北师大版七年级数学下册 专题2.8 相交线与平行线章末测试卷（培优卷）（举一反三）（原卷版+解析）

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第2章 相交线与平行线章末测试卷（培优卷）【北师大版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2021秋•沙坪坝区期末）如图，下列说法错误的是（　　）A．∠1与∠2是对顶角 B．∠1与∠3是同位角 C．∠1与∠4是内错角 D．∠B与∠D是同旁内角2．（3分）（2021秋•浚县期末）如图，下列不能判定DE∥BC的条件是（　　）A．∠B＝∠ADE B．∠2＝∠4 C．∠1＝∠3 D．∠ACB+∠DEC＝180°3．（3分）（2021秋•玄武区期末）如图，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（　　）A． B． C． D．4．（3分）（2021秋•瑶海区期末）如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥AB，OG平分∠EOF，若∠BOC＝48°，则∠AOG等于（　　）A．10° B．12° C．14° D．16°5．（3分）（2021秋•封丘县期末）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE，则∠DAB的度数为（　　）A．5° B．10° C．15° D．20°6．（3分）（2021春•招远市期中）平面内有两两相交的4条直线，如果最多有m个交点，最少有n个交点，那么m+n＝（　　）A．9 B．8 C．7 D．67．（3分）（2021秋•西峡县期末）直线l1、l2、l3的位置关系如图，下列说法错误的是（　　）A．∠2与∠1互为邻补角，若∠1＝111°54'，则∠2＝68.1° B．∠1与∠3互为对顶角，若∠1＝111.9°，则∠3＝111.9° C．若l2⊥l3，则∠1＝∠2＝90°；若∠1＝90°，则l2⊥l3 D．若∠3+∠4＝180°或∠4+∠6＝180°，则l1∥l2．8．（3分）（2021秋•苏家屯区期末）如图，AD∥CE，∠ABC＝110°，则∠2﹣∠1的度数是（　　）A．50° B．60° C．70° D．110°9．（3分）（2021春•江油市期中）如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，已知∠1＝∠2＝50°，GM平分∠HGB交直线CD于点M，则∠GMD＝（　　）A．120° B．115° C．130° D．110°10．（3分）（2021春•武安市期末）有四位同学一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB．则下列说法正确的是（　　）甲说：“如果还知道∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB．”乙说：“把甲的已知和结论倒过来，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．”丙说：“∠AGD一定大于∠BFE．”丁说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB．”A．甲对乙错 B．乙错丁对 C．甲、乙对 D．乙、丙对二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2021春•襄州区期末）如图，P是直线a外一点，点A，B，C，D为直线a上的点PA＝5，PB＝4，PC＝2，PD＝7，根据所给数据写出点P到直线a的距离l的取值范围是 　 　．12．（3分）（2021春•椒江区期末）如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB的夹角∠BOD为75°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转 　 　度．13．（3分）（2021秋•上蔡县期末）把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，点D，C分别折叠到点M，N的位置上，∠EFG＝54°，则∠1＝　 　度．14．（3分）（2021秋•嵩县期末）生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD＝　 　°．15．（3分）（2021秋•南岗区校级期末）已知，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝70°，过点O作射线OE，使∠BOE＝130°，则∠COE＝　 　．16．（3分）（2021春•西乡塘区校级月考）如图1，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为 　 　，以此类推，如图2，∠1+∠2+∠3+…+∠n的度数为 　 　．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2021秋•庐阳区期末）已知：∠α，∠AOB（如图）．（1）求作：以OB为一边，作∠BOC＝∠α．（要求：仅用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）若∠AOB＝60°，∠α＝20°，则∠AOC的度数为 　 　．18．（6分）（2021秋•市北区期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．19．（8分）（2021秋•缙云县期末）已知点直线BC及直线外一点A（如图），按要求完成下列问题：（1）画出射线CA，线段AB．过C点画CD⊥AB，垂足为点D；（2）比较线段CD和线段CA的大小，并说明理由；（3）在以上的图中，互余的角为 　 　，互补的角为 　 　．（各写出一对即可）20．（8分）（2021秋•肇源县期末）完成下面的证明如图，点B在AG上，AG∥CD，CF平分∠BCD，∠ABE＝∠FCB，BE⊥AF点E．求证：∠F＝90°．证明：∵AG∥CD（已知）∴∠ABC＝∠BCD（ 　 　）∵∠ABE＝∠FCB（已知）∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB即∠EBC＝∠FCD∵CF平分∠BCD（已知）∴∠BCF＝∠FCD（ 　 　）∴　 　＝∠BCF（等量代换）∴BE∥CF（ 　 　）∴　 　＝∠F（ 　 　）∵BE⊥AF（已知）∴　 　＝90°（ 　 　）∴∠F＝90°．21．（8分）（2021秋•渠县期末）如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．22．（8分）（2021秋•铁西区期末）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．（1）当点E，F在直线AB的同侧；①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，求∠EOF的度数；②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．23．（8分）（2021春•靖宇县期末）【阅读探究】如图1，已知AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，点M在AB、CD两平行线之间，∠AEM＝45°，∠CFM＝25°，求∠EMF的度数．解：过点M作MN∥AB，∵AB∥CD，∴MN∥CD．∴∠EMN＝∠AEM＝45°，∠FMN＝∠CFM＝25°．∴∠EMF＝∠EMN+∠FMN＝45°+25°＝70°．从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠AEM和∠CFM“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中∠AEM、∠EMF和∠CFM之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系：　 　．【方法运用】如图2，已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点M在AB、CD两平行线之间，求∠AEM、∠EMF和∠CFM之间的数量关系．【应用拓展】如图3，在图2的条件下，作∠AEM和∠CFM的平分线EP、FP，交于点P（交点P在两平行线AB、CD之间）若∠EMF＝60°，求∠EPF的度数．第2章 相交线与平行线章末测试卷（培优卷）【北师大版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2021秋•沙坪坝区期末）如图，下列说法错误的是（　　）A．∠1与∠2是对顶角 B．∠1与∠3是同位角 C．∠1与∠4是内错角 D．∠B与∠D是同旁内角【分析】根据对顶角，邻补角，同位角，内错角，同旁内角的特征判断即可．【解答】解：A．∠1与∠2是对顶角，故A不符合题意；B．∠1与∠3是同位角，故B不符合题意；C．∠1与∠4不是内错角，故C符合题意；D．∠B与∠D是同旁内角，故D不符合题意；故选：C．2．（3分）（2021秋•浚县期末）如图，下列不能判定DE∥BC的条件是（　　）A．∠B＝∠ADE B．∠2＝∠4 C．∠1＝∠3 D．∠ACB+∠DEC＝180°【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法进行判断即可．【解答】解：A、∠B＝∠ADE，能判定DE∥BC，不符合题意；B、∠2＝∠4，能判定DE∥BC，不符合题意；C、∠1＝∠3，能判定DF∥EC，符合题意；D、∠ACB+∠DEC＝180°，能判定DE∥BC，不符合题意．故选：C．3．（3分）（2021秋•玄武区期末）如图，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（　　）A． B． C． D．【分析】垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．【解答】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：故选：B．4．（3分）（2021秋•瑶海区期末）如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥AB，OG平分∠EOF，若∠BOC＝48°，则∠AOG等于（　　）A．10° B．12° C．14° D．16°【分析】根据角平分线的定义表示出∠COE和∠AOG，然后根据∠AOG＝∠EOG﹣∠AOE计算即可得解．【解答】解：∵∠BOC＝48°，∴∠AOC＝180°﹣48°＝132°，∵OE平分∠AOC，∴∠EOC=12∠AOC=12×132°=66°，∵OF⊥AB，∴∠BOF＝90°，∴∠EOF＝360°﹣∠EOC﹣∠BOC﹣∠BOF＝360°﹣66°﹣48°﹣90°＝156°∵OG平分∠EOF，∴∠EOG＝∠FOG=12∠EOF=12×156°=78°，∴∠AOG＝∠EOG﹣∠AOE＝78°﹣66°＝12°，故选：B．5．（3分）（2021秋•封丘县期末）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE，则∠DAB的度数为（　　）A．5° B．10° C．15° D．20°【分析】根据平行线的性质及角的和差求解即可．【解答】解：∵AC∥DE，∠D＝30°，∴∠CAD＝∠D＝30°，∵∠CAB＝45°，∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝45°﹣30°＝15°，故选：C．6．（3分）（2021春•招远市期中）平面内有两两相交的4条直线，如果最多有m个交点，最少有n个交点，那么m+n＝（　　）A．9 B．8 C．7 D．6【分析】可根据题意，画出图形，找出交点最多和最少的个数，求出m+n即可．【解答】解：如图所示：4条直线两两相交，有3种情况：4条直线经过同一点，有一个交点；3条直线经过同一点，被第4条直线所截，有4个交点；4条直线不经过同一点，有6个交点．故平面内两两相交的4条直线，最多有6个交点，最少有1个交点；即m＝6，n＝1，则m+n＝7．故选：C．7．（3分）（2021秋•西峡县期末）直线l1、l2、l3的位置关系如图，下列说法错误的是（　　）A．∠2与∠1互为邻补角，若∠1＝111°54'，则∠2＝68.1° B．∠1与∠3互为对顶角，若∠1＝111.9°，则∠3＝111.9° C．若l2⊥l3，则∠1＝∠2＝90°；若∠1＝90°，则l2⊥l3 D．若∠3+∠4＝180°或∠4+∠6＝180°，则l1∥l2．【分析】根据平行线的判定、角的换算、对顶角与邻补角、垂直的定义解决此题．【解答】解：A．由图得，∠2与∠1互为邻补角，则∠2+∠1＝180°．由∠1＝111°54'，得∠2＝68°6′＝68.1°，那么A正确，故A不符合题意．B．根据对顶角的定义，∠1与∠3互为对顶角，则∠1＝∠3．由∠1＝111.9°，得∠3＝111.9°，那么B正确，故B不符合题意．C．根据垂直的定义，由若l2⊥l3，则∠1＝∠2＝90°；若∠1＝90°，则l2⊥l3，那么C正确，故C不符合题意．D．由题得，∠1与∠3是对顶角，那么∠1＝∠3．由∠3+∠4＝180°，得∠1+∠4＝180°，那么l1∥l2．根据同旁内角互补两直线平行，由∠4+∠6＝180°，那么l3∥l2，得D错误，故D符合题意．故选：D．8．（3分）（2021秋•苏家屯区期末）如图，AD∥CE，∠ABC＝110°，则∠2﹣∠1的度数是（　　）A．50° B．60° C．70° D．110°【分析】作BF∥AD，利用平行线的性质分析得出答案．【解答】解：如图，作BF∥AD，∵AD∥CE，∴AD∥BF∥EC，∴∠1＝∠3，∠4+∠2＝180°，∠3+∠4＝110°，∴∠1+∠4＝110°，∴∠2﹣∠1＝70°．故选：C．9．（3分）（2021春•江油市期中）如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，已知∠1＝∠2＝50°，GM平分∠HGB交直线CD于点M，则∠GMD＝（　　）A．120° B．115° C．130° D．110°【分析】求出∠BGM，根据平行线的判定得出AB∥CD，根据平行线的性质推出∠3＝∠BGM，利用补角的定义即可得出答案．【解答】解：如图，∵∠1＝50°，∴∠BGF＝180°﹣∠1＝130°，∵GM平分∠BGF，∴∠BGM=12∠BGF＝65°，∵∠1＝∠2＝50°，∴AB∥CD，∴∠3＝∠BGM＝65°，∴∠GMD＝180°﹣∠BGM＝180°﹣65°＝115°，故选：B．10．（3分）（2021春•武安市期末）有四位同学一起研究一道数学题．如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB．则下列说法正确的是（　　）甲说：“如果还知道∠CDG＝∠BFE，则能得到∠AGD＝∠ACB．”乙说：“把甲的已知和结论倒过来，即由∠AGD＝∠ACB，可得到∠CDG＝∠BFE．”丙说：“∠AGD一定大于∠BFE．”丁说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB．”A．甲对乙错 B．乙错丁对 C．甲、乙对 D．乙、丙对【分析】根据平行线的判定得出CD∥EF，根据平行线的性质得出∠BFE＝∠BCD，求出∠CDG＝∠BCD，根据平行线的判定得出DG∥BC，即可判断甲；根据∠AGD＝∠ACB推出DG∥BC，根据平行线的性质得出∠CDG＝∠BCD，即可判断乙，根据已知条件判断丙和丁即可．【解答】解：∵CD⊥AB，FE⊥AB，∴CD∥EF，∴∠BFE＝∠BCD，∵∠CDG＝∠BFE，∴∠CDG＝∠BCD，∴DG∥BC，∴∠AGD＝∠ACB，∴甲正确；∵CD⊥AB，FE⊥AB，∴CD∥EF，∴∠BFE＝∠BCD，∵∠AGD＝∠ACB，∴DG∥BC，∴∠CDG＝∠BCD，∴∠CDG＝∠BFE，∴乙正确；丙和丁的说法根据已知不能推出，∴丙错误，丁错误；故选：C．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2021春•襄州区期末）如图，P是直线a外一点，点A，B，C，D为直线a上的点PA＝5，PB＝4，PC＝2，PD＝7，根据所给数据写出点P到直线a的距离l的取值范围是 　0＜l≤2　．【分析】根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，可得连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短；然后根据PA＝4，PB＝5，PC＝2，可得三条线段的最短的是2，所以点P到直线l的距离不大于2，据此判断即可．【解答】解：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短；因为PA＝5，PB＝4，PC＝2，PD＝7，所以三条线段的最短的是2，所以点P到直线α的距离不大于2．故答案为：0＜l≤2．12．（3分）（2021春•椒江区期末）如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB的夹角∠BOD为75°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转 　5　度．【分析】本题反向推理，若OD旋转到OD′时，则OD′∥AC，求∠DOD′＝∠BOD﹣∠BOD′＝75°﹣70°＝5°，进而解决此题．【解答】解：若OD旋转到OD′时，则OD′∥AC．∵OD′∥AC，∴∠BOD′＝∠A＝70°．∴∠DOD′＝∠BOD﹣∠BOD′＝75°﹣70°＝5°．∴要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转5度．故答案为：5．13．（3分）（2021秋•上蔡县期末）把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，点D，C分别折叠到点M，N的位置上，∠EFG＝54°，则∠1＝　72　度．【分析】利用平角的定义先求出∠EFC，再利用平行线的性质求出∠FED，最后利用折叠的性质和平角的定义求出∠1的度数．【解答】解：∵∠EFG+∠EFC＝180°，∠EFG＝54°，∴∠EFC＝126°．∵四边形ABCD是长方形，∴DE∥CF．∴∠EFC+∠FED＝180°．∴∠FED＝54°.∵四边形EFNM是由四边形EFCD折叠而成，∴∠DEF＝∠MEF＝54°．∵∠1+∠DEF+∠MEF＝180°，∴∠1＝72°．故答案为：72．14．（3分）（2021秋•嵩县期末）生活中常见一种折叠拦道闸，如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD＝　270　°．【分析】过点B作BF∥AE，如图，由于CD∥AE，则BF∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补得∠BCD+∠CBF＝180°，由AB⊥AE得AB⊥BF，即∠ABF＝90°，于是得到结论．【解答】解：过点B作BF∥AE，如图，∵CD∥AE，∴BF∥CD，∴∠BCD+∠CBF＝180°，∵AB⊥AE，∴AB⊥BF，∴∠ABF＝90°，∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝90°+180°＝270°．故答案为：270．15．（3分）（2021秋•南岗区校级期末）已知，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝70°，过点O作射线OE，使∠BOE＝130°，则∠COE＝　20°或120°　．【分析】如图，当OE在AB的上面时，根据邻补角的定义得到∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣70°＝110°，于是得到∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝130°﹣11°＝20°；当OE在直线AB的下面时，根据邻补角的定义得到∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣70°＝110°，于是得到∠COE′＝180°﹣∠DOE′＝180°﹣60°＝120°．【解答】解：如图，当OE在AB的上面时，∵∠AOC＝70°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣70°＝110°，∵∠BOE＝130°，∴∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝130°﹣11°＝20°；当OE在直线AB的下面时，∵∠AOC＝70°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣70°＝110°，∵∠BOD＝∠AOC＝70°，∴∠DOE′＝∠BOE′﹣∠BOD＝130°﹣70°＝60°，∴∠COE′＝180°﹣∠DOE′＝180°﹣60°＝120°，综上所述，∠COE＝20°或120°，故答案为：20°或120°．16．（3分）（2021春•西乡塘区校级月考）如图1，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为 　900°　，以此类推，如图2，∠1+∠2+∠3+…+∠n的度数为 　180°（n﹣1）　．【分析】过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，根据平行线的判定得出EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，根据平行线的性质得出即可．【解答】解：如图1，过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，∵CD∥AB，∴EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，∴∠1+∠MEQ＝180°，∠QEF+∠EFW＝180°，∠WFG+∠FGR＝180°，∠RGH+∠GHY＝180°，∠YHN+∠6＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝5×180°＝900°，同理，如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n＝180°（n﹣1），故答案为：900°，180°（n﹣1）．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2021秋•庐阳区期末）已知：∠α，∠AOB（如图）．（1）求作：以OB为一边，作∠BOC＝∠α．（要求：仅用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）若∠AOB＝60°，∠α＝20°，则∠AOC的度数为 　40°或80°　．【分析】（1）利尺规根据要求作出图形即可；（2）分两种情形求解可得结论．【解答】解：（1）如图，∠BOC，∠BOC′即为所求；（2）∵∠AOB＝60°，∠BOC＝∠BOC′＝20°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝40°或∠AOC′＝∠AOB+∠BOC′＝80°．故答案为：40°或80°．18．（6分）（2021秋•市北区期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，求证：DE∥BC．【分析】由条件可先证明EH∥AB，再利用平行线的性质可得到∠3＝∠ADE＝∠B，可证明DE∥BC．【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）∵∠1＝∠4（对顶角相等）∴∠2+∠4＝180°（等量代换）∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）又∵∠3＝∠B（已知）∴∠B＝∠ADE（等量代换）∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）19．（8分）（2021秋•缙云县期末）已知点直线BC及直线外一点A（如图），按要求完成下列问题：（1）画出射线CA，线段AB．过C点画CD⊥AB，垂足为点D；（2）比较线段CD和线段CA的大小，并说明理由；（3）在以上的图中，互余的角为 　∠DAC、∠DCA　，互补的角为 　∠ADC、∠BDC　．（各写出一对即可）【分析】（1）根据垂线的定义，线段，射线的定义作图即可；（2）根据垂线段最短即可求解；（3）由互余、互补的定义解题即可．【解答】解：（1）如图：（2）∵CD⊥AD，∴CA＞CD；（3）∵∠DAC+∠DCA＝90°，∴∠DAC与∠DCA互余，∵∠ADC+∠BDC＝90°+90°＝180°，∴∠ADC与∠BDC互补，故答案为：∠DAC、∠DCA；∠ADC、∠BDC．20．（8分）（2021秋•肇源县期末）完成下面的证明如图，点B在AG上，AG∥CD，CF平分∠BCD，∠ABE＝∠FCB，BE⊥AF点E．求证：∠F＝90°．证明：∵AG∥CD（已知）∴∠ABC＝∠BCD（ 　两直线平行，内错角相等　）∵∠ABE＝∠FCB（已知）∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB即∠EBC＝∠FCD∵CF平分∠BCD（已知）∴∠BCF＝∠FCD（ 　角平分线的定义　）∴　∠EBC　＝∠BCF（等量代换）∴BE∥CF（ 　内错角相等，两直线平行　）∴　∠BEF　＝∠F（ 　两直线平行，内错角相等　）∵BE⊥AF（已知）∴　∠BEF　＝90°（ 　垂直的定义　）∴∠F＝90°．【分析】根据平行线的性质得到∠ABC＝∠BCD，再根据角平分线的定义进而得到∠EBC＝∠BCF，即可判定BE∥CF，根据平行线的性质得出∠BEF＝∠F，再根据垂直的定义即可得解．【解答】证明：∵AG∥CD（已知），∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），∵∠ABE＝∠FCB（已知），∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB，即∠EBC＝∠FCD，∵CF平分∠BCD（已知），∴∠BCF＝∠FCD（角平分线的定义），∴∠EBC＝∠BCF（等量代换），∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），∴∠BEF＝∠F（两直线平行，内错角相等），∵BE⊥AF（已知），∴∠BEF＝90°（垂直的定义），∴∠F＝90°．故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；∠EBC；内错角相等，两直线平行；∠BEF；两直线平行，内错角相等；∠BEF；垂直的定义．21．（8分）（2021秋•渠县期末）如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．【分析】根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明．【解答】已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C求证：∠A＝∠D证明：∵∠1＝∠3又∵∠1＝∠2∴∠3＝∠2∴EC∥BF∴∠AEC＝∠B又∵∠B＝∠C∴∠AEC＝∠C∴AB∥CD∴∠A＝∠D22．（8分）（2021秋•铁西区期末）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．（1）当点E，F在直线AB的同侧；①如图1，若∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，求∠EOF的度数；②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．【分析】（1）①先利用角度的和差关系求得∠COE，再根据∠EOF＝90°﹣∠COE，可得∠EOF的度数；②先根据角平分线定义∠EOF＝∠FOB，再结合余角定义可得结论；（2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧时，当点E，F在直线AB的异侧；再分别表示∠AOC、∠BOE，再消去α即可．【解答】解：（1）①∵OF⊥CD于点O，∴∠COF＝90°，∵∠BOD＝15°，∠BOE＝120°，∴∠COE＝180°﹣∠BOE﹣∠BOD＝180°﹣120°﹣15°＝45°，∴∠EOF＝∠COF﹣∠COE＝90°﹣∠COE＝90°﹣45°＝45°；∴∠EOF的度数为45°；②平分，理由如下：∵OF平分∠BOE，∴∠EOF＝∠FOB=12∠EOB，∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠COE+∠EOF＝∠AOC+∠BOF＝90°，∴∠COE＝∠AOC，即OC平分∠AOE．（2）当点E，F在直线AB的同侧时，如图，记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠EOF＝90°﹣α，∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝2α﹣90°①，∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（2α﹣90°）﹣α＝270°﹣3α②，①×3+②×2得，3∠AOC+2∠BOE＝270°；当点E和点F在直线AB的异侧时，如图，记∠COE＝α，则∠AOF＝2∠COE＝2α，∵OF⊥CD，∴∠COF＝90°，∴∠AOC＝∠COF﹣∠AOF＝90°﹣2α①，∴∠BOE＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝180°﹣（90°﹣2α）﹣α＝90°+α②，①+2×②得，∠AOC+2∠BOE＝270°．综上可知，3∠AOC+2∠BOE＝270°或∠AOC+2∠BOE＝270°．23．（8分）（2021春•靖宇县期末）【阅读探究】如图1，已知AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，点M在AB、CD两平行线之间，∠AEM＝45°，∠CFM＝25°，求∠EMF的度数．解：过点M作MN∥AB，∵AB∥CD，∴MN∥CD．∴∠EMN＝∠AEM＝45°，∠FMN＝∠CFM＝25°．∴∠EMF＝∠EMN+∠FMN＝45°+25°＝70°．从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠AEM和∠CFM“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中∠AEM、∠EMF和∠CFM之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系：　∠EMF＝∠AEM+∠CFM　．【方法运用】如图2，已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点M在AB、CD两平行线之间，求∠AEM、∠EMF和∠CFM之间的数量关系．【应用拓展】如图3，在图2的条件下，作∠AEM和∠CFM的平分线EP、FP，交于点P（交点P在两平行线AB、CD之间）若∠EMF＝60°，求∠EPF的度数．【分析】【阅读探究】过点M作MN∥AB，由平行线的性质等∠EMN＝∠AEM＝45°，∠FMN＝∠CFM＝25°，则∠EMF＝∠EMN+∠FMN＝∠AEM+∠CFM；【方法运用】过点M作MN∥AB，由平行线的性质等∠EMN＝∠BEM，∠FMN＝∠DFM，再由平角的定义即可求解；【应用拓展】过点P作PH∥AB，由平行线的性质得∠EPH＝∠AEP，∠FPH＝∠CFP，则∠EPF=12（∠AEM+∠CFM），再由【方法运用】得∠EMF＝360°﹣∠AEM﹣∠CFM，则∠AEM+∠CFM＝360°﹣∠EMF＝300°，进而求解即可．【解答】解：【阅读探究】过点M作MN∥AB，如图1所示：∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠EMN＝∠AEM＝45°，∠FMN＝∠CFM＝25°，∴∠EMF＝∠EMN+∠FMN＝∠AEM+∠CFM，故答案为：∠EMF＝∠AEM+∠CFM；【方法运用】过点M作MN∥AB，如图2所示：∵AB∥CD，∴MN∥CD，∴∠EMN＝∠BEM，∠FMN＝∠DFM，∵∠BEM＝180°﹣∠AEM，∠DFM＝180°﹣∠CFM，∴∠EMF＝∠EMN+∠FMN＝180°﹣∠AEM+180°﹣∠CFM＝360°﹣∠AEM﹣∠CFM，∴∠AEM、∠EMF和∠CFM之间的数量关系为：∠EMF＝360°﹣∠AEM﹣∠CFM；【应用拓展】∵EP、FP分别是∠AEM和∠CFM的平分线，∴∠AEP=12∠AEM，∠CFP=12∠CFM，过点P作PH∥AB，如图3所示：∵AB∥CD，∴PH∥CD，∴∠EPH＝∠AEP，∠FPH＝∠CFP，∴∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP=12∠AEM+12∠CFM=12（∠AEM+∠CFM），由【方法运用】得：∠EMF＝360°﹣∠AEM﹣∠CFM，∴∠AEM+∠CFM＝360°﹣∠EMF＝360°﹣60°＝300°，∴12（∠AEM+∠CFM）=12×300°＝150°，∴∠EPF＝150°．