北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第17讲 平行四边形的性质（原卷版+解析）

这是一份北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第17讲 平行四边形的性质（原卷版+解析），共91页。试卷主要包含了比为多少？等内容，欢迎下载使用。
1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形性质定理、等腰地形的性质与判定。
2. 会应用平行四边形的性质定理和等腰地形的性质与判定解决相关的几何证明和计算问题．
知识精讲
知识点01 平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
【知识拓展】（2022春•东台市月考）如图，在▱ABCD中，点E是BC上一点，过点E作直线EF，交AD与点F，分别交AB、CD的延长线于点G、H，且EG＝FH．求证：BE＝DF．
【即学即练1】（2022•宝鸡模拟）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝3，AC＝8，则BD的长是（ ）
A．8B．9C．10D．12
【即学即练2】（2022•乐清市一模）如图，在▱ABCD中，AB＝BE，∠C＝70°，则∠BAE的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【即学即练3】（2022春•睢宁县月考）▱ABCD的对角线相交于点O，BD＝14，AC＝10，则BC的长可以是（ ）
A．8B．20C．14D．22
【即学即练4】（2022•陕西模拟）如图，AC为▱ABCD的对角线，点E、F在AC上，且AE＝CF，求证：DE＝BF．
知识点02 等腰梯形的性质
（1）性质：
①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；
②等腰梯形同一底上的两个角相等；
③等腰梯形的两条对角线相等．
（2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质．
【知识拓展】（2023春•灞桥区校级月考）等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线把三角形周长分成两部分的差为4cm，则这个三角形的腰长是（ ）
A．6cmB．14cmC．4cm或14cmD．6cm或14cm
【即学即练1】（2023春•罗湖区校级期末）一个等腰梯形的两底之差为12，高为6，则等腰梯形的锐角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【即学即练2】（2022•祁阳县校级模拟）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，梯形ABCD的周长为26，BE＝4，则△DEC的周长为 ．
【即学即练3】（2016•冷水江市校级模拟）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，延长CB到E，使BE＝AD，连接AE、AC．
（1）求证：△AEB≌△CAD；
（2）若AD＝DC，∠BAD＝100°，求∠E的大小．
【即学即练4】（2017春•岳池县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t，求：
（1）当t为何值时，PQ∥CD？
（2）当t为何值时，PQ＝CD？
知识点03 等腰梯形的判定
（1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；
（2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．
（3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形．
判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系．
注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用．
【知识拓展】（2020•广水市模拟）从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，则这个四边形是等腰梯形的概率是（ ）
A．1B．C．D．0
【即学即练1】（2019•涪城区校级开学）如图，在梯形ABCD中AD∥BC，E是BC中点，AE＝DE，求证：梯形ABCD是等腰梯形．
【即学即练2】（2023春•海淀区校级期中）在小学时，我们知道只有一组对边平行的四边形叫做梯形．梯形中，平行的两边叫做梯形的底边，较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底；不平行的两边叫做梯形的腰．特殊地，两腰相等的梯形叫做等腰梯形，如图，在四边形ABCD中，若AB∥CD，AD＝BC．则四边形ABCD是等腰梯形．
请你回答下面的问题：
（1）请你用文字语言写出等腰梯形的两个性质（定义除外）；
（2）请从你写出的性质中，选择一个进行严格的证明（写出已知、求证，并证明）．
能力拓展
一．选择题（共3小题）
1．（2018•顺庆区校级自主招生）为“弘扬传统文化，诵读国学经典”，南充高中准备选出1065名学生，排成一个n排的等腰梯形阵诵读国学，且这n排学生数按每排都比前一排多一人的规律排列，则当n取得最大值时，排在这个等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是（ ）
A．126B．127C．128D．129
2．（2020•巴南区自主招生）如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线AC上，且BE⊥AB，若∠ACD＝20°，则∠CEB的度数是（ ）
A．95°B．100°C．110°D．115°
3．（2020•和平区校级自主招生）如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，AF交DE于点G．若▱ABCD面积为20，则四边形BEGF的面积为（ ）
A．B．4C．D．3
二．解答题（共6小题）
4．（2023•黄州区校级自主招生）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝6，∠ABC＝60°，E为BC的中点，
（1）求∠CED；
（2）求DE的长．
5．（2020•徐汇区校级自主招生）定义：黄金梯形是指一条对角线能将自己分为两个等腰三角形的等腰梯形，则黄金梯形的上下底（上底小于下底）比为多少？
6．（2020•渝中区校级自主招生）在平行四边形ABCD中，AC＝BC，BE⊥AC分别交直线AC、AD于点E、F．点G是BC上一点，连接EG，过点G作GQ⊥AB分别交BF、AB于点P、Q．
（1）如图1，若AB＝AC，BE＝3，求AF的长度．
（2）如图2，若PG＝2BQ，请探究EG、BG、CG的数量关系，并说明理由．
7．（2020•九龙坡区自主招生）如图，在平行四边形ABCD中，连接DB．过D点作DE⊥AB于点E，过BE上一点F作FG⊥AD于点G，交DE于点P；过F作FH⊥DB于点H，连接EH．
（1）若DE＝6，DC＝10，AD＝2，求BE的长．
（2）若AE＝PE，求证：DH+HF＝EH．
8．（2018春•思明区校级月考）研究一个几何图形，我们经常从这个图形的定义、性质、判定三个方面进行研究．下面我们来研究等腰梯形．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，且AB与DC不平行，则四边形ABCD是等腰梯形．其中∠BAD与∠CDA都以AD为角的一边，所以∠BAD与∠CDA称为同一底上的角．
（1）用文字语言为等腰梯形下定义，并直接写出等腰梯形的性质（写二条即可）；
（2）除了定义，请再探究出一种等腰梯形的判定方法，并证明．
9．如图所示，在平行四边形ABCD中，延长DC到点E，使BE＝BC；
（1）四边形ABED是否为等腰梯形，请说明理由；
（2）若∠D＝60°，AB＝3，过点C作CF⊥BE，垂足为F，且CF＝，求DE的长及平行四边形ABCD的面积．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共5小题）
1．（2023秋•栖霞市期末）在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A．1：2：3：4B．1：2：2：1C．1：1：2：2D．2：1：2：1
2．（2023春•榆阳区期末）关于平行四边形，下列说法正确的是（ ）
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．是轴对称图形，但不是中心对称图形
C．不是轴对称图形，但是中心对称图形
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形
3．（2023秋•芙蓉区校级期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BEA＝30°，则∠A的大小为（ ）
A．150°B．130°C．120°D．100°
4．（2023秋•让胡路区校级期末）在▱ABCD中，AC＝24，BD＝38，AB＝m，则m的取值范围是（ ）
A．24＜m＜39B．14＜m＜62C．7＜m＜31D．7＜m＜12
5．（2022春•江都区月考）如图，点P为▱ABCD外一点，连接PA、PB、PC、PD，若△APB的面积为18，△APD的面积为5，则△APC的面积为（ ）
A．10B．13C．18D．20
二．填空题（共2小题）
6．（2023秋•让胡路区校级期末）在平行四边形ABCD中，点A关于对角线的交点O的对称点 ．
7．（2022春•海陵区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0）、B（0，﹣4），点P是y轴上一动点，连接AP并延长至点D，使PD＝AP，以AB、AD为邻边作▱ABCD，连接OC，当OC长最小时，则点P的坐标是 ．
三．解答题（共6小题）
8．（2023秋•垦利区期末）如图，点O为▱ABCD的对角线BD的中点，经过点O的直线分别交BA的延长线，DC的延长线于点E，F，求证：AE＝CF．
9．（2022春•海陵区校级月考）在①AE＝CF；②OE＝OF；③DE∥BF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．
已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上， （填写序号）．
求证：DE＝BF．
10．（2022•新城区校级二模）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O．点E、F分别为OD、OB的中点，连接CE、AF．
求证：CE＝AF．
11．（2021秋•钢城区期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，BD⊥AD，AB＝10，AD＝8，求OB的长度及平行四边形ABCD的面积．
12．（2016•桐城市模拟）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上一点，DE＝BC．判断△ACE的形状，并说明理由．
13．（2009秋•南长区期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，EF∥AB交BC于点F，EF＝EC，连接DF．
（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；
（2）若AD＝1，BC＝3，DC＝，试判断△DCF的形状；
（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．
题组B 能力提升练
一．选择题（共2小题）
1．（2022春•丹徒区月考）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，若BE＝4，CF＝3，EF＝1，求AB为（ ）
A．3B．2.5C．3.5D．4
2．（2022•越秀区校级开学）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝，∠AOB＝60°，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+2EF的值为（ ）
A．+1B．C．D．
二．填空题（共5小题）
3．（2022春•高港区校级月考）在▱ABCD中，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，且相邻两点间的距离相等，则的值为 ．
4．（2023春•徐汇区校级期中）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝8，M是AB的中点，若MD⊥CD，则梯形的面积为 ．
5．（2023春•普陀区期末）已知等腰梯形一个底角是60°，它的两底分别是6和10，那么它的腰长是 ．
6．（2023春•嘉定区期末）如果等腰梯形的一个底角为120°，这个等腰梯形的上、下底长分别为6和10，那么这个等腰梯形的腰长为 ．
7．给出一个梯形ABCD，AD∥BC，下面四个论断：①∠A＝∠D；②AB＝CD；③∠B＝∠C；④AC＝BD．其中能判断梯形ABCD为等腰梯形的是 （填序号）．
三．解答题（共11小题）
8．（2022•灞桥区校级三模）如图，平行四边形ABCD中，BD为对角线，过BD的中点O作直线EF，分别交BA、DC的延长线于点E、F．
求证：AE＝CF．
9．（2023秋•莱州市期末）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．
求证：△AED≌△CFB．
10．（2023秋•市北区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：△BOE≌△COD；
（2）若BC平分∠DBE，请判断并证明四边形BECD的形状．
11．（2022•济南一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC的中点，连接AE交DC延长线于点F．求证：DC＝CF．
12．（2020•徐汇区校级自主招生）定义：黄金梯形是指一条对角线能将自己分为两个等腰三角形的等腰梯形，则黄金梯形的上下底（上底小于下底）比为多少？
13．（2019秋•茂名期中）有一个四棱柱．
（1）若它的底面边长都是5cm，所有侧面的面积和是40cm2，那么它的侧棱长是多少？
（2）若它的所有棱都相等，且所有棱长之和为60cm，那么它的形状是什么？它的体积是多少？
（3）若它的底面是等腰梯形，上下底边长分别为2cm，8cm，腰长为6cm，高是4cm，它的侧棱长是周长的一半，求该四棱柱的体积．
14．（2019春•长宁区期末）已知：如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM的中点，AM＝AC，AE∥BC．
求证：四边形EBCA是等腰梯形．
15．（2018春•青浦区校级月考）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别为两个底角的平分线．
求证：四边形BCDE是等腰梯形．
16．（2015•大庆模拟）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝14cm，AD＝18cm，BC＝21cm，点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/秒的速度移动，点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/秒的速度移动．如果P、Q分别从A、C同时出发．设移动的时间为t．
求：（1）t为何值时，梯形PQCD是等腰梯形；
（2）t为何值时，AB的中点E到线段PQ的距离为7cm．
17．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，在▱ABCD中，E、F分别为AB、CD边上两点，FB平分∠EFC．
（1）如图1，若AE＝2，EF＝5，求CD的长；
（2）如图2，∠BCD＝45°，BC⊥BD，若G为EF上一点，且∠GBF＝∠EFD，求证：FG+2FD＝AB．
18．（2023秋•锦江区期末）在▱ABCD中，E是DC的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：BC＝CF；
（2）点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且∠DAF＝∠GAF．若CG＝2，GF＝5，求AH的长．
题组C 培优拔尖练
一．选择题（共3小题）
1．（2023春•汉阳区月考）在面积为24的▱ABCD中，AB＝4，BC＝6．过点A作AE⊥直线BC于E，作AF⊥直线CD于F，∠A＞∠B，则CE+CF的值为（ ）
A．B．
C．或D．
2．（2023春•河源期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S▱ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝S△AOD，其中成立的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2023春•龙岗区期末）如图在▱ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG．则△BEG的面积为（ ）
A．16B．14C．8D．7
二．填空题（共3小题）
4．（2023春•贵阳期末）如图所示，点O为▱ABCD内一点，连接BD，OA，OB，OC，OD，已知△BCO的面积为3，△ABO的面积为5，则阴影部分的面积是 ．
5．（2023春•沙坪坝区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝ ．
6．（2023春•鄞州区校级期中）如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝CD，AD＝，E为CD中点，连接AE，且AE＝2，∠DAE＝30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF的值为 ．
三．解答题（共7小题）
7．（2023春•黄陂区期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB交CD于E，连接BE，∠AEB＝90°．
（1）求证：E为CD的中点；
（2）点F为AE的中点，连接CF，交BE于点G，求的值．
8．（2023春•青县期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE＝CF．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）连接DE、BF，若BD⊥EF，试探究四边形EBFD的形状，并对结论给予证明．
9．（2020春•北碚区校级月考）在平行四边形ABCD中，AC⊥CD，E为BC中点，点M在线段BE上，连接AM，在BC下方有一点N，满足∠CAD＝∠BCN，连接MN．
（1）若∠BCN＝60°，AE＝5，求△ABE的面积；
（2）若MA＝MN，MC＝EA+CN，求证：AB＝AE．
10．（2019秋•沙坪坝区校级期中）如图所示，平行四边形ABCD和平行四边形CDEF有公共边CD，边AB和EF在同一条直线上，AC⊥CD且AC＝AF，过点A作AH⊥BC交CF于点G，交BC于点H，连接EG．
（1）若AE＝2，CD＝5，求△BCF的周长；
（2）求证：BC＝AG+EG．
11．（2018•北碚区校级模拟）如图1，在平行四边形ABCD中，E，F分别在边AD，AB上，连接CE，CF，且满足∠DCE＝∠BCF，BF＝DE，∠A＝60°，连接EF．
（1）若EF＝2，求△AEF的面积；
（2）如图2，取CE的中点P，连接DP，PF，DF，求证：DP⊥PF．
12．（2013秋•单县校级月考）如图，已知AB∥CE，DB平分∠ADC，AE∥BD，∠C＝2∠E，求证：四边形ABCD是等腰梯形．
13．（2012•邵东县校级一模）如图：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝5，AD＝6，BC＝12，动点P从点D出发沿DC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，动点Q从点C出发沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动．两个点同时出发，当点P到达C点时，点Q随之停止运动．求：
（1）梯形ABCD的面积；
（2）当PQ∥AB时，点P离开点D的时间（秒）；
（3）当P、Q、C这三个点构成直角三角形时，点P离开点D多长时间？
第17讲 平行四边形的性质
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1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形性质定理、等腰地形的性质与判定。
2. 会应用平行四边形的性质定理和等腰地形的性质与判定解决相关的几何证明和计算问题．
知识精讲
知识点01 平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
【知识拓展】（2022春•东台市月考）如图，在▱ABCD中，点E是BC上一点，过点E作直线EF，交AD与点F，分别交AB、CD的延长线于点G、H，且EG＝FH．求证：BE＝DF．
【分析】由“AAS”可证△BEG≌△DFH，可得BE＝DF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠E＝∠F，∠EBG＝∠FDH，
在△BEG和△DFH中，
，
∴△BEG≌△DFH（AAS）．
∴BE＝DF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
【即学即练1】（2022•宝鸡模拟）如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝3，AC＝8，则BD的长是（ ）
A．8B．9C．10D．12
【分析】由平行四边形的性质得出OB＝OD，OA＝OC＝AC＝4，由AC⊥AB，根据勾股定理求出OB，即可得出BD的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC＝AC＝4，
∵AB⊥AC，
∴由勾股定理得：OB＝＝＝5，
∴BD＝2OB＝10．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理求出OB是解决问题的关键．
【即学即练2】（2022•乐清市一模）如图，在▱ABCD中，AB＝BE，∠C＝70°，则∠BAE的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【分析】由平行四边形的性质得∠BAD＝∠C＝70°，AD∥BC，则∠BEA＝∠DAE，再由等腰三角形的性质得∠BEA＝∠BAE，则∠BAE＝∠DAE＝∠BAD，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠C＝70°，AD∥BC，
∴∠BEA＝∠DAE，
∵AB＝BE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝×70°＝35°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【即学即练3】（2022春•睢宁县月考）▱ABCD的对角线相交于点O，BD＝14，AC＝10，则BC的长可以是（ ）
A．8B．20C．14D．22
【分析】根据平行四边形的性质得出BO＝OD＝7，AO＝CO＝5，进而利用三角形三边关系解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD＝7，AO＝CO＝5，
∴7﹣5＜BC＜7+5，
即2＜BC＜12，
故选：A．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对角线平分解答．
【即学即练4】（2022•陕西模拟）如图，AC为▱ABCD的对角线，点E、F在AC上，且AE＝CF，求证：DE＝BF．
【分析】由平行四边形的性质得AD＝CB，AD∥BC，则∠DAE＝∠BCF，再证△ADE≌△CBF（SAS），即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE＝BF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明△ADE≌△CBF是解题的关键．
知识点02 等腰梯形的性质
（1）性质：
①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；
②等腰梯形同一底上的两个角相等；
③等腰梯形的两条对角线相等．
（2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质．
【知识拓展】（2023春•灞桥区校级月考）等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线把三角形周长分成两部分的差为4cm，则这个三角形的腰长是（ ）
A．6cmB．14cmC．4cm或14cmD．6cm或14cm
【分析】两部分之差可以是底边与腰之差，也可能是腰与底边之差，解答时应注意．
【解答】解：如图，
BC＝10，由题意一腰上的中线把三角形周长分成两部分的差为4 cm
所以AC+AD﹣BD﹣BC＝4，即AC＝14cm
也有可能是BD+BC﹣AC﹣AD＝4，解得AC＝6cm
故选：D．
【点评】理解题中两部分之差的两种情况，解题时应全面考虑．
【即学即练1】（2023春•罗湖区校级期末）一个等腰梯形的两底之差为12，高为6，则等腰梯形的锐角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】作梯形的两条高线，证明△ABE≌△DCF，则有BE＝FC，然后判断△ABE为等腰直角三角形求解．
【解答】解：如图，
作AE⊥BC、DF⊥BC，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，BC﹣AD＝12，AE＝6，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AB＝DC，∠B＝∠C，
∵AD∥BC，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AEFD为矩形，
∴AE＝DF，AD＝EF，
∴△ABE≌△DCF，
∴BE＝FC，
∴BC﹣AD＝BC﹣EF＝2BE＝12，
∴BE＝6，
∵AE＝6，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°．
故选：B．
【点评】根据等腰梯形的性质，结合全等三角形求解．
【即学即练2】（2022•祁阳县校级模拟）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，梯形ABCD的周长为26，BE＝4，则△DEC的周长为 18 ．
【分析】求出DC＝AB，得出平行四边形ABED，求出BE＝AD＝4，DE＝AB，根据梯形和三角形的周长公式即可得到结论．
【解答】解：∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AD＝BE＝4，AB＝DE，
∴CE＝BC﹣BE＝BC﹣4，
∴△DEC的周长是DE+EC+DC＝AB+BC+CD+AD﹣AD﹣BE＝26﹣4﹣4＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查了等腰梯形，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
【即学即练3】（2016•冷水江市校级模拟）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，延长CB到E，使BE＝AD，连接AE、AC．
（1）求证：△AEB≌△CAD；
（2）若AD＝DC，∠BAD＝100°，求∠E的大小．
【分析】（1）要证明两个三角形全等，根据题目中的条件可以得到AB＝CD，BE＝AD，再根据题目中的条件可以得到∠ABE和∠D的关系，从而可以解答本题；
（2）根据第一问中三角形全等和题目中的条件，可以求出∠E的度数．
【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，
∴∠ABC＝∠BCD，∠D+∠BCD＝180°，
∴∠ABC+∠D＝180°，
∵∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝∠D，
∵AB＝CD，BE＝AD，
∴△AEB≌△CAD（SAS）；
（2）∵△AEB≌△CAD，AD＝DC，
∴AB＝BE，
∴∠E＝∠EAB，
∵AB＝CD，∠BAD＝100°，
∴∠D＝∠BAD＝100°，
∴∠ABE＝100°，
∴∠E＝．
【点评】本题考查等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
【即学即练4】（2017春•岳池县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t，求：
（1）当t为何值时，PQ∥CD？
（2）当t为何值时，PQ＝CD？
【分析】（1）由当PQ∥CD时，四边形PQCD为平行四边形，可得方程24﹣t＝3t，解此方程即可求得答案；
（2）根据PQ＝CD，一种情况是：四边形PQCD为平行四边形，可得方程24﹣t＝3t，一种情况是：四边形PQCD为等腰梯形，可求得当QC﹣PD＝QC﹣EF＝QF+EC＝2CE，即3t＝（24﹣t）+4时，四边形PQCD为等腰梯形，解此方程即可求得答案．
【解答】解：根据题意得：PA＝t，CQ＝3t，则PD＝AD﹣PA＝24﹣t，
（1）∵AD∥BC，即PD∥CQ，
∴当PD＝CQ时，四边形PQCD为平行四边形，
∴PQ∥CD，
即24﹣t＝3t，
解得：t＝6，
即当t＝6时，PQ∥CD；
（2）若要PQ＝CD，分为两种情况：
①当四边形PQCD为平行四边形时，
即PD＝CQ
24﹣t＝3t，
解得：t＝6，
②当四边形PQCD为等腰梯形时，
即CQ＝PD+2（BC﹣AD）
3t＝24﹣t+4
解得：t＝7，
即当t＝6或t＝7时，PQ＝CD．
【点评】此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
知识点03 等腰梯形的判定
（1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；
（2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．
（3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形．
判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系．
注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用．
【知识拓展】（2020•广水市模拟）从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，则这个四边形是等腰梯形的概率是（ ）
A．1B．C．D．0
【分析】先得出从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，一共有四种情况，再证明这四种都是等腰梯形，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：如图，从正五边形ABCDE的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，可得到四边形BCDE，CDEA，DEAB，EABC，ABCD，一共四种情况．
连接BE．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BC＝DE＝CD＝AB＝AE，
根据多边形的内角和（n﹣2）×180得：
∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠AED＝＝108°，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣∠A）＝36°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝72°，
∴∠C+∠CBE＝180°，
∴BE∥CD，
∴四边形BCDE是等腰梯形；
同理，可证四边形CDEA，DEAB，EABC，ABCD也都是等腰梯形，
∴从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，则这个四边形是等腰梯形的概率是＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，等腰梯形的判定，概率公式，多边形的内角和定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
【即学即练1】（2019•涪城区校级开学）如图，在梯形ABCD中AD∥BC，E是BC中点，AE＝DE，求证：梯形ABCD是等腰梯形．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠1＝∠2，根据平行线的性质和等量代换得到∠3＝∠4，证明△ABE≌△DCE，根据全等三角形的性质得到AB＝DC，根据等腰梯形的概念证明结论．
【解答】证明：∵AE＝DE，
∴∠1＝∠2，
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∴∠3＝∠4，
∵E是BC中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AB＝DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形．
【点评】本题考查的是等腰梯形的判定、全等三角形的判定和性质，掌握等腰梯形的概念、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【即学即练2】（2023春•海淀区校级期中）在小学时，我们知道只有一组对边平行的四边形叫做梯形．梯形中，平行的两边叫做梯形的底边，较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底；不平行的两边叫做梯形的腰．特殊地，两腰相等的梯形叫做等腰梯形，如图，在四边形ABCD中，若AB∥CD，AD＝BC．则四边形ABCD是等腰梯形．
请你回答下面的问题：
（1）请你用文字语言写出等腰梯形的两个性质（定义除外）；
（2）请从你写出的性质中，选择一个进行严格的证明（写出已知、求证，并证明）．
【分析】（1）根据等腰梯形的性质即可得到结论；
（2）性质1：如图，过点C作CE∥AD交AB于点E．根据平行四边形的判定和性质得到AD＝CE且∠A＝∠CEB，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，根据平行线的性质得到∠BCD＝∠D．
性质2：根据梯形的性质1得到∠DAB＝∠CBA，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）性质1：等腰梯形同一底边上的两个角相等；
性质2：等腰梯形的两条对角线相等；
（2）性质1：等腰梯形同一底边上的两个角相等．
已知：如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，
求证：∠A＝∠B，∠C＝∠BCD．
证明：如图，过点C作CE∥AD交AB于点E．
∵AE∥CD，AD∥CE，
∴四边形AECD是平行四边形．
∴AD＝CE且∠A＝∠CEB，
∵AD＝BC，
∴CE＝BC，
∴∠CEB＝∠B，
∴∠A＝∠B，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝∠D．
性质2：等腰梯形的两条对角线相等，
已知：如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，连接对角线AC，BD，
求证：AC＝BD．
证明：∵等腰梯形ABCD，AB∥CD，AD＝BC，
∴∠DAB＝∠CBA，
∵在△DAB和△CBA中，
∴△DAB≌△CBA（SAS），
∴BD＝AC．
【点评】本题考查了等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
能力拓展
一．选择题（共3小题）
1．（2018•顺庆区校级自主招生）为“弘扬传统文化，诵读国学经典”，南充高中准备选出1065名学生，排成一个n排的等腰梯形阵诵读国学，且这n排学生数按每排都比前一排多一人的规律排列，则当n取得最大值时，排在这个等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是（ ）
A．126B．127C．128D．129
【分析】根据题意，可设第一排有a名学生，则第n排有a+n﹣1，则可求和得：＝1065；又由a与n为正整数，n取到最大值，即可求得a与n的值，求得等腰梯形的周长即可．
【解答】解：设第一排有a名学生，则第n排有a+n﹣1，
∴＝1065，
∵a与n为正整数，n取到最大值，
∴a＝21，n＝30，
∴排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是：a+a+n﹣1+n﹣2+n﹣2＝127．
故选：B．
【点评】此题考查了梯形的面积的求解方法与梯形的周长的求解方法．解此题的关键是要注意所有量都为整数．解二元一次方程即可．注意方程思想的应用．
2．（2020•巴南区自主招生）如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线AC上，且BE⊥AB，若∠ACD＝20°，则∠CEB的度数是（ ）
A．95°B．100°C．110°D．115°
【分析】根据平行四边形的性质得出∠CAB＝20°，利用互余和互补解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵∠ACD＝20°，
∴∠CAB＝20°，
∵BE⊥AB，
∴∠AEB＝90°﹣20°＝70°，
∴∠CEB＝180°﹣70°＝110°，
故选：C．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出∠CAB＝20°解答．
3．（2020•和平区校级自主招生）如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，AF交DE于点G．若▱ABCD面积为20，则四边形BEGF的面积为（ ）
A．B．4C．D．3
【分析】延长DC，AF交于点M，通过证明△ABF≌△MCF，E，F分别为边AB，BC的中点，可得AE＝DM，再通过证明△AEG∽△MDG可得＝＝，再通过三角形的面积比求出S四边形BEGF＝S△ADG，从而求解．
【解答】解：延长DC，AF交于点M，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BF，
∵DM∥AB，
∴∠M＝∠FAB，
在△ABF和△MCF中，
，
∴△ABF≌△MCF（AAS），
∴AB＝CM＝CD，
∵E为AB中点，
∴AE＝AB＝DM，
∵DM∥AB，
∴△AEG∽△MDG，
∵＝＝，
∴S△AEG：S△ADG＝1：4，
∵S△ADE＝S△ABF＝S平行四边形ABCD＝5，
∴S△AEG＝S△ADG＝S△ADE＝1，
∴S△ADG+S△AEG＝S四边形BEGF+S△AEG，
∴S四边形BEGF＝S△ADG＝S△ADE﹣S△AEG＝5﹣1＝4．
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形与相似三角形的结合，解题关键是掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定，通过添加辅助线求解．
二．解答题（共6小题）
4．（2023•黄州区校级自主招生）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝6，∠ABC＝60°，E为BC的中点，
（1）求∠CED；
（2）求DE的长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝6，∠C＝120°，CD＝AB＝3，而CE＝3，所以CE＝CD，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠CED的度数；
（2）作CH⊥DE于H，如图，利用等腰三角形的性质得到EH＝DH，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出EH，从而得到DE的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD＝6，∠C＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°，CD＝AB＝3，
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE＝3，
∴CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝（180°﹣∠C）＝（180°﹣120°）＝30°；
（2）作CH⊥DE于H，如图，
∵CE＝CD，
∴EH＝DH，
在Rt△CEH中，CH＝CE＝，
∴EH＝CH＝，
∴DE＝2EH＝3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的性质．
5．（2020•徐汇区校级自主招生）定义：黄金梯形是指一条对角线能将自己分为两个等腰三角形的等腰梯形，则黄金梯形的上下底（上底小于下底）比为多少？
【分析】托勒密（Ptlemy）定理：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．
【解答】解：等腰梯形内接圆于圆，由托勒密定理得：a2+ab＝b2，
所以（）2+﹣1＝0，
解得＝或＝（舍去）．
即黄金梯形的上下底（上底小于下底）比为：．
【点评】本题主要考查了等腰梯形的性质，等腰三角形的性质，重点是根据黄金梯形的定义提取相关信息，难度不大．
6．（2020•渝中区校级自主招生）在平行四边形ABCD中，AC＝BC，BE⊥AC分别交直线AC、AD于点E、F．点G是BC上一点，连接EG，过点G作GQ⊥AB分别交BF、AB于点P、Q．
（1）如图1，若AB＝AC，BE＝3，求AF的长度．
（2）如图2，若PG＝2BQ，请探究EG、BG、CG的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）设AB＝6x，AC＝5x，运用勾股定理建立方程可求得：x＝，AE＝x＝，CE＝x＝，BC＝5×＝，再由AD∥BC，可得△AEF∽△CEB，即可求得答案．
（2）如图2，过点G作GH∥AC交AB于点H，交BE于点K，作GM⊥AC于点M，先证明△BHK≌△GPK（AAS），进而得出BK＝GK，∠KBG＝∠KGB＝45°，再利用三角函数可得KG＝BG，GM＝CG，再证明四边形EKGM是矩形，进而可得EK＝GM＝CG，由勾股定理得EK2+KG2＝EG2，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图1，∵AB＝AC，
∴设AB＝6x，AC＝5x，
∴AC＝BC＝5x，
∵BE⊥AC，BE＝3，
∴，
解得：x＝，AE＝x＝，CE＝x＝，
∴BC＝5×＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴＝，即＝，
∴AF＝．
（2）BG2+CG2＝2EG2.理由如下：
如图2，过点G作GH∥AC交AB于点H，交BE于点K，作GM⊥AC于点M，
∵AC＝BC，
∴∠CBA＝∠CAB，
∵GH∥AC，
∴∠GHB＝∠CAB，
∴∠CBA＝∠GHB，
∴GH＝GB，
∵GQ⊥AB，
∴BQ＝HQ，即BH＝2BQ，
∵PG＝2BQ，
∴BH＝PG，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∵GH∥AC，
∴∠BKG＝∠BEC＝90°，
∴∠GKE＝180°﹣∠BKG＝90°，∠BKH＝∠BEC＝90°，
∴∠BKH＝∠GKP，
∵∠HBK+∠BHK＝90°，∠PGK+∠BHK＝90°，
∴∠HBK＝∠PGK，
∴△BHK≌△GPK（AAS），
∴BK＝GK，
∴∠KBG＝∠KGB＝45°，
∴KG＝BG•sin∠KBG＝BG•sin45°＝BG，
∵GH∥AC，
∴∠BCE＝∠BGK＝45°，
∵∠CMG＝90°，
∴GM＝CG•sin∠GCM＝CG•sin45°＝CG，
∵∠GME＝∠MEK＝∠EKG＝90°，
∴四边形EKGM是矩形，
∴EK＝GM＝CG，
在Rt△EGK中，∵EK2+KG2＝EG2，
∴（BG）2+（CG）2＝EG2，
∴BG2+CG2＝EG2，
∴BG2+CG2＝2EG2．
【点评】本题是几何综合题，主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数等知识，综合性强，难度较大，第（2）问添加辅助线证明△BHK≌△GPK是解决问题的关键．
7．（2020•九龙坡区自主招生）如图，在平行四边形ABCD中，连接DB．过D点作DE⊥AB于点E，过BE上一点F作FG⊥AD于点G，交DE于点P；过F作FH⊥DB于点H，连接EH．
（1）若DE＝6，DC＝10，AD＝2，求BE的长．
（2）若AE＝PE，求证：DH+HF＝EH．
【分析】（1）根据勾股定理得到AE＝＝＝2，根据平行四边形的性质得到AB＝CD＝10，于是得到BE＝AB﹣AE＝8；
（2）如图，过点E作EM⊥HE，交HF的延长线于点M，连接AP，GE，DF，根据等腰直角三角形的性质得到∠PAE＝∠APE＝45°，推出点A，点E，点P，点G四点共圆，根据圆周角定理得到∠PGE＝∠PAE＝45°，推出点D，GH，点E，点F四点共圆，根据圆周角定理得到∠EDF＝∠PGE＝45°，求得∠EDF＝∠DFE＝45°，得到DE＝EF，又由于点D，点E，点F，点H四点共圆，得到∠DFE＝∠DHE＝45°，∠EDF＝∠EHF＝45°，且EM⊥EH，根据全等三角形的性质即可得到结论；
方法二：根据全等三角形的性质得到DE＝EF，延长BD到Q使DQ＝FH，由全等三角形的性质得到∠QED＝∠HEF，QE＝EH，求得∠QEH＝∠DEB＝90°，得到△QEH是等腰直角三角形，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵DE⊥AB，
∴AE＝＝＝2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝10，
∴BE＝AB﹣AE＝8；
（2）方法一：如图，过点E作EM⊥HE，交HF的延长线于点M，连接AP，GE，DF，
∵AE＝PE，且DE⊥AE，
∴∠PAE＝∠APE＝45°，
∵∠AGP＝∠AEP＝90°，
∴点A，点E，点P，点G四点共圆，
∴∠PGE＝∠PAE＝45°，
∵∠DGF＝∠DEF＝90°，
∴点D，GH，点E，点F四点共圆，
∴∠EDF＝∠PGE＝45°，
∴∠EDF＝∠DFE＝45°，
∴DE＝EF，
∵∠DHF＝∠DEF＝90°，
∴点D，点E，点F，点H四点共圆，
∴∠DFE＝∠DHE＝45°，∠EDF＝∠EHF＝45°，且EM⊥EH，
∴∠M＝∠EHF＝45°，
∴EH＝EM，
∴HM＝EH，
∵∠DEB＝∠HEM＝90°，
∴∠DEH＝∠FEM，且∠DHE＝∠M＝45°，DE＝EF，
∴△DEH≌△FEM（AAS）
∴DH＝MF，
∴DH+HF＝MF+HF＝HM＝EH．
方法二：∵∠AED＝∠DGP＝∠PEF＝90°，∠DPG＝∠EPF，
∴∠ADE＝∠PFE，
∴△ADE≌△PFE（AAS），
∴DE＝EF，
延长BD到Q使DQ＝FH，
∵FH⊥BD，
∴∠EDB+∠DBE＝∠HFB+∠HBF＝90°，
∴∠EPB＝∠HFB，
∴∠QDE＝∠HFE，
∴△EQD≌△EFH（SAS），
∴∠QED＝∠HEF，QE＝EH，
∴∠QEH＝∠DEB＝90°，
∴△QEH是等腰直角三角形，
∴QH＝EH，
∴DH+FH＝EH．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
8．（2018春•思明区校级月考）研究一个几何图形，我们经常从这个图形的定义、性质、判定三个方面进行研究．下面我们来研究等腰梯形．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，且AB与DC不平行，则四边形ABCD是等腰梯形．其中∠BAD与∠CDA都以AD为角的一边，所以∠BAD与∠CDA称为同一底上的角．
（1）用文字语言为等腰梯形下定义，并直接写出等腰梯形的性质（写二条即可）；
（2）除了定义，请再探究出一种等腰梯形的判定方法，并证明．
【分析】（1）根据等腰梯形的性质即可求得答案．
（2）分别过点A、B作AE⊥DC于点E，BF⊥DC于点F，由已知可得四边形ABFE是矩形，从而得到AE＝BF，已知有两组角相等，则利用AAS判定△ADE≌△BCF，从而得到AD＝BC，即推出了梯形ABCD是等腰梯形．
【解答】解：（1）两腰相等的梯形叫做等腰梯形，①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的中点的直线；
②等腰梯形同一底上的两个角相等；
（2）如图，分别过点A、B作AE⊥DC于点E，BF⊥DC于点F，
∵AE⊥DC，BF⊥DC，
∴∠AED＝∠BFC＝90°，AE∥BF，
∵AB∥DC，
∴四边形ABFE是矩形，
∴AE＝BF．
∵∠D＝∠C，
∴△ADE≌△BCF．
∴AD＝BC．
∴梯形ABCD是等腰梯形．
【点评】此题主要考查学生对等腰梯形判定定理的理解及掌握，此题的关键是辅助线的添加．
9．如图所示，在平行四边形ABCD中，延长DC到点E，使BE＝BC；
（1）四边形ABED是否为等腰梯形，请说明理由；
（2）若∠D＝60°，AB＝3，过点C作CF⊥BE，垂足为F，且CF＝，求DE的长及平行四边形ABCD的面积．
【分析】根据已知先证明四边形ABED是梯形，再根据平行四边形的性质得出AD＝BE，即四边形ABED是等腰梯形；
在Rt△BCF中，利用已知条件和勾股定理可求得BC＝CE＝5，再根据等边三角形的高都相等，从而得出平行四边形的高，根据面积公式即可求得其面积．
【解答】解：（1）四边形ABED是等腰梯形．
理由：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，AD＝BC，
又AD与BE不平行，
所以四边形ABED是梯形，
因为BC＝BE，
所以AD＝BE，
所以四边形ABED是等腰梯形；
（2）因为∠D＝60°，所以∠BCE＝60°，所以△BCE是等边三角形．
在Rt△BCF中，设BC＝x，则BF＝x，（x）2+（）2＝x2，x2＝4，x＝2，
所以DE＝DC+CE＝3+2＝5．
过B作BH⊥DE于H（如答图），
则BH＝CF＝，
且BH也是平行四边形ABCD的高，
所以S平行四边形ABCD＝AB•BH＝3．
【点评】本题中巧妙利用等边三角形的高都相等，这是关键一步．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共5小题）
1．（2023秋•栖霞市期末）在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A．1：2：3：4B．1：2：2：1C．1：1：2：2D．2：1：2：1
【分析】根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°，根据以上结论即可选出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°，
即∠A和∠C的度数相等，∠B和∠D的度数相等，且∠B+∠C＝∠A+∠D，
故选：D．
【点评】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能根据平行四边形的性质进行判断是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．
2．（2023春•榆阳区期末）关于平行四边形，下列说法正确的是（ ）
A．既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．是轴对称图形，但不是中心对称图形
C．不是轴对称图形，但是中心对称图形
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形
【分析】根据平行四边形的对称性判断即可得解．
【解答】解：平行四边形不是轴对称图形，但是中心对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．
3．（2023秋•芙蓉区校级期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BEA＝30°，则∠A的大小为（ ）
A．150°B．130°C．120°D．100°
【分析】由平行四边形的性质得出∠AEB＝∠CBE，由角平分线的定义和邻补角关系得出∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝25°，再由三角形内角和定理即可得出∠A的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD于E，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝120°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠ABE＝∠CBE＝∠AEB是解决问题的关键．
4．（2023秋•让胡路区校级期末）在▱ABCD中，AC＝24，BD＝38，AB＝m，则m的取值范围是（ ）
A．24＜m＜39B．14＜m＜62C．7＜m＜31D．7＜m＜12
【分析】根据平行四边形两条对角线互相平分可得AO＝＝12，BO＝BD＝19，再根据三角形三边关系定理可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝＝12，BO＝BD＝19，
∵BO﹣AO＜AB＜AO+BO，
∴7＜m＜31，
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，三角形的三边关系，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．
5．（2022春•江都区月考）如图，点P为▱ABCD外一点，连接PA、PB、PC、PD，若△APB的面积为18，△APD的面积为5，则△APC的面积为（ ）
A．10B．13C．18D．20
【分析】根据题意，表示出已知三角形的面积，然后作差，再根据平行四边形的性质即可解答本题．
【解答】解：DC与AP交于点E，设点P到DC的距离为h1，DC和AB之间的距离为h2，
∵S△PAD＝5，S△PAB＝18，
∴＝5，＝18，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
∴＝18﹣5＝13，
即＝13，
∴＝13，
即△APC的面积是13，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形的面积公式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
二．填空题（共2小题）
6．（2023秋•让胡路区校级期末）在平行四边形ABCD中，点A关于对角线的交点O的对称点 是点C ．
【分析】根据平行四边形的性质即可得到结论．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，点A关于对角线的交点O的对称点是点C，
故答案为：是点C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
7．（2022春•海陵区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0）、B（0，﹣4），点P是y轴上一动点，连接AP并延长至点D，使PD＝AP，以AB、AD为邻边作▱ABCD，连接OC，当OC长最小时，则点P的坐标是 （0，2） ．
【分析】设点P（0，y），先求出点C，点D坐标，由垂线段最短，可得当点C在x轴上时，OC长度的最小值为6，即可求解．
【解答】解：设点P（0，y），
∵PD＝AP，点A（﹣3，0），
∴点D（3，2y），
∵点A（﹣3，0）、B（0，﹣4），四边形ABCD是平行四边形，
∴C（6，2y﹣4），
∴点C在x＝6这条直线上运动，
∴当点C在x轴上时，OC长度的最小值为6，
即2y﹣4＝0，
∴y＝2，
∴点P（0，2）．故答案为（0，2）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
8．（2023秋•垦利区期末）如图，点O为▱ABCD的对角线BD的中点，经过点O的直线分别交BA的延长线，DC的延长线于点E，F，求证：AE＝CF．
【分析】由平行四边形和性质知，AB∥CD⇒∠E＝∠F，∠EBO＝∠FDO，OB＝OD⇒△EBPFDO⇒BE＝DF，AB＝CD⇒BE﹣AB＝DF﹣CD即AE＝CF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠E＝∠F，∠EBO＝∠FDO．
又∵OB＝OD，
∴△EBO≌△FDO．
∴BE＝DF．
又∵AB＝CD，
∴BE﹣AB＝DF﹣CD．
即AE＝CF．
【点评】本题利用了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质求解，属于基础证明，难度不大．
9．（2022春•海陵区校级月考）在①AE＝CF；②OE＝OF；③DE∥BF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．
已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上， ①或②或③ （填写序号）．
求证：DE＝BF．
【分析】由平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，OD＝OB，由全等三角形的判定和性质可得结论．
【解答】解：若①AE＝CF，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
在△DAE和△BCF中，
，
∴△DAE≌△BCF（SAS），
∴DE＝BF，
若②OE＝OF，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（SAS），
∴DE＝BF；
若DE∥BF，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，
∵DE∥BF，
∴∠DEO＝∠BFO，
在△DOE和△BOF中，
，
∴△DOE≌△BOF（AAS），
∴DE＝BF．
故答案为：①或②或③．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
10．（2022•新城区校级二模）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O．点E、F分别为OD、OB的中点，连接CE、AF．
求证：CE＝AF．
【分析】根据平行四边形的性质的AO＝CO，BO＝DO，根据线段中点的定义得到EO＝FO，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵E，F分别为OD，OB的中点，
∴EO＝FO，
在△AFO和△CEO中，
，
∴△AFO≌△CEO（SAS），
∴CE＝AF．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质、正确应用全等三角形的判定方法是解题关键．
11．（2023秋•钢城区期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，BD⊥AD，AB＝10，AD＝8，求OB的长度及平行四边形ABCD的面积．
【分析】直接利用勾股定理得出BD的长，再由平行四边形的性质即可得出答案．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，BC＝AD＝8，AD∥BC，AD＝8，
∵BD⊥AD，AB＝10，
∴BD＝＝6．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝BD＝3，S▱ABCD＝AD•BD＝8×6＝48．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确得出BD的长是解题关键．
12．（2016•桐城市模拟）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上一点，DE＝BC．判断△ACE的形状，并说明理由．
【分析】根据AD∥BC，得到∠BCD＝∠CDE，又因为DE＝BC，所以△BCD≌△EDC；根据全等三角形对应边相等得到BD＝CE，又因为等腰梯形的对角线相等，所以AC＝CE，所以是等腰三角形．
【解答】解：△ACE是等腰三角形．理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠BCD＝∠EDC，
在△BCD和△EDC中，
∵，
∴△BCD≌△EDC（SAS）
∴BD＝CE，
∵等腰梯形的对角线相等，
所以AC＝CE，
∴△ACE是等腰三角形．
【点评】本题主要考查等腰梯形的性质和全等三角形的判定，利用全等三角形的对应角相等是证明两个角相等常用的方法之一，本题利用平行四边形的判定和性质证明更加简单．
13．（2009秋•南长区期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，EF∥AB交BC于点F，EF＝EC，连接DF．
（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；
（2）若AD＝1，BC＝3，DC＝，试判断△DCF的形状；
（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形进行判断；
（2）如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，
（3）分四种情况，分别计算．
【解答】解：（1）证明：∵EF＝EC，
∴∠EFC＝∠ECF，
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠EFC，
∴∠B＝∠ECF，
∴梯形ABCD是等腰梯形；
（2）△DCF是等腰直角三角形，
证明：∵DE＝EC，EF＝EC，
∴EF＝CD，
∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），
∵梯形ABCD是等腰梯形，且AD＝1，BC＝3，
∴CF＝（BC﹣AD）＝1，
∵DC＝，
∴由勾股定理得：DF＝1，
∴△DCF是等腰直角三角形；
（3）共四种情况：
∵DF⊥BC，
∴当PF＝CF时，△PCD是等腰三角形，
即PF＝1，
∴PB＝1；
当P与F重合时，△PCD是等腰三角形，
∴PB＝2；
当PC＝CD＝（P在点C的左侧）时，△PCD是等腰三角形，
∴PB＝3﹣；
当PC＝CD＝（P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，
∴PB＝3+．
故共四种情况：PB＝1，PB＝2，PB＝3﹣，PB＝3+．（每个1分）
【点评】考查等腰梯形的判定，直角三角形的判定以及等腰三角形的判定．
题组B 能力提升练
一．选择题（共2小题）
1．（2022春•丹徒区月考）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，若BE＝4，CF＝3，EF＝1，求AB为（ ）
A．3B．2.5C．3.5D．4
【分析】根据已知条件证明AE＝AB，DC＝DF，过点E作EG∥FC交BC延长线于点G，证明BE⊥EG，再利用勾股定理可得BG的长，进而可得AB的长．
【解答】解：如图，过点E作EG∥FC交BC延长线于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB，
同理可证：DC＝DF，
∵AB∥DC，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠EBC+∠FCB＝×180°＝90°，
∴BE⊥CF，
∵EG∥FC，
∴BE⊥EG，
∵EF∥CG，
∴四边形EFCG是平行四边形，
∴EG＝FC，
在△BEG中，BE＝4，EG＝CF＝3，根据勾股定理，得
BG＝，
∵AB＝AE＝CD＝DF，EF＝CG＝1，AD＝BC，
∴BG＝BC+CG＝AE+DE+CG＝AE+DF﹣EF+EF＝2AB，
∴5＝2AB，
∴AB＝2.5．
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线证明BE⊥EG．
2．（2022•越秀区校级开学）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝，∠AOB＝60°，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+2EF的值为（ ）
A．+1B．C．D．
【分析】依据含30°角的直角三角形的性质可求解AO＝1，BO＝2，利用三角形的面积公式计算△ABO的面积，结合平行四边形的性质可得DO＝BO＝2，S△ADO＝S△ABO＝，即可得到OE+2EF的值．
【解答】解：∵∠BAO＝90°，∠AOB＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∴BO＝2AO，
∵AB＝，
∴AO＝1，BO＝2，
∴S△ABO＝AO•AB＝，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DO＝BO＝2，S△ADO＝S△ABO＝，
∵OF⊥AO，EF⊥OD，
∴S△ADO＝S△AEO+S△EDO＝＝＝，
即OE+2EF＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形的面积，求解S△ADO＝S△AEO+S△EDO是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
3．（2022春•高港区校级月考）在▱ABCD中，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，且相邻两点间的距离相等，则的值为 或或2 ．
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义得到∠DEA＝∠DAE，根据等腰三角形的性质得到DE＝AD，同理BC＝CF，分三种情况，结合点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，分别求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，BC＝AD，AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD，
同理BC＝CF，分三种情况：
①如图3所示：
同（1）得：AD＝DE，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴AD＝DE＝EF＝CF，
∴的值为；
②如图2所示：
同（1）得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝FE＝CE，
∴的值为；
③如图3所示：
同（1）得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝DC＝CE，
∴的值为2；
综上所述，的值为或或2，
故答案为：或或2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
4．（2023春•徐汇区校级期中）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝8，M是AB的中点，若MD⊥CD，则梯形的面积为 ．
【分析】延长DM，交CB的延长线于E，作DH⊥CB，垂足为H，根据ASA证明△AMD≌△BME，进而利用等腰梯形的性质解答即可．
【解答】解：延长DM，交CB的延长线于E，作DH⊥CB，垂足为H．
∵AD∥BC，
∴∠DAM＝∠EBM，
∵∠AMD＝∠BME，AM＝BM，
∴△AMD≌△BME（ASA），
∴BE＝AD，
∵ABCD为等腰梯形，
∴，
∵EH＝CE﹣CH＝10﹣3＝7，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】此题考查等腰梯形的性质，关键是根据ASA证明△AMD≌△BME解答．
5．（2023春•普陀区期末）已知等腰梯形一个底角是60°，它的两底分别是6和10，那么它的腰长是 4 ．
【分析】过D作DE∥AB，交BC于E，得出四边形ABED是平行四边形，推出AB＝DE＝DC，AD＝BE＝6，求出CE，由等腰梯形的性质得到∠C＝∠B＝60°，进而得到△DEC是等边三角形，求出CE＝DC即可求出答案．
【解答】解：过D作DE∥AB，交BC于E，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB＝DE，AD＝BE＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝10﹣6＝4，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠C＝∠B＝60°，AB＝DC＝DE，
∴△DEC是等边三角形，
∴DC＝CE＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了等腰梯形性质，平行四边形性质和判定，等边三角形的性质和判定的应用，关键是能把梯形转化成平行四边形和等腰三角形．
6．（2023春•嘉定区期末）如果等腰梯形的一个底角为120°，这个等腰梯形的上、下底长分别为6和10，那么这个等腰梯形的腰长为 4 ．
【分析】过D作DE∥AB，交BC于E，得出四边形ABED是平行四边形，推出AB＝DE＝DC，AD＝BE＝6，求出CE，由等腰梯形的性质得到∠C＝∠B＝60°，进而得到△DEC是等边三角形，求出CE＝DC即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是等腰梯形，∠A＝∠ADC＝120°，
∴∠B＝∠C，AD∥BC，AB＝DC，
∴∠A+∠B＝180°，
∴∠B＝∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣120°＝60°，
如图，过D作DE∥AB，交BC于E，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB＝DE＝DC，AD＝BE＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝10﹣6＝4，
∵∠C＝∠B＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴DC＝CE＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了等腰梯形性质，平行四边形性质和判定，等边三角形的性质和判定的应用，关键是能把梯形转化成平行四边形和等腰三角形．
7．给出一个梯形ABCD，AD∥BC，下面四个论断：①∠A＝∠D；②AB＝CD；③∠B＝∠C；④AC＝BD．其中能判断梯形ABCD为等腰梯形的是 ①②③④ （填序号）．
【分析】由同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形得出①③能判定梯形ABCD为等腰梯形；
由两腰相等的梯形是等腰梯形得出②能判定梯形ABCD为等腰梯形；
由两条对角线相等的梯形是等腰梯形得出④能判定梯形ABCD为等腰梯形；即可得出结果．
【解答】解：①能判定；理由如下：
在梯形ABCD，AD∥BC，
∵∠A＝∠D，
∴四边形ABCD是等腰梯形（同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形），
∴①能判定；
同理：③能判定；
②能判定；理由如下：
在梯形ABCD，AD∥BC，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形（两腰相等的梯形是等腰梯形），
∴②能判定；
④能判定；理由如下：
在梯形ABCD，AD∥BC，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是等腰梯形（两条对角线相等的梯形是等腰梯形），
∴④能判定；
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了等腰梯形的判定方法；熟练掌握等腰梯形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
三．解答题（共11小题）
8．（2022•灞桥区校级三模）如图，平行四边形ABCD中，BD为对角线，过BD的中点O作直线EF，分别交BA、DC的延长线于点E、F．
求证：AE＝CF．
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得出AB＝CD，再证△EBO≌△FDO（AAS），得出BE＝DF，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠E＝∠F，
∵O是BD的中点，
∴OB＝OD，
在△EBO和△FDO中，
，
∴△EBO≌△FDO（AAS），
∴BE＝DF，
又∵AB＝CD，
∴BE﹣AB＝DF﹣CD．
即AE＝CF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
9．（2023秋•莱州市期末）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．
求证：△AED≌△CFB．
【分析】由四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用ASA即可得证．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，∠A＝∠C，AD∥CB，AB∥CD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵ED⊥DB，FB⊥BD，
∴∠EDB＝∠FBD＝90°，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△AED和△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB（ASA）．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
10．（2023秋•市北区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：△BOE≌△COD；
（2）若BC平分∠DBE，请判断并证明四边形BECD的形状．
【分析】（1）由AAS证明△BOE≌△COD，得出OE＝OD，即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质得到OE＝OD，BO＝CO，推出四边形BECD是平行四边形，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DBC＝∠DCB，求得BD＝DC，根据菱形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∴∠OEB＝∠ODC，
又∵O为BC的中点，
∴BO＝CO，
在△BOE和△COD中，
，
∴△BOE≌△COD（AAS）；
（2）解：四边形BECD是菱形；
证明：∵△BOE≌△COD，
∴OE＝OD，BO＝CO，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵AE∥CD，
∴∠BCD＝∠CBE，
∵BC平分∠DBE，
∴∠DBC＝∠CBE，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴BD＝DC，
∴四边形BECD是菱形．
【点评】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
11．（2022•济南一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC的中点，连接AE交DC延长线于点F．求证：DC＝CF．
【分析】根据平行四边形性质得出AB＝CD，AB∥CD，求出∠B＝∠FCE，∠F＝∠BAE，BE＝CF，证△ABE≌△FCE，推出AB＝CF即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠B＝∠FCE，∠F＝∠BAE，
∵E为BC中点，
∴BE＝CE，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝CF，
∵AB＝DC，
∴DC＝CF．
【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出AB＝CF．
12．（2020•徐汇区校级自主招生）定义：黄金梯形是指一条对角线能将自己分为两个等腰三角形的等腰梯形，则黄金梯形的上下底（上底小于下底）比为多少？
【分析】托勒密（Ptlemy）定理：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．
【解答】解：等腰梯形内接圆于圆，由托勒密定理得：a2+ab＝b2，
所以（）2+﹣1＝0，
解得＝或＝（舍去）．
即黄金梯形的上下底（上底小于下底）比为：．
【点评】本题主要考查了等腰梯形的性质，等腰三角形的性质，重点是根据黄金梯形的定义提取相关信息，难度不大．
13．（2019秋•茂名期中）有一个四棱柱．
（1）若它的底面边长都是5cm，所有侧面的面积和是40cm2，那么它的侧棱长是多少？
（2）若它的所有棱都相等，且所有棱长之和为60cm，那么它的形状是什么？它的体积是多少？
（3）若它的底面是等腰梯形，上下底边长分别为2cm，8cm，腰长为6cm，高是4cm，它的侧棱长是周长的一半，求该四棱柱的体积．
【分析】（1）根据几何体的面积公式即可得到结论；
（2）根据题意得到几何体的形状，然后根据体积公式计算即可；
（3）根据梯形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）S侧面＝40÷4＝10（cm2）
棱长＝10÷5＝2（cm），
答：它的侧棱长是2cm；
（2）它的形状是正方体，
∵棱长＝60÷12＝5（cm），
∴它的体积＝53＝125（cm）3，
答：它的体积是125（cm）3；
（3）∵它的底面是等腰梯形，上下底边长分别为2cm，8cm，
∴S底面＝（2+8）×4÷2＝20，底面周长＝2+8+6+6＝22cm，
∵侧棱长是周长的一半，
∴侧棱长＝11cm，
∴该四棱柱的体积＝20×11＝220（cm）3．
【点评】本题考查了等腰直角梯形，认识立体图形，几何体的表面积，熟练掌握立体几何体的体积公式是解题的关键．
14．（2019春•长宁区期末）已知：如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM的中点，AM＝AC，AE∥BC．
求证：四边形EBCA是等腰梯形．
【分析】先证明△ADE≌△MDC得出AE＝MC，证出AE＝MB，得出四边形AEBM是平行四边形，证出BE＝AC，而AE∥BC，BE与AC不平行，即可得出结论．
【解答】证明：∵AE∥BC，
∴∠AED＝∠MCD，
∵D是线段AM的中点，
∴AD＝MD，
在△ADE和△MDC中，，
∴△ADE≌△MDC（AAS），
∴AE＝MC，
∵AM是△ABC的中线，
∴MB＝MC，
∴AE＝MB，
∵AE∥MB，
∴四边形AEBM是平行四边形，
∴BE＝AM，
∵AM＝AC，
∴BE＝AC，
∵AE∥BC，BE与AC不平行，
∴四边形EBCA是梯形，
∴梯形EBCA是等腰梯形．
【点评】本题考查了等腰梯形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等腰梯形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
15．（2018春•青浦区校级月考）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分别为两个底角的平分线．
求证：四边形BCDE是等腰梯形．
【分析】由于AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线，利用等边对等角，角平分线定义，可得∠ABC＝∠ACB，∠DBC＝∠ECB，而BC＝CB，利用ASA可证△EBC≌△DBC，再利用全等三角形的性质可证BE＝CD，根据三角形的内角和得到∠AED＝∠ABC得到DE∥BC，于是得到结论．
【解答】证明：如图所示，
∵AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线．
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠DBC＝∠ECB，
又∵BC＝CB，
∴△EBC≌△DCB（ASA），
∴BE＝CD，
∴AE＝AD，
∴∠AED＝（180°﹣∠A），
∵∠ABC＝（180°﹣∠A），
∴∠AED＝∠ABC，
∴DE∥BC，
∴四边形BCDE是等腰梯形．
【点评】本题考查了等腰梯形的判定，等腰三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
16．（2015•大庆模拟）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝14cm，AD＝18cm，BC＝21cm，点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/秒的速度移动，点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/秒的速度移动．如果P、Q分别从A、C同时出发．设移动的时间为t．
求：（1）t为何值时，梯形PQCD是等腰梯形；
（2）t为何值时，AB的中点E到线段PQ的距离为7cm．
【分析】（1）过P作PN⊥BC于N，过D作DM⊥BC于M，先证明四边形ABMD是矩形，从而得到AD＝BM，再根据边与边之间的关系，列一元一次方程3t﹣21＝3，得到t＝8，即t＝8秒时，梯形PQCD是等腰梯形；
（2）在Rt△PQM中，表示出PM＝14，QM＝3t﹣1，然后根据PM2+QM2＝PQ2，得到142+（3t﹣21）2＝（21﹣t）2，求得t值即可．
【解答】解：如图1，过P作PN⊥BC于N，过D作DM⊥BC于M，
∵AD∥BC，∠B＝90°，DM⊥BC，
∴四边形ABMD是矩形，AD＝BM．
∴MC＝BC﹣BM＝BC﹣AD＝3．
又∵QN＝BN﹣BQ＝AP﹣BQ＝t﹣（21﹣2t）＝3t﹣21．
若梯形PQCD为等腰梯形，则QN＝MC＝3．
得3t﹣21＝3，t＝8，
即t＝8秒时，梯形PQCD是等腰梯形．
（2）如图2，过E作EF⊥PQ于F，连接PE，EQ，当EF＝7cm时，
∵AE＝BE＝AB＝×14＝7cm，
∴AE＝EF＝BE，
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠A＝90°，
∵PE＝PE，EQ＝EQ，
∴△AEP≌△FEP，△BEQ≌△FEQ，
∴PA＝PF＝t，BQ＝FQ＝21﹣2t，
∴PQ＝PF+FQ＝21﹣t，
在Rt△PQM中，PM＝14，QM＝3t﹣1，
∵PM2+QM2＝PQ2，
∴142+（3t﹣21）2＝（21﹣t）2，
解得：t＝3.5或t＝7，
∴当t为3.5或7时，AB的中点E到线段PQ的距离为7cm．
【点评】此题主要考查了等腰梯形以及直角梯形和平行四边形的判定与性质，熟练掌握它们的定义是解题关键．
17．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，在▱ABCD中，E、F分别为AB、CD边上两点，FB平分∠EFC．
（1）如图1，若AE＝2，EF＝5，求CD的长；
（2）如图2，∠BCD＝45°，BC⊥BD，若G为EF上一点，且∠GBF＝∠EFD，求证：FG+2FD＝AB．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得∠ABF＝∠BFC，AB＝CD，结合角平分线的定义可求得∠ABF＝∠EFB，即可求BE＝EF＝5，进而可求解；
（2）在FC上截取FH＝FG，连接BH，利用SAS证明△BGF≌△BHF可得∠BGF＝∠BHF，结合三角形的内角和定理可得∠BFD＝∠BHC，结合等腰直角三角形的性质利用AAS证明△BDF≌△BCH可得DF＝CH，进而可证明结论．
【解答】（1）解：在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABF＝∠BFC，
∵FB平分∠EFC，
∴∠EFB＝∠BFC，
∴∠ABF＝∠EFB，
∵AE＝2，EF＝5，
∴BE＝EF＝5，
∴CD＝AB＝AE+EF＝2+5＝7；
（2）证明：在FC上截取FH＝FG，连接BH，
在△BGF和△BHF中，
，
∴△BGF≌△BHF（SAS），
∴∠BGF＝∠BHF，
∵∠GBF＝∠EFD，
∵∠EFD+∠EFB+∠BFH＝180°，∠EFB+∠BGF+∠GBF＝180°，
∴∠BFH＝∠BGF，
∴∠BFH＝∠BHF，
∴∠BFD＝∠BHC，
∵∠BCD＝45°，BC⊥BD，
∴∠BDF＝45°＝∠BCH，
∴BD＝BC，
在△BDF和△BCH中，
，
∴△BDF≌△BCH（AAS）
∴DF＝CH，
∴AB＝CD＝DF+FH+CH＝FG+2FD，
即FG+2FD＝AB．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△BDF≌△BCH是解题的关键．
18．（2023秋•锦江区期末）在▱ABCD中，E是DC的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：BC＝CF；
（2）点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且∠DAF＝∠GAF．若CG＝2，GF＝5，求AH的长．
【分析】（1）结合平行四边形的性质，利用AAS证明△AED≌△FEC可证明结论；
（2）根据平行线的性质及∠DAF＝∠GAF可求得AG＝GF＝5，再利用CG＝2可得AD＝CF＝7，通过证明△AHD∽△GHC列比例式可求得，进而求解AH的长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABC为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，
∵E是DC的中点，
∴CE＝DE，
在△AED和△FEC中，
，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴AD＝FC，
∴BC＝CF；
（2）∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠F，
∵∠GAF＝∠DAF，
∴∠GAF＝∠F，
∴AG＝GF＝5，
∵CG＝2，
∴AD＝CF＝7，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DCF，∠AHD＝∠GHC，
∴△AHD∽△GHC，
∴，
∴，
∴AH＝．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，证明△AED≌△FEC是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
一．选择题（共3小题）
1．（2023春•汉阳区月考）在面积为24的▱ABCD中，AB＝4，BC＝6．过点A作AE⊥直线BC于E，作AF⊥直线CD于F，∠A＞∠B，则CE+CF的值为（ ）
A．B．
C．或D．
【分析】根据平行四边形面积求出AE和AF，有两种情况，求出BE、DF的值，求出CE和CF的值，相加即可得出答案．
【解答】解：如图所示：
∵平行四边形ABCD面积为24，
∴BC•AE＝24，DC•AF＝24，
∵CD＝AB＝4，AD＝BC＝6．
∴6×AE＝24，4AF＝24，
∴AE＝4，AF＝6，
∴BE＝＝＝4，DF＝＝＝6，
∴EC＝BC﹣BE＝6﹣4，CF＝DF﹣CD＝6﹣4，
∴CE+CF＝6﹣4+6﹣4＝2+2；
则CE+CF的值为2+2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，关键是掌握勾股定理．
2．（2023春•河源期末）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S▱ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝S△AOD，其中成立的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】结合平行四边形的性质可证明△ABE为等边三角形，由AB＝BC可判定①，证明∠BAC＝90°，可判定②；由平行四边形的面积公式可判定③；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判定④．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，
∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，
∵AB＝BC，
∴EC＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠CAD＝30°，故①正确；
∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝90°，
∴BO＞AB，
∴OD＞AB，故②错误；
∴S▱ABCD＝AB•AC＝AC•CD，故③正确；
∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD＝1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD＝3：4，
∴S四边形OECD：S▱ABCD＝3：8，
∵S△AOD：S▱ABCD＝1：4，
∴S四边形OECD＝S△AOD，故④正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，灵活运用三角形的面积解决问题是解题的关键．
3．（2023春•龙岗区期末）如图在▱ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG．则△BEG的面积为（ ）
A．16B．14C．8D．7
【分析】如图，取BC中点H，连接AH，连接EC交AD于N，作EM⊥CD交CD的延长线于M．构建S△BEG＝S△BCE+SECG﹣S△BCG计算即可；
【解答】解：如图，取BC中点H，连接AH，连接EC交AD于N，作EM⊥CD交CD的延长线于M．
∵BC＝2AB，BH＝CH，∠ABC＝60°，
∴BA＝BH＝CH，
∴△ABH是等边三角形，
∴HA＝HB＝HC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝30°，
∵EC⊥BC，∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°，
∴∠ACE＝60°，∠ECM＝30°，
∵BC＝2AB＝8，
∴CD＝4，CN＝EN＝2，
∴EC＝4，EM＝2，
∴S△BEG＝S△BCE+SECG﹣S△BCG
＝×8×4+×2×2﹣S平行四边形ABCD
＝16+2﹣4
＝14
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质、轴对称图形、勾股定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线没工作直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
二．填空题（共3小题）
4．（2023春•贵阳期末）如图所示，点O为▱ABCD内一点，连接BD，OA，OB，OC，OD，已知△BCO的面积为3，△ABO的面积为5，则阴影部分的面积是 5﹣3 ．
【分析】设△COD的面积为x，根据平行四边形的面积＝2（S△AOB+S△COD）＝2S△BCD，列式整理即可得解．
【解答】解：∵▱ABCD的面积＝2（S△AOB+S△COD）＝2S△BCD，
设△COD的面积为x，
∵▱ABCD的面积＝2（5+x）＝2（S阴影△BOD+x+3），
∴阴影部分△BOD的面积＝5+x﹣x﹣3，
＝5﹣3，
故答案为：5﹣3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，设出△COD的面积为x然后表示出平行四边形的面积是解题的关键，准确识图理清各三角形的关系．
5．（2023春•沙坪坝区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝ 2 ．
【分析】过点M作MH∥BC交CP于H，根据两直线平行，同位角相等可得∠MHP＝∠BCP，两直线平行，内错角相等可得∠NCF＝∠MHF，根据等边对等角可得∠BCP＝∠BPC，然后求出∠BPC＝∠MHP，根据等角对等边可得PM＝MH，根据等腰三角形三线合一的性质可得PE＝EH，利用“角边角”证明△NCF和△MHF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝FH，从而求出EF＝CP，根据矩形的对边相等可得BC＝AD＝10，再利用勾股定理列式求出AP，然后求出PD，再次利用勾股定理列式计算即可求出CP，从而得解．
【解答】解：如图，过点M作MH∥BC交CP于H，
则∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，
∵BP＝BC，
∴∠BCP＝∠BPC，
∴∠BPC＝∠MHP，
∴PM＝MH，
∵PM＝CN，
∴CN＝MH，
∵ME⊥CP，
∴PE＝EH，
在△NCF和△MHF中，
，
∴△NCF≌△MHF（AAS），
∴CF＝FH，
∴EF＝EH+FH＝CP，
∵矩形ABCD中，AD＝10，
∴BC＝AD＝10，
∴BP＝BC＝10，
在Rt△ABP中，AP＝＝＝6，
∴PD＝AD﹣AP＝10﹣6＝4，
在Rt△CPD中，CP＝＝＝4，
∴EF＝CP＝×4＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．
6．（2023春•鄞州区校级期中）如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝CD，AD＝，E为CD中点，连接AE，且AE＝2，∠DAE＝30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF的值为 4﹣2 ．
【分析】延长AE交BC的延长线于G，根据线段中点的定义可得CE＝DE，根据两直线平行，内错角相等可得到∠DAE＝∠G＝30°，然后利用“角角边”证明△ADE和△GCE全等，根据全等三角形对应边相等可得CG＝AD，AE＝EG，然后解直角三角形求出AF、GF，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，根据等腰梯形的性质可得BM＝CN，再解直角三角形求出MG，然后求出CN，MF，然后根据BF＝BM﹣MF计算即可得解．
【解答】解：如图，延长AE交BC的延长线于G，
∵E为CD中点，
∴CE＝DE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠G＝30°，
在△ADE和△GCE中，
，
∴△ADE≌△GCE（AAS），
∴CG＝AD＝，AE＝EG＝2，
∴AG＝AE+EG＝2+2＝4，
∵AE⊥AF，
∴AF＝AGtan30°＝4×＝4，
GF＝AG÷cs30°＝4÷＝8，
过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，
则MN＝AD＝，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴BM＝CN，
∵MG＝AG•cs30°＝4×＝6，
∴CN＝MG﹣MN﹣CG＝6﹣﹣＝6﹣2，
∵AF⊥AE，AM⊥BC，
∴∠FAM＝∠G＝30°，
∴FM＝AF•sin30°＝4×＝2，
∴BF＝BM﹣MF＝6﹣2﹣2＝4﹣2．
故答案为：4﹣2．
【点评】本题考查了等腰梯形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形，过上底的两个顶点作出梯形的两条高．
三．解答题（共7小题）
7．（2023春•黄陂区期中）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB交CD于E，连接BE，∠AEB＝90°．
（1）求证：E为CD的中点；
（2）点F为AE的中点，连接CF，交BE于点G，求的值．
【分析】（1）延长AD和BE交于点Q，根据已知条件证明△AEQ≌△AEB，可得EQ＝EB，再证明△DEQ≌△CEB，即可得结论；
（2）方法一：取BE的中点H，连接FH，根据三角形中位线定理可得FH＝CE，然后证明△FHG≌△CEG，即可解决围绕．方法二：延长CF和BA交于点M，结合（1）利用平行线分线段成比例定理即可得结果．
【解答】（1）证明：如图，延长AD和BE交于点Q，
∵AE平分∠DAB，
∴∠QAE＝∠BAE，
∵∠AEQ＝∠AEB＝90°．
在△AEQ和△AEB中，
，
∴△AEQ≌△AEB（ASA），
∴EQ＝EB，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠Q＝∠CBE，∠QDE＝∠BCE，
在△DEQ和△CEB中，
，
∴△DEQ≌△CEB（AAS），
∴ED＝EC，
∴E为CD的中点；
（2）解：方法一：如图，取BE的中点H，连接FH，
∵点F为AE的中点，
∴FH是△EAB的中位线，
∴FH∥AB，FH＝AB，
∵E为CD的中点，
∴CE＝CD＝AB，
∴FH＝CE，
在△FHG和△CEG中，
∴△FHG≌△CEG（AAS），
∴EG＝HG，
∵EH＝BH，
∴BG＝3EG，
∴＝．
方法二：如图，延长CF和BA交于点M，
∵点F为AE的中点，
∴EF＝AF，
∵DC∥AB，
∴＝＝1，
∴CE＝AM，
∵E为CD的中点，
∴CE＝CD＝AB，
∴AM＝AB，
∴BM＝AM+AB＝AB，
∵CD∥AB，
∴＝＝＝．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等知识，综合运用以上知识是解题关键．
8．（2023春•青县期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE＝CF．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）连接DE、BF，若BD⊥EF，试探究四边形EBFD的形状，并对结论给予证明．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得BO＝DO，AO＝CO，再利用等式的性质可得EO＝FO，然后再利用SAS定理判定△BOE≌△DOF即可；
（2）根据BO＝DO，FO＝EO可得四边形BEDF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形EBDF为菱形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣FO，
∴EO＝FO，
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF（SAS）；
（2）四边形EBFD为菱形，等三角形的判定，以及菱形的判定，关键是掌握
理由：∵BO＝DO，FO＝EO，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BD⊥EF，
∴四边形EBFD为菱形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分．对角线互相平分的四边形是平行四边形．
9．（2020春•北碚区校级月考）在平行四边形ABCD中，AC⊥CD，E为BC中点，点M在线段BE上，连接AM，在BC下方有一点N，满足∠CAD＝∠BCN，连接MN．
（1）若∠BCN＝60°，AE＝5，求△ABE的面积；
（2）若MA＝MN，MC＝EA+CN，求证：AB＝AE．
【分析】（1）先证明AB⊥AC，再求出∠B＝30°，然后根据直角三角形斜边上中线的性质可得BC的长，结合勾股定理求解AB，AC的长，根据△ABE的面积等于△ABC面积的一半可求解结果；
（2）延长CN至G，使CG＝AC，易得△ACM≌△GCM，在MC上截取MF＝AE，可得△MAE≌△NMF，结合已知推出ME＝CN＝FN＝CF，即△NCF为等边三角形，继而有∠MCN＝60°，因此可得∠ACB＝60°，由，结合AE＝BC，最终可得出结果．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB＝∠BCN＝60°，
又AC⊥CD，
∴AB⊥AC，
∴∠B＝30°，
在Rt△ABC中，E为BC的中点，
∴BC＝2AE＝10，
∴AC＝BC＝5，
∴，
∴；
（2）证明：延长CN至G，使CG＝AC，
由（1）知∠ACM＝∠GCM，
又MC＝MC，
∴△ACM≌△GCM，
∴AM＝GM，∠MAC＝∠G，
又AM＝MN，
∴GM＝MN，
∴∠G＝∠MNG＝∠MAC＝∠MAE+∠EAC，
又由（1）可得EC＝EA，
∴∠EAC＝∠ACE＝∠NCM，
∵∠MNG＝∠NCM+∠NMC，
∴∠NMC＝∠MAE，
在MC上截取MF＝AE，
∴△MAE≌△NMF，
∴ME＝FN，
又MC＝ME+CE＝MF+CF，MC＝EA+CN，
∵EA＝MF＝CE，
∴ME＝CN＝FN＝CF，
∴△NCF为等边三角形，
∴∠MCN＝60°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴，
∵AE＝BC，
∴AB＝AE．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等要是的性质，全等三角形的判定与性质等知识的综合运用，第（2）小题作辅助线构造等边三角形及直角三角形是解题的关键．
10．（2019秋•沙坪坝区校级期中）如图所示，平行四边形ABCD和平行四边形CDEF有公共边CD，边AB和EF在同一条直线上，AC⊥CD且AC＝AF，过点A作AH⊥BC交CF于点G，交BC于点H，连接EG．
（1）若AE＝2，CD＝5，求△BCF的周长；
（2）求证：BC＝AG+EG．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB＝CD＝5，CD＝EF，AB∥CD，可得AE＝BF＝2，由勾股定理可求CF，BC的长，即可求解；
（2）如图，在AD上取一点M，使得AM＝AG，连接CM．利用全等三角形的性质证明GE＝DM即可解决问题．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD，四边形CDEF是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，CD＝EF，AB∥CD，
∴AB＝EF＝5，
∴AE＝BF＝2，
∴AF＝AC＝3，
∵AB∥CD，AC⊥CD
∴AB⊥AC，
∴CF＝＝3，
BC＝＝＝，
∴△BCF的周长＝BF+BC+CF＝2+3+；
（2）证明：如图，在AD上取一点M，使得AM＝AG，连接CM．
∵四边形ABCD，四边形EFCD都是平行四边形，
∴AB＝CD＝EF，AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，
∵AH⊥BC，
∴AH⊥AD，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝∠GAM＝90°，
∴∠FAG＝∠CAM，
∵AF＝AC，AG＝AM，
∴△FAG≌△CAM（SAS），
∴∠ACM＝∠AFG＝45°，FG＝CM．
∵∠ACD＝∠BAC＝90°，
∴∠MCD＝45°＝∠EFG，
∵EF＝CD，FG＝CM，
∴△EFG≌△DCM（SAS），
∴EG＝DM，
∴AG+EG＝AM+DM＝AD＝BC．
即BC＝AG+EG．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考压轴题．
11．（2018•北碚区校级模拟）如图1，在平行四边形ABCD中，E，F分别在边AD，AB上，连接CE，CF，且满足∠DCE＝∠BCF，BF＝DE，∠A＝60°，连接EF．
（1）若EF＝2，求△AEF的面积；
（2）如图2，取CE的中点P，连接DP，PF，DF，求证：DP⊥PF．
【分析】（1）先证明证明△CDE≌△CBF，得到CD＝CB，可得▱ABCD是菱形，则AD＝AB，由DE＝BF得AE＝AF，则△AEF是等边三角形，根据EF的长可得△AEF的面积；
（2）延长DP交BC于N，连接FN，证明△CPN≌△EPD，得到AE＝BN，证明△FBN≌△DEF，得到FN＝FD，根据等腰三角形三线合一的性质可得结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B，
∵BF＝DE，∠DCE＝∠BCF，
∴△CDE≌△CBF（AAS），
∴CD＝CB，
∴▱ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∴AD﹣DE＝AB﹣BF，即AE＝AF，
∵∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∵EF＝2，
∴S△AEF＝×22＝；
（2）证明：如图2，延长DP交BC于N，连接FN，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠EDP＝∠PNC，∠DEP＝∠PCN，
∵点P是CE的中点，
∴CP＝EP．
∴△CPN≌△EPD，
∴DE＝CN，PD＝PN．
又∵AD＝BC．
∴AD﹣DE＝BC﹣CN，即AE＝BN．
∵△AEF是等边三角形，
∴∠AEF＝60°，EF＝AE．
∴∠DEF＝120°，EF＝BN．
∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
又∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝120°，
∴∠ABC＝∠DEF．
又∵DE＝BF，BN＝EF．
∴△FBN≌△DEF，
∴DF＝NF，
∵PD＝PN，
∴PF⊥PD．
【点评】本题考查的是菱形的性质和判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题的关键．
12．（2013秋•单县校级月考）如图，已知AB∥CE，DB平分∠ADC，AE∥BD，∠C＝2∠E，求证：四边形ABCD是等腰梯形．
【分析】先根据AE∥BD得出∠E＝∠BDC，再根据DB平分∠ADC得出∠ADC＝2∠E，由于∠C＝2∠E，所以∠ADC＝∠C，再根据AB∥CE即可得出结论．
【解答】解：∵AE∥BD，
∴∠E＝∠BDC，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠E，
∵∠C＝2∠E，
∴∠ADC＝∠C，
∵AB∥CE，
∴四边形ABCD是等腰梯形．
【点评】本题考查的是等腰梯形的判定，熟知两腰相等的梯形叫做等腰梯形是解答此题的关键．
13．（2012•邵东县校级一模）如图：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝5，AD＝6，BC＝12，动点P从点D出发沿DC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，动点Q从点C出发沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动．两个点同时出发，当点P到达C点时，点Q随之停止运动．求：
（1）梯形ABCD的面积；
（2）当PQ∥AB时，点P离开点D的时间（秒）；
（3）当P、Q、C这三个点构成直角三角形时，点P离开点D多长时间？
【分析】（1）已知梯形ABCD的上、下底，要求梯形的面积，根据梯形的面积公式，可知只需求出梯形的高即可．为此，作梯形的高AE、DF，得到矩形ADFE及一对全等的三角形△ABE与△DCF，先求出BE的长，再由勾股定理求出梯形的高；
（2）当PQ∥AB时，易证△PQC是等腰三角形，过P作PM⊥QC于M．由等腰三角形三线合一的性质，可知QM＝MC．如果设P点离开D点的时间等于t秒，则可用含t的代数式分别表示DP，PC，CQ，在直角△PMC中，根据PM＝PCsinC＝CMtanC，列出关于t的方程，即可求出结果；
（3）当P、Q、C三点构成直角三角形时，设P点离开D点x秒，则可用含x的代数式分别表示DP，PC，CQ．由于∠C是锐角，那么分两种情况：①∠PQC＝90°；②∠QPC＝90°．针对每一种情况，都可以在直角△PCQ中，利用csC的值列出关于x的方程，从而求出结果．
【解答】解：（1）作梯形的高AE、DF，得到矩形ADFE及直角△ABE，△DCF．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB＝DC，∠B＝∠C，∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴△ABE≌△DCF，又AEFD为矩形，得到AD＝EF，
∴BE＝CF＝（BC﹣AD）＝3，
在直角△ABE中，∠AEB＝90°，AB＝5，BE＝3，
∴根据勾股定理得：AE＝4，
则梯形ABCD的面积＝（BC+AD）•AE＝（12+6）×4＝36；
（2）如图，当PQ∥AB时，设P点离开D点的时间等于t秒，
则DP＝t，PC＝5﹣t，CQ＝2t．
过P作PM⊥QC于M．
∵PQ∥AB，
∴∠PQM＝∠B，
∵∠B＝∠C，
∴∠PQM＝∠C，
∴PQ＝PC＝5﹣t，
∴QM＝MC＝t．
∵PM＝PC•sinC＝CM•tanC，sinC＝sinB＝，tanC＝tanB＝，
∴（5﹣t）＝t，
∴t＝；
（3）当P、Q、C三点构成直角三角形时，设P点离开D点x秒，则DP＝x，PC＝5﹣x，CQ＝2x．
分两种情况：①如图，若∠PQC＝90°，则csC＝，
∴＝，解得x＝；
②如图，若∠QPC＝90°，则csC＝，
∴＝，解得x＝．
故当P、Q、C三点构成直角三角形时，P点离开D点的时间为秒或秒．
【点评】本题主要考查梯形的面积公式，等腰梯形的性质，勾股定理，三角函数等知识，综合性较强，第三问中注意分类讨论．