y）（a2+b2）；
（2）a2+2ab+b2﹣1
＝（a+b）2﹣1
＝（a+b+1）（a+b﹣1）．
故答案为：（a+b+1）（a+b﹣1）．
【点评】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．
27．（2023秋•方城县期末）下面是某同学对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程，
解：设x2﹣2x＝y
原式＝（y﹣1）（y+3）+4（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2﹣2x+1）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了 C ．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ 不彻底 （填“彻底”或者“不彻底”）
若不彻底．请直接写出因式分解的最后结果 （x﹣1）4 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解．
【分析】（1）根据完全平方公式得出即可；
（2）根据完全平方公式得出即可；
（3）先换元，再分解因式，再代入，最后求出即可．
【解答】解：（1）运用了两数和的完全平方公式，
故选：C；
（2）原式＝[（x﹣1）2]2＝（x﹣1）4，
故答案为：不彻底，（x﹣1）4；
（3）设x2﹣4x＝y，
原式＝y（y+8）+16
＝y2+8y+16
＝（y+4）2
＝（x2﹣4x+4）2
＝（x﹣2）4，
即（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16＝（x﹣2）4．
【点评】本题考查了分解因式，能正确运用完全平方公式进行分解因式是解此题的关键，注意：a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
28．（2023秋•郧阳区期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．
再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（2x﹣3y）+（2x﹣3y）2．
（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；
【分析】（1）将（2x﹣3y）看作一个整体，利用完全平方公式进行因式分解．
（2）令A＝a+b，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解．
【解答】解：（1）原式＝（1+2x﹣3y）2．
（2）令A＝a+b，则原式变为A（A﹣4）+4＝A2﹣4A+4＝（A﹣2）2，
故（a+b）（a+b﹣4）+4＝（a+b﹣2）2．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
29．（2023秋•江陵县期末）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子x2+3x+2分解因式．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2．
所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．
解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：x2+5x﹣24＝ （x﹣3）（x+8） ；
（2）若x2+px+6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是 ±5，±7 ；
（3）利用上面因式分解方法解方程：x2﹣4x﹣21＝0．
【分析】（1）仿照例题的方法，这个式子的常数项﹣24＝﹣3×8，一次项系数5＝﹣3+8，然后进行分解即可；
（2）仿照例题的方法，这个式子的常数项6＝﹣3×（﹣2），6＝3×2，6＝﹣1×（﹣6），6＝1×6，然后进行计算求出p的所有可能值即可；
（3）仿照例题的方法，这个式子的常数项﹣21＝﹣7×3，一次项系数﹣4＝﹣7+3，然后进行分解计算即可．
【解答】解：（1）x2+5x﹣24＝x2+（﹣3+8）x+（﹣3）×8＝（x﹣3）（x+8），
故答案为：（x﹣3）（x+8）；
（2）∵6＝﹣3×（﹣2），6＝3×2，6＝﹣1×（﹣6），6＝1×6，
∴p＝﹣3+（﹣2）＝﹣5，p＝3+2＝5，p＝﹣1+（﹣6）＝﹣7，p＝1+6＝7，
∴若x2+px+6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是：±5，±7，
故答案为：±5，±7；
（3）x2﹣4x﹣21＝0，
（x﹣7）（x+3）＝0，
（x﹣7）＝0或（x+3）＝0，
∴x1＝7，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，理解并掌握x2+（p+q）x+p＝（x+p）（x+q）是解题的关键．
题组B 能力提升练
一．填空题（共6小题）
1．（2020•浙江自主招生）分解因式：2x2+7xy﹣15y2﹣3x+11y﹣2＝ （x+5y﹣2）（2x﹣3y+1） ．
【分析】因2x2+7xy﹣15y2＝（x+5y）（2x﹣3y），故可设2x2+7xy﹣15y2﹣3x+11y﹣2＝（x+5y+a）（2x﹣3y+b），根据十字相乘法的逆运算解答．
【解答】解：∵2x2+7xy﹣15y2＝（x+5y）（2x﹣3y），
∴可设2x2+7xy﹣15y2﹣3x+11y﹣2＝（x+5y+a）（2x﹣3y+b），a、b为待定系数，
∴2a+b＝﹣3，5b﹣3a＝11，ab＝﹣2，
解得a＝﹣2，b＝1，
∴原式＝（x+5y﹣2）（2x﹣3y+1）．
故答案为：（x+5y﹣2）（2x﹣3y+1）．
【点评】此题主要考查分组分解法分解因式，综合利用了十字相乘法，难度较大，要灵活对待．
2．（2020•浙江自主招生）分解因式：x2﹣2x﹣2y2+4y﹣xy＝ （x﹣2y）（x+y﹣2） ．
【分析】把x2﹣xy﹣2y2三项分为一组，可用十字相乘法继续分解，﹣2x+4y分为一组，可提公因式，再进一步分解即可．
【解答】解：原式＝（x2﹣xy﹣2y2）+（﹣2x+4y），
＝（x﹣2y）（x+y）﹣2（x﹣2y），
＝（x﹣2y）（x+y﹣2）．
故答案为：（x﹣2y）（x+y﹣2）．
【点评】此题主要考查分组分解法分解因式，综合利用了十字相乘法和提公因式法分解因式．
3．（2023春•西湖区校级期中）已知多项式x4+mx+n能分解为（x2+px+q）（x2+2x﹣3），则p＝ ﹣2 ，q＝ 7 ．
【分析】把（x2+px+q）（x2+2x﹣3）展开，找到所有x3和x2的项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．
【解答】解：∵（x2+px+q）（x2+2x﹣3）＝x4+px3+qx2+2x3+2px2+2qx﹣3x2﹣3px﹣3q
＝x4+（p+2）x3+（q+2p﹣3）x2+（2q﹣3p）x﹣3q
＝x4+mx+n．
∴展开式乘积中不含x3、x2项，
∴，解得：．
故答案为：﹣2，7．
【点评】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可．
4．（2023秋•烟台期中）多项式x2﹣8x+m＝（x﹣9）（x﹣n），则m+n＝ ﹣10 ．
【分析】将右边多项式乘多项式的积计算出来，和左边对比求出m，n的值即可．
【解答】解：∵多项式x2﹣8x+m＝（x﹣9）（x﹣n），
∴x2﹣8x+m＝x²+（﹣n﹣9）x+9n．
∴﹣n﹣9＝﹣8，m＝9n．
∴m＝﹣9，n＝﹣1．
∴m+n＝﹣9+（﹣1）＝﹣10．
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查因式分解的应用，根据因式分解前后多项式相同，因而对应项系数相等列出方程组是求解本题的关键．
5．（2023秋•丰台区校级期中）若x2+mx﹣12＝（x+3）（x+n），则m的值 ﹣1 ．
【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可．
【解答】解：已知等式整理得：x2+mx﹣12＝（x+3）（x+n）＝x2+（n+3）x+3n，
∴m＝n+3，﹣12＝3n，
解得：m＝﹣1，n＝﹣4，
故答案为：﹣1
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
6．（2021秋•龙凤区期中）两位同学将同一个二次三项式进行因式分解时，一位同学因看错了一次项系数而分解成（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项而分解成（x﹣2）（x﹣4），则原多项式因式分解的正确结果是： （x﹣3）2 ．
【分析】根据两位同学的结果确定出原多项式，分解即可．
【解答】解：根据题意得：（x﹣1）（x﹣9）＝x2﹣10x+9，（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣6x+8，
原多项式为x2﹣6x+9＝（x﹣3）2．
故答案为：（x﹣3）2．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
二．解答题（共10小题）
7．（2023秋•蕲春县月考）分解因式：
（1）（m+n）2﹣4m（m+n）+4m2；
（2）6x3﹣11x2+x+4
【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式；
（2）先拆项，再分组，用提取公因式及十字相乘法分解因式，再提取公因分解因式．
【解答】解：（1）原式＝[（m+n）﹣2m]2
＝（n﹣m）2；
（2）原式＝6x3﹣6x2﹣5x2+x+4
＝6x2（x﹣1）﹣（5x2﹣x﹣4）
＝6x2（x﹣1）﹣（x﹣1）（5x+4）
＝（x﹣1）（6x2﹣5x﹣4）
＝（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）．
【点评】本题考查了平方差公式，分组分解法分解因式，掌握先把式子拆项，再分解因式．对于一个四项式用分组分解法进行因式分解，难点是采用两两分组还是三一分组，本题后三项可用十字相乘法分解因式是解题关键．
8．（2023秋•泰山区期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．
再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你写出下列因式分解的结果：
（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2＝ （1﹣x+y）2 ；
（2）因式分解：25（a﹣1）2﹣10（a﹣1）+1＝ （5a﹣6）2 ；
（3）因式分解：（y2﹣4y）（y2﹣4y+8）+16＝ （y﹣2）4 ．
【分析】（1）设x﹣y＝a，原式变形为1﹣2a+a2，用完全平方公式分解因式，再把x﹣y＝a代入原式；
（2）设a﹣1＝m，原式变形为25m2﹣10m+1，用完全平方公式分解因式，再把a﹣1＝m代入原式；
（3）设y2﹣4y＝a，原式变形为a（a+8）+16，去括号后用完全平方公式分解因式，再把y2﹣4y＝a代入原式．
【解答】解：（1）设x﹣y＝a，
原式＝1﹣2a+a2＝（1﹣a）2；
将x﹣y＝a代入，原式＝（1﹣x+y）2；
（2）设a﹣1＝m，
原式＝25m2﹣10m+1＝（5m﹣1）2；
a﹣1＝m代入，原式＝（5a﹣6）2；
（3）设y2﹣4y＝a，
原式＝a（a+8）+16
＝a2+8a+16
＝（a+4）2，
将y2﹣4y＝a代入，原式＝（y2﹣4y+4）2＝（y﹣2）4．
故答案分别为：（1﹣x+y）2；（5a﹣6）2；（y﹣2）4．
【点评】本题主要考查了因式分解﹣分组分解法、提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，整体思想在因式分解中的应用是解题关键．
9．（2023春•平顶山期末）把下列各式因式分解：
（1）x2+2xy+y2﹣c2；
（2）b2（a﹣2）+b（2﹣a）．
【分析】（1）先分组，再分解．
（2）先将b2（a﹣2）+b（2﹣a）变形为b2（a﹣2）﹣b（a﹣2），再运用提公因式法．
【解答】解：（1）x2+2xy+y2﹣c2
＝（x+y）2﹣c2
＝（x+y+c）（x+y﹣c）．
（2）b2（a﹣2）+b（2﹣a）
＝b2（a﹣2）﹣b（a﹣2）
＝b（a﹣2）（b﹣1）．
【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握运用公式法、提公因式法以及分组分解法进行因式分解是解决本题的关键．
10．（2023春•商河县校级期末）观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）．
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
（1）m3﹣2m2﹣4m+8．
（2）x2﹣2xy+y2﹣9．
【分析】（1）原式两项两项结合后，提取公因式即可；
（2）原式前三项结合，利用完全平方公式变形，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝m2（m﹣2）﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）2（m+2）；
（2）原式＝（x﹣y）2﹣9＝（x﹣y+3）（x﹣y﹣3）．
【点评】此题考查了因式分解﹣分组分解法，此方法因式分解方法灵活，注意认真观察各项之间的联系．
11．（2019秋•西岗区期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
【分析】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可．
【解答】解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16
＝（x﹣y）2﹣42
＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；
（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0
∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，
∴a＝b或a＝c，
∴△ABC的形状是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键．
12．（2019春•邵东县期中）观察下列因式分解的过程：
（1）x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）
（2）a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）
（1）请仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：
①ad﹣ac﹣bd+bc
②x2﹣y2﹣6x+9
（2）请运用上述分解因式的方法，把多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式．
【分析】（1）①利用分组后直接提公因式分解；
②利用分组后直接运用公式分解；
（2）把1+x添加括号，利用分组后直接提取公因式（1+x），反复运算得结论．
【解答】（1）①原式＝（ad﹣ac）﹣（bd﹣bc）
＝a（d﹣c）﹣b（d﹣c）
＝（d﹣c）（a﹣b）
②原式＝（x2﹣6x+9）﹣y2
＝（x﹣3）2﹣y2
＝（x﹣3+y）（x﹣3﹣y）
（2）原式＝1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n
＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n
＝（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n﹣1]
＝（1+x）（1+x）n
＝（1+x）n+1
【点评】本题主要考查了多项式因式分解的分组分解法．掌握分组后直接提起公因式和分组后直接运用公式，是解决本题的关键．
13．（2023秋•建昌县期末）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：
（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．
而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．
通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子x2+2x﹣3分解因式．这个式子的二次项系数是1＝1×1，常数项﹣3＝（﹣1）×3，一次项系数2＝（﹣1）+3，可以用下图十字相乘的形式表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
（1）x2+7x+10＝ （x+2）（x+5） ；
（2）x2﹣2x﹣3＝ （x﹣3）（x+1） ；
（3）y2﹣7y+12＝ （y﹣3）（y﹣4） ；
（4）x2+7x﹣18＝ （x+9）（x﹣2） ．
【分析】（1）把10分解成2×5；
（2）把﹣3分解成﹣3×1；
（3）把12分解成（﹣3）×（﹣4）；
（4）把﹣18分解成（﹣2）×9；
【解答】（1）x2+7x+10＝（x+2）（x+5）；
（2）x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）；
（3）y2﹣7y+12＝（y﹣3）（y﹣4）；
（4）x2+7x﹣18＝（x+9）（x﹣2）．
故答案为：（1）（x+2）（x+5），（2）（x﹣3）（x+1），（3）（y﹣3）（y﹣4），（4）（x+9）（x﹣2）．
【点评】本题主要考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法分解因式的方法，根据题意可知a、b是相互独立的，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值，是解题关键．
14．（2023•寻乌县模拟）已知：整式A＝x（x+3）+5，整式B＝ax﹣1．
（1）若A+B＝（x+2）2，求a的值；
（2）若A﹣B可以分解为（x﹣2）（x﹣3），求A+B．
【分析】（1）由A＝x（x+3）+5＝x2+3x+5，得A+B＝x2+3x+5+ax﹣1＝x2+（3+a）+4，那么（x+2）2＝x2+4x+4＝x2+（3+a）+4．，从而求得a．
（2）由A﹣B＝x2+3x+5﹣（ax﹣1）＝x2+（3﹣a）+6，得x2+（3﹣a）+6＝（x﹣2）（x﹣3），进而解决此题．
【解答】解：（1）∵A＝x（x+3）+5＝x2+3x+5，
∴A+B＝x2+3x+5+ax﹣1＝x2+（3+a）x+4．
∵A+B＝（x+2）2，
∴A+B＝（x+2）2＝x2+4x+4＝x2+（3+a）x+4．
∴3+a＝4．
∴a＝1．
（2）由（1）得：A＝x2+3x+5．
∴A﹣B＝x2+3x+5﹣（ax﹣1）＝x2+（3﹣a）x+6．
∴x2+（3﹣a）+6＝（x﹣2）（x﹣3）．
∴x2+（3﹣a）x+6＝x2﹣5x+6．
∴3﹣a＝﹣5．
∴a＝8．
∴A+B＝x2+11x+4．
【点评】本题主要考查整式的运算，熟练掌握单项式乘多项式、多项式乘多项式、完全平方公式以及平方差公式是解决本题的关键．
15．（2023春•渠县校级期末）因式分解：x2﹣2xy+y2﹣25．
【分析】根据分组分解法的法则原则将x2﹣2xy+y2为一组，﹣25为一组，再利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝（x2﹣2xy+y2）﹣25
＝（x﹣y）2﹣52
＝（x﹣y+5）（x﹣y﹣5）．
【点评】本题考查分组分解法分解因式，掌握分组分解法的分组原则，即因式分解在组内能进行，在组与组之间也能进行，是正确解答的关键．
16．（2023秋•惠安县期末）因式分解与整式乘法互为逆运算．如对多项式x2﹣7x+12进行因式分解：
首先，如果一个多项式能进行因式分解，则这个多项式可看作是有两个较低次多项式相乘得来的．故可写成x2﹣7x+12＝（x+a）（x+b），即x2﹣7x+12＝x2+（a+b）x+ab（对任意实数x成立），由此得a+b＝﹣7，ab＝12．易得一组解：a＝﹣3，b＝﹣4，所以x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4）．像这种能把一个多项式进行因式分解的方法，称为待定系数法．
（1）因式分解：x2﹣15x﹣34＝ （x﹣17）（x+2） ．
（2）因式分解：x3﹣3x2+4＝（x+a）（x2+bx+c），请写出一组满足要求的a，b，c的值： a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣2 ．
（3）请你运用待定系数法，把多项式3m2+5mn﹣2n2+m+9n﹣4进行因式分解．
【分析】（1）用十字相乘法分解．
（2）用待定系数法分解．
（3）先分组，再用待定系数法分解．
【解答】解：（1）x2﹣15x﹣34
＝x2+（﹣17+2）x+（﹣17×2）
＝（x﹣17）（x+2）．
故答案为：（x﹣17）（x+2）．
（2）∵（x+a）（x2+bx+c）＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac．
∴x3﹣3x2+4＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac．
∴a+b＝﹣3，ab+c＝0，ac＝4．
解得：a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣2或a＝1，b＝﹣4，c＝4．
故选填一组即可．
故答案为：a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣2．
（3）原式＝3m2+（5n+1）m﹣（2n2﹣9n+4）
＝（3×1）m2+[3×（2n﹣1）﹣（n﹣4）]﹣（2n﹣1）（n﹣4）
＝（3m﹣n+4）（m+2n﹣1）．
【点评】本题考查因式分解，正确使用待定系数法是求解本题的关键．
题组C 培优拔尖练
一．填空题（共2小题）
1．（2020•衡阳县自主招生）分解因式：x3﹣3x2﹣6x+8＝ （x﹣4）（x+2）（x﹣1） ．
【分析】先将﹣3x2转化为﹣4x2+x2，然后再用分组分解法和十字相乘法进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝x3﹣4x2+x2﹣6x+8
＝x2（x﹣4）+（x﹣4）（x﹣2）
＝（x﹣4）（x2+x﹣2）
＝（x﹣4）（x+2）（x﹣1）．
故答案为：（x﹣4）（x+2）（x﹣1）．
【点评】本题考查了因式分解的分组分解法和十字相乘法等．借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．
掌握x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解是解题关键．
2．（2023春•历下区期中）分解因式：x6﹣28x3+27＝ （x﹣1）（x2+x+1）（x﹣3）（x2+3x+9） ．
【分析】利用整体思想及十字相乘法与立方差公式求解．
【解答】解：原式＝（x3）2﹣28x3+27，
＝（x3﹣1）（x3﹣27），
＝（x﹣1）（x2+x+1）（x﹣3）（x2+3x+9）．
故答案为：（x﹣1）（x2+x+1）（x﹣3）（x2+3x+9）．
【点评】本题考查因式分解，解题关键是熟练掌握十字相乘与立方差公式．
二．解答题（共12小题）
3．（2023春•马鞍山期末）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．
①分解因式：ab﹣a﹣b+1；
②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，求a+b的值；
（2）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，s＝a2+3ab+b2+3a﹣b，求s的最小值．
【分析】（1）①先分组，再运用提公因式法进行因式分解．
②现将ab﹣a﹣b﹣4＝0变形为ab﹣a﹣b+1＝5，即（a﹣1）（b﹣1）＝5，然后再解决本题．
（2）先将ab﹣a﹣b﹣4＝0变形为ab＝a+b+4，再代入S，然后进行变形，得到S＝．最后，探究S的最小值．
【解答】解：（1）①ab﹣a﹣b+1
＝（ab﹣a）﹣（b﹣1）
＝a（b﹣1）﹣（b﹣1）
＝（a﹣1）（b﹣1）．
②由题得ab﹣a﹣b+1＝5，即（a﹣1）（b﹣1）＝5．
∵a，b为正整数且a＞b，
∴，即．
∴a+b＝8．
（2）由题得ab＝a+b+4．
∴
＝
＝
＝．
∵，
∴（当且仅当时取等号）．
经验证：满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，
综上，s的最小值为．
【点评】本题主要考查分组分解法进行因式分解，熟练掌握运用提公因式法以及公式法进行因式分解是解决本题的关键．
4．阅读下列文字与例题
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法
例如：
（1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）；
（2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）．
试用上述方法分解因式：
（1）x2+xy﹣2xz﹣2yz
（2）x2﹣4y2﹣6x﹣4y+8
（3）m2﹣4mn﹣3m+6n+4n2．
【分析】（1）前两项和后两项分别分组，分组后再提取公因式；
（2）把8分成9和﹣1，然后分组为（x2﹣6x+9）﹣（4y2+4y+1），分组后利用平方差公式；
（3）多项式三二分组为（m2﹣4mn+4n2）﹣3m+6n，分组后提取公因式》
【解答】解：（1）x2+xy﹣2xz﹣2yz
＝（x2+xy）﹣（2xz+2yz）
＝x（x+y）﹣2z（x+y）
＝（x+y）（x﹣2z）；
（2）x2﹣4y2﹣6x﹣4y+8
＝（x2﹣6x+9）﹣（4y2+4y+1）
＝（x﹣3）2﹣（2y+1）2
＝（x﹣3+2y+1）（x﹣3﹣2y﹣1）
＝（x+2y﹣2）（x﹣2y﹣4）
（3）m2﹣4mn﹣3m+6n+4n2
＝（m2﹣4mn+4n2）﹣3m+6n
＝（m﹣2n）2﹣3（m﹣2n）
＝（m﹣2n）（m﹣2n﹣3）．
【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
5．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
例1：1+ax+ax（1+ax）＝（1+ax）（1+ax）
＝（1+ax）2；
例2：1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）2＝（1+ax）（1+ax）+ax（1+ax）2
＝（1+ax）2+ax（1+ax）2
＝（1+ax）2（1+ax）
＝（1+ax）3
（1）分解因式：1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）2+…+ax（1+ax）n＝ （1+ax）n+1 ；
（2）分解因式：x﹣1﹣x（x﹣1）+x（x﹣1）2﹣x（x﹣1）3+…﹣x（x﹣1）2003+x（x﹣1）2004
（答题要求：请将第（1）问的答案填写在题中的横线上）
【分析】首先把式子整理，可知是将一个多项式进行因式分解，考虑运用分组分解法．
（1）可以把1+ax分成一组，看作一个整体，反复利用提公因式法就可求解．
（2）可以把x﹣1分成一组，看作一个整体，反复利用提公因式法就可求解．
【解答】解：（1）1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）2+…+ax（1+ax）n，
＝（1+ax）（1+ax）+ax（1+ax）2+…+ax（1+ax）n，
＝（1+ax）2+ax（1+ax）2+…+ax（1+ax）n，
＝（1+ax）2（1+ax）+…+ax（1+ax）n，
＝（1+ax）3+…+ax（1+ax）n，
＝（1+ax）n•（1+ax）
＝（1+ax）n+1；
（2）x﹣1﹣x（x﹣1）+x（x﹣1）2﹣x（x﹣1）3+…﹣x（x﹣1）2003+x（x﹣1）2004，
＝（x﹣1）（1﹣x）+x（x﹣1）2﹣x（x﹣1）3+…﹣x（x﹣1）2003+x（x﹣1）2004，
＝（x﹣1）2（﹣1+x）2﹣x（x﹣1）3+…﹣x（x﹣1）2003+x（x﹣1）2004，
＝（x﹣1）2（1﹣x）+…﹣x（x﹣1）2003+x（x﹣1）2004，
＝（x﹣1）2005．
【点评】本题考查了分组分解法分解因式，关键是将原式转化为（x﹣1）n的形式，解题时要有构造意识和想象力．
6．（2023春•永定区期中）先阅读，再因式分解：x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2），按照这种方法把多项式x4+324因式分解．
【分析】原式变形后，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：x4+324＝x4+36x2+324﹣36x2
＝（x2+18）2﹣36x2
＝（x2+18）2﹣（6x）2
＝（x2+18+6x）（x2+18﹣6x）．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，以及运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
7．（2019秋•平山县期末）对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．
（1）求式子中m、n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．
【分析】（1）根据x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），得出有关m，n的方程组求出即可；
（2）由把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案．
【解答】解：（1）在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），中，
分别令x＝0，x＝1，
即可求出：m＝﹣3，n＝﹣5
（2）把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，
则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，
用上述方法可求得：a＝4，b＝4，
所以x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+4x+4），
＝（x+1）（x+2）2．
解法二：把x＝﹣2代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，
则多项式可分解为（x+2）（x2+ax+b）的形式，
用上述方法可求得：a＝3，b＝2，
所以x3+5x2+8x+4＝（x+2）（x2+3x+2），
＝（x+1）（x+2）2．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，根据已知获取正确的信息，是近几年中考中热点题型同学们应熟练掌握获取正确信息的方法．
8．（2018秋•涿鹿县期末）阅读与思考
x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解
x2+（p+q）x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子分解因式呢？
我们通过学习，利用多项式的乘法法则可知：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，因式分解是整式乘法相反方向的变形，利用这种关系可得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
利用这个结果可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如，将x2﹣x﹣6分解因式．这个式子的二次项系数是1，常数项﹣6＝2×（﹣3），一次项系数﹣1＝2+（﹣3），因此这是一个x2+（p+q）x+pq型的式子．所以x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）．
上述过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．
这样我们也可以得到x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．
请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：
（1）分解因式：y2﹣2y﹣24．
（2）若x2+mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，请直接写出整数m的所有可能值．
【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式得出答案；
（2）利用十字相乘法分解因式得出所有的可能．
【解答】解：（1）y2﹣2y﹣24＝（y+4）（y﹣6）；
（2）若x2+mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，
m的值可能是﹣1，1，﹣4，4，11，﹣11．
【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．
9．（2019春•岳阳期中）已知二次三项式x2+px+q的常数项与（x﹣1）（x﹣9）的常数项相同，而它的一次项与（x﹣2）（x﹣4）的一次项相同，试将此多项式因式分解．
【分析】先计算出（x﹣1）（x﹣9）与（x﹣2）（x﹣4），根据二次三项式x2+px+q的常数项与（x﹣1）（x﹣9）的常数项相同，一次项与（x﹣2）（x﹣4）的一次项相同，确定二次三项式，再因式分解．
【解答】解：（x﹣1）（x﹣9）＝x2﹣10x+9，
由于二次三项式x2+px+q的常数项与（x﹣1）（x﹣9）的常数项相同，
∴q＝9，
（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣6x+8，
由于二次三项式x2+px+q的一次项与（x﹣2）（x﹣4）的一次项相同，
∴p＝﹣6．
∴原二次三项式是x2﹣6x+9．
∴x2﹣6x+9＝（x﹣3）2．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式和多项式的因式分解．解决本题的关键是根据题目条件确定二次三项式．
10．（2017秋•微山县期末）【阅读材料】
对于二次三项式a2+2ab+b2可以直接分解为（a+b）2的形式，但对于二次三项式a2+2ab﹣8b2，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式a2+2ab﹣8b2中先加上一项b2，使其成为完全平方式，再减去b2这项，（这里也可把﹣8b2拆成+b2与﹣9b2的和），使整个式子的值不变．
于是有：a2+2ab﹣8b2
＝a2+2ab﹣8b2+b2﹣b2
＝（a2+2ab+b2）﹣8b2﹣b2
＝（a+b）2﹣9b2
＝[（a+b）+3b][（a+b）﹣3b]
＝（a+4b）（a﹣2b）
我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
【应用材料】
（1）上式中添（拆）项后先把完全平方式组合在一起，然后用 公式 法实现分解因式．
（2）请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式：
①m2+6m+8；②a4+a2b2+b4
【分析】（1）根据解题步骤及因式分解的步骤解答即可得；
（2）①将原式变形为m2+6m+9﹣1＝（m+3）2﹣12分解可得；②将原式变形为a4+2a2b2+b4﹣a2b2＝（a2+b2）2﹣（ab）2再进一步分解可得．
【解答】解：（1）上式中添（拆）项后先把完全平方式组合在一起，然后用公式法实现分解因式．
故答案为：公式；
（2）①m2+6m+8
＝m2+6m+9﹣1
＝（m+3）2﹣12
＝（m+3+1）（m+3﹣1）
＝（m+4）（m+2）；
②a4+a2b2+b4
＝a4+2a2b2+b4﹣a2b2
＝（a2+b2）2﹣（ab）2
＝（a2+b2+ab）（a2+b2﹣ab）．
【点评】本题主要考查因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式及因式分解的步骤．
11．（2018春•安丘市期末）阅读下面的材料，解答提出的问题：
已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），由题意，得：
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：m＝﹣21，n＝﹣7
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
提出问题：
（1）已知：二次三项式x2+5x﹣p有一个因式是（x﹣1），求p的值．
（2）已知：二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式及k的值．
【分析】（1）利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案；
（2）利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案．
【解答】解：（1）设另一个因式为（x+n），由题意，得：
x2+5x﹣p＝（x﹣1）（x+n）
则x2+5x﹣p＝x2+（n﹣1）x﹣n
∴．
解得：，
∴另一个因式为（x+6），p的值为6；
（2）设另一个因式为（2x+m），由题意，得：
2x2+3x﹣k＝（x﹣5）（2x+m）
则2x2+3x﹣k＝2x2+（m﹣10）x﹣5m
∴．
解得：，
∴另一个因式为（2x+13），k的值为65．
【点评】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，正确假设出另一个因式是解题关键．
12．（2017春•兴化市期末）已知A＝2a﹣7，B＝a2﹣4a+3，C＝a2+6a﹣28，其中a＞2．
（1）求证：B﹣A＞0，并指出A与B的大小关系；
（2）阅读对B因式分解的方法：
解：B＝a2﹣4a+3＝a2﹣4a+4﹣1＝（a﹣2）2﹣1＝（a﹣2+1）（a﹣2﹣1）＝（a﹣1）（a﹣3）．
请完成下面的两个问题：
①仿照上述方法分解因式：x2﹣4x﹣96；
②指出A与C哪个大？并说明你的理由．
【分析】（1）由B﹣A＝a2﹣4a+3﹣2 a+7＝a2﹣6a+10＝（a﹣3）2+1＞0可得；
（2）①根据x2﹣4x﹣96＝x2﹣4x+4﹣100＝（x﹣2）2﹣102，再利用平方差公式分解可得；
②由C﹣A＝a2+6a﹣28﹣2a+7＝a2+4a﹣21＝（a+7）（a﹣3）．再分类讨论可得．
【解答】解：（1）∵B﹣A＝a2﹣4a+3﹣2 a+7＝a2﹣6a+10＝（a﹣3）2+1＞0，
∴B＞A；
（2）①x2﹣4x﹣96＝x2﹣4x+4﹣100＝（x﹣2）2﹣102＝（x﹣2+10）（x﹣2﹣10）＝（x+8）（x﹣12）；
②C﹣A＝a2+6a﹣28﹣2a+7＝a2+4a﹣21＝（a+7）（a﹣3）．
因为a＞2，
所以a+7＞0，
从而当2＜a＜3时，A＞C；
当a＝3时，A＝C；
当a＞3时，A＜C．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法、十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，注意整体思想的运用是解题的关键．
13．（2023秋•徐闻县期末）阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
【分析】（1）利用十字相乘法变形即可得；
（2）①根据材料2的整体思想可以对（x﹣y）2+4（x﹣y）+3分解因式；
②根据材料1和材料2可以对m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3分解因式．
【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；
（2）①令A＝x﹣y，
则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），
所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；
②令B＝m2+2m，
则原式＝B（B﹣2）﹣3
＝B2﹣2B﹣3
＝（B+1）（B﹣3），
所以原式＝（m2+2m+1）（m2+2m﹣3）
＝（m+1）2（m﹣1）（m+3）．
【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，可以根据材料中的例子对所求的式子进行因式分解．
14．（2018秋•安陆市期末）分解因式：x2+12x﹣189，分析：由于常数项数值较大，则将x2+12x﹣189变为完全平方公式，再运用平方差公式进行分解，这样简单易行．
x2+12x﹣189＝x2+2*6x+62﹣36﹣189
＝（x+6）2﹣225
＝（x+6）2﹣152
＝（x+6+15）（x+6﹣15）
＝（x+21）（x﹣9）
请按照上面的方法分解因式：x2﹣60x+884．
【分析】先利用完全平方公式把多项式变为A2﹣B2的形式，再利用平方差公式分解因式．
【解答】解：x2﹣60x+884＝x2﹣2×30x+900﹣900+884＝（x﹣30）2﹣16＝（x﹣30+4）（x﹣30﹣4）＝（x﹣26）（x﹣34）．
【点评】本题考查因式分解，完全平方公式，平方差公式等知识，解题的关键是灵活运用完全平方公式，把多项式变为A2﹣B2的形式，再利用平方差公式分解因式，属于中考常考题型．
理解分组分解法十字相乘法和的概念，掌握十字相乘法分解二次项系数为1 的二次三项式，能够用分组分解法分解含有四项以上的多项式．重点能够灵活运用十字相乘法与分组分解方法进行分解因式，能够与前两种的方法相结合．难点能够总结归纳这两种方法所针对的多项式，可以在分解因式的时候快速确定方法．
知识精讲
知识点01 因式分解-分组分解法
1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．
例如：①ax+ay+bx+by
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy﹣x2+1﹣y2
＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1
＝1﹣（x﹣y）2
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）
【知识拓展1】（2023秋•十堰期末）下列多项式中，不能在有理数范围进行因式分解的是（ ）
A．﹣a2+b2B．﹣a2﹣b2
C．a3﹣3a2+2aD．a2﹣2ab+b2﹣1
【即学即练1】（2023秋•平昌县期末）下列因式分解错误的是（ ）
A．2a﹣2b＝2（a﹣b）
B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
C．a2+4a﹣4＝（a﹣2）2
D．x2﹣2x+1﹣y2＝（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）
【知识拓展2】（2023秋•广水市期末）分解因式：
9x2﹣a2﹣2a﹣1．
【即学即练1】（2023秋•丰泽区校级期末）因式分解：
a2﹣b2﹣6a+9．
【即学即练2】（2023秋•宝山区期末）分解因式：x3+2x2y﹣9x﹣18y．
【即学即练3】（2023秋•普陀区期末）因式分解：1﹣a2﹣4b2+4ab．
【即学即练4】（2023秋•浦东新区期末）分解因式：xy2﹣x﹣y2+1．
知识点02 因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
【知识拓展1】（2023秋•弋江区期末）分解因式x2﹣5x﹣14，正确的结果是（ ）
A．（x﹣5）（x﹣14）B．（x﹣2）（x﹣7）
C．（x﹣2）（x+7）D．（x+2）（x﹣7）
【即学即练1】（2023秋•应城市期末）将多项式x2﹣2x﹣8分解因式，正确的是（ ）
A．（x+2）（x﹣4）B．（x﹣2）（x﹣4）C．（x+2）（x+4）D．（x﹣2）（x+4）
【即学即练2】（2023•阿荣旗一模）把多项式18x2﹣12x+2分解因式的结果是 ．
【即学即练3】（2023秋•新抚区期末）分解因式：a2﹣2a﹣8＝ ．
【即学即练4】（2023秋•宝山区期末）分解因式：x2+4x﹣21＝ ．
【知识拓展2】（2023秋•普兰店区期末）若x2+ax﹣14＝（x+2）（x﹣7），则a＝ ．
【即学即练1】（2023秋•淮阳区期末）甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为 ．
【即学即练2】（2023秋•新泰市期中）提出问题：你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？
探究问题：如图1所示，设a，b为常数，由面积相等可得：（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，就可以对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．观察多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．
解决问题：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+3）（x+2）．
运用结论：
（1）基础运用：把多项式x2+4x﹣21进行因式分解．
（2）知识迁移：对于多项式4x2﹣4x﹣15进行因式分解还可以这样思考：
将二次项4x2分解成如图2所示中的两个2x的积，再将常数项﹣15分解成﹣5与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为﹣4x，就是4x2﹣4x﹣15的一次项，所以有4x2﹣4x﹣15＝（2x﹣5）（2x+3）．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．
请用十字相乘法进行因式分解：①3x2﹣19x﹣14；②6a2﹣13ab+6b2．
能力拓展
1．（2023秋•永吉县期末）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．
（1）利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a2x+a2y+b2x+b2y．
（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝ （直接写出结果）．
2．（2023秋•微山县期末）【知识背景】
八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
【方法探究】
对于多项式x2+（p+q）x+pq我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq分解成p与q的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数+（p+q）．
所以x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
例如，分解因式：x2+5x+6．
它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5．
所以x2+5x+6＝（x+2）（x+3）．
类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．
例如，分解因式：2x2﹣x﹣6．
分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项﹣6分解成﹣1与6（或﹣6与1，﹣2与3，﹣3与2）的积，但只有当﹣2与3时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数﹣1．所以2x2﹣x﹣6＝（2x+3）（x﹣2）．
【方法归纳】
一般地，在分解形如关于x的二次三项式ax2+bx+c时，二次项系数a分解成a1与a2的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c分解成c1与c2的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把a1，a2，c1，c2按如图4所示方式排列，当且仅当a1c2+a2c1＝b（一次项系数）时，ax2+bx+c可分解因式．即ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．
【方法应用】
利用上面的方法将下列各式分解因式：
（1）x2﹣5x+6；
（2）10x2+x﹣21；
（3）（x2﹣4x）2+7（x2﹣4x）+12．
3．（2021秋•惠安县期末）因式分解与整式乘法互为逆运算．如对多项式x2﹣7x+12进行因式分解：
首先，如果一个多项式能进行因式分解，则这个多项式可看作是有两个较低次多项式相乘得来的．故可写成x2﹣7x+12＝（x+a）（x+b），即x2﹣7x+12＝x2+（a+b）x+ab（对任意实数x成立），由此得a+b＝﹣7，ab＝12．易得一组解：a＝﹣3，b＝﹣4，所以x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4）．像这种能把一个多项式进行因式分解的方法，称为待定系数法．
（1）因式分解：x2﹣15x﹣34＝ ．
（2）因式分解：x3﹣3x2+4＝（x+a）（x2+bx+c），请写出一组满足要求的a，b，c的值： ．
（3）请你运用待定系数法，把多项式3m2+5mn﹣2n2+m+9n﹣4进行因式分解．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共10小题）
1．（2023春•吉安县期末）若m＞﹣1，则多项式m3﹣m2﹣m+1的值为（ ）
A．正数B．负数C．非负数D．非正数
2．（2023秋•十堰期末）下列多项式中，不能在有理数范围进行因式分解的是（ ）
A．﹣a2+b2B．﹣a2﹣b2
C．a3﹣3a2+2aD．a2﹣2ab+b2﹣1
3．（2023秋•平昌县期末）下列因式分解错误的是（ ）
A．2a﹣2b＝2（a﹣b）
B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
C．a2+4a﹣4＝（a﹣2）2
D．x2﹣2x+1﹣y2＝（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）
4．（2023秋•越秀区期末）若x2+x﹣12＝（x+p）（x+q），则p，q的值分别为（ ）
A．p＝3，q＝4B．p＝﹣3，q＝4C．p＝3，q＝﹣4D．p＝﹣3，q＝﹣4
5．（2023秋•临沂期末）多项式x2﹣8x+m＝（x﹣9）（x﹣n），则m，n的值为（ ）
A．m＝9，n＝1B．m＝9，n＝﹣1C．m＝﹣9，n＝﹣1D．m＝﹣9，n＝1
6．（2023秋•芜湖期末）下列因式分解结果正确的是（ ）
A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4）B．4x2﹣y2＝（4x+y）（4x﹣y）
C．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2D．x2﹣5x﹣6＝（x﹣2）（x﹣3）
7．（2023秋•博白县期末）下列因式分解错误的是（ ）
A．2a﹣2b＝2（a﹣b）B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
C．a2+4a﹣4＝（a﹣2）2D．﹣x2﹣x+2＝﹣（x﹣1）（x+2）
8．（2023秋•监利市期末）因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（ ）
A．1B．4C．11D．12
9．（2023秋•微山县期末）已知关于x的二次三项式2x2+bx+a分解因式的结果是（x+1）（2x﹣3），则代数式ab的值为（ ）
A．﹣3B．﹣1C．﹣D．
10．（2023秋•弋江区期末）分解因式x2﹣5x﹣14，正确的结果是（ ）
A．（x﹣5）（x﹣14）B．（x﹣2）（x﹣7）
C．（x﹣2）（x+7）D．（x+2）（x﹣7）
二．填空题（共9小题）
11．（2023春•碑林区校级月考）分解因式：a2﹣b2+ab2﹣a2b＝ ．
12．（2023•广饶县一模）因式分解：（m﹣n）a2+（n﹣m）b2＝ ．
13．（2023•邵阳模拟）把（a﹣2b）+（a2﹣4b2）因式分解的结果是 ．
14．（2020秋•齐河县期末）分解因式：y2﹣x2﹣2x﹣1＝ ．
15．（2023•怀宁县模拟）因式分解：4x2﹣y2+2y﹣1＝ ．
16．（2023•宣城模拟）已知m，n，p均为实数，若x﹣1，x+4均为多项式x3+mx2+nx+p的因式，则2m﹣2n﹣p+86＝ ．
17．（2023秋•普兰店区期末）若x2+ax﹣14＝（x+2）（x﹣7），则a＝ ．
18．（2023秋•鞍山期末）观察下列因式分解中的规律：
①x2+3x+2＝（x+1）（x+2）；
②x2+7x+10＝（x+2）（x+5）；
③x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；
④x2﹣2x﹣8＝（x+2）（x﹣4）；
利用上述系数特点分解因式x2+x﹣6＝ ．
19．（2023秋•隆昌市校级期末）若多项式x2+ax+6可分解为（x+2）（x+b），则a+b的值为 ．
三．解答题（共10小题）
20．（2020秋•广安期末）分解因式：4（m﹣n）a2+（n﹣m）b2．
21．（2023秋•硚口区期末）因式分解：
（1）x2y﹣4y；
（2）﹣2x2+8xy﹣8y2；
（3）（x﹣2）（x+3）﹣6x．
22．（2023秋•荔湾区期末）分解因式：
（1）x3y﹣9xy；
（2）x2（x﹣y）+2x（y﹣x）﹣（y﹣x）．
23．（2023秋•克东县期末）因式分解：
（1）（a+3）（a﹣7）+21；
（2）m2（x﹣y）+n2（y﹣x）．
24．（2023秋•广水市期末）分解因式：
（1）8a3b2+12ab3c；
（2）9x2﹣a2﹣2a﹣1．
25．（2023秋•丰泽区校级期末）因式分解：
（1）2x（x﹣3）﹣8；
（2）a2﹣b2﹣6a+9．
26．（2023秋•永吉县期末）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．
（1）利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a2x+a2y+b2x+b2y．
（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝ （直接写出结果）．
27．（2023秋•方城县期末）下面是某同学对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程，
解：设x2﹣2x＝y
原式＝（y﹣1）（y+3）+4（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2﹣2x+1）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了 ．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或者“不彻底”）
若不彻底．请直接写出因式分解的最后结果 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解．
28．（2023秋•郧阳区期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．
再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（2x﹣3y）+（2x﹣3y）2．
（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；
29．（2023秋•江陵县期末）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子x2+3x+2分解因式．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2．
所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．
解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：x2+5x﹣24＝ ；
（2）若x2+px+6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是 ；
（3）利用上面因式分解方法解方程：x2﹣4x﹣21＝0．
题组B 能力提升练
一．填空题（共6小题）
1．（2020•浙江自主招生）分解因式：2x2+7xy﹣15y2﹣3x+11y﹣2＝ ．
2．（2020•浙江自主招生）分解因式：x2﹣2x﹣2y2+4y﹣xy＝ ．
3．（2023春•西湖区校级期中）已知多项式x4+mx+n能分解为（x2+px+q）（x2+2x﹣3），则p＝ ，q＝ ．
4．（2023秋•烟台期中）多项式x2﹣8x+m＝（x﹣9）（x﹣n），则m+n＝ ．
5．（2021秋•丰台区校级期中）若x2+mx﹣12＝（x+3）（x+n），则m的值 ．
6．（2023秋•龙凤区期中）两位同学将同一个二次三项式进行因式分解时，一位同学因看错了一次项系数而分解成（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项而分解成（x﹣2）（x﹣4），则原多项式因式分解的正确结果是： ．
二．解答题（共10小题）
7．（2023秋•蕲春县月考）分解因式：
（1）（m+n）2﹣4m（m+n）+4m2；
（2）6x3﹣11x2+x+4
8．（2023秋•泰山区期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．
再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你写出下列因式分解的结果：
（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2＝ ；
（2）因式分解：25（a﹣1）2﹣10（a﹣1）+1＝ ；
（3）因式分解：（y2﹣4y）（y2﹣4y+8）+16＝ ．
9．（2021春•平顶山期末）把下列各式因式分解：
（1）x2+2xy+y2﹣c2；
（2）b2（a﹣2）+b（2﹣a）．
10．（2023春•商河县校级期末）观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）．
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
（1）m3﹣2m2﹣4m+8．
（2）x2﹣2xy+y2﹣9．
11．（2019秋•西岗区期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
12．（2019春•邵东县期中）观察下列因式分解的过程：
（1）x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）
（2）a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）
（1）请仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：
①ad﹣ac﹣bd+bc
②x2﹣y2﹣6x+9
（2）请运用上述分解因式的方法，把多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式．
13．（2023秋•建昌县期末）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：
（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．
而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．
通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子x2+2x﹣3分解因式．这个式子的二次项系数是1＝1×1，常数项﹣3＝（﹣1）×3，一次项系数2＝（﹣1）+3，可以用下图十字相乘的形式表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
（1）x2+7x+10＝ ；
（2）x2﹣2x﹣3＝ ；
（3）y2﹣7y+12＝ ；
（4）x2+7x﹣18＝ ．
14．（2023•寻乌县模拟）已知：整式A＝x（x+3）+5，整式B＝ax﹣1．
（1）若A+B＝（x+2）2，求a的值；
（2）若A﹣B可以分解为（x﹣2）（x﹣3），求A+B．
15．（2023春•渠县校级期末）因式分解：x2﹣2xy+y2﹣25．
16．（2023秋•惠安县期末）因式分解与整式乘法互为逆运算．如对多项式x2﹣7x+12进行因式分解：
首先，如果一个多项式能进行因式分解，则这个多项式可看作是有两个较低次多项式相乘得来的．故可写成x2﹣7x+12＝（x+a）（x+b），即x2﹣7x+12＝x2+（a+b）x+ab（对任意实数x成立），由此得a+b＝﹣7，ab＝12．易得一组解：a＝﹣3，b＝﹣4，所以x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4）．像这种能把一个多项式进行因式分解的方法，称为待定系数法．
（1）因式分解：x2﹣15x﹣34＝ ．
（2）因式分解：x3﹣3x2+4＝（x+a）（x2+bx+c），请写出一组满足要求的a，b，c的值： ．
（3）请你运用待定系数法，把多项式3m2+5mn﹣2n2+m+9n﹣4进行因式分解．
题组C 培优拔尖练
一．填空题（共2小题）
1．（2020•衡阳县自主招生）分解因式：x3﹣3x2﹣6x+8＝ ．
2．（2023春•历下区期中）分解因式：x6﹣28x3+27＝ ．
二．解答题（共12小题）
3．（2023春•马鞍山期末）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．
①分解因式：ab﹣a﹣b+1；
②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，求a+b的值；
（2）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，s＝a2+3ab+b2+3a﹣b，求s的最小值．
4．阅读下列文字与例题
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法
例如：
（1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）；
（2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）．
试用上述方法分解因式：
（1）x2+xy﹣2xz﹣2yz
（2）x2﹣4y2﹣6x﹣4y+8
（3）m2﹣4mn﹣3m+6n+4n2．
5．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
例1：1+ax+ax（1+ax）＝（1+ax）（1+ax）
＝（1+ax）2；
例2：1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）2＝（1+ax）（1+ax）+ax（1+ax）2
＝（1+ax）2+ax（1+ax）2
＝（1+ax）2（1+ax）
＝（1+ax）3
（1）分解因式：1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）2+…+ax（1+ax）n＝ ；
（2）分解因式：x﹣1﹣x（x﹣1）+x（x﹣1）2﹣x（x﹣1）3+…﹣x（x﹣1）2003+x（x﹣1）2004
（答题要求：请将第（1）问的答案填写在题中的横线上）
6．（2023春•永定区期中）先阅读，再因式分解：x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2），按照这种方法把多项式x4+324因式分解．
7．（2019秋•平山县期末）对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．
（1）求式子中m、n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．
8．（2018秋•涿鹿县期末）阅读与思考
x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解
x2+（p+q）x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子分解因式呢？
我们通过学习，利用多项式的乘法法则可知：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，因式分解是整式乘法相反方向的变形，利用这种关系可得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
利用这个结果可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如，将x2﹣x﹣6分解因式．这个式子的二次项系数是1，常数项﹣6＝2×（﹣3），一次项系数﹣1＝2+（﹣3），因此这是一个x2+（p+q）x+pq型的式子．所以x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）．
上述过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．
这样我们也可以得到x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．
请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：
（1）分解因式：y2﹣2y﹣24．
（2）若x2+mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，请直接写出整数m的所有可能值．
9．（2019春•岳阳期中）已知二次三项式x2+px+q的常数项与（x﹣1）（x﹣9）的常数项相同，而它的一次项与（x﹣2）（x﹣4）的一次项相同，试将此多项式因式分解．
10．（2017秋•微山县期末）【阅读材料】
对于二次三项式a2+2ab+b2可以直接分解为（a+b）2的形式，但对于二次三项式a2+2ab﹣8b2，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式a2+2ab﹣8b2中先加上一项b2，使其成为完全平方式，再减去b2这项，（这里也可把﹣8b2拆成+b2与﹣9b2的和），使整个式子的值不变．
于是有：a2+2ab﹣8b2
＝a2+2ab﹣8b2+b2﹣b2
＝（a2+2ab+b2）﹣8b2﹣b2
＝（a+b）2﹣9b2
＝[（a+b）+3b][（a+b）﹣3b]
＝（a+4b）（a﹣2b）
我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
【应用材料】
（1）上式中添（拆）项后先把完全平方式组合在一起，然后用 法实现分解因式．
（2）请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式：
①m2+6m+8；②a4+a2b2+b4
11．（2018春•安丘市期末）阅读下面的材料，解答提出的问题：
已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），由题意，得：
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：m＝﹣21，n＝﹣7
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
提出问题：
（1）已知：二次三项式x2+5x﹣p有一个因式是（x﹣1），求p的值．
（2）已知：二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式及k的值．
12．（2017春•兴化市期末）已知A＝2a﹣7，B＝a2﹣4a+3，C＝a2+6a﹣28，其中a＞2．
（1）求证：B﹣A＞0，并指出A与B的大小关系；
（2）阅读对B因式分解的方法：
解：B＝a2﹣4a+3＝a2﹣4a+4﹣1＝（a﹣2）2﹣1＝（a﹣2+1）（a﹣2﹣1）＝（a﹣1）（a﹣3）．
请完成下面的两个问题：
①仿照上述方法分解因式：x2﹣4x﹣96；
②指出A与C哪个大？并说明你的理由．
13．（2023秋•徐闻县期末）阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
14．（2018秋•安陆市期末）分解因式：x2+12x﹣189，分析：由于常数项数值较大，则将x2+12x﹣189变为完全平方公式，再运用平方差公式进行分解，这样简单易行．
x2+12x﹣189＝x2+2*6x+62﹣36﹣189
＝（x+6）2﹣225
＝（x+6）2﹣152
＝（x+6+15）（x+6﹣15）
＝（x+21）（x﹣9）
请按照上面的方法分解因式：x2﹣60x+884．
第12讲 分组分解与十字相乘
目标导航
理解分组分解法十字相乘法和的概念，掌握十字相乘法分解二次项系数为1 的二次三项式，能够用分组分解法分解含有四项以上的多项式．重点能够灵活运用十字相乘法与分组分解方法进行分解因式，能够与前两种的方法相结合．难点能够总结归纳这两种方法所针对的多项式，可以在分解因式的时候快速确定方法．
知识精讲
知识点01 因式分解-分组分解法
1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．
例如：①ax+ay+bx+by
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy﹣x2+1﹣y2
＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1
＝1﹣（x﹣y）2
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）
【知识拓展1】（2023秋•十堰期末）下列多项式中，不能在有理数范围进行因式分解的是（ ）
A．﹣a2+b2B．﹣a2﹣b2
C．a3﹣3a2+2aD．a2﹣2ab+b2﹣1
【分析】根据提公因式法，公式法进行分解即可判断．
【解答】解：A．﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a），故A不符合题意；
B．﹣a2﹣b2在有理数范围不能进行因式分解，故B符合题意；
C．a3﹣3a2+2a＝a（a﹣1）（a﹣2），故C不符合题意；
D．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1），故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，提公因式法，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
【即学即练1】（2023秋•平昌县期末）下列因式分解错误的是（ ）
A．2a﹣2b＝2（a﹣b）
B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
C．a2+4a﹣4＝（a﹣2）2
D．x2﹣2x+1﹣y2＝（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）
【分析】利用提公因式法与公式法，分组分解法进行分解逐一判断即可．
【解答】解：A.2a﹣2b＝2（a﹣b），A正确，故A不符合题意；
B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），B正确，故B不符合题意；
C．a2+4a﹣4≠（a﹣2）2，C错误，故C符合题意；
D．x2﹣2x+1﹣y2＝（x﹣1+y）（x﹣1﹣y），D正确，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项还有公因式，必须先提公因式．
【知识拓展2】（2023秋•广水市期末）分解因式：
9x2﹣a2﹣2a﹣1．
【分析】观察本式，将原式变形为9x2﹣（a2+2a+1），再把a2+2a+1依据完全平方公式进行因式分解为（a+1）2，再依据平方差公式进行因式分解．
【解答】解： 原式＝9x2﹣（a2+2a+1）
＝9x2﹣（a+1）2
＝（3x+a+1）（3x﹣a﹣1）．
【即学即练1】（2023秋•丰泽区校级期末）因式分解：
（2）a2﹣b2﹣6a+9．
【分析】先分组，用完全平方公式后，再用平方差公式分解．
【解答】原式＝（a2﹣6a+9）﹣b2
＝（a﹣3）2﹣b2
＝（a﹣b﹣3）（a+b﹣3）．
【即学即练2】（2023秋•宝山区期末）分解因式：x3+2x2y﹣9x﹣18y．
【分析】先分组各自提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可．
【解答】解：x3+2x2y﹣9x﹣18y
＝x2（x+2y）﹣9（x+2y）
＝（x+2y）（x2﹣9）
＝（x+2y）（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，一定要注意把每一个多项式分解到不能再分解为止．
【即学即练3】（2023秋•普陀区期末）因式分解：1﹣a2﹣4b2+4ab．
【分析】先分组，再逆用完全平方公式、平方差公式进行因式分解．
【解答】解：1﹣a2﹣4b2+4ab
＝1﹣（a2+4b2﹣4ab）
＝1﹣（a﹣2b）2
＝（1+a﹣2b）[1﹣（a﹣2b）]
＝（1+a﹣2b）（1﹣a+2b）．
【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握公式法以及分组分解法是解决本题的关键．
【即学即练4】（2023秋•浦东新区期末）分解因式：xy2﹣x﹣y2+1．
【分析】先分组，再提公因式分解．
【解答】解：原式＝（xy2﹣x）﹣（y2﹣1）
＝x（y2﹣1）﹣（y2﹣1）
＝（y2﹣1）（x﹣1）
＝（y﹣1）（y+1）（x﹣1）．
【点评】本题考查因式分解，根据多项式特征确定正确的分组方式是求解本题的关键．
知识点02 因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
【知识拓展1】（2023秋•弋江区期末）分解因式x2﹣5x﹣14，正确的结果是（ ）
A．（x﹣5）（x﹣14）B．（x﹣2）（x﹣7）
C．（x﹣2）（x+7）D．（x+2）（x﹣7）
【分析】根据﹣14＝﹣7×2，﹣5＝﹣7+2，进行分解即可．
【解答】解：x2﹣5x﹣14＝（x﹣7）（x+2），
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解﹣十字相乘法是解题的关键．
【即学即练1】（2023秋•应城市期末）将多项式x2﹣2x﹣8分解因式，正确的是（ ）
A．（x+2）（x﹣4）B．（x﹣2）（x﹣4）C．（x+2）（x+4）D．（x﹣2）（x+4）
【分析】利用十字相乘法分解即可．
【解答】解：x2﹣2x﹣8＝x2+（﹣4+2）x+（﹣4×2）＝（x﹣4）（x+2）．
故选：A．
【点评】本题考查用十字相乘法进行因式分解，正确掌握十字相乘法是求解本题的关键．
【即学即练2】（2023•阿荣旗一模）把多项式18x2﹣12x+2分解因式的结果是 2（3x﹣1）2 ．
【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可解答．
【解答】解：18x2﹣12x+2
＝2（9x2﹣6x+1）
＝2（3x﹣1）2．
故答案为：2（3x﹣1）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
【即学即练3】（2023秋•新抚区期末）分解因式：a2﹣2a﹣8＝ （a﹣4）（a+2） ．
【分析】根据因式分解﹣十字相乘法进行分解即可．
【解答】解：a2﹣2a﹣8＝（a﹣4）（a+2），
故答案为：（a﹣4）（a+2）．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解﹣十字相乘法是解题的关键．
【即学即练4】（2023秋•宝山区期末）分解因式：x2+4x﹣21＝ （x+7）（x﹣3） ．
【分析】根据因式分解﹣十字相乘法进行分解即可．
【解答】解：x2+4x﹣21＝（x+7）（x﹣3），
故答案为：（x+7）（x﹣3）．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解﹣十字相乘法是解题的关键．
【知识拓展2】（2023秋•普兰店区期末）若x2+ax﹣14＝（x+2）（x﹣7），则a＝ ．
【分析】直接利用多项式乘多项式化简，进而得出a的值．
【解答】解：∵x2+ax﹣14＝（x+2）（x﹣7）＝x2﹣5x﹣14，
∴a＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】此题主要考查了十字相乘法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【即学即练1】（2023秋•淮阳区期末）甲乙两人完成因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），那么x2+ax+b分解因式正确的结果为 （x﹣6）（x+2） ．
【分析】根据甲、乙看错的情况下得出a、b的值，进而再利用十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：因式分解x2+ax+b时，
∵甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x﹣2），
∴b＝6×（﹣2）＝﹣12，
又∵乙看错了b的值，分解的结果为（x﹣8）（x+4），
∴a＝﹣8+4＝﹣4，
∴原二次三项式为x2﹣4x﹣12，
因此，x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2），
故答案为：（x﹣6）（x+2）．
【点评】本题考查十字相乘法进行因式分解，掌握十字相乘法的使用方法是得出答案的关键．
【即学即练2】（2023秋•新泰市期中）提出问题：你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？
探究问题：如图1所示，设a，b为常数，由面积相等可得：（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，就可以对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．观察多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．
解决问题：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+3）（x+2）．
运用结论：
（1）基础运用：把多项式x2+4x﹣21进行因式分解．
（2）知识迁移：对于多项式4x2﹣4x﹣15进行因式分解还可以这样思考：
将二次项4x2分解成如图2所示中的两个2x的积，再将常数项﹣15分解成﹣5与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为﹣4x，就是4x2﹣4x﹣15的一次项，所以有4x2﹣4x﹣15＝（2x﹣5）（2x+3）．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．
请用十字相乘法进行因式分解：①3x2﹣19x﹣14；②6a2﹣13ab+6b2．
【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点，分解即可．
【解答】解：①原式＝（3x+2）（x﹣7）；
②原式＝（2a﹣3b）（3a﹣2b）．
【点评】本题考查了因式分解的十字相乘法，掌握十字相乘法是解决本题的关键．
能力拓展
1．（2023秋•永吉县期末）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．
（1）利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a2x+a2y+b2x+b2y．
（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝ （a+b+1）（a+b﹣1） （直接写出结果）．
【分析】（1）①直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；
②直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；
（2）将前三项利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）①原式＝（3m﹣3y）+（am﹣ay）
＝3（m﹣y）+a（m﹣y）
＝（m﹣y）（3+a）；
②原式＝（a2x+a2y）+（b2x+b2y）
＝a2（x+y）+b2（x+y）
＝（x+y）（a2+b2）；
（2）a2+2ab+b2﹣1
＝（a+b）2﹣1
＝（a+b+1）（a+b﹣1）．
故答案为：（a+b+1）（a+b﹣1）．
【点评】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．
2．（2023秋•微山县期末）【知识背景】
八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
【方法探究】
对于多项式x2+（p+q）x+pq我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq分解成p与q的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数+（p+q）．
所以x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
例如，分解因式：x2+5x+6．
它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5．
所以x2+5x+6＝（x+2）（x+3）．
类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．
例如，分解因式：2x2﹣x﹣6．
分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项﹣6分解成﹣1与6（或﹣6与1，﹣2与3，﹣3与2）的积，但只有当﹣2与3时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数﹣1．所以2x2﹣x﹣6＝（2x+3）（x﹣2）．
【方法归纳】
一般地，在分解形如关于x的二次三项式ax2+bx+c时，二次项系数a分解成a1与a2的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c分解成c1与c2的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把a1，a2，c1，c2按如图4所示方式排列，当且仅当a1c2+a2c1＝b（一次项系数）时，ax2+bx+c可分解因式．即ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．
【方法应用】
利用上面的方法将下列各式分解因式：
（1）x2﹣5x+6；
（2）10x2+x﹣21；
（3）（x2﹣4x）2+7（x2﹣4x）+12．
【分析】（1）根据6＝﹣2×（﹣3），﹣5＝﹣2+（﹣3），进行分解即可；
（2）根据10＝2×5，﹣21＝3×（﹣7），1＝2×（﹣7）+5×3，进行分解即可；
（3）先把x2﹣4x看成一个整体，利用十字相乘法分解成（x2﹣4x+4）（x2﹣4x+3），然后再利用十字相乘法继续分解即可．
【解答】解：（1）x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；
（2）10x2+x﹣21＝（2x+3）（5x﹣7）；
（3）（x2﹣4x）2+7（x2﹣4x）+12
＝（x2﹣4x+4）（x2﹣4x+3）
＝（x﹣2）2（x﹣1）（x﹣3）．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，因式分解﹣分组分解法，理解材料中的十字相乘法是解题的关键．
3．（2021秋•惠安县期末）因式分解与整式乘法互为逆运算．如对多项式x2﹣7x+12进行因式分解：
首先，如果一个多项式能进行因式分解，则这个多项式可看作是有两个较低次多项式相乘得来的．故可写成x2﹣7x+12＝（x+a）（x+b），即x2﹣7x+12＝x2+（a+b）x+ab（对任意实数x成立），由此得a+b＝﹣7，ab＝12．易得一组解：a＝﹣3，b＝﹣4，所以x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4）．像这种能把一个多项式进行因式分解的方法，称为待定系数法．
（1）因式分解：x2﹣15x﹣34＝ （x﹣17）（x+2） ．
（2）因式分解：x3﹣3x2+4＝（x+a）（x2+bx+c），请写出一组满足要求的a，b，c的值： a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣2 ．
（3）请你运用待定系数法，把多项式3m2+5mn﹣2n2+m+9n﹣4进行因式分解．
【分析】（1）用十字相乘法分解．
（2）用待定系数法分解．
（3）先分组，再用待定系数法分解．
【解答】解：（1）x2﹣15x﹣34
＝x2+（﹣17+2）x+（﹣17×2）
＝（x﹣17）（x+2）．
故答案为：（x﹣17）（x+2）．
（2）∵（x+a）（x2+bx+c）＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac．
∴x3﹣3x2+4＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac．
∴a+b＝﹣3，ab+c＝0，ac＝4．
解得：a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣2或a＝1，b＝﹣4，c＝4．
故选填一组即可．
故答案为：a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣2．
（3）原式＝3m2+（5n+1）m﹣（2n2﹣9n+4）
＝（3×1）m2+[3×（2n﹣1）﹣（n﹣4）]﹣（2n﹣1）（n﹣4）
＝（3m﹣n+4）（m+2n﹣1）．
【点评】本题考查因式分解，正确使用待定系数法是求解本题的关键．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共10小题）
1．（2023春•吉安县期末）若m＞﹣1，则多项式m3﹣m2﹣m+1的值为（ ）
A．正数B．负数C．非负数D．非正数
【分析】解此题时可把多项式m3﹣m2﹣m+1分解因式，根据分解的结果即可判断．
【解答】解：多项式m3﹣m2﹣m+1，
＝（m3﹣m2）﹣（m﹣1），
＝m2（m﹣1）﹣（m﹣1），
＝（m﹣1）（m2﹣1）
＝（m﹣1）2（m+1），
∵m＞﹣1，
∴（m﹣1）2≥0，m+1＞0，
∴m3﹣m2﹣m+1＝（m﹣1）2（m+1）≥0，
故选：C．
【点评】本题考查了分组分解法分解因式，合理分组是分解因式的关键．
2．（2023秋•十堰期末）下列多项式中，不能在有理数范围进行因式分解的是（ ）
A．﹣a2+b2B．﹣a2﹣b2
C．a3﹣3a2+2aD．a2﹣2ab+b2﹣1
【分析】根据提公因式法，公式法进行分解即可判断．
【解答】解：A．﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a），故A不符合题意；
B．﹣a2﹣b2在有理数范围不能进行因式分解，故B符合题意；
C．a3﹣3a2+2a＝a（a﹣1）（a﹣2），故C不符合题意；
D．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1），故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，提公因式法，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
3．（2023秋•平昌县期末）下列因式分解错误的是（ ）
A．2a﹣2b＝2（a﹣b）
B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
C．a2+4a﹣4＝（a﹣2）2
D．x2﹣2x+1﹣y2＝（x﹣1+y）（x﹣1﹣y）
【分析】利用提公因式法与公式法，分组分解法进行分解逐一判断即可．
【解答】解：A.2a﹣2b＝2（a﹣b），A正确，故A不符合题意；
B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），B正确，故B不符合题意；
C．a2+4a﹣4≠（a﹣2）2，C错误，故C符合题意；
D．x2﹣2x+1﹣y2＝（x﹣1+y）（x﹣1﹣y），D正确，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项还有公因式，必须先提公因式．
4．（2023秋•越秀区期末）若x2+x﹣12＝（x+p）（x+q），则p，q的值分别为（ ）
A．p＝3，q＝4B．p＝﹣3，q＝4C．p＝3，q＝﹣4D．p＝﹣3，q＝﹣4
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则解答即可．
【解答】解：∵x2+x﹣12＝（x+4）（x﹣3）＝（x+p）（x+q），
∴p＝﹣3，q＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解，掌握十字相乘法因式分解是解此题的关键．
5．（2023秋•临沂期末）多项式x2﹣8x+m＝（x﹣9）（x﹣n），则m，n的值为（ ）
A．m＝9，n＝1B．m＝9，n＝﹣1C．m＝﹣9，n＝﹣1D．m＝﹣9，n＝1
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得m、n的值．
【解答】解：∵多项式x2﹣8x+m分解因式得（x﹣9）（x﹣n），
∴﹣9﹣n＝﹣8，﹣9×（﹣n）＝m，
解得：m＝﹣9，n＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
6．（2023秋•芜湖期末）下列因式分解结果正确的是（ ）
A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4）B．4x2﹣y2＝（4x+y）（4x﹣y）
C．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2D．x2﹣5x﹣6＝（x﹣2）（x﹣3）
【分析】根据提公因式法、平方差公式以及十字相乘法进行解答．
【解答】解：A、原式＝﹣x（x﹣4），故本选项不符合题意．
B、原式＝（2x+y）（2x﹣y），故本选项不符合题意．
C、原式＝﹣（x+1）2，故本选项符合题意．
D、原式＝（x+1）（x﹣6），故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了提公因式法、平方差公式以及十字相乘法因式分解，属于基础题．
7．（2023秋•博白县期末）下列因式分解错误的是（ ）
A．2a﹣2b＝2（a﹣b）B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）
C．a2+4a﹣4＝（a﹣2）2D．﹣x2﹣x+2＝﹣（x﹣1）（x+2）
【分析】利用因式分解的提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法等，逐个分解做出判断．
【解答】解：∵2a﹣2b＝2（a﹣b），故选项A正确；
x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），故选项B正确；
a2+4a﹣4≠（a﹣2）2，故选项C错误；
﹣x2﹣x+2＝﹣（x2+x﹣2）＝﹣（x﹣1）（x+2），故选项D正确．
故选：C．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握整式因式分解的方法是解决本题的关键．
8．（2023秋•监利市期末）因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（ ）
A．1B．4C．11D．12
【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知m＝p+q，pq＝﹣12．
【解答】解：﹣12可以分成：﹣2×6，2×（﹣6），﹣1×12，1×（﹣12），3×（﹣4），﹣3×4，
而﹣2+6＝4，2+（﹣6）＝﹣4，﹣1+12＝11，1+（﹣12）＝﹣11，3+（﹣4）＝﹣1，﹣3+4＝1，
因为11＞4＞1＞﹣1＞﹣4＞﹣11，
所以m最大＝p+q＝11．
故选：C．
【点评】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键．
9．（2023秋•微山县期末）已知关于x的二次三项式2x2+bx+a分解因式的结果是（x+1）（2x﹣3），则代数式ab的值为（ ）
A．﹣3B．﹣1C．﹣D．
【分析】先计算多项式乘多项式，求出a，b的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
2x2+bx+a＝（x+1）（2x﹣3），
2x2+bx+a＝2x2﹣3x+2x﹣3，
2x2+bx+a＝2x2﹣x﹣3，
∴b＝﹣1，a＝﹣3，
∴ab＝（﹣3）﹣1
＝﹣，
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键．
10．（2023秋•弋江区期末）分解因式x2﹣5x﹣14，正确的结果是（ ）
A．（x﹣5）（x﹣14）B．（x﹣2）（x﹣7）
C．（x﹣2）（x+7）D．（x+2）（x﹣7）
【分析】根据﹣14＝﹣7×2，﹣5＝﹣7+2，进行分解即可．
【解答】解：x2﹣5x﹣14＝（x﹣7）（x+2），
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解﹣十字相乘法是解题的关键．
二．填空题（共9小题）
11．（2023春•碑林区校级月考）分解因式：a2﹣b2+ab2﹣a2b＝ （a﹣b）（a+b﹣ab） ．
【分析】先分组，然后直接利用平方差公式和提取公因式法分解因式得出答案；
【解答】解：a2﹣b2+ab2﹣a2b
＝（a2﹣b2）+（ab2﹣a2b）
＝（a+b）（a﹣b）﹣ab（a﹣b）
＝（a﹣b）（a+b﹣ab）．
故答案为（a﹣b）（a+b﹣ab）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及分组法分解因式，正确运用分组是解题关键．
12．（2023•广饶县一模）因式分解：（m﹣n）a2+（n﹣m）b2＝ （m﹣n）（a+b）（a﹣b） ．
【分析】直接提取公因式（m﹣n），再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝（m﹣n）a2﹣（m﹣n）b2
＝（m﹣n）（a2﹣b2）
＝（m﹣n）（a+b）（a﹣b）．
故答案为：（m﹣n）（a+b）（a﹣b）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式分解因式是解题关键．
13．（2023•邵阳模拟）把（a﹣2b）+（a2﹣4b2）因式分解的结果是 （a﹣2b）（1+a+2b） ．
【分析】直接利用公式法分解因式，再结合提取公因式法分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝（a﹣2b）+（a+2b）（a﹣2b）
＝（a﹣2b）（1+a+2b）．
故答案为：（a﹣2b）（1+a+2b）．
【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键．
14．（2020秋•齐河县期末）分解因式：y2﹣x2﹣2x﹣1＝ （y+x+1）（y﹣x﹣1） ．
【分析】由y2﹣x2﹣2x﹣1＝y2﹣（x2+2x+1），再根据完全平方公式与平方差公式求解即可．
【解答】解：y2﹣x2﹣2x﹣1＝y2﹣（x2+2x+1）＝y2﹣（x+1）2＝（y+x+1）（y﹣x﹣1）．
故答案为：（y+x+1）（y﹣x﹣1）．
【点评】本题考查了分组分解法分解因式，熟记完全平方公式是解答本题的关键．
15．（2023•怀宁县模拟）因式分解：4x2﹣y2+2y﹣1＝ （2x+y﹣1）（2x﹣y+1） ．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解．
【解答】解：4x2﹣y2+2y﹣1
＝4x2﹣（y2﹣2y+1）
＝（2x）2﹣（y﹣1）2
＝（2x﹣y+1）（2x+y﹣1）
故答案为：（2x+y﹣1）（2x﹣y+1）．
【点评】本题考查的是因式分解，掌握分组分解法进行因式分解的一般步骤是解题的关键．
16．（2023•宣城模拟）已知m，n，p均为实数，若x﹣1，x+4均为多项式x3+mx2+nx+p的因式，则2m﹣2n﹣p+86＝ 100 ．
【分析】根据三次项系数为1可设另一个因式为（x+k），将原式变形为x3+mx2+nx+p＝（x﹣1）（x+4）（x+k）＝x3+（k+3）x2+（3k﹣4）x﹣4k，可得，代入2m﹣2n﹣p+86可得答案．
【解答】解：∵x﹣1，x+4均为多项式x3+mx2+nx+p的因式，且三次项系数为1，
∴设另一个因式为（x+k），
则x3+mx2+nx+p＝（x﹣1）（x+4）（x+k）＝x3+（k+3）x2+（3k﹣4）x﹣4k，
∴，
∴2m﹣2n﹣p+86＝2（k+3）﹣2（3k﹣4）+4k+86
＝2k+6﹣6k+8+4k+86
＝100，
故答案为：100．
【点评】本题主要考查因式分解的意义，根据系数设另一个因式，从而变形将待求式子的未知数化为统一未知数是解题的关键．
17．（2023秋•普兰店区期末）若x2+ax﹣14＝（x+2）（x﹣7），则a＝ ﹣5 ．
【分析】直接利用多项式乘多项式化简，进而得出a的值．
【解答】解：∵x2+ax﹣14＝（x+2）（x﹣7）＝x2﹣5x﹣14，
∴a＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】此题主要考查了十字相乘法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18．（2023秋•鞍山期末）观察下列因式分解中的规律：
①x2+3x+2＝（x+1）（x+2）；
②x2+7x+10＝（x+2）（x+5）；
③x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；
④x2﹣2x﹣8＝（x+2）（x﹣4）；
利用上述系数特点分解因式x2+x﹣6＝ （x+3）（x﹣2） ．
【分析】根据上述因式分解的规律进行分解即可．
【解答】解：利用上述系数特点分解因式x2+x﹣6＝（x+3）（x﹣2），
故答案为：（x+3）（x﹣2）．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，规律型：数字的变化类，理解上述因式分解的规律是解题的关键．
19．（2023秋•隆昌市校级期末）若多项式x2+ax+6可分解为（x+2）（x+b），则a+b的值为 8 ．
【分析】先进行多项式乘多项式，求出a，b的值，然后再代入式子进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
x2+ax+6＝（x+2）（x+b），
∴x2+ax+6＝x2+（2+b）x+2b，
∴a＝2+b，2b＝6，
∴b＝3，a＝5，
∴a+b＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
20．（2020秋•广安期末）分解因式：4（m﹣n）a2+（n﹣m）b2．
【分析】先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可．
【解答】解：4（m﹣n）a2+（n﹣m）b2
＝4（m﹣n）a2﹣（m﹣n）b2
＝（m﹣n）（4a2﹣b2）
＝（m﹣n）（2a+b）（2a﹣b）．
【点评】本题考察了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意有公因式的先提取公因式，然后再继续分解．
21．（2023秋•硚口区期末）因式分解：
（1）x2y﹣4y；
（2）﹣2x2+8xy﹣8y2；
（3）（x﹣2）（x+3）﹣6x．
【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可；
（3）先计算多项式的乘法，再利用十字相乘法因式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝y（x2﹣4）＝y（x+2）（x﹣2）；
（2）原式＝﹣2（x2﹣4xy+4y2）＝﹣2（x﹣2y）2；
（3）原式＝x2+x﹣6﹣6x＝x2﹣5x﹣6＝（x﹣6）（x+1）．
【点评】此题考查的是因式分解，掌握因式分解的方法是解决此题关键．
22．（2023秋•荔湾区期末）分解因式：
（1）x3y﹣9xy；
（2）x2（x﹣y）+2x（y﹣x）﹣（y﹣x）．
【分析】（1）先提取公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可；
（2）先提取公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可．
【解答】解：（1）x3y﹣9xy
＝xy（x2﹣9）
＝xy（x+3）（x﹣3）；
（2）x2（x﹣y）+2x（y﹣x）﹣（y﹣x）
＝x2（x﹣y）﹣2x（x﹣y）+（x﹣y）
＝（x﹣y）（x2﹣2x+1）
＝（x﹣y）（x﹣1）2．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，提取公因式与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项有公因式，必须先提取公因式，然后再继续分解．
23．（2023秋•克东县期末）因式分解：
（1）（a+3）（a﹣7）+21；
（2）m2（x﹣y）+n2（y﹣x）．
【分析】（1）先作多项式的乘法运算，再提公因式分解因式即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）（a+3）（a﹣7）+21
＝a2﹣4a﹣21+21
＝a2﹣4a
＝a（a﹣4）；
（2）m2（x﹣y）+n2（y﹣x）
＝m2（x﹣y）﹣n2（x﹣y）
＝（x﹣y）（m2﹣n2）
＝（x﹣y）（m+n）（m﹣n）．
【点评】此题考查的是因式分解，掌握提公因式法与公式法进行因式分解是解决此题关键．
24．（2023秋•广水市期末）分解因式：
（1）8a3b2+12ab3c；
（2）9x2﹣a2﹣2a﹣1．
【分析】（1）先将公因式找到，公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项的相同的字母，且各字母的指数取次数最低的，再将公因式提出来；
（2）观察本式，将原式变形为9x2﹣（a2+2a+1），再把a2+2a+1依据完全平方公式进行因式分解为（a+1）2，再依据平方差公式进行因式分解．
【解答】解：（1）原式＝4ab2（2a2+3bc）；
（2）原式＝9x2﹣（a2+2a+1）
＝9x2﹣（a+1）2
＝（3x+a+1）（3x﹣a﹣1）．
【点评】本题考查了运用提取公因式法和公式法进行因式分解，解题的关键是准确找出多项式中的公因式，以及熟练掌握完全平方公式和平方差公式．
25．（2023秋•丰泽区校级期末）因式分解：
（1）2x（x﹣3）﹣8；
（2）a2﹣b2﹣6a+9．
【分析】（1）先展开，再分解；
（2）先分组，用完全平方公式后，再用平方差公式分解．
【解答】解：（1）原式＝2x2﹣6x﹣8
＝2（x2﹣3x﹣4）
＝2（x+1）（x﹣4）．
（2）原式＝（a2﹣6a+9）﹣b2
＝（a﹣3）2﹣b2
＝（a﹣b﹣3）（a+b﹣3）．
【点评】本题考查因式分解．解题关键在于观察式子特点，选择正确的分解方法．注意有公因式的先提取公因式．
26．（2023秋•永吉县期末）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．
（1）利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a2x+a2y+b2x+b2y．
（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝ （a+b+1）（a+b﹣1） （直接写出结果）．
【分析】（1）①直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；
②直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；
（2）将前三项利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）①原式＝（3m﹣3y）+（am﹣ay）
＝3（m﹣y）+a（m﹣y）
＝（m﹣y）（3+a）；
②原式＝（a2x+a2y）+（b2x+b2y）
＝a2（x+y）+b2（x+y）
＝（x+y）（a2+b2）；
（2）a2+2ab+b2﹣1
＝（a+b）2﹣1
＝（a+b+1）（a+b﹣1）．
故答案为：（a+b+1）（a+b﹣1）．
【点评】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．
27．（2023秋•方城县期末）下面是某同学对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程，
解：设x2﹣2x＝y
原式＝（y﹣1）（y+3）+4（第一步）
＝y2+2y+1（第二步）
＝（y+1）2（第三步）
＝（x2﹣2x+1）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了 C ．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ 不彻底 （填“彻底”或者“不彻底”）
若不彻底．请直接写出因式分解的最后结果 （x﹣1）4 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解．
【分析】（1）根据完全平方公式得出即可；
（2）根据完全平方公式得出即可；
（3）先换元，再分解因式，再代入，最后求出即可．
【解答】解：（1）运用了两数和的完全平方公式，
故选：C；
（2）原式＝[（x﹣1）2]2＝（x﹣1）4，
故答案为：不彻底，（x﹣1）4；
（3）设x2﹣4x＝y，
原式＝y（y+8）+16
＝y2+8y+16
＝（y+4）2
＝（x2﹣4x+4）2
＝（x﹣2）4，
即（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16＝（x﹣2）4．
【点评】本题考查了分解因式，能正确运用完全平方公式进行分解因式是解此题的关键，注意：a2+2ab+b2＝（a+b）2，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
28．（2023秋•郧阳区期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．
再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（2x﹣3y）+（2x﹣3y）2．
（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；
【分析】（1）将（2x﹣3y）看作一个整体，利用完全平方公式进行因式分解．
（2）令A＝a+b，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解．
【解答】解：（1）原式＝（1+2x﹣3y）2．
（2）令A＝a+b，则原式变为A（A﹣4）+4＝A2﹣4A+4＝（A﹣2）2，
故（a+b）（a+b﹣4）+4＝（a+b﹣2）2．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
29．（2023秋•江陵县期末）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子x2+3x+2分解因式．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2．
所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．
解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：x2+5x﹣24＝ （x﹣3）（x+8） ；
（2）若x2+px+6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是 ±5，±7 ；
（3）利用上面因式分解方法解方程：x2﹣4x﹣21＝0．
【分析】（1）仿照例题的方法，这个式子的常数项﹣24＝﹣3×8，一次项系数5＝﹣3+8，然后进行分解即可；
（2）仿照例题的方法，这个式子的常数项6＝﹣3×（﹣2），6＝3×2，6＝﹣1×（﹣6），6＝1×6，然后进行计算求出p的所有可能值即可；
（3）仿照例题的方法，这个式子的常数项﹣21＝﹣7×3，一次项系数﹣4＝﹣7+3，然后进行分解计算即可．
【解答】解：（1）x2+5x﹣24＝x2+（﹣3+8）x+（﹣3）×8＝（x﹣3）（x+8），
故答案为：（x﹣3）（x+8）；
（2）∵6＝﹣3×（﹣2），6＝3×2，6＝﹣1×（﹣6），6＝1×6，
∴p＝﹣3+（﹣2）＝﹣5，p＝3+2＝5，p＝﹣1+（﹣6）＝﹣7，p＝1+6＝7，
∴若x2+px+6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是：±5，±7，
故答案为：±5，±7；
（3）x2﹣4x﹣21＝0，
（x﹣7）（x+3）＝0，
（x﹣7）＝0或（x+3）＝0，
∴x1＝7，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，理解并掌握x2+（p+q）x+p＝（x+p）（x+q）是解题的关键．
题组B 能力提升练
一．填空题（共6小题）
1．（2020•浙江自主招生）分解因式：2x2+7xy﹣15y2﹣3x+11y﹣2＝ （x+5y﹣2）（2x﹣3y+1） ．
【分析】因2x2+7xy﹣15y2＝（x+5y）（2x﹣3y），故可设2x2+7xy﹣15y2﹣3x+11y﹣2＝（x+5y+a）（2x﹣3y+b），根据十字相乘法的逆运算解答．
【解答】解：∵2x2+7xy﹣15y2＝（x+5y）（2x﹣3y），
∴可设2x2+7xy﹣15y2﹣3x+11y﹣2＝（x+5y+a）（2x﹣3y+b），a、b为待定系数，
∴2a+b＝﹣3，5b﹣3a＝11，ab＝﹣2，
解得a＝﹣2，b＝1，
∴原式＝（x+5y﹣2）（2x﹣3y+1）．
故答案为：（x+5y﹣2）（2x﹣3y+1）．
【点评】此题主要考查分组分解法分解因式，综合利用了十字相乘法，难度较大，要灵活对待．
2．（2020•浙江自主招生）分解因式：x2﹣2x﹣2y2+4y﹣xy＝ （x﹣2y）（x+y﹣2） ．
【分析】把x2﹣xy﹣2y2三项分为一组，可用十字相乘法继续分解，﹣2x+4y分为一组，可提公因式，再进一步分解即可．
【解答】解：原式＝（x2﹣xy﹣2y2）+（﹣2x+4y），
＝（x﹣2y）（x+y）﹣2（x﹣2y），
＝（x﹣2y）（x+y﹣2）．
故答案为：（x﹣2y）（x+y﹣2）．
【点评】此题主要考查分组分解法分解因式，综合利用了十字相乘法和提公因式法分解因式．
3．（2023春•西湖区校级期中）已知多项式x4+mx+n能分解为（x2+px+q）（x2+2x﹣3），则p＝ ﹣2 ，q＝ 7 ．
【分析】把（x2+px+q）（x2+2x﹣3）展开，找到所有x3和x2的项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．
【解答】解：∵（x2+px+q）（x2+2x﹣3）＝x4+px3+qx2+2x3+2px2+2qx﹣3x2﹣3px﹣3q
＝x4+（p+2）x3+（q+2p﹣3）x2+（2q﹣3p）x﹣3q
＝x4+mx+n．
∴展开式乘积中不含x3、x2项，
∴，解得：．
故答案为：﹣2，7．
【点评】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可．
4．（2023秋•烟台期中）多项式x2﹣8x+m＝（x﹣9）（x﹣n），则m+n＝ ﹣10 ．
【分析】将右边多项式乘多项式的积计算出来，和左边对比求出m，n的值即可．
【解答】解：∵多项式x2﹣8x+m＝（x﹣9）（x﹣n），
∴x2﹣8x+m＝x²+（﹣n﹣9）x+9n．
∴﹣n﹣9＝﹣8，m＝9n．
∴m＝﹣9，n＝﹣1．
∴m+n＝﹣9+（﹣1）＝﹣10．
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查因式分解的应用，根据因式分解前后多项式相同，因而对应项系数相等列出方程组是求解本题的关键．
5．（2023秋•丰台区校级期中）若x2+mx﹣12＝（x+3）（x+n），则m的值 ﹣1 ．
【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可．
【解答】解：已知等式整理得：x2+mx﹣12＝（x+3）（x+n）＝x2+（n+3）x+3n，
∴m＝n+3，﹣12＝3n，
解得：m＝﹣1，n＝﹣4，
故答案为：﹣1
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
6．（2021秋•龙凤区期中）两位同学将同一个二次三项式进行因式分解时，一位同学因看错了一次项系数而分解成（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项而分解成（x﹣2）（x﹣4），则原多项式因式分解的正确结果是： （x﹣3）2 ．
【分析】根据两位同学的结果确定出原多项式，分解即可．
【解答】解：根据题意得：（x﹣1）（x﹣9）＝x2﹣10x+9，（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣6x+8，
原多项式为x2﹣6x+9＝（x﹣3）2．
故答案为：（x﹣3）2．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
二．解答题（共10小题）
7．（2023秋•蕲春县月考）分解因式：
（1）（m+n）2﹣4m（m+n）+4m2；
（2）6x3﹣11x2+x+4
【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式；
（2）先拆项，再分组，用提取公因式及十字相乘法分解因式，再提取公因分解因式．
【解答】解：（1）原式＝[（m+n）﹣2m]2
＝（n﹣m）2；
（2）原式＝6x3﹣6x2﹣5x2+x+4
＝6x2（x﹣1）﹣（5x2﹣x﹣4）
＝6x2（x﹣1）﹣（x﹣1）（5x+4）
＝（x﹣1）（6x2﹣5x﹣4）
＝（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）．
【点评】本题考查了平方差公式，分组分解法分解因式，掌握先把式子拆项，再分解因式．对于一个四项式用分组分解法进行因式分解，难点是采用两两分组还是三一分组，本题后三项可用十字相乘法分解因式是解题关键．
8．（2023秋•泰山区期中）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，设x+y＝m，则原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．
再将x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．请你写出下列因式分解的结果：
（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2＝ （1﹣x+y）2 ；
（2）因式分解：25（a﹣1）2﹣10（a﹣1）+1＝ （5a﹣6）2 ；
（3）因式分解：（y2﹣4y）（y2﹣4y+8）+16＝ （y﹣2）4 ．
【分析】（1）设x﹣y＝a，原式变形为1﹣2a+a2，用完全平方公式分解因式，再把x﹣y＝a代入原式；
（2）设a﹣1＝m，原式变形为25m2﹣10m+1，用完全平方公式分解因式，再把a﹣1＝m代入原式；
（3）设y2﹣4y＝a，原式变形为a（a+8）+16，去括号后用完全平方公式分解因式，再把y2﹣4y＝a代入原式．
【解答】解：（1）设x﹣y＝a，
原式＝1﹣2a+a2＝（1﹣a）2；
将x﹣y＝a代入，原式＝（1﹣x+y）2；
（2）设a﹣1＝m，
原式＝25m2﹣10m+1＝（5m﹣1）2；
a﹣1＝m代入，原式＝（5a﹣6）2；
（3）设y2﹣4y＝a，
原式＝a（a+8）+16
＝a2+8a+16
＝（a+4）2，
将y2﹣4y＝a代入，原式＝（y2﹣4y+4）2＝（y﹣2）4．
故答案分别为：（1﹣x+y）2；（5a﹣6）2；（y﹣2）4．
【点评】本题主要考查了因式分解﹣分组分解法、提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，整体思想在因式分解中的应用是解题关键．
9．（2023春•平顶山期末）把下列各式因式分解：
（1）x2+2xy+y2﹣c2；
（2）b2（a﹣2）+b（2﹣a）．
【分析】（1）先分组，再分解．
（2）先将b2（a﹣2）+b（2﹣a）变形为b2（a﹣2）﹣b（a﹣2），再运用提公因式法．
【解答】解：（1）x2+2xy+y2﹣c2
＝（x+y）2﹣c2
＝（x+y+c）（x+y﹣c）．
（2）b2（a﹣2）+b（2﹣a）
＝b2（a﹣2）﹣b（a﹣2）
＝b（a﹣2）（b﹣1）．
【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握运用公式法、提公因式法以及分组分解法进行因式分解是解决本题的关键．
10．（2023春•商河县校级期末）观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）．
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
（1）m3﹣2m2﹣4m+8．
（2）x2﹣2xy+y2﹣9．
【分析】（1）原式两项两项结合后，提取公因式即可；
（2）原式前三项结合，利用完全平方公式变形，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝m2（m﹣2）﹣4（m﹣2）＝（m﹣2）2（m+2）；
（2）原式＝（x﹣y）2﹣9＝（x﹣y+3）（x﹣y﹣3）．
【点评】此题考查了因式分解﹣分组分解法，此方法因式分解方法灵活，注意认真观察各项之间的联系．
11．（2019秋•西岗区期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
【分析】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可．
【解答】解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16
＝（x﹣y）2﹣42
＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；
（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0
∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，
∴a＝b或a＝c，
∴△ABC的形状是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键．
12．（2019春•邵东县期中）观察下列因式分解的过程：
（1）x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）
（2）a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）
（1）请仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：
①ad﹣ac﹣bd+bc
②x2﹣y2﹣6x+9
（2）请运用上述分解因式的方法，把多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式．
【分析】（1）①利用分组后直接提公因式分解；
②利用分组后直接运用公式分解；
（2）把1+x添加括号，利用分组后直接提取公因式（1+x），反复运算得结论．
【解答】（1）①原式＝（ad﹣ac）﹣（bd﹣bc）
＝a（d﹣c）﹣b（d﹣c）
＝（d﹣c）（a﹣b）
②原式＝（x2﹣6x+9）﹣y2
＝（x﹣3）2﹣y2
＝（x﹣3+y）（x﹣3﹣y）
（2）原式＝1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n
＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n
＝（1+x）[1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n﹣1]
＝（1+x）（1+x）n
＝（1+x）n+1
【点评】本题主要考查了多项式因式分解的分组分解法．掌握分组后直接提起公因式和分组后直接运用公式，是解决本题的关键．
13．（2023秋•建昌县期末）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：
（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．
而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：
x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．
通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子x2+2x﹣3分解因式．这个式子的二次项系数是1＝1×1，常数项﹣3＝（﹣1）×3，一次项系数2＝（﹣1）+3，可以用下图十字相乘的形式表示为：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．
利用这种方法，将下列多项式分解因式：
（1）x2+7x+10＝ （x+2）（x+5） ；
（2）x2﹣2x﹣3＝ （x﹣3）（x+1） ；
（3）y2﹣7y+12＝ （y﹣3）（y﹣4） ；
（4）x2+7x﹣18＝ （x+9）（x﹣2） ．
【分析】（1）把10分解成2×5；
（2）把﹣3分解成﹣3×1；
（3）把12分解成（﹣3）×（﹣4）；
（4）把﹣18分解成（﹣2）×9；
【解答】（1）x2+7x+10＝（x+2）（x+5）；
（2）x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）；
（3）y2﹣7y+12＝（y﹣3）（y﹣4）；
（4）x2+7x﹣18＝（x+9）（x﹣2）．
故答案为：（1）（x+2）（x+5），（2）（x﹣3）（x+1），（3）（y﹣3）（y﹣4），（4）（x+9）（x﹣2）．
【点评】本题主要考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法分解因式的方法，根据题意可知a、b是相互独立的，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值，是解题关键．
14．（2023•寻乌县模拟）已知：整式A＝x（x+3）+5，整式B＝ax﹣1．
（1）若A+B＝（x+2）2，求a的值；
（2）若A﹣B可以分解为（x﹣2）（x﹣3），求A+B．
【分析】（1）由A＝x（x+3）+5＝x2+3x+5，得A+B＝x2+3x+5+ax﹣1＝x2+（3+a）+4，那么（x+2）2＝x2+4x+4＝x2+（3+a）+4．，从而求得a．
（2）由A﹣B＝x2+3x+5﹣（ax﹣1）＝x2+（3﹣a）+6，得x2+（3﹣a）+6＝（x﹣2）（x﹣3），进而解决此题．
【解答】解：（1）∵A＝x（x+3）+5＝x2+3x+5，
∴A+B＝x2+3x+5+ax﹣1＝x2+（3+a）x+4．
∵A+B＝（x+2）2，
∴A+B＝（x+2）2＝x2+4x+4＝x2+（3+a）x+4．
∴3+a＝4．
∴a＝1．
（2）由（1）得：A＝x2+3x+5．
∴A﹣B＝x2+3x+5﹣（ax﹣1）＝x2+（3﹣a）x+6．
∴x2+（3﹣a）+6＝（x﹣2）（x﹣3）．
∴x2+（3﹣a）x+6＝x2﹣5x+6．
∴3﹣a＝﹣5．
∴a＝8．
∴A+B＝x2+11x+4．
【点评】本题主要考查整式的运算，熟练掌握单项式乘多项式、多项式乘多项式、完全平方公式以及平方差公式是解决本题的关键．
15．（2023春•渠县校级期末）因式分解：x2﹣2xy+y2﹣25．
【分析】根据分组分解法的法则原则将x2﹣2xy+y2为一组，﹣25为一组，再利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝（x2﹣2xy+y2）﹣25
＝（x﹣y）2﹣52
＝（x﹣y+5）（x﹣y﹣5）．
【点评】本题考查分组分解法分解因式，掌握分组分解法的分组原则，即因式分解在组内能进行，在组与组之间也能进行，是正确解答的关键．
16．（2023秋•惠安县期末）因式分解与整式乘法互为逆运算．如对多项式x2﹣7x+12进行因式分解：
首先，如果一个多项式能进行因式分解，则这个多项式可看作是有两个较低次多项式相乘得来的．故可写成x2﹣7x+12＝（x+a）（x+b），即x2﹣7x+12＝x2+（a+b）x+ab（对任意实数x成立），由此得a+b＝﹣7，ab＝12．易得一组解：a＝﹣3，b＝﹣4，所以x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4）．像这种能把一个多项式进行因式分解的方法，称为待定系数法．
（1）因式分解：x2﹣15x﹣34＝ （x﹣17）（x+2） ．
（2）因式分解：x3﹣3x2+4＝（x+a）（x2+bx+c），请写出一组满足要求的a，b，c的值： a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣2 ．
（3）请你运用待定系数法，把多项式3m2+5mn﹣2n2+m+9n﹣4进行因式分解．
【分析】（1）用十字相乘法分解．
（2）用待定系数法分解．
（3）先分组，再用待定系数法分解．
【解答】解：（1）x2﹣15x﹣34
＝x2+（﹣17+2）x+（﹣17×2）
＝（x﹣17）（x+2）．
故答案为：（x﹣17）（x+2）．
（2）∵（x+a）（x2+bx+c）＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac．
∴x3﹣3x2+4＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac．
∴a+b＝﹣3，ab+c＝0，ac＝4．
解得：a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣2或a＝1，b＝﹣4，c＝4．
故选填一组即可．
故答案为：a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣2．
（3）原式＝3m2+（5n+1）m﹣（2n2﹣9n+4）
＝（3×1）m2+[3×（2n﹣1）﹣（n﹣4）]﹣（2n﹣1）（n﹣4）
＝（3m﹣n+4）（m+2n﹣1）．
【点评】本题考查因式分解，正确使用待定系数法是求解本题的关键．
题组C 培优拔尖练
一．填空题（共2小题）
1．（2020•衡阳县自主招生）分解因式：x3﹣3x2﹣6x+8＝ （x﹣4）（x+2）（x﹣1） ．
【分析】先将﹣3x2转化为﹣4x2+x2，然后再用分组分解法和十字相乘法进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝x3﹣4x2+x2﹣6x+8
＝x2（x﹣4）+（x﹣4）（x﹣2）
＝（x﹣4）（x2+x﹣2）
＝（x﹣4）（x+2）（x﹣1）．
故答案为：（x﹣4）（x+2）（x﹣1）．
【点评】本题考查了因式分解的分组分解法和十字相乘法等．借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．
掌握x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解是解题关键．
2．（2023春•历下区期中）分解因式：x6﹣28x3+27＝ （x﹣1）（x2+x+1）（x﹣3）（x2+3x+9） ．
【分析】利用整体思想及十字相乘法与立方差公式求解．
【解答】解：原式＝（x3）2﹣28x3+27，
＝（x3﹣1）（x3﹣27），
＝（x﹣1）（x2+x+1）（x﹣3）（x2+3x+9）．
故答案为：（x﹣1）（x2+x+1）（x﹣3）（x2+3x+9）．
【点评】本题考查因式分解，解题关键是熟练掌握十字相乘与立方差公式．
二．解答题（共12小题）
3．（2023春•马鞍山期末）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．
①分解因式：ab﹣a﹣b+1；
②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，求a+b的值；
（2）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，s＝a2+3ab+b2+3a﹣b，求s的最小值．
【分析】（1）①先分组，再运用提公因式法进行因式分解．
②现将ab﹣a﹣b﹣4＝0变形为ab﹣a﹣b+1＝5，即（a﹣1）（b﹣1）＝5，然后再解决本题．
（2）先将ab﹣a﹣b﹣4＝0变形为ab＝a+b+4，再代入S，然后进行变形，得到S＝．最后，探究S的最小值．
【解答】解：（1）①ab﹣a﹣b+1
＝（ab﹣a）﹣（b﹣1）
＝a（b﹣1）﹣（b﹣1）
＝（a﹣1）（b﹣1）．
②由题得ab﹣a﹣b+1＝5，即（a﹣1）（b﹣1）＝5．
∵a，b为正整数且a＞b，
∴，即．
∴a+b＝8．
（2）由题得ab＝a+b+4．
∴
＝
＝
＝．
∵，
∴（当且仅当时取等号）．
经验证：满足ab﹣a﹣b﹣4＝0，
综上，s的最小值为．
【点评】本题主要考查分组分解法进行因式分解，熟练掌握运用提公因式法以及公式法进行因式分解是解决本题的关键．
4．阅读下列文字与例题
将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法
例如：
（1）am+an+bm+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）；
（2）x2﹣y2﹣2y﹣1＝x2﹣（y2+2y+1）＝x2﹣（y+1）2＝（x+y+1）（x﹣y﹣1）．
试用上述方法分解因式：
（1）x2+xy﹣2xz﹣2yz
（2）x2﹣4y2﹣6x﹣4y+8
（3）m2﹣4mn﹣3m+6n+4n2．
【分析】（1）前两项和后两项分别分组，分组后再提取公因式；
（2）把8分成9和﹣1，然后分组为（x2﹣6x+9）﹣（4y2+4y+1），分组后利用平方差公式；
（3）多项式三二分组为（m2﹣4mn+4n2）﹣3m+6n，分组后提取公因式》
【解答】解：（1）x2+xy﹣2xz﹣2yz
＝（x2+xy）﹣（2xz+2yz）
＝x（x+y）﹣2z（x+y）
＝（x+y）（x﹣2z）；
（2）x2﹣4y2﹣6x﹣4y+8
＝（x2﹣6x+9）﹣（4y2+4y+1）
＝（x﹣3）2﹣（2y+1）2
＝（x﹣3+2y+1）（x﹣3﹣2y﹣1）
＝（x+2y﹣2）（x﹣2y﹣4）
（3）m2﹣4mn﹣3m+6n+4n2
＝（m2﹣4mn+4n2）﹣3m+6n
＝（m﹣2n）2﹣3（m﹣2n）
＝（m﹣2n）（m﹣2n﹣3）．
【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
5．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
例1：1+ax+ax（1+ax）＝（1+ax）（1+ax）
＝（1+ax）2；
例2：1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）2＝（1+ax）（1+ax）+ax（1+ax）2
＝（1+ax）2+ax（1+ax）2
＝（1+ax）2（1+ax）
＝（1+ax）3
（1）分解因式：1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）2+…+ax（1+ax）n＝ （1+ax）n+1 ；
（2）分解因式：x﹣1﹣x（x﹣1）+x（x﹣1）2﹣x（x﹣1）3+…﹣x（x﹣1）2003+x（x﹣1）2004
（答题要求：请将第（1）问的答案填写在题中的横线上）
【分析】首先把式子整理，可知是将一个多项式进行因式分解，考虑运用分组分解法．
（1）可以把1+ax分成一组，看作一个整体，反复利用提公因式法就可求解．
（2）可以把x﹣1分成一组，看作一个整体，反复利用提公因式法就可求解．
【解答】解：（1）1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）2+…+ax（1+ax）n，
＝（1+ax）（1+ax）+ax（1+ax）2+…+ax（1+ax）n，
＝（1+ax）2+ax（1+ax）2+…+ax（1+ax）n，
＝（1+ax）2（1+ax）+…+ax（1+ax）n，
＝（1+ax）3+…+ax（1+ax）n，
＝（1+ax）n•（1+ax）
＝（1+ax）n+1；
（2）x﹣1﹣x（x﹣1）+x（x﹣1）2﹣x（x﹣1）3+…﹣x（x﹣1）2003+x（x﹣1）2004，
＝（x﹣1）（1﹣x）+x（x﹣1）2﹣x（x﹣1）3+…﹣x（x﹣1）2003+x（x﹣1）2004，
＝（x﹣1）2（﹣1+x）2﹣x（x﹣1）3+…﹣x（x﹣1）2003+x（x﹣1）2004，
＝（x﹣1）2（1﹣x）+…﹣x（x﹣1）2003+x（x﹣1）2004，
＝（x﹣1）2005．
【点评】本题考查了分组分解法分解因式，关键是将原式转化为（x﹣1）n的形式，解题时要有构造意识和想象力．
6．（2023春•永定区期中）先阅读，再因式分解：x4+4＝（x4+4x2+4）﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2﹣2x+2）（x2+2x+2），按照这种方法把多项式x4+324因式分解．
【分析】原式变形后，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：x4+324＝x4+36x2+324﹣36x2
＝（x2+18）2﹣36x2
＝（x2+18）2﹣（6x）2
＝（x2+18+6x）（x2+18﹣6x）．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，以及运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
7．（2019秋•平山县期末）对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解．
（1）求式子中m、n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4．
【分析】（1）根据x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），得出有关m，n的方程组求出即可；
（2）由把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案．
【解答】解：（1）在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），中，
分别令x＝0，x＝1，
即可求出：m＝﹣3，n＝﹣5
（2）把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，
则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，
用上述方法可求得：a＝4，b＝4，
所以x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+4x+4），
＝（x+1）（x+2）2．
解法二：把x＝﹣2代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，
则多项式可分解为（x+2）（x2+ax+b）的形式，
用上述方法可求得：a＝3，b＝2，
所以x3+5x2+8x+4＝（x+2）（x2+3x+2），
＝（x+1）（x+2）2．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，根据已知获取正确的信息，是近几年中考中热点题型同学们应熟练掌握获取正确信息的方法．
8．（2018秋•涿鹿县期末）阅读与思考
x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解
x2+（p+q）x+pq型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子分解因式呢？
我们通过学习，利用多项式的乘法法则可知：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，因式分解是整式乘法相反方向的变形，利用这种关系可得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
利用这个结果可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如，将x2﹣x﹣6分解因式．这个式子的二次项系数是1，常数项﹣6＝2×（﹣3），一次项系数﹣1＝2+（﹣3），因此这是一个x2+（p+q）x+pq型的式子．所以x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）．
上述过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．
这样我们也可以得到x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3）．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．
请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：
（1）分解因式：y2﹣2y﹣24．
（2）若x2+mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，请直接写出整数m的所有可能值．
【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式得出答案；
（2）利用十字相乘法分解因式得出所有的可能．
【解答】解：（1）y2﹣2y﹣24＝（y+4）（y﹣6）；
（2）若x2+mx﹣12（m为常数）可分解为两个一次因式的积，
m的值可能是﹣1，1，﹣4，4，11，﹣11．
【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．
9．（2019春•岳阳期中）已知二次三项式x2+px+q的常数项与（x﹣1）（x﹣9）的常数项相同，而它的一次项与（x﹣2）（x﹣4）的一次项相同，试将此多项式因式分解．
【分析】先计算出（x﹣1）（x﹣9）与（x﹣2）（x﹣4），根据二次三项式x2+px+q的常数项与（x﹣1）（x﹣9）的常数项相同，一次项与（x﹣2）（x﹣4）的一次项相同，确定二次三项式，再因式分解．
【解答】解：（x﹣1）（x﹣9）＝x2﹣10x+9，
由于二次三项式x2+px+q的常数项与（x﹣1）（x﹣9）的常数项相同，
∴q＝9，
（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣6x+8，
由于二次三项式x2+px+q的一次项与（x﹣2）（x﹣4）的一次项相同，
∴p＝﹣6．
∴原二次三项式是x2﹣6x+9．
∴x2﹣6x+9＝（x﹣3）2．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式和多项式的因式分解．解决本题的关键是根据题目条件确定二次三项式．
10．（2017秋•微山县期末）【阅读材料】
对于二次三项式a2+2ab+b2可以直接分解为（a+b）2的形式，但对于二次三项式a2+2ab﹣8b2，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式a2+2ab﹣8b2中先加上一项b2，使其成为完全平方式，再减去b2这项，（这里也可把﹣8b2拆成+b2与﹣9b2的和），使整个式子的值不变．
于是有：a2+2ab﹣8b2
＝a2+2ab﹣8b2+b2﹣b2
＝（a2+2ab+b2）﹣8b2﹣b2
＝（a+b）2﹣9b2
＝[（a+b）+3b][（a+b）﹣3b]
＝（a+4b）（a﹣2b）
我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
【应用材料】
（1）上式中添（拆）项后先把完全平方式组合在一起，然后用 公式 法实现分解因式．
（2）请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式：
①m2+6m+8；②a4+a2b2+b4
【分析】（1）根据解题步骤及因式分解的步骤解答即可得；
（2）①将原式变形为m2+6m+9﹣1＝（m+3）2﹣12分解可得；②将原式变形为a4+2a2b2+b4﹣a2b2＝（a2+b2）2﹣（ab）2再进一步分解可得．
【解答】解：（1）上式中添（拆）项后先把完全平方式组合在一起，然后用公式法实现分解因式．
故答案为：公式；
（2）①m2+6m+8
＝m2+6m+9﹣1
＝（m+3）2﹣12
＝（m+3+1）（m+3﹣1）
＝（m+4）（m+2）；
②a4+a2b2+b4
＝a4+2a2b2+b4﹣a2b2
＝（a2+b2）2﹣（ab）2
＝（a2+b2+ab）（a2+b2﹣ab）．
【点评】本题主要考查因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式及因式分解的步骤．
11．（2018春•安丘市期末）阅读下面的材料，解答提出的问题：
已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），由题意，得：
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：m＝﹣21，n＝﹣7
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
提出问题：
（1）已知：二次三项式x2+5x﹣p有一个因式是（x﹣1），求p的值．
（2）已知：二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式及k的值．
【分析】（1）利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案；
（2）利用已知结合因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，假设出另一个因式，进而得出方程组，可得答案．
【解答】解：（1）设另一个因式为（x+n），由题意，得：
x2+5x﹣p＝（x﹣1）（x+n）
则x2+5x﹣p＝x2+（n﹣1）x﹣n
∴．
解得：，
∴另一个因式为（x+6），p的值为6；
（2）设另一个因式为（2x+m），由题意，得：
2x2+3x﹣k＝（x﹣5）（2x+m）
则2x2+3x﹣k＝2x2+（m﹣10）x﹣5m
∴．
解得：，
∴另一个因式为（2x+13），k的值为65．
【点评】此题主要考查了十字相乘法因式分解以及解二元一次方程组，正确假设出另一个因式是解题关键．
12．（2017春•兴化市期末）已知A＝2a﹣7，B＝a2﹣4a+3，C＝a2+6a﹣28，其中a＞2．
（1）求证：B﹣A＞0，并指出A与B的大小关系；
（2）阅读对B因式分解的方法：
解：B＝a2﹣4a+3＝a2﹣4a+4﹣1＝（a﹣2）2﹣1＝（a﹣2+1）（a﹣2﹣1）＝（a﹣1）（a﹣3）．
请完成下面的两个问题：
①仿照上述方法分解因式：x2﹣4x﹣96；
②指出A与C哪个大？并说明你的理由．
【分析】（1）由B﹣A＝a2﹣4a+3﹣2 a+7＝a2﹣6a+10＝（a﹣3）2+1＞0可得；
（2）①根据x2﹣4x﹣96＝x2﹣4x+4﹣100＝（x﹣2）2﹣102，再利用平方差公式分解可得；
②由C﹣A＝a2+6a﹣28﹣2a+7＝a2+4a﹣21＝（a+7）（a﹣3）．再分类讨论可得．
【解答】解：（1）∵B﹣A＝a2﹣4a+3﹣2 a+7＝a2﹣6a+10＝（a﹣3）2+1＞0，
∴B＞A；
（2）①x2﹣4x﹣96＝x2﹣4x+4﹣100＝（x﹣2）2﹣102＝（x﹣2+10）（x﹣2﹣10）＝（x+8）（x﹣12）；
②C﹣A＝a2+6a﹣28﹣2a+7＝a2+4a﹣21＝（a+7）（a﹣3）．
因为a＞2，
所以a+7＞0，
从而当2＜a＜3时，A＞C；
当a＝3时，A＝C；
当a＞3时，A＜C．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法、十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，注意整体思想的运用是解题的关键．
13．（2023秋•徐闻县期末）阅读下列材料：
材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）
（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）
材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2
再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2
上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．
【分析】（1）利用十字相乘法变形即可得；
（2）①根据材料2的整体思想可以对（x﹣y）2+4（x﹣y）+3分解因式；
②根据材料1和材料2可以对m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3分解因式．
【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；
（2）①令A＝x﹣y，
则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），
所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；
②令B＝m2+2m，
则原式＝B（B﹣2）﹣3
＝B2﹣2B﹣3
＝（B+1）（B﹣3），
所以原式＝（m2+2m+1）（m2+2m﹣3）
＝（m+1）2（m﹣1）（m+3）．
【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，可以根据材料中的例子对所求的式子进行因式分解．
14．（2018秋•安陆市期末）分解因式：x2+12x﹣189，分析：由于常数项数值较大，则将x2+12x﹣189变为完全平方公式，再运用平方差公式进行分解，这样简单易行．
x2+12x﹣189＝x2+2*6x+62﹣36﹣189
＝（x+6）2﹣225
＝（x+6）2﹣152
＝（x+6+15）（x+6﹣15）
＝（x+21）（x﹣9）
请按照上面的方法分解因式：x2﹣60x+884．
【分析】先利用完全平方公式把多项式变为A2﹣B2的形式，再利用平方差公式分解因式．
【解答】解：x2﹣60x+884＝x2﹣2×30x+900﹣900+884＝（x﹣30）2﹣16＝（x﹣30+4）（x﹣30﹣4）＝（x﹣26）（x﹣34）．
【点评】本题考查因式分解，完全平方公式，平方差公式等知识，解题的关键是灵活运用完全平方公式，把多项式变为A2﹣B2的形式，再利用平方差公式分解因式，属于中考常考题型．
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