人教版七年级数学下册尖子生培优题典 专题5.3平行线的性质专项提升训练（重难点培优）（原卷版+解析）

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2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优题典【人教版】专题5.3平行线的性质专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022秋•碑林区校级期中）下列语句是命题的是（　　）A．画出两个相等的角 B．所有的直角都相等吗？ C．延长线段AB到C，使得BC＝BA D．两直线平行，内错角相等2．（2022•谷城县二模）已知，直线m∥n，将含30°的直角三角板按照如图位置放置，∠1＝25°，则∠2等于（　　）A．35° B．45° C．55° D．65°3．（2022秋•开福区校级期中）如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E．若∠C＝50°，则∠AEC的大小为（　　）A．55° B．65° C．70° D．80°4．（2022秋•九龙坡区校级期中）如图，直线a∥b，将一个含30°角的三角尺按如图所示的位置放置，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　）A．150° B．140° C．130° D．120°5．（2022秋•道里区校级月考）有下列四种说法：（1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行（2）相等的两个角是对顶角（3）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离（4）垂直于同一条直线的两直线平行：其中正确的有（　　）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个6．（2022秋•惠阳区校级月考）如图，AB∥EF，C点在EF上，∠EAC＝∠ECA，BC平分∠DCF，且AC⊥BC．则关于结论①AE∥CD；②∠BDC＝2∠1，下列判断正确的是（　　）A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确7．（2022春•章丘区期中）乐乐观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝115°，则∠E的度数是（　　）A．23° B．26° C．28° D．32°8．（2022秋•临洮县校级月考）如图，直线CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（　　）A．15° B．25° C．30° D．45°9．（2022春•新罗区期中）如图，直线AB∥CD，点E、M分别为直线AB、CD上的点，点N为两平行线间的点，连接NE、NM，过点N作NG平分∠ENM，交直线CD于点G，过点N作NF⊥NG，交直线CD于点F，若∠BEN＝θ（90°＜θ＜180°），则∠NGD﹣∠MNF的角度等于（　　）A．90° B．270°﹣θ C．90°+θ D．2θ﹣270°10．（2022春•仓山区校级期中）如图，直线MN∥PQ，点A在直线MN与PQ之间，点B在直线MN上，连接AB．∠ABM的平分线BC交PQ于点C，连接AC，过点A作AD⊥PQ交PQ于点D，作AF⊥AB交PQ于点F，AE平分∠DAF交PQ于点E，若∠CAE＝45°，∠ACB＝∠DAE，则∠ACD的度数是（　　）A．18° B．27° C．30° D．45°二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•德惠市期中）命题“如果a＝b，那么a3＝b3”是 　 　命题．（填“真”或“假”）12．（2022秋•浦东新区期中）将命题“两个全等三角形的周长相等”改写成“如果…那么…”的形式 　 　．13．（2022秋•蓬安县期中）如图，AB∥CD，若∠A＝40°，∠C＝26°，则∠E＝　 　．14．（2022春•高新区校级月考）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度数为 　 　．15．（2022秋•浠水县期中）将直角三角板如图所示放置，∠ABC＝60°，∠ACB＝90°，∠A＝30°，直线CE∥AB，BE平分∠ABC，在直线CE上确定一点D，满足∠BDC＝45°，则∠EBD＝　 　．16．（2022春•长安区校级月考）将一副直角三角尺ABC和CDE按如图方式放置，其中直角顶点C重合，∠D＝45°，∠A＝30°．若DE∥BC，则∠1的度数为 　 　．17．（2022秋•涪陵区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，∠B＝90°，AB＝BC，AC＝AD，在BC上取一点E，连接AE，DE．若∠DAC＝2∠BAE，现有下列五个结论：①∠DEC＝∠DAC；②∠BAE+∠ACD＝90°；③AE平分∠BED；④DE＝AB+BE；⑤S△ADC＝S△CED+S△ABE；其中正确的命题是 　 　．18．（2022春•玄武区校级期中）如图，AB∥CD，BE∥DF，∠B与∠D的平分线相交于点P，则∠P＝　 　°．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022秋•道里区校级月考）完成下面推理过程，在括号内的横线上填空或填上推理依据．已知：AB∥CD，∠B+∠D＝180°，求证：BC∥ED．证明：∵AB∥CD（已知），∴∠B＝∠C（ 　 　）．∵∠B+∠D＝180°（ 　 　），∴∠C+∠D＝180°（ 　 　），∴BC∥DE（ 　 　）．20．（2022春•南海区校级月考）如图，已知直线a，b与直线c，d相交，∠1＝∠2，∠3＝110°，求∠4的度数．21．（2022春•重庆月考）如图，AF分别与BD、CE交于点G、H，∠1＝55°，∠2＝125°．若∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D．22．（2022春•云阳县校级月考）如图，已知平面内有两条直线AB、CD，且AB∥CD，P为一动点．（1）当点P移动到AB、CD之间时，如图（1），此时∠APC与∠A、∠C有怎样的关系？请说明理由．（2）当点P移动到如图（2）的位置时，∠APC与∠A、∠C又有怎样的关系？请说明理由．23．（2022春•江岸区校级月考）如图，AB∥CD，点M、N分别在直线AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，∠MON＝90°．（1）求∠1+∠2的值；（2）如图2，直线EF交∠BMO、∠CNO的角平分线分别于点F、E，求∠NEF﹣∠MFE的值；（3）如图3，∠AMP＝n∠OMP，∠DNQ＝n∠ONQ，若∠P﹣∠Q＝t°，则n＝　 　（用t表示）．24．（2022春•重庆月考）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．（1）如图1，EF∥MN，点A，B分别为直线EF，MN上的一点，点P为平行线间一点且∠PAF＝130°，∠PBN＝120°，求∠APB度数；问题迁移（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m∥n，直线m分别交OM，ON于点A，D，直线n分别交OM，ON于点B，C，点P在射线OM上运动．①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由；②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出∠CPD，∠α，∠β间的数量关系．2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优题典【人教版】专题5.3平行线的性质专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022秋•碑林区校级期中）下列语句是命题的是（　　）A．画出两个相等的角 B．所有的直角都相等吗？ C．延长线段AB到C，使得BC＝BA D．两直线平行，内错角相等【分析】利用命题的定义判断即可．【解答】解：A．画出两个相等的角，没有对一件事情做出判断，故A选项不是命题，不符合题意；B．所有的直角都相等吗？是表示疑问的语句，而不是表示判断的语句，故选项B不符合题意；C．延长线段AB到C，使得BC＝BA，不是表示判断的语句，故选项C不符合题意；D．两直线平行，内错角相等，是表示判断的语句，故D是命题，符合题意．故选：D．2．（2022•谷城县二模）已知，直线m∥n，将含30°的直角三角板按照如图位置放置，∠1＝25°，则∠2等于（　　）A．35° B．45° C．55° D．65°【分析】根据对顶角的性质可以得出∠CDE＝25°，然后利用30°的直角三角板可得∠ACB＝30°，最后利用平行线的性质∠2＝∠CEF＝55°．【解答】解：如图：∵∠1＝25°，∠1与∠CDE是对顶角，∴∠CDE＝∠1＝25°，∵∠ACB＝30°，∴∠CEF＝∠ACB+∠CDE＝55°，∵m∥n，∴∠2＝∠CEF＝55°．故选：C．3．（2022秋•开福区校级期中）如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E．若∠C＝50°，则∠AEC的大小为（　　）A．55° B．65° C．70° D．80°【分析】根据平行线性质求出∠CAB的度数，根据角平分线求出∠EAB的度数，根据平行线性质求出∠AEC的度数即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB＝180°，∵∠C＝50°，∴∠CAB＝180°﹣50°＝130°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝65°，∵AB∥CD，∴∠AEC＝∠BAE＝65°．故选：B．4．（2022秋•九龙坡区校级期中）如图，直线a∥b，将一个含30°角的三角尺按如图所示的位置放置，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　）A．150° B．140° C．130° D．120°【分析】由题意得∠CAD＝90°，∠C＝30°，从而求得∠CAE＝70°，由平行线的性质得∠CBF＝∠CAE＝70°，利用三角形的外角性质求得∠CHB＝40°，从而可求∠2的度数．【解答】解：如图，由题意得：∠CAD＝90°，∠C＝30°，∵∠1＝20°，∴∠CAE＝180°﹣∠CAD﹣∠1＝70°，∵a∥b，∴∠CBF＝∠CAE＝70°，∵∠CBF是△CBH的外角，∴∠CHB＝∠CBF﹣∠C＝40°，∴∠2＝180°﹣∠CHB＝140°．故选：B．5．（2022秋•道里区校级月考）有下列四种说法：（1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行（2）相等的两个角是对顶角（3）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离（4）垂直于同一条直线的两直线平行：其中正确的有（　　）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】利用平行线的判定与性质，平行公理，点到直线的距离的定义对各项进行分析即可．【解答】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故（1）正确；（2）相等的两个角不一定是对顶角，故（2）错误；（3）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，故说法（3）错误；（4）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故（4）错误；综上所述，正确的只有1个．故选：B．6．（2022秋•惠阳区校级月考）如图，AB∥EF，C点在EF上，∠EAC＝∠ECA，BC平分∠DCF，且AC⊥BC．则关于结论①AE∥CD；②∠BDC＝2∠1，下列判断正确的是（　　）A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确【分析】由平行线的性质得出∠ECA＝∠BAC，∠BCF＝∠B，证出∠1+∠BCD＝90°，∠ECA+∠BCF＝90°，由角平分线定义得出∠BCD＝∠BCF，得出∠1＝∠ECA，AC平分∠DCE，证出∠EAC＝∠1，得出AE∥CD，①正确；由∠1＝∠ECA＝∠BAC，∠BDC＝∠BAC+∠1，得出∠BDC＝2∠1，②正确；即可得出结论．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠ECA＝∠BAC，∠BCF＝∠B，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠1+∠BCD＝90°，∠ECA+∠BCF＝90°，∵BC平分∠DCF，∴∠BCD＝∠BCF，∴∠1＝∠ECA，∴AC平分∠DCE，∵∠EAC＝∠ECA，∴∠EAC＝∠1，∴AE∥CD，①正确；∵∠1＝∠ECA＝∠BAC，∠BDC＝∠BAC+∠1，∴∠BDC＝2∠1，②正确；故选：A．7．（2022春•章丘区期中）乐乐观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝115°，则∠E的度数是（　　）A．23° B．26° C．28° D．32°【分析】延长DC交AE于点F．先利用平行线的性质求出∠EFD，再利用三角形外角和内角的关系求出∠E．【解答】解：延长DC交AE于点F．∵AB∥CD，∠BAE＝92°，∴∠BAE＝∠EFD＝92°．∵∠DCE＝∠EFC+∠E，∠DCE＝115°，∠E＝∠DCE﹣∠EFC＝115°﹣92°＝23°．故选：A．8．（2022秋•临洮县校级月考）如图，直线CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（　　）A．15° B．25° C．30° D．45°【分析】根据平行线的性质以及外角和定理，可求出其值．【解答】解：∵CE∥DF，∴∠CEA+∠DFB＝180°，∵∠1+∠CEA＝125°，∠2+DFB＝85°，∴∠1+∠CEA+∠2+DFB＝125°+85°，∴∠1+∠2＝210°﹣180°＝30°．故选：C．9．（2022春•新罗区期中）如图，直线AB∥CD，点E、M分别为直线AB、CD上的点，点N为两平行线间的点，连接NE、NM，过点N作NG平分∠ENM，交直线CD于点G，过点N作NF⊥NG，交直线CD于点F，若∠BEN＝θ（90°＜θ＜180°），则∠NGD﹣∠MNF的角度等于（　　）A．90° B．270°﹣θ C．90°+θ D．2θ﹣270°【分析】过N点作NH∥AB，则AB∥NH∥CD，由平行线的性质得∠BEN+∠ENG+∠GNM+∠MNF+∠NFG＝360°，进而由NG平分∠ENM和∠BEN＝θ得∠GNM+∠GNM+∠MNF+∠NFG＝360°﹣θ，再由得∠GNM+∠NFG＝270°﹣θ，进而由外角定理得结果．【解答】解：过N点作NH∥AB，则AB∥NH∥CD，∴∠BEN+∠ENH＝∠HNF+∠NFG＝180°，∴∠BEN+∠ENH+∠HNF+∠NFG＝360°，∴∠BEN+∠ENG+∠GNM+∠MNF+∠NFG＝360°，∵∠BEN＝θ，∴∠ENG+∠GNM+∠MNF+∠NFG＝360°﹣θ，∵NG平分∠ENM，∴∠ENG＝∠GNM，∴∠GNM+∠GNM+∠MNF+∠NFG＝360°﹣θ，∵NF⊥NG，∴∠GNM+∠MNF＝∠GNF＝90°，∴∠GNM+90°+∠NFG＝360°﹣θ，∴∠GNM+∠NFG＝270°﹣θ，∵∠NGD＝∠GNM+∠MNF+∠NFG，∴∠NGD﹣∠MNF＝∠GNM+∠NFG＝270°﹣θ，故选：B．10．（2022春•仓山区校级期中）如图，直线MN∥PQ，点A在直线MN与PQ之间，点B在直线MN上，连接AB．∠ABM的平分线BC交PQ于点C，连接AC，过点A作AD⊥PQ交PQ于点D，作AF⊥AB交PQ于点F，AE平分∠DAF交PQ于点E，若∠CAE＝45°，∠ACB＝∠DAE，则∠ACD的度数是（　　）A．18° B．27° C．30° D．45°【分析】设∠DAE＝α，则∠EAF＝α，∠ACB＝α，先求得∠BCE+∠CEA＝180°，即可得到AE∥BC，进而得出∠ACB＝∠CAE，即可得到∠DAE＝18°，再依据Rt△ACD内角和即可得到∠ACD的度数．【解答】解：设∠DAE＝α，则∠EAF＝α，∠ACB＝α，∵AD⊥PQ，AF⊥AB，∴∠BAF＝∠ADE＝90°，∴∠BAE＝∠BAF+∠EAF＝90°+α，∠CEA＝∠ADE+∠DAE＝90°+α，∴∠BAE＝∠CEA，∵MN∥PQ，BC平分∠ABM，∴∠BCE＝∠CBM＝∠CBA，又∵∠ABC+∠BCE+∠CEA+∠BAE＝360°，∴∠BCE+∠CEA＝180°，∴AE∥BC，∴∠ACB＝∠CAE，即α＝45°，∴α＝18°，∴∠DAE＝18°，∴Rt△ACD中，∠ACD＝90°﹣∠CAD＝90°﹣（45°+18°）＝27°，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•德惠市期中）命题“如果a＝b，那么a3＝b3”是 　真　命题．（填“真”或“假”）【分析】根据有理数的乘方法则计算，判断即可．【解答】解：命题“如果a＝b，那么a3＝b3”是真命题，故答案为：真．12．（2022秋•浦东新区期中）将命题“两个全等三角形的周长相等”改写成“如果…那么…”的形式 　如果两个三角形全等，那么它们的周长相等　．【分析】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式，如果是条件，那么是结论．【解答】解：将命题“两个全等三角形的周长相等”改写成“如果…，那么…”的形式：如果两个三角形全等，那么它们的周长相等，故答案为：如果两个三角形全等，那么它们的周长相等．13．（2022秋•蓬安县期中）如图，AB∥CD，若∠A＝40°，∠C＝26°，则∠E＝　66°　．【分析】过E作EF∥AB，根据平行线的性质可得∠A＝∠1，∠C＝∠2，然后即可求得∠AEC的度数．【解答】解：过E作EF∥AB．则EF∥CD，∴∠A＝∠1，∠C＝∠2，∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠A+∠C＝66°．故答案为：66°．14．（2022春•高新区校级月考）如图，将直尺与三角尺叠放在一起，如果∠1＝28°，那么∠2的度数为 　62°　．【分析】先由两锐角互余求∠DAC度数，再由平行线的性质即可求解．【解答】解：如图，标注字母，由题意可得：∠BAC＝90°，∠DAC＝∠BAC﹣∠1＝62°，∵EF∥AD，∴∠2＝∠DAC＝62°，故答案为：62°．15．（2022秋•浠水县期中）将直角三角板如图所示放置，∠ABC＝60°，∠ACB＝90°，∠A＝30°，直线CE∥AB，BE平分∠ABC，在直线CE上确定一点D，满足∠BDC＝45°，则∠EBD＝　15°或105°　．【分析】分两种情况：D在C的左边；D在C的右边；根据平行线的性质和角平分线的定义即可求解．【解答】解：D在C的左边，如图1：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝30°，∵CE∥AB，∴∠ABD＝180°﹣∠BDC＝135°，∴∠EBD＝135°﹣30°＝105°；D在C的右边，如图2：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝30°，∵CE∥AB，∴∠ABD＝∠BDC＝45°，∴∠EBD＝45°﹣30°＝15°．故∠EBD＝15°或105°．故答案为：15°或105°．16．（2022春•长安区校级月考）将一副直角三角尺ABC和CDE按如图方式放置，其中直角顶点C重合，∠D＝45°，∠A＝30°．若DE∥BC，则∠1的度数为 　105°　．【分析】根据DE∥BC，得出∠E＝∠ECB＝45°，进而得出∠1＝∠ECB+∠B即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∵DE∥BC，∴∠E＝∠ECB＝45°，∴∠1＝∠ECB+∠B＝45°+60°＝105°，故答案为：105°．17．（2022秋•涪陵区校级期中）如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，∠B＝90°，AB＝BC，AC＝AD，在BC上取一点E，连接AE，DE．若∠DAC＝2∠BAE，现有下列五个结论：①∠DEC＝∠DAC；②∠BAE+∠ACD＝90°；③AE平分∠BED；④DE＝AB+BE；⑤S△ADC＝S△CED+S△ABE；其中正确的命题是 　①②③④　．【分析】①设∠BAE＝α，依次表示出∠DAC，∠ACD，∠DAE，∠DCE，从而计算得∠DAE+∠DCE＝180°，从而得出点A、E、C、D共圆，进一步得出结果；②计算可得出结果；③可推出∠AEB＝∠ADC，∠AED＝∠ACD，进一步得出结果；④作AF⊥DE，可推出DF＝AF＝AB，BE＝FE，进一步得出结果；⑤可推出△ADE的面积大于△ABC的面积，进而得出△AOD的面积大于△ABE与△COE的面积之和，进一步得出△ACD的面积大于△ABE与△CDE的面积之和．【解答】解：①设∠BAE＝α，则∠DAC＝2α，∵∠B＝90°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝45°﹣α，∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝2α+45﹣α＝α+45°，∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC＝＝＝90°﹣α，∴∠DCE＝∠ACD+∠ACB＝90°﹣α+45°＝135°﹣α，∴∠DAE+∠DCE＝180°，∴点A、E、C、D共圆，∴∠DEC＝∠DAC，故①正确；②由①得：∠ACD＝90°﹣α，∵∠BAE＝α，∴∠ACD+∠BAE＝90°，故②正确；③由①得：点A、E、C、D共圆，∴∠AED＝∠ACD，∠AEB＝∠ADC，∵∠ADC＝∠ACD，∴∠AED＝∠AEB，故③正确；④如图1，作AF⊥DE于F，由③得：AE平分∠BED，∵∠B＝90°，∴AB＝AF，∵点A、E、C、D共圆，∴∠ADE＝∠ACB＝45°，∴∠DAF＝90°﹣∠ADE＝45°，∴∠ADE＝∠DAF，∴DF＝AF，∵∠B＝∠AFE＝90°，∠AED＝∠AEB，∴∠BAE＝∠EAF，∴BE＝EF，∴DE＝DF+EF＝AB+BE，故④正确；⑤如上图，∵AD＝AC，AF＝AB，∠AFD＝∠B＝90°，∴Rt△ADF≌Rt△ACB（HL），∴S△ADF+S△AEF＞S△ACB，∴S△ADF+S△AEF﹣S△AOE＞S△ACB﹣S△AOE，∴S△AOD＞S△ABE+S△COE，∴S△AOD+S△COD＞S△ABE+S△COE+S△COD，∴S△ACD＞S△CDE+S△ABE，故⑤不正确，故答案为：①②③④．18．（2022春•玄武区校级期中）如图，AB∥CD，BE∥DF，∠B与∠D的平分线相交于点P，则∠P＝　90　°．【分析】过点P作PG∥AB，过点E作EH∥AB，过点F作FM∥AB，延长CD到点N，利用平行线的判定和性质，结合角平分线的定义解答即可．【解答】解：过点P作PG∥AB，过点E作EH∥AB，过点F作FM∥AB，延长CD到点N，如图：∵PG∥AB，AB∥CD，∴AB∥PG∥CD，∴∠1＝∠2，∠8＝∠9，∵∠ABE与∠CDF的平分线相交于点P，∴∠1＝∠ABE，∠9＝∠CDF，∴∠BPD＝∠2+∠8＝∠1+∠9＝（∠ABE+∠CDF），∵BE∥DF，∴∠3+∠4＝∠5+∠6，∵EH∥AB，FM∥AB，AB∥CD，延长CD到点N，∴AB∥EH∥FM∥CN，∴∠ABE＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠7，∴∠ABE＝∠7，∵∠7+∠CDF＝180°，∴∠ABE+∠CDF＝180°，∴∠BPD＝（∠ABE+∠CDF）＝×180°＝90°．故答案为：90．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022秋•道里区校级月考）完成下面推理过程，在括号内的横线上填空或填上推理依据．已知：AB∥CD，∠B+∠D＝180°，求证：BC∥ED．证明：∵AB∥CD（已知），∴∠B＝∠C（ 　两直线平行，内错角相等　）．∵∠B+∠D＝180°（ 　已知　），∴∠C+∠D＝180°（ 　等量代换　），∴BC∥DE（ 　同旁内角互补，两直线平行　）．【分析】由平行线的性质可得∠B＝∠C，从而可得∠C+∠D＝180°，即可判定BC∥DE．【解答】证明：∵AB∥CD（已知），∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等），∵∠B+∠D＝180°（已知），∴∠C+∠D＝180°（等量代换），∴BC∥DE（同旁内角互补，两直线平行），故答案为：两直线平行，内错角相等；已知；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．20．（2022春•南海区校级月考）如图，已知直线a，b与直线c，d相交，∠1＝∠2，∠3＝110°，求∠4的度数．【分析】根据“同位角相等，两直线平行”这一定理，可知a∥b，再根据“两直线平行，同位角相等”即可解答．【解答】解：如图，∵∠1＝∠2，∴a∥b，∴∠5＝∠3＝110°，∴∠4＝180°﹣110°＝70°，．21．（2022春•重庆月考）如图，AF分别与BD、CE交于点G、H，∠1＝55°，∠2＝125°．若∠A＝∠F，求证：∠C＝∠D．【分析】根据平行线的判定与性质进行推理论证即可．【解答】证明：因为∠2+∠AHC＝180°，∠2＝125°，所以∠AHC＝180°﹣∠2＝180°﹣125°＝55°，因为∠1＝55°，所以∠1＝∠AHC，所以BD∥CE（同位角相等，两直线平行），所以∠ABD＝∠C（两直线平行，同位角相等），因为∠A＝∠F（已知），所以AC∥DF（内错角相等，两直线平行），所以∠ABD＝∠D（两直线平行，内错角相等），所以∠C＝∠D（等量代换）．22．（2022春•云阳县校级月考）如图，已知平面内有两条直线AB、CD，且AB∥CD，P为一动点．（1）当点P移动到AB、CD之间时，如图（1），此时∠APC与∠A、∠C有怎样的关系？请说明理由．（2）当点P移动到如图（2）的位置时，∠APC与∠A、∠C又有怎样的关系？请说明理由．【分析】（1）延长AP后通过外角定理可得出结论；（2）延长BA到E，延长DC到F，利用内角和定理解答．【解答】解：（1）∠APC＝∠A+∠C，理由如下：如图（1）延长AP交CD与点E．∵AB∥CD，∴∠A＝∠AEC．又∵∠APC是△PCE的外角，∴∠APC＝∠C+∠AEC．∴∠APC＝∠A+∠C；（2）∠APC＝360°﹣（∠A+∠C），理由如下：如图（2）延长BA到E，延长DC到F，由（1）得∠APC＝∠PAE+∠PCF．∵∠PAE＝180°﹣∠PAB，∠PCF＝180°﹣∠PCD，∴∠APC＝360°﹣（∠PAB+∠PCD）．23．（2022春•江岸区校级月考）如图，AB∥CD，点M、N分别在直线AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，∠MON＝90°．（1）求∠1+∠2的值；（2）如图2，直线EF交∠BMO、∠CNO的角平分线分别于点F、E，求∠NEF﹣∠MFE的值；（3）如图3，∠AMP＝n∠OMP，∠DNQ＝n∠ONQ，若∠P﹣∠Q＝t°，则n＝　　（用t表示）．【分析】（1）过点O作OE∥AB，易得AB∥OE∥CD，利用平行线的性质即可解答；（2）过点E作EP∥CD，过点F作FQ∥AB，所以EP∥FQ∥AB∥CD，再利用（1）中的结论以及角平分线的定义即可解答；（3）过点P作PS∥AB，过点Q作 QT∥AB，由（1）可知：∠BMO+∠DNO＝∠MON＝90°，又因为∠MPQ﹣∠NQP＝（∠MPS+∠QPS）﹣（∠NQT+∠PQT）＝t°，所以∠MPS﹣∠NQT＝t°，即∠AMP﹣∠DNQ＝t°，因为∠AMP＝n∠OMP，∠AMP+∠OMP+∠BMO＝180°，可得∠AMP＝（180°﹣∠BMO），等量代换即可解答．【解答】解：（1）过点O作OE∥AB，如图：∵AB∥CD，∴OE∥AB∥CD，∴∠EON＝∠1，∠EOM＝∠2，∴∠1+∠2＝∠EON+∠EOM＝∠MON＝90°；（2）过点E作EP∥CD，过点F作FQ∥AB，如图：∵AB∥CD，∴EP∥FQ∥AB∥CD，∵MF平分∠OMB，∴设∠BMF＝∠OMF＝α，∵EN平分∠ONC，∴设∠CNE＝∠ONE＝β，∠OND＝180°﹣2β，由（1）得：∠DNO+∠BMO＝90°，∴180°﹣2β+2α＝90°，∴β﹣α＝45°，又∵∠NEP＝∠CNE＝β，∠MFQ＝∠BMF＝α，∠PEF＝∠QFE，∴∠NEF﹣∠MFE＝（∠NEP+∠PEF）﹣（∠MFQ+∠QFE）＝∠CNE﹣∠BMF＝β﹣α＝45°；（3）过点P作PS∥AB，过点Q作QT∥AB，如图：∵PS∥AB，∴∠SPM＝∠AMP，∵QT∥AB，∴QT∥PS，∴∠TQP＝∠QPS，∵AB∥CD，∴QT∥CD，∴∠DNQ＝∠NQT，由（1）可知：∠BMO+∠DNO＝∠MON＝90°，又∵∠MPQ﹣∠NQP＝（∠MPS+∠QPS）﹣（∠NQT+∠PQT）＝t°，∴∠MPS﹣∠NQT＝t°，∴∠AMP﹣∠DNQ＝t°，∵∠AMP＝n∠OMP，∠AMP+∠OMP+∠BMO＝180°，∴∠AMP＝（180°﹣∠BMO），∵∠DNQ＝n∠ONQ，∠DNQ+∠ONQ＝∠DNO，∴∠DNQ＝∠DNO，∴（180°﹣∠BMO）﹣∠DNO＝t°，∴﹣（∠BMO+∠DNO）＝﹣＝t°，∴n＝．故答案为：．24．（2022春•重庆月考）综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．（1）如图1，EF∥MN，点A，B分别为直线EF，MN上的一点，点P为平行线间一点且∠PAF＝130°，∠PBN＝120°，求∠APB度数；问题迁移（2）如图2，射线OM与射线ON交于点O，直线m∥n，直线m分别交OM，ON于点A，D，直线n分别交OM，ON于点B，C，点P在射线OM上运动．①当点P在A，B（不与A，B重合）两点之间运动时，设∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．则∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？请说明理由；②若点P不在线段AB上运动时（点P与点A，B，O三点都不重合），请你直接写出∠CPD，∠α，∠β间的数量关系．【分析】（1）过P作PT∥EF，由PT∥EF∥MN，得∠PAF+∠APT＝180°，∠TPB+∠PBN＝180°，即得∠PAF+∠PBN+∠APB＝360°，把∠PAF＝130°，∠PBN＝120°代入即可求出∠APB度数；（2）①过P作PE∥AD交CD于E，由AD∥PE∥BC，得∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，故∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；②分两种情况：当P在BA延长线时，此时∠CPD＝∠β﹣∠α；当P在BO之间时，此时∠CPD＝∠α﹣∠β．【解答】解：（1）∠PAF+∠PBN+∠APB＝360°，理由如下：过P作PT∥EF，如图：∵EF∥MN，∴PT∥EF∥MN，∴∠PAF+∠APT＝180°，∠TPB+∠PBN＝180°，∴∠PAF+∠APT+∠TPB+∠PBN＝360°，即∠PAF+∠PBN+∠APB＝360°，∵∠PAF＝130°，∠PBN＝120°，∴∠APB＝360°﹣∠PAF﹣∠PBN＝360°﹣130°﹣120°＝110°；（2）①∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：过P作PE∥AD交CD于E，如图：∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；②当P在BA延长线时，如图：此时∠CPD＝∠β﹣∠α；当P在BO之间时，如图：此时∠CPD＝∠α﹣∠β．