初中数学人教版七年级下册6.3 实数测试题

这是一份初中数学人教版七年级下册6.3 实数测试题，共25页。试卷主要包含了9实数的材料阅读型问题，7=2，385，若x=53，449，60≈7，3≈　 　；，16，则1000≈　 　；，96=　 　；等内容，欢迎下载使用。
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共24小题）
1．（2022秋•成县期中）（1）填写如表，观察被开方数a的小数点与算术平方根a的小数点的移动规律：
（2）根据你发现的规律填空：
①已知：7.7=2.775，77=8.775．则7700= ，0.00077= ；
②已知：29=5.385，若x=53.85．则x＝ ．
（3）将你发现的规律用文字语言表述出来．
2．（2022秋•西安月考）（1）观察：0.07≈0.2646，则7≈2.646，700≈26.46…发现规律：被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向 移动 位；
（2）应用：已知0.03≈0.1732，3≈ ，300≈ ；
（3）拓展：已知6≈2.449，60≈7.746，计算240和0.54的值．
3．（2022秋•宝丰县期中）观察以下等式：观察下列等式：
第1个等式：12−14=12，
第2个等式：13−19=23，
第3个等式：14−116=34，
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式： 用含n的式子表示，并证明这个结论？
4．（2022春•桐城市期末）【观察】请你观察下列式子．
第1个等式：1=1．
第2个等式：1+3=2．
第3个等式：1+3+5=3．
第4个等式：1+3+5+7=4．
第5个等式：1+3+5+7+9=5．
【发现】根据你的阅读回答下列问题：
（1）写出第7个等式 ．
（2）请根据上面式子的规律填空：1+3+5+⋯+(2n+1)= ．
（3）利用（2）中结论计算：4+12+20+28+⋅⋅⋅+44+52．
5．（2022春•椒江区期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，(−9)×(−4)=6，(−9)×(−1)=3，(−4)×(−1)=2，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．
（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．
6．（2022春•大兴区期中）观察下列各式：
n＝1时，有式①：1+13=233；
n＝2时，有式②：2+14=344=32；
（1）类比上述式①、式②，将下列等式补充完整：
3+15= ；(ㅤㅤ)+1(ㅤㅤ)=566；
（2）请用含n（n为正整数）的等式表示以上各式的运算规律： ．
7．（2023秋•通川区校级期中）先计算下列各式：
1=1，1+3=2，1+3+5= ，1+3+5+7= ，1+3+5+7+9= ．
（1）通过观察并归纳，请写出1+3+5+⋯+(2n−1)= ．
（2）利用（1）中结论计算：2+6+10+14+⋯+102+106．
8．（2023春•利辛县月考）一组实数按如图规律排列．
根据这个规律解答以下问题：
（1）直接写出第4行第1列所表示的实数是 ；
（2）实数2021排在第几行第几列？并说明理由．
9．（2023秋•秦都区校级月考）现有一组有规律的数：1，﹣1，2，−2，3，−3，1，﹣1，2，−2，3，−3，…，其中1，﹣1，2，−2，3，−3这六个数按此规律重复出现．
（1）求第15个数和第16个数的和；
（2）从第1个数起，把连续若干个数的平方相加起来，如果和为360，那么一共是多少个数的平方相加？
10．观察分析下列数据，寻找规律：
0，3，6，3，23，15，…．
（1）这组数据第10个数是什么？
（2）你发现了什么规律？写出这组数据的第n个数．
（3）求这组数据的第19个数与第55个数的积．
11．（2022春•庐江县期中）我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记m=1a，n=b（a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的对“对称数对”．例如：（4，1）的一对“对称数对”为（12，1）与（1，12）．
（1）数对（25，4）的一对“对称数对”是 和 ；
（2）若数对（x，2）的一对“对称数对”的一个数对是（2，1），求x的值；
（3）若数对（a，b）的一对“对称数对”的一个数对是（3，33），求ab的值．
12．（2022春•延津县期末）如图所示的是一个数值转换器．
（1）当输入的x值为9时，输出的y值为 ；当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为5时，输入的x值为 ．
（2）嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x值应为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？
13．（2022春•景县期中）如图为一个数值转换器．
（1）当输入的x值为4时，输出的y值为 ；当输入的x值为16时，输出的y值为 ；
（2）输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为3，求输入的x值；
（3）嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？
14．（2022春•潍坊期中）（1）观察各式：0.03≈0.1732，3≈1.732，300≈17.32…
发现规律：被开方数的小数点每向右移动 位，其算术平方根的小数点向 移动 位；
（2）应用：已知5≈2.236，则0.05≈ ，500≈ ；
（3）拓展：已知6≈2.449，60≈7.746，计算240和0.54的值．
15．（2022春•海淀区校级期中）一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为81时，输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值；
（3）若输出的y是2，请写出两个满足要求的x值．
16．（2023春•南通期中）一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为9时，输出的y值是 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
（3）若输出的y是7，请写出两个满足要求的x值： ．
17．（2022春•枞阳县校级月考）观察下列一组等式：
第①个等式：1−12=12；
第②个等式：2−25=225；
第③个等式：3−310=3310；
第④个等式：4−417=4417．
根据你观察到的规律，完成以下问题：
（1）第⑤个等式为 ；
（2）用n的式子表示第ⓝ个等式为 ；
（3）若等式a−ab=aab是符合上面规律的等式，27是a（b﹣1）的一个平方根，求a的值．
18．（2023春•宁乡市期末）王老师给同学们布置了这样一道习题：
一个正数的算术平方根为m+2，它的平方根为±（3m+2），求这个正数．
小达的解法如下：依题意可知：m+2＝3m+2，解得：m＝0，则：m+2＝2，所以这个正数为4．
王老师看后说，小达的解法不完整，请同学们给出这道习题完整的解法．
19．（2022春•云阳县校级月考）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义；对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数项积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，1×4=2，1×9=3，4×9=6，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根“是6．
（1）2，8，50这三个数是“老根数”吗？若是，请求出任意两个数乘积的”最小算术平方根”与“最大算术平方根”；
（2）已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的2倍，求a的值．
20．（2022春•大兴区期中）根据下表回答下列问题：
（1）316.84的平方根是 ；
（2）299.3≈ ；
（3）29241= ．
（4）若n介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n有 个；
（5）观察表格中的数据，请写出一条你发现的结论．
21．（2022春•定远县期末）【初步感知】（1）直接写出计算结果．
①13= ；
②13+23= ；
③13+23+33= ；
④13+23+33+43= ；…
【深入探究】观察下列等式．
①1+2=(1+2)×22；
②1+2+3=(1+3)×32；
③1+2+3+4=(1+4)×42
④1+2+3+4+5=(1+5)×52；
……
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容．
（2） =(1+2022)×20222；
（3）1+2+3+⋯+n+（n+1）＝ ．
【拓展应用】计算：
（4）13+23+33+⋯+993+1003；
（5）113+123+133+⋯+193+203．
22．（2022春•曲阜市期中）探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
（1）表格中x＝ ；y＝ ；
（2）从表格中探究a与a数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知10≈3.16，则1000≈ ；
②已知3.24=1.8，若a=180，则a＝ ；
（3）拓展：已知312≈2.289，若3z=0.2289，则z＝ ．
23．（2023春•永吉县期中）根据下表回答下列问题：
（1）289的算术平方根是 ，268.96= ；
（2）±256= ，275.56的平方根是 ；
（3）1.5921= ，28224= ；
（4）若x=a（x＞0），则100x= （用含a的式子表示）．
24．（2023秋•温州期中）观察下列一组算式的特征，并探索规律：
①13=1=1；
②13+23=1+2=3；
③13+23+33=1+2+3=6；
④13+23+33+43=1+2+3+4=10．
根据以上算式的规律，解答下列问题：
（1）13+23+33+43+53＝（ ）2＝ ；
（2）13+23+33+⋯+(n−1)3+n3= ；（用含n的代数式表示）
（3）简便计算：113+123+133+…+193+203．
a
0.0036
0.36
36
3600
a




x
17
17.1
17.2
17.3
17.4
17.5
17.6
17.7
17.8
17.9
18
x2
289
292.41
285.84
299.29
302.76
306.25
309.76
313.29
316.84
320.41
324
a
…
0.0001
0.01
1
100
10000
…
a
…
0.01
x
1
y
100
…
x
16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
16.8
16.9
17
x2
256
259.21
262.44
265.69
268.96
272.25
275.56
278.89
282.24
285.61
289
【拔尖特训】2023-2024学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题6.9实数的材料阅读型问题（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共24小题）
1．（2022秋•成县期中）（1）填写如表，观察被开方数a的小数点与算术平方根a的小数点的移动规律：
（2）根据你发现的规律填空：
①已知：7.7=2.775，77=8.775．则7700= 87.75 ，0.00077= 0.02775 ；
②已知：29=5.385，若x=53.85．则x＝ 2900 ．
（3）将你发现的规律用文字语言表述出来．
【分析】（1）根据算术平方根的定义求出每一个数的算术平方根进行解答；
（2）①根据（1）中的规律对小数点移动进行求解即可；
②53.85是5.385的小数点向右移动1位，则被开方数29的小数点向右移动2位；
（3）根据（1）中的规律对小数点移动进行解答即可．
【解答】解：（1）如下表：
故答案为：0.06，0.6，6，60；
（2）①由表格可知，被开方数a 的小数点向右（或向左）每移动两位时，a的小数点向右（或向左）移动1位，
∵7.7=2.775，77=8.775，
∴7700=87.75，0.00077=0.02775；
故答案为：87.75，0.02775；
②∵29=5.385，x=53.85，
∴x＝2900，
故答案为：2900；
（3）规律是：被开方数a 的小数点向右（或向左）每移动两位时，a的小数点向右（或向左）移动1位．
2．（2022秋•西安月考）（1）观察：0.07≈0.2646，则7≈2.646，700≈26.46…发现规律：被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向 右 移动 1 位；
（2）应用：已知0.03≈0.1732，3≈ 1.732 ，300≈ 17.32 ；
（3）拓展：已知6≈2.449，60≈7.746，计算240和0.54的值．
【分析】（1）观察规律即可得出答案；
（2）根据（1）中的规律进行计算即可得出答案；
（3）由240=4×60=4×60代入计算即可得出答案，由0.54=9×0.06=9×0.06根据（1）中的规律代入计算即可得答案．
【解答】解：（1）观察：0.07≈0.2646，则7≈2.646，700≈26.46…发现规律：被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动1位；
故答案为：右，1；
（2）应用：已知0.03≈0.1732，3≈1.732，300≈17.32；
故答案为：1.732，17.32；
（3）240=4×60=4×60≈2×7.746≈15.492，
0.54=9×0.06=9×0.06≈3×0.2449≈0.7347．
3．（2022秋•宝丰县期中）观察以下等式：观察下列等式：
第1个等式：12−14=12，
第2个等式：13−19=23，
第3个等式：14−116=34，
…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： 17−172=67 ；
（2）写出你猜想的第n个等式： 1n+1−1(n+1)2=nn+1 用含n的式子表示，并证明这个结论？
【分析】（1）根据材料中的规律可得结论；
（2）分析所给的等式，不难得出第n个等式的形式，再把等式左右两边进行整理即可证明其正确性．
【解答】解：（1）写出第6个等式：17−172=67；
故答案为：67；
（2）写出你猜想的第n个等式：1n+1−1(n+1)2=nn+1，
证明：左边=n+1(n+1)2−1(n+1)2
=n+1−1(n+1)2
=nn+1=右边，
∴1n+1−1(n+1)2=nn+1．
故答案为：1n+1−1(n+1)2=nn+1．
4．（2022春•桐城市期末）【观察】请你观察下列式子．
第1个等式：1=1．
第2个等式：1+3=2．
第3个等式：1+3+5=3．
第4个等式：1+3+5+7=4．
第5个等式：1+3+5+7+9=5．
【发现】根据你的阅读回答下列问题：
（1）写出第7个等式 1+3+5+7+9+11+13=7 ．
（2）请根据上面式子的规律填空：1+3+5+⋯+(2n+1)= n+1 ．
（3）利用（2）中结论计算：4+12+20+28+⋅⋅⋅+44+52．
【分析】（1）根据规律直接写出式子即可；
（2）因为1+3+5+⋯+(2n+1)是第n+1个式子，所以根据规律可知，1+3+5+⋯+(2n+1)=n+1；
（3）利用（2）中的结论可知：4+12+20+28+⋯+44+52=4(1+3+5+7+9+11+13)，然后利用规律得出结果即可．
【解答】解：（1）根据材料可知，第七个式子的被开方数为1+3+5+7+9+11+13，
∴第7个等式为：1+3+5+7+9+11+13=7．
故答案为：1+3+5+7+9+11+13=7；
（2）根据材料中给出的规律可知：1+3+5+⋯+(2n+1)=(2n+1)+12=n+1．
故答案为：n+1；
（3）根据（2）中的规律可知，4+12+20+28+⋯+44+52=4(1+3+5+7+9+11+13)=4×1+132=14．
5．（2022春•椒江区期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，(−9)×(−4)=6，(−9)×(−1)=3，(−4)×(−1)=2，其结果6，3，2都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．
（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．
【分析】（1）对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断；
（2）分两种情况讨论：①当−3m=12时，②当−12m=12时，分别计算即可．
【解答】解：（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”，理由如下：
∵(−18)×(−8)=12，(−18)×(−2)=6，(−8)×(−2)=4，
∴﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”；
（2）∵(−3)×(−12)=6，
∴分两种情况讨论：
①当−3m=12时，﹣3m＝144，
∴m＝﹣48；
②当−12m=12时，﹣12m＝144，
∴m＝﹣12（不符合题意，舍）；
综上，m的值是﹣48．
6．（2022春•大兴区期中）观察下列各式：
n＝1时，有式①：1+13=233；
n＝2时，有式②：2+14=344=32；
（1）类比上述式①、式②，将下列等式补充完整：
3+15= 455 ；(ㅤㅤ)+1(ㅤㅤ)=566；
（2）请用含n（n为正整数）的等式表示以上各式的运算规律： n+1n+2=n+1n+2n+2 ．
【分析】（1）类比①，②可得；
（2）利用以上反映的数字的规律即可得出．
【解答】解：（1）类比上述式①、式②，可得：
3+15=455，4+16=566；
故答案为：455；4；6；
（2）用含n（n为正整数）的等式表示以上各式的运算规律为：n+1n+2=n+1n+2n+2．
故答案为：n+1n+2=n+1n+2n+2．
7．（2023秋•通川区校级期中）先计算下列各式：
1=1，1+3=2，1+3+5= 3 ，1+3+5+7= 4 ，1+3+5+7+9= 5 ．
（1）通过观察并归纳，请写出1+3+5+⋯+(2n−1)= n ．
（2）利用（1）中结论计算：2+6+10+14+⋯+102+106．
【分析】（1）根据特殊到一般的数学思想解决此题．
（2）根据特殊到一般的数学思想、算术平方根解决此题．
【解答】解：1=1，1+3=4=2，1+3+5=9=3，1+3+5+7=16=4，1+3+5+7+9=25=5．
故答案为：3，4，5．
（1）1+3+5+⋯+(2n−1)=n2=n．
故答案为：n．
（2）2+6+10+14+⋯+102+106=2×(1+3+5+⋯+51+53)=272．
8．（2023春•利辛县月考）一组实数按如图规律排列．
根据这个规律解答以下问题：
（1）直接写出第4行第1列所表示的实数是 22 ；
（2）实数2021排在第几行第几列？并说明理由．
【分析】（1）根据各个数的排列规律可得答案；
（2）2021除以7商就是所在的行，余数就是所在的列．
【解答】解：（1）这组数据的排列规律为：
1，2，3，4，5，6，7，
8，9，10，11，12，13，14
15，16，17，18，19，20，21，
……
∴第4行第4列所表示的数为1+7×(4−1)=22，
故答案为：22；
（2）由于2021÷7＝288……5，
∴2021排在第288行第5列．
9．（2023秋•秦都区校级月考）现有一组有规律的数：1，﹣1，2，−2，3，−3，1，﹣1，2，−2，3，−3，…，其中1，﹣1，2，−2，3，−3这六个数按此规律重复出现．
（1）求第15个数和第16个数的和；
（2）从第1个数起，把连续若干个数的平方相加起来，如果和为360，那么一共是多少个数的平方相加？
【分析】（1）根据题意给出的规律即可求出答案．
（2）由已知数据可知这些数每6个数一个循环，根据规律即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：第15个数和第16个数分别是2和−2，2+(−2)=0，
所以第15个数和第16个数的和是0．
（2）这列数每6个数一个循环：1，﹣1，2，−2，3，−3，
因为12+(−1)2+(2)2+(−2)2+(3)2+(−3)2=12，
360÷12＝30，30×6＝180，
所以一共是180个数的平方相加．
10．观察分析下列数据，寻找规律：
0，3，6，3，23，15，…．
（1）这组数据第10个数是什么？
（2）你发现了什么规律？写出这组数据的第n个数．
（3）求这组数据的第19个数与第55个数的积．
【分析】（1）这组数据的被开方数，可以看成一组连续的自然数分别与3相乘．第10个数的被开方数是3与（10﹣1）的乘积；
（2）被开方数0、3、6、9、12、15中，后一个数比前一个数大3，到第n的式子的被开方数是3的n﹣1倍；
（3）先得这组数据的第19个数与第55个数，再求积即可．
【解答】解：（1）因为0=3×0，3=3×1，6=3×2，3=3×3，23=3×4，15=3×5，…，
所以这组数据第10个数是3×(10−1)=33．
（2）规律为：这组数据的被开方数依次增加3，可知这组数据的第n个数为3(n−1)．
（3）因为这组数据的第19个数为3×18=36，第55个数为3×54=92，
所以这组数据的第19个数与第55个数的积为36×92=543．
11．（2022春•庐江县期中）我们规定用（a，b）表示一对数对，给出如下定义：记m=1a，n=b（a＞0，b＞0），将（m，n）与（n，m）称为数对（a，b）的对“对称数对”．例如：（4，1）的一对“对称数对”为（12，1）与（1，12）．
（1）数对（25，4）的一对“对称数对”是 （15，2） 和 （2，15） ；
（2）若数对（x，2）的一对“对称数对”的一个数对是（2，1），求x的值；
（3）若数对（a，b）的一对“对称数对”的一个数对是（3，33），求ab的值．
【分析】（1）根据新定义即可得出结论；
（2）根据新定义，列等式1x=1，解方程进而得出结论；
（4）根据新定义，列方程组，解出进而得出结论．
【解答】解：（1）∵125=15，4=2，
∴数对（25，3）的一对“一对称数对”是（15，2）与（2，15），
故答案为：（15，2）与（2，15）；
（2）∵数对（x，2）的一个“一对称数对”是（2，1），
∴1x=1，
∴x＝1；
（3）∵数对（a，b）的一个“一对称数对”是（3，33），
∴1a=3b=33或1a=33b=3，
解得a=13b=27或a=127b=3，
∴ab＝9或19．
12．（2022春•延津县期末）如图所示的是一个数值转换器．
（1）当输入的x值为9时，输出的y值为 3 ；当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为5时，输入的x值为 25 ．
（2）嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x值应为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？
【分析】（1）根据程序计算即可；
（2）根据0和1的算术平方根是其本身可得答案．
【解答】解：（1）9=3，3的算术平方根是3，（5）2＝5，52＝25．
故答案为：3，25；
（2）当x＝0或1时，始终输不出y值．
∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1．这两个数无论取几次算术平方根，一定是有理数，
∴他输入的x值是0或1．
13．（2022春•景县期中）如图为一个数值转换器．
（1）当输入的x值为4时，输出的y值为 2 ；当输入的x值为16时，输出的y值为 2 ；
（2）输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为3，求输入的x值；
（3）嘉淇发现输入x值后要取其算术平方根，因此他输入的x为非负数．但是当他输入x值后，却始终输不出y值，请你分析，他输入的x值是多少？
【分析】（1）根据运算规则即可求解；
（2）根据两次取算术平方根运算，输出的y值为3，返回运算两次平方可得x的值；
（3）根据0和1的算术平方根分别是0和1，可得结论．
【解答】解：（1）当x＝4时，4=2，则y=2；
当x＝16时，16=4，4=2，则y=2；
故答案为：2，2；
（2）当y=3时，（3）2＝3，32＝9，则x＝9；
（3）当x＝0，1时，始终输不出y值，
∵0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数，
∴他输入的x值是0或1．
14．（2022春•潍坊期中）（1）观察各式：0.03≈0.1732，3≈1.732，300≈17.32…
发现规律：被开方数的小数点每向右移动 2 位，其算术平方根的小数点向 右 移动 1 位；
（2）应用：已知5≈2.236，则0.05≈ 0.2236 ，500≈ 22.36 ；
（3）拓展：已知6≈2.449，60≈7.746，计算240和0.54的值．
【分析】（1）观察规律即可得出答案；
（2）根据（1）中的规律进行计算即可得出答案；
（3）由240=4×60=4×60代入计算即可得出答案，由0.54=9×0.06=9×0.06根据（1）中的规律代入计算即可得答案．
【解答】解：（1）观察各式：0.03≈0.1732，3≈1.732，300≈17.32…
发现规律：被开方数的小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位；
故答案为：2，右，1；
（2）应用：已知5≈2.236，则0.05≈0.2236，500≈22.36；
故答案为：0.2236，22.36；
（3）240=4×60=4×60≈2×7.746≈15.492，
0.54=9×0.06=9×0.06≈3×0.2449≈0.7347．
15．（2022春•海淀区校级期中）一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为81时，输出的y值是 3 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值；
（3）若输出的y是2，请写出两个满足要求的x值．
【分析】（1）根据算术平方根，即可解答；
（2）根据0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，所以始终输不出y值；
（3）2和4都可以．
【解答】解：（1）第一次，81的算术平方根是81=9，9是有理数，不能输出；
第二次，9的算术平方根是3，3是有理数不能输出；
第三次，3的算术平方根是3，是无理数，输出3，
故答案为：3；
（2）0和1满足要求．理由如下：
0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，当x＝0和1时，始终输不出y的值；
（3）∵4的算术平方根是2，2的算术平方根是2．
∴两个满足要求的x值为4和2．
16．（2023春•南通期中）一个数值转换器，如图所示：
（1）当输入的x为9时，输出的y值是 3 ；
（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
（3）若输出的y是7，请写出两个满足要求的x值： 7或49 ．
【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算即可；
（2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案；
（3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案．
【解答】解：（1）当x＝9时，9的算术平方根为9=3，而3是有理数，3的算术平方根为3，
故答案为：3；
（2）0或1，因为0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，无论进行多少次运算都不可能是无理数；
（3）若1次运算就是无理数，则输入的数为7，
若2次运算输出的数是无理数，则输入的数是49，
故答案为：7或49．
17．（2022春•枞阳县校级月考）观察下列一组等式：
第①个等式：1−12=12；
第②个等式：2−25=225；
第③个等式：3−310=3310；
第④个等式：4−417=4417．
根据你观察到的规律，完成以下问题：
（1）第⑤个等式为 5−526=5526 ；
（2）用n的式子表示第ⓝ个等式为 n−nn2+1=nnn2+1 ；
（3）若等式a−ab=aab是符合上面规律的等式，27是a（b﹣1）的一个平方根，求a的值．
【分析】（1）根据题目中给出的式子，可以写出第⑤个等式；
（2）根据题目中式子的特点，可以写出第n个等式．
（3）根据（2）中的规律解答即可．
【解答】解：（1）∵第①个1−12=12；
第②个2−25=225；
第③个3−310=3310；
第④个4−417=4417；
∴第⑤个等式为：5−526=5526，
故答案为：5−526=5526；
（2））∵第①个1−12=12；
第②个2−25=225；
第③个3−310=3310；
第④个4−417=4417；
…
∴第n个等式为：n−nn2+1=nnn2+1；
故答案为：n−nn2+1=nnn2+1；
（3）由（2）可知b＝a2+1，
∴a（b﹣1）＝a3＝272＝729＝93，
∴a＝9．
18．（2023春•宁乡市期末）王老师给同学们布置了这样一道习题：
一个正数的算术平方根为m+2，它的平方根为±（3m+2），求这个正数．
小达的解法如下：依题意可知：m+2＝3m+2，解得：m＝0，则：m+2＝2，所以这个正数为4．
王老师看后说，小达的解法不完整，请同学们给出这道习题完整的解法．
【分析】m+2是3m+2，﹣（3m+2）两数中的一个，应该分两种情况分别计算．
【解答】解：依题意可知：m+2是3m+2，﹣（3m+2）两数中的一个，
①当m+2＝3m+2时，
解得：m＝0，则：m+2＝2，所以这个正数为4；
②当m+2＝﹣（3m+2），
解得：m＝﹣1，则：m+2＝1，所以这个正数为1．
综上①②可知：这个数是4或1．
19．（2022春•云阳县校级月考）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义；对于三个互不相等的正整数，若其中任意两个数项积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“老根数”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，1×4=2，1×9=3，4×9=6，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称为“老根数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根“是6．
（1）2，8，50这三个数是“老根数”吗？若是，请求出任意两个数乘积的”最小算术平方根”与“最大算术平方根”；
（2）已知16，a，36，这三个数是“老根数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的2倍，求a的值．
【分析】（1）根据“老根数”“最小算术平方根”“最大算术平方根”的意义求解即可；
（2）分三种情况进行解答即可，即a＜16，16＜a＜36，a＞36，分别列方程求解即可．
【解答】解：（1）因为2×8=4，2×50=10，8×50=20，
所以2，8，50这三个数是“老根数”；
其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是20；
（2）当a＜16时，则2a×16=16×36，
解得a＝9，
当16＜a＜36时，则216a=36a，解得a＝0，不合题意舍去；
当a＞36时，则216×36=36a，
解得a＝64，
综上所述，a＝9或a＝64．
20．（2022春•大兴区期中）根据下表回答下列问题：
（1）316.84的平方根是 ±17.8 ；
（2）299.3≈ 17.3 ；
（3）29241= 171 ．
（4）若n介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n有 4 个；
（5）观察表格中的数据，请写出一条你发现的结论．
【分析】（1）利用平方根的意义解答即可；
（2）利用表格数据和算术平方根的意义解答即可；
（3）利用表格数据和算术平方根的意义解答即可；
（4）利用表格数据和算术平方根的意义解答即可；
（5）写出一条符合题意的结论即可．
【解答】解：∵（±17.8）2＝316.84，
∴316.84的平方根是±17.8；
故答案为：±17.8；
（2）∵17.32≈299.3，
∴299.3≈17.3．
故答案为：17.3；
（3）∵1712＝29241，
∴29241=171．
故答案为：171；
（4）∵309.7=17.6，313.2=17.7，
又n介于17.6与17.7之间，
∴n的可能值为310，311，312，313，
∴满足条件的整数n有4个．
故答案为：4；
（5）观察表格中的数据，发现的结论：当x＞0时，随着x的增大，x2也随着增大．（答案不唯一）．
21．（2022春•定远县期末）【初步感知】（1）直接写出计算结果．
①13= 1 ；
②13+23= 3 ；
③13+23+33= 6 ；
④13+23+33+43= 10 ；…
【深入探究】观察下列等式．
①1+2=(1+2)×22；
②1+2+3=(1+3)×32；
③1+2+3+4=(1+4)×42
④1+2+3+4+5=(1+5)×52；
……
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容．
（2） 1+2+3+…+2022 =(1+2022)×20222；
（3）1+2+3+⋯+n+（n+1）＝ (n+1)(n+2)2 ．
【拓展应用】计算：
（4）13+23+33+⋯+993+1003；
（5）113+123+133+⋯+193+203．
【分析】（1）直接计算即可；
（2）根据前4个式子的规律填空即可；
（3）根据规律可得1+2+3+⋯+n+（n+1）=(n+1)(n+2)2；
（4）根据（1）的计算可得原式＝1+2+3+…+100；
（5）根据规律可得原式＝（13+23+33+⋯+193+203）﹣（13+23+33+⋯+93+103），再根据规律计算即可．
【解答】解：（1）①13=1；
②13+23=3；
③13+23+33=6；
④13+23+33+43=10；
故答案为：1，3，6，10；
（2）由规律可得：1+2+3+…+2022=(1+2022)×20222，
故答案为：1+2+3+…+2022；
（3）1+2+3+⋯+n+（n+1）＝）=(n+1)(n+2)2．
故答案为：(n+1)(n+2)2；
（4）原式＝1+2+3+…+100=(100+1)×1002=5050；
（5）原式＝（13+23+33+⋯+193+203）﹣（13+23+33+⋯+93+103）
＝（13+23+⋯+203）2﹣（13+23+⋯+103）2
＝（1+2+…+20）2﹣（1+2+…+10）2
＝（21×202）2﹣（11×102）2
＝2102﹣552
＝41075．
22．（2022春•曲阜市期中）探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
（1）表格中x＝ 0.1 ；y＝ 10 ；
（2）从表格中探究a与a数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知10≈3.16，则1000≈ 31.6 ；
②已知3.24=1.8，若a=180，则a＝ 32400 ；
（3）拓展：已知312≈2.289，若3z=0.2289，则z＝ 0.012 ．
【分析】根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案．
【解答】解：（1）x＝0.1，y＝10，故答案为：0.1，10；
（2）①1000≈31.6，a＝32400，故答案为：31.6，32400；
（4）z＝0.012，故答案为：0.012．
23．（2023春•永吉县期中）根据下表回答下列问题：
（1）289的算术平方根是 17 ，268.96= 16.4 ；
（2）±256= ±16 ，275.56的平方根是 ±16.6 ；
（3）1.5921= 1.61 ，28224= 168 ；
（4）若x=a（x＞0），则100x= 10a （用含a的式子表示）．
【分析】（1）根据图表和算术平方根的定义即可得出答案；
（2）根据图表和平方根的定义即可得出答案；
（3）根据被开方数与算术平方根的关系可得答案；
（4）根据被开方数扩大100倍，算术平方根随之扩大10倍可得答案．
【解答】解：（1）由表中的数据可得，
289的算术平方根是17，268.96=16.4，
故答案为：17，16.4；
（2）由表中的数据可得，
±256=±16，275.56的平方根是±16.6，
故答案为：±16，±16.6；
（3）由表中的数据可得，
159.21的算术平方根是16.1，282.24的算术平方根是16.8，
∴1.5921=1.61，28224=168，
故答案为：1.61，168；
（4）由（3）可得被开方数扩大100倍，算术平方根随之扩大10倍，
若x=a（x＞0），则100x=10a（用含a的式子表示）．
故答案为：10a．
24．（2023秋•温州期中）观察下列一组算式的特征，并探索规律：
①13=1=1；
②13+23=1+2=3；
③13+23+33=1+2+3=6；
④13+23+33+43=1+2+3+4=10．
根据以上算式的规律，解答下列问题：
（1）13+23+33+43+53＝（ 1+2+3+4+5 ）2＝ 225 ；
（2）13+23+33+⋯+(n−1)3+n3= n(n+1)2 ；（用含n的代数式表示）
（3）简便计算：113+123+133+…+193+203．
【分析】（1）根据代数式所呈现的规律可得答案；
（2）得出13+23+33+⋯+(n−1)3+n3=1+2+3+…（n﹣1）+n，再利用求和公式求出结果即可；
（3）将原式化为（1）中的形式，利用简便方法求出结果即可．
【解答】解：（1）∵13+23+33+43+53=1+2+3+4+5＝15，
∴13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝225，
故答案为：1+2+3+4+5，225；
（2）由（1）可得，
13+23+33+⋯+(n−1)3+n3=1+2+3+…（n﹣1）+n=n(n+1)2，
故答案为：n(n+1)2；
（3）由（2）得，
113+123+133+…+193+203
＝13+23+33+…+193+203﹣（13+23+33+…+93+103）
=(20×212)2−(10×112)2
＝44100﹣3025
＝41075．
a
0.0036
0.36
36
3600
a
0.06
0.6
6
60
x
17
17.1
17.2
17.3
17.4
17.5
17.6
17.7
17.8
17.9
18
x2
289
292.41
285.84
299.29
302.76
306.25
309.76
313.29
316.84
320.41
324
a
…
0.0001
0.01
1
100
10000
…
a
…
0.01
x
1
y
100
…
x
16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
16.8
16.9
17
x2
256
259.21
262.44
265.69
268.96
272.25
275.56
278.89
282.24
285.61
289