还剩59页未读，
继续阅读
所属成套资源：北师大版八年级数学下册同步精品讲义（原卷版+解析)
成套系列资料，整套一键下载
北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第14讲 认识分式（原卷版+解析）
展开
这是一份北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第14讲 认识分式（原卷版+解析），共62页。试卷主要包含了5，等内容，欢迎下载使用。
1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.
2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．
知识精讲
知识点01 分式的定义
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．
【知识拓展】（2023秋•汉阴县校级期末）下列各式中，是分式的是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】（2023秋•宜城市期末）在，，x，中，分式有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
知识点02 分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
【知识拓展】（2023秋•昌吉市校级期末）当x（ ）时，分式有意义．
A．x＞50B．x＜50C．x＝50D．x≠50
【即学即练1】（2023秋•利通区校级期末）若分式有意义，则x的取值范围是 ．
【即学即练2】（2023秋•定远县校级期末）若分式有意义，则x的取值范围为 ．
知识点03 分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
【知识拓展】（2022春•思明区校级月考）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
A．x2﹣3B．C．（x+1）2D．
【即学即练1】（2023秋•红河州期末）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣2021B．2021C．0D．±2021
【即学即练2】如果分式的值等于0，那么m的值为（ ）
A．±4B．4C．﹣4D．不存在
知识点04分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
【知识拓展1】（2022•全椒县一模）已知x﹣y＝2xy（x≠0），则的值为（ ）
A．﹣B．﹣3C．D．3
【即学即练】已知，则的值为
知识点05分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
【知识拓展1】（2023秋•仓山区校级期末）下列各式中，化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练1】（2023秋•洛川县校级期末）已知m＝n，下列等式：（1）m+2＝n+2；（2）bm＝bn；（3）＝1；（4）＝．其中，正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【即学即练2】（2023秋•仁怀市期末）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
知识点06约分
（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
【知识拓展】（2023秋•藁城区期末）化简：＝（ ）
A．3xB．6xC．2D．2x
【即学即练1】（2023秋•兴城市期末）下列各分式化简后与相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练2】（2023秋•丛台区校级期末）小丽在化简分式时，*部分不小心滴上小墨水，请你推测，*部分的式子应该是（ ）
A．x2﹣2x+1B．x2+2x+1C．x2﹣1D．x2﹣2x﹣1
知识点07最简分式
最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
和分数不能化简一样，叫最简分数．
【知识拓展】（2023秋•孟村县期末）下列选项是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练1】（2023秋•鹿邑县期末）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．
C．D．
知识点08最简公分母
（1）最简公分母的定义：
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
【知识拓展】（2023秋•汉阳区校级期末）分式与的最简公分母是（ ）
A．x﹣1B．x2﹣1C．2（x﹣1）D．2（x﹣1）2
【即学即练1】（2023秋•龙山县期末）①，都是分式；②分式的基本性质之一可以表示为＝；③是最简分式；④与的最简公分母是ab（x+2）2．以上四个结论中正确的有（ ）
A．③④B．①④C．①D．③
知识点09列代数式（分式）
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系． ③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换．
注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替．
【知识拓展1】（2023秋•丛台区校级期末）甲、乙两港口之间的海上行程为skm，一轮船以akm/h的航速从甲港顺流航行到乙港．已知水流速度为xkm/h，则这艘轮船从乙港逆水航行回到甲港所用的时间为（ ）h．
A．B．C．D．
【即学即练1】（2023秋•方正县期末）甲乙两个码头相距s千米，某船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，则船一次往返两个码头所需的时间为（ ）小时．
A．B．C．D．+
【即学即练2】（2023秋•栖霞市期末）有一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度，先称出这捆钢筋的总质量为a千克，再从中截出10米长的钢筋，称出这10米的质量为b千克，那么这捆钢筋的总长度为（ ）
A．米B．米
C．米D．米
能力拓展
一．选择题（共3小题）
1．（2020•原阳县校级自主招生）如果分式的值恒为正数，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2B．x≠3C．x＞﹣3D．x＞﹣2且x≠3
2．（2019春•城关区校级月考）化简，得（ ）
A．B．﹣2n+1C．D．
3．（2018•李沧区校级自主招生）当x取，，，…，，1，2，…，2016，2017，2018时，计算代数式的值，再把所有结果加起来，则这个总和为（ ）
A．2017B．2018C．2017D．2018
二．填空题（共1小题）
4．（2019•南浔区校级自主招生）已知a，b，c为三个非零实数，x2﹣1为多项式x3+ax2+bx+c的因式．则的值为 ．
三．解答题（共4小题）
5．（2019•盐城）【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：
第一次
第二次：
（1）完成上表；
（2）计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价．（均价＝总金额÷总质量）
【数学思考】设甲每次买质量为m千克的菜，乙每次买金额为n元的菜，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含有m、n、a、b的式子，分别表示出甲、乙两次买菜的均价、，比较、的大小，并说明理由．
【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为v，所需时间为t1；如果水流速度为p时（p＜v），船顺水航行速度为（v+p），逆水航行速度为（v﹣p），所需时间为t2．请借鉴上面的研究经验，比较t1、t2的大小，并说明理由．
6．（2001•广州）一艘船由A到B顺水航行每小时走v1千米，由B到A逆水航行每小时走v2千米，求此船在A、B间往返一次平均每小时走多少千米？
7．（2016春•高邮市校级期中）已知：，
（1）若A＝，求m的值；
（2）当a取哪些整数时，分式B的值为整数；
（3）若a＞0，比较A与B的大小关系．
8．（2019秋•来凤县期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”是 （填写序号即可）；
（2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值；
（3）在化简时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：
小东：＝＝
小强：＝＝
显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是： ，
请你接着小强的方法完成化简．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共7小题）
1．（2023秋•天津期末）下列各式：﹣，2x+3y2，，，﹣，﹣m，其中是分式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2023秋•鼓楼区校级期末）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x＝2022B．x＞2022C．x＜2022D．x≠2022
3．（2023秋•建安区期末）若分式的值为零，则x的取值范围是（ ）
A．x＝0B．x＝﹣1且x≠C．x＝﹣1D．x≠
4．（2023秋•梁溪区期末）若表示一个整数，则整数a可取的值共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．（2023秋•顺平县期末）下列分式变形一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023秋•威县期末）对于分式，变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023秋•惠州期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．﹣
二．填空题（共5小题）
8．（2023秋•天津期末）若分式有意义，则a的取值范围是 ．
9．（2021秋•威县期末）已知分式．
（1）x＝ ，分式无意义；
（2）x＝ ，分式值是零．
10．（2023秋•德江县期末）若分式的值为零，则x的值为 ．
11．（2022•南山区模拟）若a2﹣＝3，则的值为 ．
12．（2023秋•河西区期末）约分的结果为 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2023秋•广丰区期末）（1）已知＝1，求的值；
（2）已知+＝2，求的值．
14．（2023秋•甘井子区期末）已知（m+n）2＝25，（m﹣n）2＝9，求的值．
15．（2023秋•丛台区校级期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：已知：，求代数式x2+的值．
解：∵，∴＝4即﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则x＝，y＝，z＝，∴．
根据材料回答问题：（1）已知，求x+的值．
（2）已知，（abc≠0），求的值．
题组B 能力提升练
一．选择题（共6小题）
1．（2023秋•沂水县期末）已知分式的值是a，如果用x、y的相反数代入这个分式所得的值为b，则a、b关系（ ）
A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．乘积为﹣1
2．（2020秋•泰山区期末）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2020秋•兰山区期末）若x、y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋•开封期末）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春•北碚区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．若分式的值为0，则x＝2
B．是分式
C．与的最简公分母是ab（x﹣y）（y﹣x）
D．
6．（2020秋•渑池县期末）甲、乙两地相距m千米，某人从甲地前往乙地，原计划n小时到达，因故延迟了1小时到达，则他平均每小时比原计划少走的千米数为（ ）
A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
二．填空题（共2小题）
7．（2023秋•巢湖市期末）若分式的值为0，则a＝ ．
8．（2023秋•温岭市期末）若把分式的x、y同时变为原来的10倍，则分式的值 （填变大，变小，不变）
三．解答题（共5小题）
9．（2023秋•信都区校级月考）仔细阅读下面的材料并解答问题：
例题：当x取何值时，分式的值为正？
解：依题意得＞0，则有①或，
解不等式组①得＜x＜1，解不等式组②得不等式组无解，故＜x＜1．
所以当＜x＜1，分式的值为正．
依照上面方法解答问题：
当x取何值时，分式的值为负？
10．（2023春•江北区校级期中）按要求完成下列各题：
（1）若（x﹣3）（x+m）＝x2+nx﹣15，求的值．
（2）已知（n﹣2020）2+（2023﹣n）2＝3，求（n﹣2020）（2023﹣n）的值．
（3）已知多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b含有因式x2+x﹣2，求的值．
11．（2019秋•石景山区期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：＝1+．
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
例如：像，，…，这样的分式是假分式；像，，…，这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．
例如：＝＝1+；
＝＝x﹣2+．
解决下列问题：
（1）将分式化为整式与真分式的和的形式为： ．（直接写出结果即可）
（2）如果分式的值为整数，求x的整数值．
12．（2023秋•龙凤区期末）阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
解：设，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），
∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．
依照上述方法解答下列问题：
已知：，其中x+y+z≠0，求的值．
13．（2023秋•思明区校级期末）已知A，B两港之间的距离为150千米，水流速度为5千米/时．
（1）若一轮船从A港顺流航行到B港所用的时间是从B港逆流航行到A港所用时间的，求该轮船在静水中的航行速度；
（2）记某船从A港顺流航行到B港，再从B港逆流航行返回到A港所用的时间为t1；若该船从A港航行到B港再返回到A港均为静水航行，所用时间为t2，请比较t1与t2的大小，并说明理由．
题组C 培优拔尖练
一．选择题（共1小题）
1．（2023秋•甘井子区期末）下列式子是分式的是（ ）
A．xB．C．D．
二．填空题（共1小题）
2．（2020秋•沂源县期中）若＝2，则＝
三．解答题（共7小题）
3．（2023•东港区一模）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．
如＝＝+＝1+，＝＝a﹣1+，
则和都是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）；
①；②；③；④
（2）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：
＝ ．
（3）应用：已知方程组有正整数解，求整数m的值．
4．（2017秋•宁城县期末）自学下面材料后，解答问题．
分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．如：＞0；＜0等．那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：
（1）若a＞0，b＞0，则＞0；若a＜0，b＜0，则＞0；
（2）若a＞0，b＜0，则＜0；若a＜0，b＞0，则＜0．
反之：①若＞0，则 或
②若＜0，则 或．
根据上述规律，
①求不等式＜0的解集．
②直接写出不等式解集为x＞3或x＜1的最简分式不等式．
5．（2017秋•松滋市期末）通常情况下，a+b不一定等于ab，观察：2+2＝2×2，3+，4+…我们把符合a+b＝ab的两个数叫做“和积数对”，已知m、n是一对“和积数对”．
（1）当m＝﹣10时，求n的值．
（2）求代数式的值．
6．（2018秋•长安区校级期中）阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：＝＝2+＝2．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：＝＝1﹣；
再如：＝＝＝x+1+．
解决下列问题：
（1）分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）；
（2）假分式可化为带分式 的形式；
（3）如果分式的值为整数，那么x的整数值为 ．
7．（2019•让胡路区模拟）已知，求的值．
8．（2017秋•平谷区期末）若，求的值．
9．（2017春•市北区期末）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克（a，b是正数，且a≠b），请比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低．
菜价3元/千克
质量
金额
甲
1千克
3元
乙
1千克
3元
菜价2元/千克
质量
金额
甲
1千克
元
乙
千克
3元
第14讲 认识分式
目标导航
1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.
2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．
知识精讲
知识点01 分式的定义
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．
【知识拓展】（2023秋•汉阴县校级期末）下列各式中，是分式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据分式的定义判断即可．
【解答】解：A选项分母中含有字母，故该选项符合题意；
B选项分母中不含字母，故该选项不符合题意；
C选项分母中不含字母，故该选项不符合题意；
D选项分母中不含字母，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了分式的定义，掌握分式的分母中含有字母是解题的关键，注意π是数字．
【即学即练】（2023秋•宜城市期末）在，，x，中，分式有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据分式的定义，形如，B中含有字母且B≠0，判断即可．
【解答】解：在，，x，中，分母中含有字母的只有，所以只有是分式．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
知识点02 分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
【知识拓展】（2023秋•昌吉市校级期末）当x（ ）时，分式有意义．
A．x＞50B．x＜50C．x＝50D．x≠50
【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得：x﹣50≠0，
解得：x≠50，
故选：D．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
【即学即练1】（2023秋•利通区校级期末）若分式有意义，则x的取值范围是 x≠5 ．
【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解．
【解答】解：由题意可得5﹣x≠0，
解得：x≠5，
故答案为：x≠5．
【点评】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件（分母不能为零）是解题关键．
【即学即练2】（2023秋•定远县校级期末）若分式有意义，则x的取值范围为 x≠±2 ．
【分析】根据分式有意义的条件列不等式组求解．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x2﹣4≠0，
∴x≠±2．
故答案为：x≠±2．
【点评】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件（分母不能为零）是解题关键．
知识点03 分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
【知识拓展】（2022春•思明区校级月考）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
A．x2﹣3B．C．（x+1）2D．
【分析】根据平方根的概念及分式值为零的条件进行分析计算，从而作出判断．
【解答】解：A、当x＝±时，原式值为0，故此选项不符合题意；
B、不论x取何值，原式的值都不可能为0，故此选项符合题意；
C、当x＝﹣1时，原式值为0，故此选项不符合题意；
D、当x＝﹣1时，原式值为0，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查分式值为零的条件，利用平方根解方程，理解分式值为零的条件（分子为零且分母不为零），掌握直接开平方法解方程的方法是解题关键．
【即学即练1】（2023秋•红河州期末）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣2021B．2021C．0D．±2021
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0，分母不为0，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
x﹣2021＝0且x+2021≠0，
∴x＝2021且x≠﹣2021，
∴x的值为2021，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式值为0的条件是解题的关键．
【即学即练2】如果分式的值等于0，那么m的值为（ ）
A．±4B．4C．﹣4D．不存在
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0，分母不为0，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：|m|﹣4＝0且m﹣4≠0，
∴x＝±4且x≠4，
∴x的值为：﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
知识点04分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
【知识拓展1】（2022•全椒县一模）已知x﹣y＝2xy（x≠0），则的值为（ ）
A．﹣B．﹣3C．D．3
【分析】将分式变形后整体代换．
【解答】解：∵x﹣2y＝2xy，
∴原式＝
＝
＝
＝3．
故选：D．
【点评】本题考查求分式的值，将分子变形后整体代换是求解本题的关键．
【即学即练】已知，则的值为
【分析】根据得到a﹣b＝﹣2ab，将变形为代入计算即可．
【解答】解：∵，
∴b﹣a＝2ab，即a﹣b＝﹣2ab，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分式的值，根据已知条件得到a﹣b＝﹣2ab并整体代入是解题的关键．
知识点05分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
【知识拓展1】（2023秋•仓山区校级期末）下列各式中，化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用分式的基本性质化简即可．
【解答】解：A、，化简错误，选项A不符合题意；
B、，化简错误，选项B不符合题意；
C、分子分母中不含有公因式，不能约分化简，选项C不符合题意；
D、，化简正确，选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
【即学即练1】（2023秋•洛川县校级期末）已知m＝n，下列等式：（1）m+2＝n+2；（2）bm＝bn；（3）＝1；（4）＝．其中，正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据等式的基本性质，分式的基本性质逐一判断即可．
【解答】解：∵m＝n，
∴m+2＝n+2，
故（1）正确；
∵m＝n，
∴bm＝bm，
故（2）正确；
∵m＝n（m＝n≠0），
∴＝1，
故（3）不正确；
∵m＝n，
∴＝，
故（4）正确；
∴上列等式，正确的有3个，
故选：C．
【点评】本题考查了等式的基本性质，分式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质，分式的基本性质是解题的关键．
【即学即练2】（2023秋•仁怀市期末）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据分式的基本性质进行计算逐一判断即可．
【解答】解：A、≠，故A不符合题意；
B、≠x+y，故B不符合题意；
C、＝＝﹣1，故C符合题意；
D、＝x4，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
知识点06约分
（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
【知识拓展】（2023秋•藁城区期末）化简：＝（ ）
A．3xB．6xC．2D．2x
【分析】直接利用分式的性质化简进而得出答案．
【解答】解：＝＝．
故选：D．
【点评】此题主要考查了约分，正确化简分式是解题关键．
【即学即练1】（2023秋•兴城市期末）下列各分式化简后与相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】将各选项分式能约分的约分即可得出答案．
【解答】解：A．不能再进一步约分，不符合题意；
B．不能再进一步约分，不符合题意；
C．不能再进一步约分，不符合题意；
D．＝＝，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查分式的约分，解题的关键是掌握约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
【即学即练2】（2023秋•丛台区校级期末）小丽在化简分式时，*部分不小心滴上小墨水，请你推测，*部分的式子应该是（ ）
A．x2﹣2x+1B．x2+2x+1C．x2﹣1D．x2﹣2x﹣1
【分析】直接利用分式的性质结合约分得出答案．
【解答】解：∵，
∴＝＝，
故*部分的式子应该是x2﹣2x+1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键．
知识点07最简分式
最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
和分数不能化简一样，叫最简分数．
【知识拓展】（2023秋•孟村县期末）下列选项是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可．
【解答】解：A、原式＝2a，不符合题意；
B、原式＝，不符合题意；
C、原式＝＝y﹣1，不符合题意；
D、原式为最简分式，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．
【即学即练1】（2023秋•鹿邑县期末）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，判断即可．
【解答】解：A、原式＝，不符合题意；
B、原式＝＝x+1，不符合题意；
C、原式为最简分式，符合题意；
D、原式＝＝，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．
知识点08最简公分母
（1）最简公分母的定义：
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
【知识拓展】（2023秋•汉阳区校级期末）分式与的最简公分母是（ ）
A．x﹣1B．x2﹣1C．2（x﹣1）D．2（x﹣1）2
【分析】先把2x﹣2利用提公因式法因式分解，再根据最简公分母的概念解答即可．
【解答】解：∵2x﹣2＝2（x﹣1），
∴与的最简公分母是2（x﹣1），
故选：C．
【点评】本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
【即学即练1】（2023秋•龙山县期末）①，都是分式；②分式的基本性质之一可以表示为＝；③是最简分式；④与的最简公分母是ab（x+2）2．以上四个结论中正确的有（ ）
A．③④B．①④C．①D．③
【分析】根据最简分式的概念、分式的概念及最简公分母的确定逐一判断即可．
【解答】解：①都是分式，是整式，原结论错误；
②分式的基本性质之一可以表示为＝（B≠0且C≠0），原结论错误；
③是最简分式，原说法正确；
④与的最简公分母是ab（x+2），原说法错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查最简分式与最简公分母，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式；通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
知识点09列代数式（分式）
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系． ③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换．
注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替．
【知识拓展1】（2023秋•丛台区校级期末）甲、乙两港口之间的海上行程为skm，一轮船以akm/h的航速从甲港顺流航行到乙港．已知水流速度为xkm/h，则这艘轮船从乙港逆水航行回到甲港所用的时间为（ ）h．
A．B．C．D．
【分析】直接利用路程除以轮船的逆流速度，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：．
故选：B．
【点评】此题主要考查了列代数式，正确表示出轮船逆水时速度是解题关键．
【即学即练1】（2023秋•方正县期末）甲乙两个码头相距s千米，某船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，则船一次往返两个码头所需的时间为（ ）小时．
A．B．C．D．+
【分析】根据顺水速度＝静水速度+水流速度，逆水速度＝静水速度﹣水流速度，分别表示出船往返的速度，由时间＝路程÷时间表示出往返所需的时间即可．
【解答】解：根据题意得：+．
故选：D．
【点评】此题考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键．
【即学即练2】（2023秋•栖霞市期末）有一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度，先称出这捆钢筋的总质量为a千克，再从中截出10米长的钢筋，称出这10米的质量为b千克，那么这捆钢筋的总长度为（ ）
A．米B．米
C．米D．米
【分析】先求1千克钢筋有几米长，即米，再求a千克钢筋的长度即可．
【解答】解：这捆钢筋的总长度为：a•＝；
故选：A．
【点评】此题考查了列代数式，解题的关键是求出1千克钢筋有几米长．
能力拓展
一．选择题（共3小题）
1．（2020•原阳县校级自主招生）如果分式的值恒为正数，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2B．x≠3C．x＞﹣3D．x＞﹣2且x≠3
【分析】本题先把分式的分子和分母因式分解，然后约分，再根据分式的值恒为正数列出不等式．注意分式有意义的条件．
【解答】解：∵，
∴要使分式的值恒为正数，则x+2＞0，x﹣3≠0．
∴x＞﹣2，且x≠3．
故选：D．
【点评】此题考查了分式的值，应把握住两点：1、要使分式恒有意义；2、要使分式的值恒为正数．
2．（2019春•城关区校级月考）化简，得（ ）
A．B．﹣2n+1C．D．
【分析】先利用同底数幂的乘法运算性质：am•an＝am+n，找到分子与分母的公因式2n+1，再根据分式的基本性质得出结果．
【解答】解：，
＝，
＝，
＝．
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法运算性质及分式的基本性质．同底数幂的乘法法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
3．（2018•李沧区校级自主招生）当x取，，，…，，1，2，…，2016，2017，2018时，计算代数式的值，再把所有结果加起来，则这个总和为（ ）
A．2017B．2018C．2017D．2018
【分析】本题不可能逐一计算，找出规律是解题的关键，经观察可得，当x的值互为倒数时，代数式的和应为定值，经计算可得+＝1，故所求代数式的和为2017个1与1个的和，故本题得解．
【解答】解：当x＝a时，＝，
当x＝时，＝＝，
∴当x的值互为倒数时，代数式的和为+＝1．
∴当x分别等于，，，…，，1，2，…，2016，2017，2018时，
代数式的和为：1+1+…+1+＝2017+＝2017．
故选：C．
【点评】本题主要考查了分式的值和数字型规律探索．解题的关键是具有分析、总结、归纳的能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．
二．填空题（共1小题）
4．（2019•南浔区校级自主招生）已知a，b，c为三个非零实数，x2﹣1为多项式x3+ax2+bx+c的因式．则的值为 ﹣2 ．
【分析】先设出多项式的另一个因式，根据因式分解和整式乘法的关系，得到a、b、c的值，再代入求值．
【解答】解：设x3+ax2+bx+c的另一个因式为（x+m），
所以（x2﹣1）（x+m）＝x3+ax2+bx+c，
即x3﹣x+mx2﹣m＝x3+ax2+bx+c，
所以a＝m，b＝﹣1，c＝﹣m．
所以＝＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了整式乘法和因式分解的关系及分式的求值，根据整式乘法和因式分解的关系，得到a、b、c的值，是解决本题的关键．
三．解答题（共4小题）
5．（2019•盐城）【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：
第一次
第二次：
（1）完成上表；
（2）计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价．（均价＝总金额÷总质量）
【数学思考】设甲每次买质量为m千克的菜，乙每次买金额为n元的菜，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含有m、n、a、b的式子，分别表示出甲、乙两次买菜的均价、，比较、的大小，并说明理由．
【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为v，所需时间为t1；如果水流速度为p时（p＜v），船顺水航行速度为（v+p），逆水航行速度为（v﹣p），所需时间为t2．请借鉴上面的研究经验，比较t1、t2的大小，并说明理由．
【分析】（1）金额＝单价×质量可求第二次甲的金额与乙的质量；
（2）利用均价＝总金额÷总质量可求甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价；
【数学思考】分别表示出、，然后求差，把分子配方，利用偶次方的非负性可得答案；
【知识迁移】分别表示出、，然后求差，判断分式的值总小于等于0，从而得结论．
【解答】解：（1）2×1＝2（元），3÷2＝1.5（千克），
故答案为2；1.5．
（2）甲两次买菜的均价为：（3+2）÷2＝2.5（元/千克），
乙两次买菜的均价为：（3+3）÷（1+1.5）＝2.4（元/千克），
∴甲两次买菜的均价为2.5（元/千克），乙两次买菜的均价为2.4（元/千克）．
【数学思考】＝＝，＝＝
∴﹣＝﹣＝≥0
∴≥
【知识迁移】t1＝，t2＝+＝
∴t1﹣t2＝﹣＝
∵0＜p＜v
∴t1﹣t2＜0
∴t1＜t2．
【点评】本题主要考查了均价＝总金额÷总质量的基本计算方法，以及分式加减运算和完全平方公式在计算中的应用，本题计算量较大．
6．（2001•广州）一艘船由A到B顺水航行每小时走v1千米，由B到A逆水航行每小时走v2千米，求此船在A、B间往返一次平均每小时走多少千米？
【分析】本题涉及公式：路程＝速度×时间．
求平均速度，即总路程÷总时间；总时间＝往返时间的和．
【解答】解：设A到B的路程是1．
则往返时间的和＝，
则平均速度＝＝．
答：往返一次平均每小时走千米．
【点评】本题主要考查了根据实际问题来列代数式的能力．
要注意的是本题中不可直接让平均速度等于顺水和逆水速度的和的一半．
7．（2016春•高邮市校级期中）已知：，
（1）若A＝，求m的值；
（2）当a取哪些整数时，分式B的值为整数；
（3）若a＞0，比较A与B的大小关系．
【分析】（1）根据分式的值相等，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；
（2）根据拆项法，可得1﹣，根据是整数，可得a的值；
（3）根据作差法，可得答案．
【解答】解：（1）由A＝，得
＝1﹣＝，2﹣m＝1，解得m＝1；
（2）B＝＝1﹣，∴当a+4＝±1时B为整数
a＝﹣3，a＝﹣5．
（3）当a＞0时，A﹣B＝﹣＜0，
A＜B．
【点评】本题考查了分式的值，利用分式的值得出方程是解题关键．
8．（2019秋•来凤县期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”是 ② （填写序号即可）；
（2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值；
（3）在化简时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：
小东：＝＝
小强：＝＝
显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是： 小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母 ，
请你接着小强的方法完成化简．
【分析】（1）根据题意可以判断题目中的各个小题哪个是和谐分式，从而可以解答本题；
（2）根据和谐分式的定义可以得到a的值；
（3）根据题意和和谐分式的定义可以解答本题．
【解答】解：（1）②分式＝，不可约分，
∴分式是和谐分式，
故答案为：②；
（2）∵分式为和谐分式，且a为正整数，
∴a＝4，a＝5；
（3）小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母，
原式＝＝＝＝
故答案为：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母．
【点评】本题考查约分，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用和谐分式的定义解答．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共7小题）
1．（2023秋•天津期末）下列各式：﹣，2x+3y2，，，﹣，﹣m，其中是分式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据分式的定义知道分式的分母中含有未知数判断即可．
【解答】解：，﹣是分式，
﹣，2x+3y2，，﹣m是整式，
分式有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的定义，掌握分式的分母中含有未知数是解题的关键，注意π是数字．
2．（2023秋•鼓楼区校级期末）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x＝2022B．x＞2022C．x＜2022D．x≠2022
【分析】根据分式有意义的条件列不等式组求解．
【解答】解：由题意可得x﹣2022≠0，
解得x≠2022，
故选：D．
【点评】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件（分母不能为零）是解题关键．
3．（2023秋•建安区期末）若分式的值为零，则x的取值范围是（ ）
A．x＝0B．x＝﹣1且x≠C．x＝﹣1D．x≠
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0，分母不为0，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：x+1＝0且3x﹣2≠0，
∴x＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
4．（2023秋•梁溪区期末）若表示一个整数，则整数a可取的值共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据题意列出等式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：a﹣1＝±1或±3，
∴a＝0或2或﹣2或4，
故选：C．
【点评】本题考分式的值，解题的关键是正确列出等式，本题属于基础题型．
5．（2023秋•顺平县期末）下列分式变形一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：A、分子分母都加上3不符合分式的基本性质，故此选项不符合题意；
B、分子分母乘以n，必须n≠0，故此选项不符合题意；
C、分子分母都加上n不符合分式的基本性质，故此选项不符合题意；
D、符合分式的基本性质，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
6．（2023秋•威县期末）对于分式，变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据分式的基本性质进行计算即可解答．
【解答】解：＝＝﹣，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
7．（2023秋•惠州期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．﹣
【分析】直接利用分式的基本性质分别化简，进而判断得出答案．
【解答】解：A．无法化简是最简分式，故此选项符合题意；
B．＝＝，不是最简分式，不合题意；
C．＝，不是最简分式，不合题意；
D．﹣＝﹣，不是最简分式，不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2023秋•天津期末）若分式有意义，则a的取值范围是 a≠﹣ ．
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案．
【解答】解：∵3a+2≠0，
∴a≠﹣．
故答案为：a≠﹣．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．
9．（2023秋•威县期末）已知分式．
（1）x＝ 2 ，分式无意义；
（2）x＝ 1 ，分式值是零．
【分析】（1）分式无意义的条件是分母为0；
（2）当分子为0时，分式的值为0．
【解答】解：（1）令2﹣x＝0，
解得：x＝2，
故答案为：2；
（2）令x﹣1＝0且2﹣≠0，
解得：x＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查分式有意义的条件及分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
10．（2023秋•德江县期末）若分式的值为零，则x的值为 x＝5 ．
【分析】根据分式值为0，即分子为0，分母不为0，可得答案．
【解答】解：若分式的值为零，则5﹣|x|＝0且x+5≠0，
所以x＝5．
故答案是：x＝5．
【点评】本题考查了分式值为0的条件，分式的值为0，分式的分子为0，分母不能为0．
11．（2022•南山区模拟）若a2﹣＝3，则的值为 1 ．
【分析】先求的倒数的值，然后进行计算即可解答．
【解答】解：
＝a2﹣2﹣
＝a2﹣﹣2
＝3﹣2
＝1，
∴＝1，
【点评】本题考查了分式的值，先的倒数的值是解题的关键．
12．（2023秋•河西区期末）约分的结果为 x﹣y ．
【分析】找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可．
【解答】解：
＝
＝x﹣y．
【点评】此题考查了约分，确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
三．解答题（共3小题）
13．（2023秋•广丰区期末）（1）已知＝1，求的值；
（2）已知+＝2，求的值．
【分析】（1）用a代替b代入原式化简即可；
（2）把2ab＝a+b 代入原式化简即可．
【解答】解：（1）由 得 b＝a，代入式子 得，
；
（2）由
得 2ab＝a+b 代入式子 得，
．
【点评】本题考查了分式的求值问题，关键是整体代入方式化简．
14．（2023秋•甘井子区期末）已知（m+n）2＝25，（m﹣n）2＝9，求的值．
【分析】先利用完全平方公式进行计算，易得m2+n2的值和mn的值，然后代入式子进行计算即可．
【解答】解：∵（m+n）2＝25，（m﹣n）2＝9，
∴m2+2mn+n2＝25①，m2﹣2mn+n2＝9②，
∵①+②得：2（m2+n2）＝34，
∴m2+n2＝17，
∵①﹣②得：4mn＝16，
∴mn＝4，
∴＝．
【点评】本题考查了完全平方式，分式的值，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键．
15．（2023秋•丛台区校级期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：已知：，求代数式x2+的值．
解：∵，∴＝4即﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则x＝，y＝，z＝，∴．
根据材料回答问题：（1）已知，求x+的值．
（2）已知，（abc≠0），求的值．
【分析】（1）仿照材料一，利用倒数和完全平方公式进行计算求解；
（2）仿照材料二，利用分式的基本性质计算求解．
【解答】解：（1）∵＝，
∴＝4，
∴＝4，
即x﹣1+＝4，
∴x+＝5；
（2）令＝k，
∴a＝5k，b＝2k，c＝3k，
∴原式＝
＝
＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，理解倒数的概念，掌握分式的基本性质是解题关键．
题组B 能力提升练
一．选择题（共6小题）
1．（2023秋•沂水县期末）已知分式的值是a，如果用x、y的相反数代入这个分式所得的值为b，则a、b关系（ ）
A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．乘积为﹣1
【分析】用x、y的相反数代入分式，即可判断a、b关系．
【解答】解：根据题意：用x、y的相反数代入这个分式b＝＝﹣a，
所以a、b关系是互为相反数，
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的化简，是一个中考中经常出现的问题．
2．（2020秋•泰山区期末）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据分式的基本性质依次进行判断即可．
【解答】解：A、，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、，原变形不符合分式的运算法则，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、，原变形不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、，原变形正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
3．（2020秋•兰山区期末）若x、y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案．
【解答】解：A．，不符合题意；
B．，不符合题意；
C．，不符合题意；
D．，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．
4．（2023秋•开封期末）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：A．是最简分式；
B．＝＝x﹣y，不符合题意；
C．＝＝，不符合题意；
D．＝，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键，首先要把分子分母分解因式，然后进行约分．
5．（2023春•北碚区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．若分式的值为0，则x＝2
B．是分式
C．与的最简公分母是ab（x﹣y）（y﹣x）
D．
【分析】根据分式的值为零的条件，分式的定义，最简公分母的确定方法以及分式的性质进行判断．
【解答】解：A、若分式的值为0，则x2﹣4＝0且x﹣2≠0，所以x＝﹣2，不符合题意；
B、的分母中含有字母，是分式，符合题意；
C、与的最简公分母是ab（x﹣y），不符合题意；
D、当x＝0时，该等式不成立，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了最简公分母，分式的定义，分式的值为零的条件．注意：分式的分母不等于零．
6．（2020秋•渑池县期末）甲、乙两地相距m千米，某人从甲地前往乙地，原计划n小时到达，因故延迟了1小时到达，则他平均每小时比原计划少走的千米数为（ ）
A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
【分析】实际每小时比原计划多走的路程＝实际速度﹣原计划速度，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵原计划速度为，实际速度为，
∴实际每小时比原计划少走（﹣）千米，
故选：C．
【点评】考查列代数式；得到实际每小时比原计划多走的路程的关系式是解决本题的关键．
二．填空题（共2小题）
7．（2023秋•巢湖市期末）若分式的值为0，则a＝ ﹣2 ．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：由分式的值为0，得
|a|﹣2＝0且a2+a﹣6≠0，
解得a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
8．（2023秋•温岭市期末）若把分式的x、y同时变为原来的10倍，则分式的值 不变 （填变大，变小，不变）
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：分式的x、y同时变为原来的10倍，可得
＝，与原分式相同，
故答案为：不变．
【点评】本题考查分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
三．解答题（共5小题）
9．（2023秋•信都区校级月考）仔细阅读下面的材料并解答问题：
例题：当x取何值时，分式的值为正？
解：依题意得＞0，则有①或，
解不等式组①得＜x＜1，解不等式组②得不等式组无解，故＜x＜1．
所以当＜x＜1，分式的值为正．
依照上面方法解答问题：
当x取何值时，分式的值为负？
【分析】根据阅读材料进行计算即可．
【解答】解：∵x3﹣2x2+x＝x（x2﹣2x+1）＝x（x﹣1）2，
∴＝，
依题意得＜0，
∴＜0，
则有①，或②，
解不等式组①得0＜x＜3且x≠1，解不等式组②得不等式组无解，故0＜x＜3且x≠1，
所以当0＜x＜3且x≠1，分式的值为负．
【点评】本题考查了分式的值，解一元一次不等式组，解决本题的关键是掌握分式的意义．
10．（2023春•江北区校级期中）按要求完成下列各题：
（1）若（x﹣3）（x+m）＝x2+nx﹣15，求的值．
（2）已知（n﹣2020）2+（2023﹣n）2＝3，求（n﹣2020）（2023﹣n）的值．
（3）已知多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b含有因式x2+x﹣2，求的值．
【分析】（1）利用整式乘法求出m，n的值，再代入求值即可；
（2）利用完全平方公式和整体代入，用多项式乘多项式法则求解即可；
（3）由于x2+x﹣2＝（x+2）（x﹣1），而多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，则2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被（x+2）（x﹣1）整除．运用待定系数法，可设商是A，则2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝A（x+2）（x﹣1），则x＝﹣2和x＝1时，2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝0，分别代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解此方程组，求出a、b的值，进而得到的值．
【解答】解：（1）∵（x﹣3）（x+m）＝x2+（m﹣3）x﹣3m＝x2+nx﹣15，
∴n＝m﹣3，﹣3m＝﹣15，
∴m＝5，n＝2，
把m＝5，n＝2代入得，
原式＝＝＝﹣1．
（2）令n﹣2020＝a，2021﹣n＝b，
根据题意得：
a2+b2＝3，a+b＝1，
∴原式＝ab＝＝＝﹣1．
（3）∵x2+x﹣2＝（x+2）（x﹣1），
∴2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被（x+2）（x﹣1）整除，
设商是A．
则2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝A（x+2）（x﹣1），
则x＝﹣2或x＝1时，右边都等于0，所以左边也等于0．
当x＝﹣2时，2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝32+24+4a﹣14+b＝4a+b+42＝0 ①，
当x＝1时，2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝2﹣3+a+7+b＝a+b+6＝0 ②，
①﹣②，得
3a+36＝0，
∴a＝﹣12，
∴b＝﹣6﹣a＝6．
∴＝＝﹣2．
【点评】此题考查的是分式的值，熟记完全平方公式和多项式乘多项式法则是解题的基础，注意因式的特点，灵活解决问题．
11．（2019秋•石景山区期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：＝1+．
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
例如：像，，…，这样的分式是假分式；像，，…，这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．
例如：＝＝1+；
＝＝x﹣2+．
解决下列问题：
（1）将分式化为整式与真分式的和的形式为： 1﹣ ．（直接写出结果即可）
（2）如果分式的值为整数，求x的整数值．
【分析】（1）由“真分式”的定义，可仿照例题得结论；
（2）先把分式化为真分式，再根据分式的值为整数确定x的值．
【解答】解：（1）＝
＝﹣
＝1﹣
故答案为：1﹣
（2）原式＝
＝
＝x﹣1+
因为x的值是整数，分式的值也是整数，
所以x+3＝±1或x+3＝±3，
所以x＝﹣4、﹣2、0、﹣6．
所以分式的值为整数，x的值可以是：﹣4、﹣2、0、﹣6．
【点评】本题考查了利用分式的性质对分式进行变形．解决本题的关键是理解真分式的定义．
12．（2023秋•龙凤区期末）阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
解：设，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），
∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．
依照上述方法解答下列问题：
已知：，其中x+y+z≠0，求的值．
【分析】根据提示，先设比值为k，再利用等式列出三元一次方程组，即可求出k的值是2，然后把x+y＝2z代入所求代数式．
【解答】解：设＝＝＝k，
则：，
（1）+（2）+（3）得：2x+2y+2z＝k（x+y+z），
∵x+y+z≠0，
∴k＝2，
∴原式＝＝＝．
【点评】本题主要考查分式的基本性质，重点是设“k”法．
13．（2023秋•思明区校级期末）已知A，B两港之间的距离为150千米，水流速度为5千米/时．
（1）若一轮船从A港顺流航行到B港所用的时间是从B港逆流航行到A港所用时间的，求该轮船在静水中的航行速度；
（2）记某船从A港顺流航行到B港，再从B港逆流航行返回到A港所用的时间为t1；若该船从A港航行到B港再返回到A港均为静水航行，所用时间为t2，请比较t1与t2的大小，并说明理由．
【分析】（1）设轮船在静水中的航行速度为x千米/时，则顺流速度为（x+5）千米/时，逆流速度为（x﹣5），列分式方程即可求解；
（2）设轮船在静水中的速度为v千米/时，由题意知t1＝，t2＝，比较t1﹣t2的大小即可．
【解答】（1）解：设轮船在静水中的航行速度为x千米/时，则顺流速度为（x+5）千米/时，逆流速度为（x﹣5），
根据题意得：，
解得x＝25，
经检验x＝25是原方程的解，
答：该轮船在静水中的航行速度为25千米/时；
（2）解：t1＞t2，理由如下：
设轮船在静水中的航行速度为v千米/时，
根据题意得：t1＝，t2＝，
t1﹣t2＝﹣，
＝[v（v﹣5）+v（v+5）﹣2（v+5）（v﹣5）]
＝×50＞0，
∴t1﹣t2＞0，
即t1＞t2．
【点评】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．解决本题的关键是表示轮船顺水和逆水中的速度．
题组C 培优拔尖练
一．选择题（共1小题）
1．（2023秋•甘井子区期末）下列式子是分式的是（ ）
A．xB．C．D．
【分析】根据分式的定义判断即可．
【解答】解：A．x是整式，故A不符合题意；
B.是整式，故B不符合题意；
C.是分式，故C符合题意；
D.是整式，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
二．填空题（共1小题）
2．（2020秋•沂源县期中）若＝2，则＝
【分析】由＝2，得x+y＝2xy，整体代入所求的式子化简即可．
【解答】解：由＝2，得x+y＝2xy
则＝＝＝．
故答案为．
【点评】解题关键是用到了整体代入的思想．
三．解答题（共7小题）
3．（2023•东港区一模）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．
如＝＝+＝1+，＝＝a﹣1+，
则和都是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是： ①③④ （填序号）；
①；②；③；④
（2）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：
＝ ．
（3）应用：已知方程组有正整数解，求整数m的值．
【分析】（1）根据“和谐分式”的定义可判定求解；
（2）根据分式的性质，结合“和谐分式”的定义进行化简求解；
（3）先解方程组，再根据方程组的解为正整数可求解．
【解答】解：（1）①＝，故是和谐分式；
②＝，故不是和谐分式；
③＝，故是和谐分式；
④＝，故是和谐分式；
故答案为①③④；
（2）＝＝＝，
故答案为；
（3）解方程组得，
∵方程组有正整数解，
即且m+2能被5整除，
解得m＝﹣1或﹣7．
【点评】本题主要考查分式，属于新定义题，理解题意是解题的关键．
4．（2017秋•宁城县期末）自学下面材料后，解答问题．
分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．如：＞0；＜0等．那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：
（1）若a＞0，b＞0，则＞0；若a＜0，b＜0，则＞0；
（2）若a＞0，b＜0，则＜0；若a＜0，b＞0，则＜0．
反之：①若＞0，则 或
②若＜0，则 或．
根据上述规律，
①求不等式＜0的解集．
②直接写出不等式解集为x＞3或x＜1的最简分式不等式．
【分析】①根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负”，解答即可；
②根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负”，写出最简分式不等式即可．
【解答】（1）解：由题意得： 或
第一个不等式组无解，第二个的解集为﹣1＜x＜2，则原分式不等式的解集为﹣1＜x＜2．
（2）或 等，
【点评】此题主要考查了分式不等式的解法，关键是根据有理数的除法和乘法法则判断出不等式里面式子的符号，组成不等式组，再求解集即可．
5．（2017秋•松滋市期末）通常情况下，a+b不一定等于ab，观察：2+2＝2×2，3+，4+…我们把符合a+b＝ab的两个数叫做“和积数对”，已知m、n是一对“和积数对”．
（1）当m＝﹣10时，求n的值．
（2）求代数式的值．
【分析】（1）把m＝﹣10代入“和积数对”，得到关于n的方程，再解方程即可求解；
（2）根据“和积数对”的定义将代数式变形得到原式＝，再化简后约分计算即可求解．
【解答】解：（1）当m＝﹣10时，﹣10+n＝﹣10n，解得n＝；
（2）＝＝＝．
【点评】本题考查的是分式的值，熟知“和积数对”的定义是解答此题的关键．
6．（2018秋•长安区校级期中）阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：＝＝2+＝2．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：＝＝1﹣；
再如：＝＝＝x+1+．
解决下列问题：
（1）分式是 真 分式（填“真分式”或“假分式”）；
（2）假分式可化为带分式 1﹣ 的形式；
（3）如果分式的值为整数，那么x的整数值为 0，﹣2，2，﹣4 ．
【分析】（1）依据定义进行判断即可；
（2）将原式变形为的形式，然后再进行变形即可；
（3）首先将原式变形为2﹣，然后依据x+1能够被3整数列方程求解即可．
【解答】解：（1）分式是真分式；
（2）假分式＝1﹣；
（3）＝＝2﹣．
所以当x+1＝3或﹣3或1或﹣1时，分式的值为整数．
解得x＝2或x＝﹣4或x＝0或x＝﹣2．
故答案为：（1）真；（2）1﹣；（3）0，﹣2，2，﹣4．
【点评】本题主要考查的是分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
7．（2019•让胡路区模拟）已知，求的值．
【分析】我们可将前面式子变式为x2+1＝3x，再将后面式子的分母变式为的形式从而求出值．
【解答】解：将两边同时乘以x，得x2+1＝3x，
＝＝＝．
【点评】本题考查的是分式的值，解题关键是用到了整体代入的思想．
8．（2017秋•平谷区期末）若，求的值．
【分析】变形已知为a+b＝n的形式，然后整体代入得结果
【解答】解：∵
∴＝3，即b+a＝3ab
因为
＝
＝
＝
【点评】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是利用整体代入．
9．（2017春•市北区期末）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克（a，b是正数，且a≠b），请比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低．
【分析】根据作差法，比较小丽与小颖的价格即可．
【解答】解：∵a，b是正数，且a≠b，
∴﹣＝＝＞0，
∴＞，
则小丽的价格高，小颖的价格低．
【点评】此题考查了列代数式、分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键
菜价3元/千克
质量
金额
甲
1千克
3元
乙
1千克
3元
菜价2元/千克
质量
金额
甲
1千克
2 元
乙
1.5 千克
3元
1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.
2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．
知识精讲
知识点01 分式的定义
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．
【知识拓展】（2023秋•汉阴县校级期末）下列各式中，是分式的是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】（2023秋•宜城市期末）在，，x，中，分式有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
知识点02 分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
【知识拓展】（2023秋•昌吉市校级期末）当x（ ）时，分式有意义．
A．x＞50B．x＜50C．x＝50D．x≠50
【即学即练1】（2023秋•利通区校级期末）若分式有意义，则x的取值范围是 ．
【即学即练2】（2023秋•定远县校级期末）若分式有意义，则x的取值范围为 ．
知识点03 分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
【知识拓展】（2022春•思明区校级月考）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
A．x2﹣3B．C．（x+1）2D．
【即学即练1】（2023秋•红河州期末）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣2021B．2021C．0D．±2021
【即学即练2】如果分式的值等于0，那么m的值为（ ）
A．±4B．4C．﹣4D．不存在
知识点04分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
【知识拓展1】（2022•全椒县一模）已知x﹣y＝2xy（x≠0），则的值为（ ）
A．﹣B．﹣3C．D．3
【即学即练】已知，则的值为
知识点05分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
【知识拓展1】（2023秋•仓山区校级期末）下列各式中，化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练1】（2023秋•洛川县校级期末）已知m＝n，下列等式：（1）m+2＝n+2；（2）bm＝bn；（3）＝1；（4）＝．其中，正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【即学即练2】（2023秋•仁怀市期末）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
知识点06约分
（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
【知识拓展】（2023秋•藁城区期末）化简：＝（ ）
A．3xB．6xC．2D．2x
【即学即练1】（2023秋•兴城市期末）下列各分式化简后与相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练2】（2023秋•丛台区校级期末）小丽在化简分式时，*部分不小心滴上小墨水，请你推测，*部分的式子应该是（ ）
A．x2﹣2x+1B．x2+2x+1C．x2﹣1D．x2﹣2x﹣1
知识点07最简分式
最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
和分数不能化简一样，叫最简分数．
【知识拓展】（2023秋•孟村县期末）下列选项是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练1】（2023秋•鹿邑县期末）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．
C．D．
知识点08最简公分母
（1）最简公分母的定义：
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
【知识拓展】（2023秋•汉阳区校级期末）分式与的最简公分母是（ ）
A．x﹣1B．x2﹣1C．2（x﹣1）D．2（x﹣1）2
【即学即练1】（2023秋•龙山县期末）①，都是分式；②分式的基本性质之一可以表示为＝；③是最简分式；④与的最简公分母是ab（x+2）2．以上四个结论中正确的有（ ）
A．③④B．①④C．①D．③
知识点09列代数式（分式）
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系． ③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换．
注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替．
【知识拓展1】（2023秋•丛台区校级期末）甲、乙两港口之间的海上行程为skm，一轮船以akm/h的航速从甲港顺流航行到乙港．已知水流速度为xkm/h，则这艘轮船从乙港逆水航行回到甲港所用的时间为（ ）h．
A．B．C．D．
【即学即练1】（2023秋•方正县期末）甲乙两个码头相距s千米，某船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，则船一次往返两个码头所需的时间为（ ）小时．
A．B．C．D．+
【即学即练2】（2023秋•栖霞市期末）有一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度，先称出这捆钢筋的总质量为a千克，再从中截出10米长的钢筋，称出这10米的质量为b千克，那么这捆钢筋的总长度为（ ）
A．米B．米
C．米D．米
能力拓展
一．选择题（共3小题）
1．（2020•原阳县校级自主招生）如果分式的值恒为正数，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2B．x≠3C．x＞﹣3D．x＞﹣2且x≠3
2．（2019春•城关区校级月考）化简，得（ ）
A．B．﹣2n+1C．D．
3．（2018•李沧区校级自主招生）当x取，，，…，，1，2，…，2016，2017，2018时，计算代数式的值，再把所有结果加起来，则这个总和为（ ）
A．2017B．2018C．2017D．2018
二．填空题（共1小题）
4．（2019•南浔区校级自主招生）已知a，b，c为三个非零实数，x2﹣1为多项式x3+ax2+bx+c的因式．则的值为 ．
三．解答题（共4小题）
5．（2019•盐城）【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：
第一次
第二次：
（1）完成上表；
（2）计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价．（均价＝总金额÷总质量）
【数学思考】设甲每次买质量为m千克的菜，乙每次买金额为n元的菜，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含有m、n、a、b的式子，分别表示出甲、乙两次买菜的均价、，比较、的大小，并说明理由．
【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为v，所需时间为t1；如果水流速度为p时（p＜v），船顺水航行速度为（v+p），逆水航行速度为（v﹣p），所需时间为t2．请借鉴上面的研究经验，比较t1、t2的大小，并说明理由．
6．（2001•广州）一艘船由A到B顺水航行每小时走v1千米，由B到A逆水航行每小时走v2千米，求此船在A、B间往返一次平均每小时走多少千米？
7．（2016春•高邮市校级期中）已知：，
（1）若A＝，求m的值；
（2）当a取哪些整数时，分式B的值为整数；
（3）若a＞0，比较A与B的大小关系．
8．（2019秋•来凤县期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”是 （填写序号即可）；
（2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值；
（3）在化简时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：
小东：＝＝
小强：＝＝
显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是： ，
请你接着小强的方法完成化简．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共7小题）
1．（2023秋•天津期末）下列各式：﹣，2x+3y2，，，﹣，﹣m，其中是分式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2023秋•鼓楼区校级期末）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x＝2022B．x＞2022C．x＜2022D．x≠2022
3．（2023秋•建安区期末）若分式的值为零，则x的取值范围是（ ）
A．x＝0B．x＝﹣1且x≠C．x＝﹣1D．x≠
4．（2023秋•梁溪区期末）若表示一个整数，则整数a可取的值共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．（2023秋•顺平县期末）下列分式变形一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023秋•威县期末）对于分式，变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023秋•惠州期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．﹣
二．填空题（共5小题）
8．（2023秋•天津期末）若分式有意义，则a的取值范围是 ．
9．（2021秋•威县期末）已知分式．
（1）x＝ ，分式无意义；
（2）x＝ ，分式值是零．
10．（2023秋•德江县期末）若分式的值为零，则x的值为 ．
11．（2022•南山区模拟）若a2﹣＝3，则的值为 ．
12．（2023秋•河西区期末）约分的结果为 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2023秋•广丰区期末）（1）已知＝1，求的值；
（2）已知+＝2，求的值．
14．（2023秋•甘井子区期末）已知（m+n）2＝25，（m﹣n）2＝9，求的值．
15．（2023秋•丛台区校级期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：已知：，求代数式x2+的值．
解：∵，∴＝4即﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则x＝，y＝，z＝，∴．
根据材料回答问题：（1）已知，求x+的值．
（2）已知，（abc≠0），求的值．
题组B 能力提升练
一．选择题（共6小题）
1．（2023秋•沂水县期末）已知分式的值是a，如果用x、y的相反数代入这个分式所得的值为b，则a、b关系（ ）
A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．乘积为﹣1
2．（2020秋•泰山区期末）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2020秋•兰山区期末）若x、y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023秋•开封期末）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春•北碚区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．若分式的值为0，则x＝2
B．是分式
C．与的最简公分母是ab（x﹣y）（y﹣x）
D．
6．（2020秋•渑池县期末）甲、乙两地相距m千米，某人从甲地前往乙地，原计划n小时到达，因故延迟了1小时到达，则他平均每小时比原计划少走的千米数为（ ）
A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
二．填空题（共2小题）
7．（2023秋•巢湖市期末）若分式的值为0，则a＝ ．
8．（2023秋•温岭市期末）若把分式的x、y同时变为原来的10倍，则分式的值 （填变大，变小，不变）
三．解答题（共5小题）
9．（2023秋•信都区校级月考）仔细阅读下面的材料并解答问题：
例题：当x取何值时，分式的值为正？
解：依题意得＞0，则有①或，
解不等式组①得＜x＜1，解不等式组②得不等式组无解，故＜x＜1．
所以当＜x＜1，分式的值为正．
依照上面方法解答问题：
当x取何值时，分式的值为负？
10．（2023春•江北区校级期中）按要求完成下列各题：
（1）若（x﹣3）（x+m）＝x2+nx﹣15，求的值．
（2）已知（n﹣2020）2+（2023﹣n）2＝3，求（n﹣2020）（2023﹣n）的值．
（3）已知多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b含有因式x2+x﹣2，求的值．
11．（2019秋•石景山区期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：＝1+．
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
例如：像，，…，这样的分式是假分式；像，，…，这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．
例如：＝＝1+；
＝＝x﹣2+．
解决下列问题：
（1）将分式化为整式与真分式的和的形式为： ．（直接写出结果即可）
（2）如果分式的值为整数，求x的整数值．
12．（2023秋•龙凤区期末）阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
解：设，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），
∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．
依照上述方法解答下列问题：
已知：，其中x+y+z≠0，求的值．
13．（2023秋•思明区校级期末）已知A，B两港之间的距离为150千米，水流速度为5千米/时．
（1）若一轮船从A港顺流航行到B港所用的时间是从B港逆流航行到A港所用时间的，求该轮船在静水中的航行速度；
（2）记某船从A港顺流航行到B港，再从B港逆流航行返回到A港所用的时间为t1；若该船从A港航行到B港再返回到A港均为静水航行，所用时间为t2，请比较t1与t2的大小，并说明理由．
题组C 培优拔尖练
一．选择题（共1小题）
1．（2023秋•甘井子区期末）下列式子是分式的是（ ）
A．xB．C．D．
二．填空题（共1小题）
2．（2020秋•沂源县期中）若＝2，则＝
三．解答题（共7小题）
3．（2023•东港区一模）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．
如＝＝+＝1+，＝＝a﹣1+，
则和都是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）；
①；②；③；④
（2）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：
＝ ．
（3）应用：已知方程组有正整数解，求整数m的值．
4．（2017秋•宁城县期末）自学下面材料后，解答问题．
分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．如：＞0；＜0等．那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：
（1）若a＞0，b＞0，则＞0；若a＜0，b＜0，则＞0；
（2）若a＞0，b＜0，则＜0；若a＜0，b＞0，则＜0．
反之：①若＞0，则 或
②若＜0，则 或．
根据上述规律，
①求不等式＜0的解集．
②直接写出不等式解集为x＞3或x＜1的最简分式不等式．
5．（2017秋•松滋市期末）通常情况下，a+b不一定等于ab，观察：2+2＝2×2，3+，4+…我们把符合a+b＝ab的两个数叫做“和积数对”，已知m、n是一对“和积数对”．
（1）当m＝﹣10时，求n的值．
（2）求代数式的值．
6．（2018秋•长安区校级期中）阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：＝＝2+＝2．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：＝＝1﹣；
再如：＝＝＝x+1+．
解决下列问题：
（1）分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）；
（2）假分式可化为带分式 的形式；
（3）如果分式的值为整数，那么x的整数值为 ．
7．（2019•让胡路区模拟）已知，求的值．
8．（2017秋•平谷区期末）若，求的值．
9．（2017春•市北区期末）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克（a，b是正数，且a≠b），请比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低．
菜价3元/千克
质量
金额
甲
1千克
3元
乙
1千克
3元
菜价2元/千克
质量
金额
甲
1千克
元
乙
千克
3元
第14讲 认识分式
目标导航
1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.
2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．
知识精讲
知识点01 分式的定义
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x++2是分式，如果形式都不是的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．
【知识拓展】（2023秋•汉阴县校级期末）下列各式中，是分式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据分式的定义判断即可．
【解答】解：A选项分母中含有字母，故该选项符合题意；
B选项分母中不含字母，故该选项不符合题意；
C选项分母中不含字母，故该选项不符合题意；
D选项分母中不含字母，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了分式的定义，掌握分式的分母中含有字母是解题的关键，注意π是数字．
【即学即练】（2023秋•宜城市期末）在，，x，中，分式有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据分式的定义，形如，B中含有字母且B≠0，判断即可．
【解答】解：在，，x，中，分母中含有字母的只有，所以只有是分式．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
知识点02 分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
【知识拓展】（2023秋•昌吉市校级期末）当x（ ）时，分式有意义．
A．x＞50B．x＜50C．x＝50D．x≠50
【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得：x﹣50≠0，
解得：x≠50，
故选：D．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．
【即学即练1】（2023秋•利通区校级期末）若分式有意义，则x的取值范围是 x≠5 ．
【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解．
【解答】解：由题意可得5﹣x≠0，
解得：x≠5，
故答案为：x≠5．
【点评】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件（分母不能为零）是解题关键．
【即学即练2】（2023秋•定远县校级期末）若分式有意义，则x的取值范围为 x≠±2 ．
【分析】根据分式有意义的条件列不等式组求解．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x2﹣4≠0，
∴x≠±2．
故答案为：x≠±2．
【点评】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件（分母不能为零）是解题关键．
知识点03 分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
【知识拓展】（2022春•思明区校级月考）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（ ）
A．x2﹣3B．C．（x+1）2D．
【分析】根据平方根的概念及分式值为零的条件进行分析计算，从而作出判断．
【解答】解：A、当x＝±时，原式值为0，故此选项不符合题意；
B、不论x取何值，原式的值都不可能为0，故此选项符合题意；
C、当x＝﹣1时，原式值为0，故此选项不符合题意；
D、当x＝﹣1时，原式值为0，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查分式值为零的条件，利用平方根解方程，理解分式值为零的条件（分子为零且分母不为零），掌握直接开平方法解方程的方法是解题关键．
【即学即练1】（2023秋•红河州期末）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．﹣2021B．2021C．0D．±2021
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0，分母不为0，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
x﹣2021＝0且x+2021≠0，
∴x＝2021且x≠﹣2021，
∴x的值为2021，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式值为0的条件是解题的关键．
【即学即练2】如果分式的值等于0，那么m的值为（ ）
A．±4B．4C．﹣4D．不存在
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0，分母不为0，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：|m|﹣4＝0且m﹣4≠0，
∴x＝±4且x≠4，
∴x的值为：﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
知识点04分式的值
分式求值历来是各级考试中出现频率较高的题型，而条件分式求值是较难的一种题型，在解答时应从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能发现解题的捷径．
【知识拓展1】（2022•全椒县一模）已知x﹣y＝2xy（x≠0），则的值为（ ）
A．﹣B．﹣3C．D．3
【分析】将分式变形后整体代换．
【解答】解：∵x﹣2y＝2xy，
∴原式＝
＝
＝
＝3．
故选：D．
【点评】本题考查求分式的值，将分子变形后整体代换是求解本题的关键．
【即学即练】已知，则的值为
【分析】根据得到a﹣b＝﹣2ab，将变形为代入计算即可．
【解答】解：∵，
∴b﹣a＝2ab，即a﹣b＝﹣2ab，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了分式的值，根据已知条件得到a﹣b＝﹣2ab并整体代入是解题的关键．
知识点05分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
【知识拓展1】（2023秋•仓山区校级期末）下列各式中，化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用分式的基本性质化简即可．
【解答】解：A、，化简错误，选项A不符合题意；
B、，化简错误，选项B不符合题意；
C、分子分母中不含有公因式，不能约分化简，选项C不符合题意；
D、，化简正确，选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
【即学即练1】（2023秋•洛川县校级期末）已知m＝n，下列等式：（1）m+2＝n+2；（2）bm＝bn；（3）＝1；（4）＝．其中，正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据等式的基本性质，分式的基本性质逐一判断即可．
【解答】解：∵m＝n，
∴m+2＝n+2，
故（1）正确；
∵m＝n，
∴bm＝bm，
故（2）正确；
∵m＝n（m＝n≠0），
∴＝1，
故（3）不正确；
∵m＝n，
∴＝，
故（4）正确；
∴上列等式，正确的有3个，
故选：C．
【点评】本题考查了等式的基本性质，分式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质，分式的基本性质是解题的关键．
【即学即练2】（2023秋•仁怀市期末）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据分式的基本性质进行计算逐一判断即可．
【解答】解：A、≠，故A不符合题意；
B、≠x+y，故B不符合题意；
C、＝＝﹣1，故C符合题意；
D、＝x4，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
知识点06约分
（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
【知识拓展】（2023秋•藁城区期末）化简：＝（ ）
A．3xB．6xC．2D．2x
【分析】直接利用分式的性质化简进而得出答案．
【解答】解：＝＝．
故选：D．
【点评】此题主要考查了约分，正确化简分式是解题关键．
【即学即练1】（2023秋•兴城市期末）下列各分式化简后与相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】将各选项分式能约分的约分即可得出答案．
【解答】解：A．不能再进一步约分，不符合题意；
B．不能再进一步约分，不符合题意；
C．不能再进一步约分，不符合题意；
D．＝＝，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查分式的约分，解题的关键是掌握约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
【即学即练2】（2023秋•丛台区校级期末）小丽在化简分式时，*部分不小心滴上小墨水，请你推测，*部分的式子应该是（ ）
A．x2﹣2x+1B．x2+2x+1C．x2﹣1D．x2﹣2x﹣1
【分析】直接利用分式的性质结合约分得出答案．
【解答】解：∵，
∴＝＝，
故*部分的式子应该是x2﹣2x+1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键．
知识点07最简分式
最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
和分数不能化简一样，叫最简分数．
【知识拓展】（2023秋•孟村县期末）下列选项是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可．
【解答】解：A、原式＝2a，不符合题意；
B、原式＝，不符合题意；
C、原式＝＝y﹣1，不符合题意；
D、原式为最简分式，符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．
【即学即练1】（2023秋•鹿邑县期末）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，判断即可．
【解答】解：A、原式＝，不符合题意；
B、原式＝＝x+1，不符合题意；
C、原式为最简分式，符合题意；
D、原式＝＝，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．
知识点08最简公分母
（1）最简公分母的定义：
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
【知识拓展】（2023秋•汉阳区校级期末）分式与的最简公分母是（ ）
A．x﹣1B．x2﹣1C．2（x﹣1）D．2（x﹣1）2
【分析】先把2x﹣2利用提公因式法因式分解，再根据最简公分母的概念解答即可．
【解答】解：∵2x﹣2＝2（x﹣1），
∴与的最简公分母是2（x﹣1），
故选：C．
【点评】本题考查的是最简公分母，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
【即学即练1】（2023秋•龙山县期末）①，都是分式；②分式的基本性质之一可以表示为＝；③是最简分式；④与的最简公分母是ab（x+2）2．以上四个结论中正确的有（ ）
A．③④B．①④C．①D．③
【分析】根据最简分式的概念、分式的概念及最简公分母的确定逐一判断即可．
【解答】解：①都是分式，是整式，原结论错误；
②分式的基本性质之一可以表示为＝（B≠0且C≠0），原结论错误；
③是最简分式，原说法正确；
④与的最简公分母是ab（x+2），原说法错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查最简分式与最简公分母，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式；通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
知识点09列代数式（分式）
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． ②分清数量关系． ③注意运算顺序．④规范书写格式．⑤正确进行代换．
注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替．
【知识拓展1】（2023秋•丛台区校级期末）甲、乙两港口之间的海上行程为skm，一轮船以akm/h的航速从甲港顺流航行到乙港．已知水流速度为xkm/h，则这艘轮船从乙港逆水航行回到甲港所用的时间为（ ）h．
A．B．C．D．
【分析】直接利用路程除以轮船的逆流速度，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：．
故选：B．
【点评】此题主要考查了列代数式，正确表示出轮船逆水时速度是解题关键．
【即学即练1】（2023秋•方正县期末）甲乙两个码头相距s千米，某船在静水中的速度为a千米/时，水流速度为b千米/时，则船一次往返两个码头所需的时间为（ ）小时．
A．B．C．D．+
【分析】根据顺水速度＝静水速度+水流速度，逆水速度＝静水速度﹣水流速度，分别表示出船往返的速度，由时间＝路程÷时间表示出往返所需的时间即可．
【解答】解：根据题意得：+．
故选：D．
【点评】此题考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键．
【即学即练2】（2023秋•栖霞市期末）有一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度，先称出这捆钢筋的总质量为a千克，再从中截出10米长的钢筋，称出这10米的质量为b千克，那么这捆钢筋的总长度为（ ）
A．米B．米
C．米D．米
【分析】先求1千克钢筋有几米长，即米，再求a千克钢筋的长度即可．
【解答】解：这捆钢筋的总长度为：a•＝；
故选：A．
【点评】此题考查了列代数式，解题的关键是求出1千克钢筋有几米长．
能力拓展
一．选择题（共3小题）
1．（2020•原阳县校级自主招生）如果分式的值恒为正数，则x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2B．x≠3C．x＞﹣3D．x＞﹣2且x≠3
【分析】本题先把分式的分子和分母因式分解，然后约分，再根据分式的值恒为正数列出不等式．注意分式有意义的条件．
【解答】解：∵，
∴要使分式的值恒为正数，则x+2＞0，x﹣3≠0．
∴x＞﹣2，且x≠3．
故选：D．
【点评】此题考查了分式的值，应把握住两点：1、要使分式恒有意义；2、要使分式的值恒为正数．
2．（2019春•城关区校级月考）化简，得（ ）
A．B．﹣2n+1C．D．
【分析】先利用同底数幂的乘法运算性质：am•an＝am+n，找到分子与分母的公因式2n+1，再根据分式的基本性质得出结果．
【解答】解：，
＝，
＝，
＝．
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法运算性质及分式的基本性质．同底数幂的乘法法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
3．（2018•李沧区校级自主招生）当x取，，，…，，1，2，…，2016，2017，2018时，计算代数式的值，再把所有结果加起来，则这个总和为（ ）
A．2017B．2018C．2017D．2018
【分析】本题不可能逐一计算，找出规律是解题的关键，经观察可得，当x的值互为倒数时，代数式的和应为定值，经计算可得+＝1，故所求代数式的和为2017个1与1个的和，故本题得解．
【解答】解：当x＝a时，＝，
当x＝时，＝＝，
∴当x的值互为倒数时，代数式的和为+＝1．
∴当x分别等于，，，…，，1，2，…，2016，2017，2018时，
代数式的和为：1+1+…+1+＝2017+＝2017．
故选：C．
【点评】本题主要考查了分式的值和数字型规律探索．解题的关键是具有分析、总结、归纳的能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．
二．填空题（共1小题）
4．（2019•南浔区校级自主招生）已知a，b，c为三个非零实数，x2﹣1为多项式x3+ax2+bx+c的因式．则的值为 ﹣2 ．
【分析】先设出多项式的另一个因式，根据因式分解和整式乘法的关系，得到a、b、c的值，再代入求值．
【解答】解：设x3+ax2+bx+c的另一个因式为（x+m），
所以（x2﹣1）（x+m）＝x3+ax2+bx+c，
即x3﹣x+mx2﹣m＝x3+ax2+bx+c，
所以a＝m，b＝﹣1，c＝﹣m．
所以＝＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了整式乘法和因式分解的关系及分式的求值，根据整式乘法和因式分解的关系，得到a、b、c的值，是解决本题的关键．
三．解答题（共4小题）
5．（2019•盐城）【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：
第一次
第二次：
（1）完成上表；
（2）计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价．（均价＝总金额÷总质量）
【数学思考】设甲每次买质量为m千克的菜，乙每次买金额为n元的菜，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含有m、n、a、b的式子，分别表示出甲、乙两次买菜的均价、，比较、的大小，并说明理由．
【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次．在没有水流时，船的速度为v，所需时间为t1；如果水流速度为p时（p＜v），船顺水航行速度为（v+p），逆水航行速度为（v﹣p），所需时间为t2．请借鉴上面的研究经验，比较t1、t2的大小，并说明理由．
【分析】（1）金额＝单价×质量可求第二次甲的金额与乙的质量；
（2）利用均价＝总金额÷总质量可求甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价；
【数学思考】分别表示出、，然后求差，把分子配方，利用偶次方的非负性可得答案；
【知识迁移】分别表示出、，然后求差，判断分式的值总小于等于0，从而得结论．
【解答】解：（1）2×1＝2（元），3÷2＝1.5（千克），
故答案为2；1.5．
（2）甲两次买菜的均价为：（3+2）÷2＝2.5（元/千克），
乙两次买菜的均价为：（3+3）÷（1+1.5）＝2.4（元/千克），
∴甲两次买菜的均价为2.5（元/千克），乙两次买菜的均价为2.4（元/千克）．
【数学思考】＝＝，＝＝
∴﹣＝﹣＝≥0
∴≥
【知识迁移】t1＝，t2＝+＝
∴t1﹣t2＝﹣＝
∵0＜p＜v
∴t1﹣t2＜0
∴t1＜t2．
【点评】本题主要考查了均价＝总金额÷总质量的基本计算方法，以及分式加减运算和完全平方公式在计算中的应用，本题计算量较大．
6．（2001•广州）一艘船由A到B顺水航行每小时走v1千米，由B到A逆水航行每小时走v2千米，求此船在A、B间往返一次平均每小时走多少千米？
【分析】本题涉及公式：路程＝速度×时间．
求平均速度，即总路程÷总时间；总时间＝往返时间的和．
【解答】解：设A到B的路程是1．
则往返时间的和＝，
则平均速度＝＝．
答：往返一次平均每小时走千米．
【点评】本题主要考查了根据实际问题来列代数式的能力．
要注意的是本题中不可直接让平均速度等于顺水和逆水速度的和的一半．
7．（2016春•高邮市校级期中）已知：，
（1）若A＝，求m的值；
（2）当a取哪些整数时，分式B的值为整数；
（3）若a＞0，比较A与B的大小关系．
【分析】（1）根据分式的值相等，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；
（2）根据拆项法，可得1﹣，根据是整数，可得a的值；
（3）根据作差法，可得答案．
【解答】解：（1）由A＝，得
＝1﹣＝，2﹣m＝1，解得m＝1；
（2）B＝＝1﹣，∴当a+4＝±1时B为整数
a＝﹣3，a＝﹣5．
（3）当a＞0时，A﹣B＝﹣＜0，
A＜B．
【点评】本题考查了分式的值，利用分式的值得出方程是解题关键．
8．（2019秋•来凤县期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式：①；②；③；④．其中是“和谐分式”是 ② （填写序号即可）；
（2）若a为正整数，且为“和谐分式”，请写出a的值；
（3）在化简时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：
小东：＝＝
小强：＝＝
显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是： 小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母 ，
请你接着小强的方法完成化简．
【分析】（1）根据题意可以判断题目中的各个小题哪个是和谐分式，从而可以解答本题；
（2）根据和谐分式的定义可以得到a的值；
（3）根据题意和和谐分式的定义可以解答本题．
【解答】解：（1）②分式＝，不可约分，
∴分式是和谐分式，
故答案为：②；
（2）∵分式为和谐分式，且a为正整数，
∴a＝4，a＝5；
（3）小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母，
原式＝＝＝＝
故答案为：小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母．
【点评】本题考查约分，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用和谐分式的定义解答．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共7小题）
1．（2023秋•天津期末）下列各式：﹣，2x+3y2，，，﹣，﹣m，其中是分式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据分式的定义知道分式的分母中含有未知数判断即可．
【解答】解：，﹣是分式，
﹣，2x+3y2，，﹣m是整式，
分式有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的定义，掌握分式的分母中含有未知数是解题的关键，注意π是数字．
2．（2023秋•鼓楼区校级期末）要使分式有意义，则x的取值应满足（ ）
A．x＝2022B．x＞2022C．x＜2022D．x≠2022
【分析】根据分式有意义的条件列不等式组求解．
【解答】解：由题意可得x﹣2022≠0，
解得x≠2022，
故选：D．
【点评】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件（分母不能为零）是解题关键．
3．（2023秋•建安区期末）若分式的值为零，则x的取值范围是（ ）
A．x＝0B．x＝﹣1且x≠C．x＝﹣1D．x≠
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0，分母不为0，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：x+1＝0且3x﹣2≠0，
∴x＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
4．（2023秋•梁溪区期末）若表示一个整数，则整数a可取的值共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据题意列出等式即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：a﹣1＝±1或±3，
∴a＝0或2或﹣2或4，
故选：C．
【点评】本题考分式的值，解题的关键是正确列出等式，本题属于基础题型．
5．（2023秋•顺平县期末）下列分式变形一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：A、分子分母都加上3不符合分式的基本性质，故此选项不符合题意；
B、分子分母乘以n，必须n≠0，故此选项不符合题意；
C、分子分母都加上n不符合分式的基本性质，故此选项不符合题意；
D、符合分式的基本性质，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
6．（2023秋•威县期末）对于分式，变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据分式的基本性质进行计算即可解答．
【解答】解：＝＝﹣，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
7．（2023秋•惠州期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．﹣
【分析】直接利用分式的基本性质分别化简，进而判断得出答案．
【解答】解：A．无法化简是最简分式，故此选项符合题意；
B．＝＝，不是最简分式，不合题意；
C．＝，不是最简分式，不合题意；
D．﹣＝﹣，不是最简分式，不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2023秋•天津期末）若分式有意义，则a的取值范围是 a≠﹣ ．
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案．
【解答】解：∵3a+2≠0，
∴a≠﹣．
故答案为：a≠﹣．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．
9．（2023秋•威县期末）已知分式．
（1）x＝ 2 ，分式无意义；
（2）x＝ 1 ，分式值是零．
【分析】（1）分式无意义的条件是分母为0；
（2）当分子为0时，分式的值为0．
【解答】解：（1）令2﹣x＝0，
解得：x＝2，
故答案为：2；
（2）令x﹣1＝0且2﹣≠0，
解得：x＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查分式有意义的条件及分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
10．（2023秋•德江县期末）若分式的值为零，则x的值为 x＝5 ．
【分析】根据分式值为0，即分子为0，分母不为0，可得答案．
【解答】解：若分式的值为零，则5﹣|x|＝0且x+5≠0，
所以x＝5．
故答案是：x＝5．
【点评】本题考查了分式值为0的条件，分式的值为0，分式的分子为0，分母不能为0．
11．（2022•南山区模拟）若a2﹣＝3，则的值为 1 ．
【分析】先求的倒数的值，然后进行计算即可解答．
【解答】解：
＝a2﹣2﹣
＝a2﹣﹣2
＝3﹣2
＝1，
∴＝1，
【点评】本题考查了分式的值，先的倒数的值是解题的关键．
12．（2023秋•河西区期末）约分的结果为 x﹣y ．
【分析】找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可．
【解答】解：
＝
＝x﹣y．
【点评】此题考查了约分，确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
三．解答题（共3小题）
13．（2023秋•广丰区期末）（1）已知＝1，求的值；
（2）已知+＝2，求的值．
【分析】（1）用a代替b代入原式化简即可；
（2）把2ab＝a+b 代入原式化简即可．
【解答】解：（1）由 得 b＝a，代入式子 得，
；
（2）由
得 2ab＝a+b 代入式子 得，
．
【点评】本题考查了分式的求值问题，关键是整体代入方式化简．
14．（2023秋•甘井子区期末）已知（m+n）2＝25，（m﹣n）2＝9，求的值．
【分析】先利用完全平方公式进行计算，易得m2+n2的值和mn的值，然后代入式子进行计算即可．
【解答】解：∵（m+n）2＝25，（m﹣n）2＝9，
∴m2+2mn+n2＝25①，m2﹣2mn+n2＝9②，
∵①+②得：2（m2+n2）＝34，
∴m2+n2＝17，
∵①﹣②得：4mn＝16，
∴mn＝4，
∴＝．
【点评】本题考查了完全平方式，分式的值，熟练掌握完全平方式的特征是解题的关键．
15．（2023秋•丛台区校级期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：已知：，求代数式x2+的值．
解：∵，∴＝4即﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）则x＝，y＝，z＝，∴．
根据材料回答问题：（1）已知，求x+的值．
（2）已知，（abc≠0），求的值．
【分析】（1）仿照材料一，利用倒数和完全平方公式进行计算求解；
（2）仿照材料二，利用分式的基本性质计算求解．
【解答】解：（1）∵＝，
∴＝4，
∴＝4，
即x﹣1+＝4，
∴x+＝5；
（2）令＝k，
∴a＝5k，b＝2k，c＝3k，
∴原式＝
＝
＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，理解倒数的概念，掌握分式的基本性质是解题关键．
题组B 能力提升练
一．选择题（共6小题）
1．（2023秋•沂水县期末）已知分式的值是a，如果用x、y的相反数代入这个分式所得的值为b，则a、b关系（ ）
A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．乘积为﹣1
【分析】用x、y的相反数代入分式，即可判断a、b关系．
【解答】解：根据题意：用x、y的相反数代入这个分式b＝＝﹣a，
所以a、b关系是互为相反数，
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的化简，是一个中考中经常出现的问题．
2．（2020秋•泰山区期末）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据分式的基本性质依次进行判断即可．
【解答】解：A、，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、，原变形不符合分式的运算法则，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、，原变形不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、，原变形正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
3．（2020秋•兰山区期末）若x、y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案．
【解答】解：A．，不符合题意；
B．，不符合题意；
C．，不符合题意；
D．，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．
4．（2023秋•开封期末）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【解答】解：A．是最简分式；
B．＝＝x﹣y，不符合题意；
C．＝＝，不符合题意；
D．＝，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键，首先要把分子分母分解因式，然后进行约分．
5．（2023春•北碚区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．若分式的值为0，则x＝2
B．是分式
C．与的最简公分母是ab（x﹣y）（y﹣x）
D．
【分析】根据分式的值为零的条件，分式的定义，最简公分母的确定方法以及分式的性质进行判断．
【解答】解：A、若分式的值为0，则x2﹣4＝0且x﹣2≠0，所以x＝﹣2，不符合题意；
B、的分母中含有字母，是分式，符合题意；
C、与的最简公分母是ab（x﹣y），不符合题意；
D、当x＝0时，该等式不成立，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了最简公分母，分式的定义，分式的值为零的条件．注意：分式的分母不等于零．
6．（2020秋•渑池县期末）甲、乙两地相距m千米，某人从甲地前往乙地，原计划n小时到达，因故延迟了1小时到达，则他平均每小时比原计划少走的千米数为（ ）
A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
【分析】实际每小时比原计划多走的路程＝实际速度﹣原计划速度，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵原计划速度为，实际速度为，
∴实际每小时比原计划少走（﹣）千米，
故选：C．
【点评】考查列代数式；得到实际每小时比原计划多走的路程的关系式是解决本题的关键．
二．填空题（共2小题）
7．（2023秋•巢湖市期末）若分式的值为0，则a＝ ﹣2 ．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：由分式的值为0，得
|a|﹣2＝0且a2+a﹣6≠0，
解得a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
8．（2023秋•温岭市期末）若把分式的x、y同时变为原来的10倍，则分式的值 不变 （填变大，变小，不变）
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：分式的x、y同时变为原来的10倍，可得
＝，与原分式相同，
故答案为：不变．
【点评】本题考查分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
三．解答题（共5小题）
9．（2023秋•信都区校级月考）仔细阅读下面的材料并解答问题：
例题：当x取何值时，分式的值为正？
解：依题意得＞0，则有①或，
解不等式组①得＜x＜1，解不等式组②得不等式组无解，故＜x＜1．
所以当＜x＜1，分式的值为正．
依照上面方法解答问题：
当x取何值时，分式的值为负？
【分析】根据阅读材料进行计算即可．
【解答】解：∵x3﹣2x2+x＝x（x2﹣2x+1）＝x（x﹣1）2，
∴＝，
依题意得＜0，
∴＜0，
则有①，或②，
解不等式组①得0＜x＜3且x≠1，解不等式组②得不等式组无解，故0＜x＜3且x≠1，
所以当0＜x＜3且x≠1，分式的值为负．
【点评】本题考查了分式的值，解一元一次不等式组，解决本题的关键是掌握分式的意义．
10．（2023春•江北区校级期中）按要求完成下列各题：
（1）若（x﹣3）（x+m）＝x2+nx﹣15，求的值．
（2）已知（n﹣2020）2+（2023﹣n）2＝3，求（n﹣2020）（2023﹣n）的值．
（3）已知多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b含有因式x2+x﹣2，求的值．
【分析】（1）利用整式乘法求出m，n的值，再代入求值即可；
（2）利用完全平方公式和整体代入，用多项式乘多项式法则求解即可；
（3）由于x2+x﹣2＝（x+2）（x﹣1），而多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，则2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被（x+2）（x﹣1）整除．运用待定系数法，可设商是A，则2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝A（x+2）（x﹣1），则x＝﹣2和x＝1时，2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝0，分别代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解此方程组，求出a、b的值，进而得到的值．
【解答】解：（1）∵（x﹣3）（x+m）＝x2+（m﹣3）x﹣3m＝x2+nx﹣15，
∴n＝m﹣3，﹣3m＝﹣15，
∴m＝5，n＝2，
把m＝5，n＝2代入得，
原式＝＝＝﹣1．
（2）令n﹣2020＝a，2021﹣n＝b，
根据题意得：
a2+b2＝3，a+b＝1，
∴原式＝ab＝＝＝﹣1．
（3）∵x2+x﹣2＝（x+2）（x﹣1），
∴2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被（x+2）（x﹣1）整除，
设商是A．
则2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝A（x+2）（x﹣1），
则x＝﹣2或x＝1时，右边都等于0，所以左边也等于0．
当x＝﹣2时，2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝32+24+4a﹣14+b＝4a+b+42＝0 ①，
当x＝1时，2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝2﹣3+a+7+b＝a+b+6＝0 ②，
①﹣②，得
3a+36＝0，
∴a＝﹣12，
∴b＝﹣6﹣a＝6．
∴＝＝﹣2．
【点评】此题考查的是分式的值，熟记完全平方公式和多项式乘多项式法则是解题的基础，注意因式的特点，灵活解决问题．
11．（2019秋•石景山区期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：＝1+．
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
例如：像，，…，这样的分式是假分式；像，，…，这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．
例如：＝＝1+；
＝＝x﹣2+．
解决下列问题：
（1）将分式化为整式与真分式的和的形式为： 1﹣ ．（直接写出结果即可）
（2）如果分式的值为整数，求x的整数值．
【分析】（1）由“真分式”的定义，可仿照例题得结论；
（2）先把分式化为真分式，再根据分式的值为整数确定x的值．
【解答】解：（1）＝
＝﹣
＝1﹣
故答案为：1﹣
（2）原式＝
＝
＝x﹣1+
因为x的值是整数，分式的值也是整数，
所以x+3＝±1或x+3＝±3，
所以x＝﹣4、﹣2、0、﹣6．
所以分式的值为整数，x的值可以是：﹣4、﹣2、0、﹣6．
【点评】本题考查了利用分式的性质对分式进行变形．解决本题的关键是理解真分式的定义．
12．（2023秋•龙凤区期末）阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．
解：设，则x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），
∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k•0＝0，∴x+y+z＝0．
依照上述方法解答下列问题：
已知：，其中x+y+z≠0，求的值．
【分析】根据提示，先设比值为k，再利用等式列出三元一次方程组，即可求出k的值是2，然后把x+y＝2z代入所求代数式．
【解答】解：设＝＝＝k，
则：，
（1）+（2）+（3）得：2x+2y+2z＝k（x+y+z），
∵x+y+z≠0，
∴k＝2，
∴原式＝＝＝．
【点评】本题主要考查分式的基本性质，重点是设“k”法．
13．（2023秋•思明区校级期末）已知A，B两港之间的距离为150千米，水流速度为5千米/时．
（1）若一轮船从A港顺流航行到B港所用的时间是从B港逆流航行到A港所用时间的，求该轮船在静水中的航行速度；
（2）记某船从A港顺流航行到B港，再从B港逆流航行返回到A港所用的时间为t1；若该船从A港航行到B港再返回到A港均为静水航行，所用时间为t2，请比较t1与t2的大小，并说明理由．
【分析】（1）设轮船在静水中的航行速度为x千米/时，则顺流速度为（x+5）千米/时，逆流速度为（x﹣5），列分式方程即可求解；
（2）设轮船在静水中的速度为v千米/时，由题意知t1＝，t2＝，比较t1﹣t2的大小即可．
【解答】（1）解：设轮船在静水中的航行速度为x千米/时，则顺流速度为（x+5）千米/时，逆流速度为（x﹣5），
根据题意得：，
解得x＝25，
经检验x＝25是原方程的解，
答：该轮船在静水中的航行速度为25千米/时；
（2）解：t1＞t2，理由如下：
设轮船在静水中的航行速度为v千米/时，
根据题意得：t1＝，t2＝，
t1﹣t2＝﹣，
＝[v（v﹣5）+v（v+5）﹣2（v+5）（v﹣5）]
＝×50＞0，
∴t1﹣t2＞0，
即t1＞t2．
【点评】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．解决本题的关键是表示轮船顺水和逆水中的速度．
题组C 培优拔尖练
一．选择题（共1小题）
1．（2023秋•甘井子区期末）下列式子是分式的是（ ）
A．xB．C．D．
【分析】根据分式的定义判断即可．
【解答】解：A．x是整式，故A不符合题意；
B.是整式，故B不符合题意；
C.是分式，故C符合题意；
D.是整式，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
二．填空题（共1小题）
2．（2020秋•沂源县期中）若＝2，则＝
【分析】由＝2，得x+y＝2xy，整体代入所求的式子化简即可．
【解答】解：由＝2，得x+y＝2xy
则＝＝＝．
故答案为．
【点评】解题关键是用到了整体代入的思想．
三．解答题（共7小题）
3．（2023•东港区一模）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．
如＝＝+＝1+，＝＝a﹣1+，
则和都是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是： ①③④ （填序号）；
①；②；③；④
（2）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：
＝ ．
（3）应用：已知方程组有正整数解，求整数m的值．
【分析】（1）根据“和谐分式”的定义可判定求解；
（2）根据分式的性质，结合“和谐分式”的定义进行化简求解；
（3）先解方程组，再根据方程组的解为正整数可求解．
【解答】解：（1）①＝，故是和谐分式；
②＝，故不是和谐分式；
③＝，故是和谐分式；
④＝，故是和谐分式；
故答案为①③④；
（2）＝＝＝，
故答案为；
（3）解方程组得，
∵方程组有正整数解，
即且m+2能被5整除，
解得m＝﹣1或﹣7．
【点评】本题主要考查分式，属于新定义题，理解题意是解题的关键．
4．（2017秋•宁城县期末）自学下面材料后，解答问题．
分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．如：＞0；＜0等．那么如何求出它们的解集呢？
根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：
（1）若a＞0，b＞0，则＞0；若a＜0，b＜0，则＞0；
（2）若a＞0，b＜0，则＜0；若a＜0，b＞0，则＜0．
反之：①若＞0，则 或
②若＜0，则 或．
根据上述规律，
①求不等式＜0的解集．
②直接写出不等式解集为x＞3或x＜1的最简分式不等式．
【分析】①根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负”，解答即可；
②根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负”，写出最简分式不等式即可．
【解答】（1）解：由题意得： 或
第一个不等式组无解，第二个的解集为﹣1＜x＜2，则原分式不等式的解集为﹣1＜x＜2．
（2）或 等，
【点评】此题主要考查了分式不等式的解法，关键是根据有理数的除法和乘法法则判断出不等式里面式子的符号，组成不等式组，再求解集即可．
5．（2017秋•松滋市期末）通常情况下，a+b不一定等于ab，观察：2+2＝2×2，3+，4+…我们把符合a+b＝ab的两个数叫做“和积数对”，已知m、n是一对“和积数对”．
（1）当m＝﹣10时，求n的值．
（2）求代数式的值．
【分析】（1）把m＝﹣10代入“和积数对”，得到关于n的方程，再解方程即可求解；
（2）根据“和积数对”的定义将代数式变形得到原式＝，再化简后约分计算即可求解．
【解答】解：（1）当m＝﹣10时，﹣10+n＝﹣10n，解得n＝；
（2）＝＝＝．
【点评】本题考查的是分式的值，熟知“和积数对”的定义是解答此题的关键．
6．（2018秋•长安区校级期中）阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：＝＝2+＝2．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：＝＝1﹣；
再如：＝＝＝x+1+．
解决下列问题：
（1）分式是 真 分式（填“真分式”或“假分式”）；
（2）假分式可化为带分式 1﹣ 的形式；
（3）如果分式的值为整数，那么x的整数值为 0，﹣2，2，﹣4 ．
【分析】（1）依据定义进行判断即可；
（2）将原式变形为的形式，然后再进行变形即可；
（3）首先将原式变形为2﹣，然后依据x+1能够被3整数列方程求解即可．
【解答】解：（1）分式是真分式；
（2）假分式＝1﹣；
（3）＝＝2﹣．
所以当x+1＝3或﹣3或1或﹣1时，分式的值为整数．
解得x＝2或x＝﹣4或x＝0或x＝﹣2．
故答案为：（1）真；（2）1﹣；（3）0，﹣2，2，﹣4．
【点评】本题主要考查的是分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
7．（2019•让胡路区模拟）已知，求的值．
【分析】我们可将前面式子变式为x2+1＝3x，再将后面式子的分母变式为的形式从而求出值．
【解答】解：将两边同时乘以x，得x2+1＝3x，
＝＝＝．
【点评】本题考查的是分式的值，解题关键是用到了整体代入的思想．
8．（2017秋•平谷区期末）若，求的值．
【分析】变形已知为a+b＝n的形式，然后整体代入得结果
【解答】解：∵
∴＝3，即b+a＝3ab
因为
＝
＝
＝
【点评】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是利用整体代入．
9．（2017春•市北区期末）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克（a，b是正数，且a≠b），请比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低．
【分析】根据作差法，比较小丽与小颖的价格即可．
【解答】解：∵a，b是正数，且a≠b，
∴﹣＝＝＞0，
∴＞，
则小丽的价格高，小颖的价格低．
【点评】此题考查了列代数式、分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键
菜价3元/千克
质量
金额
甲
1千克
3元
乙
1千克
3元
菜价2元/千克
质量
金额
甲
1千克
2 元
乙
1.5 千克
3元
相关试卷
北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第4讲 角平分线（原卷版+解析)： 这是一份北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第4讲 角平分线（原卷版+解析)，共65页。试卷主要包含了如图，AD是△ABC的角平分线等内容，欢迎下载使用。
北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第16讲 分式方程（原卷版+解析）： 这是一份北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第16讲 分式方程（原卷版+解析），共72页。试卷主要包含了4万元，求a的值．等内容，欢迎下载使用。
北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第15讲 分式的运算（原卷版+解析）： 这是一份北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第15讲 分式的运算（原卷版+解析），共74页。
