人教版七年级数学下册尖子生培优练习 专题5.9平行线的性质与判定大题专项提升训练（拔高篇，重难点培优30题）（原卷版+解析）

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专题5.9平行线的性质与判定大题专项提升训练（拔高篇，重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________一、解答题（本大题共30小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．（2022·江苏·开明中学七年级期中）已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F．(1)求证：DE∥AC；(2)若∠DEF＝40°，∠B＝35°，求∠BAC的度数．2．（2022·吉林市亚桥中学七年级期末）如图所示，已知AD⊥BC于点D，FE⊥BC于点E，交AB于点G，交CA的延长线于点F，且∠1=∠F.问：AD平分∠BAC吗？并说明理由．3．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADF+∠AFD=90°，点E、F分别在DC、AB上，且BE、DF分别平分∠ABC、∠ ADC，判断BE、DF是否平行，并说明理由．4．（2022·辽宁·鞍山市第二中学七年级阶段练习）如图，已知点E，F为四边形ABDC的边CA的延长线上的两点，连接DE，BF，作∠BDH的平分线DP交AB的延长线于点P．若∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠C．(1)判断DE与BF是否平行？并说明理由；(2)试说明：∠C＝2∠P．5．（2022·广东·东莞市石龙第二中学七年级期中）如图，点B，C在线段AD的异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，已知∠1=∠2，∠3=∠C．(1)求证：AB∥CD；(2)若∠2+∠4=180°，求证：∠BFC+∠C=180°；(3)在（2）的条件下，若∠BFC−30°=2∠1，求∠B的度数．6．（2022·河南·信阳文华寄宿学校七年级期末）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．(1)求证：∠AOE=∠ODG；(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．7．（2022·贵州·兴仁市真武山街道办事处黔龙学校七年级阶段练习）如图，CE平分∠BCF，∠DAC=120°，∠ACF=∠FEC=∠ECB=20°．(1)求证：AD∥EF；(2)若∠AEC=70°，求∠CAE的度数．8．（2022·辽宁·丹东市第六中学七年级期末）如图，AE，CE分别平分∠BAC和∠ACD，∠1和∠2互余．(1)请判断AB与CD之间的位置关系，并说明理由．(2)请写出∠E与∠EAB、∠DCE之间的关系，并说明理由．9．（2022·浙江温州·七年级阶段练习）如图，已知BC平分∠ABD交AD于点E，∠1＝∠3．(1)证明：AB∥CD；(2)若AD⊥BD于点D，∠CDA＝38°，求∠3的度数．10．（2023·广东·东莞市松山湖实验中学七年级期中）如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2，∠D=3∠3，∠CBD=80∘．(1)求证：AB∥CD；(2)求∠3的度数．11．（2022·浙江杭州·七年级期中）将一副三角板中的两块直角三角尺顶点C按照如图①方式叠放在一起（其中∠ABC=∠CDE=90°，∠ACB=60°，∠A=30°，∠E=∠ECD=45°）设∠ACE=α．(1)若α=30°，说明AB∥CE；(2)将三角形CDE绕点C顺时针转动，若DE∥BC，求α的度数．12．（2022·江苏·泰兴市济川初级中学七年级阶段练习）如图，在△ABC中，BE是△ABC角平分线，点D是AB上的一点，且满足∠DEB＝∠DBE．(1)DE与BC平行吗？请说明理由；(2)若∠C＝50°，∠A＝45°，求∠DEB的度数．13．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图，直线BC∥OA，∠C=∠OAB=108°，E，F在线段BC上（不与点B，C重合），且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF．(1)求证：OC∥AB；(2)求∠EOB的度数．14．（2023·广东·江门市第二中学七年级期中）已知，AB∥CD．(1)如图1，求证：∠A﹣∠C＝∠E；(2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，∠F=105°，求∠A的度数．15．（2022·河南平顶山·七年级期末）如图，△ABC中，点E、F、D、G分别是边AB、BC、AC上的点，已知∠1＝∠2，∠4+∠ADB＝180°．请判断AB和DG的位置关系，并说明理由．16．（2022·河北·邯郸市丛台区弘文中学七年级期中）如图是一个“鱼”形图案，点B，C分别在∠A的两边上．已知∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°．(1)找出图中的平行线，并说明理由；(2)求∠A的度数．17．（2022·浙江·杭州市建兰中学七年级期中）如图，已知C为两条相互平行的直线AB，ED之间一点，∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F．(1)当∠FDC+∠ABC=180°时：①判断直线AD与BC的关系，并说明理由．②若∠ABC=130°求∠DFB的度数．(2)当∠C=α时，直接写出∠DFB的度数（用含α的代数式表示）．18．（2022·浙江杭州·七年级期末）如图，直线MN分别与直线AB和CD交于点E，F，且满足∠1+∠2=180°．(1)试判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由．(2)作∠AEF的平分线EG交CD于点G，过点G作GH⊥EG交MN于点H．若∠DGH=40°，求∠1的度数．19．（2022·湖北·宜昌市第九中学七年级期中）如图，∠1=∠2，∠D=∠CMG．(1)求证：AD∥NG；(2)若∠A+∠DHG=180°，试探索：∠ANB，∠NBG，∠1的数量关系；(3)在（2）的条件下，若∠ANB:∠BNG=2:1，∠1=100°，∠NBG=130°，求∠A的度数．20．（2022·陕西·潼关县教育局教学研究室七年级期中）如图，已知点B、C在线段AD的异侧，连接AB、CD，点E、F分别是线段AB、CD上的点，连接CE、BF，分别与AD交于点G，H，且∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC．(1)求证：AB∥CD；(2)若∠AGE+∠AHF=180°，求证：∠B=∠C；(3)在（2）的条件下，若∠BFC=117∠C，求∠AHB的度数．21．（2022·陕西·潼关县教育局教学研究室七年级阶段练习）如图，点E在AB上，点F在CD上，CE、BF分别交AD于点G、H，已知∠A=∠AGE，∠D=∠DGC．(1)AB与CD平行吗？请说明理由；(2)若∠2+∠1=180°，且∠BEC=2∠B+30°，求∠C的度数．22．（2023·辽宁·沈阳市第一二六中学七年级阶段练习）如图，∠1+∠2=180°，∠B=∠3，求证：AB∥DF．23．（2022·广东·东莞市光明中学七年级期中）阅读下面内容，并解答问题．已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．(1)求证：EG⊥FG；(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 　　题．①在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF的度数为 　　．②如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为 　　．24．（2022·陕西汉中·七年级期末）解答下列问题(1)（问题情景）如图1，若AB∥CD，∠AEP=40°，∠PFD=130°．过点P作PM∥AB，求∠EPF的度数；(2)（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，点E，F分别在AB，CD上，连接PE，PF，过P点作PN∥AB，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；(3)（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF=α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，过点G作GH∥AB，用含有α的式子表示∠EGF的度数．25．（2022·陕西汉中·七年级期末）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2=180°．(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；(2)如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，过点P作PQ∥AB，则PF与GH平行吗？为什么？26．（2023·四川资阳·七年级期末）已知，O是直线上一点，∠AOC=2∠BOC，将一直角三角板DOE绕点O旋转，其中∠DOE=90°，∠D=45°．(1)如图1，若OC平分∠BOE，求∠BOD的度数；(2)如图2，若DE∥OC，求∠BOE的度数．27．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级阶段练习）如图，直线MN与直线AB,CD分别交于点E,F，∠1与∠2互补．(1)如图1，求证AB∥CD；(2)如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP的延长线与CD交于点G，点H是MN上一点，且PF∥GH，求证：GH⊥EG；(3)如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点，使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，交MN于点Q，∠QPF:∠HPK=3:2，求∠HPF的度数．28．（2022·四川·天池中学七年级阶段练习）问题情境：在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．探索发现：“快乐小组”经过探索后发现：(1)当∠A=60∘时，求证：∠CBD=∠A．(2)不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A却始终存在某种数量关系，当∠A=40∘则∠CBD=_______度，当∠A=x∘时，则∠CBD=_______度，（用含x的代数式表示）操作探究：(3)“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．29．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）如图，已知：射线AF交CD于E，∠CEF+∠BAF=180°．(1)求证：AB∥CD．(2)如图2，Y为射线ED上一动点，直接写出∠BAF，∠AFY，∠CYF之间的数量关系．(3)如图3，在（2）的条件下，连接AY，延长FY交射线AB于W，N为线段AW上一动点，若AY平分∠BAF，YN平分∠WYE，∠NWY=30°时，求2∠AYN+∠FEY的值．30．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校七年级阶段练习）已知DM∥FG∥EN，点A在FG上，∠BAC的两边与DM相交于点B，与EN相交于点C，AP平分∠BAC．(1)如图1，若∠BAP，∠PAG，∠ACE的数量关系为 ；(2)如图2，在（1）的条件下，若∠DBA=5∠ACE，∠PAG=30°，求证AB⊥AC；(3)点B、C分别在点D、E的下方，若AB⊥AC，∠PAG=126∠FAC，请在备用图中画出相应的图形，并求出∠DBA的度数．专题5.9平行线的性质与判定大题专项提升训练（拔高篇，重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________一、解答题（本大题共30小题．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1．（2022·江苏·开明中学七年级期中）已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F．(1)求证：DE∥AC；(2)若∠DEF＝40°，∠B＝35°，求∠BAC的度数．【答案】(1)见解析(2)∠BAC=95°【分析】（1）只需要证明∠EDA=∠CAD，即可证明DE∥AC；（2）利用三角形内角和定理求出∠EDF=50°，进而求出∠BED=95°，再利用平行线的性质求解即可．（1）解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠EAD=∠EDA，∴∠EDA=∠CAD，∴DE∥AC；（2）解：∵EF⊥BD，∴∠EFD=90°，∴∠EDF=180°-∠DEF-∠EFD=50°，∴∠BED=180°-∠B-∠BDE=95°，∵DE∥AC，∴∠BAC=∠BED=95°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．2．（2022·吉林市亚桥中学七年级期末）如图所示，已知AD⊥BC于点D，FE⊥BC于点E，交AB于点G，交CA的延长线于点F，且∠1=∠F.问：AD平分∠BAC吗？并说明理由．【答案】AD平分∠BAC，理由见解析【分析】根据题意易得AD∥FE且∠1=∠BAD，∠F=∠DAC，再根据等式的性质可得∠BAD=∠DAC；故AD平分∠BAC．【详解】解：AD平分∠BAC．理由：如图所示∵AD⊥BC，FE⊥BC，∴ AD∥FE，∴∠1=∠BAD∠F=∠DAC．又∵∠1=∠F，∴∠BAD=∠DAC，∴AD平分∠BAC．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的判定及角与角相互间的等量关系．3．（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADF+∠AFD=90°，点E、F分别在DC、AB上，且BE、DF分别平分∠ABC、∠ ADC，判断BE、DF是否平行，并说明理由．【答案】平行，理由见解析【分析】先根据角平分线的定义可得∠ABE=12∠ABC,∠ADF=12∠ADC，从而可得∠ADF+∠ABE=90°，再结合∠ADF+∠AFD=90°可得∠ABE=∠AFD，然后根据平行线的判定即可得．【详解】解：BE∥DF，理由如下：∵BE,DF分别平分∠ABC,∠ADC，∴∠ABE=12∠ABC,∠ADF=12∠ADC，∵∠ADC+∠ABC=180°，∴∠ADF+∠ABE=12∠ADC+∠ABC=90°，又∵∠ADF+∠AFD=90°，∴∠ABE=∠AFD，∴BE∥DF．【点睛】本题考查了角平分线、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．4．（2022·辽宁·鞍山市第二中学七年级阶段练习）如图，已知点E，F为四边形ABDC的边CA的延长线上的两点，连接DE，BF，作∠BDH的平分线DP交AB的延长线于点P．若∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠C．(1)判断DE与BF是否平行？并说明理由；(2)试说明：∠C＝2∠P．【答案】(1)DE∥BF，理由见解析(2)说明见解析【分析】（1）根据平行线的判定得出BD∥CE，根据平行线的性质得出∠5＝∠FAB，求出∠C＝∠FAB，根据平行线的判定得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠2＝∠BGD即可；（2）求出∠BDP＝∠PDH＝∠P，根据三角形的外角性质得出即可．（1）解：（1）DE∥BF，理由是：∵∠3＝∠4，∴BD∥CE，∴∠5＝∠FAB，∵∠5＝∠C，∴∠C＝∠FAB，∴AB∥CD，∴∠2＝∠BGD，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BGD，∴DE∥BF；（2）∵AB∥CD，∴∠P＝∠PDH，∵DP平分∠BDH，∴∠BDP＝∠PDH，∴∠BDP＝∠PDH＝∠P，∵∠5＝∠P＋∠BDP，∴∠5＝2∠P，∵∠C＝∠5，∴∠C＝2∠P．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定、三角形外角性质，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．5．（2022·广东·东莞市石龙第二中学七年级期中）如图，点B，C在线段AD的异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，已知∠1=∠2，∠3=∠C．(1)求证：AB∥CD；(2)若∠2+∠4=180°，求证：∠BFC+∠C=180°；(3)在（2）的条件下，若∠BFC−30°=2∠1，求∠B的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)∠B=50°【分析】（1）已知∠1=∠2，所以∠3=∠2，又因为∠3=∠C，可以得出∠1=∠C即可判定AB∥CD；（2）已知∠2=∠3，∠2+∠4=180°，可以得出BF//EC，即可得出∠BFC+∠C=180°；（3）由（1）（2）可知AB∥CD，BF//EC，可以得出∠1=∠C，∠BFC+∠C=180°；可以得出∠BFC−30°=2∠1=2∠C，可以得出∠C，又因为∠C=∠1=∠B，即可求出∠B的度数．【详解】（1）证明：∵∠1=∠2，∠3=∠C，∠2=∠3，∴∠1=∠C，∴AB//CD；（2）证明：∵∠2+∠4=180°，∠2=∠3，∴∠3+∠4=180°，∴BF//EC，∴∠BFC+∠C=180°；（3）∵∠BFC+∠C=180°，∵∠BFC−30°=2∠1=2∠C，∴∠BFC=2∠C+30°，∴2∠C+30°+∠C=180°，∴∠C=50°，∴∠BFC=130°，∵AB//CD，∴∠B+∠BFC=180°，∴∠B=50°．【点睛】本题考查了对顶角相等，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．6．（2022·河南·信阳文华寄宿学校七年级期末）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．(1)求证：∠AOE=∠ODG；(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)CD∥OE，理由见解析【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可证明∠AOE=∠ODG；（2）证明∠EOC=∠C，利用内错角相等两直线平行，即可证明CD∥OE．（1）证明：∵OD⊥OE，∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，∵∠ODG+∠DOG=90°，∴∠AOE=∠ODG；（2）解：CD∥OE．理由如下：由（1）得∠AOE=∠ODG，∵射线OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠EOC，∵∠ODG=∠C，∴∠EOC=∠C，∴CD∥OE．【点睛】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确识图是解题的关键．7．（2022·贵州·兴仁市真武山街道办事处黔龙学校七年级阶段练习）如图，CE平分∠BCF，∠DAC=120°，∠ACF=∠FEC=∠ECB=20°．(1)求证：AD∥EF；(2)若∠AEC=70°，求∠CAE的度数．【答案】(1)见解析(2)70°【分析】（1）先根据角平分线的定义与角的和差，得到∠ACB的度数，再根据同旁内角互补可得结论；（2）利用三角形的内角和是180°可得答案．（1）证明：∵CE平分∠BCF，∴∠ECB=∠FCE，∵∠ACF=∠FEC=∠ECB=20°，∴∠BCF=2∠ECB=40°，∴∠ACB=40°+20°=60°，∵∠DAC=120°，∴∠DAC+∠ACB=120°+60°=180°，∴AD∥EF；（2）解：由（1）得，∠ACE=20°+20°=40°，∵∠AEC=70°，∴∠CAE=180°−70°−40°=70°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及判定和三角形的内角和定理，能熟练地运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．8．（2022·辽宁·丹东市第六中学七年级期末）如图，AE，CE分别平分∠BAC和∠ACD，∠1和∠2互余．(1)请判断AB与CD之间的位置关系，并说明理由．(2)请写出∠E与∠EAB、∠DCE之间的关系，并说明理由．【答案】(1)AB∥CD，理由见解析；(2)∠E＝∠EAB +∠DCE，理由见解析．【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，再根据∠1和∠2互余可知∠1+∠2＝90°，故可得出∠1+∠BAE+∠2+∠DCE＝180°，进而得出结论；（2）根据已知求出∠BAE+∠DCE＝90°，根据三角形的内角和定理可得∠E＝90°，从而证得结论．（1）解：AB∥CD，理由：∵AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD，∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，∵∠1和∠2互余，∴∠1+∠2＝90°，∴∠1+∠BAE+∠2+∠DCE＝180°，即∠BAC+∠ACD＝180°，∴AB∥CD；（2）∠E＝∠EAB +∠DCE，理由：∵AE、CE分别平分∠BAC和∠ACD，∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，∵∠1+∠2＝90°，∴∠BAE+∠DCE＝90°，∵∠1+∠2+∠E＝180°，∴∠E＝90°，∴∠E＝∠EAB +∠DCE．【点睛】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理等知识，熟练应用平行线的判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．9．（2022·浙江温州·七年级阶段练习）如图，已知BC平分∠ABD交AD于点E，∠1＝∠3．(1)证明：AB∥CD；(2)若AD⊥BD于点D，∠CDA＝38°，求∠3的度数．【答案】(1)见解析(2)26°【分析】（1）由角平分线的定义得到∠1=∠2，即得∠2=∠3，即可判定AB∥CD；（2）由垂直的定义得出∠ADB=90°，可得∠CDB=128°，由平行线的性质得出∠ABD=52°，根据角平分线的定义即可得解．（1）证明：∵ BC平分∠ABD∴∠1=∠2又∠1=∠3∴∠2=∠3∴AB∥CD；（2）解：∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°，∵∠CDA=38°，∴∠CDB=∠CDA+∠ADB=38°+90°=128°，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，∴∠ABD=180°-128°=52°，∵BC平分∠ABD，∠1=∠3．∴∠3＝∠1＝∠2＝12∠ABD＝26°．【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟记“内错角相等，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．10．（2023·广东·东莞市松山湖实验中学七年级期中）如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2，∠D=3∠3，∠CBD=80∘．(1)求证：AB∥CD；(2)求∠3的度数．【答案】(1)见详解(2)25°【分析】（1）根据AE⊥BC，FG⊥BC，得出AE∥GF，根据平行线的性质得出∠2=∠A，根据已知条件，等量代换可得∠1=∠A，根据内错角相等两直线平行，即可得证；（2）根据平行线的性质可得∠D+∠CBD+∠3=180∘，由已知∠D=3∠3，∠CBD=80∘，代入，解方程即可求解．（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，∴AE∥GF，∴∠2=∠A，∵∠1=∠2，∴∠1=∠A，∴AB∥CD．（2）解：∵AB∥CD，∴∠D+∠CBD+∠3=180∘，∵∠D=3∠3，∠CBD=80∘，∴3∠3+80∘+∠3=180∘，∴∠3=25∘．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键．11．（2022·浙江杭州·七年级期中）将一副三角板中的两块直角三角尺顶点C按照如图①方式叠放在一起（其中∠ABC=∠CDE=90°，∠ACB=60°，∠A=30°，∠E=∠ECD=45°）设∠ACE=α．(1)若α=30°，说明AB∥CE；(2)将三角形CDE绕点C顺时针转动，若DE∥BC，求α的度数．【答案】(1)见解析(2)15°或165°【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行证明即可；（2）分两种情形：如图②中，当DE∥CE时，如图③中，当DE∥BC时，分别求解即可．【详解】（1）解：如图①中，∵∠ACE=α=30°，∠A=30°，∴∠ACE=∠A，∴AB∥CE；（2）解：如图②中，当DE∥CE时，则∠BCE=∠E=45°，∴α=∠ACE=∠ACB−∠BCE=60°−45°=15°；如图③中，当DE∥BC时，则∠BCD=∠D=90°，∴α=∠ACE=360°−∠ACB−∠ECD−∠BCD=360°−60°−45°−90°=165°．综上所述，α的值为15°或165°．【点睛】本题考查旋转的性质，平行线的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．12．（2022·江苏·泰兴市济川初级中学七年级阶段练习）如图，在△ABC中，BE是△ABC角平分线，点D是AB上的一点，且满足∠DEB＝∠DBE．(1)DE与BC平行吗？请说明理由；(2)若∠C＝50°，∠A＝45°，求∠DEB的度数．【答案】(1)DE∥BC，理由见解析；(2)∠DEB＝42.5°．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DBE＝∠EBC，从而求出∠DEB＝∠EBC，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；（2）先根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC，再用角平分线定义求出∠DBE即可得解．（1）解：DE∥BC．理由：∵BE是△ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠EBC，∵∠DEB＝∠DBE，∴∠DEB＝∠EBC，∴DE∥BC；（2）∵在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴∠ABC＝180°−∠A−∠C＝180°−45°−50°＝85°，∵BE是△ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠EBC＝12∠ABC＝42.5°，∴∠DEB＝∠DBE＝42.5°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定，角平分线的定义，熟知内错角相等，两直线平行；三角形的内角和等于180°是解题的关键．13．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图，直线BC∥OA，∠C=∠OAB=108°，E，F在线段BC上（不与点B，C重合），且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF．(1)求证：OC∥AB；(2)求∠EOB的度数．【答案】(1)见解析(2)36°【分析】（1）根据BC∥OA，推出∠COA+∠C=180°，根据∠C=∠OAB，得到∠COA+∠OAB=180°，推出OC∥AB；（2）根据OE平分∠COF，得到∠EOF=12∠COF，根据∠FOB=∠AOB=12∠FOA，推出∠EOB=12∠COA，根据BC∥OA，∠C=108°，推出 ∠COA=180°−∠C=72°，得到∠EOB=12×72°=36°．（1）证明：∵BC∥OA，∴∠COA+∠C=180°.∵∠C=∠OAB，∴∠COA+∠OAB=180°，∴OC∥AB；（2）解：∵OE平分∠COF，∴∠EOF=12∠COF，∵∠FOB=∠AOB=12∠FOA，∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=12∠COF+12∠FOA=12(∠COF+∠FOA)=12∠COA，∵BC∥OA，∠C=108°，∴∠COA=180°−∠C=180°−108°=72°，∴∠EOB=12×72°=36°．【点睛】本题主要考查了平行线，角平分线，解决问题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的定义．14．（2023·广东·江门市第二中学七年级期中）已知，AB∥CD．(1)如图1，求证：∠A﹣∠C＝∠E；(2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，∠F=105°，求∠A的度数．【答案】(1)证明见解析(2)150°【分析】（1）过点E作EF∥AB于点F，先根据平行线的性质可得∠A=180°−∠AEF，再根据平行公理推论可得EF∥CD，然后根据平行线的性质可得∠C=180°−∠CEF，最后计算∠A−∠C即可得证；（2）过点F作FG∥CE于点G，先根据平行线的性质可得∠EFG=180°−∠CEF，∠CFG=∠ECF，从而可得∠CEF+∠ECF=75°，再根据角平分线的定义可得∠AEC+∠ECD=150°，然后根据（1）的结论即可得．（1）证明：如图，过点E作EF∥AB于点F，∴∠A=180°−∠AEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠C=180°−∠CEF，∴∠A−∠C=180°−∠AEF−180°−∠CEF=∠AEC．（2）解：如图，过点F作FG∥CE于点G，∴∠EFG=180°−∠CEF，∠CFG=∠ECF，∵∠EFC=105°，∴∠EFG−∠CFG=180°−∠CEF−∠ECF=105°，解得∠CEF+∠ECF=75°，∵EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，∴∠AEC=2∠CEF,∠ECD=2∠ECF，∴∠AEC+∠ECD=2∠CEF+∠ECF=150°，由（1）已得：∠A−∠ECD=∠AEC，∴∠A=∠AEC+∠ECD=150°．【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．15．（2022·河南平顶山·七年级期末）如图，△ABC中，点E、F、D、G分别是边AB、BC、AC上的点，已知∠1＝∠2，∠4+∠ADB＝180°．请判断AB和DG的位置关系，并说明理由．【答案】互相平行，理由见解析．【分析】由∠4+∠ADB＝180°可得AD∥EF，然后由等量代换可得∠2＝∠3，最后根据内错角相等两直线平行即可说明理由．【详解】解：如图：AB和DG的位置关系是：互相平行．理由如下：∵∠4+∠ADB＝180°（已知）∴AD∥EF（同旁内角互补，两直线平行）∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等）∵∠1＝∠2（已知）    ∴∠2＝∠3∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行）．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，平行线的性质定理等知识点；掌握同旁内角互补两直线平行，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等是解答本题的关键．16．（2022·河北·邯郸市丛台区弘文中学七年级期中）如图是一个“鱼”形图案，点B，C分别在∠A的两边上．已知∠1＝50°，∠2＝50°，∠3＝130°．(1)找出图中的平行线，并说明理由；(2)求∠A的度数．【答案】(1)答案见解析(2)∠A＝50°【分析】（1）先说明∠1＝∠2，根据同位角相等两直线平行可得AB∥CD；由对顶角的定义可得∠BDC＝∠2＝50°，即∠BDC+∠3＝180°，根据同旁内角互补两直线平行可得AC∥BD；（2）由AB∥CD可得∠A+∠3＝180°，再结合∠3＝130°即可解答．（1）解：AB∥CD；AC∥BD；理由如下：∵∠1＝50°，∠2＝50°，∴∠1＝∠2，∴AB∥CD；∵∠BDC＝∠2＝50°，∠3＝130°，∴∠BDC+∠3＝180°，∴AC∥BD．（2）解：∵AB∥CD∴∠A+∠3＝180°，∵∠3＝130°∴∠A＝180°-∠3=50°．【点睛】本题主要考查了平行线的判定、平行线的性质等知识点，灵活运用平行线的判定、性质定理成为解答本题的关键．17．（2022·浙江·杭州市建兰中学七年级期中）如图，已知C为两条相互平行的直线AB，ED之间一点，∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F．(1)当∠FDC+∠ABC=180°时：①判断直线AD与BC的关系，并说明理由．②若∠ABC=130°求∠DFB的度数．(2)当∠C=α时，直接写出∠DFB的度数（用含α的代数式表示）．【答案】(1)①AD∥BC；理由见解析；②∠DFB＝115°(2)∠DFB＝180°−12α【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠EDF＝∠DAB，根据角平分线的定义得到∠EDF＝∠ADC，根据平行线的判定定理即可得到结论；②根据角平分线的定义可求∠CBF，再根据平行线的性质可求∠DFB；（2）作CG∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCD＝360°−2∠DFB，即可得到结论．（1）解：①AD∥BC，理由如下：∵ED∥AB，∴∠EDF＝∠DAB，∵DA是∠CDE的角平分线，∴∠EDF＝∠ADC，∴∠DAB＝∠ADC，∵∠FDC＋∠ABC＝180°，∴∠DAB＋∠ABC＝180°，∴AD∥BC；②∵BE是∠ABC的角平分线，∠ABC＝130°，∴∠FBC＝65°，∵AD∥BC，∴∠DFB＝180°−∠FBC＝115°．（2）作CG∥AB，如图所示：∵AB∥DE，∴CG∥AB∥DE，∴∠1＝180°−∠EDC，∠2＝180°−∠ABC，∴∠BCD＝∠1＋∠2＝180°−∠EDC＋180°−∠ABC＝180°−2∠EDA＋180°−2∠ABF＝180°−2∠DAB＋180°−2∠ABF＝360°−2（∠DAB＋∠ABF）＝360°−2∠DFB＝α∴∠DFB＝180°−12α．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理的应用，作出辅助线，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键．18．（2022·浙江杭州·七年级期末）如图，直线MN分别与直线AB和CD交于点E，F，且满足∠1+∠2=180°．(1)试判断直线AB与CD的位置关系，并说明理由．(2)作∠AEF的平分线EG交CD于点G，过点G作GH⊥EG交MN于点H．若∠DGH=40°，求∠1的度数．【答案】(1)AB∥CD，理由见解析(2)80°【分析】（1）已知∠1+∠2=180°，且∠CFE与∠2构成平角，通过等量代换即可得出互为内错角的∠1与∠CFE相等，因此可求出AB∥CD；（2）已知GH⊥EG，通过已知条件求出∠EGF的度数，再根据平行线的性质和角平分线的性质求出∠AEF的度数，最后用180°减去∠AEF的度数即可求得∠1的度数．（1）解：AB∥CD，理由如下：∵∠1+∠2=180°又∵∠2+∠CFE=180°∴∠1=∠CFE∴AB∥CD．（2）∵GH⊥EG,∠DGH=40°，∴∠EGF=50°∵AB∥CD∴∠AEG=∠EGF=50°∵EG平分∠AEF∴∠AEF=100°∴∠1=180°−100°=80°故∠1的度数为80°．【点睛】本题考查了平行线的判定和平行线的性质，将已知角的度数通过平行线的性质转换为所求问题的相关角是本题的关键．19．（2022·湖北·宜昌市第九中学七年级期中）如图，∠1=∠2，∠D=∠CMG．(1)求证：AD∥NG；(2)若∠A+∠DHG=180°，试探索：∠ANB，∠NBG，∠1的数量关系；(3)在（2）的条件下，若∠ANB:∠BNG=2:1，∠1=100°，∠NBG=130°，求∠A的度数．【答案】(1)见解析(2)∠NBG+∠1−∠ANB=180°(3)∠A=105°【分析】（1）由∠1=∠2，∠1=∠GFC，得到∠2=∠CFG，于是得到CM∥DE，根据平行线的性质得到∠D=∠ACM，等量代换得到∠CMG=∠ACM，于是得到结论．（2）过B作BP∥AN交NG于P，由于AD∥NG，于是得到∠D=∠DHG，等量代换得到∠A+∠D=180°，得到AN∥DH，根据平行线的判定得到BP∥CM，由平行线的性质得到∠PBG+∠1=180°，等量代换即可得到结论；（3）由∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，得到∠PBG=80°，由于∠NBG=130°，于是得到∠ANB=∠NBP=50°，根据已知条件得到∠ANB：∠BNG=2：1，即可得到结论．（1）证明：∵∠1=∠2，∠1=∠GFC，∴∠2=∠CFG，∴CM∥DE，∴∠D=∠ACM，∵∠D=∠CMG，∴∠CMG=∠ACM，∴AD∥NG；（2）解：∠NBG−∠ANB+∠1=180°；理由如下：过B作BP∥AN交NG于P，∴∠ANB=∠NBP，∵AD∥NG，∴∠D=∠DHG，∵∠A+∠DHG=180°，∴∠A+∠D=180°，∴AN∥DH，又∵CM∥DH，∴BP∥CM，∴∠PBG+∠1=180°，∵∠PBG=∠NBG−∠NBP=∠NBG−∠ANB，∴∠NBG−∠ANB+∠1=180°；（3）解：∵∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，∴∠PBG=80°，∵∠NBG=130°，∴∠ANB=∠NBP=50°，∵∠ANB：∠BNG=2：1，∴∠BNP=25°，∴∠ANG=75°，∴∠A=105°．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，对顶角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．20．（2022·陕西·潼关县教育局教学研究室七年级期中）如图，已知点B、C在线段AD的异侧，连接AB、CD，点E、F分别是线段AB、CD上的点，连接CE、BF，分别与AD交于点G，H，且∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC．(1)求证：AB∥CD；(2)若∠AGE+∠AHF=180°，求证：∠B=∠C；(3)在（2）的条件下，若∠BFC=117∠C，求∠AHB的度数．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)70°【分析】（1）只需要证明∠AEG=∠C即可证明AB∥CD；（2）先证明∠HGE=∠AHF得到BF∥CE则∠B=∠AEG，再由∠AEG=∠C即可证明∠B=∠C；（3）根据平行线的性质得到∠BFC+∠C=180°，∠AHB=∠DGC，再结合已知条件求出∠C的度数即可得到答案．【详解】（1）证明：∵∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC，∠AGE=∠DGC，∴∠AEG=∠C，∴AB∥CD；（2）证明：∵∠AGE+∠HGE=180°，∠AGE+∠AHF=180°，∴∠HGE=∠AHF，∴BF∥CE，∴∠B=∠AEG，又∵∠AEG=∠C，∴∠B=∠C；（3）解：由（2）得BF∥CE，∴∠BFC+∠C=180°，∠AHB=∠DGC，又∵∠BFC=117∠C，∴117∠C+∠C=180°，∴∠C=70°，∴∠AHB=∠DGC=∠C=70°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．21．（2022·陕西·潼关县教育局教学研究室七年级阶段练习）如图，点E在AB上，点F在CD上，CE、BF分别交AD于点G、H，已知∠A=∠AGE，∠D=∠DGC．(1)AB与CD平行吗？请说明理由；(2)若∠2+∠1=180°，且∠BEC=2∠B+30°，求∠C的度数．【答案】(1)AB∥CD，理由见详解(2)50°【分析】（1）由∠A=∠AGE，∠D=∠DGC，∠AGE=∠DGC即可推出∠A=∠D，即可证明AB∥CD；（2）由∠2+∠1=180°，∠CGD+∠2=180°可推出∠1=∠CGD，从而可证明CE∥BF，得出∠C=∠BFD，∠BEC+∠B=180°，结合题意即得出∠B=50°，再根据AB∥CD得出∠B=∠BFD，从而可得出∠C=∠B=50°．【详解】（1）解：AB∥CD，理由如下：∵∠A=∠AGE，∠D=∠DGC，又∵∠AGE=∠DGC，∴∠A=∠D，∴AB∥CD；（2）∵∠2+∠1=180°，∠CGD+∠2=180°，∴∠1=∠CGD，∴CE∥BF，∴∠C=∠BFD，∠BEC+∠B=180°，∵∠BEC=2∠B+30°，∴∠BEC+∠B=2∠B+30°+∠B=3∠B+30°=180°，∴∠B=50°，∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∴∠C=∠B=50°．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、邻补角、对顶角等知识，熟练掌握平行线的判定条件和性质是解题关键．22．（2023·辽宁·沈阳市第一二六中学七年级阶段练习）如图，∠1+∠2=180°，∠B=∠3，求证：AB∥DF．【答案】见解析【分析】由∠2+∠ADC=180°，∠1+∠2=180°，得到∠ADC=∠1，判定EF∥BC，再根据已知和两直线平行，内错角相等得到∠B=∠FDC，最后由同位角相等，两直线平行可得解．【详解】证明：∵∠2+∠ADC=180°，∠1+∠2=180°，∴∠ADC=∠1，∴EF∥BC，∴∠3=∠FDC，∵∠B=∠3，∴∠B=∠FDC，∴AB∥DF．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．23．（2022·广东·东莞市光明中学七年级期中）阅读下面内容，并解答问题．已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．(1)求证：EG⊥FG；(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 　　题．①在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF的度数为 　　．②如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为 　　．【答案】(1)见解析(2)①45°；②结论：∠EOF=2∠EPF【分析】（1）利用平行线的性质解决问题即可；（2）①利用基本结论∠EMF=∠BEM+∠MFD求解即可；②利用基本结论∠EOF=∠BEO+∠DFO，∠EPF=∠BEP+∠DFP，求解即可．【详解】（1）证明：如图，过G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥GH∥CD，∴∠BEG=∠EGH，∠DFG=∠FGH，∴∠BEF+∠DFE=180°，∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，∴∠GEB=12∠BEF，∠GFD=12∠DFE，∴∠GEB+∠GFD=12∠BEF+12∠DFE=12(∠BEF+∠DFE)=90°，在ΔEFG中，∠GEF+∠GFE+∠G=180°，∴∠EGF=∠GEB+∠GFD=90°，∴EG⊥FG；（2）解：①如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG=90°，∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，∴∠BEM+∠MFD=12(∠BEG+∠DFG)=45°，∴∠EMF=∠BEM+∠MFD=45°，故答案为：45°；②结论：∠EOF=2∠EPF．理由：如图3中，由题意，∠EOF=∠BEO+∠DFO，∠EPF=∠BEP+∠DFP，∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，∴∠BEO=2∠BEP，∠DFO=2∠DFP，∴∠EOF=2∠EPF，故答案为：∠EOF=2∠EPF．【点睛】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的性质，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相关的性质．24．（2022·陕西汉中·七年级期末）解答下列问题(1)（问题情景）如图1，若AB∥CD，∠AEP=40°，∠PFD=130°．过点P作PM∥AB，求∠EPF的度数；(2)（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，点E，F分别在AB，CD上，连接PE，PF，过P点作PN∥AB，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；(3)（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF=α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，过点G作GH∥AB，用含有α的式子表示∠EGF的度数．【答案】(1)90°(2)∠PFC=∠PEA+∠EPF，理由见解析(3)12α【分析】（1）根据两直线平行内错角相等求出∠1=∠AEP=40°，根据两直线平分线同旁内角互补得到∠2=180°−130°=50°，进而可求出∠EPF的度数；（2）首先根据平行线的性质得到∠PEA=∠NPE，然后根据平行线的性质得到∠FPN=∠PFC，进而可得到∠PFC=∠PEA+∠EPF；（3）首先根据两直线平分线内错角相等得到∴∠HGE=∠AEG,∠HGF=∠CFG，然后根据角平分线的概念得到∠HGE=∠AEG=12∠AEP,∠HGF=∠CFG=12∠CFP，最后结合（2）的结论求解即可．【详解】（1）解：∵AB∥PM，∴∠1=∠AEP=40°．∵AB∥CD，∴PM∥CD，∴∠2+∠PFD=180°．∵∠PFD=130°，∴∠2=180°−130°=50°．∴∠1+∠2=40°+50°=90°．即∠EPF=90°．（2）解：∠PFC=∠PEA+∠EPF．理由：∵PN∥AB，∴∠PEA=∠NPE，∵∠FPN=∠NPE+∠FPE，∴∠FPN=∠PEA+∠FPE，∵PN∥AB,AB∥CD，∴PN∥CD，∴∠FPN=∠PFC，∴∠PFC=∠PEA+∠FPE．（3）解：∵GH∥AB,AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠HGE=∠AEG,∠HGF=∠CFG，又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，∴∠HGE=∠AEG=12∠AEP,∠HGF=∠CFG=12∠CFP，由（2）可知，∠CFP=∠FPE+∠AEP，∴∠HGF=12(∠FPE+∠AEP)=12(α+∠AEP)，∴∠EGF=∠HGF−∠HGE=12(α+∠AEP)−∠HGE=12α+12∠AEP−∠HGE=12α．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的概念，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．25．（2022·陕西汉中·七年级期末）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2=180°．(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；(2)如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，过点P作PQ∥AB，则PF与GH平行吗？为什么？【答案】(1)AB∥CD，见解析(2)平行，理由见解析【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行即可得到结论；（2）先求得∠EPF=90°，则EG⊥PF，由GH⊥EG即可得到结论．【详解】（1）解：AB∥CD，                                    理由：∵∠1+∠2=180°，∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，∴∠AEF+∠CFE=180°，                                        ∴AB∥CD．（2）解：由（1）知，AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°．                                    ∵AB∥PQ,AB∥CD,∴∠EPQ=∠BEP=12∠BEF,PQ∥CD，∴∠FPQ=∠PFD=12∠EFD，∴∠EPQ+∠FPQ=12(∠BEF+∠EFD),∴∠EPF=90°，即EG⊥PF．               ∵GH⊥EG，∴PF∥GH．【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，灵活应用平行线的判定和性质是解题解题的关键．26．（2023·四川资阳·七年级期末）已知，O是直线上一点，∠AOC=2∠BOC，将一直角三角板DOE绕点O旋转，其中∠DOE=90°，∠D=45°．(1)如图1，若OC平分∠BOE，求∠BOD的度数；(2)如图2，若DE∥OC，求∠BOE的度数．【答案】(1)30°(2)165°【分析】（1）根据平角定理和∠AOC=2∠BOC，可知∠AOC=120°，∠BOC=60°，再依据OC平分∠BOE，可得∠BOE=2∠BOC=120°，又根据∠DOE=90°，进而可知∠BOD=∠BOE−∠DOE=30°；（2）根据DE∥OC，可知∠COD=∠D=45°，再由∠AOD=180°−∠BOC−∠COD，可求出∠AOD=75°，又根据∠DOE=90°，可得∠AOE=15°，进而求解即可．【详解】（1）解：∵∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=2∠BOC，∴∠AOC=120°，∠BOC=60°∵OC平分∠BOE，∴∠BOE=2∠BOC=120°又∵∠DOE=90°，∴∠BOD=∠BOE−∠DOE=30°．（2）解：∵DE∥OC，∴∠COD=∠D ∵∠D=45°，∴∠COD=45°∵∠AOD=180°−∠BOC−∠COD，∴∠AOD=75°又∵∠DOE=90°，∴∠AOE=15°∴∠BOE=180°−∠AOE=165°．【点睛】此题主要考查了旋转的性质，角平分线定义，角的计算应用等知识，解题关键是根据图形求出各个角的度数．27．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级阶段练习）如图，直线MN与直线AB,CD分别交于点E,F，∠1与∠2互补．(1)如图1，求证AB∥CD；(2)如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP的延长线与CD交于点G，点H是MN上一点，且PF∥GH，求证：GH⊥EG；(3)如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点，使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，交MN于点Q，∠QPF:∠HPK=3:2，求∠HPF的度数．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)18°．【分析】（1）根据平行线的判定方法求证即可；（2）根据平行线的性质以及三角形内角和的性质，求得∠EPF=90°，即可求解；（3）设∠HPK=2x°，则∠QPF=3x°，∠PHK=∠HPK=2x°，根据平行线的性质，列方程求解即可．【详解】（1）证明：由题意可得：∠1+∠2=180°，∠1+∠BEF=180°∴∠2=∠BEF，∴AB∥CD（2）证明：由题意可得：EP平分∠BEF，FP平分∠EFD，∴∠PEF=12∠BEF，∠PFE=12∠EFD∵AB∥CD，∴∠EFD+∠BEF=180°∴∠PFE+∠PEF=12(∠EFD+∠BEF)=90°，∴∠EPF=90°，∵PF∥GH，∴∠PGH=90°，即GH⊥EG；（3）设∠HPK=2x°，则∠QPF=3x°，∠PHK=∠HPK=2x°∵PF∥GH，∴∠PHK=∠FPH=2x°，∴∠QPK=7x°，又∵PQ平分∠EPK，∴∠EPQ=∠QPK=7x°，由（2）得：∠EPF=∠EPQ+∠QPF=90°，即3x°+7x°=90°解得x=9，∴∠HPF=18°．【点睛】此题考查了角平分线的定义，三角形内角和的性质，平行线的判定与性质，垂直的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．28．（2022·四川·天池中学七年级阶段练习）问题情境：在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线AM∥BN，连接AB，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．探索发现：“快乐小组”经过探索后发现：(1)当∠A=60∘时，求证：∠CBD=∠A．(2)不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A却始终存在某种数量关系，当∠A=40∘则∠CBD=_______度，当∠A=x∘时，则∠CBD=_______度，（用含x的代数式表示）操作探究：(3)“智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB与∠ADB之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)     70     90−x2(3)∠APB=2∠ADB，理由见解析【分析】（1）根据平行线的性质可求得∠ABN=120∘，再根据角平分线的定义求得∠CBD=12∠ABN=60∘即可证得结论；（2）根据平行线的性质和角平分线的定义推出∠CBD=180∘−∠A2，进而求解即可；（3）根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠PBN=2∠NBD，∠PBN=∠APB，∠NBD=∠ADB，进而解答即可．【详解】（1）证明：∵AM∥BN，∴∠A+∠ABN=180∘，又∵∠A=60∘，∴∠ABN=180∘−∠A=120∘．∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，∴∠CBP=12∠ABP，∠DBP=12∠PBN，∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=12∠ABP+12∠PBN=12∠ABN=60∘，∴∠CBD=∠A．（2）解：∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，∴∠CBP=12∠ABP，∠DBP=12∠PBN，∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=12∠ABP+12∠PBN=12∠ABN，∵AM∥BN，∴∠A+∠ABN=180∘，∴∠ABN=180∘−∠A，∴∠CBD=180∘−∠A2．当∠A=40∘时，则∠CBD=180∘−40∘2=70∘，当∠A=x∘时，则∠CBD=180°−x°2=90−x2∘；故答案为：70，90−x2；（3）解：∠APB=2∠ADB.理由如下：∵BD平分∠PBN，∴∠PBN=2∠NBD，∵AM∥BN，∴∠PBN=∠APB，∠NBD=∠ADB，∴∠APB=2∠ADB．【点睛】本题考查角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，能借助图形进行角度运算是解答的关键．29．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）如图，已知：射线AF交CD于E，∠CEF+∠BAF=180°．(1)求证：AB∥CD．(2)如图2，Y为射线ED上一动点，直接写出∠BAF，∠AFY，∠CYF之间的数量关系．(3)如图3，在（2）的条件下，连接AY，延长FY交射线AB于W，N为线段AW上一动点，若AY平分∠BAF，YN平分∠WYE，∠NWY=30°时，求2∠AYN+∠FEY的值．【答案】(1)见解析；(2)∠AFY+∠CYF+∠BAF=180°；(3)2∠AYN+∠FEY=150°．【分析】（1）根据对顶角相等结合已知求出∠AED+∠BAF=180°，根据平行线的判定得出结论；（2）根据三角形外角的性质可得∠AED=∠AFY+∠CYF，结合∠AED+∠BAF=180°可得答案；（3）根据平行线的性质和角平分线定义求出∠NYE=75°，∠EAY=∠AYE，由三角形外角的性质可得∠FEY=∠EAY+∠AYE=2∠AYE，再求出∠AYN=∠NYE−∠AYE=75°−∠AYE，进而可计算2∠AYN+∠FEY的值．【详解】（1）解：∵∠CEF=∠AED，∠CEF+∠BAF=180°，∴∠AED+∠BAF=180°，∴AB∥CD；（2）解：由（1）可知∠AED+∠BAF=180°，∵∠AED=∠AFY+∠CYF，∴∠AFY+∠CYF+∠BAF=180°；（3）解：由（1）知AB∥CD，∴∠WYD=∠NWY=30°，∴∠WYE=180°−∠WYD=180°−30°=150°，∵YN平分∠WYE，∴∠NYW=∠NYE=12∠WYE=12×150°=75°，∵AY平分∠BAF，∴∠EAY=∠WAY，∵AB∥CD，∴∠AYE=∠WAY，∴∠EAY=∠AYE，∴∠FEY=∠EAY+∠AYE=2∠AYE，∵∠AYN=∠NYE−∠AYE=75°−∠AYE，∴2∠AYN=150°−2∠AYE，∴2∠AYN+∠FEY=150°−2∠AYE+2∠AYE=150°．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．30．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校七年级阶段练习）已知DM∥FG∥EN，点A在FG上，∠BAC的两边与DM相交于点B，与EN相交于点C，AP平分∠BAC．(1)如图1，若∠BAP，∠PAG，∠ACE的数量关系为 ；(2)如图2，在（1）的条件下，若∠DBA=5∠ACE，∠PAG=30°，求证AB⊥AC；(3)点B、C分别在点D、E的下方，若AB⊥AC，∠PAG=126∠FAC，请在备用图中画出相应的图形，并求出∠DBA的度数．【答案】(1)∠BAP=∠PAG+∠ACE(2)证明见解析(3)50.4°【分析】（1）由两直线平行内错角相等可得∠GAC=∠ACE，再根据AP平分∠BAC的性质即可推出数量关系；（2）由DM∥FG得到∠DBA=∠BAG，再由∠BAP=∠PAG+∠ACE结合∠DBA=5∠ACE可列出5∠ACE=∠ACE+∠PAG+∠PAG，求得∠ACE=15°，从而得到∠BAC=90°，此题得证；（3）设∠ACE=x，根据题意得∠PAG=45°−x，∠FAC=180°−x，再根据∠PAG=126∠FAC列方程并解出x=39.6°，最后根据余角性质求出∠ABD，此题得解．【详解】（1）∠BAP=∠PAG+∠ACE，证明：∵DM∥FG∥EN，AP平分∠BAC，∴∠GAC=∠ACE，∠BAP=∠PAC，∴∠BAP=∠PAG+∠GAC=∠PAG+∠ACE；（2）证明：∵DM∥FG∥EN，∴∠DBA=∠BAG，∵∠GAC=∠ACE，∠PAG=30°，∠DBA=5∠ACE，AP平分∠BAC，∠BAP=∠PAC=∠PAG+∠ACE，∴5∠ACE=∠ACE+∠PAG+∠PAG，∠ACE=15°，∴∠BAC=∠BAP+∠PAC+∠GAC=90°，∴AB与AC都相交于直线FG上的A点，并且在同一平面内，∠BAC=90°，∴AB⊥AC；（3）证明：设∠ACE=x，则∠ABD=90°−x，∠PAG=45°−x，∠FAC=180°−x，45°−x=126(180°−x)，解得x=39.6°∠ABD=90°−39.6°=50.4°．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质的综合题，熟练和灵活运用其性质建立好等量关系是解决本题的关键．