北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第15讲 分式的运算（原卷版+解析）

这是一份北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第15讲 分式的运算（原卷版+解析），共74页。

知识精讲
知识点01 分式的乘除法
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：
①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．
【知识拓展1】（2022春•九龙坡区校级月考）下列运算正确的是（ ）
A．（3a2）3＝9a6B．a2．a4＝a8C．﹣x6÷x3＝﹣x3D．（﹣）﹣3＝a3
【即学即练1】（2023秋•天津期末）化简（）2÷的结果是（ ）
A．B．C．mn3p2D．mn3p3
【即学即练2】（2023秋•廉江市期末）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练3】（2023秋•龙山县期末）分析四个计算：①（）2÷＝；②（a﹣m）2＝a﹣2m；③（﹣2x3）4＝8x12；，④2x3•3x2＝6x5．其中错误的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【知识拓展2】（2022春•槐荫区校级月考）计算：
（1）（2x3y）2•xy； （2）；
（3）； （4）；
（5）（xy﹣x2）÷； （6）．
知识点02 通分
（1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
（2）通分的关键是确定最简公分母．
①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．
（3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．
【知识拓展1】（2022春•原阳县月考）把，，通分过程中，不正确的是（ ）
A．最简公分母是（x﹣2）（x+3）2B．＝
C．＝D．＝
【即学即练1】（2023秋•禹州市期末）将分式与分式通分后，的分母变为（1+a）（1﹣a）2，则的分子变为（ ）
A．1﹣aB．1+aC．﹣1﹣aD．﹣1+a
【即学即练2】（2019秋•东湖区期末）把，通分，下列计算正确的是（ ）
A．＝，＝
B．＝，＝
C．＝，＝
D．＝，＝
【即学即练3】（2019秋•长白县期末），，的最简公分母是 ．
【即学即练4】（2019秋•玉州区期末）
（1）通分：和； （2）约分：．
【知识拓展2】（2023秋•徐汇区校级期中）阅读材料并回答问题：
我们学习过许多分数比较大小的方法，如通分，或将分子变成相同的数或将分数化成小数，都是有效的分数大小比较的方法，但是并不是所有的数都适合用这样的做法来比较大小．
（1）请问下列适合用通分来比较大小的一组数是 ① ；适合将分数化成小数来比较大小的一组数是 ② ；
①，，，；②，，，；③，，，．
（2）我们经常也会用到将分数与比较大小，进而比出分数大小的方法．如，，这三个数，比0.5要小，而．
我们就可以比较这三个数的大小 ＜＜ （用“＜”连接）．像这样的方法称为“中间数”比大小法，中间数有时也可以是其他数字．
（3）阅读上述材料后，完成下列问题（没有用到第（2）小题材料中做法的不得分）：
①，，，，这组数中，哪一个最小？
②，，，，，，这组数中，第三小的是哪一个？
知识点03分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
【知识拓展1】（2022•巧家县模拟）化简﹣的步骤如下：原式＝+＝＝＝﹣，上述解题过程中用到的依据有①约分；②合并同类项；③同分母分式的加减法则；④通分，排序正确的是（ ）
A．①②③④B．③②④①C．④③②①D．④②③①
【即学即练1】（2022春•拱墅区校级月考）已知，则的值为（ ）
A．±B．8C．D．
【知识拓展2】（2022春•西湖区校级月考）化简：+．
方方的解答如下：
原式＝
＝
＝
＝
方方的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程．
【即学即练1】已知a2+a＝3，求代数式的值．
【即学即练2】（2022春•兴化市月考）化简：
（1）（1﹣）+； （2）（）+．
知识点04分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
【知识拓展1】（2022春•新华区月考）为了提升学习兴趣，数学老师采用小组竞赛的学习分式，要求每小组的四个同学合作完成一道分式计算题，每人只能在前一人的基础上进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算．某小组计算过程如下所示，自己负责的一步出现错误的是（ ）
＝﹣＝﹣＝﹣＝1
A．甲B．乙C．丙D．丁
【即学即练1】（2023秋•鼓楼区校级期末）下列代数式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【知识拓展2】（2023秋•化德县校级期末）计算：
（1）（）2÷（）3； （2）﹣；
（3）÷．
【即学即练1】（2023秋•中原区校级期末）化简分式：（1﹣）÷的最后的结果是（ ）
A．1﹣xB．C．D．
【即学即练2】（2022•仁寿县模拟）已知：＝，＝，＝．求代数式a+b+c的值．
知识点05分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
【知识拓展1】（2023秋•威县期末）用替换分式中的n后，经过化简结果是（ ）
A．B．2mC．D．
【即学即练1】（2023秋•建安区期末）如果a＝﹣3，b＝，那么代数式的值是（ ）
A．B．C．D．
【知识拓展2】（（2022•陕西模拟）先化简，然后选择一个合适的整数作为m的值代入求值．
【即学即练1】（2022•建湖县一模）先化简，再求值：，其中x2﹣x﹣6＝0．
能力拓展
一．选择题（共2小题）
1．（2023•郎溪县校级自主招生）如果a﹣b＝5，那么代数式的值是（ ）
A．B．﹣5C．D．5
2．（2020•汉阳区校级自主招生）已知abc＝1，a+b+c＝2，a2+b2+c2＝3，则的值为（ ）
A．﹣1B．C．2D．
二．填空题（共5小题）
3．（2017•南安市自主招生）若x，y为实数，且满足（x﹣3）2+＝0，则（）2017的值是 ．
4．（2023•江岸区校级自主招生）已知ab＜0，则＝ ．
5．（2020•江岸区校级自主招生）计算：+＝ ．
6．（2020•浙江自主招生）已知实数a、b、c满足abc＝﹣1，a+b+c＝4，++＝，则a2+b2+c2＝ ．
7．（2020•浙江自主招生）如图是一个数值转换器，每次输入3个不为零的数，经转换器转换后输出3个新数，规律如下：当输入数分别为x，y，z时，对应输出的新数依次为，，．例如，输入1，2，3，则输出，，．那么当输出的新数为，，时，输入的3个数依次为
三．解答题（共7小题）
8．（2023•黄州区校级自主招生）设互不相等的非零实数a，b，c满足，求的值．
9．（2023•武进区校级自主招生）已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且．
（1）求的值．
（2）证明：9（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz（xy+yz+zx）．
10．（2023•江岸区校级自主招生）先化简，再求值：（﹣）÷（﹣1），其中x是不等式≤x﹣3的最小整数解．
11．（2020•汉阳区校级自主招生）（1）已知，求x+的值．
（2）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值．
12．（2020•原阳县校级自主招生）已知x﹣＝3，求x2+，x3﹣，x4+的值．
13．（2020•田家庵区校级自主招生）已知，且a≠b，求的值．
14．（2020•西安自主招生）化简并计算：•﹣，其中x＝2．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋•朝阳区期末）计算（）3的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋•莱阳市期末）在计算÷时，把运算符号“÷”看成了“+”，得到的计算结果是m，则这道题的正确的结果是（ ）
A．B．C．m﹣1D．m
3．（2023秋•思明区校级期末）下列各式，从左到右变形正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．a2+a2＝2a4
C． D．a2÷＝a3
4．（2021秋•合川区期末）化简•的结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022•瑞安市开学）下列计算正确的是（ ）
A．y6÷y2＝y3B．+＝
C．（m+1）2＝m2+1D．（﹣2m）3＝﹣6m3
6．（2023秋•西城区期末）下列分式中，从左到右变形错误的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023秋•长沙县期末）计算的正确结果是（ ）
A．xB．2C．D．2（x﹣1）
8．（2023秋•仓山区校级期末）已知a，b，c，d都是正实数，且＜，其中B＝，C＝，则B与C的大小关系是（ ）
A．B＞CB．B≥CC．B＜CD．B≤C
9．（2023秋•微山县期末）已知实数x，y满足：x2﹣+2＝0，y2﹣+2＝0，则2022|x﹣y|的值为（ ）
A．B．1C．2022D．20222
10．（2023秋•任丘市期末）下列各分式运算结果正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①③B．②④C．①②D．③④
二．填空题（共2小题）
11．（2023秋•藁城区期末）计算的结果是 ．
12．（2023秋•长沙县期末）计算（﹣）2÷•（）﹣1＝ ．
三．解答题（共6小题）
13．（2023秋•定陶区期末）计算：
（1）； （2）．
14．（2022•竹山县模拟）化简：．
15．（2022春•沙坪坝区校级月考）计算：
（1）b（2a+b）+（a+b）（a﹣b）； （2）．
16．（2022•红花岗区一模）先化简，再求值：﹣×（﹣），其中a＝﹣2．
17．（2022•罗山县校级模拟）先化简，再求值：，其中x＝5．
18．（2022•罗湖区模拟）先化简，再求值：，其中a＝2．
题组B 能力提升练
一．选择题（共3小题）
1．（2023秋•丛台区校级期末）规定一种新的运算“JQx→+∞”，其中A和B是关于x的多项式．当A的次数小于B的次数时，JQx→+∞＝0；当A的次数等于B的次数时，JQx→+∞的值为A、B的最高次项的系数的商．当A的次数大于B的次数时，JQx→+∞不存在．
例：JQx→+∞＝0，JQx→+∞．
若，则JQx→+∞的值为（ ）
A．0B．C．D．不存在
2．（2023秋•高邑县期末）已知：a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2＝，，则a2020等于（ ）
A．xB．x+1C．D．
3．（2023秋•罗庄区期末）老师出了一道题：计算+，对于下面这三名同学的做法，你的判断是（ ）
乐乐的做法是：原式＝﹣＝＝；
淇淇的做法是：原式＝（x+3）（x﹣2）+（2﹣x）＝x2+x﹣6+2﹣x＝x2﹣4；
嘉嘉的做法是：原式＝﹣＝﹣＝＝1．
A．嘉嘉的做法是正确的
B．淇淇的做法是正确的
C．乐乐的做法是正确的
D．三名同学的做法均不正确
二．填空题（共4小题）
4．（2023•安乡县二模）如果≠0，那么代数式•（2m+n）的值是 ．
5．（2020秋•沿河县期末）已知：×2＝+2，×3＝+3，×4＝+4，…，若×10＝+10（a、b都是正整数），则a+b的值是 ．
6．（2023秋•长安区校级期末）如果a＝﹣，那么分式（1﹣）÷的值是 ．
7．（2023秋•嘉荫县校级期末）已知，则分式的值为 ．
三．解答题（共5小题）
8．（2023秋•大兴区期末）化简：÷•．
9．（2022•孝南区一模）化简：M＝，同时求出M有意义时x的取值范围，并从不等式组的解集中取一个合适的整数值代入求值．
10．（2022•娄底一模）先化简，再求值：，其中x是﹣1、1、2中的一个合适的数．
11．（2019秋•西城区校级期中）计算：
（1）； （2）．
12．（2023秋•惠州期末）结合图，观察下列式子：
（x+p）（x+q）＝x2+px+qx+pq
＝x2+（p+q）x+pq
于是有：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
（1）填空：因式分解x2+5x+6＝（x+ ）（x+ ）；
（2）化简：；
（3）化简：．
题组C 培优拔尖练
一．解答题（共10小题）
1．（2023•市中区校级开学）已知：A＝xy﹣x2，B＝，C＝，若A÷B＝C×D，求D．
2．（2016秋•闵行区期末）计算：•．
3．（2023春•大兴区期中）已知非零实数a、b满足等式，求的值．
4．（2012春•乐山期中）已知（A、B、C是常数），求A、B、C的值．
5．（2023秋•广饶县期中）已知下面一列等式：
1×＝1﹣；×＝；×＝；×＝；…
（1）请你从左边这些等式的结构特征写出它的一般性等式；
（2）验证一下你写出的等式是否成立；
（3）利用等式计算：+++．
6．（2023秋•乌拉特前旗期末）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝﹣1．
7．（2023秋•寻乌县期末）先化简，，再在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
8．（2023秋•武城县期末）先化简：（﹣），然后从﹣1，0，1，3中选一个你认为合适的数作为x值代入求值．
9．（2020秋•乐亭县期中）已知分式A＝（a+1﹣）÷．
（1）化简这个分式；
（2）把分式A化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B，问：当a＞2时，分式B的值较原来分式A的值是变大了还是变小了？试说明理由．
（3）若A的值是整数，且a也为整数，求出所有符合条件a的值．
10．（2019•湖北自主招生）已知a2﹣6a+9与|b﹣1|互为相反数，求代数式的值．
第15讲 分式的运算
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知识精讲
知识点01 分式的乘除法
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：
①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．
【知识拓展1】（2022春•九龙坡区校级月考）下列运算正确的是（ ）
A．（3a2）3＝9a6B．a2．a4＝a8C．﹣x6÷x3＝﹣x3D．（﹣）﹣3＝a3
【分析】A、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；
B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；
C、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可作出判断；
D、原式利用负整数指数幂法则计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝27a6，不符合题意；
B、原式＝a6，不符合题意；
C、原式＝﹣x3，符合题意；
D、原式＝﹣a3，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了分式的乘除法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【即学即练1】（2023秋•天津期末）化简（）2÷的结果是（ ）
A．B．C．mn3p2D．mn3p3
【分析】根据分式乘除法的法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：（）2÷
＝•
＝，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的乘除法，掌握分式乘除法的法则是解题的关键．
【即学即练2】（2023秋•廉江市期末）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接根据分式的乘除法与分式的基本性质计算判断即可．
【解答】解：A、（﹣）2＝，故不合题意；
B、，故不合题意；
C、，故不合题意；
D、＝﹣1，故符合题意；
.故选：D．
【点评】此题考查的是分式的乘除法与分式的基本性质，掌握其运算法则是解决此题关键．
【即学即练3】（2023秋•龙山县期末）分析四个计算：①（）2÷＝；②（a﹣m）2＝a﹣2m；③（﹣2x3）4＝8x12；，④2x3•3x2＝6x5．其中错误的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】①利用分式的乘方、除法法则计算；②利用幂的乘方法则计算；③利用积的乘方法则计算；④利用单项式乘单项式法则计算．
【解答】解：（）2÷＝×＝，故①计算正确；
（a﹣m）2＝a﹣2m，故②计算正确；
（﹣2x3）4＝16x12≠8x12，故③计算错误；
2x3•3x2＝6x5，故④计算正确．
故选：C．
【点评】本题考查了整式、分式的运算，掌握整式、分式的运算法则及运算顺序是解决本题的关键．
【知识拓展2】（2022春•槐荫区校级月考）计算：
（1）（2x3y）2•xy；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）（xy﹣x2）÷；
（6）．
【分析】（1）先算积的乘方，再利用单项式乘单项式的法则运算即可；
（2）把能化简的进行化简，再约分即可；
（3）把能化简的进行化简，除法转化为乘法，再约分即可；
（4）把能化简的进行化简，除法转化为乘法，再约分即可；
（5）把能化简的进行化简，除法转化为乘法，再约分即可；
（6）把能化简的进行化简，除法转化为乘法，再约分即可；
【解答】解：（1）（2x3y）2•xy
＝4x6y2•xy
＝2x7y3；
（2）
＝
＝2x；
（3）
＝
＝
＝；
（4）
＝
＝；
（5）（xy﹣x2）÷
＝﹣x（x﹣y）
＝﹣x•xy
＝﹣x2y；
（6）
＝
＝．
【点评】本题主要考查分式的乘除法，单项式乘单项式，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
知识点02 通分
（1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
（2）通分的关键是确定最简公分母．
①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．
（3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．
【知识拓展1】（2022春•原阳县月考）把，，通分过程中，不正确的是（ ）
A．最简公分母是（x﹣2）（x+3）2
B．＝
C．＝
D．＝
【分析】按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案．
【解答】解：A、最简公分母为最简公分母是（x﹣2）（x+3）2，正确；
B、＝，通分正确；
C、＝，通分正确；
D、通分不正确，分子应为2×（x﹣2）＝2x﹣4；
故选：D．
【点评】根据分数的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．通分保证（1）各分式与原分式相等；（2）各分式分母相等．
【即学即练1】（2023秋•禹州市期末）将分式与分式通分后，的分母变为（1+a）（1﹣a）2，则的分子变为（ ）
A．1﹣aB．1+aC．﹣1﹣aD．﹣1+a
【分析】找出两分式分母的最简公分母，利用分式的性质判断即可．
【解答】解：两分式的最简公分母为（1+a）（1﹣a）2，
∴＝＝，
则的分子变为1﹣a．
故选：A．
【点评】此题考查了通分，通分的关键是找出各分母的最简公分母．
【即学即练2】（2019秋•东湖区期末）把，通分，下列计算正确的是（ ）
A．＝，＝
B．＝，＝
C．＝，＝
D．＝，＝
【分析】找出两分式分母的最简公分母，利用分式的基本性质通分即可．
【解答】解：两分式的最简公分母为3a2b2，
A、通分后分母不相同，不符合题意；
B、＝，＝，符合题意；
C、通分后分母不相同，不符合题意；
D、通分后分母不相同，不符合题意，
故选：B．
【点评】此题考查了通分，以及分式的基本性质，通分的关键是找出各分母的最简公分母．
【即学即练3】（2019秋•长白县期末），，的最简公分母是 12（x﹣y）x2y ．
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：，，的公分母是12（x﹣y）x2y．
故答案为：12（x﹣y）x2y．
【点评】考查了通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
【即学即练4】（2019秋•玉州区期末）（1）通分：和；
（2）约分：．
【分析】（1）找出两分母的最简公分母，通分即可；
（2）原式变形后，约分即可得到结果．
【解答】解：（1）＝，＝；
（2）原式＝＝．
【点评】此题考查了通分及约分，通分的关键是找出各分母的最简公分母，约分的关键是找出分子分母的公因式．
【知识拓展2】（2023秋•徐汇区校级期中）阅读材料并回答问题：
我们学习过许多分数比较大小的方法，如通分，或将分子变成相同的数或将分数化成小数，都是有效的分数大小比较的方法，但是并不是所有的数都适合用这样的做法来比较大小．
（1）请问下列适合用通分来比较大小的一组数是 ① ；适合将分数化成小数来比较大小的一组数是 ② ；
①，，，；②，，，；③，，，．
（2）我们经常也会用到将分数与比较大小，进而比出分数大小的方法．如，，这三个数，比0.5要小，而．
我们就可以比较这三个数的大小 ＜＜ （用“＜”连接）．像这样的方法称为“中间数”比大小法，中间数有时也可以是其他数字．
（3）阅读上述材料后，完成下列问题（没有用到第（2）小题材料中做法的不得分）：
①，，，，这组数中，哪一个最小？
②，，，，，，这组数中，第三小的是哪一个？
【分析】（1）根据分数的特点、通分法则判断即可；
（2）根据有理数的大小比较法则解答；
（3）①先比较各个分数与的大小，再比较和的大小即可；
②先比较各个分数与的大小，再比较、、的大小，进而得到答案．
【解答】解：（1）适合用通分来比较大小的一组数是①，适合将分数化成小数来比较大小的一组数是②，
故答案为：①；②；
（2）∵＜，＜，
∴＜＜，
故答案为：＜＜；
（3）①∵＜，＞，＞，＜，＞，
∴和是较小的两个数，
∵＝，
∴＜，
∴本组数中，最小；
②∵＜，＜，＞，＞，＞，＞，＜，
∴较小的三个数是、、，
∵＝，＝，，
∴＜＜，
∴这组数中，第三小的是．
【点评】本题考查的是分数的通分，掌握分数的基本性质、有理数的大小比较法则是解题的关键．
知识点03分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
【知识拓展1】（2022•巧家县模拟）化简﹣的步骤如下：原式＝+＝＝＝﹣，上述解题过程中用到的依据有①约分；②合并同类项；③同分母分式的加减法则；④通分，排序正确的是（ ）
A．①②③④B．③②④①C．④③②①D．④②③①
【分析】根据约分，通分，合并同类项，同分母分式的加减法运算法则进行分析判断．
【解答】解：原式＝+（此步骤结合分式的基本性质进行了通分），
＝（此步骤利用同分母分式的加减法则进行计算），
＝（此步骤将分子合并同类项进行化简），
＝﹣（此步骤结合分式的基本性质进行了约分），
∴上述解答过程的步骤依据顺序为④③②①，
故选：C．
【点评】本题考查分式的加减法，理解分式的基本性质，掌握分式加减法运算法则是解题关键．
【即学即练1】（2022春•拱墅区校级月考）已知，则的值为（ ）
A．±B．8C．D．
【分析】由，可得＝10，进而得出＝﹣4＝10﹣4＝6，得出＝，由＝a﹣即可得出答案．
【解答】解：∵，
∴＝10，
∴＝﹣4＝10﹣4＝6，
∴＝，
∴
＝a﹣
＝，
故选：D．
【点评】本题考查了分式的加减法及平方根，能够根据已知条件得出＝是解决问题的关键．
【知识拓展2】（2022春•西湖区校级月考）化简：+．
方方的解答如下：
原式＝
＝
＝
＝
方方的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程．
【分析】根据分式的加法法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：方方的解答不正确，
正确解答如下：
+
＝﹣
＝
＝．
【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加法法则是解决问题的关键．
【即学即练1】已知a2+a＝3，求代数式的值．
【分析】先分解因式，再通分，对分式进行减法运算，再把a（a+1）＝3，代入原式，计算即可．
【解答】解：
＝﹣
＝﹣
＝﹣
∵a2+a＝3，
∴a（a+1）＝3，
当a（a+1）＝3时，原式＝﹣．
【点评】本题考查了分式加减，熟练掌握异分母分式加减法法则的应用，整体思想是解题关键．
【即学即练2】（2022春•兴化市月考）化简：
（1）（1﹣）+；
（2）（）+．
【分析】（1）去括号，利用分式的基本性质将原式变形为同分母分式加减法，从而进行计算；
（2）将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的．
【解答】解：（1）原式＝++
＝
＝；
（2）原式＝[﹣]+
＝+
＝+
＝．
【点评】本题考查分式的加减混合运算，掌握异分母分式加减法计算法则是解题关键．
知识点04分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
【知识拓展1】（2022春•新华区月考）为了提升学习兴趣，数学老师采用小组竞赛的学习分式，要求每小组的四个同学合作完成一道分式计算题，每人只能在前一人的基础上进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算．某小组计算过程如下所示，自己负责的一步出现错误的是（ ）
＝﹣＝﹣＝﹣＝1
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】写出计算过程，即可知哪位同学出错了．
【解答】解：+
＝﹣﹣（故甲正确），
＝﹣（故乙出错）；
﹣
＝﹣（故丙正确），
＝1（故丁正确）．
故选：B．
【点评】本题考查分式的化简，解题的关键是掌握通分、约分的方法．
【即学即练1】（2023秋•鼓楼区校级期末）下列代数式变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据分式的基本性质，结合分式加法和分式除法的运算法则进行分析计算，从而作出判断．
【解答】解：A、原式＝﹣，故此选项不符合题意；
B、原式＝÷（）＝•＝，＝，故此选项不符合题意；
C、原式＝＝，故此选项符合题意；
D、原式＝＝，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查分式的混合运算，理解分式的基本性质，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
【知识拓展2】（2023秋•化德县校级期末）计算：
（1）（）2÷（）3；
（2）﹣；
（3）÷．
【分析】（1）先计算分式的乘方，再将除法转化为乘法进行计算；
（2）先通分再计算；
（3）将除法转化为乘法进行计算．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝
＝；
（3）原式＝
＝
＝．
【点评】本题考查分式的乘除法、乘方、加减法，解题关键是熟知分式的运算法则和运算顺序．
【即学即练1】（2023秋•中原区校级期末）化简分式：（1﹣）÷的最后的结果是（ ）
A．1﹣xB．C．D．
【分析】先将括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝•
＝﹣
＝，
故选：D．
【点评】本题考查分式的混合运算，理解分式的基本性质，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
【即学即练2】（2022•仁寿县模拟）已知：＝，＝，＝．求代数式a+b+c的值．
【分析】首先取倒数组成三元一次方程组，再解方程组可得答案．
【解答】解：∵＝，＝，＝，
∴，，，
组成方程组为：
，
解得：a＝1，b＝2，c＝3，
所以a+b+c＝1+2+3＝6．
【点评】本题考查分式的混合运算，借助倒数的定义转化为三元一次方程组是解题关键．
知识点05分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
【知识拓展1】（2023秋•威县期末）用替换分式中的n后，经过化简结果是（ ）
A．B．2mC．D．
【分析】把代入原式，把分数线化为除法进行分式的运算．
【解答】解：把代入原式得（﹣1）÷（+1）
＝（）÷（）
＝×
＝；
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握代入求值法，把分数线化为除法进行分式的运算是解题关键．
【即学即练1】（2023秋•建安区期末）如果a＝﹣3，b＝，那么代数式的值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a、b的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝a﹣b，
当a＝﹣3，b＝时，
原式＝﹣3+＝﹣2，
故选：D．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
【知识拓展2】（（2022•陕西模拟）先化简，然后选择一个合适的整数作为m的值代入求值．
【分析】先将括号内通分，把除化为乘，再分子、分母分解因式约分，再将原式有意义的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝2m+6，
∵m＝2和m＝3时，原式无意义，
∴把m＝0代入，
原式＝2×0+6
＝6．
【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式通分、约分，把分式化简．
【即学即练1】（2022•建湖县一模）先化简，再求值：，其中x2﹣x﹣6＝0．
【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，解一元二次方程求出x，最后代入求出答案即可．
【解答】解：
＝÷
＝÷
＝•
＝，
∵x2﹣x﹣6＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝3，
∵要使分式有意义，x≠2且x≠3且x≠﹣3，
∴取x＝﹣2，
当x＝﹣2时，原式＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值和解一元二次方程，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
能力拓展
一．选择题（共2小题）
1．（2023•郎溪县校级自主招生）如果a﹣b＝5，那么代数式的值是（ ）
A．B．﹣5C．D．5
【分析】根据分式的减法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据a﹣b＝5，即可求得化简后的分式的值．
【解答】解：
＝
＝
＝b﹣a，
∵a﹣b＝5，
∴b﹣a＝﹣5，
∴原式＝﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
2．（2020•汉阳区校级自主招生）已知abc＝1，a+b+c＝2，a2+b2+c2＝3，则的值为（ ）
A．﹣1B．C．2D．
【分析】由a+b+c＝2，a2+b2+c2＝3，利用两个等式之间的平方关系得出ab+bc+ac＝；再根据已知条件将各分母因式分解，通分，代入已知条件即可．
【解答】解：由a+b+c＝2，两边平方，
得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝4，
将已知代入，得ab+bc+ac＝；
由a+b+c＝2得：c﹣1＝1﹣a﹣b，
∴ab+c﹣1＝ab+1﹣a﹣b＝（a﹣1）（b﹣1），
同理，得bc+a﹣1＝（b﹣1）（c﹣1），
ca+b﹣1＝（c﹣1）（a﹣1），
∴原式＝++
＝
＝
＝
＝＝﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的化简其中计算，解题时，充分运用已知条件变形，使分式能化简通分，得出结果．
二．填空题（共5小题）
3．（2017•南安市自主招生）若x，y为实数，且满足（x﹣3）2+＝0，则（）2017的值是 ﹣1 ．
【分析】直接利用偶次方的性质以及算术平方根的性质得出x，y的值，进而得出答案．
【解答】解：∵（x﹣3）2+＝0，
∴x＝3，y＝﹣3，
则（）2017＝（﹣1）2017＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了偶次方的性质以及算术平方根的性质，正确得出x，y的值是解题关键．
4．（2023•江岸区校级自主招生）已知ab＜0，则＝ ．
【分析】先通分，然后根据同分母分式运算法则进行计算．
【解答】解：则原式＝，
故答案为．
【点评】本题考查了分式的混合运算与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
5．（2020•江岸区校级自主招生）计算：+＝ ﹣ ．
【分析】根据分式的加减法法则进行计算即可，这道题先通分，再加减．
【解答】解：原式＝﹣
＝﹣
＝
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】这道题考查的是分式的加减法法则，熟记法则是解题的基础．
6．（2020•浙江自主招生）已知实数a、b、c满足abc＝﹣1，a+b+c＝4，++＝，则a2+b2+c2＝ ．
【分析】把a2﹣3a﹣1变形后，将abc＝﹣1，a+b+c＝4代入得到结果为a（b﹣1）（c﹣1），同理将已知等式的第二、三个分母变形，将已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，整理后将abc＝﹣1，a+b+c＝4代入求出ab+ac+bc的值，将所求的式子利用公式（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc变形后，将a+b+c及ab+ac+bc的值代入即可求出值．
【解答】解：∵abc＝﹣1，a+b+c＝4，
∴a2﹣3a﹣1＝a2﹣3a+abc＝a（bc+a﹣3）＝a（bc﹣b﹣c+1）＝a（b﹣1）（c﹣1），
∴，
同理可得：，，
又a+b+c＝4，++＝，
∴＝，
即（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）＝（a﹣1）+（b﹣1）+（c﹣1），
整理得：（abc﹣ab﹣ac﹣bc+a+b+c﹣1）＝a+b+c﹣3，
将abc＝﹣1，a+b+c＝4代入得：ab+bc+ac＝﹣，
则a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了分式的混合运算，利用了整体代入的数学思想，其技巧性较强，其中把已知等式的各分母进行适当的变形是解本题的关键．
7．（2020•浙江自主招生）如图是一个数值转换器，每次输入3个不为零的数，经转换器转换后输出3个新数，规律如下：当输入数分别为x，y，z时，对应输出的新数依次为，，．例如，输入1，2，3，则输出，，．那么当输出的新数为，，时，输入的3个数依次为 ，11
【分析】根据题意得到关于xyz的3个等式，先让3个式子相加得6（x+y+z）＝xy+yz+zx④，再求④﹣①，④﹣②，④﹣③，得到⑤，⑥，⑦，然后⑥÷⑤可求，⑥÷⑦可求z＝2y，再把，z＝2y代入⑦，可求y，从而可求x、z．
【解答】解：由＝，＝，＝，得
3（x+y+z）＝xy+zx①，4（x+y+z）＝xy+yz②，5（x+y+z）＝yz+zx③，
①+②+③，得6（x+y+z）＝xy+yz+zx，④
④﹣①，得3（x+y+z）＝yz⑤，
④﹣②，得2（x+y+z）＝zx⑥，
④﹣③，得x+y+z＝xy⑦．
∴，z＝2y，
把，z＝2y代入⑦，得
y（2y﹣11）＝0，
∴y＝（由题意知y≠0）
∴x＝，z＝11，
∴x＝，y＝，z＝11．
故答案为：，，11．
【点评】本题考查了分式的混合运算、方程组的计算．解题关键是求出6（x+y+z）＝xy+yz+zx，进而用y分别表示x、z．
三．解答题（共7小题）
8．（2023•黄州区校级自主招生）设互不相等的非零实数a，b，c满足，求的值．
【分析】令a+＝b+＝c+＝k，则ab+3＝bk，bc+3＝ck，ac+3＝ak，继而知abc+3c＝kbc＝k（ck﹣3），即abc+3k＝（k2﹣3）c，同理得出abc+3k＝（k2﹣3）a、abc+3k＝（k2﹣3）b，根据（k2﹣3）a＝（k2﹣3）b＝（k2﹣3）c且a，b，c为互不相等的非零实数得k2＝3，从而得出答案．
【解答】解：令a+＝b+＝c+＝k，
则ab+3＝bk，bc+3＝ck，ac+3＝ak，
由ab+3＝bk，可得abc+3c＝kbc＝k（ck﹣3），
即abc+3k＝（k2﹣3）c，
同理可得：abc+3k＝（k2﹣3）a，abc+3k＝（k2﹣3）b，
∴abc+3k＝（k2﹣3）＝abc+3k＝（k2﹣3）b，
∵a，b，c为互不相等的非零实数，
∴k2﹣3＝0，即k2＝3，
则＝9．
∴．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，设k法得到则是解题的关键．
9．（2023•武进区校级自主招生）已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且．
（1）求的值．
（2）证明：9（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz（xy+yz+zx）．
【分析】（1）先去分母、去括号，重新分组后分解因式可得[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）＝0，从而得xyz＝x+y+z，将所求分式通分后代入可得结论；
（2）计算两边的差，把（1）中：xyz＝x+y+z，代入并计算可得差≥0，从而得结论．
【解答】解：（1）由等式，
去分母得z（x2﹣1）（y2﹣1）+x（y2﹣1）（z2﹣1）+y（z2﹣1）（x2﹣1）＝4xyz，
x2y2z+xy2z2+x2yz2﹣[x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）+3xyz]+（x+y+z）﹣xyz＝0，
xyz（xy+yz+zx）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）﹣xyz＝0，
∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）＝0，
∵xy+yz+zx≠1，
∴xy+yz+zx﹣1≠0，
∴xyz﹣（x+y+z）＝0，
∴xyz＝x+y+z，
∴原式＝．
（2）证明：由（1）得：xyz＝x+y+z，
又∵x，y，z为正实数，
∴9（x+y）（y+z）（z+x）﹣8xyz（xy+yz+zx）
＝9（x+y）（y+z）（z+x）﹣8（x+y+z）（xy+yz+zx）
＝x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）﹣6xyz
＝x（y﹣z）2+y（z﹣x）2+z（x﹣y）2≥0．
∴9（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz（xy+yz+zx）．
注：（x+y）（y+z）（z+x）＝x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx2+2xyz＝x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）+2xyz；
（x+y+z）（xy+yz+zx）＝x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx2+3xyz＝x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）+3xyz．
【点评】本题考查了分式的加减法，单项式与多项式，多项式与多项式的乘法运算及提公因式，比较复杂，正确计算是关键．
10．（2023•江岸区校级自主招生）先化简，再求值：（﹣）÷（﹣1），其中x是不等式≤x﹣3的最小整数解．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出不等式的取值范围，找出符合条件的x的最小整数解代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝[﹣]÷（﹣）
＝[﹣]÷
＝•
＝，
解不等式≤x﹣3，得：x≥4，
则不等式得最小整数解为x＝4，
当x＝4时，分式无意义，
故分式的值不存在．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
11．（2020•汉阳区校级自主招生）（1）已知，求x+的值．
（2）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值．
【分析】（1）观察题目，发现分子分母同时除以x，等式变形中含有x+，再令x+＝t，代入解含有t的分式方程，从而求出t的值为5，即此题的解也是5．
（2）分式的分子分母同时除以一个不为0的数，值不变．将等式分子分母颠倒，变为＝＝．因为x≠0，y≠0，z≠0，所以分式的分母都不为0．分子分母同时除以各自的分母，可以得到＝＝．再用含有y的代数式表示x、z，即x＝，z＝．将x、y、z代入到等式中化简，可以得到y＝，x＝，z＝．因为abc＝7，所以xyz＝．
【解答】解：（1）∵＝，x≠0，
∴＝．
令x+＝t，则分式方程可写成＝，
解出t＝5，
∴x+＝5．
（2）∵＝＝，x≠0，y≠0，z≠0，
∴＝＝，
∴+＝+＝+，
∴＝，＝，＝，
即x＝，z＝．
将上式代入到＝化简得＝，
∴y＝，
∴x＝•＝，z＝•＝．
又∵abc＝7，
∴xyz＝••＝．
【点评】此题主要考查了分式中分子分母同时除以一个不为0的数，分式的值不变．第一题需要用整体法代入可以降低计算的难度，可以快速的解出．第二题要运用代入法求解，用同一个参数表示，可以让分子分母约分，从而找到字母之间的关系，再整体代入求解．
12．（2020•原阳县校级自主招生）已知x﹣＝3，求x2+，x3﹣，x4+的值．
【分析】根据完全平方公式得出x2+＝（x﹣）2+2•x•，再求出答案即可；根据立方差公式得出x3﹣＝（x﹣）（x2+1+），再求出答案即可；根据完全平方公式得出x4+＝（x2+）2﹣2•x2•，再求出答案即可．
【解答】解：∵，
∴x2+
＝（x﹣）2+2•x•
＝32+2
＝11，
∴x3﹣
＝（x﹣）（x2+1+）
＝3×（11+1）
＝36，
x4+
＝（x2+）2﹣2•x2•
＝112﹣2
＝119．
【点评】本题考查了完全平方公式和分式的混合运算，能正确根据完全平方公式变形是解此题的关键，注意：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
13．（2020•田家庵区校级自主招生）已知，且a≠b，求的值．
【分析】将方程变形后，可将a、b看成一元二次方程方程2017x2﹣212x﹣1＝0的两根，再利用一元二次方程根与系数解答问题即可．
【解答】解：原方程可化简为：，
∵a≠b，
∴a，b可看作一元二次方程方程2017x2﹣212x﹣1＝0的两根，
即a+b＝，ab＝﹣，
∴+＝＝﹣212．
【点评】本题考查了分式的化简求值，以及一元二次方程方程根与系数关系，解答关键是将已知方程组转化为已知两根的一元二次方程．
14．（2020•西安自主招生）化简并计算：•﹣，其中x＝2．
【分析】原式第一项约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝•﹣
＝﹣
＝，
当x＝2时，原式＝＝＝＝2+．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋•朝阳区期末）计算（）3的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用分式的性质结合乘方运算法则化简得出答案．
【解答】解：（）3＝．
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式的乘除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2．（2023秋•莱阳市期末）在计算÷时，把运算符号“÷”看成了“+”，得到的计算结果是m，则这道题的正确的结果是（ ）
A．B．C．m﹣1D．m
【分析】先通过+＝m，求出⊗＝m，再将⊗＝m代入原式再求解即可．
【解答】解：+＝m，
方程两边同时乘以m+1，得m2+⊗＝m（m+1），
解得⊗＝m，
∴÷＝÷＝m，
故选：D．
【点评】本题考查分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法运算，并能准确计算是解题的关键．
3．（2023秋•思明区校级期末）下列各式，从左到右变形正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6
B．a2+a2＝2a4
C．
D．a2÷＝a3
【分析】根据同底数幂的乘法判断A选项；根据合并同类项的法则判断B选项；根据分式的基本性质判断C选项；根据分式的除法判断D选项．
【解答】解：A选项，原式＝a5，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝2a2，故该选项不符合题意；
C选项，是最简分式，故该选项不符合题意；
D选项，原式＝a2•a＝a3，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项的法则，分式的基本性质，分式的乘除法，掌握分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘是解题的关键．
4．（2023秋•合川区期末）化简•的结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】把分子与分母能分解的进行分解，再进行乘除运算即可．
【解答】解：•
＝
＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是对分式的乘除法的法则的掌握．
5．（2022•瑞安市开学）下列计算正确的是（ ）
A．y6÷y2＝y3B．+＝
C．（m+1）2＝m2+1D．（﹣2m）3＝﹣6m3
【分析】A．应用同底数幂除法法则进行计算即可得出额；
B．应用分式加减法则进行计算即可得出答案；
C．应用完全平方公式进行计算即可得出答案；
D．应用积的乘方法则进行计算即可得出答案．
【解答】解：A．因为y6÷y2＝y6﹣2＝y4，所以A选项计算错误，故A选项不符合题意；
B．因为＝＝，所以B选项计算正确，故B选项符合题意；
C．因为（m+1）2＝m2+2m+1，所以C选项计算错误，故C选项不符合题意；
D．因为（﹣2m）3＝（﹣2）3m3＝﹣8m3，所以D选项计算错误，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式的加减、幂的乘方与积的乘方、同底数幂除法及完全平方公式，熟练掌握分式的加减、幂的乘方与积的乘方、同底数幂除法及完全平方公式进行计算是解决本题的关键．
6．（2023秋•西城区期末）下列分式中，从左到右变形错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用分式的加减运算法则以及分式的性质分别化简，进而判断得出答案．
【解答】解：A.＝，故此选项不合题意；
B.+＝+＝，故此选项符合题意；
C.＝﹣，故此选项不合题意；
D.＝＝，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式的加减运算以及分式的性质，正确化简分式是解题关键．
7．（2023秋•长沙县期末）计算的正确结果是（ ）
A．xB．2C．D．2（x﹣1）
【分析】直接利用分式的加减运算的法则进行求解即可．
【解答】解：
＝
＝
＝2．
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的加减，解答的关键是熟记分式的加减的法则并熟练运用．
8．（2023秋•仓山区校级期末）已知a，b，c，d都是正实数，且＜，其中B＝，C＝，则B与C的大小关系是（ ）
A．B＞CB．B≥CC．B＜CD．B≤C
【分析】利用作差法，结合分式加减法运算法则进行计算，从而作出判断．
【解答】解：B﹣C＝﹣
＝
＝
＝，
∵，
∴，
，
又∵a，b，c，d都是正实数，
∴ad﹣bc＜0，bd＞0，
∴（a+b）（c+d）＞0，bc﹣ad＞0，
∴B﹣C＞0，
即B＞C，
故选：A．
【点评】本题考查分式的加减运算，理解分式的基本性质，掌握异分母分式加减法运算法则是解题关键．
9．（2023秋•微山县期末）已知实数x，y满足：x2﹣+2＝0，y2﹣+2＝0，则2022|x﹣y|的值为（ ）
A．B．1C．2022D．20222
【分析】根据已知可得x2＝﹣2，y2＝﹣2，从而可得x3+2x＝1，y3+2y＝1，进而可得x＝y，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵x2﹣+2＝0，y2﹣+2＝0，
∴x2＝﹣2，y2＝﹣2，
∴x3＝1﹣2x，y3＝1﹣2y，
∴x3+2x＝1，y3+2y＝1，
∴x3+2x＝y3+2y，
∴x＝y，
∴x﹣y＝0，
∴2022|x﹣y|
＝2022|0|
＝20220
＝1，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的加减法，根据题目的已知条件求出x＝y是解题的关键．
10．（2023秋•任丘市期末）下列各分式运算结果正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①③B．②④C．①②D．③④
【分析】利用分式的乘法与除法的法则对各式进行运算，即可得出结果．
【解答】解：①，故①正确；
②，故②正确；
③＝＝，故③错误；
④＝＝，故④错误，
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
二．填空题（共2小题）
11．（2023秋•藁城区期末）计算的结果是 ．
【分析】根据分式的乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查分式的乘除运算法则，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型．
12．（2023秋•长沙县期末）计算（﹣）2÷•（）﹣1＝ x ．
【分析】先进行乘方的运算，除法转化为乘法，负整数指数幂的运算，再利用分式的乘法的法则进行求解即可．
【解答】解：（﹣）2÷•（）﹣1
＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查分式的乘除法，负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
三．解答题（共6小题）
13．（2023秋•定陶区期末）计算：
（1）；
（2）．
【分析】根据分式的乘除法的计算方法进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝；
（2）原式＝．
【点评】本题考查分式的乘除法，掌握分式乘除法的计算方法是正确计算的前提．
14．（2022•竹山县模拟）化简：．
【分析】先计算括号内分式的减法、将除式的分子、分母因式分解，再将除法转化为乘法，继而约分即可．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝•
＝m﹣n．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
15．（2022春•沙坪坝区校级月考）计算：
（1）b（2a+b）+（a+b）（a﹣b）；
（2）．
【分析】（1）先利用单项式乘多项式和平方差公式计算，再计算加减即可；
（2）先计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，继而约分即可．
【解答】解：（1）原式＝2ab+b2+a2﹣b2
＝2ab+a2；
（2）原式＝[+]÷
＝•
＝．
【点评】本题主要考查整式和分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
16．（2022•红花岗区一模）先化简，再求值：﹣×（﹣），其中a＝﹣2．
【分析】原式先算乘法，然后通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝+
＝
＝
＝，
当a＝﹣2时，原式＝＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．（2022•罗山县校级模拟）先化简，再求值：，其中x＝5．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝•
＝•
＝，
当x＝5时，原式＝＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（2022•罗湖区模拟）先化简，再求值：，其中a＝2．
【分析】先算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：
＝÷
＝•
＝，
当a＝2时，原式＝＝2．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
题组B 能力提升练
一．选择题（共3小题）
1．（2023秋•丛台区校级期末）规定一种新的运算“JQx→+∞”，其中A和B是关于x的多项式．当A的次数小于B的次数时，JQx→+∞＝0；当A的次数等于B的次数时，JQx→+∞的值为A、B的最高次项的系数的商．当A的次数大于B的次数时，JQx→+∞不存在．
例：JQx→+∞＝0，JQx→+∞．
若，则JQx→+∞的值为（ ）
A．0B．C．D．不存在
【分析】先对进行计算，然后再根据规定的新运算，解答即可．
【解答】解：
＝÷
＝•
＝，
∴A的次数等于B的次数，
∴JQx→+∞＝，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的乘除法，有理数的混合运算，多项式，分式的值为0的条件，理解已知规定的新运算是解题的关键．
2．（2023秋•高邑县期末）已知：a1＝x+1（x≠0且x≠﹣1），a2＝，，则a2020等于（ ）
A．xB．x+1C．D．
【分析】题目属于规律型题目，首先根据已知条件，逐个求出，进而发现规律，每三个代数式一个循环，然后，利用除法算出2020÷3＝673……1，可以求得题目答案．
【解答】解：a1＝x+1，
a2＝＝﹣，
a3＝＝，
a4＝＝x+1，
……
a2020＝x+1，
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算，算出每个代数式的值，发现规律是解决问题的关键．
3．（2023秋•罗庄区期末）老师出了一道题：计算+，对于下面这三名同学的做法，你的判断是（ ）
乐乐的做法是：原式＝﹣＝＝；
淇淇的做法是：原式＝（x+3）（x﹣2）+（2﹣x）＝x2+x﹣6+2﹣x＝x2﹣4；
嘉嘉的做法是：原式＝﹣＝﹣＝＝1．
A．嘉嘉的做法是正确的
B．淇淇的做法是正确的
C．乐乐的做法是正确的
D．三名同学的做法均不正确
【分析】按步骤求解，然后对比其他三人做法找出正确答案．
【解答】解：原式＝，
＝，
＝，
＝1．
∴嘉嘉的做法正确，
故选：A．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的基本性质．
二．填空题（共4小题）
4．（2023•安乡县二模）如果≠0，那么代数式•（2m+n）的值是 ．
【分析】先化简该分式，再设＝k，则m＝3k、n＝2k，代入化简后的分式计算可得．
【解答】解：原式＝•（2m+n）＝，
设＝k，
则m＝3k、n＝2k，
所以原式＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是熟练掌握分式的乘除运算顺序和法则．
5．（2020秋•沿河县期末）已知：×2＝+2，×3＝+3，×4＝+4，…，若×10＝+10（a、b都是正整数），则a+b的值是 19 ．
【分析】由×2＝+2，×3＝+3，×4＝+4的规律可得a＝10，b＝10﹣1＝9，可得结果．
【解答】解：∵×2＝+2，×3＝+3，×4＝+4，…，若×10＝+10（a、b都是正整数），
∴a＝10，b＝10﹣1＝9，
∴a+b＝19．
故答案为：19．
【点评】本题主要考查了数字的变化规律，利用发现规律得出a，b是解答此题的关键．
6．（2023秋•长安区校级期末）如果a＝﹣，那么分式（1﹣）÷的值是 3+ ．
【分析】先根据分式的减法进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（1﹣）÷
＝•
＝•
＝a（a﹣1）
＝a2﹣a，
当a＝﹣时，原式＝（﹣）2﹣（﹣）＝3+，
故答案为：3+．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
7．（2023秋•嘉荫县校级期末）已知，则分式的值为 ﹣4 ．
【分析】先通过＝1得到n﹣m＝2mn，再将n﹣m＝2mn代入化简求值．
【解答】解：将＝1方程两边同时乘以2mn得：
n﹣m＝2mn，
将n﹣m＝2mn代入得：
＝＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的基本性质．
三．解答题（共5小题）
8．（2023秋•大兴区期末）化简：÷•．
【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝••＝（a﹣1）•＝a+1．
【点评】此题考查了分式的乘除法，分式乘除法的关键是约分，约分的关键是找出公因式．
9．（2022•孝南区一模）化简：M＝，同时求出M有意义时x的取值范围，并从不等式组的解集中取一个合适的整数值代入求值．
【分析】先根据分式的加法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则进行计算，即可得出化简的结果，根据分式有意义的条件得出x﹣1≠0且x≠0，求出x不能为1和0，求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解，取x＝2，再把x＝2代入化简的结果x﹣2，即可求出分式的值．
【解答】解：M＝
＝÷
＝÷
＝•
＝x﹣2，
要使分式有意义，必须x﹣1≠0，x≠0，
即x≠1和0，
所以x的取值范围是x≠1且x≠0，
解不等式组得：﹣＜x＜4，
所以不等式组的整数解是0，1，2，3，
取x＝2，
当x＝2时，原式＝2﹣2＝0．
【点评】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
10．（2022•娄底一模）先化简，再求值：，其中x是﹣1、1、2中的一个合适的数．
【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件求出x不能为﹣1，0，1，取x＝2，代入﹣，即可求出答案．
【解答】解：
＝÷
＝•
＝•
＝﹣，
要使分式有意义，x+1≠0，x≠0，x﹣1≠0，
即x不能为﹣1，0，1，
取x＝2，
当x＝2时，原式＝﹣＝﹣1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
11．（2019秋•西城区校级期中）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把分式的分子或分母分解因式，再根据分式的乘法法则进行计算即可；
（2）先把括号内的式子通分，同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝•
＝；
（2）原式＝•
＝
＝
＝2m+6．
【点评】本题考查了分式的乘除法法则，能灵活运用法则进行计算是解此题的关键．
12．（2023秋•惠州期末）结合图，观察下列式子：
（x+p）（x+q）＝x2+px+qx+pq
＝x2+（p+q）x+pq
于是有：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
（1）填空：因式分解x2+5x+6＝（x+ 2 ）（x+ 3 ）；
（2）化简：；
（3）化简：．
【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可；
（2）先对分式的分子、分母进行因式分解，把除法化为乘法，再利用乘法对加法的分配律计算即可；
（3）先对分式的分子、分母进行因式分解，再利用＝进行解答即可．
【解答】解：（1）x2+5x+6＝（x+2）（x+3），
故答案为：2，3；
（2）原式＝[]×
＝×﹣
＝﹣
＝；
（3）原式＝+
＝+++
＝
＝．
【点评】此题考查的是分式的混合运算和因式分解，掌握其运算法则是解决此题关键．
题组C 培优拔尖练
一．解答题（共10小题）
1．（2023•市中区校级开学）已知：A＝xy﹣x2，B＝，C＝，若A÷B＝C×D，求D．
【分析】根据所给出的条件A÷B＝C×D列出式子，经过运算即可求出D的值．
【解答】解：A＝xy﹣x2＝x（y﹣x），B＝＝，C＝；
∵A÷B＝C×D，
∴x（y﹣x）÷＝×D，
所以D＝x（y﹣x）×＝﹣y；
∴D＝﹣y．
【点评】本题综合地考查了化简分式以及分式的乘除法运算的知识，分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，找出分子分母中能约分的公因式，然后进行约分．
2．（2016秋•闵行区期末）计算：•．
【分析】先将分式的分子与分母进行因式分解
【解答】解：原式＝•
＝•
＝
【点评】本题考查分式的乘除法，涉及因式分解法，题目较为综合．
3．（2023春•大兴区期中）已知非零实数a、b满足等式，求的值．
【分析】首先把已知等式去掉分母，整理成（b﹣1）2+（a﹣2）2＝0，根据非负式的性质得到a、b的值，代入化简计算即可．
【解答】解：等式两边都乘以ab得：b2+a2+5＝4a+2b，
整理得：（b﹣1）2+（a﹣2）2＝0，
∴a＝2，b＝1，
代入得：
原式＝．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值、非负式的性质、完全平方公式以及等式的性质综合运用，根据等式性质和配方求出a、b的值是解决问题的关键．
4．（2012春•乐山期中）已知（A、B、C是常数），求A、B、C的值．
【分析】首先通分，然后利用同分母的分式相加减的运算法则求解求得的值，继而可得方程组：，解此方程组即可求得答案．
【解答】解：∵＝
＝＝，
∴，
解得：，
∴A、B、C的值分别为：﹣，，﹣．
【点评】此题考查了分式的加减运算法则与三元一次方程组的解法．此题难度适中，注意掌握整式相等的条件是解此题的关键．
5．（2023秋•广饶县期中）已知下面一列等式：
1×＝1﹣；×＝；×＝；×＝；…
（1）请你从左边这些等式的结构特征写出它的一般性等式；
（2）验证一下你写出的等式是否成立；
（3）利用等式计算：+++．
【分析】（1）观察已知的四个等式，发现等式的左边是两个分数之积，这两个分数的分子都是1，后面一个分数的分母比前面一个分数的分母大1，并且第一个分数的分母与等式的序号相等，等式的右边是这两个分数之差，据此可写出一般性等式；
（2）根据分数的运算法则即可验证；
（3）根据（1）中的结论求解．
【解答】解：（1）•＝﹣；
（2）∵﹣＝﹣＝＝•，
∴•＝﹣；
（3）原式＝（）+（﹣）+（﹣）+（﹣）
＝﹣
＝．
【点评】本题是寻找规律的题型，考查了学生分析问题、归纳问题及解决问题的能力．总结规律要从整体、部分两个方面入手，防止片面总结出错误结论．
6．（2023秋•乌拉特前旗期末）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a＝﹣1．
【分析】先算括号内的减法，再把除法变成乘法，求出结果，最后代入求出即可．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝[﹣]÷
＝•
＝，
当a＝﹣1时，原式＝＝﹣1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类问题时要注意把分式化为最简形式，再代入求值．
7．（2023秋•寻乌县期末）先化简，，再在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
【分析】先把除法变成乘法，再算乘法和加法，最后取适当的数代入，即可求出答案．
【解答】解：原式＝•+
＝+
＝，
∵分式的分母≠0，
∴x≠﹣2、﹣1、0、1，
又∵x在﹣2、0、1、2，
∴x＝2，
当x＝2时，
原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
8．（2023秋•武城县期末）先化简：（﹣），然后从﹣1，0，1，3中选一个你认为合适的数作为x值代入求值．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则变形，再利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x＝3代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷＝•＝，
当x＝3时，原式＝．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（2020秋•乐亭县期中）已知分式A＝（a+1﹣）÷．
（1）化简这个分式；
（2）把分式A化简结果的分子与分母同时加上3后得到分式B，问：当a＞2时，分式B的值较原来分式A的值是变大了还是变小了？试说明理由．
（3）若A的值是整数，且a也为整数，求出所有符合条件a的值．
【分析】（1）根据分式的混合运算顺序进行计算即可；
（2）把分式化简后分子分母同时加上3得分式B，再根据求差法进行大小比较即可；
（3）根据（1）的化简结果，分情况计算出a和A都是整数即可．
【解答】解：（1）A＝×
＝．
（2）A＝，B＝，
A﹣B＝﹣
＝
＝．∵a＞2，
∴A﹣B＞0，
∴A＞B．
答：分式B的值较原来分式A的值是变小了．
（3）A＝是整数，a也是整数，
∴a＝0时，A＝﹣1；
a＝3时，A＝5；
a＝4时，A＝3；
a＝6时，A＝2；
a＝﹣2时，A＝0．
答：所有符合条件的a的值为0、3、4、6、﹣2．
【点评】本题考查了分式的化简求值、分式的大小比较，解决本题的关键是根据题意列出分式B．
10．（2019•湖北自主招生）已知a2﹣6a+9与|b﹣1|互为相反数，求代数式的值．
【分析】因为a2﹣6a+9与|b﹣1|互为相反数，所以可得（a﹣3）2+|b﹣1|＝0所以a＝3，b＝1，通过观察所求的代数式很复杂，化简的过程很繁琐，而a，b的值简单，所以本题比较简便的方法是直接把a，b的值代入求解即可．
【解答】解：由已知可得a2﹣6a+9+|b﹣1|＝0，
即（a﹣3）2+|b﹣1|＝0，
∴a＝3，b＝1，
∴原式＝（）÷
＝﹣×
＝．
【点评】本题所考查的内容“分式的运算”是数与式的核心内容，全面考查了有理数、整式、分式运算等多个知识点，要合理寻求简单运算途径的能力及分式运算．另外还要熟悉相反数的定义，利用定义列出方程求出a，b的值．