北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第1讲 等腰三角形（原卷版+解析)

这是一份北师大版八年级数学下册同步精品讲义 第1讲 等腰三角形（原卷版+解析)，共119页。试卷主要包含了等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形的判定，5°C．65°D．25°，5BD＝1，NC＝2，等内容，欢迎下载使用。
1. 掌握等腰三角形，等边三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．
2. 掌握等腰三角形，等边三角形的判定定理．
3. 熟练运用等腰三角形，等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．
知识精讲
知识点01 等腰三角形
1.等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
2.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
3.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
4.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
5.等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
【知识拓展1】根据等边对等角求角度
例1．（2023·贵州·思南县张家寨初级中学八年级阶段练习）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D为AC上一点，且AD=BD=BC，则∠A等于多少？
例2．（2023·黑龙江省八五一一农场中学八年级期末）如图，△ABC中，AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中∠CAB的度数
例3．（2023·广东·广州市白云区广大附中实验中学九年级阶段练习）已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，且DA＝DB，∠B＝15°．求∠CAD的度数．
例4．（2023·广西三江·八年级期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，求∠C的度数．
【即学即练1】如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．
【即学即练2】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．
【知识拓展2】利用三线合一求解与证明
例1．（2023·湖北武汉·八年级阶段练习）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE．
例2．（2023·重庆·八年级期中）如图：已知等边中，，垂足为，是延长线上的一点，且，
（1）求证：；
（2）若为中点，求证：平分．
例3．（2023·河南镇平·八年级阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线．
简述理由如下：
由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．
小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线．
……
任务：
（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是_______（填序号）．
①SSS；②SAS；③AAS；④ASA；⑤HL
（2）如图2，连接EF．
①求证：△CEF≌△DFE；
②求证：△PEF是等腰三角形；
③小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．
例4．（2023·广东广州·八年级阶段练习）如图，在中，，，垂足为，：：：：，的周长为，求的面积．
例5．（2022·黑龙江富裕·八年级期末）已知：在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，点E为CD上一点，且DE＝AD，连接BE并延长交AC于点F，连接DF．
（1）求证：BE＝AC；
（2）若AB＝BC，且BE＝2cm，则CF＝ cm．
例6．（2023·江苏滨海·八年级期中）如图，厂房屋顶的人字架是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，若跨度BC＝16m，上弦长AB＝10m，求中柱AD的长．
【即学即练1】（2023·福建·福州三牧中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE平分∠ABC交AC于点E，ED⊥AB于点D，求证：AD＝BD．
【即学即练2】（2023·黑龙江五常·八年级阶段练习）已知：以线段AB为边在线段的同侧作△ABC与△BAD，BC与AD交于点E，若AC＝BD，BC＝AD．
（1）如图1，求证：CE＝DE；
（2）如图2，当∠C＝90°，∠AEB＝2∠AEC时，作EF⊥AB于F，请直接写出所有等于AB的线段．
【即学即练3】（2023·吉林·八年级期末）如图，在中，，为边的中线，是边上一点（点不与点、重合），过点作于点，交的延长线于点．
（1）求证：AD//FG；
（2）求证：；
（3）若，且，直接写出的长．
【即学即练4】（2023·江苏·扬州市梅岭中学八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，三角形△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，BC交x轴于点D．
（1）若A（﹣8，0），C（0，6），直接写出点B的坐标 ；
（2）如图2，三角形△OAB与△ACD均为等腰直角三角形，连OD，求∠AOD的度数；
（3）如图3，若AD平分∠BAC，A（﹣8，0），D（m，0），B的纵坐标为n，求2n＋m的值．
【知识拓展3】等腰三角形中的分类讨论
例1.在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．
例2、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．
【即学即练】如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，AB=5，AC=7，BC=8，△AEF的周长为（ ）
A．13B．12C．15D．20
【知识拓展4】等腰三角形性质和判定综合应用
例1、已知：如图，中，，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF并延长交AC于点E，
．
求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．
知识点02 等边三角形
1.等边三角形定义：
三边都相等的三角形叫等边三角形.
要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包
括等边三角形．
2.等边三角形的性质：
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
3.等边三角形的判定：
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【知识拓展4】等边三角形
例1、如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．
【即学即练】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角
板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.
【知识拓展5】在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
例1．（2023·山东惠民·八年级阶段练习）如图，在等腰△ABC中，点M，N都在BC边上，∠BAC＝120°，若ME⊥AB于点E，NF⊥AC于点F，点E，F分别为AB，AC的中点，且EM＝2．则BC的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【即学即练1】（2023·浙江·温州市第二中学八年级期中）如图，RtABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，分别以AC，BC，AB为一边在ABC外面做三个正方形，记三个正方形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1＝4，则S3为（ ）
A．8B．16C．D．+4
【即学即练2】（2023·广东·珠海市九洲中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为BC边上一点，CD＝1，E为AC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的右侧作等边△DEF，连接BF，则BF的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．
【即学即练3】（2022·甘肃西峰·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，连结AD，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，若EF=3，则AE的长是（ ）
A．3B．6C．9D．12
能力拓展
类型一、等腰三角形中的分类讨论
1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
2.已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．
类型二、等腰三角形的操作题
根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写
做法，但需保留作图痕迹，在图中标注分割后的角度）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？
（1）如图①△ABC中，∠C＝90°，∠A＝24°；猜想：
（2）如图②△ABC中，∠C＝84°，∠A＝24°；猜想：
2.直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC
上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，
探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．
类型三、等腰三角形性质判定综合应用
1.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E，EH⊥AB，垂足是H．在AB上取一点M，使BM=2DE，连接ME．求证：ME⊥BC．
2.如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．
求证：AC＝BF．
类型四、等边三角形
1.已知：如图，B、C、E三点共线，，都是等边三角形，连结AE、BD分别交CD、AC于N、M，
连结MN.
求证：AE＝BD，MN∥BE.
2.如图，AB=AC=AD=4cm，DB=DC，若∠ABC为60度，则BE为 ，∠ABD= °．
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．（2022·四川仁寿·八年级期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．全等三角形的角相等
B．等腰三角形的中线、高线、角平分线重合
C．全等三角形的边相等
D．Rt△ABC两直角边为3、4，则斜边上的高是
2．（2023·辽宁铁岭·八年级期末）如图，在中，，，则的外角的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·黑龙江五常·八年级期末）已知一个等腰三角形的两边长分别是4，5，则它的周长是（ ）
A．13B．14C．13或14D．9或12
4．（2022·天津市第七中学八年级期末）等腰三角形的顶角是，则这个三角形的一个底角的大小是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·内蒙古乌兰察布·八年级期末）如图所示，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确的是（ ）
A．①②③④B．②③④C．①③④D．①②③
6．（2023·上海市建平实验中学八年级期末）如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）
A．米B．米C．4米D．6米
二、填空题
7．（2023·贵州·峰林学校八年级期中）等腰三角形中顶角为30°，则底角的度数是_____________．
8．（2023·广西隆安·八年级期中）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于5，则它的周长为_______．
9．（2022·天津市第七中学八年级期末）一个直角三角形房梁如图所示，其中，，，，垂足为，那么________________．
10．（2023·江苏·如皋市实验初中八年级阶段练习）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，E是线段AC上一点，连接BE并延长至D，连接CD，若∠BCD＝120°，AB＝2CD，AE＝7，则线段CE长为 _______．
三、解答题
11．（2022·吉林长春·八年级期末）图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的项点为格点，每个小正方形的边长均为1，在图①、图②中已画出AB，点A、B均在格点上，按下列要求画图：
（1）在图①中，画一个以AB为腰且三边长都是无理数的等腰三角形ABC，点C为格点；
（2）在图②中，画一个以AB为底的等腰三角形ABD，点D为格点．
12．（2022·宁夏盐池·八年级期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至，使．求证：．
13．（2023·吉林九台·八年级期末）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形．
（1）在图1中，画一个等腰三角形（不含直角），使它的面积为8；
（2）在图2中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积为10．
14．（2023·吉林九台·八年级期末）如图，在中，，是的中点，于．求证：．
题组B 能力提升练
一、单选题
1．（2023·湖北·仙桃市第二中学八年级阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠CAB的角平分线交BC于M，∠ACB的外角平分线与AM交于点D，与AB的延长线交于点N，过D作DE⊥CN交CB的延长线于点P，交AN于点E，连接CE并延长交PN于点Q，则下列结论： ①∠ADP＝45°；②AN＝CA＋CP；③DC＝ED；④NQ﹣CD＝PQ；⑤CN＝DE＋EP，其中正确的结论有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
2．（2023·辽宁铁岭·八年级期末）如图，是等边中边上的点，，，则是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．无法确定
3．（2023·广东南沙·八年级期末）如图，∠AOB＝50°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OCE的度数不可能为（ ）
A．130°B．77.5°C．65°D．25°
4．（2023·山东·潍坊市潍城区乐埠山生态经济发展区中学八年级阶段练习）如图，在ABC中，∠C＝90°，点D为BC上一点，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，F为AC上一点，则下列结论中正确的是（ ）
A．DE＝DFB．BD＝FDC．∠1＝∠2D．AB＝AC
5．（2023·上海市建平实验中学八年级期末）已知下列命题中：
①有两条边分别相等的两个直角三角形全等；
②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等；
③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等．
其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
6．（2023·辽宁铁岭·八年级期末）如图，在中，，点在边上，且，过上一点作，交、的延长线、的延长线分别于点，和，有下列结论：①图中共有4个等腰三角形；②；③；④．其中正确的结论有________（请填写序号）．
7．（2022·辽宁大石桥·八年级期末）已知△ABC的面积是12，AB=AC=5，AD是BC边上的中线，E，P分别是AC，AD上的动点，则CP+EP的最小值为_______．
8．（2023·贵州黔东南·八年级期末）如图，在边长为4，面积为的等边中，点、分别是、边的中点，点是边上的动点，求的最小值___．
9．（2023·浙江·金华市第五中学九年级阶段练习）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图2，衣架杆，若衣架收拢时，，如图1，若衣架打开时，，则此时，两点之间的距离扩大了________．
10．（广东省深圳市实验学校三部2021-2022学年八年级上学期期末联考数学试题）如图所示，直线与两坐标轴分别交于、两点，点是的中点，、分别是直线、轴上的动点，当周长最小时，点的坐标为_____．
三、解答题
11．（2023·吉林朝阳·八年级期末）如图，是等边三角形，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点匀速运动；同时，动点从点出发，以相同的速度沿向终点匀速运动，连结，以为边向其左侧作等边三角形，连结、、．设点的运动时间为．
（1）求证：．
（2）求证：．
（3）求的周长（用含的代数式表示）．
（4）当的长最短时，连结，直接写出此时的值和四边形的周长．
12．（2023·黑龙江铁锋·八年级期末）综合与探究
如图所示，在平面直角坐标系中，点B、D分别在y轴、x轴上，点，，且a，b满足，轴于点B，轴于点D．
（1）直接写出_____________，_____________；
（2）如图2，连接AC，BD交于点P，求证：点P为AC中点；
（3）若，在x轴上是否存在点F，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2023·吉林伊通·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC是△ABC中最短的边，边AC的长度比BC长10cm，斜边AB的长度比BC长度的2倍短10cm．
（1）求Rt△ABC的各条边的长．
（2）求AB边上的高．
（3）点D从点B出发在线段AB上以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t（s）．
①用含t的代数式表示线段BD的长为 ；
②当△BCD为等腰三角形时，请求出t的值．
14．（2022·辽宁大石桥·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点E，使CE=BC，若D是AC的中点，连接ED并延长交AB于点F．
（1）若AF=3，求AD的长；
（2）求证：DE=2DF．
15．（2023·吉林伊通·八年级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，点D是△ABC外一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当α＝∠AOB，AO＝8cm时，求OC的长度．
16．（2023·江苏·如皋市实验初中八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于点P．
（1）求证：PB＝PC．
（2）若PB＝5，PH＝3，求BC．
17．（2023·黑龙江五常·八年级期末）（1）画图探究：如图①，若点，在直线的同侧，在直线上求作一点，使的值最小，保留作图痕迹，不写作法；
（2）实践运用：如图②，等边的边上的高为6，是边上的中线，是上的动点，是的中点，求的最小值．
18．（2023·吉林龙潭·八年级期末）探究：（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．请直接写出线段BD，DE，CE之间的数量关系是 ．
拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，请直接写出△DEF的形状是 ．
题组C 培优拔尖练
一、填空题
1．（2023·江苏·镇江市外国语学校八年级阶段练习）如图，在和中，，，，点A在边DE上，若，，则______．
2．（2023·四川·石室中学八年级期中）如图，在等腰直角中，，点E是边上一点，点D是边上的中点，连接，过点E作，满足，连接，交于点M，将沿翻折，得到，连接，交于点P，若，则的长度是________．
二、解答题
3．（2023·山东省青岛第二十六中学八年级期末）如图，在直角坐标系中，直线l：y＝x+8与x轴、y轴分别交于点B，点A，直线x＝﹣2交AB于点C，D是直线x＝﹣2上一动点，且在点C的上方，设D（﹣2，m）
（1）求点O到直线AB的距离；
（2）当四边形AOBD的面积为38时，求点D的坐标，此时在x轴上有一点E（8，0），在y轴上找一点M，使|ME﹣MD|最大，请求出|ME﹣MD|的最大值以及M点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将直线l：y＝x+8左右平移，平移的距离为t（t＞0时，往右平移；t＜0时，往左平移）平移后直线上点A，点B的对应点分别为点A′、点B′，当△A′B′D为等腰三角形时，求t的值．
4．（2023·四川南充·八年级期末）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝1，点D是射线AC上一点（点D与点A不重合），连接BD，以BD为腰作等腰直角△BDE，∠DBE＝90°，连接AE交BC于点F．
（1）如图1，点D在线段AC上．
①求证：AF＝EF；
②已知AD＝，BF＝，m，n都是整数，求m，n的值；
（2）如图2，如果点D在AC延长线上（其它条件不变），AD＝3BF，求AD的长．
5．（2023·江苏滨海·八年级期中）如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为ts．
（1）当t为何值时，M、N两点重合；
（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化．
①当t为何值时，△AMN是等边三角形；
②当t为何值时，△AMN是直角三角形；
（3）若点M、N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等腰△AMN时，求t的值．
6．（2023·吉林九台·八年级期末）如图，在长方形中，，．延长到点，使，连接．动点从点出发，沿着以每秒1个单位的速度向终点运动，点运动的时间为秒．
（1）的长为 ；
（2）连接，求当为何值时，；
（3）连接，求当为何值时，是直角三角形；
（4）直接写出当为何值时，是等腰三角形．
7．（2023·黑龙江平房·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，AO＝CO＝6，AC交y轴于点B，∠BAO＝30°，CO的垂直平分线过点B交x轴于点E．
（1）求AE的长；
（2）动点N从E出发，以1个单位/秒的速度沿射线EC方向运动，过N作x轴的平行线交直线OC于G，交直线BE于P，设GP的长为d，运动时间为t秒，请用含量t的式子表示d，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，动点M从A以1个单位/秒的速度沿射线AE运动，且点M与点N同时出发，MN与射线OC相交于点K，是否存在某一运动时间t，使得＝2，若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
8．（2023·黑龙江·哈尔滨市松雷中学校八年级期中）在四边形ABCD中，∠DAB+∠DCB＝180°，AC平分∠DAB．
（1）如图1，求证：BC＝CD；
（2）如图2，连接BD交AC于点E，若∠ADB＝90°，AE＝2DE，求∠ABD的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CH⊥AB于点H，△BCH沿BC翻折，点H的对应点为点F，点G在线段AB上，连接FG，若∠CGF＝30°，S△CHG＝9，求线段CG的长．
9．（2023·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校八年级期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴上，点B在x轴上，∠ABC＝90°，AB＝BC，连接AC，CD⊥x轴于点D，CD＝5．
（1）如图1，求点B的坐标；
（2）如图2，OF平分∠AOB，OF交AC于点F，求证：点F为AC的中点；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E在第二象限，连接AE、CE，且∠E＝45°，∠ECA+∠BAO＝45°，CE＝18，求点F的坐标．
第1讲 等腰三角形
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1. 掌握等腰三角形，等边三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．
2. 掌握等腰三角形，等边三角形的判定定理．
3. 熟练运用等腰三角形，等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．
知识精讲
知识点01 等腰三角形
1.等腰三角形的定义
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .
2.等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．
3.等腰三角形的性质的作用
性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据．
性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．
4.等腰三角形是轴对称图形
等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．
5.等腰三角形的判定
如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.
要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.
【知识拓展1】根据等边对等角求角度
例1．（2023·贵州·思南县张家寨初级中学八年级阶段练习）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点D为AC上一点，且AD=BD=BC，则∠A等于多少？
【答案】36°
【分析】首先设∠A=x°，然后由等腰三角形的性质，求得∠ABC=∠C=2x°，然后由三角形的内角和定理，得到方程：x+2x+2x=180，解此方程即可求得答案．
【详解】设∠A=x°，
∵AD=BD，
∴∠ABD=∠A=x°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°，
∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC=2x°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=2x°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180，
解得：x=36，
∴∠A=36°．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
例2．（2023·黑龙江省八五一一农场中学八年级期末）如图，△ABC中，AB=AC=CD，BD=AD，求△ABC中∠CAB的度数
【答案】∠CAB＝108°
【分析】利用AB=AC，可得∠B和∠C的关系，利用AD=BD，可求得∠CAD=∠CDA及其与∠B的关系，在△ADC中利用内角和定理可求得∠C，进一步求得∠ABC，得到结果．
【详解】. 解：∵AB=AC =CD，BD=AD，
∴∠B＝∠C＝∠BAD，∠CAD＝∠CDA，
设∠B＝x°，则∠CDA＝∠BAD+∠B＝2x°
从而∠CAD＝∠CDA＝2x°，∠C＝x°
在△ADC中，∵∠CAD+∠CDA+∠C＝180°
∴2x+2x+x= 180°
解得x= 36°
∴在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，
∴∠CAB＝108°
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
例3．（2023·广东·广州市白云区广大附中实验中学九年级阶段练习）已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，且DA＝DB，∠B＝15°．求∠CAD的度数．
【答案】60°
【分析】由等腰三角形的性质得出∠B＝∠1＝15°，由外角的定义得∠ADC＝30°，在Rt△ABC中由三角形内角和可求得∠CAD的度数．
【详解】解：∵DA＝DB，∠B＝15°，
∴∠B＝∠1＝15°，
∴∠ADC＝30°，
∴在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠CAD＝90°－30°＝60°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，外角的定义以及三角形的内角和定理，熟练各性质是解题的关键．
例4．（2023·广西三江·八年级期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB=AD=DC，∠B=80°，求∠C的度数．
【答案】∠C的度数为40°．
【分析】根据等边对等角可得∠B=∠ADB，∠C=∠CAD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答．
【详解】解：∵AB=AD=DC，
∴∠B=∠ADB=80°，∠C=∠CAD，
由三角形的外角性质得，∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C=80°，
∴∠C=40°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
【即学即练1】如图，已知△ABC中，AB=BD=DC，∠ABC=105°，求∠A，∠C度数．
【答案与解析】解：∵AB=BD，∴∠BDA=∠A，
∵BD=DC，∴∠C=∠CBD，
设∠C=∠CBD=x，则∠BDA=∠A=2x，
∴∠ABD=180°﹣4x，
∴∠ABC=∠ABD+∠CDB=180°﹣4x+x=105°，
解得：x=25°，所以2x=50°，
即∠A=50°，∠C=25°．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解题中运用了等腰三角形“等边对等角”的性质，并联系三角形的内角定理求解有关角的度数问题．
【即学即练2】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，求∠B的度数．
【答案】解：∵AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，
∴设∠ECD＝∠EDC＝，∠BCD＝∠BDC＝，
则∠AED＝∠ADE＝2，∠A＝∠B＝180°－4
在△ABC中，根据三角形内角和得，
＋＋180°－4＋180°－4＝180°①
又∵A、D、B在同一直线上，∴2＋＋＝180°②
由① ，②解得＝36°
∴∠B＝180°－4＝180°－144°＝36°.
【知识拓展2】利用三线合一求解与证明
例1．（2023·湖北武汉·八年级阶段练习）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE．
【分析】过A作AF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得出BF=CF，DF=EF，即可求出答案．
【详解】证明：如图，过A作AF⊥BC于F，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BF=CF，DF=EF，
∴BF-DF=CF-EF，
∴BD=CE．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的应用，注意：等腰三角形的底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合．
例2．（2023·重庆·八年级期中）如图：已知等边中，，垂足为，是延长线上的一点，且，
（1）求证：；
（2）若为中点，求证：平分．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质得到∠DBC=∠ABC=30°，根据三角形的外角性质得到∠E=30°，根据等腰三角形的判定定理证明结论；
（2）根据等腰三角形的三线合一证明．
【详解】(1)证明：是等边三角形，，
，
，
，
，
，
，
；
(2)证明：，为中点，
平分．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、等边三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
例3．（2023·河南镇平·八年级阶段练习）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．
小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线．
简述理由如下：
由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．
小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图2，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP．射线OP即为∠AOB的平分线．
……
任务：
（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是_______（填序号）．
①SSS；②SAS；③AAS；④ASA；⑤HL
（2）如图2，连接EF．
①求证：△CEF≌△DFE；
②求证：△PEF是等腰三角形；
③小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由．
【答案】（1）⑤；（2）①证明见解析；②证明见解析；③射线是的平分线，证明见解析
【分析】（1）因为小明的证明条件为∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，即两对直角相等，一对直角边相等，一对斜边相等，故为HL证明依据．
（2）①由等边对等角得，再由一条公共边EF和重合的部分得出，即，SAS为依据可证明△CEF≌△DFE．②由①问所证△CEF≌△DFE，则对应角相等，再由等角对等边可得，即△PEF是等腰三角形③可由全等得出，得出OP是的垂直平分线，又因为②可知是等腰三角形，由等腰三角形三线合一可知也是的平分线．
【详解】
（1）∵小明的证明条件为∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP为HL证明方法，故选⑤；
（2）证明：①
即
又
②由①知：
即：是等腰三角形；
③射线是的平分线，理由如下：（方法不唯一）
是的垂直平分线
又是等腰三角形
平分（三线合一）
【点睛】本题考查了全等三角形的判断及性质，以及等腰三角形的性质．一般三角形的判定方法1．定义法:能够完全重合的两个三角形全等；2．SAS：两条边及其夹角对应相等的两个三角形全等；3．ASA：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等；4．AAS：两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；5．SSS：三条边对应相等的两个三角形全等．直角三角形证明全等斜边、直角边定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．等腰三角形性质有底边上的中线及高线，与顶角的角平分线三线合一．反之仍然成立，用这个性质可以证明这个三角形为等腰三角形．垂直或边相等．
例4．（2023·广东广州·八年级阶段练习）如图，在中，，，垂足为，：：：：，的周长为，求的面积．
【答案】的面积为
【分析】设AB=13a，AD=12a，BD=5a，利用等腰三角形的性质得AC=AB=13a，BC=2BD=10a，根据△ABC的周长为36可得a=1，结合三角形的面积公式求得△ABC的面积．
【详解】解：：：：：，
设，，，
，，
，，
的周长为，
，
，
，，
的面积为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的面积公式．
例5．（2022·黑龙江富裕·八年级期末）已知：在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，点E为CD上一点，且DE＝AD，连接BE并延长交AC于点F，连接DF．
（1）求证：BE＝AC；
（2）若AB＝BC，且BE＝2cm，则CF＝ cm．
【答案】（1）见解析；（2）1
【分析】（1）根据题意可得：△BDC是等腰直角三角形，从而得到BD＝CD，进而可证得△BDE≌△CDA，即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得BE＝AC，∠DBE＝∠DCA，再证BF⊥AC，然后由等腰三角形的性质的AC＝2CF，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝∠CDA＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC；
（2）解：由（1）得：△BDE≌△CDA，
∴BE＝AC，∠DBE＝∠DCA，
∵∠CEF＝∠BED，
∴ ，
∴∠CFE＝∠BDE＝90°，
∴BF⊥AC，
∵AB＝BC，
∴AC＝2CF，
∴BE＝2CF，
∴CF＝1cm．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质定理，全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
例6．（2023·江苏滨海·八年级期中）如图，厂房屋顶的人字架是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，若跨度BC＝16m，上弦长AB＝10m，求中柱AD的长．
【答案】
【分析】由等腰三角形的性质得BC＝CD＝ BC＝8（m），再由勾股定理求解即可．
【详解】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝16m，
∴BC＝CD＝ BC＝8（m），∠ADB＝90°，
∴AD＝＝＝6（m），
即中柱AD的长为6m．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
【即学即练1】（2023·福建·福州三牧中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC＝80°，BE平分∠ABC交AC于点E，ED⊥AB于点D，求证：AD＝BD．
【分析】先证明∠A=∠ABE得到△ABE为等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质得到结论．
【详解】证明：∵BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠ABE=∠ABC=×80°=40°，
∵∠A=40°，
∴∠A=∠ABE，
∴BE=AE,△ABE为等腰三角形，
∵ED⊥AB，
∴AD=BD．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判断与性质，解题的关键是证明△ABE为等腰三角形．
【即学即练2】（2023·黑龙江五常·八年级阶段练习）已知：以线段AB为边在线段的同侧作△ABC与△BAD，BC与AD交于点E，若AC＝BD，BC＝AD．
（1）如图1，求证：CE＝DE；
（2）如图2，当∠C＝90°，∠AEB＝2∠AEC时，作EF⊥AB于F，请直接写出所有等于AB的线段．
【答案】（1）见解析；（2）AC、BD、AF、BF
【分析】（1）证明△ABC≌△BAD可得EA＝EB，故可得结论；
（2）由（1）可得AE=BE，从而可得AF=BF=，再根据角平分线的性质可得AC=AF，BD=BF，从而可得结论．
【详解】解：（1）证明：在△ABC和△BAD中
∴△ABC≌△BAD（SSS）
∴∠ABC＝∠BAD
∴EA＝EB
∴BC－EB＝AD－AE
∴CE＝DE
（2）由（1）得EA＝EB
∵EF⊥AB
∴AF=BF=，
∵∠AEB＝2∠AEC
∴
∵
∴AC=AF=，
同理可得，BD=BF=，
∴等于AB的线段有AC、BD、AF、BF
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，证明AE=BE是解答本题的关键．
【即学即练3】（2023·吉林·八年级期末）如图，在中，，为边的中线，是边上一点（点不与点、重合），过点作于点，交的延长线于点．
（1）求证：AD//FG；
（2）求证：；
（3）若，且，直接写出的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）CG=7．
【分析】（1）根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，由即可得出结论；
（2）根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，根据平行线的性质可得，，可得，即可证明；
（3）根据，AB=AC=4可得，，利用（2）结论可得出AG的长，进而可得答案．
【详解】（1），为的中点，
，
，
；
（2），为的中点，
，
，
，，
，
；
（3），，AB=AE+BE，
，，
由（2）可知，
，
．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质及等腰三角形的性质及判定，等腰三角形底边中线、底边上的高线及顶角的角平分线“三线合一”；熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题关键．
【即学即练4】（2023·江苏·扬州市梅岭中学八年级阶段练习）在平面直角坐标系中，三角形△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC，BC交x轴于点D．
（1）若A（﹣8，0），C（0，6），直接写出点B的坐标 ；
（2）如图2，三角形△OAB与△ACD均为等腰直角三角形，连OD，求∠AOD的度数；
（3）如图3，若AD平分∠BAC，A（﹣8，0），D（m，0），B的纵坐标为n，求2n＋m的值．
【答案】（1）（6，﹣2）；（2）90°；（3）－8
【分析】（1）过点B作BT⊥y轴于点T，证明△AOC≌△CTB（AAS），即可求得AO＝CT＝8，BT＝CO＝6，OT＝CT﹣CO＝2，即可求得点的坐标；
（2）过点A作AH⊥OB于H，过点D作DJ⊥OB于点J，证明△AHC≌△CJD（AAS），即可得到OJ＝CH＝DJ，∠DJO＝90°，根据等腰三角形的性质与判定可得是等腰直角三角形，进而求得,根据∠AOD＝∠AOB＋∠DOJ＝90°即可求得∠AOD；
（3）过B作x轴垂线交AC延长线于E，交轴于点，证明△ACD≌△BCE（AAS），由A（﹣8，0），D（m，0），BE＝AD＝8＋m，根据等腰三角形的性质可得，则，则可得2n＋m＝－8
【详解】（1）如图1中，过点B作BT⊥y轴于点T．
三角形△ABC为等腰直角三角形，
∴△AOC≌△CTB（AAS），
∴AO＝CT＝8，BT＝CO＝6，
∴OT＝CT﹣CO＝2，
∴B（6，﹣2），
故答案为：（6，﹣2）
（2）如图2中，过点A作AH⊥OB于H，过点D作DJ⊥OB于点J．
∵AO＝AB，AH⊥OB，∠OAB＝90°，
∴OH＝HB，∠AOB＝∠ABO＝45°，
∴AH＝OB＝OH＝HB，
又
△AHC≌△CJD（AAS），
∴CH＝DJ，CJ＝AH，
∴CJ＝OH，
∴OJ＝CH＝DJ，
∵∠DJO＝90°，
∴∠DOJ＝45°，
∴∠AOD＝∠AOB＋∠DOJ＝90°；
（3）过B作x轴垂线交AC延长线于E，交轴于点，
又，
∴△ACD≌△BCE（AAS）
A（﹣8，0），D（m，0），
∴BE＝AD＝8＋m
AD平分∠BAC，
B的纵坐标为n，在第四象限，
∴8＋m＝－2n
2n＋m＝－8
【点睛】本题考查了坐标与图形，三角形全等的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．
【知识拓展3】等腰三角形中的分类讨论
例1.在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．
【思路点拨】唯独等腰三角形的角有专用名词“顶角”“底角”，别的三角形没有，然而此题没有指明40°的角是顶角还是底角，所以要分类讨论.
【答案与解析】
解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：
两个底角的度数之和＝180°－40°＝140°，
又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，
故每个底角的度数；
(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，
则顶角的度数＝180°－40°－40°＝100°．
∴其余各角为70°，70°或40°，100°．
【总结升华】条件指代不明，做此类题应分类讨论，把可能出现的情况都讨论到，别遗漏.
例2、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．
【答案与解析】解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；
(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长．
这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．
而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去．
∴ 等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．
【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角形没有，此题没有说明边长为3的边是腰还是底，所以做此题应分类讨论．同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从而决定取舍，最后得到正确答案．
【即学即练】如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，AB=5，AC=7，BC=8，△AEF的周长为（ ）
A．13B．12C．15D．20
【答案】选B．
解：∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠CBD，
∴∠EDB=∠EBD，∴BE=ED，同理DF=CF，
∴△AEF的周长是AE+EF+AF=AE+ED+DF+AF=AE+BE+CF+AF
=AB+AC=5+7=12．
【知识拓展4】等腰三角形性质和判定综合应用
例1、已知：如图，中，，AD⊥BC于D，CF交AD于点F，连接BF并延长交AC于点E，
．
求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．
【思路点拨】此题由等腰三角形的判定知AD＝DC，易证△ABD≌△CFD，要证BE⊥AC，只需证∠BEC＝90°即可，DF＝BD，可知∠FBD＝45°，由已知∠ACD＝45°，可知∠BEC＝90°.
【答案与解析】证明：(1) ∵ AD⊥BC，∴ ∠ADC＝∠FDB＝90°.
∵ ，∴ ∴ AD＝CD
∵ ，∴ △ABD≌△CFD
(2)∵△ABD≌△CFD
∴ BD＝FD.
∵ ∠FDB＝90°， ∴ .
∵ ，∴ .∴ BE⊥AC．
【总结升华】本题主要考查全等三角形判定定理及性质，垂直的性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质等知识点，关键在于熟练的综合运用相关的性质定理，通过求证△ABD≌△CFD，推出BD=FD，求出∠FBD=∠BFD=45°．
知识点02 等边三角形
1.等边三角形定义：
三边都相等的三角形叫等边三角形.
要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包
括等边三角形．
2.等边三角形的性质：
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
3.等边三角形的判定：
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
4.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
【知识拓展4】等边三角形
例1、如图．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．
（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；
（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程．
【答案与解析】解：（1）△ODE是等边三角形，
其理由是：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°
∴△ODE是等边三角形；
（2）答：BD＝DE＝EC，
其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝∠OBD＝30°，
∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠ABO＝30°，
∴∠DBO＝∠DOB，∴DB＝DO，
同理，EC＝EO，∵DE＝OD＝OE，∴BD＝DE＝EC．
【总结升华】（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE是等边三角形；（2）根据角平分线的性质及平行线的性质可得到∠DBO＝∠DOB，根据等角对等边可得到DB＝DO，同理可证明EC＝EO，因为DE＝OD＝OE，所以BD＝DE＝EC．
【即学即练】等边△ABC，P为BC上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P上，使三角
板绕P点旋转．如图，当P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状.
【答案】解： ∵PE⊥AB，∠B＝60°，
因此直角三角形PEB中，BE＝BP＝BC＝PC，∴∠BPE＝30°，
∵∠EPF＝60°，∴FP⊥BC，
∵∠B＝∠C＝60°，BE＝PC，∠PEB＝∠FPC＝90°，∴△BEP≌△CPF，∴PE＝PF，
∵∠EPF＝60°，∴△EPF是等边三角形．
【知识拓展5】在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
例1．（2023·山东惠民·八年级阶段练习）如图，在等腰△ABC中，点M，N都在BC边上，∠BAC＝120°，若ME⊥AB于点E，NF⊥AC于点F，点E，F分别为AB，AC的中点，且EM＝2．则BC的长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】D
【分析】由题意易得AM=BM，AN=CN，则有∠MAB=∠B=30°，∠NAC=∠C=30°，然后可得△AMN是等边三角形，进而可得BM=AM=AN=MN=NC=4，最后问题可求解．
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，
∴∠C=∠B=30°，
∵ME⊥AB，NF⊥AC，点E，F分别为AB，AC的中点，
∴AM=BM，AN=CN，
∴∠MAB=∠B=30°，∠NAC=∠C=30°，
∴∠AMN=∠ANM=∠MAN=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴BM=AM=AN=MN=NC，
∵在Rt△BME中，EM＝2，∠B=30°，
∴BM=2EM=4，
∴BM=MN=CN=4，
∴BC=12；
故选D．
【点睛】本题主要考查等腰三角形、等边三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形、等边三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质是解题的关键．
【即学即练1】（2023·浙江·温州市第二中学八年级期中）如图，RtABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，分别以AC，BC，AB为一边在ABC外面做三个正方形，记三个正方形的面积依次为S1，S2，S3，已知S1＝4，则S3为（ ）
A．8B．16C．D．+4
【答案】B
【分析】根据直角三角形30度角的性质得到AB=2AC，再利用正方形面积公式求值．
【详解】解：RtABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴AB=2AC，
∴S3=AB2=4AC2=4S1＝16，
故选：B．
【点睛】此题考查了直角三角形30度角的性质：直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记性质是解题的关键．
【即学即练2】（2023·广东·珠海市九洲中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为BC边上一点，CD＝1，E为AC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的右侧作等边△DEF，连接BF，则BF的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．
【答案】B
【分析】以BD为边，在BD右侧作等边三角形BDM，连接EM，证明△BDF≌△MDE（SAS），可得BF=ME，故当ME最小时，BF最小，此时ME⊥AC，过M作MN⊥BC于N，即可得ME=NC=2，从而知BF最小值是2．
【详解】解：以BD为边，在BD右侧作等边三角形BDM，连接EM，如图：
∵△BDM和△DEF是等边三角形，
∴DE＝DF，DM＝BD，∠BDM＝∠FDE＝60°，
∴∠BDM﹣∠MDF＝∠FDE﹣∠MDF，即∠BDF＝∠MDE，
∴△BDF≌△MDE（SAS），
∴BF＝ME，
∴当ME最小时，BF最小，此时ME⊥AC，如图：
过M作MN⊥BC于N，
∵BC＝3，CD＝1，
∴BD＝2，
∴ND＝0.5BD＝1，NC＝2，
而∠MNC＝∠NCE＝∠CEM＝90°，
∴四边形MNCE是矩形，
∴ME＝NC＝2，
而BF＝ME，
∴BF最小值是2．
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形及等边三角形的综合应用，涉及动点问题，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，把求BF最小值问题转化为求EM最小值．
【即学即练3】（2022·甘肃西峰·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，连结AD，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，若EF=3，则AE的长是（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】B
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得，，，再根据角平分线，求出，然后根据平行线的性质求出，从而得到，最后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半即可解答．
【详解】解：∵，AD是的中线，
∴，，．
∵AE是的角平分线，
∴．
∵，
∴，
∴．
在中，，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，利用数形结合的思想是解题关键．
能力拓展
类型一、等腰三角形中的分类讨论
1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为( )．
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
【答案】D；
【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知，等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，然而题目没说是什么三角形，所以分类讨论，画出图形再作答．
(1)顶角为锐角如图①，按题意顶角的度数为60°；
(2)顶角为直角，一腰上的高是另一腰，夹角为0°不符合题意；
(3)顶角为钝角如图②，则顶角度数为120°，故此题应选D．
【总结升华】这是等腰三角形按顶角分类问题，对于等腰三角形按顶角分：等腰锐角三角形、等腰直角三角形和等腰钝角三角形，故解此题按分类画出相应的图形再作答.
2.已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．
【答案】解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长＝13－3－3＝7；
(2)3为底边长时，则两个腰长的和＝13－3＝10，则一腰长．
这样得两组：①3，3，7 ②5，5，3．
而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，故不能组成三角形，应舍去．
∴ 等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．
类型二、等腰三角形的操作题
根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC恰好分割成两个等腰三角形（不写
做法，但需保留作图痕迹，在图中标注分割后的角度）；并根据每种情况分别猜想：∠A与∠B有怎样的数量关系时才能完成以上作图？
（1）如图①△ABC中，∠C＝90°，∠A＝24°；猜想：
（2）如图②△ABC中，∠C＝84°，∠A＝24°；猜想：
【思路点拨】在等腰三角形中，“等边对等角”与“等角对等边”，本题应从角度入手进行考虑.
【答案与解析】（1）作图：
猜想：∠A＋∠B＝90°，
（2）作图：
猜想：∠B＝3∠A.
【总结升华】对图形进行分割是近年来出现的一类新题型，主要考查对基础知识的掌握情况以及动手实践能力，本类题目的答案有时不唯一.
2.直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC
上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F，
探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中的∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．
【答案】解：若△CDF是等腰三角形，则一定是等腰直角三角形.
设∠B为度 ∠1＝45°，∠2＝∠A＝90°－
①当BD＝BE时
∠3＝ ，
45°＋90°－＋＝180°，
＝30° .
②经计算ED＝EB不成立.
③当DE＝DB时
∠3＝180°－2
45°＋90°－＋180°－2＝180°，
＝45°.
综上所述，∠B＝30°或45°.
类型三、等腰三角形性质判定综合应用
1.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E，EH⊥AB，垂足是H．在AB上取一点M，使BM=2DE，连接ME．求证：ME⊥BC．
【思路点拨】根据EH⊥AB于H，得到△BEH是等腰直角三角形，然后求出HE=BH，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=HE，然后求出HE=HM，从而得到△HEM是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．
【答案与解析】证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°，
∵EH⊥AB于H，∴△BEH是等腰直角三角形，∴HE=BH，∠BEH=45°，
∵AE平分∠BAD，AD⊥BC，∴DE=HE，∴DE=BH=HE，
∵BM=2DE，∴HE=HM，∴△HEM是等腰直角三角形，
∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME⊥BC．
【总结升华】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并证明出等腰直角三角形是解题的关键．
2.如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．
求证：AC＝BF．
【答案】证明：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG.
A
B
C
D
E
F
G


类型四、等边三角形
1.已知：如图，B、C、E三点共线，，都是等边三角形，连结AE、BD分别交CD、AC于N、M，
连结MN.
求证：AE＝BD，MN∥BE.
【答案与解析】证明：，都是等边三角形
∴BC＝AC，CE＝CD，∠1＝∠3＝60°
∠1＋∠2＋∠3＝180°
∴∠2＝60°∴
在和中
（已证）
∴△BCD≌△ACE （SAS）
∴BD＝AE（全等三角形对应边相等）
（全等三角形对应角相等）
在和中（已证）
∴△BMC≌△ANC（ASA）
∴MC＝NC（全等三角形对应边相等）
∵∠2＝60°∴△MCN是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）
∴∠6＝60°，∴∠6＝∠1
∴MN∥BE（内错角相等，两直线平行）
【总结升华】本题应从等边三角形的性质出发，利用三角形全等证明AE＝BD；为证明MN∥BE，可先证明△MNC为等边三角形，再利用角去转化证明.
2.如图，AB=AC=AD=4cm，DB=DC，若∠ABC为60度，则BE为 ，∠ABD= °．
【答案】解：①∵AB=AC，∠ABC为60度，
∴△ABC为等边三角形．
在△ABD和△ACD中，∵，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AE是BC边的中垂线，
∴BE=BC=2cm；
故答案是：2cm；
②∵AB=AD（已知），
∴∠ABD=∠ADB（等边对等角），
∴∠ABD=（180°﹣∠BAD）=（180°﹣30°）=75°．
分层提分
题组A 基础过关练
一、单选题
1．（2022·四川仁寿·八年级期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．全等三角形的角相等
B．等腰三角形的中线、高线、角平分线重合
C．全等三角形的边相等
D．Rt△ABC两直角边为3、4，则斜边上的高是
【答案】D
【分析】由题意根据全等三角形的性质对A、C进行判断；根据等腰三角形的性质对B进行判断；根据勾股定理和面积法对D进行判断．
【详解】解：A．全等三角形的对应角相等，所以A选项不符合题意；
B．等腰三角形底边上的中线、底边上的高线和顶角的角平分线重合，所以B选项不符合题意；
C．全等三角形的对应边相等，所以C选项不符合题意；
D．Rt△ABC两直角边为3、4，则斜边为5，则斜边上的高为，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查命题以及全等三角形的性质，注意掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2．（2023·辽宁铁岭·八年级期末）如图，在中，，，则的外角的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质求出，再根据三角形外角的性质即可求出．
【详解】∵，
∴
∵，
∴
∴的外角
故选：A
【点睛】本题考查的是等腰三角形性质及三角形外角定理；利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B的度数是解答本题的关键．
3．（2023·黑龙江五常·八年级期末）已知一个等腰三角形的两边长分别是4，5，则它的周长是（ ）
A．13B．14C．13或14D．9或12
【答案】C
【分析】等腰三角形的性质是两腰长相等，需进行分类讨论：当腰长为5，底边长为4时；当腰长为4，底边长为5时，分别计算三角形周长即可．
【详解】解：等腰三角形的性质是两腰长相等，需进行分类讨论：
当腰长为5，底边长为4时，周长为：；
当腰长为4，底边长为5时，周长为：；
故选：C．
【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质，对等腰三角形进行分类讨论是解题关键．
4．（2022·天津市第七中学八年级期末）等腰三角形的顶角是，则这个三角形的一个底角的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的两底角相等，即可求解．
【详解】解：∵等腰三角形的顶角是，
∴这个三角形的一个底角的大小是 ．
故选：A
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键．
5．（2022·内蒙古乌兰察布·八年级期末）如图所示，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确的是（ ）
A．①②③④B．②③④C．①③④D．①②③
【答案】A
【分析】由已知条件运用等边三角形的性质得到三角形全等，进而得到更多结论，然后运用排除法，对各个结论进行验证从而确定最后的答案．
【详解】解：和是正三角形，
，，，
，，
，
，故①正确，
，故②正确；
，
，
，故③正确；
，，，
．
，
，
是等边三角形，故④正确；
故选：A．
【点睛】此题主要考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
6．（2023·上海市建平实验中学八年级期末）如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）
A．米B．米C．4米D．6米
【答案】D
【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．
【详解】解：如图，根据题意BC＝2米，
∵∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4米，
∴2+4＝6米．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．
二、填空题
7．（2023·贵州·峰林学校八年级期中）等腰三角形中顶角为30°，则底角的度数是_____________．
【答案】
【分析】由等腰三角形的两个底角相等结合三角形的内角和定理列式再计算即可得到答案.
【详解】解：等腰三角形中顶角为30°，则底角的度数是：

故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“等腰三角形的两个底角相等”是解本题的关键.
8．（2023·广西隆安·八年级期中）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于5，则它的周长为_______．
【答案】13或14
【分析】由等腰三角形中两条腰相等，且任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求出．
【详解】若等腰三角形腰长为4，底边为5，
则三边长度为4、4、5，且满足三角形三边关系
故周长为13，
若等腰三角形腰长为5，底边为4，
则三边长度为4、5、5，且满足三角形三边关系
故周长为14．
故答案为：13或14．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，本题腰长为4或5均满足三角形三边关系，不要漏解．
9．（2022·天津市第七中学八年级期末）一个直角三角形房梁如图所示，其中，，，，垂足为，那么________________．
【答案】
【分析】利用直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴ ， ，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
10．（2023·江苏·如皋市实验初中八年级阶段练习）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，E是线段AC上一点，连接BE并延长至D，连接CD，若∠BCD＝120°，AB＝2CD，AE＝7，则线段CE长为 _______．
【答案】
【分析】作，垂足为，根据等腰三角形的性质可得，，根据含30度角的直角三角形的性质得出，那么可证．再利用证明，得出，设，根据列出方程，求解即可．
【详解】解：作，垂足为，
，，
，，
，
，
．
，
，
．
在和中，
，
，
．
设，则，．
，
，
，
线段长为．
故答案为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．
三、解答题
11．（2022·吉林长春·八年级期末）图①、图②都是4×4的正方形网格，每个小正方形的项点为格点，每个小正方形的边长均为1，在图①、图②中已画出AB，点A、B均在格点上，按下列要求画图：
（1）在图①中，画一个以AB为腰且三边长都是无理数的等腰三角形ABC，点C为格点；
（2）在图②中，画一个以AB为底的等腰三角形ABD，点D为格点．
【分析】（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形；
（2）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的图形．
【详解】（1）如图所示：即为所求；
（2）如图所示：即为所求．
【点睛】本题考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理是解题的关键．
12．（2022·宁夏盐池·八年级期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至，使．求证：．
【答案】见解析
【分析】利用等腰三角形三线合一得出，再结合等腰三角形的底角相等和外角的性质得出，利用等角对等边证明即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，．
∵是中线，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和等腰三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用等腰三角形的性质和判定进行推理证明．
13．（2023·吉林九台·八年级期末）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形．
（1）在图1中，画一个等腰三角形（不含直角），使它的面积为8；
（2）在图2中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积为10．
【答案】（1）作图见详解；（2）作图见详解；（3）作图见详解．
【分析】（1）根据题意找出三角形底为4，高为4的三角形即可；
（2）根据题意可画出直角边分别为3，4的直角三角形，斜边通过勾股定理计算为5，符合题意；
（3）根据题意及正方形面积的特点即可画出边长为的正方形．
【详解】（1）如图所示，三角形底为4，高为4，面积为8，符合题意，即为所求；
（2）如图所示，三角形为所求，直角边分别为3，4，根据勾股定理，斜边为5，符合题意；
（3）如图所示，正方形为所求，正方形变长为，
面积为：，符合题意．
【点睛】此题主要考查网格与图形，解题的关键是熟练运用勾股定理．
14．（2023·吉林九台·八年级期末）如图，在中，，是的中点，于．求证：．
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质推出∠BAC=2∠DAC，然后结合三角形外角性质推出∠DAC=∠EBC，即可证得结论．
【详解】证：∵在中，，
∴为等腰三角形，
∵是的中点，
∴为的中线，
由“三线合一”知，AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠ADB=90°，∠BAC=2∠DAC，
设AD与BE交于F点，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
∵∠AFB=∠ADB+∠DBE=∠AEB+∠DAE，
∴∠DBE=∠DAE，即：∠EBC=∠DAC，
∴∠BAC=2∠EBC．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，以及三角形外角性质等，掌握等腰三角形中“三线合一”的性质，外角定理等是解题关键．
题组B 能力提升练
一、单选题
1．（2023·湖北·仙桃市第二中学八年级阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠CAB的角平分线交BC于M，∠ACB的外角平分线与AM交于点D，与AB的延长线交于点N，过D作DE⊥CN交CB的延长线于点P，交AN于点E，连接CE并延长交PN于点Q，则下列结论： ①∠ADP＝45°；②AN＝CA＋CP；③DC＝ED；④NQ﹣CD＝PQ；⑤CN＝DE＋EP，其中正确的结论有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】根据角平分线的定义，可得 ，再由三角形外角的性质，可得 ，再由DE⊥CN，可得∠ADP=45°；延长PD与AC交于点 ，可证得 ，从而得到 ；然后根据△ADC≌△ADE，可得DC=ED；根据题意可得CQ⊥PN，且△CDE、△CQN、△PQE均为等腰直角三角形，从而得到△CQP≌△NQE，进而得到 ；作EK⊥CE交CN于点K，可得△CEK是等腰直角三角形，从而得到CD=DK，CK=2CD，进而得到△EKN≌△CEP，从而得到PE=KN，得到CN= 2DE+EP，即可求解．
【详解】解：如图，
∵∠CAB的角平分线交BC于M，∠ACB的外角平分线与AM交于点D，
∴ ，
∵∠HCD=∠DAC+∠ADC，∠PCH=∠CAB+∠ABC=2∠HCD，
∴ ，
∵DE⊥CN，
∴∠CDP=90°，
∴∠ADP=45°，故①正确；
如图，延长PD与AC交于点 ，
∵∠1=∠PCD，DE⊥CN，
∴ ，
∴ ，
∵∠ADC=45°，DP⊥CN，
∴∠EDA=∠CDA=45°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
③在△ADC和△ADE中，
∵∠ADC=∠ADE=45°，AD=AD，∠DAC=∠DAE，
∴△ADC≌△ADE（ASA），
∴DC=ED，故③正确；
④∵∠ABC=90°，
∴BN⊥CP，
∵DE⊥CN，
∴E为△CPN垂心，
∴CQ⊥PN，且△CDE、△CQN、△PQE均为等腰直角三角形，∠PQC=∠EQN=90°，
∴PQ=EQ，CQ=NQ，
∴ ，
∴△CQP≌△NQE（SAS），
∴CQ=NQ，
∵CQ=EQ+CE=PQ+CE=PQ+CD，∠PEQ=45°，
∴ ，故④错误；
如图，作EK⊥CE交CN于点K，
∵△CDE为等腰直角三角形，
∴∠DCE=45°，
∴∠CKE=45°，
∴CE=EK，
∴△CEK是等腰直角三角形，
∴CD=DK，CK=2CD，
∵∠KNE+∠PCN=∠CPE+∠PCN=90°，
∴∠KNE=∠CPE，
∵∠PEQ=∠CKE=45°，
∴∠CEP=∠EKN=135°，
在△EKN和△CEP中，
∵∠EKN=∠CEP，∠KNE=∠CPE，CE=EK，
∴△EKN≌△CEP（AAS），
∴PE=KN，
∴CN=CK+KN=2CD+EP，
∴CN=CK+KN=2DE+EP，故⑤错误
∴正确的有①②③，有3个．
故选：B
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质的判定，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质的判定，勾股定理等知识是解题的关键．
2．（2023·辽宁铁岭·八年级期末）如图，是等边中边上的点，，，则是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．无法确定
【答案】B
【分析】先证得△ABE≌△ACD，可得AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°，即可证明△ADE是等边三角形．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形
∴AB=AC，∠BAE=60°，
∵∠1=∠2，BE=CD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°，
∴△ADE是等边三角形．
故选B．
【点睛】此题考查等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握等边三角形的判定定理．
3．（2023·广东南沙·八年级期末）如图，∠AOB＝50°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OCE的度数不可能为（ ）
A．130°B．77.5°C．65°D．25°
【答案】C
【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠OEC的度数即可．
【详解】解：如图所示：
∵∠AOB＝50°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝25°，
①当E在E1时，OE＝CE，
∵∠AOC＝∠OCE＝25°，
∴∠OEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°；
②当E在E2点时，OC＝OE，
则∠OCE＝∠OEC＝（180°﹣25°）＝77.5°；
③当E在E3时，OC＝CE，
则∠OEC＝∠AOC＝25°；
综上，∠OEC的度数不可能为65°，
故选：C．
【点睛】本题主要是考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等腰三角形的腰相等，分成三类情况分别讨论，再利用内角和定理以及底角相等，求解角的度数，这是解题的主要思路．
4．（2023·山东·潍坊市潍城区乐埠山生态经济发展区中学八年级阶段练习）如图，在ABC中，∠C＝90°，点D为BC上一点，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，F为AC上一点，则下列结论中正确的是（ ）
A．DE＝DFB．BD＝FDC．∠1＝∠2D．AB＝AC
【答案】C
【分析】在直角三角形DCF中，利用斜边长度大于直角边长度，可以得到DF＞DC，又DC＝DE，所以DF＞DE，故A选项错误，同理，D选项错误，假设BD＝FD，则可以判定△DBE≌△DFC，所以∠B＝∠DFC，而在题目中，∠B是定角，∠DFC随着F的变化而变化，假设不成立，故B选项是错误的，由DE＝DC，DC⊥AC，DE⊥AB，根据Rt△DEA≌Rt△DCA（HL）得到C选项是正确的．
【详解】解：（1）在直角三角形DCF中，利用斜边长度大于直角边长度，可以得到DF＞DC，又DC＝DE，所以DF＞DE，
故A选项错误；
（2）△BDE与△DCF，只满足∠DEB＝∠DCF＝90°，DC＝DE的条件，不能判定两个三角形全等，故不能得到BD＝FD，
另一方面，假设BD＝FD，
在Rt△DBE与△DFC中，
，
∴Rt△DBE≌Rt△DFC（HL），
∴∠B＝∠DFC，
而图中∠B大小是固定的，∠DFC的大小随着F的变化而变化，故上述假设是不成立的，
故B选项错误；
（3）∵DC⊥AC，DE⊥AB，DC＝DE，
在Rt△DEA和Rt△DCA中，
，
∴Rt△DEA≌Rt△DCA（HL），
∴∠1＝∠2，
故C选项正确；
（4）在直角三角形ABC中，利用斜边长度大于直角边长度，可以得到AB＞AC，
故D选项错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边不等关系关系，掌握全等三角形的性质与判定，直角三角形三边关系是解题关键．
5．（2023·上海市建平实验中学八年级期末）已知下列命题中：
①有两条边分别相等的两个直角三角形全等；
②有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等；
③有一条边与一个锐角分别相等的两个直角三角形全等；
④顶角与底边分别对应相等的两个等腰三角形全等．
其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性质逐个排查即可．
【详解】解：①由于SSA不能判定三角形全等，则有两条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，故原命题是假命题；
②由于满足ASA,则有一条腰相等的两个等腰直角三角形全等，故原命题是真命题；
③有一条边与一个锐角分别相等即可能为ASA或AAS，故原命题是真命题；
④由于两等腰三角形顶角相等，则他们的底角对应相等，再结合底相等，满足ASA,故原命题是真命题．
其中真命题的个数是3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
二、填空题
6．（2023·辽宁铁岭·八年级期末）如图，在中，，点在边上，且，过上一点作，交、的延长线、的延长线分别于点，和，有下列结论：①图中共有4个等腰三角形；②；③；④．其中正确的结论有________（请填写序号）．
【答案】①②④
【分析】根据等腰三角形的性质求出各个角度，再逐项推理即可．
【详解】∵BD=BC，
∴∠BDC=∠C，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠A=∠DBC，
∵AD=BD，
∴∠A=∠DBA，
∴∠A=∠DBA=∠DBC=∠ABC=∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠C=5∠A=180°，
∴∠A=∠DBA=∠DBC =36°，∠C=72°；
∵，∠DBA=∠DBC
∴BN=CE
∴等腰三角形有△ABC、△ABD、△BDC、△BNE，故①正确；
②，故②正确；
③当时，，∴，但是由于M是任意一点，AD是固定长度，故③错误；
④∵BN=BE，AB=AC，
∴AN=AB-BN=AC-BE，
∵CE=BE-BC，
∵CD=AC-AD=AC-BD=AC-BC，
∴CD=AN+CE．故④正确
综上所述，正确的是①②④
故答案为：①②④
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
7．（2022·辽宁大石桥·八年级期末）已知△ABC的面积是12，AB=AC=5，AD是BC边上的中线，E，P分别是AC，AD上的动点，则CP+EP的最小值为_______．
【答案】
【分析】作BM⊥AC于M，交AD于P，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，求得点B，C关于AD为对称，得到BP=CP，根据垂线段最短得出CP+EE=BP+EP=BE≥BM，根据数据线的面积公式即可得到结论．
【详解】解：作BM⊥AC于M，交AD于P，
∵△ABC是等腰三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴点B，C关于AD为对称，
∴BP=CP，
根据垂线段最短得出：CP+EP=BP+EP=BE≥BM，
∵AC=BC=5，
∵S△ABC=BC•AD=AC•BM=12，
∴BM=AD=，
即EP+CP的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等腰三角形和轴对称的性质是本题的关键．
8．（2023·贵州黔东南·八年级期末）如图，在边长为4，面积为的等边中，点、分别是、边的中点，点是边上的动点，求的最小值___．
【答案】
【分析】连接，交于点，连接，则的最小值为，再由已知求出的长即可．
【详解】解：连接，交于点，连接，
是等边三角形，是边中点，
点与点关于对称，
，
，
的最小值为，
是的中点，
，
，的面积为，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，将军饮马河原理，熟练掌握等边三角形的性质，灵活运用将军饮马河原理是解题的关键．
9．（2023·浙江·金华市第五中学九年级阶段练习）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图2，衣架杆，若衣架收拢时，，如图1，若衣架打开时，，则此时，两点之间的距离扩大了________．
【答案】##
【分析】分别求出时与时AB的长，故可求解．
【详解】如图，当时，连接AB
∵
∴△OAB是等边三角形
∴
如图，当时，连接AB，过O点作OC⊥AB
∵
∴∠A=∠B=，AC=BC
∴OC=cm
∴AC=cm
∴AB=2AC=cm
∴，两点之间的距离扩大了（）cm
故答案为：．
【点睛】此题主要考查等腰三角形、等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟知勾股定理、等腰三角形及含30°的直角三角形的性质．
10．（广东省深圳市实验学校三部2021-2022学年八年级上学期期末联考数学试题）如图所示，直线与两坐标轴分别交于、两点，点是的中点，、分别是直线、轴上的动点，当周长最小时，点的坐标为_____．
【答案】
【分析】作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF，EG，由轴对称的性质，可得DF＝DC，EC＝EG，故当点F，D，E，G在同一直线上时，△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝DF＋DE＋EG＝FG，此时△DEC周长最小，然后求出F、G的坐标从而求出直线FG的解析式，再求出直线AB和直线FG的交点坐标即可得到答案．
【详解】解：如图，作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接FG分别交AB、OA于点D、E，
由轴对称的性质可知，CD=DF，CE=GE，BF=BC，∠FBD=∠CBD，
∴△CDE的周长=CD+CE+DE=FD+DE+EG，
∴要使三角形CDE的周长最小，即FD+DE+EG最小，
∴当F、D、E、G四点共线时，FD+DE+EG最小，
∵直线y＝x＋2与两坐标轴分别交于A、B两点，
∴B（-2，0），
∴OA＝OB，
∴∠ABC＝∠ABD＝45°，
∴∠FBC=90°，
∵点C是OB的中点，
∴C(，0)，
∴G点坐标为（1，0），，
∴F点坐标为（-2，），
设直线GF的解析式为，
∴，∴，
∴直线GF的解析式为，
联立，解得，
∴D点坐标为（，）
故答案为：（，）．
【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，一次函数与几何综合，解题的关键是利用对称性在找到△CDE周长的最小时点D、点E位置，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．
三、解答题
11．（2023·吉林朝阳·八年级期末）如图，是等边三角形，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点匀速运动；同时，动点从点出发，以相同的速度沿向终点匀速运动，连结，以为边向其左侧作等边三角形，连结、、．设点的运动时间为．
（1）求证：．
（2）求证：．
（3）求的周长（用含的代数式表示）．
（4）当的长最短时，连结，直接写出此时的值和四边形的周长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4）t=1.5，周长为12
【分析】（1）根据△ABC是等边三角形可得，，再由于P、Q同时出发，则有CQ=AP，从而可证得；
（2）由可得及∠BCP=∠ABQ，由是等边三角形可得， ∠DCA=∠ABQ，从而可证明结论成立；
（3）由（2）的结论可得△ADQ是等边三角形，又可得AQ=6−2t，从而可求得的周长；
（4）当CP⊥AB时，CP最短，此时点P是AB的中点，点Q是AC的中点，可得△APQ是等边三角形，可得AP=AQ=PQ=3，即2t=3，从而可求得t的值，再由△ADQ是等边三角形，则四边形ADQP的四边相等且长度为3，即可求得此四边形的周长．
【详解】（1）∵是等边三角形
∴，
由题意，得
在△ACP和△CBQ中
∴(SAS)
（2）∵
∴，
∴∠ACP+∠BCP=∠CBQ+∠ABQ=60゜
即∠BCP=∠ABQ
∵是等边三角形
∴，
∴，
∴∠DCA=∠ABQ
在△ACD与△ABQ中
∴(SAS)
（3）∵
∴，
∴是等边三角形
∵CQ=2t，AC=6
∴AQ=AC−CQ=6−2t
∴的周长为
（4）当CP⊥AB时，CP最短，此时点P是AB的中点，点Q是AC的中点，所以AP=AQ=3
∵∠CAB=60゜
∴△APQ是等边三角形
∴AP=AQ=PQ=3
∴2t=3
∴t=1.5
∵△ADQ是等边三角形
∴AD=DQ=AQ=3
∴AP=PQ=DQ=AD=3
∴四边形ADQP的周长为：3×4=12
即当时，四边形的周长为12．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，图形的周长等知识，熟练掌握这些知识并灵活运用是解题的关键．
12．（2023·黑龙江铁锋·八年级期末）综合与探究
如图所示，在平面直角坐标系中，点B、D分别在y轴、x轴上，点，，且a，b满足，轴于点B，轴于点D．
（1）直接写出_____________，_____________；
（2）如图2，连接AC，BD交于点P，求证：点P为AC中点；
（3）若，在x轴上是否存在点F，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2，6；（2）见解析；（3）存在，，，
【分析】（1）由化为，由平方的非负性得，求出、即可；
（2）过作交BD于H，证明，由全等的性质即可得出答案；
（3）设，分情况讨论：，，由等腰三角形的性质求出m即可．
【详解】（1）化为，
∴，
解得：，，
故答案为：2，6；
（2）
如图2中，过作交BD于H，
∵轴，轴，
∴
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点P为AC中点；
（3）存在，
设，
当时，，
解得：，
∴，，
当时，过点C作交于点M，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平方的非负性，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的定义，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
13．（2023·吉林伊通·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC是△ABC中最短的边，边AC的长度比BC长10cm，斜边AB的长度比BC长度的2倍短10cm．
（1）求Rt△ABC的各条边的长．
（2）求AB边上的高．
（3）点D从点B出发在线段AB上以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t（s）．
①用含t的代数式表示线段BD的长为 ；
②当△BCD为等腰三角形时，请求出t的值．
【答案】（1）AB=50cm，BC=30cm，AB=40cm，（2）AB边上的高为24cm；（3）①2t；②当△BCD为等腰三角形时， t的值为15s或18s或s．
【分析】（1）设，则，，然后利用勾股定理求解即可；
（2）过点C作CE⊥AB于E，然后利用面积法求解即可；
（3）①根据路程=速度×时间即可得到答案；
②分三种情况：当时，当时，当时，讨论求解即可．
【详解】解：（1）设，则，，
∵∠ACB=90°，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，则，；
（2）如图所示，过点C作CE⊥AB于E，
∴，
∴，
∴AB边上的高为；
（3）①由题意得：，
故答案为：；
②如图3-1所示，当时，
∴，
解得；
如图3-2所示，当时，过点C作CE⊥AB于E，
由（2）得，
∴，
∴，
解得；
如图3-3所示，当时，过点C作CE⊥AB于E，
由（2）得，
设，
在直角△CEB中，
∴，
在直角△CDE中，，
∴，
解得，
∴，
解得；
综上所述，当的值为15或18或时，△BCD为等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形面积，等腰三角形的性质，熟知勾股定理是解题的关键．
14．（2022·辽宁大石桥·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点E，使CE=BC，若D是AC的中点，连接ED并延长交AB于点F．
（1）若AF=3，求AD的长；
（2）求证：DE=2DF．
【答案】（1）6；（2）见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC=BC，∠A=∠ACB=60°，求出∠E=∠CDE，根据三角形外角性质和等腰三角形的性质求出BD=DE，求出AD的长即可；
（2）连接BD，求出BD=DE，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD=2DF，即可得出答案．
【详解】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，∠A=∠ACB=60°，
∵D为AC中点，
∴CD=AD=AC，
∵CE=BC，
∴CD=CE，
∴∠E=∠CDE，
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠E=∠CDE=30°，
∴∠ADF=∠CDE=30°，
∵∠A=60°，
∴∠AFD=180°-∠A-∠ADF=90°，
∵AF=3，
∴AD=2AF=6，
（2）连接BD，
∵△ABC为等边三角形，D为AC中点，
∴BD平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠DBC=∠ABD=∠ABC=30°，
∵∠BFD=90°，
∴BD=2DF，
∵∠DBC=∠E=30°，
∴BD=DE，
∴DE=2DF，
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
15．（2023·吉林伊通·八年级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，点D是△ABC外一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当α＝∠AOB，AO＝8cm时，求OC的长度．
【答案】（1）见解析；（2）△AOD是直角三角形；（3）8cm
【分析】（1）根据△BOC≌△ADC，可得OC=OD，∠OCB=∠ACD，从而得到∠OCD=∠ACB，再由△ABC为等边三角形，可得∠ACB=60°即可求证；
（2）根据△OCD是等边三角形，可得∠ODC=∠COD=60°，再由△BOC≌△ADC，可得∠ADC=∠BOC=150°，即可求解；
（3）根据△OCD是等边三角形，可得∠ODC=∠COD=60°，OC=OD，再由△BOC≌△ADC，可得∠ADC=∠BOC=110°，从而得到∠ADO=50°，再由∠BOC=∠AOB=110°，可得到∠AOD =80°，然后根据三角形的内角和定理，可得到∠OAD=∠ADO，即可求解．
【详解】证明：（1）∵△BOC≌△ADC，
∴OC=OD，∠OCB=∠ACD，
∴∠OCD=∠ACB，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形；
（2）△AOD是直角三角形，理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=∠COD=60°，
∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
∴∠ADO=90°，
∴△AOD是直角三角形；
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=∠COD=60°，OC=OD，
∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=110°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=50°，
∵∠BOC=∠AOB=110°，
∴∠AOD =360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=80°，
∴∠OAD=180°-∠ADO- ∠AOD=50°，
∴∠OAD=∠ADO，
∴AO=OD，
∵AO＝8cm，
∴OC=OD＝8cm．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质和判定定理，全等三角形的性质定理是解题的关键．
16．（2023·江苏·如皋市实验初中八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于点P．
（1）求证：PB＝PC．
（2）若PB＝5，PH＝3，求BC．
【答案】（1）见详解；（2）．
【分析】（1）欲证明，只需推知；
（2）先求出CH的长，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵AB=AC，
∴．
∵为△ABC的高，
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）解：，
．
，
∴CH=4．
在Rt△BHC中，BH=8
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，掌握等腰三角形的判定定理及勾股定理是解本题的关键．
17．（2023·黑龙江五常·八年级期末）（1）画图探究：如图①，若点，在直线的同侧，在直线上求作一点，使的值最小，保留作图痕迹，不写作法；
（2）实践运用：如图②，等边的边上的高为6，是边上的中线，是上的动点，是的中点，求的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）6
【分析】（1）作A关于直线m的对称点，连接与直线m交于点P，点P即为所求；
（2）根据题意可得BM=CM，则ME+MC=ME+MB，要ME+MC最小，即ME+MB最小，故当M、E、B三点共线时，ME+MB最小，最小为BE，由此求解即可．
【详解】解：（1）如答图①，点即为所求．

（2）∵是等边的边上的中线，
∴是边的垂直平分线，
∴BM=CM，
∴ME+MC=ME+MB，
∴要ME+MC最小，即ME+MB最小，
∴当M、E、B三点共线时，ME+MB最小，最小为BE
∵是的中点，
∴是等边的边上的高，
∴，
∴的最小值为6．
【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径，等边三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握最短路径的相关知识．
18．（2023·吉林龙潭·八年级期末）探究：（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．请直接写出线段BD，DE，CE之间的数量关系是 ．
拓展：（2）如图（2），将探究中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
应用：（3）如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，请直接写出△DEF的形状是 ．
【答案】探究：（1）DE=BD+CE；拓展：（1）成立，见解析；应用：（3）△DEF是等边三角形
【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，就可以求出∠BAD＝∠ACE，进而由AAS就可以得出△BAD≌△ACE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出结论；
（3）由等边三角形的性质，可以求出∠BAC＝120°，就可以得出△BAD≌△ACE，就有BD＝AE，进而得出△BDF≌△AEF，得出DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，而得出∠DFE＝60°，即可推出△DEF为等边三角形．
【详解】（1）解：如图1，
∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
故答案为：DE＝BD+CE
（2）解：如图2，
∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（3）证明：如图3，
由（2）可知，△ADB≌△CEA，
∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF，
∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF＝∠FAE，
∵在△DBF和△EAF中，
，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
题组C 培优拔尖练
一、填空题
1．（2023·江苏·镇江市外国语学校八年级阶段练习）如图，在和中，，，，点A在边DE上，若，，则______．
【答案】
【分析】连接，根据题意可以证明是直角三角形，然后根据三角形全等和勾股定理即可证明，即可求的值．
【详解】解：如图所示，连接，
∵在和中，∠ACB=∠DCE=90°，，，
，，，
，
又∵，
，
，，
，
是直角三角形，
，
在中，，，
，
∵，，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是找到．
2．（2023·四川·石室中学八年级期中）如图，在等腰直角中，，点E是边上一点，点D是边上的中点，连接，过点E作，满足，连接，交于点M，将沿翻折，得到，连接，交于点P，若，则的长度是________．
【答案】
【分析】以点A为坐标原点，AC，AB分别为x，y轴建立直角坐标系，过点E作EG⊥AB于G，根据，可求出点E（2，−6），点F（8，8），从而直线BC的函数解析式为：y＝x−8，直线DF的函数解析式为：y＝−2x＋8，联立得到M点坐标，再根据翻折得到DM=DN，证明△DNS≌△MDR求出N点坐标，再联立直线求出P点坐标，根据坐标与勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，以点A为坐标原点，AC，AB分别为x，y轴建立直角坐标系，
∵AB＝AC＝8，
∴B（0，−8），C（8，0），△ABC是等腰直角三角形
∵点D是AC边上的中点，
∴AD＝4，
∴D（4，0），
过点E作EG⊥AB于G，过点E作EH⊥AC于H，作EH⊥FQ于Q点，过N点作NS⊥AC与S点，过M点作MR⊥AC于R点
∵，∠ABC=45°
∴△BEG是等腰直角三角形
∴EG＝BG，EG2+BG2=BE2
∴EG＝BG＝2，
∴E（2，−6），
∵，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DEF=90°，∠DEH+∠QEF=90°
又∠EFQ+∠QEF=90°
∴∠DEH＝∠EFQ，
又∠DHE=∠EQF=90°DE=FE
∴△DEH≌△EFQ（AAS），
∴EQ＝HD，HE＝QF，
∴F（8，-8），
设直线BC的解析式为y=ax+b，把B（0，−8），C（8，0）代入得
解得
∴直线BC的函数解析式为：y＝x−8，
设直线DF的解析式为y=mx+n，把D（4，0），F（8，-8）代入得
解得
∴直线DF的函数解析式为：y＝−2x＋8，
当x−8＝−2x＋8时，
∴x＝，
∴y＝−8＝− ，
∴M（，− ），
∵将沿翻折，得到，
∴∠NDM＝2∠EDF＝90°，DN=DM
∴∠RDM+∠SDN=90°
∵∠SND+∠SDN=90°
∴∠SND=∠RDM，
又∠DSN＝∠MRD，DN=DM
∴△DNS≌△MDR（AAS），
∴SD=RM=，SN=DR=-4=，AS=AD-SD=4-=
∴N（，−），
设直线DE的解析式为y=px+q，把D（4，0），E（2，−6）代入得
解得
∴直线DE的函数关系式为：y＝3x−12，
设直线NF的解析式为y=cx+f，把N（，−），F（8，-8）代入得
解得
∴直线NF的函数解析式为：y＝−x，
当3x−12＝−x时，
∴x＝3，
∴y＝−3，
∴点P（3，−3），
∴=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，建立坐标系，运用代数方法解决几何问题，求出相应的函数解析式是解题的关键．
二、解答题
3．（2023·山东省青岛第二十六中学八年级期末）如图，在直角坐标系中，直线l：y＝x+8与x轴、y轴分别交于点B，点A，直线x＝﹣2交AB于点C，D是直线x＝﹣2上一动点，且在点C的上方，设D（﹣2，m）
（1）求点O到直线AB的距离；
（2）当四边形AOBD的面积为38时，求点D的坐标，此时在x轴上有一点E（8，0），在y轴上找一点M，使|ME﹣MD|最大，请求出|ME﹣MD|的最大值以及M点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将直线l：y＝x+8左右平移，平移的距离为t（t＞0时，往右平移；t＜0时，往左平移）平移后直线上点A，点B的对应点分别为点A′、点B′，当△A′B′D为等腰三角形时，求t的值．
【答案】（1）4.8；（2）当点M的坐标为（0，）时，|ME﹣MD|取最大值2；（3）t的值为﹣2﹣4、4、﹣2+4或9．
【分析】（1）分别将x＝0、y＝0代入一次函数解析式中求出与之对应的y、x的值，从而得出点A、B的坐标，再根据两点间的距离公式求出线段AB的长度，利用面积法即可求出点O到直线AB的距离；
（2）将x＝﹣2代入直线AB解析式中即可求出点C的坐标，利用分割图形求面积法结合四边形AOBD的面积为38即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m值，在x轴负半轴上找出点E关于y轴对称的点E′（﹣8，0），连接E′D并延长交y轴于点M，连接DM，根据三角形三边关系即可得出此时|ME﹣MD|最大，最大值为线段DE′的长度，由点D、E′的坐标利用待定系数法即可求出直线DE′的解析式，将x＝0代入其中即可得出此时点M的坐标，再根据两点间的距离公式求出线段DE′的长度即可；
（3）根据平移的性质找出平移后点A′、B′的坐标，结合点D的坐标利用两点间的距离公式即可找出B′D、A′B′、A′D的长度，再根据等腰三角形的性质即可得出关于t的方程，解之即可得出t值，此题得解．
【详解】
（1）当x＝0时，y＝x+8＝8，
∴A（0，8），
∴OA＝8；
当y＝x+8＝0时，y＝﹣6，
∴B（﹣6，0），
∴OB＝6．
∴AB＝＝10，
∴点O到直线AB的距离＝＝4.8．
（2）当x＝﹣2时，y＝x+8＝，
∴C（﹣2，），
∴S四边形AOBD＝S△ABD+S△AOB＝CD•（xA﹣xB）+OA•OB＝3m+8＝38，
解得：m＝10，
∴当四边形AOBD的面积为38时，点D的坐标为（﹣2，10）．
在x轴负半轴上找出点E关于y轴对称的点E′（﹣8，0），连接E′D并延长交y轴于点M，连接DM，此时|ME﹣MD|最大，最大值为线段DE′的长度，如图1所示．
DE′＝．
设直线DE′的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将D（﹣2，10）、E′（﹣8，0）代入y＝kx+b，
，解得：，
∴直线DE′的解析式为y＝x+，
∴点M的坐标为（0，）．
故当点M的坐标为（0，）时，|ME﹣MD|取最大值2．
（3）∵A（0，8），B（﹣6，0），
∴点A′的坐标为（t，8），点B′的坐标为（t﹣6，0），
∵点D（﹣2，10），
∴B′D＝＝，A′B′＝＝10，A′D＝＝．
△A′B′D为等腰三角形分三种情况：
①当B′D＝A′D时，有＝，
解得：t＝9；
②当B′D＝A′B′时，有＝10，
解得：t＝4；
③当A′B′＝A′D时，有10＝，
解得：t1＝﹣2﹣4（舍去），t2＝﹣2+4．
综上所述：当△A′B′D为等腰三角形时，t的值为﹣2﹣4、4、﹣2+4或9．
【点睛】本题是一次函数综合题目，考察了一次函数的图象及其性质，一次函数平移，一次函数中的最值问题，此类题目在图形运动变化过程中，往往伴随着图形位置关系及数列关系的变化，有些问题能够用一次函数来解决图形运动的变化规律，解决动态几何问题，要动中有静、动静结合．
4．（2023·四川南充·八年级期末）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝1，点D是射线AC上一点（点D与点A不重合），连接BD，以BD为腰作等腰直角△BDE，∠DBE＝90°，连接AE交BC于点F．
（1）如图1，点D在线段AC上．
①求证：AF＝EF；
②已知AD＝，BF＝，m，n都是整数，求m，n的值；
（2）如图2，如果点D在AC延长线上（其它条件不变），AD＝3BF，求AD的长．
【答案】（1）①见解析；②m＝4，n＝2或m＝6，n＝1；（2）
【分析】（1）①过点E作EG⊥BC于G，证明△EGB≌△BCD，根据全等三角形的性质得到EG＝BC＝AC，再证明△EGF≌△ACF，根据全等三角形的性质证明结论；
②根据全等三角形的性质得到BG＝CD，GF＝FC，得到（m﹣3）（2n﹣1）＝3，根据题意列出方程组求解即可；
（2）过点E作EH⊥CB交CB的延长线于点H，证明△EHB≌△BCD，根据全等三角形的性质得到CD＝BH，EH＝AC＝BC＝1，证明△EFH≌△AFC，得到HF＝FC，根据题意计算即可．
【详解】（1）①证明：如图1，过点E作EG⊥BC于G，
则∠BEG＋∠EBG＝90°，
∵∠DBE＝90°，
∴∠DBC＋∠EBG＝90°，
∴∠BEG＝∠DBC，
在△EGB和△BCD中，
，
∴△EGB≌△BCD（AAS），
∴EG＝BC＝AC，
在△EGF和△ACF中，
，
∴△EGF≌△ACF（AAS），
∴AF＝EF；
②解：∵△EGB≌△BCD，
∴BG＝CD，
∴CG＝AD＝，
∵△EGF≌△ACF，
∴GF＝FC＝，
∴1﹣＝，
整理得：2mn﹣m＝6n，
∴2mn﹣6n＝m，
∴2n（m﹣3）﹣（m﹣3）＝3，
∴（m﹣3）（2n﹣1）＝3，
∵m，n都是整数，
∴或，
解得：或，
∴m＝4，n＝2或m＝6，n＝1；
（2）解：如图2，过点E作EH⊥CB交CB的延长线于点H，
则∠BEH＋∠EBH＝90°，
∵∠DBE＝90°，
∴∠DBC＋∠EBH＝90°，
∴∠BEH＝∠DBC，
在△EHB和△BCD中，
，
∴△EHB≌△BCD（AAS），
∴CD＝BH，EH＝AC＝BC＝1，
∴△EFH≌△AFC（AAS），
∴HF＝FC＝CH，
设CD＝BH＝x，
∴CH＝1＋x，
∴BF＝（1＋x）﹣x＝﹣x，
∵AD＝3BF，
∴1＋x＝3（﹣x），
解得：x＝，
∴AD＝1＋＝．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线、灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
5．（2023·江苏滨海·八年级期中）如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为ts．
（1）当t为何值时，M、N两点重合；
（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化．
①当t为何值时，△AMN是等边三角形；
②当t为何值时，△AMN是直角三角形；
（3）若点M、N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等腰△AMN时，求t的值．
【答案】（1）当M、N运动6秒时，点N追上点M；（2）①，△AMN是等边三角形；②当或时，△AMN是直角三角形；（3）
【详解】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多6cm，列出方程求解即可；
（2）①根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等边三角形；
②分别就∠AMN＝90°和∠ANM＝90°列方程求解可得；
（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值．
【解答】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+6＝2x，
解得：x＝6，
即当M、N运动6秒时，点N追上点M；
（2）①设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，
AM＝t，AN＝6﹣2t，
∵AB＝AC＝BC＝6cm，
∴∠A＝60°，当AM＝AN时，△AMN是等边三角形，
∴t＝6﹣2t，
解得t＝2，
∴点M、N运动2秒后，可得到等边三角形△AMN．
②当点N在AB上运动时，如图2，
若∠AMN＝90°，
∵BN＝2t，AM＝t，
∴AN＝6﹣2t，
∵∠A＝60°，
∴2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，
解得；
如图3，若∠ANM＝90°，
由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t，
解得．
综上所述，当t为或时，△AMN是直角三角形；
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图4，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵∠AMC＝∠ANB，∠C＝∠B，AC＝AB，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
∴t﹣6＝18﹣2t，
解得t＝8，符合题意．
所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，将动点问题转化为线段的长是解题的关键．
6．（2023·吉林九台·八年级期末）如图，在长方形中，，．延长到点，使，连接．动点从点出发，沿着以每秒1个单位的速度向终点运动，点运动的时间为秒．
（1）的长为 ；
（2）连接，求当为何值时，；
（3）连接，求当为何值时，是直角三角形；
（4）直接写出当为何值时，是等腰三角形．
【答案】（1）5；（2）秒时，；（3）当秒或秒时，是直角三角形；（4）当秒或秒或秒时，为等腰三角形．
【分析】（1）根据长方形的性质及勾股定理直接求解即可；
（2）根据全等三角形的性质可得：，即可求出时间t；
（3）分两种情况讨论：①当时，在两个直角三角形中运用两次勾股定理，然后建立等量关系求解即可；②当时，此时点P与点C重合，得出，即可计算t的值；
（4）分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别结合图形，利用各边之间的关系及勾股定理求解即可得．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD为长方形，
∴，，
在中，
，
故答案为：5；
（2）如图所示：当点P到如图所示位置时，，
∵，，
∴，仅有如图所示一种情况，
此时，，
∴，
∴秒时，；
（3）①当时，如图所示：
在中，
，
在中，
，
∴，
，，
∴，
解得：；
②当时，此时点P与点C重合，
∴，
∴；
综上可得：当秒或秒时，是直角三角形；
（4）若为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当时，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∴；
②当时，如图所示：
，
∴；
③当时，如图所示：
，
∴，
在中，
，
即，
解得：，
，
∴；
综上可得：当秒或秒或秒时，为等腰三角形．
【点睛】题目主要考查勾股定理解三角形，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等，理解题意，分类讨论作出相应图形是解题关键．
7．（2023·黑龙江平房·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，AO＝CO＝6，AC交y轴于点B，∠BAO＝30°，CO的垂直平分线过点B交x轴于点E．
（1）求AE的长；
（2）动点N从E出发，以1个单位/秒的速度沿射线EC方向运动，过N作x轴的平行线交直线OC于G，交直线BE于P，设GP的长为d，运动时间为t秒，请用含量t的式子表示d，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，动点M从A以1个单位/秒的速度沿射线AE运动，且点M与点N同时出发，MN与射线OC相交于点K，是否存在某一运动时间t，使得＝2，若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）12；（2）；（3）当或时，使得．
【分析】（1）由OA=OC=6，∠BAO=30°，得到∠OAC=∠OCA=30°，则∠COE=∠OAC+∠OCA=60°，再由BE是线段OC的垂直平分线平分线，得到OE=CE，则△COE是等边三角形，由此即可得到答案；
（2）分三种情况：当直线PN在H点下方时（包括H点），当直线PN在H点上方，且在C点下方时（包括C点），当直线PN在C点上方时，三种情况讨论求解即可；
（3）分N在EC上和EC的延长线上两种情况，构造全等三角形求解即可．
【详解】解：（1）∵OA=OC=6，∠BAO=30°，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴∠COE=∠OAC+∠OCA=60°，
∵BE是线段OC的垂直平分线平分线，
∴OE=CE，
∴△COE是等边三角形，
∴OE=OC=AO=6，
∴AE=AO+OE=12；
（2）如图1所示，过点C作CK⊥x轴于K，设OC与BE的交点为H，当直线PN在H点下方时（包括H点），
∵BE是线段OC的垂直平分线，
∴∠CEP=∠OEP，
∵PN∥OE，
∴∠NPE=∠OEP，∠CGN=∠COE=60°，∠CNG=∠CEO=60°，
∴∠NPE=∠NEP，△CGN是等边三角形，
∴NP=NE=t，NG=CN=CE-NE=6-t，
∴PG=d=NG-NP=6-t-t=6-2t，
∵当直线PN刚好经过H点时，此时CH=CN=3，
即当t=3时，直线PN经过H点，
∴当直线PN在H点下方或经过H点时，d=6-2t（0≤t≤3）；
如图2所示，当直线PN在H点上方，且在C点下方时（包括C点），
同理可证NP=NE=t，NG=CN=CE-CN=6-t，
∴PG=d=NP-NG=t-（6-t）=2t-6（3＜t≤6）；
如图3所示，当直线PN在C点上方时
同理可证NP=NE=t，NG=CN=EN-CE=t-6，
∴PG=d=NP+NG=t+t-6=2t-6（t＞6），
∴综上所述， ；
（3）如图3-1所示，当N在CE上时，过点N作NR∥x轴交OC于R，
同（2）可证△CRN是等边三角形，
∴RN=CN=CR，
∵M、N运动的速度相同，
∴AM=NE，
又∵AO=EC，
∴MO=NR，
∵NR∥MO，
∴∠RNK=∠OMK，∠NRK=∠MOK，
∴△MOK≌△NRK（ASA），
∴OK=RK，OM=RN，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得；
如图3-2所示，当C在EC的延长线上时，
同理可证，，
∵，
解得，
∴综上所述，当或时，使得．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，坐标与图形，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解．
8．（2023·黑龙江·哈尔滨市松雷中学校八年级期中）在四边形ABCD中，∠DAB+∠DCB＝180°，AC平分∠DAB．
（1）如图1，求证：BC＝CD；
（2）如图2，连接BD交AC于点E，若∠ADB＝90°，AE＝2DE，求∠ABD的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CH⊥AB于点H，△BCH沿BC翻折，点H的对应点为点F，点G在线段AB上，连接FG，若∠CGF＝30°，S△CHG＝9，求线段CG的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）CG=6
【分析】（1）过点C作CP⊥AB于点P，作CQ⊥AD的延长线于点Q，证明△CQD≌△CPB，即可得到答案；
（2）延长ED，让MD=ED，△AME是等边三角形，然后利用等边三角形的性质和角平分线的定义即可求得答案；
（3）延长GC，过点F作FK⊥GC的延长线于点K，过点H作HL⊥GF于点L，连接HF，通过证明△CFK≌△HFL，得到FK=FL，又有直角三角形中所对的直角边是斜边的一半，求得FK=GF，根据等腰三角形的三线合一，进一步求得∠FGH=，从求得到∠GCH=，然后在直角三角形中利用勾股定理求解即可得答案．
【详解】解：（1）过点C作CP⊥AB于点P，作CQ⊥AD的延长线于点Q，如下图：
∵AC平分∠DAB，CP⊥AB，CQ⊥AD
∴CQ=CP
在四边形APCQ中，∠APC=∠AQC=
∴∠QAP+∠PCQ=
又∵∠DAB+∠DCB＝180°
∴∠PCQ=∠DCB
∴∠QCD+∠DCP=∠DCP+∠PCB
∴∠QCD=∠PCB
又∵∠CQD=∠CPB=
∴△CQD≌△CPB（ASA）
∴CD=CB
（2）延长ED，让MD=ED，如下图：
∵∠ADB＝90°
∴AD⊥ME
又∵MD=ED
∴AM=AE，ME=2DE
又∵AE=2DE
∴ME=AE=AM
∴△AME是等边三角形
∴
又∵∠ADE＝90°
∴
∵AC平分∠DAB
∴
又∵
∴
（3）延长GC，过点F作FK⊥GC的延长线于点K，过点H作HL⊥GF于点L，连接HF，如下图：
∵在中，
∴∠HCB=
又∵折叠
∴CH=CF, ∠HCB=∠FCB=
∴∠HCF=
∴△CHF是等边三角形
∴∠CFH=∠CHF=，CF=HF
又∵在中，∠CGF=，∠GKF=
∴∠GFK=
∴∠CFH=∠GFK
∴∠CFK+∠CFG=∠CFG+∠HFL
∴∠CFK=∠HFL
又∵∠CKF=∠LHF=，CF=HF
∴△CFK≌△HFL
∴FK=FL
又∵在中，∠CGF=
∴FK=GF
∴FL=GF
∴GL=FL
又∵HL⊥GF
∴HG=HF
∴∠FGH=∠GFH
又∵∠CHF=，∠CHB=
∴∠FHB=∠CHB-∠CHF=
∴∠FGH=
∴∠CGH=∠CGF+∠FGH=
又∵∠CHG=
∴∠GCH=
∴GH=CH，△GCH是等腰直角三角形
又∵
∴
∴
在中，由勾股定理得：
∵CG＞0
∴CG=6
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，含的直角三角形性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的勾股定理等知识点，能够熟练利用化归的思想和数形结合的思想去解题，是本题的重点．
9．（2023·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校八年级期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴上，点B在x轴上，∠ABC＝90°，AB＝BC，连接AC，CD⊥x轴于点D，CD＝5．
（1）如图1，求点B的坐标；
（2）如图2，OF平分∠AOB，OF交AC于点F，求证：点F为AC的中点；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E在第二象限，连接AE、CE，且∠E＝45°，∠ECA+∠BAO＝45°，CE＝18，求点F的坐标．
【答案】（1）(5，0)；（2）见解析；（3）（7，7）
【分析】（1）由题意易证，即可利用“AAS”证明，即得出，即得出B点坐标．
（2）延长OF、DC，且交于点M，由（1）全等可得，．再根据题意可知，即可证明是等腰直角三角形，即得出，从而可证明BD=CM，即证明出AO=CM．最后利用“ASA”即可证明，得出，即证明F点为AC中点．
（3）如图3-1所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，∠BDC=90°，先证明AD平分∠BDC；将沿AC翻折得到，过点N作于点H，过点C作CG⊥EA交EA延长线于G，连接NE，NG，先证明△EGN≌△CGN得到EN=CN， 则，然后利用“AAS”可证明，即得，从而得出，进而可求出，即得出M点坐标．最后由中点坐标公式即可求出F点坐标．
【详解】解：（1）∵，
∴．
又∵，
∴．
∵轴，
∴，
∴在和中
，
∴，
∴，
∴B点坐标为(5，0)．
（2）如图，延长OF、DC，且交于点M，
∵，
∴，．
∵OF平分，
∴，
∵，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，即BD=CM，
∴AO=CM．
∵CD⊥x轴于点D，
∴，
∴，，
∴，
∴，即F点为AC中点．
（3）如图3-1所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，∠BDC=90°，现在证明AD平分∠BDC，
将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，
∴AD=AE，∠DAE=90°，∠ACE=∠ABD，
∵∠BAC=∠BDC=180°，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
∴∠ACE+∠ACD=180°，
∴D、C、E三点共线，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE=45°，
∴∠ADB=∠BDC-∠ADE=45°，
∴∠ADB=∠ADC，即AD平分∠BDC；
如图3-2所示，将沿AC翻折得到，过点N作于点H，过点C作CG⊥EA交EA延长线于G，连接NE，NG，
∵∠GEC=45°，∠EGC=90°，
∴∠GCE=180°-∠GEC-∠EGC=45°，
∴∠GEC=∠GCE，
∴GE=GC，
∵△ABC中∠ABC＝90°，AB＝BC，，
∴△ANC中，AN=CN=AB=BC，∠ANC=90°，
∴由前面所证可得∠EGN=∠CGN，
在△EGN和△CGN中，
，
∴△EGN≌△CGN（SAS），
∴EN=CN，
∵NH⊥EC，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点M坐标为(14，14)，
∵点F为OM中点，
∴F点坐标为()，即F()，
∴F(7，7)．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，翻折的性质，坐标与图形等腰三角形的性质与判定等等，综合性强，较难．正确的作出辅助线是解答本题的关键．