北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第18讲 平行四边形的判定（原卷版+解析)

这是一份北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第18讲 平行四边形的判定（原卷版+解析)，共91页。试卷主要包含了掌握平行四边形性质与判定定理等内容，欢迎下载使用。
1．掌握平行四边形性质与判定定理。
2. 会应用平行四边形的性质与判定定理解决相关的几何证明和计算问题．
知识精讲
知识点01 平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
【知识拓展】（2023秋•芙蓉区校级期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BEA＝30°，则∠A的大小为（ ）
A．150°B．130°C．120°D．100°
【即学即练1】（2022•乐清市一模）如图，在▱ABCD中，AB＝BE，∠C＝70°，则∠BAE的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【即学即练2】（2022春•睢宁县月考）▱ABCD的对角线相交于点O，BD＝14，AC＝10，则BC的长可以是（ ）
A．8B．20C．14D．22
知识点02 平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
【知识拓展】（2023秋•芝罘区期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（ ）
A．B．3C．3或D．或
【即学即练1】（2022春•金华月考）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．OB＝OD，OA＝OCB．AD∥BC，AB＝CD
C．AB∥CD，AD∥BCD．AB∥CD，AB＝CD
【即学即练2】（2022春•渝中区校级月考）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，∠A＝∠CB．AB∥CD，AD＝BC
C．AB＝BC，CD＝DAD．∠A＝∠B，∠C＝∠D
【即学即练3】（2022春•丹徒区月考）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
知识点03 平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
【知识拓展】（2023秋•仓山区校级期末）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行B．对角线互相平分
C．一组对边相等D．对角线互相垂直
【即学即练1】（2023秋•开福区校级期末）如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，，求AB的长．
【即学即练2】（2022春•九龙坡区校级月考）在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，AD∥BC，BO＝DO．
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；
（2）过点O作OE⊥BD交BC于点E，连接DE．若∠CDE＝∠CBD＝15°，求∠ABC的度数．
【即学即练3】（2023秋•栖霞市期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则此平行四边形的周长为 ．
【即学即练4】（2023秋•栖霞市期末）如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE．
（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
【即学即练5】（2023秋•栖霞市期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形．
（1）证明：四边形AEFD是平行四边形；
（2）求∠DFE的度数．
【即学即练6】（2023秋•曲阳县期末）如图所示，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，则以下结论中，不一定正确的是 （填字母序号）
A．∠1＝∠2
B．∠3＝∠4
C．l垂直平分AB，且l垂直平分CD
D．AC与BD互相平分
【即学即练7】（2022春•渝水区校级月考）如图，在▱ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动）．设运动t（s）（其中t＞0）时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则t的所有可能取值为 ．
能力拓展
一．选择题（共2小题）
1．（2019•湖北自主招生）如图，平行四边形DEFG内接于△ABC，已知△ADE，△EFC，△DBG的面积为1，3，1，那么▱DEFG的面积为（ ）
A．2B．2C．3D．4
2．（2016•宁波）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（ ）
A．4S1B．4S2C．4S2+S3D．3S1+4S3
二．填空题（共2小题）
3．（2019•湖北自主招生）如图，直线AB、IL、JK、DC互相平行，直线AD、IJ、LK、BC互相平行，四边形ABCD面积为90，四边形EFGH面积为55，则四边形IJKL面积为 ．
4．（2017•金牛区校级自主招生）如图，点P是▱ABCD内一点，S△PAB＝7，S△PAD＝4，则S△PAC＝ ．
三．解答题（共8小题）
5．（2017•市南区校级自主招生）如图，E是平行四边形ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE．
（2）若AB＝AF，试判断四边形ACFD的形状，并说明理由．
6．（2018•西湖区校级自主招生）如果用铁丝围成如图一样的平行四边形，需要用铁丝多少厘米？
7．（2020•北碚区自主招生）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是DA、BC延长线上的点，且∠ABE＝∠CDF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形EBFD是平行四边形．
8．（2019•麻城市校级自主招生）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，D是AB上一点，AC＝BD，P是CD中点．求证：AP＝BC．
9．（2019•南岸区自主招生）如图，平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
10．（2018•宝山区校级自主招生）AB∥CD，AB＝15，CD＝10，AD＝3，CB＝4，求S四边形ABCD．
11．（2018•江岸区校级自主招生）如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE
（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
12．（2019•渝中区校级自主招生）如图，平行四边形ABCD中，BD为对角线，点F在AB上，连接DF、CF，且BD＝BC，过F点作FE⊥CB交CB的延长线于点E．
（1）如图1，当F为AB的中点，∠A＝60°，AD＝2，求CE；
（2）如图2，若∠FDB＝2∠FCB，求证：FD＝2BE．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共7小题）
1．（2023•南岗区校级开学）在▱ABCD中，若∠A＝38°，则∠C等于（ ）
A．142°B．132°C．38°D．52°
2．（2023•唐山一模）证明：平行四边形的对角线互相平分．
已知：如图四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O．
求证：OA＝OC，OB＝OD，嘉琪的证明过程如图．
证明过程中，应补充的步骤是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BCB．AB∥BC，AD＝BC
C．AB∥CD，AD∥BCD．AB∥CD，AB＝CD
3．（2023秋•襄都区校级期末）平行四边形ABCD的周长为32cm，AB：BC＝3：5，则AB、BC的长分别为（ ）
A．20cm，12cmB．10cm，6cmC．6cm，10cmD．12cm，20cm
4．（2022•大渡口区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，∠DEC＝30°，则∠ADC＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．80°
5．（2023秋•桓台县期末）如图，在▱ABCD中，若∠A＝∠D+40°，则∠B的度数为（ ）
A．110°B．70°C．55°D．35°
6．（2022春•洪泽区月考）平行四边形的对角线长为x，y，一边长为14，则x，y的值可能是（ ）
A．8和16B．10和14C．18和10D．10和24
7．（2023秋•高新区校级期末）如图，点P是平行四边形ABCD边AD上的一点，E，F分别是BP，CP的中点，已知平行四边形ABCD面积为24，那么△PEF的面积为（ ）
A．12B．3C．6D．4
二．填空题（共4小题）
8．（2023秋•芝罘区期末）如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD、BC于E、F，若△ABE的周长为10，则四边形ABCD的周长是 ．
9．（2022春•泰州月考）已知▱ABCD周长是48cm，AC和BD相交于O，且△AOB的周长比△BOC的周长小4cm，则CD的长是 cm．
10．（2022春•玉林月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，AC＝10，则平行四边形ABCD的面积为 ．
11．（2022春•洪泽区月考）在▱ABCD中，若∠B+∠D＝160°，∠C＝ °．
三．解答题（共4小题）
12．（2023秋•沂源县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．
（1）证明：DE∥CB；
（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形，并说明理由．
13．（2022春•泰州月考）如图所示，已知点E，F在▱ABCD的对角线BD上，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接AF，CE，求证：四边形AECF是平行四边形．
14．（2022春•东台市月考）如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．
求证：四边形EGFH是平行四边形．
15．（2023秋•桓台县期末）已知，如图在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E，F分别在OD，BO上，且OE＝OF，连接AE，CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）延长AE交CD于点G，延长CF交AB于点H．求证：AH＝CG．
题组B 能力提升练
一．选择题（共3小题）
1．（2022春•盐都区月考）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：
①AB⊥AC；
②四边形AEFD是平行四边形；
③∠DFE＝150°；
④S四边形AEFD＝8．
正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022春•江都区月考）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（ ）
A．6B．8C．10D．13
3．（2023秋•莱州市期末）如图，在▱ABCD中，E是AD边的中点，BE平分∠ABC．若AB＝2，则▱ABCD的周长是（ ）
A．11B．12C．13D．14
二．填空题（共4小题）
4．（2022春•宝应县月考）在四边形ABCD中，分别给出四个条件：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠A＝∠C；④AB＝CD．以其中的两个条件能判定四边形ABCD为平行四边形的有 种不同的选择．
5．（2022春•沭阳县月考）已知在平面直角坐标系中，有点O（0，0）、A（2，2）、B（5，2）、C这四点．以这四点为顶点画平行四边形，则点C的坐标为 ．
6．（2022春•江都区月考）如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD＝6，AC+BD＝18，则△BOC的周长为 ．
7．（2022春•江都区月考）在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（﹣3，﹣4）、（2，﹣4），则顶点D的坐标是 ．
三．解答题（共4小题）
8．（2023秋•莱阳市期末）如图，在▱ABCD中，延长AD到点E，延长CB到点F，使得DE＝BF，连接EF，分别交CD，AB于点G，H，连接AG，CH．
求证：四边形AGCH是平行四边形．
9．（2023秋•东阳市期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝8，AB＝12，∠A＝60°，点E，G分别在边AB，AD上，且AE＝AB，AG＝AD，作EF∥AD、GH∥AB，EF与GH交于点O，分别在OF、OH上截取OP＝OG，OQ＝OE，连结PH、QF交于点I．
（1）四边形EBHO的面积 四边形GOFD的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）；
（2）比较∠OFQ与∠OHP大小，并说明理由．
（3）求四边形OQIP的面积．
10．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，在▱ABCD中，E、F分别为AB、CD边上两点，FB平分∠EFC．
（1）如图1，若AE＝2，EF＝5，求CD的长；
（2）如图2，∠BCD＝45°，BC⊥BD，若G为EF上一点，且∠GBF＝∠EFD，求证：FG+2FD＝AB．
11．（2023秋•莱芜区期末）点E是▱ABCD的边CD上的一点，连接EA并延长，使EA＝AM，连接EB并延长，使EB＝BN，连接MN，F为MN的中点，连接CF，DM．
（1）求证：四边形DMFC是平行四边形；
（2）连接EF，交AB于点O，若OF＝2，求EF的长．
题组C 培优拔尖练
一．填空题（共8小题）
1．（2023春•贵阳期末）如图所示，点O为▱ABCD内一点，连接BD，OA，OB，OC，OD，已知△BCO的面积为3，△ABO的面积为5，则阴影部分的面积是 ．
2．（2023春•沙坪坝区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝ ．
3．（2023春•永嘉县校级期中）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为 平方单位．
4．（2020秋•仓山区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG，则S△BEG＝ ．
5．（2023春•武汉期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AD平分∠CAB交BC于点D，P为直线AB上一动点．以DP、BD为邻边构造平行四边形DPQB，连接CQ，若AC＝4．则CQ的最小值为 ．
6．（2023•太原一模）如图，在▱ABCD中，AD＝6，对角线BD⊥CD，∠BAD＝30°，∠BAD与∠CDB的平分线交于点E，延长DB到点F，使DF＝AD，连接EF，则EF的长为 ．
7．（2020春•鹿城区期中）如图在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，四条内角平分线围成四边形EFGH面积为，则平行四边形ABCD面积为 ．
8．（2020•青羊区模拟）如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥BC，∠BAC＝30°，BC＝2，在AB边的下方作射线AG，使得∠BAG＝30°，E为线段DC上一个动点，在射线AG上取一点P，连接BP，使得∠EBP＝60°，连接EP交AC于点F，在点E的运动过程中，当∠BPE＝60°时，则AF＝ ．
二．解答题（共6小题）
9．（2020春•北碚区校级月考）在平行四边形ABCD中，AC⊥CD，E为BC中点，点M在线段BE上，连接AM，在BC下方有一点N，满足∠CAD＝∠BCN，连接MN．
（1）若∠BCN＝60°，AE＝5，求△ABE的面积；
（2）若MA＝MN，MC＝EA+CN，求证：AB＝AE．
10．（2020•南海区一模）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
求证：（1）AC＝EF；
（2）四边形ADFE是平行四边形；
（3）AC⊥DF．
11．（2019秋•沙坪坝区校级期中）如图所示，平行四边形ABCD和平行四边形CDEF有公共边CD，边AB和EF在同一条直线上，AC⊥CD且AC＝AF，过点A作AH⊥BC交CF于点G，交BC于点H，连接EG．
（1）若AE＝2，CD＝5，求△BCF的周长；
（2）求证：BC＝AG+EG．
12．（2019春•阿荣旗期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始．使PQ∥CD和PQ＝CD，分别需经过多少时间？为什么？
13．（2019春•萧县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
14．（2018秋•东湖区校级期末）如图，等边△ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以3cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以2cm/s的速度运动．
（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？
（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置．
第18讲 平行四边形的判定
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1．掌握平行四边形性质与判定定理。
2. 会应用平行四边形的性质与判定定理解决相关的几何证明和计算问题．
知识精讲
知识点01 平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
【知识拓展】（2023秋•芙蓉区校级期末）如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BEA＝30°，则∠A的大小为（ ）
A．150°B．130°C．120°D．100°
【分析】由平行四边形的性质得出∠AEB＝∠CBE，由角平分线的定义和邻补角关系得出∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝25°，再由三角形内角和定理即可得出∠A的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD于E，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝30°，
∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝120°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠ABE＝∠CBE＝∠AEB是解决问题的关键．
【即学即练1】（2022•乐清市一模）如图，在▱ABCD中，AB＝BE，∠C＝70°，则∠BAE的度数为（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
【分析】由平行四边形的性质得∠BAD＝∠C＝70°，AD∥BC，则∠BEA＝∠DAE，再由等腰三角形的性质得∠BEA＝∠BAE，则∠BAE＝∠DAE＝∠BAD，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠C＝70°，AD∥BC，
∴∠BEA＝∠DAE，
∵AB＝BE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝×70°＝35°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【即学即练2】（2022春•睢宁县月考）▱ABCD的对角线相交于点O，BD＝14，AC＝10，则BC的长可以是（ ）
A．8B．20C．14D．22
【分析】根据平行四边形的性质得出BO＝OD＝7，AO＝CO＝5，进而利用三角形三边关系解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD＝7，AO＝CO＝5，
∴7﹣5＜BC＜7+5，
即2＜BC＜12，
故选：A．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对角线平分解答．
知识点02 平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
【知识拓展】（2023秋•芝罘区期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t（s），则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值是（ ）
A．B．3C．3或D．或
【分析】分两种情形由平行四边形的判定列出方程即可解决问题．
【解答】解：①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝9+3t﹣12，解得t＝，
②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝12﹣9﹣3t，解得t＝，
综上所述，t＝或时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
故选：D．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
【即学即练1】（2022春•金华月考）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．OB＝OD，OA＝OCB．AD∥BC，AB＝CD
C．AB∥CD，AD∥BCD．AB∥CD，AB＝CD
【分析】利用所给条件结合平行四边形的判定方法进行分析即可．
【解答】解：A、∵OB＝OD，OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
B、∵AD∥BC，AB＝CD，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
C、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
D、∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【即学即练2】（2022春•渝中区校级月考）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，∠A＝∠CB．AB∥CD，AD＝BC
C．AB＝BC，CD＝DAD．∠A＝∠B，∠C＝∠D
【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．根据判定定理逐项判定即可．
【解答】解：如图所示，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B+∠A＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
根据平行四边形的判定定理可知：只有A符合条件．
故选：A．
【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
【即学即练3】（2022春•丹徒区月考）在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，M是BC上一点，且BM＝4cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 s或4s 时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】分两种情形列出方程即可解决问题．
【解答】解：分两种情况：
①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝4﹣2t，
解得：t＝；
②当F在线段CM上，即2≤t≤5，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝2t﹣4，
解得：t＝4，
综上所述，t＝s或4s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：s或4s．
【点评】本题考查了平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
知识点03 平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
【知识拓展】（2023秋•仓山区校级期末）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行B．对角线互相平分
C．一组对边相等D．对角线互相垂直
【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，分别进行判断即可．
【解答】解：A、一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、两条对角线互相平分的四边形为平行四边形，故此选项符合题意；
C、一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定方法．
【即学即练1】（2023秋•开福区校级期末）如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，，求AB的长．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．根据全等三角形的性质得到AD＝CE，于是得到四边形ADCE是平行四边形；
（2）过点C作CG⊥AB于点G．根据等腰三角形的性质得到∠DCB＝∠B＝30°．解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CE，
∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．
∵F是AC中点，
∴AF＝CF．
在△AFD与△CFE中，
．
∴△AFD≌△CFE（AAS），
∴DF＝EF，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）解：过点C作CG⊥AB于点G．
在△ACG中，∠AGC＝90°，AC＝，∠CAG＝45°，
∴由勾股定理得CG＝AG＝1．
在△BCG中，∠BGC＝90°，∠B＝30°，CG＝1，
∴BC＝2，
∴BG＝＝，
∴AB＝AG+BG＝．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
【即学即练2】（2022春•九龙坡区校级月考）在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，AD∥BC，BO＝DO．
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；
（2）过点O作OE⊥BD交BC于点E，连接DE．若∠CDE＝∠CBD＝15°，求∠ABC的度数．
【分析】（1）证明△AOD≌△COB（ASA），由全等三角形的性质得出AD＝BC，由平行四边形的判定可得出结论；
（2）由线段垂直平分线的性质得出BE＝ED，得出∠CBD＝∠BDE＝15°，求出∠ABD＝30°，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
又∵∠AOD＝∠BOC，OB＝OD，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵OB＝OD，OE⊥BD，
∴BE＝ED，
∴∠CBD＝∠BDE＝15°，
∵∠CDE＝15°，
∴∠BDC＝30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC＝30°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝30°+15°＝45°．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【即学即练3】（2023秋•栖霞市期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则此平行四边形的周长为 36或32或28 ．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，以A，B，C，D为顶点的平行四边形分三种情况，一是平行四边形ABCD以AB、BC为邻边，二是平行四边形ABDC以AB、AC为邻边，三是平行四边形ACBD以AC、BC为邻边，分别求出相应的平行四边形的周长即可．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
如图1，平行四边形ABCD以AB、BC为邻边，
∵CD＝AB＝10，AD＝BC＝8，
∴10×2+8×2＝36，
∴平行四边形ABCD的周长为36；
如图2，平行四边形ABDC以AB、AC为邻边，
∵CD＝AB＝10，DB＝AC＝6，
∴10×2+6×2＝32，
∴平行四边形ABDC的周长为32；
如图3，平行四边形ACBD以AC、BC为邻边，
∵AD＝BC＝8，DB＝AC＝6，
∴8×2+6×2＝28，
∴平行四边形ACBD的周长为28，
综上所述，此平行四边形的周长为36或32或28，
故答案为：36或32或28．
【点评】此题考查勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题过程中应分类讨论，求出所有符合题意的解．
【即学即练4】（2023秋•栖霞市期末）如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE．
（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
【分析】（1）由AM是△ABC的中线，D与M重合得DC＝BD，再根据平行线的性质证明∠EDC＝∠B，∠ECD＝∠ADB，即可证明△ECD≌△ADB，则DE与AB平行且相等，可证明四边形ABDE是平行四边形；
（2）过点M作MG∥AB交CG于点G，则四边形DEGM是平行四边形，得MG＝DE，由（1）得MG＝AB，所以DE＝AB，而DE∥AB，即可证明四边形ABDE是平行四边形．
【解答】（1）证明：如图1，∵AM是△ABC的中线，D与M重合，
∴DC＝BD，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B，
∵CE∥AM，即CE∥AD，
∴∠ECD＝∠ADB，
在△ECD和△ADB中，
，
∴△ECD≌△ADB（ASA），
∴DE＝AB，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）成立，理由如下：
如图2，过点M作MG∥AB交CG于点G，
∵DE∥AB，
∴MG∥DE，
∵CE∥AM，
∴四边形DEGM是平行四边形，
∴MG＝DE，
由（1）得MG＝AB，
∴DE＝AB，
∴四边形ABDE是平行四边形．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，证明△ECD≌△ADB是解题的关键．
【即学即练5】（2023秋•栖霞市期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形．
（1）证明：四边形AEFD是平行四边形；
（2）求∠DFE的度数．
【分析】（1）由△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，得DB＝AB＝AD，BF＝BC＝FC，EC＝AC＝AE，∠ABD＝∠CBF＝∠ACE＝BCF＝60°，则∠DBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF，∠ECF＝∠ACB＝60°﹣∠ACF，进而可证明△DBF≌△ABC，△EFC≌△ABC，得DF＝AC＝AE，EF＝AB＝AD，即可证明四边形AEFD是平行四边形；
（2）先根据勾股定理的逆定理求得∠BAC＝90°，再有∠BAD＝∠CAE＝60°，即可求得∠DFE＝∠DAE＝150°．
【解答】（1）证明：∵如图，∵△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，
∴DB＝AB＝AD，BF＝BC＝FC，EC＝AC＝AE，∠ABD＝∠CBF＝∠ACE＝BCF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF，∠ECF＝∠ACB＝60°﹣∠ACF，
在△DBF和△ABC中，
，
∴△DBF≌△ABC（SAS），
∴DF＝AC，
∴DF＝AE，
在△EFC和△ABC中，
，
∴△EFC≌△ABC（SAS），
∴EF＝AB，
∴EF＝AD，
∴四边形AEFD是平行四边形．
（2）解：如图，∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AB2+AC2＝32+42＝25，BC2＝52＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，
∵∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠DAE＝360°﹣∠BAD﹣∠CAE﹣∠BAC＝150°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴∠DFE＝∠DAE＝150°，
∴∠DFE的度数是150°．
【点评】此题考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理等知识，证明三角形全等是解题的关键．
【即学即练6】（2023秋•曲阳县期末）如图所示，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，则以下结论中，不一定正确的是 D （填字母序号）
A．∠1＝∠2
B．∠3＝∠4
C．l垂直平分AB，且l垂直平分CD
D．AC与BD互相平分
【分析】由轴对称的性质和平行四边形的判定与性质即可得出结论．
【解答】解：∵△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，l垂直平分AB，且l垂直平分CD，故选项A、B、C正确；
∵四边形ABCD不一定是平行四边形，
∴AC与BD不一定互相平分，故选项D不一定正确；
故答案为：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和轴对称的性质是解题的关键．
【即学即练7】（2022春•渝水区校级月考）如图，在▱ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动）．设运动t（s）（其中t＞0）时，以P、D、Q、B四点组成的四边形是平行四边形，则t的所有可能取值为 4.8或8或9.6 ．
【分析】根据平行四边形的判定可得当DP＝BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝12cm，AD∥BC，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP＝BQ，
①点Q的运动路线是C﹣B，
则12﹣4t＝12﹣t，
解得：t＝0，不符合题意；
②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，
则4t﹣12＝12﹣t，
解得：t＝4.8；
③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，
则12﹣（4t﹣24）＝12﹣t，
解得：t＝8；
④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，
则4t﹣36＝12﹣t，
解得：t＝9.6；
综上所述，t＝4.8s或8s或9.6s时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，
故答案为：4.8或8或9.6．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质等知识，求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用．
能力拓展
一．选择题（共2小题）
1．（2019•湖北自主招生）如图，平行四边形DEFG内接于△ABC，已知△ADE，△EFC，△DBG的面积为1，3，1，那么▱DEFG的面积为（ ）
A．2B．2C．3D．4
【分析】作三角形的高AM⊥BC，交DE与N，交BC于M，求出平行线分割的高线的分割比例即可．
【解答】解：作三角形的高AM⊥BC，交DE与N，交BC于M，如图：
设AN＝1，MN＝x．
∵△ADE的面积为1．
∴FG＝DE＝2，▱DEFG的面积为2x；
又∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
根据面积之比等于高的比的平方，
∴S△ADE：S△ABC＝1：（5+2x）＝12：（1+x）2，
解得x＝2，
故▱DEFG的面积为4．
故选：D．
【点评】本题结合三角形的知识综合考查了平行四边形的性质，解题关键是利用平行四边形的性质结合相似三角形来解决有关的计算．
2．（2016•宁波）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（ ）
A．4S1B．4S2C．4S2+S3D．3S1+4S3
【分析】设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，求出S2（用a、c表示），得出S1，S2，S3之间的关系，由此即可解决问题．
【解答】解：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，
则S2＝（a+c）（a﹣c）＝a2﹣c2，
∴S2＝S1﹣S3，
∴S3＝2S1﹣2S2，
∴平行四边形面积＝2S1+2S2+S3＝2S1+2S2+2S1﹣2S2＝4S1．
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S1，S2，S3之间的关系，属于中考常考题型．
二．填空题（共2小题）
3．（2019•湖北自主招生）如图，直线AB、IL、JK、DC互相平行，直线AD、IJ、LK、BC互相平行，四边形ABCD面积为90，四边形EFGH面积为55，则四边形IJKL面积为 20 ．
【分析】由平行四边形的性质可得S△EHB＝S△EIH，S△AEF＝S△EFJ，S△DFG＝S△FKG，S△GCH＝S△GHL，由面积和差关系可求四边形IJKL面积．
【解答】解：∵AB∥IL，IJ∥BC
∴四边形EIHB是平行四边形
∴S△EHB＝S△EIH，
同理可得：S△AEF＝S△EFJ，S△DFG＝S△FKG，S△GCH＝S△GHL，
∴四边形IJKL面积＝四边形EFGH面积﹣（四边形ABCD面积﹣四边形EFGH面积）＝55﹣（90﹣55）＝20
故答案为：20
【点评】本题考查了平行四边形的性质判定，证明S△EHB＝S△EIH是本题的关键．
4．（2017•金牛区校级自主招生）如图，点P是▱ABCD内一点，S△PAB＝7，S△PAD＝4，则S△PAC＝ 3 ．
【分析】根据平行四边形的对边相等，可得AB＝DC；再设假设P点到AB的距离是h1，假设P点到DC的距离是h2，将平行四边形的面积分割组合，即可求得．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，
假设P点到AB的距离是h1，假设P点到DC的距离是h2，
∴S△PAB＝AB•h1，S△PDC＝DC•h2，
∴S△PAB+S△PDC＝（AB•h1+DC•h2）＝DC•（h1+h2），
∵h1+h2正好是AB到DC的距离，
∴S△PAB+S△PDC＝S▱ABCD＝S△ABC＝S△ADC，
∵S△PAB+S△PDC＝S▱ABCD＝S△ABC＝S△ADC，
即S△ADC＝S△PAB+S△PDC＝7+S△PDC，
而S△PAC＝S△ADC﹣S△PDC﹣S△PAD，
∴S△PAC＝7﹣4＝3．
【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对边平行．解题时要注意将四边形的面积有机的分割有组合．
三．解答题（共8小题）
5．（2017•市南区校级自主招生）如图，E是平行四边形ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE．
（2）若AB＝AF，试判断四边形ACFD的形状，并说明理由．
【分析】（1）先由平行四边形的性质和中点条件得出全等所需的条件，然后得出结论．
（2）先证四边形ACFD是平行四边形，再对角线相等，四边形就变成了矩形．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ADE＝∠FCE，
∵E为CD中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中：
∴△ADE≌△FCE（ASA）．
（2）四边形ACFD是矩形．理由如下：
如图，连接AC，DF，
∵△ADE≌△FCE，
∴CF＝AD＝BC，
∵AD∥CF，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴C为BF中点，
∵AB＝AF，
∴AF＝CD，
∴四边形ACFD是矩形．
【点评】本题主要考考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定方法，属于基础题．熟悉全等三角形以及特殊四边形的判定定理是解答关键．
6．（2018•西湖区校级自主招生）如果用铁丝围成如图一样的平行四边形，需要用铁丝多少厘米？
【分析】根据平行四边形的性质解答即可．
【解答】解：∵用铁丝围成如图一样的平行四边形，
可得：6×12÷9＝8（cm），（12+8）×2＝40（cm）．
答：需要用铁丝40cm．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质解答．
7．（2020•北碚区自主招生）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是DA、BC延长线上的点，且∠ABE＝∠CDF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形EBFD是平行四边形．
【分析】（1）由ASA即可得出△ABE≌△CDF；
（2）由全等三角形的性质得出AE＝CF，由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，证出DE＝BF，即可得出四边形EBFD是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD+AE＝BC+CF，
即DE＝BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
8．（2019•麻城市校级自主招生）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，D是AB上一点，AC＝BD，P是CD中点．求证：AP＝BC．
【分析】作辅助线，构建全等三角形和平行四边形，先证明四边形ACFD是平行四边形，得DF＝AC＝BD，DF∥AC，再证明△BDF是等边三角形，证明△ABC≌△BAF（SAS），可得结论．
【解答】证明：延长AP至点F，使得PF＝AP，连接BF，DF，CF，
∵P是CD中点，
∴CP＝DP，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴DF＝AC＝BD，DF∥AC，
∴∠FDB＝∠BAC＝60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴BF＝DF＝AC，∠ABF＝60°，
∴∠ABF＝∠BAC，
在△ABC和△BAF中，
∵，
∴△ABC≌△BAF（SAS），
∴AF＝BC，
∴AP＝AF＝BC．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
9．（2019•南岸区自主招生）如图，平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
【分析】（1）根据平行四边形平行四边形的性质得到AB∥CD AB＝CD，从而得到∠ABE＝∠CDF，然后利用SAS证得两三角形全等即可；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等推知∠AEB＝∠DFC，则等角的补角相等，即∠AEF＝∠CFE，所以AE∥FC．根据“有一组对边平行且相等”证得结论．
【解答】证明（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF （SAS）；
（2）证明：∵由（1）知，△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠DFC，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥FC，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
10．（2018•宝山区校级自主招生）AB∥CD，AB＝15，CD＝10，AD＝3，CB＝4，求S四边形ABCD．
【分析】过D作DF∥CB交AB于F，作DE⊥AB于E，则四边形BCDF是平行四边形，得BF＝CD＝10，DF＝CB＝4，则AF＝AB﹣BF＝5，设AE＝x，则EF＝AF﹣AE＝5﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可解决问题．
【解答】解：过D作DF∥CB交AB于F，作DE⊥AB于E，如图所示：
∵AB∥CD，
∴四边形BCDF是平行四边形，
∴BF＝CD＝10，DF＝CB＝4，
∴AF＝AB﹣BF＝15﹣10＝5，
设AE＝x，则EF＝AF﹣AE＝5﹣x，
由勾股定理得：DE2＝AD2﹣AE2＝DF2﹣EF2，
即32﹣x2＝42﹣（5﹣x）2，
解得：x＝，
∴DE＝＝＝，
∴S四边形ABCD＝（AB+CD）•DE＝（15+10）×＝30．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理以及梯形面积公式等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
11．（2018•江岸区校级自主招生）如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE
（1）如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
【分析】（1）只要证明AB＝ED，AB∥ED即可解决问题；
（2）成立．如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G．由四边形DMGE是平行四边形，推出ED＝GM，且ED∥GM，由（1）可知AB＝GM，AB∥GM，可知AB∥DE，AB＝DE，即可推出四边形ABDE是平行四边形．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠ABM，
∵CE∥AM，
∴∠ECD＝∠ADB，
∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，
∴BD＝DC，
∴△ABD≌△EDC（ASA），
∴AB＝ED，
∵AB∥ED，
∴四边形ABDE是平行四边形．
（2）结论：成立．理由如下：
如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G．
∵CE∥AM，
∴四边形DMGE是平行四边形，
∴ED＝GM，且ED∥GM，
由（1）可知AB＝GM，AB∥GM，
∴AB∥DE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角的判定、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题．
12．（2019•渝中区校级自主招生）如图，平行四边形ABCD中，BD为对角线，点F在AB上，连接DF、CF，且BD＝BC，过F点作FE⊥CB交CB的延长线于点E．
（1）如图1，当F为AB的中点，∠A＝60°，AD＝2，求CE；
（2）如图2，若∠FDB＝2∠FCB，求证：FD＝2BE．
【分析】（1）根据平行四边形的性质证明△BCD是等边三角形，再根据含30度角的直角三角形求出BE的长，进而可得CE的长；
（2）如图延长FE到J 使得EJ＝EF，连接CJ，过点J作JT∥CE交AB的延长线于点T，连接CT，DT．证明TJ＝2BE，再证明DF＝CT＝TJ，可得结论．
【解答】（1）解：在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AD＝2，
∴BC＝AD＝2，∠BCD＝∠A＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴DC＝BC＝BD＝2，
∵F为AB的中点，
∴BF＝AB＝CD＝1，
∵AD∥BC，
∴∠EBF＝∠A＝60°，
∴∠EFB＝30°，
∴BE＝BF＝，
∴CE＝CB+BE＝2+＝；
（2）证明：如图延长FE到J 使得EJ＝EF，连接CJ，过点J作JT∥CE交AB的延长线于点T，连接CT，DT．
∵EF＝EJ，CE⊥FJ，
∴CF＝CJ，
∴∠FCE＝∠ECJ，
∵EF＝EJ，BE∥TJ，
∴BF＝BT，
∴TJ＝2BE，
∵CD∥AT，
∴∠DBF＝∠BDC，∠CBT＝∠DCB，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠DCB，
∴∠DBF＝∠CBT，
∵BE＝BT，BD＝BC，
∴△DBF≌△CBT（SAS），
∴DF＝CT，∠FDB＝∠BCT，
∵∠BDF＝2∠BCF，∠BCF＝∠BCJ，
∴∠TCJ＝∠BCJ，
∵BC∥TJ，
∴∠CJT＝∠BCJ，
∴∠CJT＝∠TCJ，
∴CT＝TJ，
∴DF＝2BE．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
分层提分
题组A 基础过关练
一．选择题（共7小题）
1．（2023•南岗区校级开学）在▱ABCD中，若∠A＝38°，则∠C等于（ ）
A．142°B．132°C．38°D．52°
【分析】利用四边形ABCD是平行四边形，可知∠A＝∠C，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C（平行四边形对角相等），
∵∠A＝38°，
∴∠C＝38°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，熟悉并正确运用平行四边形的性质是解决问题的关键．
2．（2023•唐山一模）证明：平行四边形的对角线互相平分．
已知：如图四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O．
求证：OA＝OC，OB＝OD，嘉琪的证明过程如图．
证明过程中，应补充的步骤是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BCB．AB∥BC，AD＝BC
C．AB∥CD，AD∥BCD．AB∥CD，AB＝CD
【分析】根据平行四边形的判定和性质即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OA＝OC，OB＝OD，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
3．（2023秋•襄都区校级期末）平行四边形ABCD的周长为32cm，AB：BC＝3：5，则AB、BC的长分别为（ ）
A．20cm，12cmB．10cm，6cmC．6cm，10cmD．12cm，20cm
【分析】根据平行四边形的性质，可得AB＝CD，BC＝AD，然后设AB＝3xcm，BC＝5xcm，可得到2（3x+5x）＝32，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD，
∵AB：BC＝3：5，
∴可设AB＝3xcm，BC＝5xcm，
∵平行四边形ABCD的周长为32cm，
∴2（AB+BC）＝32，即2（3x+5x）＝32，
解得：x＝2，
∴AB＝6cm，BC＝10cm．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对边相等是解题的关键．
4．（2022•大渡口区模拟）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，∠DEC＝30°，则∠ADC＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．80°
【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE＝∠CED，
【解答】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠ADE，
∵▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED＝30°，
∴∠ADC＝2×30°＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．
5．（2023秋•桓台县期末）如图，在▱ABCD中，若∠A＝∠D+40°，则∠B的度数为（ ）
A．110°B．70°C．55°D．35°
【分析】由平行四边形的性质可得∠B＝∠D，∠A+∠D＝180°，即可求∠B的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠B＝∠D，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A＝∠D+40°，
∴∠D＝70°，
∴∠B＝70°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
6．（2022春•洪泽区月考）平行四边形的对角线长为x，y，一边长为14，则x，y的值可能是（ ）
A．8和16B．10和14C．18和10D．10和24
【分析】根据平行四边形的性质知，平行四边形的对角线互相平分，则对角线的一半和已知的边组成三角形，再利用三角形的三边关系可逐个判断即可．
【解答】解：A、根据三角形的三边关系可知：4+8＝12＜14，不能构成三角形，故此选项不符合题意；
B、5+7＝12＜14，不能构成三角形，故此选项错误，不符合题意；
C、9+5＝14，不能构成三角形，故此选项错误，不符合题意；
D、5+12＝17＞14，能构成三角形，故此选项正确，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质．三角形的三边关系，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
7．（2023秋•高新区校级期末）如图，点P是平行四边形ABCD边AD上的一点，E，F分别是BP，CP的中点，已知平行四边形ABCD面积为24，那么△PEF的面积为（ ）
A．12B．3C．6D．4
【分析】先根据S▱ABCD＝24知S△PBC＝S▱ABCD＝12，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵▱ABCD的面积为24，
∴S△PBC＝S▱ABCD＝12，
∵E、F分别是PB、PC的中点，
∴EF∥BC，且EF＝BC，
∴△PEF∽△PBC，
∴＝（）2，即＝，
∴S△PEF＝3，
故选：B．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质与相似三角形的判定与性质．
二．填空题（共4小题）
8．（2023秋•芝罘区期末）如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD、BC于E、F，若△ABE的周长为10，则四边形ABCD的周长是 20 ．
【分析】根据OB＝OD，又由OE⊥BD，可得BE＝DE，继而可求得△ABE的周长为AB+AD＝10，根据三角形的周长求得平行四边形的周长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，
∵OE⊥BD，
∴BE＝DE，
∵△ABE的周长为10，
∴AB+AE+BE＝AB+AE+DE＝AB+AD＝10，
∴平行四边形ABCD的周长是2（AB+AD）＝20，
故答案为：20．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
9．（2022春•泰州月考）已知▱ABCD周长是48cm，AC和BD相交于O，且△AOB的周长比△BOC的周长小4cm，则CD的长是 10 cm．
【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分，由于△AOB的周长比△BOC的周长小4cm，则BC比AB大4cm，根据周长的值可以求出AB，进而求出CD的长．
【解答】解：∵平行四边形的周长为48cm，
∴AB+BC＝24cm；
又△AOB的周长比△BOC的周长小4cm，
∴BC﹣AB＝4cm，
解得：AB＝10cm，BC＝14cm．
∵AB＝CD，
∴CD＝10cm
故答案为：10．
【点评】此题主要考查平行四边的性质：平行四边形的两组对边分别相等且平行四边形的对角线互相平分．
10．（2022春•玉林月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，AC＝10，则平行四边形ABCD的面积为 24 ．
【分析】根据平行四边形的性质得到CE＝AC＝5，BD＝2BE，根据勾股定理得到BE＝＝＝3，求得BD＝6，由平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CE＝AC＝5，BD＝2BE，
∵∠CBD＝90°，BC＝4，
∴BE＝＝＝3，
∴BD＝6，
∴平行四边形ABCD的面积为BC•BD＝4×6＝24，
故答案为：24．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
11．（2022春•洪泽区月考）在▱ABCD中，若∠B+∠D＝160°，∠C＝ 100 °．
【分析】根据平行四边形的对角相等求得∠D＝∠B＝80°；然后由平行四边形的对边平行和平行线的性质解答．
【解答】解：在▱ABCD中，∠B+∠D＝160°，∠D＝∠B，则∠D＝∠B＝80°．
在▱ABCD中，AB∥CD，则∠B+∠C＝180°，
所以∠C＝180°﹣80°＝100°．
故答案是：100．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角相等，平行四边形的对边平行．
三．解答题（共4小题）
12．（2023秋•沂源县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．
（1）证明：DE∥CB；
（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形，并说明理由．
【分析】（1）首先连接CE，根据直角三角形的性质可得CE＝AB＝AE，再根据等边三角形的性质可得AD＝CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得到∠ADE＝∠CDE＝30°，再有∠DCB＝150°，证明DE∥CB；
（2）当AC＝AB时，证出DC∥BE，由平行四边形的判定可得出结论．
【解答】（1）证明：连接CE．
∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，
∴CE＝AB＝AE．
∵△ACD是等边三角形，
∴AD＝CD．
∴DE∥BC．
在△ADE与△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SSS），
∴∠ADE＝∠CDE＝30°．
∵∠DCB＝150°，
∴∠EDC+∠DCB＝180°．
∴DE∥CB．
（2）解：当AC＝AB时，四边形DCBE是平行四边形．
理由：∵AC＝AB，∠ACB＝90°，
∴∠B＝30°，
∵∠DCB＝150°，
∴∠DCB+∠B＝180°，
∴DC∥BE，
又∵DE∥BC，
∴四边形DCBE是平行四边形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的判定，平行四边形的判定，证明△ADE≌△CDE是解题的关键．
13．（2022春•泰州月考）如图所示，已知点E，F在▱ABCD的对角线BD上，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接AF，CE，求证：四边形AECF是平行四边形．
【分析】（1）由平行四边形的性质可知：∠ABE＝∠CDF，再利用已知条件和三角形全等的判定方法即可证明△ABE≌△CDF；
（2）由（1）可知△ABE≌△CDF，所以∠AEB＝∠DFC，进而可得∠AED＝∠BFC，所以AE∥CF，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB＝∠DFC，AE＝CF，
∴∠AED＝∠BFC，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
14．（2022春•东台市月考）如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．
求证：四边形EGFH是平行四边形．
【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，根据平行线的性质得到∠GAE＝∠HCF，根据全等三角形的性质得到GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠GAE＝∠HCF，
∵点G，H分别是AB，CD的中点，
∴AG＝CH，
在△AGE和△CHF中，
，
∴△AGE≌△CHF（SAS），
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE∥HF，
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形判定与的性质是解题的关键．
15．（2023秋•桓台县期末）已知，如图在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，点E，F分别在OD，BO上，且OE＝OF，连接AE，CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）延长AE交CD于点G，延长CF交AB于点H．求证：AH＝CG．
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得AD＝BC，AD∥BC，BO＝DO，可证∠ADE＝∠CBF，DE＝BF，然后通过SAS即可证得△ADE≌△CBF；
（2）证出四边形AHCG是平行四边形，由平行四边形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，BO＝DO，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵OE＝OF，
∴DE＝BF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵△ADE≌△CBF，
∴∠DAE＝∠BCF，
∴∠EAO＝∠FCO，
∴AG∥HC，
∵AH∥CG，
∴四边形AHCG是平行四边形，
∴AH＝CG．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ADE≌△CBF是解题的关键．
题组B 能力提升练
一．选择题（共3小题）
1．（2022春•盐都区月考）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：
①AB⊥AC；
②四边形AEFD是平行四边形；
③∠DFE＝150°；
④S四边形AEFD＝8．
正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由AB2+AC2＝BC2，得出∠BAC＝90°，故①正确；再由SAS证得△ABC≌△DBF，得AC＝DF＝AE＝4，同理△ABC≌△EFC（SAS），得AB＝EF＝AD＝3，则四边形AEFD是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得∠DFE＝∠DAE＝150°，则③正确；最后求出S▱AEFD＝6，故④错误；即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，32+42＝52，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC，故①正确；
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝150°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴BD＝BA，BF＝BC，∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC＝DF＝AE＝4，
同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），
∴AB＝EF＝AD＝3，
∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③正确；
过A作AG⊥DF于G，如图所示：
则∠AGD＝90°，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，
∴AG＝AD＝，
∴S▱AEFD＝DF•AG＝4×＝6，故④错误；
∴正确的个数是3个，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABC≌△DBF是解题的关键．
2．（2022春•江都区月考）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（ ）
A．6B．8C．10D．13
【分析】过点A作AM∥FC，交BE与点O，由平行线的性质和角平分线的性质可证∠BHC＝90°，由平行线的性质可求∠AOE＝∠BHC＝90°，由平行线的性质和角平分线的性质可证AE＝AB＝5，由勾股定理可求AO的长，由“ASA”可证△ABO≌△MBO，可得AO＝OM＝4，通过证明四边形AMCF是平行四边形，可得CF＝AM＝8．
【解答】解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB+180°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∵AM∥CF，
∴∠AOE＝∠BHC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，
∴AB＝AE＝5，
又∵∠AOE＝90°，
∴BO＝OE＝3，
∴AO＝，
在△ABO和△MBO中，
，
∴△ABO≌△MBO（ASA），
∴AO＝OM＝4，
∴AM＝8，
∵AD∥BC，AM∥CF，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴CF＝AM＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．
3．（2023秋•莱州市期末）如图，在▱ABCD中，E是AD边的中点，BE平分∠ABC．若AB＝2，则▱ABCD的周长是（ ）
A．11B．12C．13D．14
【分析】因为ABCD为平行四边形，故AD∥BC，∠AEB＝∠EBC，又BE平分∠ABC，∠ABE＝∠AEB，故△ABE为等腰三角形，AE＝AB＝2，可知AD＝4，继而可求出▱ABCD的周长．
【解答】解：∵ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，∠AEB＝∠EBC，
又BE平分∠ABC，∠ABE＝∠AEB，
故△ABE为等腰三角形，
∴AE＝AB＝2，可知AD＝4，
∴▱ABCD的周长＝2（AB+AD）＝12．
故选：B．
【点评】此题考查平行四边形的性质，属于基础题，关键是判断出△ABE为等腰三角形，要求我们熟练掌握平行四边形及平行线的性质．
二．填空题（共4小题）
4．（2022春•宝应县月考）在四边形ABCD中，分别给出四个条件：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠A＝∠C；④AB＝CD．以其中的两个条件能判定四边形ABCD为平行四边形的有 3 种不同的选择．
【分析】根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．
【解答】解：①③组合能根据平行线的性质得到∠B＝∠D，从而利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；
①④组合能利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；
②④组合能利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．
5．（2022春•沭阳县月考）已知在平面直角坐标系中，有点O（0，0）、A（2，2）、B（5，2）、C这四点．以这四点为顶点画平行四边形，则点C的坐标为 （3，0）或（﹣3，0）或（7，4） ．
【分析】根据坐标与图形的性质和平行四边形的对边平行且相等可以画出草图，然后解答即可．
【解答】解：根据题意画出草图得：
点C的坐标为（3，0）或（﹣3，0）或（7，4），
故答案为：（3，0）或（﹣3，0）或（7，4）．
【点评】本题考查了平行四边形的判断和性质，解题的关键是利用已知条件正确画图再数形结合，能起到事半功倍的作用．
6．（2022春•江都区月考）如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，若AD＝6，AC+BD＝18，则△BOC的周长为 15 ．
【分析】根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝6，OA＝OC，OB＝OD，
∵AC+BD＝18，
∴OB+OC＝9，
∴△BOC的周长＝BC+OB+OC＝6+9＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查平行四边形的性质．三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，属于中考常考题型．
7．（2022春•江都区月考）在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（﹣3，﹣4）、（2，﹣4），则顶点D的坐标是 （5，2） ．
【分析】首先根据题意作图，然后由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可求得顶点D的坐标．
【解答】解：如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB，
∵▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（﹣3，﹣4）、（2，﹣4），
∴顶点D的坐标为（5，2）．
故答案为：（5，2）．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意数形结合思想的应用是解此题的关键．
三．解答题（共4小题）
8．（2023秋•莱阳市期末）如图，在▱ABCD中，延长AD到点E，延长CB到点F，使得DE＝BF，连接EF，分别交CD，AB于点G，H，连接AG，CH．
求证：四边形AGCH是平行四边形．
【分析】根据平行四边形的性质得到∠EAH＝∠FCG，AD∥BC，AD＝BC，求得AE＝CF，根据全等三角形的性质得到AH＝CG，由平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠EAH＝∠FCG，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠E＝∠F，
∵AD＝BC，DE＝BF，
∴AD+DE＝BC+BF，
即AE＝CF，
在△AEH与△CFG中，
，
∴△AEH≌△CFG（ASA），
∴AH＝CG，
∵AH∥CG，
∴四边形AGCH是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
9．（2023秋•东阳市期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝8，AB＝12，∠A＝60°，点E，G分别在边AB，AD上，且AE＝AB，AG＝AD，作EF∥AD、GH∥AB，EF与GH交于点O，分别在OF、OH上截取OP＝OG，OQ＝OE，连结PH、QF交于点I．
（1）四边形EBHO的面积 ＝ 四边形GOFD的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）；
（2）比较∠OFQ与∠OHP大小，并说明理由．
（3）求四边形OQIP的面积．
【分析】（1）根据已知可知四边形EBHO和四边形GOFD都是平行四边形，然后求出它们的面积即可判断；
（2）利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明△OFQ∽△OHP，即可解答；
（3）利用相似三角形的性质求出△OFQ与△OHP的面积比，再证明△FPI∽△HQI，求出它们的面积比，最后求出△OFQ的面积进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点D作DM⊥GH，垂足为M，过点O作ON⊥AB，垂足为N，
∵AD＝8，AB＝12，AE＝AB，AG＝AD，
∴AE＝3，AG＝2，
∴GD＝AD﹣AG＝9，EB＝AB﹣AE＝8﹣2＝6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵EF∥AD、GH∥AB，
∴EF∥AD∥BC，GH∥AB∥CD，
∴四边形GOFD是平行四边形，四边形OEBH是平行四边形，四边形AGOE是平行四边形，
∴AE＝GO＝3，EB＝OH＝9，GD＝FO＝6，AG＝OE＝2，
∵EF∥AD、GH∥AB，
∴∠A＝∠DGO＝60°，∠A＝∠OEB＝60°，
∴DM＝GDsin60°＝6×＝3，ON＝OEsin60°＝2×＝，
∴四边形EBHO的面积＝EB•ON＝9×＝9，
四边形GOFD的面积＝GO•DM＝3×3＝9，
∴四边形EBHO的面积＝四边形GOFD的面积，
故答案为：＝；
（2）∠OFQ＝∠OHP，
理由：∵OP＝OG＝3，OQ＝OE＝2，OF＝6，OH＝9，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠FOQ＝∠POH，
∴△OFQ∽△OHP，
∴∠OFQ＝∠OHP；
（3）设四边形OQIP的面积为x，△FPI的面积为y，△HQI的面积为z，
∵△OFQ∽△OHP，OQ＝2，OP＝3，
∴＝，
∴＝，
∴5x＝4z﹣9y，
∵∠FIP＝∠HIQ，∠OFQ＝∠OHP，
∴△FPI∽△HQI，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴＝，
∴49y＝9z，
过点Q作QK⊥OF，垂足为K，
∵GH∥AB，
∴∠FOQ＝∠FEB＝60°，
∴QK＝OQsin60°＝2×＝，
∴△OFQ的面积＝OF•QK＝×6×＝3，
∴x+y＝3，
∴，
由②得：z＝y，
把z＝y代入①得：5x＝4y﹣y，
∴y＝x，
把y＝x代入③得：x+x＝3，
∴x＝，
∴四边形OQIP的面积为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
10．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图，在▱ABCD中，E、F分别为AB、CD边上两点，FB平分∠EFC．
（1）如图1，若AE＝2，EF＝5，求CD的长；
（2）如图2，∠BCD＝45°，BC⊥BD，若G为EF上一点，且∠GBF＝∠EFD，求证：FG+2FD＝AB．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得∠ABF＝∠BFC，AB＝CD，结合角平分线的定义可求得∠ABF＝∠EFB，即可求BE＝EF＝5，进而可求解；
（2）在FC上截取FH＝FG，连接BH，利用SAS证明△BGF≌△BHF可得∠BGF＝∠BHF，结合三角形的内角和定理可得∠BFD＝∠BHC，结合等腰直角三角形的性质利用AAS证明△BDF≌△BCH可得DF＝CH，进而可证明结论．
【解答】（1）解：在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABF＝∠BFC，
∵FB平分∠EFC，
∴∠EFB＝∠BFC，
∴∠ABF＝∠EFB，
∵AE＝2，EF＝5，
∴BE＝EF＝5，
∴CD＝AB＝AE+EF＝2+5＝7；
（2）证明：在FC上截取FH＝FG，连接BH，
在△BGF和△BHF中，
，
∴△BGF≌△BHF（SAS），
∴∠BGF＝∠BHF，
∵∠GBF＝∠EFD，
∵∠EFD+∠EFB+∠BFH＝180°，∠EFB+∠BGF+∠GBF＝180°，
∴∠BFH＝∠BGF，
∴∠BFH＝∠BHF，
∴∠BFD＝∠BHC，
∵∠BCD＝45°，BC⊥BD，
∴∠BDF＝45°＝∠BCH，
∴BD＝BC，
在△BDF和△BCH中，
，
∴△BDF≌△BCH（AAS）
∴DF＝CH，
∴AB＝CD＝DF+FH+CH＝FG+2FD，
即FG+2FD＝AB．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△BDF≌△BCH是解题的关键．
11．（2023秋•莱芜区期末）点E是▱ABCD的边CD上的一点，连接EA并延长，使EA＝AM，连接EB并延长，使EB＝BN，连接MN，F为MN的中点，连接CF，DM．
（1）求证：四边形DMFC是平行四边形；
（2）连接EF，交AB于点O，若OF＝2，求EF的长．
【分析】（1）利用三角形的中位线可得AB∥MF，AB＝MF，结合平行四边形的性质可得MF∥CD，MF＝CD，进而可证明结论；
（2）连接AF，BF，则AF是△MNE的中位线，证明四边形AFBE是平行四边形，再利用平行四边形的性质可求解．
【解答】（1）证明：∵AE＝AM，EB＝BN，
∴AB为△EMN的中位线，
∴AB∥MN，AB＝MN，
∵MF＝MN，
∴AB∥MF，AB＝MF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴MF∥CD，MF＝CD，
∴四边形MFCD为平行四边形；
（2）解：连接AF，BF，则AF是△MNE的中位线，
∴AF∥EB，AF＝EB，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∴OF＝OE＝2，
∴EF＝4．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定与性质，三角形的中位线，掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
题组C 培优拔尖练
一．填空题（共8小题）
1．（2023春•贵阳期末）如图所示，点O为▱ABCD内一点，连接BD，OA，OB，OC，OD，已知△BCO的面积为3，△ABO的面积为5，则阴影部分的面积是 5﹣3 ．
【分析】设△COD的面积为x，根据平行四边形的面积＝2（S△AOB+S△COD）＝2S△BCD，列式整理即可得解．
【解答】解：∵▱ABCD的面积＝2（S△AOB+S△COD）＝2S△BCD，
设△COD的面积为x，
∵▱ABCD的面积＝2（5+x）＝2（S阴影△BOD+x+3），
∴阴影部分△BOD的面积＝5+x﹣x﹣3，
＝5﹣3，
故答案为：5﹣3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，设出△COD的面积为x然后表示出平行四边形的面积是解题的关键，准确识图理清各三角形的关系．
2．（2023春•沙坪坝区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝ 2 ．
【分析】过点M作MH∥BC交CP于H，根据两直线平行，同位角相等可得∠MHP＝∠BCP，两直线平行，内错角相等可得∠NCF＝∠MHF，根据等边对等角可得∠BCP＝∠BPC，然后求出∠BPC＝∠MHP，根据等角对等边可得PM＝MH，根据等腰三角形三线合一的性质可得PE＝EH，利用“角边角”证明△NCF和△MHF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝FH，从而求出EF＝CP，根据矩形的对边相等可得BC＝AD＝10，再利用勾股定理列式求出AP，然后求出PD，再次利用勾股定理列式计算即可求出CP，从而得解．
【解答】解：如图，过点M作MH∥BC交CP于H，
则∠MHP＝∠BCP，∠NCF＝∠MHF，
∵BP＝BC，
∴∠BCP＝∠BPC，
∴∠BPC＝∠MHP，
∴PM＝MH，
∵PM＝CN，
∴CN＝MH，
∵ME⊥CP，
∴PE＝EH，
在△NCF和△MHF中，
，
∴△NCF≌△MHF（AAS），
∴CF＝FH，
∴EF＝EH+FH＝CP，
∵矩形ABCD中，AD＝10，
∴BC＝AD＝10，
∴BP＝BC＝10，
在Rt△ABP中，AP＝＝＝6，
∴PD＝AD﹣AP＝10﹣6＝4，
在Rt△CPD中，CP＝＝＝4，
∴EF＝CP＝×4＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形是解题的关键．
3．（2023春•永嘉县校级期中）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，E是BC的中点，EF⊥AB于点F，则△DEF的面积为 2 平方单位．
【分析】根据平行四边形对边平行可得AB∥CD，再利用两直线平行，内错角相等可得∠B＝∠ECG，根据线段中点的定义可得BE＝CE，然后利用“角边角”证明△BEF和△CEG全等，根据全等三角形对应边相等可得BF＝CG，再解直角三角形求出EF、BF，求出DG，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：如图，延长DC和FE交于点G，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠B＝∠ECG，
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝×4＝2，
在△BEF和△CEG中，
，
∴△BEF≌△CEG（ASA），
∴BF＝CG，
∵∠B＝60°，
∴∠FEB＝30°，
∴BF＝BE＝1，
∴EF＝，
∵CG＝BF＝1，CD＝AB＝3，
∴DG＝CD+CG＝3+1＝4，
∵EF⊥AB，AB∥CD，
∴DG⊥FG，
∴S△DEF＝EF•DG＝××4＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的面积，熟记各性质是解题的关键．
4．（2020秋•仓山区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG，则S△BEG＝ 14 ．
【分析】如图，取BC中点H，连接AH，连接EC交AD于N，作EM⊥CD交CD的延长线于M．构建S△BEG＝S△BCE+SECG﹣S△BCG计算即可；
【解答】解：如图，取BC中点H，连接AH，连接EC交AD于N，作EM⊥CD交CD的延长线于M．
∵BC＝2AB，BH＝CH，∠ABC＝60°，
∴BA＝BH＝CH，
∴△ABH是等边三角形，
∴HA＝HB＝HC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝30°，
∵EC⊥BC，∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°，
∴∠ACE＝60°，∠ECM＝30°，
∵BC＝2AB＝8，
∴CD＝4，CN＝EN＝2，
∴EC＝4，EM＝2，
∴S△BEG＝S△BCE+SECG﹣S△BCG
＝×8×4+2×2﹣S平行四边形ABCD
＝16+2﹣4
＝14．
故答案为14．
【点评】本题考查平行四边形的性质、轴对称图形、勾股定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线没工作直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
5．（2023春•武汉期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AD平分∠CAB交BC于点D，P为直线AB上一动点．以DP、BD为邻边构造平行四边形DPQB，连接CQ，若AC＝4．则CQ的最小值为 +2 ．
【分析】首先在△ACB中，由于AC＝4，∠CAB＝60°，∠CBA＝45°，所以可以解△CAB，即可以过C作CO⊥AB于O，利用三勾股定理，求出AB的长度，同理，在△DAB中，过D作DH⊥AB于H，可以求出DH的长度，连接DQ交PB于M，过Q作QG⊥AB于G，可以证明△QGM≌△DHM，所以QG＝DH＝2，由此得到Q在平行于AB的直线上运动，且距离AB两个单位长度，根据垂线段最短，可以得到当C，O，Q三点共线时，CQ长度最小．
【解答】解：如图1，过C作CO⊥AB于O，过D作DH⊥AB于H，
在Rt△ACO中，∠CAB＝60°，
∴∠ACO＝30°，
∴，
∴＝，
在Rt△BCO中，∠CBA＝45°，
∴BO＝CO＝2，
∴+2，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB＝＝30°，
在Rt△DHB中，∠CBA＝45°，
∴可设DH＝HB＝a，
∴AD＝2DH＝2a，
∴AH＝＝a，
∴AB＝AH+BH＝a+a，
∴，
∴a＝2，
∴DH＝2，
如图2，过Q作QG⊥AB于G，连接DQ交AB于M，
∵四边形DPQB为平行四边形，
∴DM＝QM，
在△QGM与△DHM中，
，
∴△QGM≌△DHM（AAS），
∴QG＝DH＝2，
故Q到直线AB的距离始终为2，
所以Q点在平行于AB的直线上运动，且两直线距离为2，
根据垂线段最短，
当C，O，Q三点在一条直线上时，此时CQ最小，如图3，
最小值为：CO+2＝2+2，
故答案为．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，以及三角形的判定与性质，还考查了线段最小值问题，找到动点Q的运动轨迹，是解决本题的关键．
6．（2023•太原一模）如图，在▱ABCD中，AD＝6，对角线BD⊥CD，∠BAD＝30°，∠BAD与∠CDB的平分线交于点E，延长DB到点F，使DF＝AD，连接EF，则EF的长为 2 ．
【分析】延长AE，DC，交于点G，作∠GEM＝∠EGD交CD于M，过点E作EH⊥CD，先证△GDE≌△FDE，推出线段相等，在进一步证角相等，最后用勾股定理求线段的长．
【解答】解：延长AE，DC，交于点G，作∠GEM＝∠EGD交CD于M，过点E作EH⊥CD于H，如图：
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC＝90°，
∵∠BAD＝30°，
∴∠ADB＝60°，
∴∠ADG＝∠ADB+∠BDC＝150°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAD＝15°，
在△AGD中，
∠AGD＝180°﹣∠DAG﹣∠ADG＝15°，
∴∠DAG＝∠AGD，
∴DG＝AD＝6，
∵DF＝AD，
∴DF＝DG，
∵DE平分∠CDB，
∴∠GDE＝∠FDE＝45°，
∴△GDE≌△FDE（SAS）．
∴GE＝FE，
∵∠NGE＝15°，∠GEM＝∠EGD，
∴∠MEG＝15°，MG＝ME，
∵∠HME＝∠MGE+∠MEG＝30°，
设EH＝x，
在Rt△EMH中，∠EHM＝90°，∠EMH＝30°，
∴ME＝2EH＝2x，
∴MH＝x，
∵MG＝ME，
∴MG＝2x，
∴DG＝（3+）x，HG＝（2+）x，
∵DG＝6，
∴（3+）x＝6，
∴x＝3﹣，
∴EH＝3﹣，
HG＝（2+）（3﹣）＝3+，
在Rt△HGE中，
EG＝＝2，
∴EF＝EG＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查全等三角形的判断与性质及勾股定理的应用，掌握定理性质的运用，辅助线的做法，全等的证明是解决本题的关键．
7．（2020春•鹿城区期中）如图在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，四条内角平分线围成四边形EFGH面积为，则平行四边形ABCD面积为 12 ．
【分析】由于平行四边形的邻角互补，那么每两条相邻的内角平分线都互相垂直，则围成四边形就有4个直角，因此这个四边形一定是矩形．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DAB+∠ADC＝180°；
∵AF、DF平分∠DAB、∠ADC，
∴∠FAD+∠FDA＝90°，即∠APD＝90°；
同理可证得：∠BHC＝∠HEF＝∠HGF＝90°；
∴四边形EFGH是矩形；
如图，延长AF交BC于点Q，连接EG，
∵AF平分∠DAB，
∴∠BAQ＝∠DAQ，
∵AD∥BC，
∴∠DAQ＝∠AQB，
∴∠BAQ＝∠AQB，
∴BQ＝AB＝4，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABQ是等边三角形，
∴AQ＝AB＝4，
∵BE⊥AQ，
∴AE＝EQ＝AQ＝2，
同理可得CG＝2，
∵CG∥EQ，CG＝EQ，
∴四边形EQGC是平行四边形，
∴EG∥CQ，
∴∠GEQ＝∠BQE＝60°，
∵∠HEF＝90°，
∴∠HEG＝30°，
∴EG＝2HG，EH＝HG，
∴S矩形EFGH＝EH•HG＝HG2＝，
∴HG＝1，
∴HC＝HG+CG＝1+2＝3，
在Rt△BHC中，∠HBC＝30°，HC＝3，
∴BC＝2CH＝6，
作AP⊥BC于点P，
在Rt△ABP中，∠BAP＝30°，AB＝4，
∴BP＝2，
∴AP＝2，
∴平行四边形ABCD面积为：BC•AP＝6×2＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查的是平行四边形的性质以及矩形的判定：四个角都是直角的四边形是矩形，牢记矩形的判定定理是解答本题的关键．
8．（2020•青羊区模拟）如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥BC，∠BAC＝30°，BC＝2，在AB边的下方作射线AG，使得∠BAG＝30°，E为线段DC上一个动点，在射线AG上取一点P，连接BP，使得∠EBP＝60°，连接EP交AC于点F，在点E的运动过程中，当∠BPE＝60°时，则AF＝ ．
【分析】如图，连接PC交AB于T，作PN⊥AB于N，CM⊥PC交PE的延长线于M．首先证明∠APC＝90°，解直角三角形求出AC，PA，利用相似三角形的性质求出CM，由CM∥PA，推出＝＝，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，连接PC交AB于T，作PN⊥AB于N，CM⊥PC交PE的延长线于M．
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝2，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝4，AC＝BC＝6，∠ABC＝60°，
∵∠EPB＝∠EBP＝60°，
∴△EPB是等边三角形，
∴∠PEB＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BCE＝180°﹣∠ABC＝120°，
∴∠EPB+∠BCE＝180°，
∴P，B，C，E四点共圆，
∴∠PCB＝∠PEB＝60°，∠MPC＝∠EBC，
∵∠TCB＝∠CBT＝60°
∴△TCB是等边三角形，
∴∠BCT＝60°，∠ACT＝30°，BT＝BC＝AT＝2，
∵∠BAG＝∠BAC＝30°，
∴∠APC＝90°，
∴PA＝AT•cs30°＝3，AN＝PA•cs30°＝，PN＝PA＝，PC＝PA＝3，
∴BN＝AB﹣AN＝，
∵∠PBE＝∠CBT＝60°，
∴∠PBN＝∠CBE＝∠CPM，
∵∠PCM＝∠PNB＝90°，
∴△PCM∽△BNP，
∴＝，
∴＝，
∴CM＝，
∵PA⊥PC，CM⊥PC，
∴CM∥PA，
∴＝＝＝，
∴AF＝AC＝．
故答案为．
【点评】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
二．解答题（共6小题）
9．（2020春•北碚区校级月考）在平行四边形ABCD中，AC⊥CD，E为BC中点，点M在线段BE上，连接AM，在BC下方有一点N，满足∠CAD＝∠BCN，连接MN．
（1）若∠BCN＝60°，AE＝5，求△ABE的面积；
（2）若MA＝MN，MC＝EA+CN，求证：AB＝AE．
【分析】（1）先证明AB⊥AC，再求出∠B＝30°，然后根据直角三角形斜边上中线的性质可得BC的长，结合勾股定理求解AB，AC的长，根据△ABE的面积等于△ABC面积的一半可求解结果；
（2）延长CN至G，使CG＝AC，易得△ACM≌△GCM，在MC上截取MF＝AE，可得△MAE≌△NMF，结合已知推出ME＝CN＝FN＝CF，即△NCF为等边三角形，继而有∠MCN＝60°，因此可得∠ACB＝60°，由，结合AE＝BC，最终可得出结果．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB＝∠BCN＝60°，
又AC⊥CD，
∴AB⊥AC，
∴∠B＝30°，
在Rt△ABC中，E为BC的中点，
∴BC＝2AE＝10，
∴AC＝BC＝5，
∴，
∴；
（2）证明：延长CN至G，使CG＝AC，
由（1）知∠ACM＝∠GCM，
又MC＝MC，
∴△ACM≌△GCM，
∴AM＝GM，∠MAC＝∠G，
又AM＝MN，
∴GM＝MN，
∴∠G＝∠MNG＝∠MAC＝∠MAE+∠EAC，
又由（1）可得EC＝EA，
∴∠EAC＝∠ACE＝∠NCM，
∵∠MNG＝∠NCM+∠NMC，
∴∠NMC＝∠MAE，
在MC上截取MF＝AE，
∴△MAE≌△NMF，
∴ME＝FN，
又MC＝ME+CE＝MF+CF，MC＝EA+CN，
∵EA＝MF＝CE，
∴ME＝CN＝FN＝CF，
∴△NCF为等边三角形，
∴∠MCN＝60°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴，
∵AE＝BC，
∴AB＝AE．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等要是的性质，全等三角形的判定与性质等知识的综合运用，第（2）小题作辅助线构造等边三角形及直角三角形是解题的关键．
10．（2020•南海区一模）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
求证：（1）AC＝EF；
（2）四边形ADFE是平行四边形；
（3）AC⊥DF．
【分析】（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC＝30°可以得到AB＝2BC，又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE＝2AF，并且AB＝2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC＝EF；
（2）根据（1）知道EF＝AC，而△ACD是等边三角形，所以EF＝AC＝AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形；
（3）先求∠EAC＝90°，由▱ADFE得AE∥DF，可以得∠AGD＝90°，则AC⊥DF．
【解答】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB＝2AF，AB＝AE，
∴AF＝BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
∵，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC＝EF；
（2）∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC＝EF，AC＝AD，
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；
（3）∵∠EAC＝∠EAF+∠BAC＝60°+30°＝90°，
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴AE∥FD，
∴∠EAC＝∠AGD＝90°，
∴AC⊥DF．
【点评】此题考查了平行四边形的性质和判定、三角形全等的性质和判定以及等边三角形的性质，首先利用等边三角形的性质证明全等三角形，然后利用全等三角形的性质和等边三角形的性质证明平行四边形．
11．（2019秋•沙坪坝区校级期中）如图所示，平行四边形ABCD和平行四边形CDEF有公共边CD，边AB和EF在同一条直线上，AC⊥CD且AC＝AF，过点A作AH⊥BC交CF于点G，交BC于点H，连接EG．
（1）若AE＝2，CD＝5，求△BCF的周长；
（2）求证：BC＝AG+EG．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB＝CD＝5，CD＝EF，AB∥CD，可得AE＝BF＝2，由勾股定理可求CF，BC的长，即可求解；
（2）如图，在AD上取一点M，使得AM＝AG，连接CM．利用全等三角形的性质证明GE＝DM即可解决问题．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD，四边形CDEF是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，CD＝EF，AB∥CD，
∴AB＝EF＝5，
∴AE＝BF＝2，
∴AF＝AC＝3，
∵AB∥CD，AC⊥CD
∴AB⊥AC，
∴CF＝＝3，
BC＝＝＝，
∴△BCF的周长＝BF+BC+CF＝2+3+；
（2）证明：如图，在AD上取一点M，使得AM＝AG，连接CM．
∵四边形ABCD，四边形EFCD都是平行四边形，
∴AB＝CD＝EF，AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，
∵AH⊥BC，
∴AH⊥AD，
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝∠GAM＝90°，
∴∠FAG＝∠CAM，
∵AF＝AC，AG＝AM，
∴△FAG≌△CAM（SAS），
∴∠ACM＝∠AFG＝45°，FG＝CM．
∵∠ACD＝∠BAC＝90°，
∴∠MCD＝45°＝∠EFG，
∵EF＝CD，FG＝CM，
∴△EFG≌△DCM（SAS），
∴EG＝DM，
∴AG+EG＝AM+DM＝AD＝BC．
即BC＝AG+EG．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考压轴题．
12．（2019春•阿荣旗期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始．使PQ∥CD和PQ＝CD，分别需经过多少时间？为什么？
【分析】（1）由当PQ∥CD时，四边形PQCD为平行四边形，可得方程24﹣t＝3t，解此方程即可求得答案；
（2）根据PQ＝CD，一种情况是：四边形PQCD为平行四边形，可得方程24﹣t＝3t，一种情况是：四边形PQCD为等腰梯形，可求得当QC﹣PD＝QC﹣EF＝QF+EC＝2CE，即3t﹣（24﹣t）＝4时，四边形PQCD为等腰梯形，解此方程即可求得答案．
【解答】解：根据题意得：PA＝t，CQ＝3t，则PD＝AD﹣PA＝24﹣t．
（1）∵AD∥BC，
即PQ∥CD，
∴当PD＝CQ时，四边形PQCD为平行四边形，
即24﹣t＝3t，
解得：t＝6，
即当t＝6时，PQ∥CD；
（2）若PQ＝DC，分两种情况：
①PQ＝DC，由（1）可知，t＝6，
②如图，过D作DE⊥BC于E，过P作PF⊥BC于F，PD≠CQ，则四边形PDCQ是等腰梯形，则有QC＝PD+2（BC﹣AD），
可得方程：3t＝24﹣t+4，
解得：t＝7．
【点评】此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
13．（2019春•萧县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为多少秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
【分析】分别从当Q运动到E和B之间、当Q运动到E和C之间去分析求解即可求得答案．
【解答】解：∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝8，
①当Q运动到E和B之间，设运动时间为t，则得：
3t﹣8＝6﹣t，
解得：t＝3.5；
②当Q运动到E和C之间，设运动时间为t，则得：
8﹣3t＝6﹣t，
解得：t＝1，
∴当运动时间t为1秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
14．（2018秋•东湖区校级期末）如图，等边△ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以3cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以2cm/s的速度运动．
（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？
（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置．
【分析】（1）设经过t秒钟两点第一次相遇，然后根据点M运动的路程+点N运动的路程＝AB+CA列方程求解即可；
（2）首先根据题意画出图形：如图②，当0≤t≤时，DM+DN＝AN+NC＝AC+BN＝8；当＜t≤4时，此时A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；4＜t时，MB+NC＝AN+CN＝8；当＜t≤8时，△BNM为等边三角形，由BN＝BM可求得t的值．
【解答】解：（1）设经过t秒钟两点第一次相遇．
由题意得：3t+2t＝16，解得：t＝；
（2）①当0≤t≤时，点M、N、D的位置如图2所示：
∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DM＝AN，DM∥AN．DN∥AB
∴∠MDB＝∠C＝60°，∠NDC＝∠B＝60°
∴∠NDC＝∠C．
∴ND＝NC
∴DM+DN＝AN+NC＝AC+BN＝8，即：3t+2t＝8，t＝，
此时点D在BC上，且BD＝（或CD＝），
②当＜t≤4时，此时A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；
③4＜t时，点M、N、D的位置如图所1示：
∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DN＝AM，AM∥DN．
∴∠NDB＝∠ACB＝60°
∵△ABC为等腰三角形，
∴∠B＝60°．
∴∠NDB＝∠B．
∴ND＝NB．
∴NB+MC＝AM+CM＝8，3t﹣8+2t﹣8＝8，解得：t＝，
此时点D在BC上，且BD＝（或CD＝），
④当＜t≤8时，点M、N、D的位置如图3所示：
则BN＝16﹣2t，BM＝24﹣3t，
由题意可知：△BNM为等边三角形，
∴BN＝BM，即：2t﹣8＝3t﹣16，解得t＝8，此时M、N重合，不能构成平行四边形．
答：运动了或时，A、M、N、D四点能够成平行四边形，此时点D在BC上，且BD＝或．
【点评】本题主要考查的是平行四边形的性质和等边三角形的性质，利用平行四边形的性质和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键．