贵州省黔东南州2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题

这是一份贵州省黔东南州2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题，共9页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，如图，在三棱锥中，点满足，则，若直线，则等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章。
1．已知等比数列的前两项分别为1，－2，则该数列的第4项为（ ）
A．4B．－4C．8D．－8
2．椭圆的焦距为（ ）
A．B．4C．D．2
3．在空间直角坐标系中，已知向量是平面的一个法向量，且．则直线与平面所成角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
4．若数列满足，则（ ）
A．1B．C．D．
5．已知椭圆的焦点为为上一点，且点不在直线上，则“”是“的周长大于12”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
6．如图，在三棱锥中，点满足，则（ ）
A．B．C．2D．
7．已知是抛物线上的三个点，为焦点，，点到轴的距离为，则的最小值为（ ）
A．10B．11C．D．
8．已知双曲线的离心率为，当时，在数列中，满足为有理数的的最大值为（ ）
A．959B．960C．961D．963
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若直线，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知是空间的一个单位正交基底，则（ ）
A．B．构成空间的一个基底
C．D．构成空间的一个基底
11．已知公比为的正项等比数列的前项积为，则（ ）
A．B．当时，
C．D．当，且取得最小值时，只能等于6
12．已知为坐标原点，是椭圆的右焦点，与椭圆交于两点，分别为的中点，若，则椭圆的离心率可能为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．双曲线的虚轴长为______．
14．抛物线的准线方程为______．
15．某阶梯大教室的座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多3个，已知第一排有5个座位，且该阶梯大教室共有258个座位，则该阶梯大教室最后一排的座位数为______．
16．已知，直线为上的动点．过点作的切线，切点分别为，当最小时，点的坐标为，直线的一般式方程为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切于点．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与图相交于两点，求．
18．（12分）
在数列中，且成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
19．（12分）
已知点，动点满足，记点的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）若是上不同的两点，且直线的斜率为5，线段的中点为，证明：点在直线上．
20．（12分）
如图，在直四棱柱中，．
（1）证明：．
（2）若，四边形的面积为，求平面与平面夹角的余弦值．
21．（12分）
已知数列的前项和为，且为定值．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
22．（12分）
已知点在抛物线上，点在第一象限，过点且与相切的直线与轴交于点，与轴交于点．
（1）证明：是的中点．
（2）过点作的垂线交于另一点，且，求的斜率．
黔东南州2023－2024学年度第一学期期末检测高二年级数学参考答案
1．D依题意可得该等比数列的公比为，所以该数列的第4项为．
2．B因为，所以．
3．C直线与平面所成角的正弦值等于．
4．D因为，所以，则．同理可得，则．
5．B因为，所以．又，所以的周长为．若，则．若，则．所以“”是“的周长大于12”的必要不充分条件．
6．C ，
所以，故．
7．C因为的准线方程为，所以，所以，当且仅当三点共线且在线段上时，等号成立，所以的最小值为．
8．A双曲线的离心率．
因为，所以当时，为有理数．又，所以满足条件的的最大值为959．
9．BD因为，所以．
10．ACD因为是空间的一个单位正交基底，所以均为单位向量且两两垂直，所以，A正确．，C正确．
因为，所以不能构成空间的一个基底，B错误．
因为不存在实数，使得，所以构成空间的一个基底，D正确．
11．ABC ，A正确．，C正确．
当时，因为，所以，可得，B正确．
当时，因为，所以，则的最小值为或，D错误．
12．AD 设为椭圆的左焦点，所以，则，
由椭圆的对称性，得四边形为矩形，则，且两点不在轴上，则离心率，椭圆的离心率的取值范围为，故选AD．
13．6 因为，所以，所以该双曲线的虚轴长为6．
14． 因为，所以，所以抛物线的准线方程为．
15．38 该阶梯大教室的座位数按照从小到大的顺序依次成等差数列，且首项为5，公差为3，设该阶梯大教室共有排，则，整理得，因为，所以．所以该阶梯大教室最后一排的座位数为．
16． 的标准方程为，
其圆心为，半径为2．因为，所以当最小时，最小，此时与直线垂直，所以直线的方程为，即．联立解得所以点的坐标为，．在Rt中，，同理．以为圆心，为半径作圆（图略），则线段为与的公共弦，的方程为，即，两圆方程相减得，即直线的一般式方程为．
17．解：（1）设圆的方程为，则．
因为圆与轴相切于点，所以，
所以，故圆的标准方程为．
（2）圆心到标准直线的距离为，则．
18．解：（1）由，可知是以1为公差的等差数列．
因为成等比数列，所以．所以，解得，所以．
（2），
则．
19．（1）解：因为，
所以根据双曲线的定义可知点的轨迹为以为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，
由，得，
所以的方程为．
（2）证明：设两点的坐标分别为，
则
两式相减并整理得，，
设，依题意可得
所以，
即，所以，
即，所以点在直线上．
【注】第（1）问中的方程也可以写为，若的方程写为，扣1分．
20．（1）证明：连接，设与相交于点，因为，
所以，所以，又，
所以，所以，又，
所以，即．
因为平面平面，所以，
因为，所以平面，因为平面，
所以，因为，所以．
（2）解：以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系．
由题可知，四边形的面积为，解得．
所以
易知为平面的一个法向量，
设为平面的一个法向量，
则取，得，则，
所以，故平面与平面夹角的余弦值为．
21．解：（1）因为，且为定值，所以，
当时，，所以，
即，即，所以是首项为1，公比为的等比数列，故．
（2）由（1）知，，则，所以，所以，故．
22．（1）证明：设直线的方程为，则．
与联立，可得．
由，化简得，所以．
解方程，可得，所以．
因为，所以是的中点．
（2）解：结合（1），设过点且与直线垂直的直线方程为，
与联立，可得．
设，则，
，，
由，得．
因为函数是增函数，且，所以，即的斜率为1．