人教版七年级数学下册尖子生培优练习 专题5.2平行线的判定专项提升训练（重难点培优）（原卷版+解析）

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专题5.2平行线的判定专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022春•沙依巴克区校级期末）下列说法中，正确的是（　　）A．有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等2．（2022春•海阳市期末）如图是小明学习“探索直线平行的条件”时用到的学具，经测量∠2＝105°，要使木条a与b平行，则∠1的度数应为（　　）A．45° B．75° C．105° D．135°3．（2022春•陆河县期末）如图，∠1＝∠2，则下列结论正确的是（　　）A．∠3＝∠4 B．AD∥BC C．AB＝CD D．AB∥CD4．（2022春•湖里区期末）下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是（　　）A． B． C． D．5．（2022春•普兰店区期末）如图，现给出下列条件：①∠1＝∠B，②∠2＝∠5，③∠3＝∠4，④∠BCD+∠D＝180°．其中能够得到AB∥CD的条件有（　　）A．①② B．①③ C．①④ D．②④6．（2022春•宾阳县期中）如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠8＝180°．其中能判断a∥b的条件是（　　）A．①③ B．②④ C．①②③④ D．①③④7．（2022春•江汉区校级月考）如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（　　）A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等，两直线平行8．（2022春•白碱滩区期末）如图，∠C+∠D＝180°，∠DAE＝3∠EBF，∠EBF＝27°，点G是AB上的一点，若∠AGF＝102°，∠BAF＝34°，下列结论错误的是（　　）A．∠AFB＝81° B．∠E＝54° C．AD∥BC D．BE∥FG9．（2022春•武昌区期中）如图，已知∠F+∠FGD＝80°（其中∠F＞∠FGD），添加一个以下条件：①∠FEB+2∠FGD＝80°；②∠F+∠FGC＝180°；③∠F+∠FEA＝180°；④∠FGC﹣∠F＝100°．能证明AB∥CD的个数是（　　）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上10．（2023秋•中牟县期末）如图，直线a，b被直线c所截，∠1＝115°，∠2＝65°．∵∠1+∠2＝115°+65°＝180°，∴a∥b（ 　 　）．11．（2022春•灵台县期末）一副三角尺按如图所示的方式摆放，则DE∥BC，理由是 　 　．12．（2022春•清镇市期中）在同一平面内有三条直线l1、l2、l3，若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1与13的位置关系是 　 　．13．（2022•南京模拟）如图，四边形ABCD，点E在BC的延长线上，依据“内错角相等，两直线平行”来判断AD∥BC，可选择的一组内错角是 　 　．（填一种答案即可）14．（2022春•萧山区期中）如图，下列条件中能推出a∥b的有 　 　．①∠3＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2+∠5＝180°，④∠1+∠4＝180°．15．（2022春•丽水期末）如图，平面反光镜AC斜放在地面AB上，一束光线从地面上的P点射出，DE是反射光线．已知∠APD＝120°，若要使反射光线DE∥AB，则∠CAB应调节为 　 　度．16．（2022春•江汉区期中）如图，将一副三角板的两直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠D＝45°，若绕顶点C转动三角板DCE，当∠BCD为 　 　度时，DE∥AB．17．（2023春•抚顺期末）将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30′；②∠1+∠2＝90°；③∠2＝2∠1；④∠ACB＝∠1+∠3；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有 　 　．（填序号）18．（2022春•吴江区期末）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为 　 　时，CD与AB平行．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022春•重庆月考）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．请填空．证明：∵AF⊥CE（已知）∴∠AOE＝90°（ 　 　）又∵∠1＝∠B（ 　 　）∴　 　（ 　 　）∴∠AFB＝∠AOE（ 　 　）∴∠AFB＝90°（ 　 　）又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝　 　（平角的定义）∴∠AFC+∠2＝（ 　 　）°又∵∠A+∠2＝90°（已知）∴∠A＝∠AFC（ 　 　）∴　 　（内错角相等，两直线平行）20．（2022春•观山湖区期中）如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．求证：AB∥CD．21．（2022春•清镇市期中）如图所示，已知：∠A＝114°，∠C＝135°，∠1＝66°，∠2＝45°．求证：AD∥CF．22．（2022春•绥江县期中）如图，已知∠1＝∠2，CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线．求证：BC∥DE．23．（2022春•新城区校级期中）如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，已知∠1+∠2＝90°，且∠2：∠3＝2：5．（1）求∠BOF的度数；（2）试说明AB∥CD的理由．24．（2022春•宁安市期末）三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当0˚＜∠ACE＜90˚，且点E在直线AC的上方时，解决下列问题：（友情提示∠A＝60˚，∠D＝30˚，∠B＝∠E＝45˚）．（1）①若∠DCE＝40˚，则∠ACB的度数为 　 　；②若∠ACB＝135˚，则∠DCE的度数为 　 　；（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，请说明理由；（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行的情况？若存在，请直接写出∠ACE的度数的所有可能的值；若不存在，请说明理由．专题5.2平行线的判定专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2022春•沙依巴克区校级期末）下列说法中，正确的是（　　）A．有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角 B．不相交的两条直线叫做平行线 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等【分析】根据邻补角、平行线的概念、垂直的性质、同位角的概念解答即可．【解答】解：A、只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，原说法错误，故本选项不符合题意；B、在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，原说法错误，故本选项不符合题意；C、在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确，故本选项符合题意；D、两直线平行，同位角相等，原说法错误，故本选项不符合题意．故选：C．2．（2022春•海阳市期末）如图是小明学习“探索直线平行的条件”时用到的学具，经测量∠2＝105°，要使木条a与b平行，则∠1的度数应为（　　）A．45° B．75° C．105° D．135°【分析】先求出∠2的对顶角的度数，再根据同旁内角互补，两直线平行解答．【解答】解：如图，∵∠2＝105°，∴∠3＝∠2＝105°，∴要使b与a平行，则∠1+∠3＝180°，∴∠1＝180°﹣105°＝75°．故选：B．3．（2022春•陆河县期末）如图，∠1＝∠2，则下列结论正确的是（　　）A．∠3＝∠4 B．AD∥BC C．AB＝CD D．AB∥CD【分析】直接根据平行线的判定定理即可得出结论．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD．故选：D．4．（2022春•湖里区期末）下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是（　　）A． B． C． D．【分析】根据平行线的判定定理求解即可．【解答】解：A、∠1和∠2是同旁内角，∠1＝∠2不能判定AB∥CD，故A不符合题意；B、由∠1＝∠2可得到AD∥BC，不能推出AB∥CD，故B不符合题意；C、∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，故C符合题意；D、由∠1＝∠2，不能推出AB∥CD，故D不符合题意．故选：C．5．（2022春•普兰店区期末）如图，现给出下列条件：①∠1＝∠B，②∠2＝∠5，③∠3＝∠4，④∠BCD+∠D＝180°．其中能够得到AB∥CD的条件有（　　）A．①② B．①③ C．①④ D．②④【分析】根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．【解答】解：①∵∠1＝∠B，∴AB∥CD，故本小题正确；②∵∠2＝∠5，∴AB∥CD，故本小题正确；③∵∠3＝∠4，∴AD∥BC，故本小题错误；④∵∠D+∠BCD＝180°，∴AD∥CB，故本小题错误．所以正确的有①②．故选：A．6．（2022春•宾阳县期中）如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠8＝180°．其中能判断a∥b的条件是（　　）A．①③ B．②④ C．①②③④ D．①③④【分析】利用平行线的判定定理来判断即可．【解答】解：∠1＝∠2，同位角相等两直线平行，①正确；∠3＝∠6，内错角相等两直线平行，②正确；∠4＝∠6，∠4+∠7＝180°，同旁内角互补两直线平行，③正确；∠5+∠8＝180°，它们对顶角是∠3，∠2是同旁内角，同上，④正确．故选：C．7．（2022春•江汉区校级月考）如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（　　）A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．对顶角相等，两直线平行【分析】根据两角的位置，结合平行线的判定方法，即可得出结论．【解答】解：如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等，两直线平行．故选：A．8．（2022春•白碱滩区期末）如图，∠C+∠D＝180°，∠DAE＝3∠EBF，∠EBF＝27°，点G是AB上的一点，若∠AGF＝102°，∠BAF＝34°，下列结论错误的是（　　）A．∠AFB＝81° B．∠E＝54° C．AD∥BC D．BE∥FG【分析】根据题目中的条件和平行线的判定方法，可以推出各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．【解答】解：∵∠C+∠D＝180°，∴AD∥BC，故选项C正确，不符合题意；∴∠DAE＝∠CFE，∵∠CFE＝∠EBF+∠BEF，∠DAE＝3∠EBF，∠EBF＝27°，∴∠CFE＝3∠EBF＝81°，∠BEF＝54°，故选项B正确，不符合题意；∴∠AFB＝∠CFE＝81°，故选项A正确，不符合题意；∵∠AGF＝102°，∠BAF＝34°，∴∠AFG＝44°，∵∠E＝54°，∴∠AFG≠∠E，∴BE和FG不平行，故选项D错误，符合题意；故选：D．9．（2022春•武昌区期中）如图，已知∠F+∠FGD＝80°（其中∠F＞∠FGD），添加一个以下条件：①∠FEB+2∠FGD＝80°；②∠F+∠FGC＝180°；③∠F+∠FEA＝180°；④∠FGC﹣∠F＝100°．能证明AB∥CD的个数是（　　）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】过点F作CD的平行线FH，结合条件①可证AB∥CD；条件②得到EF∥CD；条件③得到AF∥FG；条件④的结果得到恒等式．【解答】解：①过点F作FH∥CD，则：∠HFG＝∠FGD，∵∠EFG＝∠EFH+∠HFG，∠EFG+∠FGD＝80°，∴∠EFH+2∠FGD＝80°，∵∠FEB+2∠FGD＝80°，∴∠EFH＝∠FEB，∴AB∥FH，∴AB∥CD，故①符合题意；②∵∠F+∠FGC＝180°，∴CD∥FE，故②不符合题意；∵∠EFG+∠FEA＝180°，∴AB∥FG，故③不符合题意；④∵∠FGC﹣∠EFG＝100°，∠EFG+∠FGD＝80°，∴∠FGC﹣∠EFG+∠EFG+∠FGD＝100°+80°，∴∠FGC+∠FGD＝180°，故④不符合题意．故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上10．（2023秋•中牟县期末）如图，直线a，b被直线c所截，∠1＝115°，∠2＝65°．∵∠1+∠2＝115°+65°＝180°，∴a∥b（ 　同旁内角互补，两直线平行　）．【分析】根据同旁内角互补，两直线平行即可求解．【解答】解：∵∠1+∠2＝115°+65°＝180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：同旁内角互补，两直线平行．11．（2022春•灵台县期末）一副三角尺按如图所示的方式摆放，则DE∥BC，理由是 　内错角相等，两直线平行　．【分析】根据内错角相等，两直线平行即可求解．【解答】解：∵∠ACB＝∠DEF＝90°，∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．故答案为：内错角相等，两直线平行．12．（2022春•清镇市期中）在同一平面内有三条直线l1、l2、l3，若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1与13的位置关系是 　平行　．【分析】根据在同一平面内，两条直线都与同一条直线垂直，则这两直线平行作答．【解答】解：∵在同一平面内，l1⊥l2，l2⊥l3，∴l1∥l3，即l1与l3的位置关系是平行，故答案为：平行．13．（2022•南京模拟）如图，四边形ABCD，点E在BC的延长线上，依据“内错角相等，两直线平行”来判断AD∥BC，可选择的一组内错角是 　∠3＝∠4　．（填一种答案即可）【分析】先确定AD，BC被哪条直线所截，再确定内错角即可．【解答】解：∵∠3＝∠4，∴AD∥BC，或∵∠D＝∠5，∴AD∥BC，故答案为：∠3＝∠4或∠D＝∠5（任写一组即可）．14．（2022春•萧山区期中）如图，下列条件中能推出a∥b的有 　①②③　．①∠3＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2+∠5＝180°，④∠1+∠4＝180°．【分析】根据平行线的判定定理求解即可．【解答】解：∵∠3＝∠5，∴a∥b，故①符合题意；∵∠1＝∠7，∠7＝∠5，∴∠1＝∠5，∴a∥b，故②符合题意；∵∠2+∠5＝180°，∠2+∠1＝180°，∴∠1＝∠5，∴a∥b，故③符合题意；由∠1+∠4＝180°，不能推出a∥b，故④不符合题意；故答案为：①②③．15．（2022春•丽水期末）如图，平面反光镜AC斜放在地面AB上，一束光线从地面上的P点射出，DE是反射光线．已知∠APD＝120°，若要使反射光线DE∥AB，则∠CAB应调节为 　30　度．【分析】利用平行线的性质和光的反射原理可解此题．【解答】解：要使反射光线DE∥AB，则∠APD＝∠PDE，∵∠APD＝120°，∴∠PDE＝120°，∵∠ADP＝∠CDE，∠ADP+∠PDE+∠CDE＝180°，∴∠ADP＝∠CDE＝30°，∴∠CAB＝180°﹣∠APD﹣∠ADP＝30°，故答案为：30．16．（2022春•江汉区期中）如图，将一副三角板的两直角顶点C叠放在一起，其中∠A＝30°，∠D＝45°，若绕顶点C转动三角板DCE，当∠BCD为 　105或75　度时，DE∥AB．【分析】根据平行线的判定定理，分两种情况画出图形即可求解．【解答】解：如图，当DE∥AB时，延长BC交DE于M，∴∠B＝∠DMC＝60°，∵∠DMC＝∠E+∠MCE，∴∠ECM＝15°，∴∠BCE＝165°，当D′E′∥AB时，∠E′CB＝∠ECM＝15°．∴当∠BCD为105或75度时，DE∥AB．故答案为：105或75．17．（2023春•抚顺期末）将一块三角板ABC（∠BAC＝90°，∠ABC＝30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1＝25.5°，∠2＝55°30′；②∠1+∠2＝90°；③∠2＝2∠1；④∠ACB＝∠1+∠3；⑤∠ABC＝∠2﹣∠1．能判断直线m∥n的有 　①④⑤　．（填序号）【分析】根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，可以判断是否可以得到m∥n，从而可以解答本题．【解答】解：∵∠1＝25.5°，∠2＝55°30′，∠ABC＝30°，∴∠ABC+∠1＝55.5°＝55°30′＝∠2，∴m∥n，故①符合题意；∵∠1+∠2＝90°，∠ABC＝30°，∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，∴m和n不一定平行，故②不符合题意；∵∠2＝2∠1，∠ABC＝30°，∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，∴m和n不一定平行，故③不符合题意；过点C作CE∥m，∴∠3＝∠4，∵∠ACB＝∠1+∠3，∠ACB＝∠4+∠5，∴∠1＝∠5，∴EC∥n，∴m∥n，故④符合题意；∵∠ABC＝∠2﹣∠1，∴∠2＝∠ABC+∠1，∴m∥n，故⑤符合题意；故答案为：①④⑤．18．（2022春•吴江区期末）如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为 　2秒或38秒　时，CD与AB平行．【分析】分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．【解答】解：分三种情况：如图①，AB与CD在EF的两侧时，∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°，要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAF，即120°﹣（6t）°＝110°﹣t°，解得t＝2；此时（180°﹣60°）÷6＝20，∴0＜t＜20；②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，∴∠DCF＝360°﹣（6t）°﹣60°＝300°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°，要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，即300°﹣（6t）°＝110°﹣t°，解得t＝38，此时（360°﹣60°）÷6＝50，∴20＜t＜50；③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，∴∠DCF＝（6t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（6t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣110°，要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，即（6t）°﹣300°＝t°﹣110°，解得t＝38，此时t＞50，∵38＜50，∴此情况不存在．综上所述，当时间t的值为2秒或38秒时，CD与AB平行．故答案为：2秒或38秒．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022春•重庆月考）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．请填空．证明：∵AF⊥CE（已知）∴∠AOE＝90°（ 　垂直的定义　）又∵∠1＝∠B（ 　已知　）∴　CE∥BF　（ 　同位角相等，两直线平行　）∴∠AFB＝∠AOE（ 　两直线平行，同位角相等　）∴∠AFB＝90°（ 　等量代换　）又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝　180°　（平角的定义）∴∠AFC+∠2＝（ 　90　）°又∵∠A+∠2＝90°（已知）∴∠A＝∠AFC（ 　同角的余角相等　）∴　AB∥CD　（内错角相等，两直线平行）【分析】先证CE∥BF得∠AOE＝∠AFB，由AF⊥CE得∠AOE＝∠AFB＝90°，利用平角定义得出∠AFC+∠2＝90°，结合∠A+∠2＝90°可以得出∠AFC＝∠A，从而得证．【解答】证明：∵AF⊥CE（已知），∴∠AOE＝90°（垂直的定义）．又∵∠1＝∠B（已知），∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），∴∠AFB＝∠AOE（两直线平行，同位角相等），∴∠AFB＝90°（等量代换）．又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义），∴∠AFC+∠2＝（90）°．又∵∠A+∠2＝90°（已知），∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故答案为：垂直的定义；已知；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；90；同角的余角相等；AB∥CD．20．（2022春•观山湖区期中）如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．求证：AB∥CD．【分析】根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠CAE，求出∠BAE＝∠CEA，再根据平行线的判定定理得出即可．【解答】证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠CAE＝∠CEA，∴∠BAE＝∠CEA，∴AB∥CD．21．（2022春•清镇市期中）如图所示，已知：∠A＝114°，∠C＝135°，∠1＝66°，∠2＝45°．求证：AD∥CF．【分析】根据同旁内角互补，两直线平行．以及两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行即可求解．【解答】证明：∵∠A＝114°，∠C＝135°，∠1＝66°，∠2＝45°，∴∠A+∠1＝114°+66°＝180°，∠C+∠2＝135°+45°＝180°，∴AD∥BE，CD∥BE，∴AD∥CF．22．（2022春•绥江县期中）如图，已知∠1＝∠2，CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线．求证：BC∥DE．【分析】由平行线的判定得CD∥EF，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠AED＝∠ACB，进而可判定BC∥DE．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴EF∥CD，∴∠3＝∠4，∵CD、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线，∴∠ACB＝2∠3，∠AED＝2∠4，∴∠AED＝∠ACB，∴BC∥DE．23．（2022春•新城区校级期中）如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，已知∠1+∠2＝90°，且∠2：∠3＝2：5．（1）求∠BOF的度数；（2）试说明AB∥CD的理由．【分析】（1）根据角平分线的定义推出∠2+∠AOC＝90°，再根据对顶角性质求解即可；（2）结合等量代换得出∠1＝∠AOC，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解．【解答】解：（1）∵OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，∴∠AOE＝∠AOC＝∠COE，∠2＝∠BOE＝∠DOE，∵∠COE+∠DOE＝180°，∴∠2+∠AOC＝90°，∵∠COE＝∠3，∴∠AOC＝∠3，∴∠2+∠3＝90°，∵∠2：∠3＝2：5，∴∠3＝∠2，∴∠2+×∠2＝90°，∴∠2＝40°，∴∠3＝100°，∴∠BOF＝∠2+∠3＝140°；（2）∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠AOC＝90°，∴∠1＝∠AOC，∴AB∥CD．24．（2022春•宁安市期末）三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当0˚＜∠ACE＜90˚，且点E在直线AC的上方时，解决下列问题：（友情提示∠A＝60˚，∠D＝30˚，∠B＝∠E＝45˚）．（1）①若∠DCE＝40˚，则∠ACB的度数为 　140°　；②若∠ACB＝135˚，则∠DCE的度数为 　45°　；（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，请说明理由；（3）这两块三角板是否存在一组边互相平行的情况？若存在，请直接写出∠ACE的度数的所有可能的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①根据∠DCE＝40°，∠ACD＝∠BCE＝90°，结合图形计算即可；②根据∠ACB＝135°，∠ACD＝∠BCE＝90°，结合图形计算即可；（2）仿照（1）中的算法即可得到∠ACB与∠DCE的数量关系；（3）依据0°＜∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方，利用平行线的判定定理，分两种情况讨论即可．【解答】解：（1）①∵∠ACD＝90°，∠DCE＝40°，∴∠ACE＝50°，∴∠ACB＝∠BCE+∠ACE＝90°+50°＝140°，故答案为：140°；②∵∠ACB＝135°，∠ACD＝∠ECB＝90°，∴∠ACE＝135°﹣90°＝45°，∴∠DCE＝∠DCA﹣∠ACE＝90°﹣45°＝45°，故答案为：45°；（2）∠ACB与∠DCE互补，理由如下：∵∠ACD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠DCE，又∵∠BCE＝90°，∴∠ACB＝90°+90°﹣∠DCE，∴∠ACB+∠DCE＝90°+90°﹣∠DCE+∠DCE＝180°，即∠ACB与∠DCE互补；（3）存在一组边互相平行，当∠ACE＝45°时，∠ACE＝∠E＝45°，此时AC∥BE；当∠ACE＝30°时，∠ACB＝120°，此时∠A+∠ACB＝180°，故AD∥BC．