广东省汕头市潮阳区棉城中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

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第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】∵全集，集合
∴，又
∴.
故选：C.
2. 复数在复平面上的对应点落在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】由题可知，
所以复数对应的点为在第四象限，
故选:D.
3. 某高中学校开展学生对宿舍管理员满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生1100人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生900人．现从全校学生中按比例分层抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高二年级学生人数为（ ）
A. 18B. 20C. 22D. 30
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义域计算方法，即可求解.
【详解】由分层抽样的定义可知，从全校学生中用分层抽样的方法抽取人进行调查，
则抽取高二年级的学生人数为.
故选：B.
4．为空间任意一点，若，若四点共面，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由A，B，C，P四点共面的充要条件得到，用向量的差整理成与O共起点的向量表示式，结合已知由空间向量的基本定理列出方程组，解出即可.
【详解】若A，B，C，P四点共面，则存在有序实数对，使，
所以，
整理得：，
又由题知，
由空间向量的基本定理知：
解得
所以.
故选：C.
5．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】，因此将函数的图象向右平移个单位．
故选：D．
6．已知直线和直线，若，则的值（ ）
A．1或B．或C．1D．
【答案】D
【分析】利用两直线平行列方程即可求解.
【详解】因为直线和直线，且，
所以，解得：或.
当时，，，与重合，不合题意，舍去；
当时，，，即，所以符合题意.
故选：D
7．已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【分析】由题知直线过定点，进而作出图形，数形结合求解即可得答案.
【详解】解：直线方程为转化为，
所以直线过定点，且与线段相交，如图所示，
则直线的斜率是，
直线的斜率是，
则直线与线段相交时，它的斜率的取值范围是或
故选：A．
8．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（ ）．

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】平面,平面, 平面,
因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，
如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系.

则
设平面的法向量为，则
，令，则
设点到平面的距离为，则
故直线到平面的距离为.
故选：D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．满足下列条件的直线与，其中的是（ ）
A．的倾斜角为，的斜率为
B．的斜率为，经过点，
C．经过点，，经过点，
D．的方向向量为，的方向向量为
【答案】BCD
【分析】根据直线斜率之积为判断ABC，再由方向向量垂直的数量积表示判断D.
【详解】对A，，，，所以A不正确；
对B，，，故B正确；
对C，，，，故C正确；
对D，因为，所以两直线的方向向量互相垂直，故，故D正确.
故选：BCD
10．已知空间向量，，下列结论正确的是（ ）
A．
B．，夹角的余弦值为
C．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数
D．在上的投影向量为
【答案】BCD
【分析】根据空间向量的运算，空间位置关系得到向量表示，投影向量的概念依次讨论各选项即可.
【详解】对于A，，，故A错误；
对于B，因为，，所以，，
，设与的夹角为，则，故B正确；
对于C，因为，所以，则，解得，故C正确；
对于D，在上的投影向量为，D正确．
故选:BCD．
11．直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据题意，分直线的截距为0和直线的截距不为0，两种情况讨论，结合直线的截距式方程，即可求解.
【详解】当直线的截距为0时，此时直线的方程为，即．
当直线的截距不为0时，设直线的方程为，
则，解得或，
当时，可得直线的方程为，即；
若时，可得则直线的方程为，即．
故选：BCD.
12．如图，正方体的棱长为1，E是的中点，则（ ）
A．直线平面B．
C．三棱锥的体积为D．三棱锥的外接球的表面积为
【答案】ABD
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断AB，根据等体积法判断C，由向量法求球心及半径判断D.
【详解】如图建立空间直角坐标系，
，，，，，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则，即，令，可得，
则，即，
又直线平面，所以直线平面，故A正确；
因为，即，所以，故B正确；
，故C错误；
设球心坐标为，则，
由可得，解得，
由可得，解得，
再由可得，解得，
所以，所以，故D正确.
故选：ABD
第II卷（非选择题共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知，，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据空间向量共线的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】由向量，，
因为，可得，解得.
故答案为：.
14．已知直线l1：与直线l2：的交点为M．则过点M且与直线l3：3x﹣y+1＝0垂直的直线l的一般式方程为 ．
【答案】
【分析】直线与直线联立得，再由点斜式可求得直线方程.
【详解】联立，解得：．
所以与l3垂直的直线方程为：，
整理得：．
故答案为：
15．已知为奇函数，当时，；当，的解析式为 ．
故答案为： .
16．在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离是________．
【答案】
【分析】如图建立空间直角坐标系，用向量法进行求解即可
【详解】如图示，以为原点，为轴建立坐标系，
则,
所以,
所以在上的投影为，
所以点点到直线的距离是
，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （10分）在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角C的大小；
（2）若，且，求△ABC的周长．
解:（1）由及正弦定理得 …………2分
因为，故． …………4分
又∵ 为锐角三角形，所以． …………5分
（2）由余弦定理， …………7分
∵，得
∴ …………9分
∴ 的周长为． …………10分
18. （12分）从2名男生（记为,）和2名女生（记为,）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）.
（1）请写出该试验的样本空间;
（2）设事件为“选到1名男生和1名女生”,求事件发生的概率;
（3）若2名男生,所处年级分别为高一、高二,2名女生,所处年级分别为高一、高二,设事件为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件发生的概率.
解:（1）由题知,样本空间为;…………4分
（2）由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件得结果数有4个,
故; …………8分
（3）由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件得结果数有3个,
故 .…………12分
19．（12分）直线过点.
(1)若直线与直线平行，求直线的方程；
(2)若点到直线的距离为1，求直线的方程.
解:（1）设直线方程为 …………2分
将代入得， …………3分
所求直线方程是 …………4分
（2）若直线的斜率不存在， …………5分
则过的直线为，到的距离为1，满足题意；…………6分
若直线的斜率存在，设斜率为， …………7分
则的方程为. …………8分
由到直线的距离为1，可得. …………9分
解得， …………10分
所以直线方程为，即. …………11分
综上得所求的直线方程为或. …………12分
20. （12分）已知平行六面体中，各条棱长均为，底面是正方形，且，设，，．
（1）用，，表示及求；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
解:（1），…………2分
，…………5分
.…………6分
（2）， …………7分
.…………9分
又，，
设异面直线与所成的角为
，
异面直线与所成的角的余弦值是 .…………12分
21. （12分）如图，在三棱柱中，侧面，都是正方形，∠ABC为直角，，M，N分别为，AC的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线AB与平面AMN所成角的正弦值.
证明：（1）连接， 在中，
因为是，的中点，
所以∥，
又平面，平面
所以平面. …………4分（条件不全扣1分）
解：（2）在三棱柱中，
因为侧面都是正方形
所以
又为直角，所以.
所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，…………6分
如图所示，
则，，， …………7分
设直线与平面所成的角为
设平面的法向量为，
因为，， …………8分
所以，令，则， …………10分
所以 ，
所以直线与平面所成的角的正弦值为. …………12分
22．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，
AB＝BD＝2，

(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D－AE－C的余弦值．
证明：（1）由题设易知：≌，从而AD＝DC，
又是直角三角形，所以∠ADC＝90°，
取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，且DO＝AO，
又由于是正三角形，故BO⊥AC，
∴∠DOB为二面角D－AC－B的平面角， …………2分
又，
，∴∠DOB＝90°，
∴平面ACD⊥平面ABC； …………4分
解：（2）由题设及（1）知，OA，OB，OD两两垂直，以O点为坐标原点，分别以OA，OB，OD所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
由题设知，四面体ABCE为四面体ABCD的体积的，
从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，
即E为DB的中点，得， …………5分
故，
设是平面DAE的法向量，则，
即，可取． …………7分
设是平面AEC的法向量，则，
即，可取． …………9分
则， …………11分
所以二面角的余弦值为． …………12分