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北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第16讲 分式方程（原卷版+解析）
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这是一份北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第16讲 分式方程（原卷版+解析），共72页。试卷主要包含了4万元，求a的值．等内容，欢迎下载使用。
1.理解分式方程的概念，会解一些简单的分式方程；
2.通过将简单的分式方程转化为整式方程进行求解，领会分式方程“整体化”的化归思想和方法；
3.理解增根的概念，会检验分式方程的根；
4.会用分式方程解决相关问题，并进行简单的应用。
知识精讲
知识点01 分式方程的定义
分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．
【知识拓展】（2023秋•平罗县期末）下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练】（2023秋•西峰区期末）下列关于x的方程是分式方程的是（ ）
A．B．C．D．
知识点02 分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
【知识拓展】（2022春•北碚区校级月考）若实数a使关于x的分式方程有正整数解，且使关于y的一元一次不等式组至少有4个整数解，则符合条件的所有整数a之和为（ ）
A．12B．15C．19D．22
【即学即练】（2022春•沙坪坝区校级月考）若关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值的和是（ ）
A．2B．0C．1D．﹣1
知识点03 解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
【知识拓展】（2022•德城区校级开学）方程的解为（ ）
A．B．﹣4或1C．﹣4D．无解
【即学即练1】（（2022•江汉区模拟）方程的解为 ．
【即学即练2】（（2023秋•利通区校级期末）若分式值相等，则x的值为 ．
知识点04换元法解分式方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．
【知识拓展】 （2023春•淮安月考）用换元法解分式方程x2+2x﹣＝8，若设x2+2x＝y，则原方程可化为（ ）
A．20y2+8y﹣1＝0B．y2﹣8y﹣20＝0
C．y2+8y﹣20＝0D．8y2﹣20y+1＝0
【即学即练】（2023春•宝山区校级月考）用换元法解方程时，设，则原方程可变形为（ ）
A．y2+y＝4B．y2+y＝2C．y2+y＝6D．y2﹣y＝4
知识点05分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
【知识拓展】（2023秋•开福区校级期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A．m＝2或m＝6B．m＝2C．m＝6D．m＝2或m＝﹣6
【即学即练】（2023秋•德江县期末）关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．0B．2或3C．2D．3
知识点06由实际问题抽象出分式方程
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
【知识拓展】（2022•罗山县校级模拟）郑州市新冠肺炎疫情防控指挥部发布开展全市全员新冠病毒核酸检测的通告，某小区有3000人需要进行核酸检测，由于组织有序，居民也积极配合，实际上每小时检测人数比原计划增加50人，结果提前2小时完成检测任务．假设原计划每小时检测x人，则依题意，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练】（2023秋•和硕县校级期末）在新农村建设中，为了美化乡村，八年级同学积极参加植树造林，已知八（1）班每天比八（2）班每天多植5棵树，八（1）班植80棵树所用的天数与八（2）班植70棵树所用的天数相等，若设八（1）班每天植x棵，根据题意列出的方程是（ ）
A．B．C．D．
知识点07分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
【知识拓展】（2022•麻栗坡县校级模拟）根据云南省《关于加快推进城镇老旧小区改造工作的指导意见》，在2021年底要基本完成云南全省城镇老旧小区改造提升工作．某小区计划对面积为1200m2的区域进行停车位改造，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成改造的面积是乙队每天能完成改造面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为400m2区域的改造时，甲队比乙队少用4天．求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的停车位改造？
【即学即练1】（2023秋•利通区校级期末）“阅读陪伴成长，书香润泽人生，”吴忠市第四中学为了开展学生阅读活动，计划从书店购进若干本A、B两类图书（每本A类图书的价格相同，每本B类图书的价格也相同），且每本A类图书的价格比每本B类图书的价格多5元，用1200元购进的A类图书与用900元购进的B类图书册数相同，求每本A类图书和每本B类图书的价格各为多少元？
【即学即练2】（2023秋•绵阳期末）精强硅谷，有众多高科技产业，红旗电子科技公司是通讯设备、电源设备及消费类电子产品生产厂商，提供各类高分子材料、热传导材料、绝缘材料、缓冲及防尘材料．该公司今年承包了一手机品牌某一热传导材料零部件的生产任务，原计划在规定时间内生产24000个热传导材料零部件，由于此零件紧缺，需要提前5天供货，该公司经商议后，决定将工作效率比原计划提高25%，结果按预期刚好提前5天完成任务，求原计划每天生产的零件个数和规定的天数．
能力拓展
一．选择题（共3小题）
1．（2023•大渡口区自主招生）如果关于x的分式方程+＝1有非负整数解，关于y的不等式组有且只有三个整数解，则所有符合条件的整数m的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．（2020•渝北区自主招生）若a为整数，关于x的不等式组有且只有两个整数解，且关于y的分式方程﹣＝1有整数解，则满足上述条件的整数a的和为（ ）
A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣6
3．（2020•武昌区校级自主招生）若关于x的方程++＝0只有一个实数根，则实数a的所有可能取值的和为（ ）
A．7B．15
C．31D．以上选项均不对
二．填空题（共4小题）
4．（2023•黄州区校级自主招生）黄冈首届半程马拉松于5月6日在遗爱湖公园起跑，小林与小雨两名同学为参加比赛，在学校运动场400米环形跑道上进行训练，两人各自以恒定的速度沿逆时针方向跑步，已知每隔12分钟小林追上小雨一次，小林每圈花费的时间比小雨少10秒，则小林跑步的速度为每秒 米．
5．（2019•顺庆区校级自主招生）已知x满足﹣x2﹣2x＝1，那么x2+2x＝ ．
6．（2020•巴南区自主招生）若关于x的分式方程﹣＝4有正整数解，且关于y的不等式组有解，则所有符合条件的整数a的值的积是 ．
7．（2019•达州自主招生）已知a2﹣6a+1＝0且＝2，则m＝ ．
三．解答题（共5小题）
8．（2020•宝山区校级自主招生）解关于x的方程a（x﹣1）++3＝0．
9．（2020•永州）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．
（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？
（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？
10．（2020•浙江自主招生）已知关于x的方程﹣＝恰好有一个实数解，求k的值及方程的解．
11．（2020•渝中区校级自主招生）2020年2月，因新冠肺炎确诊病例不断增加，湖北某医疗救治中心计划购买一批无创呼吸机和双向呼吸机，两款共200台，预算分别为56万元和156万元．已知每台双向呼吸机的售价是每台无创呼吸机售价的2倍少1000元．
（1）求该救治中心计划分别购进无创呼吸机和双向呼吸机各多少台？
（2）为了表达对湖北疫区人民支持，呼吸机生产厂家立即对两款呼吸机均进行打折零利润销售，实际售价均在原售价的基础上下降了a%，根据救治中心一线医护人员的实际需求，双向呼吸机的实际购买量比原计划增加了a%，结果购买双向呼吸机比购买无创呼吸机多花费了90.4万元，求a的值．
12．（2020•谷城县校级自主招生）若关于x的方程只有一个解（相等的解也算作一个），试求k的值与方程的解．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共5小题）
1．（2021秋•樊城区期末）随着电影《你好，李焕英》热映，其同名小说的销量也急剧上升．某书店分别用400元和600元两次购进该小说，第二次数量比第一次多1倍，且第二次比第一次进价便宜4元，设书店第一次购进x套，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋•河西区期末）方程的解为（ ）
A．1B．3C．4D．无解
3．（2023秋•惠州期末）把分式方程＝转化成整式方程时，方程两边同乘（ ）
A．xB．x﹣2C．x（x﹣2）D．3x（x﹣2）
4．（2021秋•公安县期末）已知关于x的方程的解为正数，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣2且k≠﹣1B．k＞﹣2C．k＞0且k≠1D．k＜﹣2
5．（2023秋•德江县期末）关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．0B．2或3C．2D．3
二．填空题（共5小题）
6．（2023秋•孟村县期末）现有6000米的钢轨需要铺设，为确保通车时间，实际施工时每天铺设的长度是原计划的2倍，结果提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x米．
（1）根据题意，可列分式方程为 ；
（2）实际施工时每天铺设钢轨的长度为 米．
7．（2022•仁寿县模拟）已知关于x的方程＝5的解不是正数，则m的取值范围为 ．
8．（2023秋•宜城市期末）若关于x的分式方程无解，则m的值为 ．
9．（2023秋•新田县期末）解关于x的分式方程＝时不会产生增根，则m的取值范围是 ．
10．（2023秋•曲阳县期末）A、B两地相距1350km，两辆汽车从A开往B地，大汽车比小汽车晚到30min，已知小汽车与大汽车的速度之比为5：3，求两车的速度，设大汽车的速度为3xkm/h，小汽车的速度为5xkm/h，所列方程是 ．
三．解答题（共2小题）
11．（2023秋•昌吉市校级期末）解方程：
（1）＝； （2）﹣＝1．
12．（2022•淮北模拟）解分式方程：+3＝．
题组B 能力提升练
一．选择题（共5小题）
1．（2022•开州区模拟）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣15B．﹣13C．﹣7D．﹣5
2．（2023秋•钢城区期末）若关于x的分式方程有正数解，则m的取值范围为（ ）
A．m＜2B．m≠3C．﹣3＜m＜﹣2D．m＜2且m≠﹣3
3．（2023秋•平舆县期末）若关于x的方程＝a无解，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．0D．±1
4．（2022•北碚区校级开学）若关于x的一元一次不等式组的解集恰好有3个负整数解，且关于y的分式方程＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．6B．9C．﹣1D．2
5．（2023秋•晋安区期末）若关于x的分式方程＝无解，则k的值为（ ）
A．1或4或﹣6B．1或﹣4或6C．﹣4或6D．4或﹣6
二．填空题（共2小题）
6．（2022•任城区一模）关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围是 ．
7．（2023秋•绵阳期末）若关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和等于 ．
三．解答题（共8小题）
8．（2023秋•江源区期末）学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）选择：聪聪同学所列方程中的x表示 ，明明同学所列方程中的y表示 ；
A．甲队每天修路的长度；
B．乙队每天修路的长度；
C．甲队修路400米所用的时间．
（2）你喜欢 列的方程，该方程的等量关系为 ；
（3）解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题．
9．（2023秋•濮阳期末）为了做好防疫工作，保障员工安全健康，某公司用480元购进一批某种型号的口罩．由于质量较好，公司又用720元购进第二批同一型号的口罩，已知第二批口罩的数量是第一批的2倍，且每包便宜4元，问第一批口罩每包的价格是多少元？公司前后两批一共购进多少包口罩？
10．（2023秋•密山市期末）（1）已知x（x﹣1）﹣（x2﹣y）＝﹣6，求﹣xy的值．
（2）虎林市政府倡导开展“共建绿色家园”，八年级甲、乙两个班的同学参加植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？（用方程解答）
11．（2023秋•青县期末）为响应“足球进校园”的号召，某学校在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购类乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．
（1）求这间商场出售每个甲种足球、每个乙种足球的售价各是多少元；
（2）按照实际需要每个班须配备甲种足球2个，乙种足球1个，购买足球能够配备多少个班级？
（3）若另一学校用3100元在这商场以同样的售价购买这两种足球，且甲种足球与乙种足球的个数比为2：3，求这学校购买这两种足球各多少个？
12．（2023秋•老河口市期末）某商家预测一种商品能畅销市场，就用4000元购进一批这种商品，这种商品面市后果然供不应求，商家又用8800元购进了第二批这种商品，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元．该商家购进的两批商品的数量分别是多少件？
13．（2023秋•渌口区期末）某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种玩具110个，购买A玩具与购买B玩具的费用相同．已知A玩具的单价是B玩具单价的1.2倍．
（1）求A、B两种玩具的单价各是多少？
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种玩具共260个，已知A、B两种玩具的进价不变．求A种玩具最多能购进多少个？
14．（2023秋•普兰店区期末）一项工程需要限期完成，若用甲工程队单独做正好如期完成，若用乙工程队单独做，需要逾期3天才能完成（比期限多3天）．现在甲、乙两工程队合做2天，余下由乙工程队单独做，刚好如期完成，求甲、乙两工程队单独完成工程各需要多少天？
15．（2023秋•民权县期末）某商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少4元，其用200元购进甲种牛奶的数量与用220元购进乙种牛奶的数量相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的2倍少4件，该商场甲种牛奶的销售价格为每件45元，乙种牛奶的销售价格为每件50元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润＝售价﹣进价）等于364元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶各多少件？
题组C 培优拔尖练
一．选择题（共1小题）
1．（2023春•福田区校级期中）如果关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程﹣＝1有非负数解，则符合条件的所有整数m的和是（ ）
A．13B．15C．20D．22
二．填空题（共2小题）
2．（2022春•渝中区校级月考）某校在“3.12”植树节来临之际，特从初一、初二、高一、高二四个年级中抽调若干学生去植树．已知初一、初二抽调的人数之比为5：3，高一、高二抽调的人数之比为4：3．上午，初一、高一年级平均每人植树的棵树相同且大于3棵小于10棵，高二年级平均每人植树的棵树为初一、初二平均每人植树的棵树之和的2倍，上午四个年级平均每人植树的棵树总和大于30棵小于40棵，上午四个年级一共植树714棵．下午，初二年级因为要回校参加活动不再参与植树活动，高一、高二年级平均每人植树的棵树都有所降低，高一年级平均每人植树的棵树降低50%，高二年级平均每人植树的棵树降为原来的．若初一年级人数及人均植树的棵树不变，高一高二年级人数不变，且四个年级平均每人植树的棵树为整数，则四个年级全天一共植树 棵．
3．（2020秋•滨州月考）若＝+++++，则a的值是 ．
三．解答题（共10小题）
4．（2023秋•望城区期末）已知，关于x的分式方程＝1．
（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解；
（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程＝1无解；
（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程＝1的解为整数时，求b的值．
5．（2023秋•临河区期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
6．（2023秋•岳阳县期末）列分式方程解应用题
某校初二年级的甲、乙两个班的同学以班级为单位分别乘坐大巴车去某基地参加拓展活动，此基地距离该校90千米，甲班的甲车出发10分钟后，乙班的乙车才出发，为了比甲车早到5分钟，乙车的平均速度是甲车的平均速度的1.2倍，求乙车的平均速度．
7．（2023春•射洪市月考）已知关于x的分式方程+＝
（1）若方程的增根为x＝1，求m的值
（2）若方程有增根，求m的值
（3）若方程无解，求m的值．
8．（2023秋•宜城市期末）有一项工作需要在规定日期内完成，如果甲单独做，刚好如期完成；如果乙单独做，就要超过规定日期3天．现在由甲、乙两人合做2天，剩下的工作由乙单独做，刚好如期完成，问规定日期是几天？
9．（2023秋•甘南县期末）列方程解应用题：
为了提升阅读速度，某中学开设了“高效阅读”课．小敏经过一段时间的训练，发现自己现在每分钟阅读的字数比原来的2倍还多300字，现在读9100字的文章与原来读3500字的文章所用的时间相同．求小敏原来每分钟阅读的字数．
10．（2023秋•饶平县期末）在汕头市“创文”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担．已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了a天完成，乙做另一部分用了y天完成．若乙工程队还有其它工作任务，最多只能做52天．求甲工程队至少应做多少天？
11．（2023秋•上思县期末）为改善南宁市的交通现状，市政府决定修建地铁，甲、乙两工程队承包地铁1号线的某段修建工作，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3倍；若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作10天完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为15.6万元，乙队每天的施工费用为18.4万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需增加多少万元？
12．（2020秋•庆云县校级期末）进入防汛期后，某地驻军在河堤加固的工程中出色完成任务，下面是记者与驻军工程指挥官的对话：记者：“你们是用9天时间完成4800米长的大坝加固任务的？”驻军指挥官：“我们加固600米后，采用新的加固模式，这样每天加固长度是原来的2倍．”通过上面的对话，请你求出该驻军原来每天加固河堤的米数．
13．（2023春•南浔区期末）某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶．甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）．
（1）扶梯露在外面的部分有多少级？
（2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲、乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？
15.3分式方程
甲乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度？
聪聪：＝
明明：﹣＝20
第16讲 分式方程
目标导航
1.理解分式方程的概念，会解一些简单的分式方程；
2.通过将简单的分式方程转化为整式方程进行求解，领会分式方程“整体化”的化归思想和方法；
3.理解增根的概念，会检验分式方程的根；
4.会用分式方程解决相关问题，并进行简单的应用。
知识精讲
知识点01 分式方程的定义
分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．
【知识拓展】（2023秋•平罗县期末）下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，判断即可．
【解答】解：A.分母中不含未知数，不是分式方程，故A符合题意；
B.是分式方程，故B不符合题意；
C.是分式方程，故C不符合题意；
D.是分式方程，故D不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．
【即学即练】（2023秋•西峰区期末）下列关于x的方程是分式方程的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解．
【解答】解：选项A、B、D是整式方程，不符合题意；
选项C，是分式方程，符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．
知识点02 分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
【知识拓展】（2022春•北碚区校级月考）若实数a使关于x的分式方程有正整数解，且使关于y的一元一次不等式组至少有4个整数解，则符合条件的所有整数a之和为（ ）
A．12B．15C．19D．22
【分析】根据题目的条件确定a的取值范围即可求解．
【解答】解：解不等式组，得，
∵不等式组至少有4个整数解，
∴0≤＜1，
∴3≤a＜8，
解分式方程，
x+a﹣2x＝x﹣3，
2x＝a+3，
x＝，
又∵分式方程有正整数解，
∴a+3是2的倍数，
∵x≠3，
∴a≠3，
∵3≤a＜8，
∴3＜a＜8，
∴满足条件的整数a的值为5，7，
∴满足条件的整数a的值之和是12．
故选：A．
【点评】本题主要考查了分式方程的解和不等式的解集，根据题目的条件确定常数的取值范围是解决本题的关键．
【即学即练】（2022春•沙坪坝区校级月考）若关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值的和是（ ）
A．2B．0C．1D．﹣1
【分析】根据题目的条件确定a的取值范围即可求解．
【解答】解：解不等式组得，
∵不等式组有且四个整数解，
∴0＜≤1，
∴﹣2＜a≤4，
解分式方程得y＝，
又∵分式方程有非负整数解，
∴y≥0，且y≠2，
即≥0，且≠2，
解得a≥﹣3且a≠1，
∴﹣3≤a≤4且a≠0，
∴满足条件的整数a的值为﹣1，﹣2，0，2，3，4，
当a＝﹣2、0、2、4时，y的值不是整数，不符合题意，舍去，
∴满足条件的整数a的值为﹣1，3，
∴满足条件的整数a的值之和是2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了分式方程的解和不等式的解集，根据题目的条件确定常数的取值范围是解决本题的关键．
知识点03 解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
【知识拓展】（2022•德城区校级开学）方程的解为（ ）
A．B．﹣4或1C．﹣4D．无解
【分析】方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1）化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．
【解答】解：方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1）得：
6﹣3（x+1）＝（x+1）（x﹣1），
∴x1＝﹣4，x2＝1，
当x＝﹣4时，（x+1）（x﹣1）≠0，
当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
∴原分式方程的解为x＝﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查了解分式方程，去分母把分式方程化为整式方程是解决问题的关键．
【即学即练1】（（2022•江汉区模拟）方程的解为 2 ．
【分析】先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再检验即可．
【解答】解：去分母得：x＝2，
检验：当x＝2时，2（x﹣1）≠0，
∴x＝2是原分式方程的解．
故答案为：2．
【点评】本题考查了解分式方程，利用了转化思想，解分式方程注意要检验．
【即学即练2】（（2023秋•利通区校级期末）若分式值相等，则x的值为 ﹣2 ．
【分析】根据分式值相等建立方程，去分母，解整式方程，最后检验即可．
【解答】解：由题知：，
去分母得：x﹣4＝4x+2，
解得：x＝﹣2．
检验：当x＝﹣2时，（2x+1）（x﹣4）≠0，
∴x＝﹣2是原分式方程的解．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查解分式方程，解题关键是转化思想把分式方程转化为整式方程，注意分式方程需要检验．
知识点04换元法解分式方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．
【知识拓展】 （2023春•淮安月考）用换元法解分式方程x2+2x﹣＝8，若设x2+2x＝y，则原方程可化为（ ）
A．20y2+8y﹣1＝0B．y2﹣8y﹣20＝0
C．y2+8y﹣20＝0D．8y2﹣20y+1＝0
【分析】换元法即等量代换，将x²+2x用y整体替换，再去分母，可得到答案．
【解答】解：用y整体替换x2+2x，得
，
去分母并移项，得y2﹣8y﹣20＝0，
故选：B．
【点评】本题难度不大，考查学生的整体思想及换元思想，合理替换是本题解题的关键．
【即学即练】（2023春•宝山区校级月考）用换元法解方程时，设，则原方程可变形为（ ）
A．y2+y＝4B．y2+y＝2C．y2+y＝6D．y2﹣y＝4
【分析】先根据完全平方公式变形得出（x+）2﹣2x•+（x+）＝4，求出（x+）2+（x+）＝6，再得出选项即可．
【解答】解：，
（x+）2﹣2x•+（x+）＝4，
（x+）2﹣2+（x+）＝4，
（x+）2+（x+）＝6，
设y＝x+，则原方程变形为y2+y＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了解分式方程和完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键．
知识点05分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
【知识拓展】（2023秋•开福区校级期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A．m＝2或m＝6B．m＝2C．m＝6D．m＝2或m＝﹣6
【分析】根据题意可得：x＝±2，然后把x的值代入到整式方程中进行计算即可解答．
【解答】解：，
x+m﹣x（2+x）＝4﹣x2，
解得：x＝m﹣4，
∵分式方程有增根，
∴4﹣x2＝0，
∴x＝±2，
当x＝2时，m﹣4＝2，
∴m＝6，
当x＝﹣2时，m﹣4＝﹣2，
∴m＝2，
∴m的值是6或2，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后，代入到整式方程中进行计算是解题的关键．
【即学即练】（2023秋•德江县期末）关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．0B．2或3C．2D．3
【分析】根据题意可得x＝2，然后把x＝2代入整式方程中进行计算即可解答．
【解答】解：，
2x﹣1＝m+x﹣2，
解得：x＝m﹣1，
∵方程有增根，
∴x﹣2＝0，
∴x＝2，
把x＝2代入x＝m﹣1中可得：
m﹣1＝2，
∴m＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后，代入整式方程中进行计算是解题的关键．
知识点06由实际问题抽象出分式方程
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
【知识拓展】（2022•罗山县校级模拟）郑州市新冠肺炎疫情防控指挥部发布开展全市全员新冠病毒核酸检测的通告，某小区有3000人需要进行核酸检测，由于组织有序，居民也积极配合，实际上每小时检测人数比原计划增加50人，结果提前2小时完成检测任务．假设原计划每小时检测x人，则依题意，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由实际上每小时检测人数比原计划增加50人及原计划每小时检测x人，可得出实际上每小时检测（x+50）人，利用检测实际＝需检测的总人数÷每小时检测的人数，结合结果提前2小时完成检测任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵实际上每小时检测人数比原计划增加50人，且原计划每小时检测x人，
∴实际上每小时检测（x+50）人．
依题意得：﹣2＝．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【即学即练】（2023秋•和硕县校级期末）在新农村建设中，为了美化乡村，八年级同学积极参加植树造林，已知八（1）班每天比八（2）班每天多植5棵树，八（1）班植80棵树所用的天数与八（2）班植70棵树所用的天数相等，若设八（1）班每天植x棵，根据题意列出的方程是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由八（1）班每天比八（2）班每天多植5棵树及八（1）班每天植x棵，可得出八（2）班每天植（x﹣5）棵，利用植树时间＝植树总棵数÷每天植树棵数，结合八（1）班植80棵树所用的天数与八（2）班植70棵树所用的天数相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵八（1）班每天比八（2）班每天多植5棵树，且八（1）班每天植x棵，
∴八（2）班每天植（x﹣5）棵．
依题意得：＝．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
知识点07分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
【知识拓展】（2022•麻栗坡县校级模拟）根据云南省《关于加快推进城镇老旧小区改造工作的指导意见》，在2021年底要基本完成云南全省城镇老旧小区改造提升工作．某小区计划对面积为1200m2的区域进行停车位改造，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成改造的面积是乙队每天能完成改造面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为400m2区域的改造时，甲队比乙队少用4天．求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的停车位改造？
【分析】设乙工程队每天能完成xm2的停车位改造，则甲工程队每天能完成2xm2的停车位改造，由题意：两队各自独立完成面积为400m2区域的改造时，甲队比乙队少用4天，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设乙工程队每天能完成xm2的停车位改造，则甲工程队每天能完成2xm2的停车位改造，
由题意得：﹣＝4，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
则2x＝100，
答：甲队每天能完成100m2的停车位改造，乙队每天能完成50m2的停车位改造．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【即学即练1】（2023秋•利通区校级期末）“阅读陪伴成长，书香润泽人生，”吴忠市第四中学为了开展学生阅读活动，计划从书店购进若干本A、B两类图书（每本A类图书的价格相同，每本B类图书的价格也相同），且每本A类图书的价格比每本B类图书的价格多5元，用1200元购进的A类图书与用900元购进的B类图书册数相同，求每本A类图书和每本B类图书的价格各为多少元？
【分析】设每本B类图书的价格为x元，则每本A类图书的价格为（x+5）元，利用数量＝总价÷单价，结合用1200元购进的A类图书与用900元购进的B类图书册数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出每本B类图书的价格，再将其代入（x+5）中即可求出每本A类图书的价格．
【解答】解：设每本B类图书的价格为x元，则每本A类图书的价格为（x+5）元，
依题意得：＝，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
∴x+5＝15+5＝20．
答：每本A类图书的价格为20元，每本B类图书的价格为15元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【即学即练2】（2023秋•绵阳期末）精强硅谷，有众多高科技产业，红旗电子科技公司是通讯设备、电源设备及消费类电子产品生产厂商，提供各类高分子材料、热传导材料、绝缘材料、缓冲及防尘材料．该公司今年承包了一手机品牌某一热传导材料零部件的生产任务，原计划在规定时间内生产24000个热传导材料零部件，由于此零件紧缺，需要提前5天供货，该公司经商议后，决定将工作效率比原计划提高25%，结果按预期刚好提前5天完成任务，求原计划每天生产的零件个数和规定的天数．
【分析】根据题意可设原计划每天生产的零件x个，根据时间是一定的，列出方程求得原计划每天生产的零件个数，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，即可求得规定的天数．
【解答】解：设原计划每天生产的零件x个，
由题意，得﹣5＝．
得x＝960，
经检验，x＝9600是原方程的根，且符合题意．
∴规定的天数为24000÷960＝250（天）．
答：原计划每天生产的零件960个，规定的天数是250天．
【点评】本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
能力拓展
一．选择题（共3小题）
1．（2023•大渡口区自主招生）如果关于x的分式方程+＝1有非负整数解，关于y的不等式组有且只有三个整数解，则所有符合条件的整数m的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由解为非负整数解，以及不等式组只有3个整数解，确定出符合条件m的值，求出之和即可．
【解答】解：去分母得：2﹣m﹣1＝x﹣2，
解得：x＝3﹣m，
由解为非负整数解，得到3﹣m≥0，且3﹣m≠2，即m≤3且m≠1，
不等式组整理得：，
由不等式组只有3个整数解，得到y＝﹣2，﹣1，0，即0＜≤1，
解得：﹣2≤m＜2，
则符合题意m＝﹣2，﹣1，0，
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2020•渝北区自主招生）若a为整数，关于x的不等式组有且只有两个整数解，且关于y的分式方程﹣＝1有整数解，则满足上述条件的整数a的和为（ ）
A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣6
【分析】先解不等式组，根据其有两个整数解得出﹣4≤a＜0；解分式方程求出y＝，由解为整数得出a的整数值，从而得出答案．
【解答】解：解关于x的不等式组得，
，
∵不等式组有且只有两个整数解，
∴﹣4＜a≤0；
关于y的分式方程﹣＝1得，
y＝，
∵y是整数，
∴a＝﹣1，﹣2，
a＝﹣2时，y＝2为增根，应该舍去，
∴a＝﹣1或0，
故满足条件的整数a的和为：﹣1+0＝﹣1，
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，掌握方程和不等式的解法是解题的关键，注意要排除产生增根时m的值．
3．（2020•武昌区校级自主招生）若关于x的方程++＝0只有一个实数根，则实数a的所有可能取值的和为（ ）
A．7B．15
C．31D．以上选项均不对
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，分类讨论整式方程只有一个实数根，检验后求出a的值总和即可．
【解答】解：已知方程化为4x2﹣4x﹣a+8＝0①，
①若方程①有两个相等实根，则△＝16﹣16（8﹣a）＝0，即a＝7，
当a＝7时，方程①的根x1＝x2＝，符合要求；
②若方程①有两个相等实根，其中一个根为2（因为2是原方程的增根，会舍去），
将x＝2代入方程①，则16﹣8﹣a+8＝0，即a＝16，
此时，方程①的另一个根为x＝﹣4，符合要求；
③若方程①有两个相等实根，其中一个根为0（因为0是原方程的增根，会舍去），
将x＝0代入方程①，则8﹣8+a+8＝0，即a＝8，
此时方程①的另一个根为x＝﹣1，符合要求，
综上，符合条件的a有7，16，8，其总和为31，
故选：C．
【点评】本题主要考查了分式方程的解，用分类讨论的思想解答能使问题解答更全面．
二．填空题（共4小题）
4．（2023•黄州区校级自主招生）黄冈首届半程马拉松于5月6日在遗爱湖公园起跑，小林与小雨两名同学为参加比赛，在学校运动场400米环形跑道上进行训练，两人各自以恒定的速度沿逆时针方向跑步，已知每隔12分钟小林追上小雨一次，小林每圈花费的时间比小雨少10秒，则小林跑步的速度为每秒 5 米．
【分析】设小林跑步的速度为x米/秒，则小雨跑步的速度为米/秒，根据时间＝路程÷速度结合小林每圈花费的时间比小雨少10秒，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设小林跑步的速度为x米/秒，则小雨跑步的速度为米/秒，
依题意，得：﹣＝10，
解得：x1＝﹣，x2＝5，
经检验，x1＝﹣，x2＝5均为原分式方程的解，x＝5符合题意．
故答案为：5．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
5．（2019•顺庆区校级自主招生）已知x满足﹣x2﹣2x＝1，那么x2+2x＝ 2 ．
【分析】设x2+2x＝y，则原方程可化为y2﹣4＝0，解得y1＝2，y2＝﹣2，解方程可解答．
【解答】解：﹣x2﹣2x＝1，
设x2+2x＝y，则原方程可化为﹣y＝1，
3﹣y（y﹣1）＝y﹣1，
y2＝4，
解得y1＝2，y2＝﹣2，
经检验，y＝±2是方程﹣y＝1的解，
当y1＝2时，x2+2x＝2，
解得x＝﹣1，
经检验，x＝﹣1是原方程的解；
当y2＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，
此方程无实数解；
∴x2+2x＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了换元法解分式方程，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
6．（2020•巴南区自主招生）若关于x的分式方程﹣＝4有正整数解，且关于y的不等式组有解，则所有符合条件的整数a的值的积是 ﹣8 ．
【分析】根据不等式组有解，可得a的范围，根据分式方程的解，可得a的值，根据正整数的定义，可得答案．
【解答】解：，
由①得：y≤8，
由②得：y≥a+6，
∵关于y的不等式组有解，
∴a+6≤8
∴a≤2，
解分式方程﹣＝4，得x＝，
∵x﹣2≠0，
∴≠2，
∴a≠0，
∵关于x的分式方程﹣＝4有正整数解，
∴4﹣a＝1或4﹣a＝2或4﹣a＝4或4﹣a＝8，
∴a＝3或a＝2或a＝0或a＝﹣4，
∵a≤2，a≠0，
∴a＝2或﹣4，
∴所有符合条件的整数a的值的积＝2×（﹣4）＝﹣8，
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查了分式方程的解，不等式的解集．能够正确解不等式和分式方程，能够利用不等式的解集及方程的解得出a的值是解题关键．
7．（2019•达州自主招生）已知a2﹣6a+1＝0且＝2，则m＝ ．
【分析】由已知求出a+的值，把＝2变形成含a+的形式即可求解；
【解答】解：∵a2﹣6a+1＝0，
∴a≠0，将方程两边除以a得：a﹣6+＝0即a+＝6，
而＝＝，
∵＝2，
∴，即，
解得m＝，
经检验m＝是原方程的解，
故答案为：．
【点评】本题考查解分式方程，题目有难度，解题关键是将方程变形为只含a+的形式再代入求解．
三．解答题（共5小题）
8．（2020•宝山区校级自主招生）解关于x的方程a（x﹣1）++3＝0．
【分析】方程整理后，根据a的范围分类讨论求出解即可．
【解答】解：方程整理得：+＝﹣3，
去分母得：ax2+3x+2＝0，
当a＝0时，方程为3x+2＝0，即x＝﹣；
当a＞时，方程无解；
当a＝时，方程的解为x＝﹣；
当a＜且a≠0时，方程的解为x1＝，x2＝．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了分类讨论的思想，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
9．（2020•永州）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．
（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？
（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？
【分析】（1）可设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；
（2）可设购进一次性医用外科口罩y只，根据购进的总费用不超过1万元，列出不等式即可求解．
【解答】解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，依题意有
＝，
解得x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，
x+10＝2+10＝12．
故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；
（2）设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有
2y+12（2000﹣y）≤10000，
解得y≥1400．
故至少购进一次性医用外科口罩1400只．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程和不等式是解题的关键．
10．（2020•浙江自主招生）已知关于x的方程﹣＝恰好有一个实数解，求k的值及方程的解．
【分析】去分母，转化为整式方程，根据整式方程为一元一次方程，即k＝0，为一元二次方程，即k≠0，分别求解．而当方程为一元二次方程时，又分为△＝0（方程有等根，满足方程恰好有一个实数解），若Δ＞0，则方程有两不等实根，且其中一个为增根，而增根只可能为1或0．
【解答】解：两边同乘x2﹣x，得2kx2+（3﹣4k）x+4k﹣7＝0，
若k＝0，3x﹣7＝0，x＝，
若k≠0，由题意，知△＝（3﹣4k）2﹣8k（4k﹣7）＝0，
解得k1＝，k2＝﹣，
当k1＝时，x1＝x2＝，当k2＝﹣时，x1＝x2＝4，
若方程有两不等实根，则其中一个为增根，
当x1＝1时，k＝2，x2＝，
当x1＝0时，k＝，x2＝．
【点评】本题考查了分式方程的解．关键是将分式方程转化为整式方程，根据整式方程的特点及题目的条件分类讨论．
11．（2020•渝中区校级自主招生）2020年2月，因新冠肺炎确诊病例不断增加，湖北某医疗救治中心计划购买一批无创呼吸机和双向呼吸机，两款共200台，预算分别为56万元和156万元．已知每台双向呼吸机的售价是每台无创呼吸机售价的2倍少1000元．
（1）求该救治中心计划分别购进无创呼吸机和双向呼吸机各多少台？
（2）为了表达对湖北疫区人民支持，呼吸机生产厂家立即对两款呼吸机均进行打折零利润销售，实际售价均在原售价的基础上下降了a%，根据救治中心一线医护人员的实际需求，双向呼吸机的实际购买量比原计划增加了a%，结果购买双向呼吸机比购买无创呼吸机多花费了90.4万元，求a的值．
【分析】（1）设无创呼吸机售价x元，则双向呼吸机售价（2x﹣1000）台，根据两款共200台，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；
（2）根据题意表示出实际售价，结合题意可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设无创呼吸机售价x元，则双向呼吸机售价（2x﹣1000）台，
依题意得：+＝200，
整理得：x2﹣7200x+1400000＝0，
解得：x1＝200，x2＝7000．
经检验，x1＝200，x2＝7000都是原方程的解．
∵x元，2x﹣1000＞0，
∴x＝7000，
560000÷7000＝80（台），1560000÷（2×7000﹣1000）＝120（台），
答：该救治中心计划分别购进无创呼吸机80台，购进双向呼吸机120台；
（2）依题意得：无创呼吸机实际售价7000（1﹣a%）元，双向呼吸机实际售价（2×7000﹣1000）（1﹣a%）＝1300（1﹣a%）元，
120（1+a%）×13000（1﹣a%）＝80×7000（1﹣a%）+904000，
整理得：13a2+700a﹣19200＝0，
解得：a＝34.69（负值舍去）．
答：a的值为34.69．
【点评】本题考查了分数方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
12．（2020•谷城县校级自主招生）若关于x的方程只有一个解（相等的解也算作一个），试求k的值与方程的解．
【分析】先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出k的值．
【解答】解：原方程化为kx2+（2﹣3k）x﹣1＝0①．
（1）当k＝0时，原方程有一个解，x＝；
（2）当k≠0时，方程①△＝5k2+4（k﹣1）2＞0，总有两个不同的实数根，
由题意知必有一个根是原方程的增根，从原方程知增根只能是0或1，显然0不是①的根，
故x＝1，得k＝．
综上可知，k的值为0或，当k＝0时，方程的解为x＝；k＝时，方程的解为x＝﹣2．
【点评】本题考查了解分式方程．注意：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能是转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方程的增根，故分式方程的解的讨论，要运用判别式、增根等知识全面分析．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共5小题）
1．（2023秋•樊城区期末）随着电影《你好，李焕英》热映，其同名小说的销量也急剧上升．某书店分别用400元和600元两次购进该小说，第二次数量比第一次多1倍，且第二次比第一次进价便宜4元，设书店第一次购进x套，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由第二次购进数量比第一次多1倍，可得出第二次购进2x套，利用单价＝总价÷数量，结合第二次比第一次进价便宜4元，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵第二次购进数量比第一次多1倍，且第一次购进x套，
∴第二次购进2x套．
依题意得：﹣＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
2．（2023秋•河西区期末）方程的解为（ ）
A．1B．3C．4D．无解
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+3＝3（x﹣1），
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入得：x﹣1≠0，
∴分式方程的解为x＝3．
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
3．（2023秋•惠州期末）把分式方程＝转化成整式方程时，方程两边同乘（ ）
A．xB．x﹣2C．x（x﹣2）D．3x（x﹣2）
【分析】找出x﹣2与x的最简公分母，去分母即可．
【解答】解：把分式方程＝转化成整式方程时，方程两边同乘x（x﹣2）．
故选：C．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
4．（2023秋•公安县期末）已知关于x的方程的解为正数，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣2且k≠﹣1B．k＞﹣2C．k＞0且k≠1D．k＜﹣2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解．由分式方程的解为正数且分母不为零，即可求出k的取值范围．
【解答】解：∵，
去分母得：2k+2＝x﹣2，
解得x＝2k+4，
∵方程的解为正数，且x﹣2≠0，
∴，
解得k＞﹣2且k≠﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查分式方程的解，解题的关键是熟练运用分式方程的解法．
5．（2023秋•德江县期末）关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．0B．2或3C．2D．3
【分析】根据题意可得x＝2，然后把x＝2代入整式方程中进行计算即可解答．
【解答】解：，
2x﹣1＝m+x﹣2，
解得：x＝m﹣1，
∵方程有增根，
∴x﹣2＝0，
∴x＝2，
把x＝2代入x＝m﹣1中可得：
m﹣1＝2，
∴m＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后，代入整式方程中进行计算是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2023秋•孟村县期末）现有6000米的钢轨需要铺设，为确保通车时间，实际施工时每天铺设的长度是原计划的2倍，结果提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x米．
（1）根据题意，可列分式方程为 ﹣＝15 ；
（2）实际施工时每天铺设钢轨的长度为 400 米．
【分析】（1）由实际施工时每天铺设的长度是原计划的2倍，可得出实际施工时每天铺设钢轨2x米，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前15天完成任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解；
（2）解（1）中的分式方程并检验后，可得出原计划每天铺设钢轨的长度，再将其代入2x中即可求出实际施工时每天铺设钢轨的长度．
【解答】解：（1）∵实际施工时每天铺设的长度是原计划的2倍，且原计划每天铺设钢轨x米，
∴实际施工时每天铺设钢轨2x米．
依题意得：﹣＝15．
故答案为：﹣＝15．
（2）解（1）中的分式方程得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×200＝400．
∴实际施工时每天铺设钢轨的长度为400米．
故答案为：400．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7．（2022•仁寿县模拟）已知关于x的方程＝5的解不是正数，则m的取值范围为 m≤10且m≠4 ．
【分析】去分母把分式方程化成整式方程，用m表示出x，再根据题意及分式方程增根的定义得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围．
【解答】解：两边同时乘以x+2得：
2x+m＝5（x+2），
解得：x＝，
∴≤0且≠﹣2，
解得：m≤10且m≠4，
故答案为：m≤10且m≠4．
【点评】本题考查了分式方程的解，正确得出分式方程的解，根据题意及分式方程增根的定义得出关于m的不等式组是解题的关键．
8．（2023秋•宜城市期末）若关于x的分式方程无解，则m的值为 ．
【分析】先假设方程有解，利用含有m的代数式表示方程的解，再根据解可判断出该方程无解符合根为增根的情况，将方程中的分母等于0，算出增根，得到m的方程即可求解．
【解答】解：假设该方程有解，解得：x＝，
∵该方程无解，
∴x＝是增根，
∵2x﹣1＝0，1﹣2x＝0，
∴x＝是该方程的增根，
∴＝，
∴m＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查分式方程无解，无解包含两种情况：一种是解为增根，一种是在解方程的过程中未知数被消掉的情况，根据两种情况分析得到包含m的方程即可求解．
9．（2023秋•新田县期末）解关于x的分式方程＝时不会产生增根，则m的取值范围是 m≠﹣1 ．
【分析】先解分式方程，然后根据分式方程不会产生增根，可得x≠1，从而可得m≠﹣1，即可解答．
【解答】解：＝，
1+x﹣1＝﹣m，
解得：x＝﹣m，
∵分式方程不会产生增根，
∴x≠1，
∴﹣m≠1，
∴m≠﹣1，
∴m的取值范围是m≠﹣1，
故答案为：m≠﹣1．
【点评】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根是解题的关键．
10．（2023秋•曲阳县期末）A、B两地相距1350km，两辆汽车从A开往B地，大汽车比小汽车晚到30min，已知小汽车与大汽车的速度之比为5：3，求两车的速度，设大汽车的速度为3xkm/h，小汽车的速度为5xkm/h，所列方程是 ＝ ．
【分析】分别求出两辆汽车从A地到B地的时间，然后找出等量关系：大汽车的行驶时间+＝小汽车的行驶时间，据此列方程．
【解答】解：设大汽车的速度为3xkm/h，小汽车的速度为5xkm/h，
由题意得，＝．
故答案为：＝；
【点评】本题考查了由实际问题列分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列出分式方程．
三．解答题（共2小题）
11．（2023秋•昌吉市校级期末）解方程：
（1）＝；
（2）﹣＝1．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：6（2x﹣1）＝5x，
去括号得：12x﹣6＝5x，
移项合并得：7x＝6
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解；
（2）去分母得：（x+1）2﹣14＝（x+1）（x﹣1），
去括号得：x2+2x+1﹣14＝x2﹣1，
移项合并得：2x＝12，
系数化1得：x＝6，
经检验x＝6是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
12．（2022•淮北模拟）解分式方程：+3＝．
【分析】方程两边同时乘以（x﹣1），把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．
【解答】解：方程两边同时乘以（x﹣1）得：
1+3（x﹣1）＝x﹣2，
解得：x＝0，
当x＝0时，x﹣1≠0，
∴原分式方程的解为x＝0．
【点评】本题考查了解分式方程，把分式方程化成整式方程是解决问题的关键
题组B 能力提升练
一．选择题（共5小题）
1．（2022•开州区模拟）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣15B．﹣13C．﹣7D．﹣5
【分析】①解不等式组，再根据一元一次不等式组的解集为x＜﹣2，求出a≥﹣8，②解分式方程得y＝，根据关于y的分式方程的解为负整数列不等式组，求出a＜1且a≠﹣2，根据①②得出a的取值范围为，﹣8≤a＜1且a≠﹣2，再根据解为负整数，求出a的值，从而求出满足条件的整数a的值之和．
【解答】解：，
解不等式①得x≤，
解不等式②得x＜﹣2，
∵一元一次不等式组的解集为x＜﹣2，
∴≥﹣2，
解得a≥﹣8，
，
去分母，得2y＝a﹣（y+1）
解得y＝，
∵关于y的分式方程的解为负整数，
∴，
解得a＜1且a≠﹣2，
∴a的取值范围为：﹣8≤a＜1且a≠﹣2，
∵解为负整数
∴当a﹣1＝﹣1，a﹣1＝﹣6．a﹣1＝﹣9，
解得a＝0或﹣5或﹣8，
∴所有满足条件的整数a的值之和是：0+（﹣5）+（﹣8）＝﹣13，
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组和分式方程，用含有a的代数式表示x和y，列出不等式组，求出a的取值范围是解题关键．
2．（2023秋•钢城区期末）若关于x的分式方程有正数解，则m的取值范围为（ ）
A．m＜2B．m≠3C．﹣3＜m＜﹣2D．m＜2且m≠﹣3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，根据方程有正数解列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．
【解答】解：去分母得：2（x+3）＝3（x+m），
去括号得：2x+6＝3x+3m，
移项合并得：﹣x＝3m﹣6，
解得：x＝6−3m，
根据题意得：6−3m＞0，且6−3m≠﹣3，6−3m≠﹣m，
解得：m＜2且m≠3．
故选：A．
【点评】此题考查了分式方程的解，解题的关键是用m的代数式表示x．
3．（2023秋•平舆县期末）若关于x的方程＝a无解，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．0D．±1
【分析】先把分式方程化成整式方程，再分整式方程无解和整式方程的解是分式方程的增根，两种情况讨论即可求出答案．
【解答】解：方程两边同时乘以（x+1）得：
x﹣a＝a（x+1），
∴（1﹣a）x＝2a，
当a＝1时，方程无解，
当a≠1，x＝，
∵关于x的方程＝a无解，
∴x+1＝0，
∴x＝﹣1，
∴＝﹣1，
∴a＝﹣1，
综上所述，当a＝±1时，方程＝a无解，
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的解，明确什么时候分式方程无解是解题的关键．
4．（2022•北碚区校级开学）若关于x的一元一次不等式组的解集恰好有3个负整数解，且关于y的分式方程＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．6B．9C．﹣1D．2
【分析】先解一元一次不等式组，根据不等式组的解集恰好有3个负整数解，求出a的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定a的值即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥，
解不等式②得：x＜﹣1，
∴原不等式组的解集为：≤x＜﹣1，
∵不等式组的解集恰好有3个负整数解，
∴﹣5＜≤﹣4，
∴﹣5＜a≤7，
＝1，
2y﹣a+3y﹣2＝y﹣1，
解得：y＝，
∵分式方程有非负整数解，
∴y≥0，y为整数且≠1，
∴符合条件的所有整数a的值为：﹣1，7，
∴符合条件的所有整数a的和为：6，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．
5．（2023秋•晋安区期末）若关于x的分式方程＝无解，则k的值为（ ）
A．1或4或﹣6B．1或﹣4或6C．﹣4或6D．4或﹣6
【分析】通过去分母、去括号、移项、合并同类项、x的系数化为1去解这个分式方程，再根据分式方程的解的定义解决此题．
【解答】解：＝，
方程两边同乘（x+2）（x﹣2），得kx＝3（x﹣2）﹣2（x+2）．
去括号，得kx＝3x﹣6﹣2x﹣4．
移项，得kx﹣3x+2x＝﹣6﹣4．
合并同类项，得（k﹣1）x＝﹣10．
x的系数化为1，得x＝．
∵关于x的分式方程＝无解，
∴kx＝3（x﹣2）﹣2（x+2）无解或原分式方程有增根．
∴＝2或﹣2或k＝1．
∴k＝﹣4或6或1．
故选：B．
【点评】本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键．
二．填空题（共2小题）
6．（2022•任城区一模）关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围是 a＞﹣5且a≠3 ．
【分析】解分式方程，用a表示x，再根据关于x的分式方程的解是正数，列不等式组，解出即可．
【解答】解：原分式方程可化为：+1＝，
x﹣3+x﹣2＝﹣2x+a，
解得x＝，
∵关于x的分式方程的解是正数，
∴，
解得：a＞﹣5且a≠3．
故答案为：a＞﹣5且a≠3．
【点评】本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程、一元一次不等式的步骤，根据关于x的分式方程的解是正数，列不等式组是解题关键．
7．（2023秋•绵阳期末）若关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和等于 7 ．
【分析】解分式方程，用a表示x，根据最简公分母及一次系数不为0，求出a≠且a≠﹣1，a≠1，再根据关于x的方程的解为整数，求出a的值，进而求出满足条件的所有整数a的和．
【解答】解：原分式方程可化为：﹣＝，
去分母，得x﹣3﹣a（x+1）＝2a﹣2，
解得，x＝
＝
＝﹣3+，
∵x≠3且x≠﹣1，
∴﹣3+≠3且﹣3+≠﹣1，
∴a≠且a≠﹣1，a≠1，
∵关于x的方程的解为整数，
∴a＝±1或a＝±2或a＝±4，
∴a＝﹣3、0、2、3、5，
∴﹣3+0+2+3+5＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程的步骤，根据关于x的方程的解为整数，分情况求出a的值是解题关键．
三．解答题（共8小题）
8．（2023秋•江源区期末）学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）选择：聪聪同学所列方程中的x表示 A ，明明同学所列方程中的y表示 C ；
A．甲队每天修路的长度；
B．乙队每天修路的长度；
C．甲队修路400米所用的时间．
（2）你喜欢 聪聪、明明 列的方程，该方程的等量关系为 聪聪，等量关系：甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等；明明，等量关系：乙队每天比甲队多修20米 ；
（3）解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题．
【分析】（1）根据两人的方程思路，可得出：x表示甲队每天修路的长度；y表示甲队修路400米所需时间或乙队修路600米所需时间；
（2）根据题意，可找出：（聪聪）甲队修路400米所用时间＝乙队修路600米所用时间；（明明）乙队每天修路的长度﹣甲队每天修路的长度＝20米；
（3）选择两个方程中的一个，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）A，C，
故答案为：A，C；
（2）Ⅰ聪聪，等量关系：甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等；
Ⅱ明明，等量关系：乙队每天比甲队多修20米，
故答案为：聪聪、明明；聪聪，等量关系：甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等；明明，等量关系：乙队每天比甲队多修20米；
（3）选第一个方程，
解得x＝40，
经检验x＝40是原分式方程的解，且符合题意．
答：甲队每天修路的长度为40米；
选第二个方程，
解得y＝10，
经检验y＝10是原分式方程的解，且符合题意．
∴，
答：甲队每天修路的长度为40米．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9．（2023秋•濮阳期末）为了做好防疫工作，保障员工安全健康，某公司用480元购进一批某种型号的口罩．由于质量较好，公司又用720元购进第二批同一型号的口罩，已知第二批口罩的数量是第一批的2倍，且每包便宜4元，问第一批口罩每包的价格是多少元？公司前后两批一共购进多少包口罩？
【分析】设第一批口罩每包x元，则第二批口罩每包（x﹣4）元，由题意：某公司用480元购进一批某种型号的口罩．由于质量较好，公司又用720元购进第二批同一型号的口罩，已知第二批口罩的数量是第一批的2倍，列出分式方程，解方程，即可解决问题．
【解答】解：设第一批口罩每包x元，则第二批口罩每包（x﹣4）元，
根据题意得：＝×2，
解得：x＝16，
经检验，x＝16是所列方程的解，且符合题意，
则公司前后两批一共购进：×3＝90（包），
答：第一批口罩每包的价格是16元，公司前后两批一共购进90包口罩．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10．（2023秋•密山市期末）（1）已知x（x﹣1）﹣（x2﹣y）＝﹣6，求﹣xy的值．
（2）虎林市政府倡导开展“共建绿色家园”，八年级甲、乙两个班的同学参加植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？（用方程解答）
【分析】（1）整理得：x﹣y＝6，再由完全平方公式求解即可；
（2）设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，由题意：甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：（1）x（x﹣1）﹣（x2﹣y）＝﹣6，
整理得：x﹣y＝6，
则﹣xy＝（x2+y2﹣2xy）＝（x﹣y）2＝×62＝18；
（2）设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，
由题意得：＝，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
则x+2＝22，
答：甲班每小时种20棵树，乙班每小时种22棵树．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及完全平方公式等知识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
11．（2023秋•青县期末）为响应“足球进校园”的号召，某学校在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购类乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．
（1）求这间商场出售每个甲种足球、每个乙种足球的售价各是多少元；
（2）按照实际需要每个班须配备甲种足球2个，乙种足球1个，购买足球能够配备多少个班级？
（3）若另一学校用3100元在这商场以同样的售价购买这两种足球，且甲种足球与乙种足球的个数比为2：3，求这学校购买这两种足球各多少个？
【分析】（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20）元，由题意：购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购类乙种足球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）由（1）可知该校购买甲种足球＝＝40个，购买乙种足球20个，即可得出结论；
（3）设这学校购买甲种足球2x个，乙种足球3x个，由题意：学校用3100元在这商场以同样的售价购买这两种足球，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20）元，
由题意得：＝2×，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
则x+20＝70，
答：购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元；
（2）由（1）可知该校购买甲种足球＝＝40个，购买乙种足球20个，
∵每个班须配备甲足球2个，乙种足球1个，
∴购买的足球能够配备20个班级；
答：购买的足球能够配备20个班级；
（3）设这学校购买甲种足球2x个，乙种足球3x个，
根据题意得：2x×50+3x×70＝3100，
解得：x＝10，
∴2x＝20，3x＝30，
答：这学校购买甲种足球20个，乙种足球30个．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次方程是解题的关键．
12．（2023秋•老河口市期末）某商家预测一种商品能畅销市场，就用4000元购进一批这种商品，这种商品面市后果然供不应求，商家又用8800元购进了第二批这种商品，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元．该商家购进的两批商品的数量分别是多少件？
【分析】设该商家第一批购进x件该商品，则第二批购进2x件该商品，由题意：用4000元购进一批这种商品，这种商品面市后果然供不应求，商家又用8800元购进了第二批这种商品，但单价贵了4元．列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设该商家第一批购进x件该商品，则第二批购进2x件该商品，
根据题意，得，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝200．
答：该商家第一批购进100件，第二批购进200件该商品．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
13．（2023秋•渌口区期末）某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种玩具110个，购买A玩具与购买B玩具的费用相同．已知A玩具的单价是B玩具单价的1.2倍．
（1）求A、B两种玩具的单价各是多少？
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种玩具共260个，已知A、B两种玩具的进价不变．求A种玩具最多能购进多少个？
【分析】（1）设B种玩具单价为x元，则A种玩具单价为1.2x元，由题意：某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种玩具110个，购买A玩具与购买B玩具的费用相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进A种玩具m个，则购进B种玩具（260﹣m）个，由题意：计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种玩具，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设B种玩具单价为x元，则A种玩具单价为1.2x元，
根据题意得：，
解得：x＝25，
经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝30．
答：A种玩具单价为30元，B种玩具单价为25元．
（2）设购进A种玩具m个，则购进B种玩具（260﹣m）个，
依题意得：30m+25（260﹣m）≤7000，
解得：m≤100，
答：A种玩具最多能购进100个．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
14．（2023秋•普兰店区期末）一项工程需要限期完成，若用甲工程队单独做正好如期完成，若用乙工程队单独做，需要逾期3天才能完成（比期限多3天）．现在甲、乙两工程队合做2天，余下由乙工程队单独做，刚好如期完成，求甲、乙两工程队单独完成工程各需要多少天？
【分析】关键描述语为：“甲、乙两工程队合做2天，余下由乙工程队单独做，刚好如期完成”；本题的等量关系为：甲2天的工作量+乙规定日期的工作量＝1，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：设规定日期为x天，则甲工程队单独完成要x天，乙工程队单独完成要（x+3）天，
根据题意，得+＝1．
解之得x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解且符合题意．
所以x+3＝9．
答：甲工程队单独完成要6天，乙工程队单独完成要9天．
【点评】本题考查了分式方程的应用，根据工作量为“1”得到相应的等量关系是解决本题的关键．易错点是得到两人各自的工作时间．
15．（2023秋•民权县期末）某商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少4元，其用200元购进甲种牛奶的数量与用220元购进乙种牛奶的数量相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的2倍少4件，该商场甲种牛奶的销售价格为每件45元，乙种牛奶的销售价格为每件50元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润＝售价﹣进价）等于364元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶各多少件？
【分析】（1）设乙种牛奶的进价为x元/件，则甲种牛奶的进价为（x﹣4）元/件，根据数量＝总价÷单价结合用200元购进甲种牛奶的数量与用220元购进乙种牛奶的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶（2y﹣4）件，根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙种牛奶的进价为x元/件，则甲种牛奶的进价为（x﹣4）元/件，
根据题意，得＝，
解得x＝44，
经检验，x＝44是原分式方程的解，且符合实际意义，
∴x﹣4＝40．
答：甲种牛奶的进价是40元/件，乙种牛奶的进价是44元/件；
（2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶（2y﹣4）件，
根据题意，得（45﹣40）（2y﹣4）+（50﹣44）y＝364，
解得y＝24，
∴2y﹣4＝44．
答：该商场购进甲种牛奶44件，乙种牛奶24件．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
题组C 培优拔尖练
一．选择题（共1小题）
1．（2023春•福田区校级期中）如果关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程﹣＝1有非负数解，则符合条件的所有整数m的和是（ ）
A．13B．15C．20D．22
【分析】根据不等式组的整数解的个数确定m的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定m的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．
【解答】解：原不等式组的解集为﹣＜x≤，
因为不等式组有且仅有四个整数解，
所以0≤＜1，
解得2≤m＜7．
原分式方程的解为y＝，
因为分式方程有非负数解，
所以≥0，解得m＞1，且m≠5，因为m＝5时y＝2是原分式方程的增根．
所以符合条件的所有整数m的和是2+3+4+6＝15．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数确定m的取值范围．
二．填空题（共2小题）
2．（2022春•渝中区校级月考）某校在“3.12”植树节来临之际，特从初一、初二、高一、高二四个年级中抽调若干学生去植树．已知初一、初二抽调的人数之比为5：3，高一、高二抽调的人数之比为4：3．上午，初一、高一年级平均每人植树的棵树相同且大于3棵小于10棵，高二年级平均每人植树的棵树为初一、初二平均每人植树的棵树之和的2倍，上午四个年级平均每人植树的棵树总和大于30棵小于40棵，上午四个年级一共植树714棵．下午，初二年级因为要回校参加活动不再参与植树活动，高一、高二年级平均每人植树的棵树都有所降低，高一年级平均每人植树的棵树降低50%，高二年级平均每人植树的棵树降为原来的．若初一年级人数及人均植树的棵树不变，高一高二年级人数不变，且四个年级平均每人植树的棵树为整数，则四个年级全天一共植树 1224 棵．
【分析】通过设未知数，根据题意列方程，根据实际情况取整，解出答案．
【解答】解：设
∵上午，初一、高一年级平均每人植树的棵树相同且大于3棵小于10棵，
∴3＜m＜10．
∵上午四个年级平均每人植树的棵树总和大于30棵小于40棵，
∴30＜m+n+m+2（m+n）＜40，
即30＜4m+3n＜40，
∴20＜3m+3n＜37．
又∵下午四个年级平均每人植树的棵树为整数，
∴（m+n）为5的倍数，m为2的倍数，
∴m+n＝10．
∴m取4或6或8．
∵上午四个年级一共植树714棵，
∴5xm+3xn+4ym+3y×2（m+n）＝714，即2xm+30x+4ym+60y＝714．
当m＝4时，代入得38x+76y＝714，两边同时除以38，
x+2y不是整数，所以m＝4舍去；
当m＝6时，代入得42x+84y＝714，两边同时除以42，
x+2y＝17．
当m＝8时，代入得46x+92y＝714，两边同时除以46，
x+2y不是整数，所以m＝8舍去；
所以m＝6．
则下午一共植树5xm+4y×（1﹣50%）m+3y××2（m+n）＝30x+60y＝30（x+2y）＝30×17＝510．
∴四个年级全天一共植树714+510＝1224（棵）．
【点评】本题考查了方程和不等式相结合解决实际问题，要考虑实际取整，通过分类讨论达到解答的目的，综合性比较强．
3．（2020秋•滨州月考）若＝+++++，则a的值是 8 ．
【分析】由于（1﹣x）（1+x）满足平方差公式的结构特征，因此运用平方差公式先将方程右边的两个分式+通分，所得结果再与第三个分式通分，依此类推，直到方程的右边成为一个分式，然后去分母，得到关于a的方程，求出解即可．
【解答】解：∵+++++
＝++++
＝，
∴＝，
两边同乘1﹣x32，得8a＝64，
解得a＝8．
故答案为8．
【点评】本题主要考查了分式的加法运算及分式方程的解法．将方程的右边分步通分，使之最后变成为一个分式，是解题的关键．本题属于竞赛题型，有一定难度．
三．解答题（共10小题）
4．（2023秋•望城区期末）已知，关于x的分式方程＝1．
（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解；
（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程＝1无解；
（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程＝1的解为整数时，求b的值．
【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；
（3）将a＝3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值．
【解答】解：（1）把a＝2，b＝1代入分式方程 中，得，
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
2（x﹣5）﹣（1﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
2x²+3x﹣13＝2x²﹣7x﹣15，
10x＝﹣2，
x＝，
检验：把x＝ 代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x＝．
答：分式方程的解是x＝．
（2）把a＝1代入分式方程 得，
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
（x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15，
（11﹣2b）x＝3b﹣10，
①当11﹣2b＝0时，即，方程无解；
②当11﹣2b≠0时，，
时，分式方程无解，即，b不存在；
x＝5时，分式方程无解，即，b＝5．
综上所述，或b＝5时，分式方程 无解．
（3）把a＝3b代入分式方程 中，得：
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
整理得：（10+b）x＝18b﹣15，
∴，
∵，且b为正整数，x为整数，
∴10+b必为195的因数，10+b≥11，
∵195＝3×5×13，
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，
但1、3、5 小于11，不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数．
对应地，方程的解x为3、5、13、15、17，
由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，b只可以取3、29、55、185，
所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
【点评】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握．
5．（2023秋•临河区期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
【分析】（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x﹣2）元，根据题意建立方程求出其解就可以了．
（2）本题中“根据进两种商品的总数量不超过95个”可得出不等式；
（3）根据“使销售两种商品的总利润（利润＝售价﹣进价）超过380元”可以得出关于利润的不等式，组成不等式组后得出未知数的取值范围，然后根据取值的不同情况，列出不同的方案．
【解答】解：（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x﹣2）元，
根据题意，得＝，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的根，
每件甲种商品的进价为：10﹣2＝8．
答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元．
（2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y﹣5）个．
由题意得：3y﹣5+y≤95．
解得y≤25．
答：商场最多购进乙商品25个；
（3）由（2）知，（12﹣8）（3y﹣5）+（15﹣10）y＞380，
解得：y＞23．
∵y为整数，y≤25，
∴y＝24或25．
∴共有2种方案．
方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；
方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个．
【点评】本题考查了列分式方程解应用题与列不等式组解实际问题的运用，重点在于准确地找出相等关系与不等关系．
6．（2023秋•岳阳县期末）列分式方程解应用题
某校初二年级的甲、乙两个班的同学以班级为单位分别乘坐大巴车去某基地参加拓展活动，此基地距离该校90千米，甲班的甲车出发10分钟后，乙班的乙车才出发，为了比甲车早到5分钟，乙车的平均速度是甲车的平均速度的1.2倍，求乙车的平均速度．
【分析】设甲车的平均速度是x千米/时，则乙车的平均速度是1.2x千米/时，根据甲车行驶的时间＝乙车行驶的时间+小时路程方程，求解即可．
【解答】解：设甲车的平均速度是x千米/时，则乙车的平均速度是1.2x千米/时，
根据题意，得＝+，
解得x＝60．
经检验，x＝60是原方程的解，
此时1.2x＝72．
答：乙车的平均速度是72千米/时．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
7．（2023春•射洪市月考）已知关于x的分式方程+＝
（1）若方程的增根为x＝1，求m的值
（2）若方程有增根，求m的值
（3）若方程无解，求m的值．
【分析】方程去分母转化为整式方程，
（1）根据分式方程的增根为x＝1，求出m的值即可；
（2）根据分式方程有增根，确定出x的值，进而求出m的值；
（3）分m+1＝0与m+1≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可．
【解答】解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），
去分母并整理得：2（x+2）+mx＝x﹣1，
移项合并得：（m+1）x＝﹣5，
（1）∵x＝1是分式方程的增根，
∴1+m＝﹣5，
解得：m＝﹣6；
（2）∵原分式方程有增根，
∴（x+2）（x﹣1）＝0，
解得：x＝﹣2或x＝1，
当x＝﹣2时，m＝1.5；当x＝1时，m＝﹣6；
（3）当m+1＝0时，该方程无解，此时m＝﹣1；
当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m＝﹣6或m＝，
综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
8．（2023秋•宜城市期末）有一项工作需要在规定日期内完成，如果甲单独做，刚好如期完成；如果乙单独做，就要超过规定日期3天．现在由甲、乙两人合做2天，剩下的工作由乙单独做，刚好如期完成，问规定日期是几天？
【分析】求的是原计划的工效，工作时间明显，一定是根据工作总量来列等量关系．等量关系为：甲乙合作2天的工作量+乙（规定日期﹣2）天的工作量＝1．
【解答】解：设规定日期是x天，则甲独做需x天完成，乙独做需（x+3）天完成．
依题意列方程：．
解得：x＝6．
经检验：x＝6是原方程的解．
答：规定日期是6天．
【点评】应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
9．（2023秋•甘南县期末）列方程解应用题：
为了提升阅读速度，某中学开设了“高效阅读”课．小敏经过一段时间的训练，发现自己现在每分钟阅读的字数比原来的2倍还多300字，现在读9100字的文章与原来读3500字的文章所用的时间相同．求小敏原来每分钟阅读的字数．
【分析】设小敏原来每分钟阅读的字数是x字，根据现在读9100字的文章与原来读3500字的文章所用的时间相同，可列方程求解．
【解答】解：设小敏原来每分钟阅读的字数是x字，
可得：＝，
解得：x＝500，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：小敏原来每分钟阅读500个字．
【点评】本题考查分式方程的应用，关键根据现在读9100字的文章与原来读3500字的文章所用的时间相同．以时间作为等量关系列方程求解．
10．（2023秋•饶平县期末）在汕头市“创文”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担．已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了a天完成，乙做另一部分用了y天完成．若乙工程队还有其它工作任务，最多只能做52天．求甲工程队至少应做多少天？
【分析】（1）设乙工程队单独完成这项工作需要x天，由题意列出分式方程，求出x的值即可；
（2）首先根据题意列出a和y的关系式，进而求出a的取值范围，结合a和y都是正整数，即可求出a的值．
【解答】解：（1）设乙工程队单独完成这项工作需要x天，
由题意得：+（+）×36＝1，
解得：x＝80，
经检验x＝80是原方程的解．
答：乙工程队单独做需要80天完成．
（2）因为甲工程队做其中一部分用了a天，乙工程队做另一部分用了y天，
依题意得：+＝1，解得：
y＝80﹣a，
∵y≤52，
∴80﹣a≤52，
解得：a≥42，
答：甲工程队至少应做42天．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量＝工作效率×工作时间．
11．（2023秋•上思县期末）为改善南宁市的交通现状，市政府决定修建地铁，甲、乙两工程队承包地铁1号线的某段修建工作，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3倍；若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作10天完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为15.6万元，乙队每天的施工费用为18.4万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需增加多少万元？
【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工作所需天数是3x天，则甲队的工效为，乙队的工效为，由已知得：甲队工作了30天，乙队工作了10天完成，列方程得：+＝1，解出即可，要检验；
（2）根据（1）中所求得出甲、乙合作需要的天数，进而求出总费用，即可得出答案．
【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工作所需天数是3x天，
依题意得：+＝1，
解得x＝20，
检验，当x＝20时，3x≠0，
所以原方程的解为x＝20．
所以3x＝3×20＝60（天）．
答：乙队单独完成这项工程需20天，则甲队单独完成这项工作所需天数是60天；
（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，
则有y（+）＝1，
解得y＝15．
需要施工的费用：15×（15.6+18.4）＝510（万元）．
∵510＞500，
∴工程预算的费用不够用，需要追加预算10万元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，属于工程问题，明确三个量：工作总量、工作效率、工作时间，一般情况下，根据已知设出工作时间，根据题意表示出工效，找等量关系列分式方程，本题表示等量关系的语言叙述为：“甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作10天完成”．
12．（2020秋•庆云县校级期末）进入防汛期后，某地驻军在河堤加固的工程中出色完成任务，下面是记者与驻军工程指挥官的对话：记者：“你们是用9天时间完成4800米长的大坝加固任务的？”驻军指挥官：“我们加固600米后，采用新的加固模式，这样每天加固长度是原来的2倍．”通过上面的对话，请你求出该驻军原来每天加固河堤的米数．
【分析】设原来每天加固x米，则采用新的加固模式后每天加固2x米，由时间关系可得出关于x的分式方程，解此方程可得x的值，即该地驻军原来每天加固的距离．
【解答】解：设原来每天加固x米，则采用新的加固模式后每天加固2x米，前600米，每天加固x米，则用天数＝，剩下的（4800﹣600）米，每天加固2x，用的天数是，而总天数是9天．所以可列方程如下：+＝9，
解这个方程得：x＝300，
经检验x＝300是原方程的根，
答：该地驻军原来每天加固300米．
【点评】本题主要考查了分式方程在工程问题中的运用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
13．（2023春•南浔区期末）某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶．甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）．
（1）扶梯露在外面的部分有多少级？
（2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲、乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？
【分析】（1）如果扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为2a级，扶梯每分钟向上运动b级．题中有两个等量关系，甲走24级的时间等于扶梯走（2a+b）级的时间；乙走16级的时间等于扶梯走（a+b）级的时间，据此列出方程组，求出x的值即可；
（2）如果设甲第一次追上乙时走过自动扶梯m遍，走过楼梯n遍，那么乙走过自动扶梯（m﹣1）遍、走过楼梯（n﹣1）遍．根据两人所走的时间相等，列出方程．将（1）中求得的y与x的关系式y＝2x代入，可得6n+m＝16．由已知条件可知m、n中一定有一个是正整数，且0≤m﹣n≤1．通过试验可以求出m，n的具体值，进而求出结果．
【解答】解：（1）设扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为2a级，扶梯每分钟向上运动b级．
由题意得：，
①÷②得：，
整理得：b＝2a，
代入②得x＝48．
答：扶梯露在外面的部分有48级；
（2）设追上乙时，甲扶梯走了m遍，楼梯走了n遍，则乙走扶梯（m﹣1）遍，走楼梯（n﹣1）遍．
由题意得：，
整理得：m+6n＝16，
这里m，n中必有一个是整数，且0≤m﹣n≤1．
①若m为整数，则，∴（不合，舍去），（不合，舍去）（符合条件）（不合，舍去）（不合，以后均不合，舍去）
②若n为整数，m＝16﹣6n，∴，这些均不符合要求，∴，此时，甲在楼梯上．
他已走动的级数是（级）．
【点评】本题考查分式方程在行程问题中的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题属于竞赛题型，有一定难度．难点在于自动扶梯在上升，具有一定的速度，同时甲、乙也在上楼梯，变化量较多．解题时要善于抓住不变量，只有不变量才是列方程的依据．另外，本题求解时设的未知数x、y，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题．
15.3分式方程
甲乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度？
聪聪：＝
明明：﹣＝20
年级
初一
初二
高一
高二
抽调植树的人数（人）
5x
3x
4y
3y
上午平均每人植树棵数（棵）
m
n
m
2（m+n）
下午平均每人植树棵数（棵）
m
0
（1﹣50%）m
×2（m+n）
1.理解分式方程的概念，会解一些简单的分式方程；
2.通过将简单的分式方程转化为整式方程进行求解，领会分式方程“整体化”的化归思想和方法；
3.理解增根的概念，会检验分式方程的根；
4.会用分式方程解决相关问题，并进行简单的应用。
知识精讲
知识点01 分式方程的定义
分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．
【知识拓展】（2023秋•平罗县期末）下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练】（2023秋•西峰区期末）下列关于x的方程是分式方程的是（ ）
A．B．C．D．
知识点02 分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
【知识拓展】（2022春•北碚区校级月考）若实数a使关于x的分式方程有正整数解，且使关于y的一元一次不等式组至少有4个整数解，则符合条件的所有整数a之和为（ ）
A．12B．15C．19D．22
【即学即练】（2022春•沙坪坝区校级月考）若关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值的和是（ ）
A．2B．0C．1D．﹣1
知识点03 解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
【知识拓展】（2022•德城区校级开学）方程的解为（ ）
A．B．﹣4或1C．﹣4D．无解
【即学即练1】（（2022•江汉区模拟）方程的解为 ．
【即学即练2】（（2023秋•利通区校级期末）若分式值相等，则x的值为 ．
知识点04换元法解分式方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．
【知识拓展】 （2023春•淮安月考）用换元法解分式方程x2+2x﹣＝8，若设x2+2x＝y，则原方程可化为（ ）
A．20y2+8y﹣1＝0B．y2﹣8y﹣20＝0
C．y2+8y﹣20＝0D．8y2﹣20y+1＝0
【即学即练】（2023春•宝山区校级月考）用换元法解方程时，设，则原方程可变形为（ ）
A．y2+y＝4B．y2+y＝2C．y2+y＝6D．y2﹣y＝4
知识点05分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
【知识拓展】（2023秋•开福区校级期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A．m＝2或m＝6B．m＝2C．m＝6D．m＝2或m＝﹣6
【即学即练】（2023秋•德江县期末）关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．0B．2或3C．2D．3
知识点06由实际问题抽象出分式方程
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
【知识拓展】（2022•罗山县校级模拟）郑州市新冠肺炎疫情防控指挥部发布开展全市全员新冠病毒核酸检测的通告，某小区有3000人需要进行核酸检测，由于组织有序，居民也积极配合，实际上每小时检测人数比原计划增加50人，结果提前2小时完成检测任务．假设原计划每小时检测x人，则依题意，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练】（2023秋•和硕县校级期末）在新农村建设中，为了美化乡村，八年级同学积极参加植树造林，已知八（1）班每天比八（2）班每天多植5棵树，八（1）班植80棵树所用的天数与八（2）班植70棵树所用的天数相等，若设八（1）班每天植x棵，根据题意列出的方程是（ ）
A．B．C．D．
知识点07分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
【知识拓展】（2022•麻栗坡县校级模拟）根据云南省《关于加快推进城镇老旧小区改造工作的指导意见》，在2021年底要基本完成云南全省城镇老旧小区改造提升工作．某小区计划对面积为1200m2的区域进行停车位改造，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成改造的面积是乙队每天能完成改造面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为400m2区域的改造时，甲队比乙队少用4天．求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的停车位改造？
【即学即练1】（2023秋•利通区校级期末）“阅读陪伴成长，书香润泽人生，”吴忠市第四中学为了开展学生阅读活动，计划从书店购进若干本A、B两类图书（每本A类图书的价格相同，每本B类图书的价格也相同），且每本A类图书的价格比每本B类图书的价格多5元，用1200元购进的A类图书与用900元购进的B类图书册数相同，求每本A类图书和每本B类图书的价格各为多少元？
【即学即练2】（2023秋•绵阳期末）精强硅谷，有众多高科技产业，红旗电子科技公司是通讯设备、电源设备及消费类电子产品生产厂商，提供各类高分子材料、热传导材料、绝缘材料、缓冲及防尘材料．该公司今年承包了一手机品牌某一热传导材料零部件的生产任务，原计划在规定时间内生产24000个热传导材料零部件，由于此零件紧缺，需要提前5天供货，该公司经商议后，决定将工作效率比原计划提高25%，结果按预期刚好提前5天完成任务，求原计划每天生产的零件个数和规定的天数．
能力拓展
一．选择题（共3小题）
1．（2023•大渡口区自主招生）如果关于x的分式方程+＝1有非负整数解，关于y的不等式组有且只有三个整数解，则所有符合条件的整数m的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．（2020•渝北区自主招生）若a为整数，关于x的不等式组有且只有两个整数解，且关于y的分式方程﹣＝1有整数解，则满足上述条件的整数a的和为（ ）
A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣6
3．（2020•武昌区校级自主招生）若关于x的方程++＝0只有一个实数根，则实数a的所有可能取值的和为（ ）
A．7B．15
C．31D．以上选项均不对
二．填空题（共4小题）
4．（2023•黄州区校级自主招生）黄冈首届半程马拉松于5月6日在遗爱湖公园起跑，小林与小雨两名同学为参加比赛，在学校运动场400米环形跑道上进行训练，两人各自以恒定的速度沿逆时针方向跑步，已知每隔12分钟小林追上小雨一次，小林每圈花费的时间比小雨少10秒，则小林跑步的速度为每秒 米．
5．（2019•顺庆区校级自主招生）已知x满足﹣x2﹣2x＝1，那么x2+2x＝ ．
6．（2020•巴南区自主招生）若关于x的分式方程﹣＝4有正整数解，且关于y的不等式组有解，则所有符合条件的整数a的值的积是 ．
7．（2019•达州自主招生）已知a2﹣6a+1＝0且＝2，则m＝ ．
三．解答题（共5小题）
8．（2020•宝山区校级自主招生）解关于x的方程a（x﹣1）++3＝0．
9．（2020•永州）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．
（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？
（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？
10．（2020•浙江自主招生）已知关于x的方程﹣＝恰好有一个实数解，求k的值及方程的解．
11．（2020•渝中区校级自主招生）2020年2月，因新冠肺炎确诊病例不断增加，湖北某医疗救治中心计划购买一批无创呼吸机和双向呼吸机，两款共200台，预算分别为56万元和156万元．已知每台双向呼吸机的售价是每台无创呼吸机售价的2倍少1000元．
（1）求该救治中心计划分别购进无创呼吸机和双向呼吸机各多少台？
（2）为了表达对湖北疫区人民支持，呼吸机生产厂家立即对两款呼吸机均进行打折零利润销售，实际售价均在原售价的基础上下降了a%，根据救治中心一线医护人员的实际需求，双向呼吸机的实际购买量比原计划增加了a%，结果购买双向呼吸机比购买无创呼吸机多花费了90.4万元，求a的值．
12．（2020•谷城县校级自主招生）若关于x的方程只有一个解（相等的解也算作一个），试求k的值与方程的解．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共5小题）
1．（2021秋•樊城区期末）随着电影《你好，李焕英》热映，其同名小说的销量也急剧上升．某书店分别用400元和600元两次购进该小说，第二次数量比第一次多1倍，且第二次比第一次进价便宜4元，设书店第一次购进x套，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋•河西区期末）方程的解为（ ）
A．1B．3C．4D．无解
3．（2023秋•惠州期末）把分式方程＝转化成整式方程时，方程两边同乘（ ）
A．xB．x﹣2C．x（x﹣2）D．3x（x﹣2）
4．（2021秋•公安县期末）已知关于x的方程的解为正数，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣2且k≠﹣1B．k＞﹣2C．k＞0且k≠1D．k＜﹣2
5．（2023秋•德江县期末）关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．0B．2或3C．2D．3
二．填空题（共5小题）
6．（2023秋•孟村县期末）现有6000米的钢轨需要铺设，为确保通车时间，实际施工时每天铺设的长度是原计划的2倍，结果提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x米．
（1）根据题意，可列分式方程为 ；
（2）实际施工时每天铺设钢轨的长度为 米．
7．（2022•仁寿县模拟）已知关于x的方程＝5的解不是正数，则m的取值范围为 ．
8．（2023秋•宜城市期末）若关于x的分式方程无解，则m的值为 ．
9．（2023秋•新田县期末）解关于x的分式方程＝时不会产生增根，则m的取值范围是 ．
10．（2023秋•曲阳县期末）A、B两地相距1350km，两辆汽车从A开往B地，大汽车比小汽车晚到30min，已知小汽车与大汽车的速度之比为5：3，求两车的速度，设大汽车的速度为3xkm/h，小汽车的速度为5xkm/h，所列方程是 ．
三．解答题（共2小题）
11．（2023秋•昌吉市校级期末）解方程：
（1）＝； （2）﹣＝1．
12．（2022•淮北模拟）解分式方程：+3＝．
题组B 能力提升练
一．选择题（共5小题）
1．（2022•开州区模拟）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣15B．﹣13C．﹣7D．﹣5
2．（2023秋•钢城区期末）若关于x的分式方程有正数解，则m的取值范围为（ ）
A．m＜2B．m≠3C．﹣3＜m＜﹣2D．m＜2且m≠﹣3
3．（2023秋•平舆县期末）若关于x的方程＝a无解，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．0D．±1
4．（2022•北碚区校级开学）若关于x的一元一次不等式组的解集恰好有3个负整数解，且关于y的分式方程＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．6B．9C．﹣1D．2
5．（2023秋•晋安区期末）若关于x的分式方程＝无解，则k的值为（ ）
A．1或4或﹣6B．1或﹣4或6C．﹣4或6D．4或﹣6
二．填空题（共2小题）
6．（2022•任城区一模）关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围是 ．
7．（2023秋•绵阳期末）若关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和等于 ．
三．解答题（共8小题）
8．（2023秋•江源区期末）学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）选择：聪聪同学所列方程中的x表示 ，明明同学所列方程中的y表示 ；
A．甲队每天修路的长度；
B．乙队每天修路的长度；
C．甲队修路400米所用的时间．
（2）你喜欢 列的方程，该方程的等量关系为 ；
（3）解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题．
9．（2023秋•濮阳期末）为了做好防疫工作，保障员工安全健康，某公司用480元购进一批某种型号的口罩．由于质量较好，公司又用720元购进第二批同一型号的口罩，已知第二批口罩的数量是第一批的2倍，且每包便宜4元，问第一批口罩每包的价格是多少元？公司前后两批一共购进多少包口罩？
10．（2023秋•密山市期末）（1）已知x（x﹣1）﹣（x2﹣y）＝﹣6，求﹣xy的值．
（2）虎林市政府倡导开展“共建绿色家园”，八年级甲、乙两个班的同学参加植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？（用方程解答）
11．（2023秋•青县期末）为响应“足球进校园”的号召，某学校在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购类乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．
（1）求这间商场出售每个甲种足球、每个乙种足球的售价各是多少元；
（2）按照实际需要每个班须配备甲种足球2个，乙种足球1个，购买足球能够配备多少个班级？
（3）若另一学校用3100元在这商场以同样的售价购买这两种足球，且甲种足球与乙种足球的个数比为2：3，求这学校购买这两种足球各多少个？
12．（2023秋•老河口市期末）某商家预测一种商品能畅销市场，就用4000元购进一批这种商品，这种商品面市后果然供不应求，商家又用8800元购进了第二批这种商品，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元．该商家购进的两批商品的数量分别是多少件？
13．（2023秋•渌口区期末）某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种玩具110个，购买A玩具与购买B玩具的费用相同．已知A玩具的单价是B玩具单价的1.2倍．
（1）求A、B两种玩具的单价各是多少？
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种玩具共260个，已知A、B两种玩具的进价不变．求A种玩具最多能购进多少个？
14．（2023秋•普兰店区期末）一项工程需要限期完成，若用甲工程队单独做正好如期完成，若用乙工程队单独做，需要逾期3天才能完成（比期限多3天）．现在甲、乙两工程队合做2天，余下由乙工程队单独做，刚好如期完成，求甲、乙两工程队单独完成工程各需要多少天？
15．（2023秋•民权县期末）某商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少4元，其用200元购进甲种牛奶的数量与用220元购进乙种牛奶的数量相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的2倍少4件，该商场甲种牛奶的销售价格为每件45元，乙种牛奶的销售价格为每件50元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润＝售价﹣进价）等于364元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶各多少件？
题组C 培优拔尖练
一．选择题（共1小题）
1．（2023春•福田区校级期中）如果关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程﹣＝1有非负数解，则符合条件的所有整数m的和是（ ）
A．13B．15C．20D．22
二．填空题（共2小题）
2．（2022春•渝中区校级月考）某校在“3.12”植树节来临之际，特从初一、初二、高一、高二四个年级中抽调若干学生去植树．已知初一、初二抽调的人数之比为5：3，高一、高二抽调的人数之比为4：3．上午，初一、高一年级平均每人植树的棵树相同且大于3棵小于10棵，高二年级平均每人植树的棵树为初一、初二平均每人植树的棵树之和的2倍，上午四个年级平均每人植树的棵树总和大于30棵小于40棵，上午四个年级一共植树714棵．下午，初二年级因为要回校参加活动不再参与植树活动，高一、高二年级平均每人植树的棵树都有所降低，高一年级平均每人植树的棵树降低50%，高二年级平均每人植树的棵树降为原来的．若初一年级人数及人均植树的棵树不变，高一高二年级人数不变，且四个年级平均每人植树的棵树为整数，则四个年级全天一共植树 棵．
3．（2020秋•滨州月考）若＝+++++，则a的值是 ．
三．解答题（共10小题）
4．（2023秋•望城区期末）已知，关于x的分式方程＝1．
（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解；
（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程＝1无解；
（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程＝1的解为整数时，求b的值．
5．（2023秋•临河区期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
6．（2023秋•岳阳县期末）列分式方程解应用题
某校初二年级的甲、乙两个班的同学以班级为单位分别乘坐大巴车去某基地参加拓展活动，此基地距离该校90千米，甲班的甲车出发10分钟后，乙班的乙车才出发，为了比甲车早到5分钟，乙车的平均速度是甲车的平均速度的1.2倍，求乙车的平均速度．
7．（2023春•射洪市月考）已知关于x的分式方程+＝
（1）若方程的增根为x＝1，求m的值
（2）若方程有增根，求m的值
（3）若方程无解，求m的值．
8．（2023秋•宜城市期末）有一项工作需要在规定日期内完成，如果甲单独做，刚好如期完成；如果乙单独做，就要超过规定日期3天．现在由甲、乙两人合做2天，剩下的工作由乙单独做，刚好如期完成，问规定日期是几天？
9．（2023秋•甘南县期末）列方程解应用题：
为了提升阅读速度，某中学开设了“高效阅读”课．小敏经过一段时间的训练，发现自己现在每分钟阅读的字数比原来的2倍还多300字，现在读9100字的文章与原来读3500字的文章所用的时间相同．求小敏原来每分钟阅读的字数．
10．（2023秋•饶平县期末）在汕头市“创文”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担．已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了a天完成，乙做另一部分用了y天完成．若乙工程队还有其它工作任务，最多只能做52天．求甲工程队至少应做多少天？
11．（2023秋•上思县期末）为改善南宁市的交通现状，市政府决定修建地铁，甲、乙两工程队承包地铁1号线的某段修建工作，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3倍；若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作10天完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为15.6万元，乙队每天的施工费用为18.4万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需增加多少万元？
12．（2020秋•庆云县校级期末）进入防汛期后，某地驻军在河堤加固的工程中出色完成任务，下面是记者与驻军工程指挥官的对话：记者：“你们是用9天时间完成4800米长的大坝加固任务的？”驻军指挥官：“我们加固600米后，采用新的加固模式，这样每天加固长度是原来的2倍．”通过上面的对话，请你求出该驻军原来每天加固河堤的米数．
13．（2023春•南浔区期末）某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶．甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）．
（1）扶梯露在外面的部分有多少级？
（2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲、乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？
15.3分式方程
甲乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度？
聪聪：＝
明明：﹣＝20
第16讲 分式方程
目标导航
1.理解分式方程的概念，会解一些简单的分式方程；
2.通过将简单的分式方程转化为整式方程进行求解，领会分式方程“整体化”的化归思想和方法；
3.理解增根的概念，会检验分式方程的根；
4.会用分式方程解决相关问题，并进行简单的应用。
知识精讲
知识点01 分式方程的定义
分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．
【知识拓展】（2023秋•平罗县期末）下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程是分式方程，判断即可．
【解答】解：A.分母中不含未知数，不是分式方程，故A符合题意；
B.是分式方程，故B不符合题意；
C.是分式方程，故C不符合题意；
D.是分式方程，故D不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．
【即学即练】（2023秋•西峰区期末）下列关于x的方程是分式方程的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解．
【解答】解：选项A、B、D是整式方程，不符合题意；
选项C，是分式方程，符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．
知识点02 分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
【知识拓展】（2022春•北碚区校级月考）若实数a使关于x的分式方程有正整数解，且使关于y的一元一次不等式组至少有4个整数解，则符合条件的所有整数a之和为（ ）
A．12B．15C．19D．22
【分析】根据题目的条件确定a的取值范围即可求解．
【解答】解：解不等式组，得，
∵不等式组至少有4个整数解，
∴0≤＜1，
∴3≤a＜8，
解分式方程，
x+a﹣2x＝x﹣3，
2x＝a+3，
x＝，
又∵分式方程有正整数解，
∴a+3是2的倍数，
∵x≠3，
∴a≠3，
∵3≤a＜8，
∴3＜a＜8，
∴满足条件的整数a的值为5，7，
∴满足条件的整数a的值之和是12．
故选：A．
【点评】本题主要考查了分式方程的解和不等式的解集，根据题目的条件确定常数的取值范围是解决本题的关键．
【即学即练】（2022春•沙坪坝区校级月考）若关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值的和是（ ）
A．2B．0C．1D．﹣1
【分析】根据题目的条件确定a的取值范围即可求解．
【解答】解：解不等式组得，
∵不等式组有且四个整数解，
∴0＜≤1，
∴﹣2＜a≤4，
解分式方程得y＝，
又∵分式方程有非负整数解，
∴y≥0，且y≠2，
即≥0，且≠2，
解得a≥﹣3且a≠1，
∴﹣3≤a≤4且a≠0，
∴满足条件的整数a的值为﹣1，﹣2，0，2，3，4，
当a＝﹣2、0、2、4时，y的值不是整数，不符合题意，舍去，
∴满足条件的整数a的值为﹣1，3，
∴满足条件的整数a的值之和是2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了分式方程的解和不等式的解集，根据题目的条件确定常数的取值范围是解决本题的关键．
知识点03 解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
【知识拓展】（2022•德城区校级开学）方程的解为（ ）
A．B．﹣4或1C．﹣4D．无解
【分析】方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1）化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．
【解答】解：方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1）得：
6﹣3（x+1）＝（x+1）（x﹣1），
∴x1＝﹣4，x2＝1，
当x＝﹣4时，（x+1）（x﹣1）≠0，
当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
∴原分式方程的解为x＝﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查了解分式方程，去分母把分式方程化为整式方程是解决问题的关键．
【即学即练1】（（2022•江汉区模拟）方程的解为 2 ．
【分析】先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再检验即可．
【解答】解：去分母得：x＝2，
检验：当x＝2时，2（x﹣1）≠0，
∴x＝2是原分式方程的解．
故答案为：2．
【点评】本题考查了解分式方程，利用了转化思想，解分式方程注意要检验．
【即学即练2】（（2023秋•利通区校级期末）若分式值相等，则x的值为 ﹣2 ．
【分析】根据分式值相等建立方程，去分母，解整式方程，最后检验即可．
【解答】解：由题知：，
去分母得：x﹣4＝4x+2，
解得：x＝﹣2．
检验：当x＝﹣2时，（2x+1）（x﹣4）≠0，
∴x＝﹣2是原分式方程的解．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查解分式方程，解题关键是转化思想把分式方程转化为整式方程，注意分式方程需要检验．
知识点04换元法解分式方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．
【知识拓展】 （2023春•淮安月考）用换元法解分式方程x2+2x﹣＝8，若设x2+2x＝y，则原方程可化为（ ）
A．20y2+8y﹣1＝0B．y2﹣8y﹣20＝0
C．y2+8y﹣20＝0D．8y2﹣20y+1＝0
【分析】换元法即等量代换，将x²+2x用y整体替换，再去分母，可得到答案．
【解答】解：用y整体替换x2+2x，得
，
去分母并移项，得y2﹣8y﹣20＝0，
故选：B．
【点评】本题难度不大，考查学生的整体思想及换元思想，合理替换是本题解题的关键．
【即学即练】（2023春•宝山区校级月考）用换元法解方程时，设，则原方程可变形为（ ）
A．y2+y＝4B．y2+y＝2C．y2+y＝6D．y2﹣y＝4
【分析】先根据完全平方公式变形得出（x+）2﹣2x•+（x+）＝4，求出（x+）2+（x+）＝6，再得出选项即可．
【解答】解：，
（x+）2﹣2x•+（x+）＝4，
（x+）2﹣2+（x+）＝4，
（x+）2+（x+）＝6，
设y＝x+，则原方程变形为y2+y＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了解分式方程和完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键．
知识点05分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
【知识拓展】（2023秋•开福区校级期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A．m＝2或m＝6B．m＝2C．m＝6D．m＝2或m＝﹣6
【分析】根据题意可得：x＝±2，然后把x的值代入到整式方程中进行计算即可解答．
【解答】解：，
x+m﹣x（2+x）＝4﹣x2，
解得：x＝m﹣4，
∵分式方程有增根，
∴4﹣x2＝0，
∴x＝±2，
当x＝2时，m﹣4＝2，
∴m＝6，
当x＝﹣2时，m﹣4＝﹣2，
∴m＝2，
∴m的值是6或2，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后，代入到整式方程中进行计算是解题的关键．
【即学即练】（2023秋•德江县期末）关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．0B．2或3C．2D．3
【分析】根据题意可得x＝2，然后把x＝2代入整式方程中进行计算即可解答．
【解答】解：，
2x﹣1＝m+x﹣2，
解得：x＝m﹣1，
∵方程有增根，
∴x﹣2＝0，
∴x＝2，
把x＝2代入x＝m﹣1中可得：
m﹣1＝2，
∴m＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后，代入整式方程中进行计算是解题的关键．
知识点06由实际问题抽象出分式方程
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
【知识拓展】（2022•罗山县校级模拟）郑州市新冠肺炎疫情防控指挥部发布开展全市全员新冠病毒核酸检测的通告，某小区有3000人需要进行核酸检测，由于组织有序，居民也积极配合，实际上每小时检测人数比原计划增加50人，结果提前2小时完成检测任务．假设原计划每小时检测x人，则依题意，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由实际上每小时检测人数比原计划增加50人及原计划每小时检测x人，可得出实际上每小时检测（x+50）人，利用检测实际＝需检测的总人数÷每小时检测的人数，结合结果提前2小时完成检测任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵实际上每小时检测人数比原计划增加50人，且原计划每小时检测x人，
∴实际上每小时检测（x+50）人．
依题意得：﹣2＝．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【即学即练】（2023秋•和硕县校级期末）在新农村建设中，为了美化乡村，八年级同学积极参加植树造林，已知八（1）班每天比八（2）班每天多植5棵树，八（1）班植80棵树所用的天数与八（2）班植70棵树所用的天数相等，若设八（1）班每天植x棵，根据题意列出的方程是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由八（1）班每天比八（2）班每天多植5棵树及八（1）班每天植x棵，可得出八（2）班每天植（x﹣5）棵，利用植树时间＝植树总棵数÷每天植树棵数，结合八（1）班植80棵树所用的天数与八（2）班植70棵树所用的天数相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵八（1）班每天比八（2）班每天多植5棵树，且八（1）班每天植x棵，
∴八（2）班每天植（x﹣5）棵．
依题意得：＝．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
知识点07分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
【知识拓展】（2022•麻栗坡县校级模拟）根据云南省《关于加快推进城镇老旧小区改造工作的指导意见》，在2021年底要基本完成云南全省城镇老旧小区改造提升工作．某小区计划对面积为1200m2的区域进行停车位改造，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成改造的面积是乙队每天能完成改造面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为400m2区域的改造时，甲队比乙队少用4天．求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的停车位改造？
【分析】设乙工程队每天能完成xm2的停车位改造，则甲工程队每天能完成2xm2的停车位改造，由题意：两队各自独立完成面积为400m2区域的改造时，甲队比乙队少用4天，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设乙工程队每天能完成xm2的停车位改造，则甲工程队每天能完成2xm2的停车位改造，
由题意得：﹣＝4，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
则2x＝100，
答：甲队每天能完成100m2的停车位改造，乙队每天能完成50m2的停车位改造．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【即学即练1】（2023秋•利通区校级期末）“阅读陪伴成长，书香润泽人生，”吴忠市第四中学为了开展学生阅读活动，计划从书店购进若干本A、B两类图书（每本A类图书的价格相同，每本B类图书的价格也相同），且每本A类图书的价格比每本B类图书的价格多5元，用1200元购进的A类图书与用900元购进的B类图书册数相同，求每本A类图书和每本B类图书的价格各为多少元？
【分析】设每本B类图书的价格为x元，则每本A类图书的价格为（x+5）元，利用数量＝总价÷单价，结合用1200元购进的A类图书与用900元购进的B类图书册数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出每本B类图书的价格，再将其代入（x+5）中即可求出每本A类图书的价格．
【解答】解：设每本B类图书的价格为x元，则每本A类图书的价格为（x+5）元，
依题意得：＝，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
∴x+5＝15+5＝20．
答：每本A类图书的价格为20元，每本B类图书的价格为15元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【即学即练2】（2023秋•绵阳期末）精强硅谷，有众多高科技产业，红旗电子科技公司是通讯设备、电源设备及消费类电子产品生产厂商，提供各类高分子材料、热传导材料、绝缘材料、缓冲及防尘材料．该公司今年承包了一手机品牌某一热传导材料零部件的生产任务，原计划在规定时间内生产24000个热传导材料零部件，由于此零件紧缺，需要提前5天供货，该公司经商议后，决定将工作效率比原计划提高25%，结果按预期刚好提前5天完成任务，求原计划每天生产的零件个数和规定的天数．
【分析】根据题意可设原计划每天生产的零件x个，根据时间是一定的，列出方程求得原计划每天生产的零件个数，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率，即可求得规定的天数．
【解答】解：设原计划每天生产的零件x个，
由题意，得﹣5＝．
得x＝960，
经检验，x＝9600是原方程的根，且符合题意．
∴规定的天数为24000÷960＝250（天）．
答：原计划每天生产的零件960个，规定的天数是250天．
【点评】本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
能力拓展
一．选择题（共3小题）
1．（2023•大渡口区自主招生）如果关于x的分式方程+＝1有非负整数解，关于y的不等式组有且只有三个整数解，则所有符合条件的整数m的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由解为非负整数解，以及不等式组只有3个整数解，确定出符合条件m的值，求出之和即可．
【解答】解：去分母得：2﹣m﹣1＝x﹣2，
解得：x＝3﹣m，
由解为非负整数解，得到3﹣m≥0，且3﹣m≠2，即m≤3且m≠1，
不等式组整理得：，
由不等式组只有3个整数解，得到y＝﹣2，﹣1，0，即0＜≤1，
解得：﹣2≤m＜2，
则符合题意m＝﹣2，﹣1，0，
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2020•渝北区自主招生）若a为整数，关于x的不等式组有且只有两个整数解，且关于y的分式方程﹣＝1有整数解，则满足上述条件的整数a的和为（ ）
A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣6
【分析】先解不等式组，根据其有两个整数解得出﹣4≤a＜0；解分式方程求出y＝，由解为整数得出a的整数值，从而得出答案．
【解答】解：解关于x的不等式组得，
，
∵不等式组有且只有两个整数解，
∴﹣4＜a≤0；
关于y的分式方程﹣＝1得，
y＝，
∵y是整数，
∴a＝﹣1，﹣2，
a＝﹣2时，y＝2为增根，应该舍去，
∴a＝﹣1或0，
故满足条件的整数a的和为：﹣1+0＝﹣1，
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，掌握方程和不等式的解法是解题的关键，注意要排除产生增根时m的值．
3．（2020•武昌区校级自主招生）若关于x的方程++＝0只有一个实数根，则实数a的所有可能取值的和为（ ）
A．7B．15
C．31D．以上选项均不对
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，分类讨论整式方程只有一个实数根，检验后求出a的值总和即可．
【解答】解：已知方程化为4x2﹣4x﹣a+8＝0①，
①若方程①有两个相等实根，则△＝16﹣16（8﹣a）＝0，即a＝7，
当a＝7时，方程①的根x1＝x2＝，符合要求；
②若方程①有两个相等实根，其中一个根为2（因为2是原方程的增根，会舍去），
将x＝2代入方程①，则16﹣8﹣a+8＝0，即a＝16，
此时，方程①的另一个根为x＝﹣4，符合要求；
③若方程①有两个相等实根，其中一个根为0（因为0是原方程的增根，会舍去），
将x＝0代入方程①，则8﹣8+a+8＝0，即a＝8，
此时方程①的另一个根为x＝﹣1，符合要求，
综上，符合条件的a有7，16，8，其总和为31，
故选：C．
【点评】本题主要考查了分式方程的解，用分类讨论的思想解答能使问题解答更全面．
二．填空题（共4小题）
4．（2023•黄州区校级自主招生）黄冈首届半程马拉松于5月6日在遗爱湖公园起跑，小林与小雨两名同学为参加比赛，在学校运动场400米环形跑道上进行训练，两人各自以恒定的速度沿逆时针方向跑步，已知每隔12分钟小林追上小雨一次，小林每圈花费的时间比小雨少10秒，则小林跑步的速度为每秒 5 米．
【分析】设小林跑步的速度为x米/秒，则小雨跑步的速度为米/秒，根据时间＝路程÷速度结合小林每圈花费的时间比小雨少10秒，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设小林跑步的速度为x米/秒，则小雨跑步的速度为米/秒，
依题意，得：﹣＝10，
解得：x1＝﹣，x2＝5，
经检验，x1＝﹣，x2＝5均为原分式方程的解，x＝5符合题意．
故答案为：5．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
5．（2019•顺庆区校级自主招生）已知x满足﹣x2﹣2x＝1，那么x2+2x＝ 2 ．
【分析】设x2+2x＝y，则原方程可化为y2﹣4＝0，解得y1＝2，y2＝﹣2，解方程可解答．
【解答】解：﹣x2﹣2x＝1，
设x2+2x＝y，则原方程可化为﹣y＝1，
3﹣y（y﹣1）＝y﹣1，
y2＝4，
解得y1＝2，y2＝﹣2，
经检验，y＝±2是方程﹣y＝1的解，
当y1＝2时，x2+2x＝2，
解得x＝﹣1，
经检验，x＝﹣1是原方程的解；
当y2＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，
此方程无实数解；
∴x2+2x＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了换元法解分式方程，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
6．（2020•巴南区自主招生）若关于x的分式方程﹣＝4有正整数解，且关于y的不等式组有解，则所有符合条件的整数a的值的积是 ﹣8 ．
【分析】根据不等式组有解，可得a的范围，根据分式方程的解，可得a的值，根据正整数的定义，可得答案．
【解答】解：，
由①得：y≤8，
由②得：y≥a+6，
∵关于y的不等式组有解，
∴a+6≤8
∴a≤2，
解分式方程﹣＝4，得x＝，
∵x﹣2≠0，
∴≠2，
∴a≠0，
∵关于x的分式方程﹣＝4有正整数解，
∴4﹣a＝1或4﹣a＝2或4﹣a＝4或4﹣a＝8，
∴a＝3或a＝2或a＝0或a＝﹣4，
∵a≤2，a≠0，
∴a＝2或﹣4，
∴所有符合条件的整数a的值的积＝2×（﹣4）＝﹣8，
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查了分式方程的解，不等式的解集．能够正确解不等式和分式方程，能够利用不等式的解集及方程的解得出a的值是解题关键．
7．（2019•达州自主招生）已知a2﹣6a+1＝0且＝2，则m＝ ．
【分析】由已知求出a+的值，把＝2变形成含a+的形式即可求解；
【解答】解：∵a2﹣6a+1＝0，
∴a≠0，将方程两边除以a得：a﹣6+＝0即a+＝6，
而＝＝，
∵＝2，
∴，即，
解得m＝，
经检验m＝是原方程的解，
故答案为：．
【点评】本题考查解分式方程，题目有难度，解题关键是将方程变形为只含a+的形式再代入求解．
三．解答题（共5小题）
8．（2020•宝山区校级自主招生）解关于x的方程a（x﹣1）++3＝0．
【分析】方程整理后，根据a的范围分类讨论求出解即可．
【解答】解：方程整理得：+＝﹣3，
去分母得：ax2+3x+2＝0，
当a＝0时，方程为3x+2＝0，即x＝﹣；
当a＞时，方程无解；
当a＝时，方程的解为x＝﹣；
当a＜且a≠0时，方程的解为x1＝，x2＝．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了分类讨论的思想，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
9．（2020•永州）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．
（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？
（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？
【分析】（1）可设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；
（2）可设购进一次性医用外科口罩y只，根据购进的总费用不超过1万元，列出不等式即可求解．
【解答】解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，依题意有
＝，
解得x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，
x+10＝2+10＝12．
故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；
（2）设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有
2y+12（2000﹣y）≤10000，
解得y≥1400．
故至少购进一次性医用外科口罩1400只．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程和不等式是解题的关键．
10．（2020•浙江自主招生）已知关于x的方程﹣＝恰好有一个实数解，求k的值及方程的解．
【分析】去分母，转化为整式方程，根据整式方程为一元一次方程，即k＝0，为一元二次方程，即k≠0，分别求解．而当方程为一元二次方程时，又分为△＝0（方程有等根，满足方程恰好有一个实数解），若Δ＞0，则方程有两不等实根，且其中一个为增根，而增根只可能为1或0．
【解答】解：两边同乘x2﹣x，得2kx2+（3﹣4k）x+4k﹣7＝0，
若k＝0，3x﹣7＝0，x＝，
若k≠0，由题意，知△＝（3﹣4k）2﹣8k（4k﹣7）＝0，
解得k1＝，k2＝﹣，
当k1＝时，x1＝x2＝，当k2＝﹣时，x1＝x2＝4，
若方程有两不等实根，则其中一个为增根，
当x1＝1时，k＝2，x2＝，
当x1＝0时，k＝，x2＝．
【点评】本题考查了分式方程的解．关键是将分式方程转化为整式方程，根据整式方程的特点及题目的条件分类讨论．
11．（2020•渝中区校级自主招生）2020年2月，因新冠肺炎确诊病例不断增加，湖北某医疗救治中心计划购买一批无创呼吸机和双向呼吸机，两款共200台，预算分别为56万元和156万元．已知每台双向呼吸机的售价是每台无创呼吸机售价的2倍少1000元．
（1）求该救治中心计划分别购进无创呼吸机和双向呼吸机各多少台？
（2）为了表达对湖北疫区人民支持，呼吸机生产厂家立即对两款呼吸机均进行打折零利润销售，实际售价均在原售价的基础上下降了a%，根据救治中心一线医护人员的实际需求，双向呼吸机的实际购买量比原计划增加了a%，结果购买双向呼吸机比购买无创呼吸机多花费了90.4万元，求a的值．
【分析】（1）设无创呼吸机售价x元，则双向呼吸机售价（2x﹣1000）台，根据两款共200台，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；
（2）根据题意表示出实际售价，结合题意可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：（1）设无创呼吸机售价x元，则双向呼吸机售价（2x﹣1000）台，
依题意得：+＝200，
整理得：x2﹣7200x+1400000＝0，
解得：x1＝200，x2＝7000．
经检验，x1＝200，x2＝7000都是原方程的解．
∵x元，2x﹣1000＞0，
∴x＝7000，
560000÷7000＝80（台），1560000÷（2×7000﹣1000）＝120（台），
答：该救治中心计划分别购进无创呼吸机80台，购进双向呼吸机120台；
（2）依题意得：无创呼吸机实际售价7000（1﹣a%）元，双向呼吸机实际售价（2×7000﹣1000）（1﹣a%）＝1300（1﹣a%）元，
120（1+a%）×13000（1﹣a%）＝80×7000（1﹣a%）+904000，
整理得：13a2+700a﹣19200＝0，
解得：a＝34.69（负值舍去）．
答：a的值为34.69．
【点评】本题考查了分数方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
12．（2020•谷城县校级自主招生）若关于x的方程只有一个解（相等的解也算作一个），试求k的值与方程的解．
【分析】先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出k的值．
【解答】解：原方程化为kx2+（2﹣3k）x﹣1＝0①．
（1）当k＝0时，原方程有一个解，x＝；
（2）当k≠0时，方程①△＝5k2+4（k﹣1）2＞0，总有两个不同的实数根，
由题意知必有一个根是原方程的增根，从原方程知增根只能是0或1，显然0不是①的根，
故x＝1，得k＝．
综上可知，k的值为0或，当k＝0时，方程的解为x＝；k＝时，方程的解为x＝﹣2．
【点评】本题考查了解分式方程．注意：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能是转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方程的增根，故分式方程的解的讨论，要运用判别式、增根等知识全面分析．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共5小题）
1．（2023秋•樊城区期末）随着电影《你好，李焕英》热映，其同名小说的销量也急剧上升．某书店分别用400元和600元两次购进该小说，第二次数量比第一次多1倍，且第二次比第一次进价便宜4元，设书店第一次购进x套，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由第二次购进数量比第一次多1倍，可得出第二次购进2x套，利用单价＝总价÷数量，结合第二次比第一次进价便宜4元，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵第二次购进数量比第一次多1倍，且第一次购进x套，
∴第二次购进2x套．
依题意得：﹣＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
2．（2023秋•河西区期末）方程的解为（ ）
A．1B．3C．4D．无解
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+3＝3（x﹣1），
解得：x＝3，
检验：把x＝3代入得：x﹣1≠0，
∴分式方程的解为x＝3．
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
3．（2023秋•惠州期末）把分式方程＝转化成整式方程时，方程两边同乘（ ）
A．xB．x﹣2C．x（x﹣2）D．3x（x﹣2）
【分析】找出x﹣2与x的最简公分母，去分母即可．
【解答】解：把分式方程＝转化成整式方程时，方程两边同乘x（x﹣2）．
故选：C．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
4．（2023秋•公安县期末）已知关于x的方程的解为正数，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣2且k≠﹣1B．k＞﹣2C．k＞0且k≠1D．k＜﹣2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解．由分式方程的解为正数且分母不为零，即可求出k的取值范围．
【解答】解：∵，
去分母得：2k+2＝x﹣2，
解得x＝2k+4，
∵方程的解为正数，且x﹣2≠0，
∴，
解得k＞﹣2且k≠﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查分式方程的解，解题的关键是熟练运用分式方程的解法．
5．（2023秋•德江县期末）关于x的方程有增根，则m的值是（ ）
A．0B．2或3C．2D．3
【分析】根据题意可得x＝2，然后把x＝2代入整式方程中进行计算即可解答．
【解答】解：，
2x﹣1＝m+x﹣2，
解得：x＝m﹣1，
∵方程有增根，
∴x﹣2＝0，
∴x＝2，
把x＝2代入x＝m﹣1中可得：
m﹣1＝2，
∴m＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后，代入整式方程中进行计算是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2023秋•孟村县期末）现有6000米的钢轨需要铺设，为确保通车时间，实际施工时每天铺设的长度是原计划的2倍，结果提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x米．
（1）根据题意，可列分式方程为 ﹣＝15 ；
（2）实际施工时每天铺设钢轨的长度为 400 米．
【分析】（1）由实际施工时每天铺设的长度是原计划的2倍，可得出实际施工时每天铺设钢轨2x米，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前15天完成任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解；
（2）解（1）中的分式方程并检验后，可得出原计划每天铺设钢轨的长度，再将其代入2x中即可求出实际施工时每天铺设钢轨的长度．
【解答】解：（1）∵实际施工时每天铺设的长度是原计划的2倍，且原计划每天铺设钢轨x米，
∴实际施工时每天铺设钢轨2x米．
依题意得：﹣＝15．
故答案为：﹣＝15．
（2）解（1）中的分式方程得：x＝200，
经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝2×200＝400．
∴实际施工时每天铺设钢轨的长度为400米．
故答案为：400．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7．（2022•仁寿县模拟）已知关于x的方程＝5的解不是正数，则m的取值范围为 m≤10且m≠4 ．
【分析】去分母把分式方程化成整式方程，用m表示出x，再根据题意及分式方程增根的定义得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围．
【解答】解：两边同时乘以x+2得：
2x+m＝5（x+2），
解得：x＝，
∴≤0且≠﹣2，
解得：m≤10且m≠4，
故答案为：m≤10且m≠4．
【点评】本题考查了分式方程的解，正确得出分式方程的解，根据题意及分式方程增根的定义得出关于m的不等式组是解题的关键．
8．（2023秋•宜城市期末）若关于x的分式方程无解，则m的值为 ．
【分析】先假设方程有解，利用含有m的代数式表示方程的解，再根据解可判断出该方程无解符合根为增根的情况，将方程中的分母等于0，算出增根，得到m的方程即可求解．
【解答】解：假设该方程有解，解得：x＝，
∵该方程无解，
∴x＝是增根，
∵2x﹣1＝0，1﹣2x＝0，
∴x＝是该方程的增根，
∴＝，
∴m＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查分式方程无解，无解包含两种情况：一种是解为增根，一种是在解方程的过程中未知数被消掉的情况，根据两种情况分析得到包含m的方程即可求解．
9．（2023秋•新田县期末）解关于x的分式方程＝时不会产生增根，则m的取值范围是 m≠﹣1 ．
【分析】先解分式方程，然后根据分式方程不会产生增根，可得x≠1，从而可得m≠﹣1，即可解答．
【解答】解：＝，
1+x﹣1＝﹣m，
解得：x＝﹣m，
∵分式方程不会产生增根，
∴x≠1，
∴﹣m≠1，
∴m≠﹣1，
∴m的取值范围是m≠﹣1，
故答案为：m≠﹣1．
【点评】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根是解题的关键．
10．（2023秋•曲阳县期末）A、B两地相距1350km，两辆汽车从A开往B地，大汽车比小汽车晚到30min，已知小汽车与大汽车的速度之比为5：3，求两车的速度，设大汽车的速度为3xkm/h，小汽车的速度为5xkm/h，所列方程是 ＝ ．
【分析】分别求出两辆汽车从A地到B地的时间，然后找出等量关系：大汽车的行驶时间+＝小汽车的行驶时间，据此列方程．
【解答】解：设大汽车的速度为3xkm/h，小汽车的速度为5xkm/h，
由题意得，＝．
故答案为：＝；
【点评】本题考查了由实际问题列分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列出分式方程．
三．解答题（共2小题）
11．（2023秋•昌吉市校级期末）解方程：
（1）＝；
（2）﹣＝1．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：6（2x﹣1）＝5x，
去括号得：12x﹣6＝5x，
移项合并得：7x＝6
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解；
（2）去分母得：（x+1）2﹣14＝（x+1）（x﹣1），
去括号得：x2+2x+1﹣14＝x2﹣1，
移项合并得：2x＝12，
系数化1得：x＝6，
经检验x＝6是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
12．（2022•淮北模拟）解分式方程：+3＝．
【分析】方程两边同时乘以（x﹣1），把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．
【解答】解：方程两边同时乘以（x﹣1）得：
1+3（x﹣1）＝x﹣2，
解得：x＝0，
当x＝0时，x﹣1≠0，
∴原分式方程的解为x＝0．
【点评】本题考查了解分式方程，把分式方程化成整式方程是解决问题的关键
题组B 能力提升练
一．选择题（共5小题）
1．（2022•开州区模拟）若关于x的一元一次不等式组的解集为x＜﹣2，且关于y的分式方程的解为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣15B．﹣13C．﹣7D．﹣5
【分析】①解不等式组，再根据一元一次不等式组的解集为x＜﹣2，求出a≥﹣8，②解分式方程得y＝，根据关于y的分式方程的解为负整数列不等式组，求出a＜1且a≠﹣2，根据①②得出a的取值范围为，﹣8≤a＜1且a≠﹣2，再根据解为负整数，求出a的值，从而求出满足条件的整数a的值之和．
【解答】解：，
解不等式①得x≤，
解不等式②得x＜﹣2，
∵一元一次不等式组的解集为x＜﹣2，
∴≥﹣2，
解得a≥﹣8，
，
去分母，得2y＝a﹣（y+1）
解得y＝，
∵关于y的分式方程的解为负整数，
∴，
解得a＜1且a≠﹣2，
∴a的取值范围为：﹣8≤a＜1且a≠﹣2，
∵解为负整数
∴当a﹣1＝﹣1，a﹣1＝﹣6．a﹣1＝﹣9，
解得a＝0或﹣5或﹣8，
∴所有满足条件的整数a的值之和是：0+（﹣5）+（﹣8）＝﹣13，
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组和分式方程，用含有a的代数式表示x和y，列出不等式组，求出a的取值范围是解题关键．
2．（2023秋•钢城区期末）若关于x的分式方程有正数解，则m的取值范围为（ ）
A．m＜2B．m≠3C．﹣3＜m＜﹣2D．m＜2且m≠﹣3
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，根据方程有正数解列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．
【解答】解：去分母得：2（x+3）＝3（x+m），
去括号得：2x+6＝3x+3m，
移项合并得：﹣x＝3m﹣6，
解得：x＝6−3m，
根据题意得：6−3m＞0，且6−3m≠﹣3，6−3m≠﹣m，
解得：m＜2且m≠3．
故选：A．
【点评】此题考查了分式方程的解，解题的关键是用m的代数式表示x．
3．（2023秋•平舆县期末）若关于x的方程＝a无解，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．0D．±1
【分析】先把分式方程化成整式方程，再分整式方程无解和整式方程的解是分式方程的增根，两种情况讨论即可求出答案．
【解答】解：方程两边同时乘以（x+1）得：
x﹣a＝a（x+1），
∴（1﹣a）x＝2a，
当a＝1时，方程无解，
当a≠1，x＝，
∵关于x的方程＝a无解，
∴x+1＝0，
∴x＝﹣1，
∴＝﹣1，
∴a＝﹣1，
综上所述，当a＝±1时，方程＝a无解，
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的解，明确什么时候分式方程无解是解题的关键．
4．（2022•北碚区校级开学）若关于x的一元一次不等式组的解集恰好有3个负整数解，且关于y的分式方程＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．6B．9C．﹣1D．2
【分析】先解一元一次不等式组，根据不等式组的解集恰好有3个负整数解，求出a的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定a的值即可．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥，
解不等式②得：x＜﹣1，
∴原不等式组的解集为：≤x＜﹣1，
∵不等式组的解集恰好有3个负整数解，
∴﹣5＜≤﹣4，
∴﹣5＜a≤7，
＝1，
2y﹣a+3y﹣2＝y﹣1，
解得：y＝，
∵分式方程有非负整数解，
∴y≥0，y为整数且≠1，
∴符合条件的所有整数a的值为：﹣1，7，
∴符合条件的所有整数a的和为：6，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．
5．（2023秋•晋安区期末）若关于x的分式方程＝无解，则k的值为（ ）
A．1或4或﹣6B．1或﹣4或6C．﹣4或6D．4或﹣6
【分析】通过去分母、去括号、移项、合并同类项、x的系数化为1去解这个分式方程，再根据分式方程的解的定义解决此题．
【解答】解：＝，
方程两边同乘（x+2）（x﹣2），得kx＝3（x﹣2）﹣2（x+2）．
去括号，得kx＝3x﹣6﹣2x﹣4．
移项，得kx﹣3x+2x＝﹣6﹣4．
合并同类项，得（k﹣1）x＝﹣10．
x的系数化为1，得x＝．
∵关于x的分式方程＝无解，
∴kx＝3（x﹣2）﹣2（x+2）无解或原分式方程有增根．
∴＝2或﹣2或k＝1．
∴k＝﹣4或6或1．
故选：B．
【点评】本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键．
二．填空题（共2小题）
6．（2022•任城区一模）关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围是 a＞﹣5且a≠3 ．
【分析】解分式方程，用a表示x，再根据关于x的分式方程的解是正数，列不等式组，解出即可．
【解答】解：原分式方程可化为：+1＝，
x﹣3+x﹣2＝﹣2x+a，
解得x＝，
∵关于x的分式方程的解是正数，
∴，
解得：a＞﹣5且a≠3．
故答案为：a＞﹣5且a≠3．
【点评】本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程、一元一次不等式的步骤，根据关于x的分式方程的解是正数，列不等式组是解题关键．
7．（2023秋•绵阳期末）若关于x的方程的解为整数，则满足条件的所有整数a的和等于 7 ．
【分析】解分式方程，用a表示x，根据最简公分母及一次系数不为0，求出a≠且a≠﹣1，a≠1，再根据关于x的方程的解为整数，求出a的值，进而求出满足条件的所有整数a的和．
【解答】解：原分式方程可化为：﹣＝，
去分母，得x﹣3﹣a（x+1）＝2a﹣2，
解得，x＝
＝
＝﹣3+，
∵x≠3且x≠﹣1，
∴﹣3+≠3且﹣3+≠﹣1，
∴a≠且a≠﹣1，a≠1，
∵关于x的方程的解为整数，
∴a＝±1或a＝±2或a＝±4，
∴a＝﹣3、0、2、3、5，
∴﹣3+0+2+3+5＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程的步骤，根据关于x的方程的解为整数，分情况求出a的值是解题关键．
三．解答题（共8小题）
8．（2023秋•江源区期末）学习分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）选择：聪聪同学所列方程中的x表示 A ，明明同学所列方程中的y表示 C ；
A．甲队每天修路的长度；
B．乙队每天修路的长度；
C．甲队修路400米所用的时间．
（2）你喜欢 聪聪、明明 列的方程，该方程的等量关系为 聪聪，等量关系：甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等；明明，等量关系：乙队每天比甲队多修20米 ；
（3）解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题．
【分析】（1）根据两人的方程思路，可得出：x表示甲队每天修路的长度；y表示甲队修路400米所需时间或乙队修路600米所需时间；
（2）根据题意，可找出：（聪聪）甲队修路400米所用时间＝乙队修路600米所用时间；（明明）乙队每天修路的长度﹣甲队每天修路的长度＝20米；
（3）选择两个方程中的一个，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）A，C，
故答案为：A，C；
（2）Ⅰ聪聪，等量关系：甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等；
Ⅱ明明，等量关系：乙队每天比甲队多修20米，
故答案为：聪聪、明明；聪聪，等量关系：甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等；明明，等量关系：乙队每天比甲队多修20米；
（3）选第一个方程，
解得x＝40，
经检验x＝40是原分式方程的解，且符合题意．
答：甲队每天修路的长度为40米；
选第二个方程，
解得y＝10，
经检验y＝10是原分式方程的解，且符合题意．
∴，
答：甲队每天修路的长度为40米．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9．（2023秋•濮阳期末）为了做好防疫工作，保障员工安全健康，某公司用480元购进一批某种型号的口罩．由于质量较好，公司又用720元购进第二批同一型号的口罩，已知第二批口罩的数量是第一批的2倍，且每包便宜4元，问第一批口罩每包的价格是多少元？公司前后两批一共购进多少包口罩？
【分析】设第一批口罩每包x元，则第二批口罩每包（x﹣4）元，由题意：某公司用480元购进一批某种型号的口罩．由于质量较好，公司又用720元购进第二批同一型号的口罩，已知第二批口罩的数量是第一批的2倍，列出分式方程，解方程，即可解决问题．
【解答】解：设第一批口罩每包x元，则第二批口罩每包（x﹣4）元，
根据题意得：＝×2，
解得：x＝16，
经检验，x＝16是所列方程的解，且符合题意，
则公司前后两批一共购进：×3＝90（包），
答：第一批口罩每包的价格是16元，公司前后两批一共购进90包口罩．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10．（2023秋•密山市期末）（1）已知x（x﹣1）﹣（x2﹣y）＝﹣6，求﹣xy的值．
（2）虎林市政府倡导开展“共建绿色家园”，八年级甲、乙两个班的同学参加植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？（用方程解答）
【分析】（1）整理得：x﹣y＝6，再由完全平方公式求解即可；
（2）设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，由题意：甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：（1）x（x﹣1）﹣（x2﹣y）＝﹣6，
整理得：x﹣y＝6，
则﹣xy＝（x2+y2﹣2xy）＝（x﹣y）2＝×62＝18；
（2）设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，
由题意得：＝，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
则x+2＝22，
答：甲班每小时种20棵树，乙班每小时种22棵树．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及完全平方公式等知识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
11．（2023秋•青县期末）为响应“足球进校园”的号召，某学校在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购类乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．
（1）求这间商场出售每个甲种足球、每个乙种足球的售价各是多少元；
（2）按照实际需要每个班须配备甲种足球2个，乙种足球1个，购买足球能够配备多少个班级？
（3）若另一学校用3100元在这商场以同样的售价购买这两种足球，且甲种足球与乙种足球的个数比为2：3，求这学校购买这两种足球各多少个？
【分析】（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20）元，由题意：购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购类乙种足球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）由（1）可知该校购买甲种足球＝＝40个，购买乙种足球20个，即可得出结论；
（3）设这学校购买甲种足球2x个，乙种足球3x个，由题意：学校用3100元在这商场以同样的售价购买这两种足球，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20）元，
由题意得：＝2×，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
则x+20＝70，
答：购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元；
（2）由（1）可知该校购买甲种足球＝＝40个，购买乙种足球20个，
∵每个班须配备甲足球2个，乙种足球1个，
∴购买的足球能够配备20个班级；
答：购买的足球能够配备20个班级；
（3）设这学校购买甲种足球2x个，乙种足球3x个，
根据题意得：2x×50+3x×70＝3100，
解得：x＝10，
∴2x＝20，3x＝30，
答：这学校购买甲种足球20个，乙种足球30个．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次方程是解题的关键．
12．（2023秋•老河口市期末）某商家预测一种商品能畅销市场，就用4000元购进一批这种商品，这种商品面市后果然供不应求，商家又用8800元购进了第二批这种商品，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元．该商家购进的两批商品的数量分别是多少件？
【分析】设该商家第一批购进x件该商品，则第二批购进2x件该商品，由题意：用4000元购进一批这种商品，这种商品面市后果然供不应求，商家又用8800元购进了第二批这种商品，但单价贵了4元．列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设该商家第一批购进x件该商品，则第二批购进2x件该商品，
根据题意，得，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝200．
答：该商家第一批购进100件，第二批购进200件该商品．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
13．（2023秋•渌口区期末）某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种玩具110个，购买A玩具与购买B玩具的费用相同．已知A玩具的单价是B玩具单价的1.2倍．
（1）求A、B两种玩具的单价各是多少？
（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种玩具共260个，已知A、B两种玩具的进价不变．求A种玩具最多能购进多少个？
【分析】（1）设B种玩具单价为x元，则A种玩具单价为1.2x元，由题意：某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种玩具110个，购买A玩具与购买B玩具的费用相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进A种玩具m个，则购进B种玩具（260﹣m）个，由题意：计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种玩具，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设B种玩具单价为x元，则A种玩具单价为1.2x元，
根据题意得：，
解得：x＝25，
经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝30．
答：A种玩具单价为30元，B种玩具单价为25元．
（2）设购进A种玩具m个，则购进B种玩具（260﹣m）个，
依题意得：30m+25（260﹣m）≤7000，
解得：m≤100，
答：A种玩具最多能购进100个．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
14．（2023秋•普兰店区期末）一项工程需要限期完成，若用甲工程队单独做正好如期完成，若用乙工程队单独做，需要逾期3天才能完成（比期限多3天）．现在甲、乙两工程队合做2天，余下由乙工程队单独做，刚好如期完成，求甲、乙两工程队单独完成工程各需要多少天？
【分析】关键描述语为：“甲、乙两工程队合做2天，余下由乙工程队单独做，刚好如期完成”；本题的等量关系为：甲2天的工作量+乙规定日期的工作量＝1，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：设规定日期为x天，则甲工程队单独完成要x天，乙工程队单独完成要（x+3）天，
根据题意，得+＝1．
解之得x＝6，
经检验，x＝6是原方程的解且符合题意．
所以x+3＝9．
答：甲工程队单独完成要6天，乙工程队单独完成要9天．
【点评】本题考查了分式方程的应用，根据工作量为“1”得到相应的等量关系是解决本题的关键．易错点是得到两人各自的工作时间．
15．（2023秋•民权县期末）某商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售，若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少4元，其用200元购进甲种牛奶的数量与用220元购进乙种牛奶的数量相同．
（1）求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的2倍少4件，该商场甲种牛奶的销售价格为每件45元，乙种牛奶的销售价格为每件50元，则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后，可使销售的总利润（利润＝售价﹣进价）等于364元，请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶各多少件？
【分析】（1）设乙种牛奶的进价为x元/件，则甲种牛奶的进价为（x﹣4）元/件，根据数量＝总价÷单价结合用200元购进甲种牛奶的数量与用220元购进乙种牛奶的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶（2y﹣4）件，根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙种牛奶的进价为x元/件，则甲种牛奶的进价为（x﹣4）元/件，
根据题意，得＝，
解得x＝44，
经检验，x＝44是原分式方程的解，且符合实际意义，
∴x﹣4＝40．
答：甲种牛奶的进价是40元/件，乙种牛奶的进价是44元/件；
（2）设购进乙种牛奶y件，则购进甲种牛奶（2y﹣4）件，
根据题意，得（45﹣40）（2y﹣4）+（50﹣44）y＝364，
解得y＝24，
∴2y﹣4＝44．
答：该商场购进甲种牛奶44件，乙种牛奶24件．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
题组C 培优拔尖练
一．选择题（共1小题）
1．（2023春•福田区校级期中）如果关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程﹣＝1有非负数解，则符合条件的所有整数m的和是（ ）
A．13B．15C．20D．22
【分析】根据不等式组的整数解的个数确定m的取值范围，再根据分式方程的非负数解确定m的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．
【解答】解：原不等式组的解集为﹣＜x≤，
因为不等式组有且仅有四个整数解，
所以0≤＜1，
解得2≤m＜7．
原分式方程的解为y＝，
因为分式方程有非负数解，
所以≥0，解得m＞1，且m≠5，因为m＝5时y＝2是原分式方程的增根．
所以符合条件的所有整数m的和是2+3+4+6＝15．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式组的整数解、分式方程的解，解决本题的关键是根据不等式组的整数解的个数确定m的取值范围．
二．填空题（共2小题）
2．（2022春•渝中区校级月考）某校在“3.12”植树节来临之际，特从初一、初二、高一、高二四个年级中抽调若干学生去植树．已知初一、初二抽调的人数之比为5：3，高一、高二抽调的人数之比为4：3．上午，初一、高一年级平均每人植树的棵树相同且大于3棵小于10棵，高二年级平均每人植树的棵树为初一、初二平均每人植树的棵树之和的2倍，上午四个年级平均每人植树的棵树总和大于30棵小于40棵，上午四个年级一共植树714棵．下午，初二年级因为要回校参加活动不再参与植树活动，高一、高二年级平均每人植树的棵树都有所降低，高一年级平均每人植树的棵树降低50%，高二年级平均每人植树的棵树降为原来的．若初一年级人数及人均植树的棵树不变，高一高二年级人数不变，且四个年级平均每人植树的棵树为整数，则四个年级全天一共植树 1224 棵．
【分析】通过设未知数，根据题意列方程，根据实际情况取整，解出答案．
【解答】解：设
∵上午，初一、高一年级平均每人植树的棵树相同且大于3棵小于10棵，
∴3＜m＜10．
∵上午四个年级平均每人植树的棵树总和大于30棵小于40棵，
∴30＜m+n+m+2（m+n）＜40，
即30＜4m+3n＜40，
∴20＜3m+3n＜37．
又∵下午四个年级平均每人植树的棵树为整数，
∴（m+n）为5的倍数，m为2的倍数，
∴m+n＝10．
∴m取4或6或8．
∵上午四个年级一共植树714棵，
∴5xm+3xn+4ym+3y×2（m+n）＝714，即2xm+30x+4ym+60y＝714．
当m＝4时，代入得38x+76y＝714，两边同时除以38，
x+2y不是整数，所以m＝4舍去；
当m＝6时，代入得42x+84y＝714，两边同时除以42，
x+2y＝17．
当m＝8时，代入得46x+92y＝714，两边同时除以46，
x+2y不是整数，所以m＝8舍去；
所以m＝6．
则下午一共植树5xm+4y×（1﹣50%）m+3y××2（m+n）＝30x+60y＝30（x+2y）＝30×17＝510．
∴四个年级全天一共植树714+510＝1224（棵）．
【点评】本题考查了方程和不等式相结合解决实际问题，要考虑实际取整，通过分类讨论达到解答的目的，综合性比较强．
3．（2020秋•滨州月考）若＝+++++，则a的值是 8 ．
【分析】由于（1﹣x）（1+x）满足平方差公式的结构特征，因此运用平方差公式先将方程右边的两个分式+通分，所得结果再与第三个分式通分，依此类推，直到方程的右边成为一个分式，然后去分母，得到关于a的方程，求出解即可．
【解答】解：∵+++++
＝++++
＝，
∴＝，
两边同乘1﹣x32，得8a＝64，
解得a＝8．
故答案为8．
【点评】本题主要考查了分式的加法运算及分式方程的解法．将方程的右边分步通分，使之最后变成为一个分式，是解题的关键．本题属于竞赛题型，有一定难度．
三．解答题（共10小题）
4．（2023秋•望城区期末）已知，关于x的分式方程＝1．
（1）当a＝2，b＝1时，求分式方程的解；
（2）当a＝1时，求b为何值时分式方程＝1无解；
（3）若a＝3b，且a、b为正整数，当分式方程＝1的解为整数时，求b的值．
【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；
（3）将a＝3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值．
【解答】解：（1）把a＝2，b＝1代入分式方程 中，得，
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
2（x﹣5）﹣（1﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
2x²+3x﹣13＝2x²﹣7x﹣15，
10x＝﹣2，
x＝，
检验：把x＝ 代入（2x+3）（x﹣5）≠0，所以原分式方程的解是x＝．
答：分式方程的解是x＝．
（2）把a＝1代入分式方程 得，
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
（x﹣5）﹣（b﹣x）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
x﹣5+2x2+3x﹣2bx﹣3b＝2x2﹣7x﹣15，
（11﹣2b）x＝3b﹣10，
①当11﹣2b＝0时，即，方程无解；
②当11﹣2b≠0时，，
时，分式方程无解，即，b不存在；
x＝5时，分式方程无解，即，b＝5．
综上所述，或b＝5时，分式方程 无解．
（3）把a＝3b代入分式方程 中，得：
方程两边同时乘以（2x+3）（x﹣5），
3b（x﹣5）+（x﹣b）（2x+3）＝（2x+3）（x﹣5），
整理得：（10+b）x＝18b﹣15，
∴，
∵，且b为正整数，x为整数，
∴10+b必为195的因数，10+b≥11，
∵195＝3×5×13，
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，
但1、3、5 小于11，不合题意，故10+b可以取13、15、39、65、195这五个数．
对应地，方程的解x为3、5、13、15、17，
由于x＝5为分式方程的增根，故应舍去．
对应地，b只可以取3、29、55、185，
所以满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
【点评】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握．
5．（2023秋•临河区期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？
（3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
【分析】（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x﹣2）元，根据题意建立方程求出其解就可以了．
（2）本题中“根据进两种商品的总数量不超过95个”可得出不等式；
（3）根据“使销售两种商品的总利润（利润＝售价﹣进价）超过380元”可以得出关于利润的不等式，组成不等式组后得出未知数的取值范围，然后根据取值的不同情况，列出不同的方案．
【解答】解：（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为（x﹣2）元，
根据题意，得＝，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的根，
每件甲种商品的进价为：10﹣2＝8．
答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元．
（2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品（3y﹣5）个．
由题意得：3y﹣5+y≤95．
解得y≤25．
答：商场最多购进乙商品25个；
（3）由（2）知，（12﹣8）（3y﹣5）+（15﹣10）y＞380，
解得：y＞23．
∵y为整数，y≤25，
∴y＝24或25．
∴共有2种方案．
方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个；
方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个．
【点评】本题考查了列分式方程解应用题与列不等式组解实际问题的运用，重点在于准确地找出相等关系与不等关系．
6．（2023秋•岳阳县期末）列分式方程解应用题
某校初二年级的甲、乙两个班的同学以班级为单位分别乘坐大巴车去某基地参加拓展活动，此基地距离该校90千米，甲班的甲车出发10分钟后，乙班的乙车才出发，为了比甲车早到5分钟，乙车的平均速度是甲车的平均速度的1.2倍，求乙车的平均速度．
【分析】设甲车的平均速度是x千米/时，则乙车的平均速度是1.2x千米/时，根据甲车行驶的时间＝乙车行驶的时间+小时路程方程，求解即可．
【解答】解：设甲车的平均速度是x千米/时，则乙车的平均速度是1.2x千米/时，
根据题意，得＝+，
解得x＝60．
经检验，x＝60是原方程的解，
此时1.2x＝72．
答：乙车的平均速度是72千米/时．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
7．（2023春•射洪市月考）已知关于x的分式方程+＝
（1）若方程的增根为x＝1，求m的值
（2）若方程有增根，求m的值
（3）若方程无解，求m的值．
【分析】方程去分母转化为整式方程，
（1）根据分式方程的增根为x＝1，求出m的值即可；
（2）根据分式方程有增根，确定出x的值，进而求出m的值；
（3）分m+1＝0与m+1≠0两种情况，根据分式方程无解，求出m的值即可．
【解答】解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），
去分母并整理得：2（x+2）+mx＝x﹣1，
移项合并得：（m+1）x＝﹣5，
（1）∵x＝1是分式方程的增根，
∴1+m＝﹣5，
解得：m＝﹣6；
（2）∵原分式方程有增根，
∴（x+2）（x﹣1）＝0，
解得：x＝﹣2或x＝1，
当x＝﹣2时，m＝1.5；当x＝1时，m＝﹣6；
（3）当m+1＝0时，该方程无解，此时m＝﹣1；
当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m＝﹣6或m＝，
综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5．
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
8．（2023秋•宜城市期末）有一项工作需要在规定日期内完成，如果甲单独做，刚好如期完成；如果乙单独做，就要超过规定日期3天．现在由甲、乙两人合做2天，剩下的工作由乙单独做，刚好如期完成，问规定日期是几天？
【分析】求的是原计划的工效，工作时间明显，一定是根据工作总量来列等量关系．等量关系为：甲乙合作2天的工作量+乙（规定日期﹣2）天的工作量＝1．
【解答】解：设规定日期是x天，则甲独做需x天完成，乙独做需（x+3）天完成．
依题意列方程：．
解得：x＝6．
经检验：x＝6是原方程的解．
答：规定日期是6天．
【点评】应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
9．（2023秋•甘南县期末）列方程解应用题：
为了提升阅读速度，某中学开设了“高效阅读”课．小敏经过一段时间的训练，发现自己现在每分钟阅读的字数比原来的2倍还多300字，现在读9100字的文章与原来读3500字的文章所用的时间相同．求小敏原来每分钟阅读的字数．
【分析】设小敏原来每分钟阅读的字数是x字，根据现在读9100字的文章与原来读3500字的文章所用的时间相同，可列方程求解．
【解答】解：设小敏原来每分钟阅读的字数是x字，
可得：＝，
解得：x＝500，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：小敏原来每分钟阅读500个字．
【点评】本题考查分式方程的应用，关键根据现在读9100字的文章与原来读3500字的文章所用的时间相同．以时间作为等量关系列方程求解．
10．（2023秋•饶平县期末）在汕头市“创文”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担．已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？
（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了a天完成，乙做另一部分用了y天完成．若乙工程队还有其它工作任务，最多只能做52天．求甲工程队至少应做多少天？
【分析】（1）设乙工程队单独完成这项工作需要x天，由题意列出分式方程，求出x的值即可；
（2）首先根据题意列出a和y的关系式，进而求出a的取值范围，结合a和y都是正整数，即可求出a的值．
【解答】解：（1）设乙工程队单独完成这项工作需要x天，
由题意得：+（+）×36＝1，
解得：x＝80，
经检验x＝80是原方程的解．
答：乙工程队单独做需要80天完成．
（2）因为甲工程队做其中一部分用了a天，乙工程队做另一部分用了y天，
依题意得：+＝1，解得：
y＝80﹣a，
∵y≤52，
∴80﹣a≤52，
解得：a≥42，
答：甲工程队至少应做42天．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量＝工作效率×工作时间．
11．（2023秋•上思县期末）为改善南宁市的交通现状，市政府决定修建地铁，甲、乙两工程队承包地铁1号线的某段修建工作，从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的3倍；若由甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作10天完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为15.6万元，乙队每天的施工费用为18.4万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需增加多少万元？
【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工作所需天数是3x天，则甲队的工效为，乙队的工效为，由已知得：甲队工作了30天，乙队工作了10天完成，列方程得：+＝1，解出即可，要检验；
（2）根据（1）中所求得出甲、乙合作需要的天数，进而求出总费用，即可得出答案．
【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需x天，则甲队单独完成这项工作所需天数是3x天，
依题意得：+＝1，
解得x＝20，
检验，当x＝20时，3x≠0，
所以原方程的解为x＝20．
所以3x＝3×20＝60（天）．
答：乙队单独完成这项工程需20天，则甲队单独完成这项工作所需天数是60天；
（2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，
则有y（+）＝1，
解得y＝15．
需要施工的费用：15×（15.6+18.4）＝510（万元）．
∵510＞500，
∴工程预算的费用不够用，需要追加预算10万元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，属于工程问题，明确三个量：工作总量、工作效率、工作时间，一般情况下，根据已知设出工作时间，根据题意表示出工效，找等量关系列分式方程，本题表示等量关系的语言叙述为：“甲队先做20天，剩下的工程再由甲、乙两队合作10天完成”．
12．（2020秋•庆云县校级期末）进入防汛期后，某地驻军在河堤加固的工程中出色完成任务，下面是记者与驻军工程指挥官的对话：记者：“你们是用9天时间完成4800米长的大坝加固任务的？”驻军指挥官：“我们加固600米后，采用新的加固模式，这样每天加固长度是原来的2倍．”通过上面的对话，请你求出该驻军原来每天加固河堤的米数．
【分析】设原来每天加固x米，则采用新的加固模式后每天加固2x米，由时间关系可得出关于x的分式方程，解此方程可得x的值，即该地驻军原来每天加固的距离．
【解答】解：设原来每天加固x米，则采用新的加固模式后每天加固2x米，前600米，每天加固x米，则用天数＝，剩下的（4800﹣600）米，每天加固2x，用的天数是，而总天数是9天．所以可列方程如下：+＝9，
解这个方程得：x＝300，
经检验x＝300是原方程的根，
答：该地驻军原来每天加固300米．
【点评】本题主要考查了分式方程在工程问题中的运用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
13．（2023春•南浔区期末）某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶．甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）．
（1）扶梯露在外面的部分有多少级？
（2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲、乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？
【分析】（1）如果扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为2a级，扶梯每分钟向上运动b级．题中有两个等量关系，甲走24级的时间等于扶梯走（2a+b）级的时间；乙走16级的时间等于扶梯走（a+b）级的时间，据此列出方程组，求出x的值即可；
（2）如果设甲第一次追上乙时走过自动扶梯m遍，走过楼梯n遍，那么乙走过自动扶梯（m﹣1）遍、走过楼梯（n﹣1）遍．根据两人所走的时间相等，列出方程．将（1）中求得的y与x的关系式y＝2x代入，可得6n+m＝16．由已知条件可知m、n中一定有一个是正整数，且0≤m﹣n≤1．通过试验可以求出m，n的具体值，进而求出结果．
【解答】解：（1）设扶梯露在外面的部分有x级，乙每分钟走动的级数为a级，则甲每分钟走动的级数为2a级，扶梯每分钟向上运动b级．
由题意得：，
①÷②得：，
整理得：b＝2a，
代入②得x＝48．
答：扶梯露在外面的部分有48级；
（2）设追上乙时，甲扶梯走了m遍，楼梯走了n遍，则乙走扶梯（m﹣1）遍，走楼梯（n﹣1）遍．
由题意得：，
整理得：m+6n＝16，
这里m，n中必有一个是整数，且0≤m﹣n≤1．
①若m为整数，则，∴（不合，舍去），（不合，舍去）（符合条件）（不合，舍去）（不合，以后均不合，舍去）
②若n为整数，m＝16﹣6n，∴，这些均不符合要求，∴，此时，甲在楼梯上．
他已走动的级数是（级）．
【点评】本题考查分式方程在行程问题中的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题属于竞赛题型，有一定难度．难点在于自动扶梯在上升，具有一定的速度，同时甲、乙也在上楼梯，变化量较多．解题时要善于抓住不变量，只有不变量才是列方程的依据．另外，本题求解时设的未知数x、y，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题．
15.3分式方程
甲乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度？
聪聪：＝
明明：﹣＝20
年级
初一
初二
高一
高二
抽调植树的人数（人）
5x
3x
4y
3y
上午平均每人植树棵数（棵）
m
n
m
2（m+n）
下午平均每人植树棵数（棵）
m
0
（1﹣50%）m
×2（m+n）
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