广东省肇庆中学2022-2023学年高三下学期3月月考数学试题

这是一份广东省肇庆中学2022-2023学年高三下学期3月月考数学试题，共16页。试卷主要包含了设集合，则“”是“”的，展开式的常数项为，已知定义在上的偶函数满足，已知某批零件的质量指标等内容，欢迎下载使用。
考试时间：2023年3月7日
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知复数在复平面对应的点分别是，则（ ）
A. B.
C. D.
3.过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，若两点到直线的距离之和等于11，则这样的直线（ ）
A.不存在 B.有且仅有一条
C.有且仅有两条 D.有无穷多条
4.展开式的常数项为（ ）
A.1 B.15 C.60 D.76
5.在平面直角坐标系中，已知点为角终边上一点，若，则（ ）
A. B. C. D.
6.寒假来临，秀秀将从《西游记》､《童年》､《巴黎圣母院》､《战争与和平》､《三国演义》､《水浒传》这六部著作中选四部（其中国外两部､国内两部），每周看一部，连续四周看完，则《三国演义》与《水浒传》被选中且在相邻两周看完的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
8.已知定义在上的偶函数满足：当时，，且，则方程实根个数为（ ）
A.6 B.8 C.9 D.10
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.对于下列概率统计相关知识，说法正确的是（ ）
A.数据，1，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是2
B.若事件､的概率满足，且，则､相互独立
C.由两个分类变量，的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），可判断，独立
D.若一组样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为
10.已知某批零件的质量指标（单位：毫米）服从正态分布，且，现从该批零件中随机取3件，用表示这3件产品的质量指标值不位于区间的产品件数，则（ ）
A. B.
C. D.
11.在长方体中，直线与平面､平面所成的角均为，则（ ）
A.
B.
C.直线与平面所成的角为
D.直线与所成的角为
12.观察下面一组等式：
记表示第i个等式中等号右边第j个数，如，，则（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知圆台的上､下底面半径分别为4和5，高为2，则该圆台的侧面积为__________.
14.若直线是函数的图象在某点处的切线，则实数__________.
15.在中，为的中点，则的取值范围是__________.
16.已知双曲线的左､右焦点分别为，若上存在点，满足，（为坐标原点），且的内切圆的半径等于，则的离心率为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17.（10分）为弘扬中华优秀传统文化，荣造良好的文化氛围，某高中校团委组织非毕业年级开展了“我们的元宵节”主题知识竞答活动，该活动有个人赛和团体赛，每人只能参加其中的一项，根据各位学生答题情况，获奖学生人数统计如下：
（1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自高一的概率；
（2）从高一和高二获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中团体赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；
18.（12分）已知数列的前项和为，且.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设数列的前项积为，若，求数列的通项公式.
19.（12分）在中，所对的边分别为，且，其中是三角形外接圆半径，且不为直角.
（1）若，求的大小；
（2）求的最小值.
20.（12分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，为的中点，，平面平面.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
21.（12分）已知.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的恒成立，求整数的最小值.
22.（12分）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，若为等边三角形，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左､右顶点分别为，不过坐标原点的直线与椭圆相交于两点（异于椭圆的顶点），直线与轴的交点分别为，若，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.
广东肇庆中学2023届高三3月月考
数学参考答案
1.C 【详解】由，得，所以，
所以或
由，得或，所以或，
所以“”是“”的充分必要条件
故选：C.
2.A 【详解】由题意可知，
则.
故选：A.
3.C 【详解】由题意知两点到准线的距离之和等于9，由抛物线定义得，
而在抛物线过焦点的弦中，弦长的最小值为，而，
根据过焦点的弦的对称性知，这样的弦有且仅有两条，故选：C.
4.D 【详解】由，
其中含有常数项的有，
所以常数项为，
故选：D.
5.A 【详解】由题意得：，
因为，所以，
因为，所以，
故，
所以
.
故选：A
6.C 【详解】三部国内三部国外各选两部再全排列共有；
由于要选《三国演义》与《水浒传》被选中且在相邻两周看完，则将两本书看成一个整体，有种；
从三部国外著作中选出两部有种，此时将四本书分布在四周转化为三整体分布在三空中，
先从中选一个为《三国演义》与《水浒传》有，剩下两本书再排列有种.
綜上：
故遇：C
7.B 【详解】将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，
即，与函数的图像重合
即
故
所以的最小值为.
故选：B.
8.B 【详解】解：因为函数，
所以，，即函数为周期函数，周期为2，
因为当时，，
所以，当时，恒成立，
所以，函数在上单调递增，
因为为定义在上的偶函数，
令，则定义域为，
所以函数为定义在上的偶函数，
因为
因为
所以
所以，作出函数图象如图，
由图象可知，当时，函数与图象有4个交点，
所以，由偶函数的对称性可知，当时，函数与图象有4个交点，
所以，方程实根个数为8个.
故选：B
9.【答案】BD 【详解】
解：对于选项A，8个数据从小到大排列，由于，
所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数，故A错误；
对于选项B，由，可得，即，
即，所以､相互独立，故B正确；
对于选项C，由可得出“零假设与独立”不成立，所以有的把握说，有关，故C错误；
对于选项D，样本点都在直线上，说明是负相关且线性相关性很强，所以相关系数为，故D正确；
故选：BD
10.ACD 【详解】由正态分布的性质得，故A正确；
则1件产品的原管指标值不位于区间的概率为，
所以，故，故错误；
，故正确：
，故D正确.
故选：.
11.AD 【详解】A选项：如图，连接
由长方体的结构特征可知，平面平面，
则分别为直线与平面､平面所成的角，
所以，则，
所以，四边形为正方形，所以正确.
B选项：因为，所以，即，
又，所以，
在Rt中，，故，B错误，
选项：连接，由长方体的结构特征可知，平面，
故为直线与平面所成的角，
由A，B选项可知，，则，
故在Rt中，，
因为，所以直线与平面所成的角为错误.
选项：因为，所以为直线与，所成的角（或其补角），
由选项可知，在Rt中，，则，
所以直线与所成的角为正确，
故选：AD
12.【答案】AD 【详解】根据所给数据，归纳总结可得第n行，等号右边每一个式子，第一项为，最后一项均为，故B错误；
所以
对于A：当时，等号右边第一个数为1981，最后一个数为2069，
所以2021在第45行内，故A正确；
对于C：第n行，右边第二项为，
所以，
所以
，故C错误；
对于D：因为，且，
所以或或或，
又，，，，
所以，故D正确.
故选：AD
13. 【详解】圆台的侧面积为.故答案为：
14.2 【详解】设切点为，
则有
故答案为：2.
15. 【详解】依题意.
又，
所以.
故答案为：
16. 【详解】因为，
所以，
又因为在双曲线上，所以||，联立可得，
，所以，
因为的内切圆的半径为，
所以，
即，即，
所以，两边平方得，
即，两边同时除以，得，
因为，所以.
故答案为：.
17.【详解】（1）记“任取1名学生，该生获得一等奖”为事件A，“任取1名学生，该生为高一学生"为事件，
，
故
（2）由己知可得，得可能取值为
，
的分布列为
18.【详解】（1）业时，
当时，，
所以.
所以（常数），
故数列是以为首项，2为公差的等差数列.
（2）由（1）知，，得，
当时，，
当时，，不符合上式，
故.
19.【详解】（1）在中，，
进而，
，
，
又不为直角，则，
.
（2）由（1）知，
转化为，又.
.
，
当且仅当，即时，等号成立，
的最小值为.
20.【详解】（1）设的中点为，连接，
因为为等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，且平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又，平面，
所以平面，又因为平面，
所以，
因为在等边三角形中，为的中点，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
（2）连接，由（1）知，平面，
因为平面，所以，
因为，，，
所以四边形为矩形，
即，，，所以，
设，，，，
以为原点，分别以､､所在直线为､､轴建立空间直角坐标系，
所以，，，，，，
所以，，，，
设平面和平面的法向量分别为，，
则，，
即，，
取，，则，，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
21.【详解】（1）由题意得的定义域为，
，
①时，在内单调递減，
②时，令得或（舍）
当单调递减；
当单调递增.
（2）由题意得，
整理得，
因为，所以原命题等价于在区间内恒成立，
令，则，
令，易知在区间内单调递增，
又，故存在唯一的，便得，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
故当时，函数有放大值，也即为最大值，
，
故，又，故，
又为整数，故的最小整数值为2.
22.【详解】（1）为等边三角形，且，
，
又，
设椭圆的方程为，
将点代入椭圆方程得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）由已知得，设，
则直线的斜率为，直线的方程为，
即点坐标为，
直线的斜率为，直线的方程为，
即点坐标为，
，
又，
，即，
整理得，
①若直线的斜率存在时，设直线的方程为，
将直线方程与椭圆方程联立
得，
其中，
，
即，
所以或，
当时，直线的方程为，此时直线恒过点，
当时，直线的方程为，此时直线恒过点，
②若直线的斜率不存在时，
由得，
即，解得或，
此时直线的方程为或，
所以此时直线恒过点或，
综上所述，直线恒过点或.奖项组别
个人赛
团体赛获奖
一等奖
二等奖
三等奖
高一
20
20
60
50
高二
16
29
105
50
0
1
2