安徽省六安第二中学2023-2024学年高二上学期期末统考数学试卷

这是一份安徽省六安第二中学2023-2024学年高二上学期期末统考数学试卷，共10页。试卷主要包含了已知等差数列的前项和为，且，则，平行六面体的各棱长均为，则，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 满分：150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知等比数列中，为方程的两根，则的值为（ ）
A.32 B.64 C.256 D.
2.设，则“”是“直线与直线”平行的（ ）条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分又不必要
3.已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A.52 B.54 C.56 D.58
4.平行六面体的各棱长均为，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，已知正四棱锥的底面边长和高分别为2和1，若点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知点为拋物线上的动点，点为圆上的动点，设点到轴的距离为，则的最小值为（ ）
A.4 B.5 C.7 D.10
8.已知数列满足，则数列的第2024项为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0.分.
9.下列结论正确的是（ ）
A. B.
C.若，则 D.
10.已知圆，下列说法正确的是（ ）
A.过点作直线与圆交于两点，则范围为
B.圆上有4个点到直线的距离等于1
C.圆与圆有且仅有两条公切线，则实数的取值范围为
D.过直线上任意一点作圆的切线，切点分别为，则直线必过定点
11.小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后，提出了新的疑问：平面上到两个定点距离之积为常数的点的轨迹是什么呢？又具备哪些性质呢？老师特别赞赏他的探究精神，并告诉他这正是历史上法国天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的，这类曲线被称为“卡西尼卵形线”.在老师的鼓励下，小明决定先从特殊情况开始研究，假设是平面直角坐标系内的两个定点，满足的动点的轨迹为曲线，从而得到以下4个结论，其正确结论的为（ ）
A.曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形
B.动点的横坐标的取值范围是
C.的取值范围是
D.的面积的最大值为1
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知是平面的法向量，点在平面内，则点到平面的距离为__________.
13.设曲线在点处的切线与直线垂直，则__________.
14.已知双曲线的左，右焦点分别为，过左焦点作直线与双曲线交于两点（在第一象限），若线段的中垂线经过点，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（3分）
已知圆过点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）若从点发出的光线经过轴反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程.
16.（15分）
如图，在四面体中，平面是的中点，是的中点，点在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）若，求与平面所成角的余弦值.
17.（15分）
已知正项数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前和.
18.（7分）
已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于两点，
（1）求抛物线的方程；
（2）若抛物线上有一动弦为弦的中点，，求点的纵坐标的最小值，
19.（17分）
定义：对于任意大于零的自然数，满足条件且（是与无关的常数）的无穷数列称为数列.
（1）若等差数列的前项和为，且，判断数列是否是数列，并说明理由；
（2）若各项为正数的等比数列的前项和为，且，证明：数列是数列；
（3）设数列是各项均为正整数的数列，求证：.
参考答案：
1.B 2.C 3.A 4.B
5.C
由题意，设，代入椭圆方程，
可得两式相减可，变形可得，又的中点为，所以，代入上式可得，，又，所以，又，
解得，所以椭圆的方程为.故答案为：
6.B 7.B
8.A
故选：A.
9.AD
10.ABC
【详解】因为圆的圆心为，半径，对于选项：因为，
可知点在圆内，可得圆心到过点的直线的距离，
所以，故A正确；对于选项B：设，则，可得，
以为圆心，为半径的圆的方程为，
整理得，由题意可知：直线为圆与圆的公共弦所在的
直线，可得，整理得，
令，解得，所以直线必过定点，故D错误；
对于选项C：圆的圆心，半径为，则，
若圆与圆有且仅有两条公切线，所以两圆相交，则，即
，解得，所以实数的取值范围为，故C正确；
对于选项D：因为圆心到直线的距离
，作且与的距离均为1，如下图
所示：由图可知此时到的距离均为1，所以圆上有4个点
到直线的距离等于1，故B正确；
11.ABD
【详解】令，则，
所以，则，
将代入上述方程后，均有，所以曲线
既是轴对称图形，又是中心对称图形，A正确；令，则，
对于，对称轴为，所以在上递增，
要使在上有解，只需，所以，即，
可得，B正确；由，由中，
，所以，
其中负值舍去，综上，，又，即，所以
，则错误；由，仅当
时等号成立，的面积，
而，所以，所以的面积的最大值为正确.
12. 13. 14.
15.（1）
（2）
【详解】（1）由，得直线的斜率为，线段中点所以，直线的方程为，即，联立，解得，即，所以半径，所以圆的方程为
（2）由恰好平分圆的圆周，得经过圆心
16.（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）过作交于，过作，交于，连接，
是的中点，是的中点，且是的中点，，且四边形为平行四边形，
平面平面平面；
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，则，
则，
设平面的一个法向量为，则，取，得，设与平面所成角为，则，
则与平面所成角的余弦值为：.
17.（1）
（2）
【详解】（1）由得，则，解得，
当时，，所以，
整理得，因为是正项数列，所以，所以
，所以是首项为1，公差为2的等差数列，所以.
（2）由（1）可得，，
所以，
所以.
18.（1）
（2）
【详解】（1）由题意可知：，所以抛物线的方程为：；
（2）由题意可知：直线斜率必存在，设其方程为：.
设.则：
联立方程：得：.所以.
又知：，得，
当且仅当，即时取等号，则点的纵坐标的最小值为.
19.【详解】（1）由题意知，故，
则，故，
但等差数列为严格增数列，当时，，所以不是数列；
（2）由，则，即，有，则，
即，则，
则，又，
即对任意大于零的自然数，满足条件，且，
即数列是数列；
（3）假设存在正整数使得成立，
由数列的各项均为正整数，可得，即，
因为，所以，由及得，故，因为，
所以，由此类推可得
，
因为又存在，使当时，，这与数列的各项均为正
数矛盾，所以假设不成立，即任意大于零的自然数，都有成立.