广东省佛山市高明区第一中学2023-2024学年高三1月调研考试数学试题

这是一份广东省佛山市高明区第一中学2023-2024学年高三1月调研考试数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．（2023·广东东莞三模）已知全集U={a，b，c，d，e}，（∁UM）∩P={a}，（∁UP）∩M={b}，（∁UM）∩（∁UP）={c}，则（ ）
A．P={a} B．M={a，c} C．P∩M={c，d，e} D．P∪M={a，b，d，e}
2．（2023·湖南九校联盟联考二）在复数范围内解得方程x2＋4x＋5=0的两根为x1，x2，则|x1－x2|=（ ）
A．4 B．1 C．2 D．3
3．（2023·重庆调研六）某同学经过研究发现的图象实际是一条双曲线，则该双曲线的焦距为（ ）
A． B．2 C． D．4
4．（2023·云南师大附中模拟八）《易经》中的“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”充分体现了中国古典哲学与现代数学的关系，从数轴中的两个半轴（正半轴和负半轴），到平面直角坐标系中的四个象限，进而到空间直角坐标系中的八个卦限，是由简单到繁复的变化过程．已知平面向量的运算可推广到n（n≥3）维向量，用有序数组（x1，x2，…，xn）表示n（n≥3）维向量，若n维向量，则（ ）
A． B．
C． D．存在λ∈R使得
5．（2023·山东青岛三模）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到g（x）的图象，若函数g（x）在上单调递减，则ω的取值范围为（ ）
A．（0，3] B．（0，2] C． D．
6．（2023·山西适应性考试）2222除以5的余数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023·河北唐山三模）把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角D′－AC－B，则三棱锥D′－ABC外接球的球心到平面BCD′的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·河北石家庄质检一）已知，则（ ）
A．a二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2023·湖北十堰四月调研）已知m，n，l为空间中三条不同的直线，α，β，γ，δ为空间中四个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若m⊥l，n⊥l，则m∥n
B．已知α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，若l∩m=P，则P∈n
C．若m⊥α，m⊥β，α∥γ，则β∥γ
D．若α⊥β，γ⊥α，δ⊥β，则γ⊥δ
10．（2023·海南华侨中学模拟）在声学中，音量被定义为，其中Lp是音量（单位为dB），p0是基准声压，为2×10－5Pa，p是实际声音压强．人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值．经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如图所示，其中240Hz对应的听觉下限阈值为20dB，1000Hz对应的听觉下限阈值为0dB，则下列结论正确的是（ ）
A．音量同为20dB的声音，1000～10000Hz的高频比30～100Hz的低频更容易被人们听到
B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小
C．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为0．002Pa
D．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍
11．（2023·福建联合测评）已知一组2n（n∈N*）个数据：a1，a2，…，a2n，满足a1≤a2≤…≤a2n，平均值为M，中位数为N，方差为s2，则（ ）
A．an≤M≤an＋1
B．an≤N≤an＋1
C．函数的最小值为2ns2
D．若a1，a2，…，a2n成等差数列，则M=N
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2023·安徽马鞍山二中校考期中）已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若T2=T5=32，则T6=________．
13．（2023·湖南长沙5月“一起考”）已知tanα=csα，则________．
14．（2023·河北张家口一模）已知点F（2，0）为椭圆C：（a>0，b>0）的右焦点，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为，则C的离心率为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sinAsinBcsC=sin2C.
（1）求的值；
（2）若c=2，求△ABC的面积S的最大值．
16．铅球起源于古代人类用石块猎取禽兽或防御攻击的活动．现代推铅球始于14世纪40年代欧洲炮兵闲暇期间推掷炮弹的游戏和比赛，后逐渐形成体育运动项目．男、女铅球分别于1896年、1948年被列为奥运会比赛项目．为了更好地在中小学生中推广推铅球这项体育运动，某教育局对该市管辖内的42所高中的所有高一男生进行了推铅球测试，测试结果表明所有高一男生的成绩X（单位：米）近似服从正态分布N（9，σ2），且.
（1）若从所有高一男生中随机挑选1人，求他的推铅球测试成绩在（8，10）范围内的概率；
（2）从该市所有高一男生中随机挑选4人，记这4人中推铅球测试成绩在（8，10）范围内的人数为Y，求Y的分布列和方差；
（3）某高一男生进行推铅球训练，若推n（n为正整数）次铅球，期望至少有21次成绩在（8，10）范围内，请估计n的最小值．
17．如图1，在平面五边形ABCDE中，AD∥BC，AD=2BC=4，，∠ABC=90°，△ADE是等边三角形．现将△ADE沿AD折起，记折后的点E为E′，连接E′B，E′C，得到四棱锥E′－ABCD，如图2.
（1）证明：BC⊥CE′；
（2）若平面E′CD⊥平面ABCD，求二面角A－DE′－B的余弦值．
18．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，且Sn＋1=2Sn＋n＋3.数列{bn}满足b1=1，．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）将数列{bn}中的项按从小到大的顺序依次插入数列{an}中，在任意的ak，ak＋1之间插入2k－1项，从而构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的前100项和．
19．某学校有4000名学生，假设携带乙肝病毒的学生占m%，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验4000次．为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法：随机按照k个人进行分组，将各组k个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人的血样再分别化验一次．假设每人的血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立．
（1）若m=0.4，记每人血样化验的次数为X，求当k取何值时，X的数学期望最小，并求化验总次数；
（2）若m=0.8，设每人血样单独化验一次的费用为5元，k个人混合化验一次的费用为k＋4元．求当k取何值时，每人血样化验费用的数学期望最小，并求化验总费用．
参考数据及公式：（n∈N*，n≥2，|x|≤0.01）．
2024年度广东佛山市高明一中高三1月调研
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．答案 D
解析 由题意画出Venn图如右图所示，可得P={a，d，e}，M={b，d，e}，P∩M={d，e}，P∪M={a，b，d，e}．故选D．
2．答案 C
解析 在x2＋4x＋5=0中，解得x=－2±i，所以|x1－x2|=|－2－i－（－2＋i）|=|－2i|=2．故选C．
3．答案 D
解析 由图象的对称轴为y=±x，且焦点在y=x上，顶点为（1，1）和（－1，－1），渐近线为x，y轴，若把该双曲线顺时针旋转45°，则双曲线的渐近线为y=±x，顶点为，故，所以，则焦距为2c=4．故选D．
4．答案 C
解析 因为a＋b=（0，2，2，…，2），所以，A错误；a·b=1×（－1）＋1×1×（n－1）=n－2，B错误；，C正确；假设存在λ∈R使得b=λa，则有1=－λ且1=λ，此时λ无解，D错误．故选C．
5．答案 C
解析 ，当时，，又g（x）在上单调递减，即，故．故选C．
6．答案 D
解析 ，由此可知2222除以5的余数即为除以5的余数，故所求余数为4．故选D．
7．答案 A
解析 如图，易知三棱锥D′－ABC的外接球球心为AC的中点O，易得OB=OC=OD′=1，且OC⊥OB，OD′⊥平面OBC，，设球心到平面BCD′的距离为d，则VD′－OBC=VO－BCD′，即，得．故选A．
8．答案 B
解析 令，则恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，则f（0.4）>f（0）=0，即，所以，则b>a；，即，所以，则，即，所以，又，所以，则a>c．综上，c二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．答案 BC
解析 m⊥l，n⊥l，则m与n可能平行，可能相交，也可能异面，A错误；因为α∩β=l，β∩γ=m，l∩m=P，所以P∈α，P∈γ，因为γ∩α=n，所以P∈n，B正确；m⊥α，m⊥β，则α∥β，又α∥γ，则β∥γ，C正确；如图，正方体中，设平面α为平面ABCD，平面β为平面BCC1B1，平面γ为平面ABB1A1，平面δ为平面CDD1C1，则α⊥β，α⊥γ，δ⊥β，但γ∥δ，D错误．故选BC．
10．答案 AD
解析 对于A，30～100Hz的低频对应的听觉下限阈值高于20dB，1000～10000Hz的高频对应的听觉下限阈值低于20dB，所以对比高频更容易被听到，故A正确；对于B，从图象上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B错误；对于C，240Hz对应的听觉下限阈值为20dB，p0=2×10－5Pa，令，此时p=10p0=0.0002Pa，故C错误；对于D，1000Hz的听觉下限阈值为0dB，令，此时p=p0，所以240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D正确．故选AD.
11．答案 BCD
解析 对于A，当n=2时，一组数据为1，2，4，17，则M=6，不在2，4之间，A错误；对于B，由中位数定义知an≤N≤an＋1，B正确；对于C，，当x=M时，f（x）的最小值为，C正确；对于D，若a1，a2，…，a2n成等差数列，则，D正确．故选BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．答案 8
解析 设等比数列{an}的公比为q，∵T2=T5=32，∴，可得a4=1，即a1q3=1.又，∴，解得，a1=8，故（n=1，2，3，…），∴，∴.
13．答案 1
解析 由tanα=csα，得，即sinα=cs2α，则sinα=（1－sinα）（1＋sinα），即，所以.
14．答案
解析 设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆的方程可得，两式相减得 ①，又x1＋x2=2，y1＋y2=－1，，所以代入①可得，化简得a2=4b2，经检验符合题意．又b2=a2－c2，所以a2=4a2－4c2，故离心率．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解 （1）因为2sinAsinBcsC=sin2C，
所以2abcsC=c2，
由余弦定理得，即a2＋b2－c2=c2，
整理得.
（2）因为，
由（1）可得，则，
又2c2=8=a2＋b2≥2ab，即ab≤4，当且仅当a=b时等号成立．
于是，
所以△ABC的面积S的最大值为.
16．解 （1）因为X～N（9，σ2），
所以，
又，
所以，
所以.
（2）Y的可能取值为0，1，2，3，4，由，
有，
，
，
，
．
故Y的分布列为
.
（3）由（1）得，
由二项分布可知，可得，
又由n为正整数，可得n≥32，
故n的最小值为32.
17．解 （1）证明：如图所示，设M为AD的中点，连接E′M，CM，因为△ADE′是等边三角形，所以AD⊥E′M，因为AD∥BC，所以BC⊥E′M，因为AD=2BC，所以AM=BC且AM∥BC，
所以四边形ABCM为平行四边形，
所以AB∥CM，
因为∠ABC=90°，所以CM⊥BC.
又CM∩E′M=M，CM，E′M⊂平面E′MC，
所以BC⊥平面E′MC，
又因为CE′⊂平面E′MC，所以BC⊥CE′.
（2）过A作AH⊥CD于点H，因为平面E′CD⊥平面ABCD，平面E′CD∩平面ABCD=CD，所以AH⊥平面E′CD，
又因为CE′⊂平面E′CD，所以AH⊥CE′.
又BC⊥CE′，AH，BC相交，AH，BC⊂平面ABCD，
所以CE′⊥平面ABCD，.
以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面BDE′的法向量为，
则即
令x1=3，得，
所以．
设平面ADE′的法向量为，
则即
令y2=1，得x2=0，z2=1，所以．
，
所以二面角A－DE′－B的余弦值为．
18．解 （1）由已知可得，Sn＋1=2Sn＋n＋3，当n≥2时，有Sn=2Sn－1＋n＋2，
两式相减，得an＋1=2an＋1.
又a1=3，a1＋a2=2a1＋4，
所以a2=7=2a1＋1，满足上式．
所以an＋1＋1=2（an＋1）．
又a1＋1=4，
所以{an＋1}是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以an＋1=4·2n－1，
即an=2n＋1－1.
又，
所以，
即，
又，
所以，
所以bn=2n－1.
（2）设数列{cn}的前100项中，来自数列{an}中的有m项．
若第100项来自{an}，则应有m＋2×1－1＋2×2－1＋…＋2（m－1）－1=100，
整理可得，m2－m－99=0，该方程没有正整数解，不满足题意；
若第100项来自{bn}，则应有m＋2×1－1＋2×2－1＋…＋2m－1≥100，
整理可得，m2＋m－100≥0.
当m=9时，有92＋9－100=－10<0，当m=10时，102＋10－100=10>0，故m=10，
所以数列{cn}的前100项中含有10项数列{an}中的项，含有90项数列{bn}中的项，
所以
19．解 （1）每人血样化验的次数为X，
若混合血样呈阴性，则，
若混合血样呈阳性，则，
所以，
则.
令，即，
易得f（x）在上单调递减，在上单调递增，
因为k∈Z，且，f（16）=0.1265，
所以当k=16时，E（X）取得最小值，为0.1265.
即按16人一组，每人血样化验次数的数学期望最小，此时化验总次数为4000×0.1265=506.
（2）设每组k人，每组化验总费用为Y元，
若混合血样呈阴性，则Y=k＋4；若混合血样呈阳性，则Y=6k＋4，
且P（Y=k＋4）=0.992k，
P（Y=6k＋4）=1－0.992k，
所以E（Y）=（k＋4）×0.992k＋（6k＋4）（1－0.992k）=6k－5k×0.992k＋4，
则每人血样化验的费用为
，
当且仅当，即k=10时取等号，
即10个人一组，每人血样化验费用的数学期望最小，
此时化验总费用为4000×1.8=7200（元）． Y
0
1
2
3
4
P