人教版七年级下册第五章 相交线与平行线5.2 平行线及其判定5.2.1 平行线课堂检测

这是一份人教版七年级下册第五章 相交线与平行线5.2 平行线及其判定5.2.1 平行线课堂检测，共44页。
一、解答题（本大题共30小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．（2023·广东·东莞市长安实验中学七年级期中）如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ．
2．（2023·广西贺州·七年级期末）请在横线上填上合适的内容．
（1）如图（1）已知AB//CD，则∠B+∠D=∠BED．
解：过点E作直线EF//AB．
∴∠FEB=（ ）．（ ）
∵AB//CD，EF//AB，
∴（ ）//（ ）．（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）
∴∠FED=（ ）．（ ）．
∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED．
∴∠B+∠D=∠BED．
（2）如图②，如果AB//CD AB//CD，则∠B+∠BED+∠D=（ ）
3．（2023·吉林松原·七年级期中）（1）问题发现
如图①，直线AB//CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现：∠B+∠C=∠BEC，请你写出证明过程；
（2）拓展探究
如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：∠B+∠C=360°−∠BEC．
（3）解决问题
如图③，AB//DC，∠C=120°，∠AEC=80°，则∠A=________．（直接写出结论，不用写计算过程）
4．（2020·广东·湛江市第二中学七年级期中）探索：小明在研究数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠C的数量关系．
发现：在如图中：∠APC＝∠A＋∠C；如图
小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB
∴∠APQ＝∠A（ ）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（ ）
∴∠CPQ＝∠C
∴∠APQ＋∠CPQ＝∠A＋∠C
即∠APC＝∠A＋∠C
（1）为小明的证明填上推理的依据；
（2）应用：①在如图中，∠P与∠A、∠C的数量关系为 ；
②在如图中，若∠A＝30°，∠C＝70°，则∠P的度数为 ；
（3）拓展：在如图中，探究∠P与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．
5．（2019·内蒙古·康巴什区第二中学七年级期中）问题探究：
如下面四个图形中， AB∥CD．
（1）分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．
（2）请你从中任选一个加以说明理由．
解决问题：
（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．
6．（2023·全国·七年级专题练习）AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．
（1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数．
7．（2023·全国·七年级专题练习）（1）如图1，AM∥CN，求证：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；
②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．
8．（2022·全国·七年级）(1)问题情景：如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
小明想到一种方法，但是没有解答完：
如图2，过P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°，
∴∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50°
∵AB//CD，∴PE//CD．
……
请你帮助小明完成剩余的解答．
(2)问题迁移：请你依据小明的解题思路，解答下面的问题：
如图3，AD//BC，当点P在A、B两点之间时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．
9．（2023·全国·七年级专题练习）如图所示，AD//BC，∠CFE=∠1+∠D，∠B−∠CFE=30°，求∠2的度数.
10．（2023·全国·七年级专题练习）如图所示，直线l1//l2，∠CAB=145°，∠DBE=85°，求∠1+∠2的度数.
11．（2022·上海·七年级期中）已知，直线AB∥CD
（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则∠AGC的度数是多少？
（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC的度数是多少？
（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．
12．（2023·山东德州·七年级期中）（1）如图1，AB//CD，∠A=33°，∠C=40°，则∠APC= °；
（2）如图2，AB//DC，点P在射线OM上运动，当点P在B、D两点之间运动时，∠BAP=∠α，∠DCP=∠β，求∠CPA与∠α、∠β之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点B、D、O三点不重合），请你直接写出∠CPA与∠α、β之间的数量关系．
13．（2022·全国·八年级专题练习）如图1，四边形MNBD为一张长方形纸片．
（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），则∠BAE+∠AEC+∠ECD=__________°．
（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=__________°．
（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=___________°．
（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是____________°．
14．（2023·全国·七年级专题练习）请你探究：如图（1），木杆EB与FC平行，木杆的两端B、C用一橡皮筋连接．
（1）在图（1）中，∠B与∠C有何关系？
（2）若将橡皮筋拉成图（2）的形状，则∠A、∠B、∠C之间有何关系？
（3）若将橡皮筋拉成图（3）的形状，则∠A、∠B、∠C之间有何关系？
（4）若将橡皮筋拉成图（4）的形状，则∠A、∠B、∠C之间有何关系？
（5）若将橡皮筋拉成图（5）的形状，则∠A、∠B、∠C之间有何关系？
（注：以上各问，只写出探究结果，不用说明理由）
15．（2022·江苏·灌南县新知双语学校七年级阶段练习）阅读下面材料，完成（1)～（3）题．
数学课上，老师出示了这样—道题：
如图1，已知AB//CD,点E,F分别在AB,CD上，EP⊥FP,∠1=60°．求∠2的度数．
同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：
小明：“如图2，通过作平行线，发现∠1=∠3,∠2=∠4，由已知EP⊥FP,可以求出∠2的度数．”
小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得∠2=∠3=∠4,也能求出∠2的度数．”
小华：∵如图4，也能求出∠2的度数．”
(1)请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______；
(2)请你根据以上同学所画的图形，直接写出∠2的度数为_________°；
老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”
请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：
(3)如图，AB//CD，点E,F分别在AB，CD上，FP平分∠EFD,∠PEF=∠PDF,若∠EPD=a,请探究∠CFE与∠PEF的数量关系（(用含α的式子表示)，并验证你的结论．
16．（2022·全国·七年级）综合探究：已知AB//CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．

（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG=40°，求∠MGN+∠MPN的度数．
17．（2023·全国·七年级专题练习）（1）问题情境：如图1，AB//CD，∠PAB=120°，∠PCD=130°，求∠APC的度数．
小辰的思路是：如图2，过点P作PE//AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数，请写出具体求解过程．
（2）问题迁移：
①如图3，AD//BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，设∠CPD=∠α，∠ADP=β，∠BCP=∠γ，问：∠α、β、∠γ之间有何数量关系？请说明理由．
②在①的条件下，如果点P不在A，B两点之间运动（点P与点A，B，O三点不重合），请直接写出∠α、β、∠γ间的数量关系．
18．（2023·浙江·金华海亮外国语学校七年级阶段练习）问题情境：如图1，已知AB//CD，∠APC=108°．求∠PAB+∠PCD的度数．
经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE//AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD=________．
问题迁移：如图3，AD//BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．
（1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系，
问题拓展：如图4，MA1//NAn，A1−B1−A2−⋯−Bn−1−An是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为________．
19．（2022·广东·惠阳竹贤学校八年级阶段练习）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数．
思路点拨：
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数；
小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；
小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数．
问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为 °；
问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
20．（2023·全国·七年级专题练习）如图1、图2，已知∠1+∠2＝180°．
（1）若图1中∠AEF＝∠HLN，试找出图中的平行线，并说明理由；
（2）如图2，∠PMB＝3∠QMB，∠PND＝3∠QND，试探究∠P与∠Q的数量关系？（直接写答案，不写过程）．
【拔尖特训】2023-2024学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题5.11平行线基本模型之子弹模型专项提升训练
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
一、解答题（本大题共30小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1．（2023·广东·东莞市长安实验中学七年级期中）如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ．
【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°
【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；
（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；
（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；
（4）由（2）（3）类比可得答案．
【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：180°；
（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF，CD∥EF，
∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°；
（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，
类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，
故答案为：540°；
（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，
故答案为：（n-1）×180°．
【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．
2．（2023·广西贺州·七年级期末）请在横线上填上合适的内容．
（1）如图（1）已知AB//CD，则∠B+∠D=∠BED．
解：过点E作直线EF//AB．
∴∠FEB=（ ）．（ ）
∵AB//CD，EF//AB，
∴（ ）//（ ）．（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）
∴∠FED=（ ）．（ ）．
∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED．
∴∠B+∠D=∠BED．
（2）如图②，如果AB//CD AB//CD，则∠B+∠BED+∠D=（ ）
【答案】（1）∠B，两直线平行，内错角相等，EF，CD，∠D，两直线平行，内错角相等；
（2）360°
【分析】（1）过点E作直线EF∥AB，则∠FEB=∠B，继而由EF∥CD可得∠FED=∠D．所以∠B+∠D=∠BEF+∠FED，即∠B+∠D=∠BED；
（2）过点E作直线EF∥AB，则∠FEB+∠B=180°，继而由EF∥CD可得∠FED+∠D=180°．所以∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°，即∠B+∠BED+∠D=360°．
【详解】解：（1）解：过点E作直线EF∥AB．
∴∠FEB=∠B．（ 两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴ EF∥CD（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）．
∴∠FED=∠D（ 两直线平行，内错角相等）．
∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED．
∴∠B+∠D=∠BED．
故答案为：∠B，两直线平行，内错角相等，EF，CD，∠D，两直线平行，内错角相等；
（2）解：过点E作直线EF∥AB，如图．
∴∠FEB+∠B=180°．两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴ EF∥CD（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）．
∴∠FED+∠D=180° （ 两直线平行，内错角相等）．
∴∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°．
∴∠B+∠BED+∠D=360°．
故答案为：360°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及其推论，熟练掌握平行线判定、性质说理是关键．
3．（2023·吉林松原·七年级期中）（1）问题发现
如图①，直线AB//CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现：∠B+∠C=∠BEC，请你写出证明过程；
（2）拓展探究
如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：∠B+∠C=360°−∠BEC．
（3）解决问题
如图③，AB//DC，∠C=120°，∠AEC=80°，则∠A=________．（直接写出结论，不用写计算过程）
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）20°
【分析】（1）根据平行判定得到EF//DC，利用平行线的性质得∠C=∠CEF，∠B=∠BEF，得到∠B+∠C=∠BEF+∠CEF，即可求证出答案；
（2）类比（1），过点E作EF∥AB，然后根据平行线的判定和性质即可求证出答案；
（3）类比，过点E作EF//AB，根据平行判定得到EF//DC，再根据平行的性质得：∠C+∠CEF=180°，∠A=∠AEF，根据角与角的关系求得：∠AEF=80°−60°=20°，则可求出答案．
【详解】（1）证明：如图①，过点E作EF//AB，
∵AB//DC（已知），EF//AB（辅助线的作法）.
∴EF//DC（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）.
∵EF//AB，
∴∠B=∠BEF，
∴∠B+∠C=∠BEF+∠CEF（等量代换）
即∠B+∠C=∠BEC.
（2）证明：如图②，过点E作EF//AB，
∵AB//DC（已知），EF//AB（辅助线的作法）.
∴EF//DC（平行于同一直线的两直线平行）.
∴∠C+∠CEF=180°，∠B+∠BEF=180°，
∴∠B+∠C+∠BEC=360°，
∴∠B+∠C=360°−∠BEC.
（3）解：如图③，过点E作EF//AB，
∵AB//DC（已知），EF//AB（辅助线的作法），
∴EF//DC（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C+∠CEF=180°，∠A=∠BEF，
∵∠C=120°，∠AEC=80°，
∴∠CEF=180°−120°=60°，
∴∠AEF=80°−60°=20°，
∴∠A=∠AEF=20°.
故答案为：20°.
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，灵活运用平行判断以及平行线的性质找到角与角之间的关系．
4．（2020·广东·湛江市第二中学七年级期中）探索：小明在研究数学问题：已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠C的数量关系．
发现：在如图中：∠APC＝∠A＋∠C；如图
小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB
∴∠APQ＝∠A（ ）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（ ）
∴∠CPQ＝∠C
∴∠APQ＋∠CPQ＝∠A＋∠C
即∠APC＝∠A＋∠C
（1）为小明的证明填上推理的依据；
（2）应用：①在如图中，∠P与∠A、∠C的数量关系为 ；
②在如图中，若∠A＝30°，∠C＝70°，则∠P的度数为 ；
（3）拓展：在如图中，探究∠P与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；（2）∠APC＋∠A＋∠C＝360；40°；（3）∠APC=∠A−∠C
【分析】（1）过点P作PQ∥AB，根据平行线的性质得出∠APQ＝∠A，∠CPQ＝∠C，即可得出答案；
（2）①过点P作PQ∥AB，根据平行线的性质得出∠APQ＋∠A＝180°，∠CPQ＋∠C＝180°，即可得出答案；
②根据平行线的性质得出∠PEB＝∠C＝70°，根据三角形外角性质得出即可；
（3）根据平行线的性质得出∠APG＋∠A＝180°，求出∠APG＝180°－∠A，根据PG∥CD得出∠CPG＋∠C＝180°，即可得出答案．
【详解】（1）证明：过点P作PQ∥AB，
所以∠APQ＝∠A（两直线平行，内错角相等）
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPQ＝∠C
∴∠APQ＋∠CPQ＝∠A＋∠C
即∠APC＝∠A＋∠C
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；
（2）①过点P作PQ∥AB，
所以∠APQ＋∠A＝180°，
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD，
∴∠CPQ＋∠C＝180°，
∴∠APQ＋∠CPQ＋∠A＋∠C＝360°，
即∠APC＋∠A＋∠C＝360°，
故答案为：∠APC＋∠A＋∠C＝360°；
②∵AB∥CD，∠C＝70°，
∴∠PEB＝∠C＝70°，
∵∠A＝30°，
∴∠P＝∠PEB－∠A＝40°，
故答案为：40°；
（3）∠APC＝∠A－∠C．理由如下：
如图4，过点P作PG∥AB，
∵PG∥AB，
∴∠APG＋∠A＝180°，
∴∠APG＝180°－∠A
∵PG∥AB，AB∥CD，
∴PG∥CD，（平行于同一直线的两直线平行）
∴∠CPG＋∠C＝180°，
∴∠CPG＝180°－∠C，
∴∠APC＝∠CPG－∠APG＝∠A－∠C．
【点睛】考查了角平分线定义和平行线的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键．
5．（2019·内蒙古·康巴什区第二中学七年级期中）问题探究：
如下面四个图形中， AB∥CD．
（1）分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．
（2）请你从中任选一个加以说明理由．
解决问题：
（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．
【答案】(1) 图1：∠1+∠2＝∠3； 图2：∠1+∠2+∠3＝360°； 图3：∠1＝∠2+∠3； 图4：∠1+∠3＝∠2；(2)见解析；(3)101°
【分析】(1) 图1：首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；
图2：首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案；
图3：由AB∥CD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案；
图4：由AB∥CD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案．
（2）选图1，过点P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案；
（3）利用图1结论进行求解
【详解】(1)图1：∠1+∠2＝∠3；
图2：∠1+∠2+∠3＝360°
图3：∠1＝∠2+∠3；
图4：∠1+∠3＝∠2；
(2)选择图1，
如图所示：过点P作EP//AB
∵AB∥CD，EP∥AB
∴AB∥EP∥CD
∴∠1=∠APE，∠2=∠EPC
又∵∠3＝∠APE+∠EPC
∴∠1+∠2＝∠3；
(3)由图1可得：∠BOC＝∠ABO+∠DCO，
又∵∠ABO=57°，∠DCO=44°，
∴∠BOC=57°+44°＝101°
【点睛】考查了平行线的性质与三角形外角的性质．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等以及两直线平行，同位角相等定理的应用与辅助线的作法．
6．（2023·全国·七年级专题练习）AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．
（1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数．
【答案】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明详见解析；（2）∠APC＝∠A−∠C，证明详见解析；（3）55°．
【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，然后由“两直线平行，同旁内角互补”进一步分析即可证得∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，根据“两直线平行，内错角相等”进一步分析即可证得∠APC＝∠A−∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，先利用平行线性质得出∠BEF＝∠PQB＝110°，然后进一步得出∠PEG＝12∠FEG，∠GEH＝12∠BEG，最后根据∠PEH＝∠PEG−∠GEH即可得出答案．
【详解】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明如下：
如图1所示，过点P作PQ∥AB，
∴∠A+∠APQ＝180°，
又∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C+∠CPQ＝180°，
∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°，
即∠A+∠C+∠APC＝360°；
（2）∠APC＝∠A−∠C，证明如下：
如图2所示，过点P作PQ∥AB，
∴∠A＝∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C＝∠CPQ，
∵∠APC＝∠APQ−∠CPQ，
∴∠APC＝∠A−∠C；
（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，
∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°，
∴∠PCD＝110°，
∵AB∥CD，
∴∠PQB＝∠PCD＝110°，
∵EF∥PC，
∴∠BEF＝∠PQB＝110°，
∵∠PEG＝∠PEF，
∴∠PEG＝12∠FEG，
∵EH平分∠BEG，
∴∠GEH＝12∠BEG，
∴∠PEH＝∠PEG−∠GEH
＝12∠FEG−12∠BEG
＝12∠BEF
＝55°．
【点睛】本题主要考查了利用平行线性质与角平分线性质求角度的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
7．（2023·全国·七年级专题练习）（1）如图1，AM∥CN，求证：

①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；
②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；
（2）如图2，若平行线AM与CN间有n个点，根据（1）中的结论写出你的猜想并证明．
【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°，证明详见解析
【分析】（1）①过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG，依据平行线的性质，即可得到∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°，即可得到结论；②过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，依据平行线的性质，即可得到∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°，即可得到结论；（2）过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，即可得出所有角的和为（n+1）•180°．
【详解】解：（1）①证明：如图1，过点作BG∥AM，则AM∥CN∥BG
∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°
∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360°
∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°
②如图，过E作EP∥AM，过F作FQ∥CN，
∵AM∥CN，∴EP∥FQ，
∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°
∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°；
（2）猜想：若平行线间有n个点，则所有角的和为（n+1）•180°．
证明：如图2，过n个点作AM的平行线，则这些直线互相平行且与CN平行，
∴结合（1）问得：
所有角的和为（n+1）•180°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线，利用两直线平行，同旁内角互补得出结论．
8．（2022·全国·七年级）(1)问题情景：如图1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
小明想到一种方法，但是没有解答完：
如图2，过P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°，
∴∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50°
∵AB//CD，∴PE//CD．
……
请你帮助小明完成剩余的解答．
(2)问题迁移：请你依据小明的解题思路，解答下面的问题：
如图3，AD//BC，当点P在A、B两点之间时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由．
【答案】(1) 110°，见解析；(2) ∠CPD=∠α+∠β，理由见解析
【分析】(1)过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°
(2)过P作PE∥AD交CD于E点，推出AD∥PE∥BC，根据平行线性质得到∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案.
【详解】解：(1)剩余过程：∠CPE+∠PCD=180°，
∴∠CPE=180°-120°=60°
∠APC=50°+60°=110°；
(2)∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如下图，过P作PE∥AD交CD于点E，
∵AD∥BC
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β.
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考察学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角.
9．（2023·全国·七年级专题练习）如图所示，AD//BC，∠CFE=∠1+∠D，∠B−∠CFE=30°，求∠2的度数.
【答案】∠2=30°.
【分析】根据平行线的性质，由靴子图ABEFC知，∠B=∠CFE+∠1，∠1=∠B−∠CFE=30°，由靴子图ABEDC知，∠B=∠BED+∠D=∠1+∠2+∠D，
又因为∠B=∠CFE+∠1，得到∠2+∠D=∠CFE，所以∠2=∠1=30°.
【详解】因为AD//BC，结合题意，由靴子图ABEFC知，∠B=∠CFE+∠1，∠1=∠B−∠CFE=30°，由靴子图ABEDC知，∠B=∠BED+∠D=∠1+∠2+∠D，
∵∠B=∠CFE+∠1，
∴∠1+∠2+∠D=∠CFE+∠1即∠2+∠D=∠CFE，
∵∠CFE=∠1+∠D，∴∠2=∠1=30°
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质.
10．（2023·全国·七年级专题练习）如图所示，直线l1//l2，∠CAB=145°，∠DBE=85°，求∠1+∠2的度数.
【答案】∠1+∠2=60°.
【分析】作AT∥l1，得AT∥l2，由题意得∠TAB+∠ABD+∠BDS=360°，又因为AT∥l1，得到∠TAB+∠ABD+∠BDS+∠PCA+∠CAT=540°，即∠1+∠2=60°.
【详解】如图，作AT∥l1，易证AT∥l2，由笔尖图TABDS知，∠TAB+∠ABD+∠BDS=360°，又因为AT∥l1，所以∠PCA+∠CAT=180°，所以∠TAB+∠ABD+∠BDS+∠PCA+∠CAT=540°
∠1+∠2=180°+180°+145°+180°-85°−540°=60°.
【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
11．（2022·上海·七年级期中）已知，直线AB∥CD
（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则∠AGC的度数是多少？
（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC的度数是多少？
（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．
【答案】（1）70°；（2）∠AGC=（x+y）°；（3）∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．
【分析】（1）过点G作GE∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解．
（2）过点G作GF∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解．
（3）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，利用平行线的性质即可进行转化找到角的关系．
【详解】解：（1）如图，过点G作GE∥AB，
∵AB∥GE，
∴∠A+∠AGE=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠A=140°，
∴∠AGE=40°．
∵AB∥GE，AB∥CD，
∴GE∥CD．
∴∠C+∠CGE=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠C=150°，
∴∠CGE=30°．
∴∠AGC=∠AGE+∠CGE=40°+30°=70°．
（2）如图，过点G作GF∥AB
∵AB∥GF，
∴∠A=AGF（两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥GF，AB∥CD，
∴GF∥CD．
∴∠C=∠CGF．
∴∠AGC=∠AGF+∠CGF=∠A+∠C ．
∵∠A=x°，∠C=y°，
∴∠AGC=（x+y）°．
（3）如图所示，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD．
∴∠BAE=∠AEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGQ，∠QGC=∠GCD（两直线平行，内错角相等）．
∴∠AEF=∠BAE+∠EFN，∠FGC=∠NFG+GCD．
∵∠EFN+∠NFG=∠EFG，
∴∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，本题构造辅助线利用平行线的传递性结合平行线性质是解题关键．
12．（2023·山东德州·七年级期中）（1）如图1，AB//CD，∠A=33°，∠C=40°，则∠APC= °；
（2）如图2，AB//DC，点P在射线OM上运动，当点P在B、D两点之间运动时，∠BAP=∠α，∠DCP=∠β，求∠CPA与∠α、∠β之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点B、D、O三点不重合），请你直接写出∠CPA与∠α、β之间的数量关系．
【答案】（1）73；（2）∠APC=∠α+∠β，理由详见解析；（3）当点P在射线DM上时，∠APC=∠α−∠β；当点P在OB上时，∠APC=∠β−∠α．
【分析】（1）做出辅助线，根据平行线的性质求解即可；
（2）过点P作PE//AB交AC于点E，然后根据平行线的性质求解即可；
（3）根据题意做出辅助线，然后根据平行线的性质求解即可；
【详解】（1）如图1，过P作PE//AB
∵AB//CD，
∴PE//AB//CD，
∴∠A=∠APE，∠C=∠CPE
又∵∠A=33°，∠C=40°
∴∠APE=33°，∠CPE=40°
则∠CPA=∠APE+∠CPE=33°+40°=73°
（2）∠APC=∠α+∠β
理由是：
如图2，过点P作PE//AB交AC于点E
∵AB//CD，
∴PE//AB//CD
∴∠APE=∠PAB=∠α，∠CPE=∠PCD=∠β
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β
（3）当点P在射线DM上时，设CD与AP交于点P，如图所示，
∵AB//DC，
∴∠α=∠DHP，
又∵在△CHP中，∠DHP=∠β+∠APC，
∴∠α=∠β+∠APC，
即：∠APC=∠α−∠β．
当点P在OB上时，如图所示，
作PE∥AB，
∴∠APE=∠BAP=∠α，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠CPE=∠PCD=∠β，
∴∠CPA=∠CPE-∠APE=∠β-∠α．
答：∠CPA与∠α，∠β之间的数量关系为：∠CPA=∠β-∠α．
即∠APC=∠β−∠α．
【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线．
13．（2022·全国·八年级专题练习）如图1，四边形MNBD为一张长方形纸片．
（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），则∠BAE+∠AEC+∠ECD=__________°．
（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=__________°．
（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=___________°．
（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是____________°．
【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．
【分析】（1）过点E作EH∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍；
（2）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；
（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；
（4）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．
【详解】（1）过E作EH∥AB（如图②）．
∵原四边形是长方形，
∴AB∥CD，
又∵EH∥AB，
∴CD∥EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∵EH∥AB，
∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵CD∥EH，
∴∠2+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，
又∵∠1+∠2=∠AEC，
∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；
（2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示，
用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；
（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示，
用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；
（4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．
故答案为：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．
14．（2023·全国·七年级专题练习）请你探究：如图（1），木杆EB与FC平行，木杆的两端B、C用一橡皮筋连接．
（1）在图（1）中，∠B与∠C有何关系？
（2）若将橡皮筋拉成图（2）的形状，则∠A、∠B、∠C之间有何关系？
（3）若将橡皮筋拉成图（3）的形状，则∠A、∠B、∠C之间有何关系？
（4）若将橡皮筋拉成图（4）的形状，则∠A、∠B、∠C之间有何关系？
（5）若将橡皮筋拉成图（5）的形状，则∠A、∠B、∠C之间有何关系？
（注：以上各问，只写出探究结果，不用说明理由）
【答案】（1）∠B+∠C=180º；（2）∠B+∠C=∠A；（3）∠A +∠B+∠C=360º；（4）∠A+∠B=∠C；（5）∠A+∠C =∠B
【分析】（1）利用平行线的性质“两直线平行，同旁内角相等”即可解答；
（2）过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，内错角相等”即可得出结论；
（3）同样过点A作AD∥BE，利用“两直线平行，同旁内角互补”即可得出结论；
（4）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论；
（5）利用“两直线平行，同位角相等”和三角形外角性质可得出结论．
【详解】（1）如图（1）∵EB与FC平行，∴∠B+∠C=180º；
（2）如图（2），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC，
∴∠B+∠C=∠BAD+∠DAC=∠BAC，
即∠B+∠C=∠A；
（3）如图（3），过点A作AD∥BE，则AD∥BE∥CF，
∴∠B+∠BAD=180º，∠DAC+∠C=180º，
∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=360º，
即∠B+∠A+∠C=360º；
（4）如图（4），设BE与AC相交于D，
∵EB与FC平行，
∴∠C=∠ADE，
∵∠ADE=∠A+∠B，
∴∠A+∠B=∠C；
（5）如图（5），设CF与AB相交于D，
∵EB与FC平行，
∴∠B=∠ADF，
∵∠ADF=∠A+∠C，
∴∠A+∠C=∠B．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质，作辅助平行线是解答的关键．
15．（2022·江苏·灌南县新知双语学校七年级阶段练习）阅读下面材料，完成（1)～（3）题．
数学课上，老师出示了这样—道题：
如图1，已知AB//CD,点E,F分别在AB,CD上，EP⊥FP,∠1=60°．求∠2的度数．
同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：
小明：“如图2，通过作平行线，发现∠1=∠3,∠2=∠4，由已知EP⊥FP,可以求出∠2的度数．”
小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得∠2=∠3=∠4,也能求出∠2的度数．”
小华：∵如图4，也能求出∠2的度数．”
(1)请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______；
(2)请你根据以上同学所画的图形，直接写出∠2的度数为_________°；
老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”
请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：
(3)如图，AB//CD，点E,F分别在AB，CD上，FP平分∠EFD,∠PEF=∠PDF,若∠EPD=a,请探究∠CFE与∠PEF的数量关系（(用含α的式子表示)，并验证你的结论．
【答案】（1）过点Р作PQ//AC；（2）30；（3）∠CFE−2∠PEF=180∘−a．
【分析】（1）根据图中所画虚线的位置解答即可；
（2）过点Р作PQ//AC，根据平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP⊥FP可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，进而可得答案；
（3）设∠CFE=x,∠PEF=∠PDF=y，过点P作PQ//AB，根据平行线的性质可得∠BEP+∠EPQ=180°,∠CFE=∠FEB=x，∠PDF=∠DPQ，进而根据角的和差关系即可得答案．
【详解】（1）由图中虚线可知PQ//AC，
∴小明同学辅助线的做法为过点Р作PQ//AC，
故答案为：过点Р作PQ//AC
（2）如图2，过点Р作PQ//AC，
∵AB//CD，
∴PQ//AB//CD，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵EP⊥FP，
∴∠EPF=∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1=60°，
∴∠2=30°，
故答案为：30
（3）如图，设∠CFE=x,∠PEF=∠PDF=y，过点P作PQ//AB，
∴∠BEP+∠EPQ=180°,∠CFE=∠FEB=x
∵AB//CD,
∴PQ//CD,
∴∠PDF=∠DPQ
∴∠DPQ=∠EHF=∠PDF=y
∵∠CFE=∠FEB=x=∠FEP+∠BEP
∴x=y+180−a+y
∴x−2y=180−α，即∠CFE−2∠PEF=180∘−a．
【点睛】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
16．（2022·全国·七年级）综合探究：已知AB//CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG．

（1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数；
（2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG=40°，求∠MGN+∠MPN的度数．
【答案】（1）90°；（2）120°
【分析】（1）过G作GH//AB，根据平行线的传递性、两直线平行内错角相等解题；
（2）过G作GK//AB，过点P作PQ//AB，根据两直线平行，内错角相等性质解得∠MGK=∠BMG=40°，再根据角平分线性质，求得∠BMP=80°，最后再用平行线定理解题，证明∠QPN=∠DNP，进而计算∠MGN+∠MPN的值即可．
【详解】解：（1）如图1，过G作GH//AB，
∵AB//CD，
∴GH//AB//CD
∴∠AMG=∠HGM，∠CNG=∠HGN
∵MG⊥NG
∴∠MGN=∠MGH+∠NCH=∠AMG+∠CNG=90°
图1
（2）如图2，过G作GK//AB，过点P作PQ//AB设∠GND=α
∵GK//AB，AB//CD，
∴GK//CD
∴∠KGN=∠GND=α，
∵GK//AB，∠BMG=40°，
∴∠MGK=∠BMG=40°
∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，
∴∠GMP=∠BMG=40°
∴∠BMP=80°，
∵PQ//AB，
∴∠MPQ=∠BMP=80°
∵ND平分∠CNP，
∴∠DNP=∠GND=α，
∵AB//CD，
∴PQ//CD，∴∠QPN=∠DNP=α，
∴∠MGN=40°+α，∠MPN=80°−α，
∴∠MGN+∠MPN=40°+α+80°−α=120°
图2
【点睛】本题考查平行线的定理、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
17．（2023·全国·七年级专题练习）（1）问题情境：如图1，AB//CD，∠PAB=120°，∠PCD=130°，求∠APC的度数．
小辰的思路是：如图2，过点P作PE//AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数，请写出具体求解过程．
（2）问题迁移：
①如图3，AD//BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，设∠CPD=∠α，∠ADP=β，∠BCP=∠γ，问：∠α、β、∠γ之间有何数量关系？请说明理由．
②在①的条件下，如果点P不在A，B两点之间运动（点P与点A，B，O三点不重合），请直接写出∠α、β、∠γ间的数量关系．
【答案】(1)110°；（2）①∠α=∠β+∠γ；②∠α=∠γ−∠β或∠α=∠β−∠γ
【分析】（1）过点P作PE//AB，可得PE//CD，所以由平行线的性质可以求得∠EPA和∠EPC的度数，进一步可以得到∠APC的度数；
（2）分别过P作PQ//AD，则可得PQ//BC，再由平行线的性质和角的加减运算可以得解．
【详解】解：（1）如图，过点P作PE//AB，则由平行线的性质可得PE//CD，所以：
∠PAB+∠EPA=180∘，∠PCD+∠EPC=180∘，所以：
∠EPA=180∘−∠PAB=180∘−120∘=60∘，∠EPC=180∘−∠PCD=180∘−130∘=50∘
所以，∠APC=∠EPA+∠EPC=110∘；
（2）①∠α=∠β+∠γ，理由如下：
如图，过P作PQ//AD交DC于Q，则由平行线的性质得PQ//BC，所以：
∠DPQ=∠β，∠CPQ=∠γ，
∵∠DPQ+∠CPQ=∠α，∴∠α=∠β+∠γ；
②分两种情况讨论：
第一种情况，P在射线AM上，如图，过P作PQ//AD交射线DN于Q，则由平行线的性质得PQ//BC，所以：
∠QPD=∠β，∠QPC=∠γ，∠α=∠QPC−∠QPD=∠γ−∠β；
第二种情况，点P在OB之间，如图，过P作PQ//AD交射线OD于Q，则由平行线的性质得PQ//BC，所以：
∠DPQ=∠β，∠CPQ=∠γ，∠α=∠DPC=∠DPQ−∠CPQ=∠β−∠γ
【点睛】本题考查平行线性质的综合应用，在添加辅助线的基础上灵活应用平行线的性质和角的加减运算是解题关键．
18．（2023·浙江·金华海亮外国语学校七年级阶段练习）问题情境：如图1，已知AB//CD，∠APC=108°．求∠PAB+∠PCD的度数．
经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE//AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD=________．
问题迁移：如图3，AD//BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．
（1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系，
问题拓展：如图4，MA1//NAn，A1−B1−A2−⋯−Bn−1−An是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为________．
【答案】问题情境： 252°；问题迁移：（1）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（2）∠CPD=∠β-∠α；理由见解析；或∠CPD=∠α-∠β．理由见解析；问题拓展：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn．
【分析】问题情境：根据平行线的判定可得PE∥AB∥CD，再根据平行线的性质即可求解；
问题迁移：（1）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；
（2）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；
问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，根据平行线的判定和性质即可求解．
【详解】解：问题情境：如图，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，
∵∠APC=108°，
∴∠PAB+∠PCD=360°-108°=252°；
故答案为：252°；
问题迁移：（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；理由：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；
当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β．理由：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β．
问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，
由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn．
故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力，第（2）问在解题时注意分类思想的运用．
19．（2022·广东·惠阳竹贤学校八年级阶段练习）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数．
思路点拨：
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数；
小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；
小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数．
问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为 °；
问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
【答案】问题解决：110°；问题迁移：（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由见解析；（2）∠CPD＝∠β﹣∠α，理由见解析
【分析】小明的思路是：过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC＝110°．
（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；
（2）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．
【详解】解：小明的思路：如图2，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，
∴∠APC＝50°+60°＝110°，
故答案为：110；
（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如图6，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．
理由：如图7，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．
20．（2023·全国·七年级专题练习）如图1、图2，已知∠1+∠2＝180°．
（1）若图1中∠AEF＝∠HLN，试找出图中的平行线，并说明理由；
（2）如图2，∠PMB＝3∠QMB，∠PND＝3∠QND，试探究∠P与∠Q的数量关系？（直接写答案，不写过程）．
【答案】（1）AB∥CD，EF∥HL，理由详见解析；（2）∠P＝3∠Q．
【分析】（1）AB//CD，EF//HL；由同旁内角互补可得AB//CD；延长EF 交CD于G，由平行线的性质及已知∠AEF=∠HIN，可得∠EGL=∠HLN，从而可判定EF//HL；
（2）∠P=3∠Q；作QR//AB，先由平行线的性质推得∠RQN=∠QND，从而∠MQN=∠QMB+∠QND；同理可得∠P=∠PMB+∠PND；再将已知代入计算即可得解．
【详解】解：（1）AB//CD，EF//HL
理由如下：
∵∠1=∠AMN，∠1+∠2=180°
∴∠AMN+∠2=180°
∴AB//CD；
延长EF 交CD于G
∵AB//CD
∴∠AEF=∠EGL
∵∠AEF=∠HLN
∴∠EGL=∠HLN
∴EF//HL；
（2）∠P=3∠Q
理由如下：
∵AB//CD，作QR//AB，
∴∠RQM=∠QMB，QR//CD
∴∠RQN=∠QND，
∴∠MQN=∠RQM+∠RQN=∠QMB+∠QND
同理可得∠P=∠PMB+∠PND
∵∠PMB=3∠QMB，∠PND=3∠QND
∴∠P=∠PMB+∠PND
=3∠QMB+3∠QND
=3(∠QMB+∠QND)
=3∠MQN
∴∠P=3∠Q．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线三线八角的基本模型是解题的关键．