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河北省石家庄市元氏县第四中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试卷
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这是一份河北省石家庄市元氏县第四中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试卷，共20页。试卷主要包含了满分，1）等内容，欢迎下载使用。
1.（单选题.5分） C32+C62 =（ ）
A.9
B.18
C.28
D.36
2.（单选题.5分）从甲地到乙地一天有汽车8班.火车2班.轮船3班.某人从甲地到乙地.共有不同的走法种数为（ ）
A.24
B.16
C.13
D.48
3.（单选题.5分）已知随机变量X服从正态分布N（120.52）.若P（115＜X＜120）=p.则P（X＞125）=（ ）
A.1-p
B. 1+p2
C. 1−p2
D. 1−2p2
4.（单选题.5分）下列求导运算正确的是（ ）
A. exlnx′=ex1x+lnx
B. csπ3′=−sinπ3
C.（x2sinx）′=2xcsx
D.（3x）′=3x
5.（单选题.5分）在二项式 x−12x7 的展开式中.x4的系数为（ ）
A.35
B.7
C. −72
D. 214
6.（单选题.5分）函数f（x）=x+ 4x -3lnx的单调减区间是（ ）
A.（-1.4）
B.（0.1）
C.（4.+∞）
D.（0.4）
7.（单选题.5分）点P是曲线y=x2-lnx上任意一点.则点P到直线y=x-2的距离的最小值是（ ）
A.1
B. 2
C.2
D.2 2
8.（单选题.5分）已知函数f（x）=x3-3x+m只有一个零点.则实数m的取值范围是（ ）
A.[-2.2]
B.（-∞.-2）∪（2.+∞）
C.（-2.2）
D.（-∞.-2]∪[2.+∞）
9.（多选题.5分）函数f（x）的定义域为R.它的导函数y=f'（x）的部分图象如图所示.则下面结论正确的是（ ）
A.在（1.2）上函数f（x）为增函数
B.在（3.5）上函数f（x）为增函数
C.在（1.3）上函数f（x）有极大值
D.x=3是函数f（x）在区间[1.5]上的极小值点
10.（多选题.5分）甲盒中有3个红球和2个白球.乙盒中有2个红球和3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒．用事件E表示“从甲盒中取出的是红球”.用事件F表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球.用事件G表示“从乙盒中取出的是红球”.则下列结论正确的是（ ）
A.事件F与G是互斥事件
B.事件E与G不是相互独立事件
C. PG=1330
D. PG|E=12
11.（多选题.5分）下列说法正确的为（ ）
A.6本不同的书分给甲、乙、丙三人.每人两本.有 C62C42C22 种不同的分法
B.6本不同的书分给甲、乙、丙三人.其中一人1本.一人2本.一人3本.有 C61C52C33 种不同的分法
C.6本相同的书分给甲、乙、丙三人.每人至少一本.有10种不同的分法
D.6本不同的书分给甲、乙、丙三人.每人至少一本.有540种不同的分法
12.（多选题.5分）已知函数f（x）= x2+x−1ex .则下列结论正确的是（ ）
A.函数f（x）存在两个不同的零点
B.函数f（x）既存在极大值又存在极小值
C.当-e＜k＜0时.方程f（x）=k有且只有两个实根
D.若x∈[t.+∞）时.f（x）max= 5e2 .则t的最小值为2
13.（填空题.5分）曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为1+ 1e （e为自然对数的底数）.该切线的方程为 ___ ．
14.（填空题.5分）某校要求每位学生从8门课程中选修5门.其中甲、乙两门课程至多只能选修一门.则不同的选课方案有___ 种（以数字作答）．
15.（填空题.5分）已知函数 fx=f′π3sinx−csx .则 fπ3 的值为___ ．
16.（填空题.5分）已知定义在（0.+∞）上的函数f（x）.f'（x）是f（x）的导函数.满足xf'（x）-f（x）＜0.且f（2）=2.则不等式f（2x）-2x＞0的解集是 ___ ．
17.（问答题.10分）3位男同学和2位女同学站成一排．
（Ⅰ）2位女同学必须站在一起.有多少种不同的排法（用数字作答）；
（Ⅱ）2位女同学彼此不相邻.有多少种不同的排法（用数字作答）．
18.（问答题.12分）已知函数f（x）=x3-3x+1．
（1）求曲线y=f（x）在点（0.f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．
19.（问答题.12分）一道数学题甲做对的概率是 23 .乙做对的概率是 12 .假设二人做题对错互相独立.求：
（1）甲、乙两人都做对的概率；
（2）甲、乙两人至少有一人做对的概率．
20.（问答题.12分）已知函数f（x）=x3-3ax-1在x=-1处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）当x∈[-2.1]时.求函数f（x）的最小值．
21.（问答题.12分）甲同学参加化学竞赛初赛.考试分为笔试、口试、实验三个项目.各单项通过考试的概率依次为 34 . 23 . 12 ．记甲同学三个项目中通过考试的个数为X.求随机变量X的分布列．
22.（问答题.12分）福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品.属于福州三宝之一.纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架.第二步裱伞面；第三步绘花刷油．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外.更要有制作上的技术要求.已知某工艺师在每个环节制作合格的概率分别为 34 . 45 . 23 .只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作．
（1）求该工艺师进行3次制作.恰有一件优秀作品的概率；
（2）若该工艺师制作4次.其中优秀作品数为X.求X概率分布列及期望；
2021-2022学年河北省石家庄市元氏四中高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
试题数：22.满分：150
1.（单选题.5分） C32+C62 =（ ）
A.9
B.18
C.28
D.36
【正确答案】：B
【解析】：根据组合以及组合数的性质化简即可求解．
【解答】：解：因为C 32+C62 = 3×22×1+6×52×1 =3+15=18.
故选：B．
【点评】：本题考查了组合以及组合数公式的应用.考查了学生的运算求解能力.属于基础题．
2.（单选题.5分）从甲地到乙地一天有汽车8班.火车2班.轮船3班.某人从甲地到乙地.共有不同的走法种数为（ ）
A.24
B.16
C.13
D.48
【正确答案】：C
【解析】：根据分类加法原理进行计算即可．
【解答】：解：从甲地到乙地.坐汽车.火车.轮船都能到达乙地.
则共有8+2+3=13种不同的走法.
故选：C．
【点评】：本题主要考查简单的计数问题.利用分类问题用加法的方法是解决本题的关键.是基础题．
3.（单选题.5分）已知随机变量X服从正态分布N（120.52）.若P（115＜X＜120）=p.则P（X＞125）=（ ）
A.1-p
B. 1+p2
C. 1−p2
D. 1−2p2
【正确答案】：D
【解析】：根据已知条件.结合正态分布的对称性.即可求解．
【解答】：解：∵随机变量X服从正态分布N（120.52）.P（115＜X＜120）=p.
∴P（115＜X＜120）=P（120＜X＜125）=p.
∴P（X＞125）= 12−p=1−2p2 ．
故选：D．
【点评】：本题主要考查正态分布的对称性.考查转化能力.属于基础题．
4.（单选题.5分）下列求导运算正确的是（ ）
A. exlnx′=ex1x+lnx
B. csπ3′=−sinπ3
C.（x2sinx）′=2xcsx
D.（3x）′=3x
【正确答案】：A
【解析】：直接利用常见函数的导数公式以及导数的运算性质对各个选项逐一判断即可．
【解答】：解： exlnx′=ex′lnx+exlnx′=ex+2x+lnx .故选项A正确；
csπ3′=12′=0 .故选项B错误；
（x2sinx）′=（x2）′sinx+x2（sinx）′=2xsinx+x2csx.故选项C错误；
（3x）′=3xln3.故选项D错误．
故选：A．
【点评】：本题考查了导数的运算.解题的关键是掌握常见函数的导数以及导数的运算法则.属于基础题．
5.（单选题.5分）在二项式 x−12x7 的展开式中.x4的系数为（ ）
A.35
B.7
C. −72
D. 214
【正确答案】：D
【解析】：由二项式定理.结合二项式展开式通项公式求解即可．
【解答】：解：由二项式 x−12x7 的展开式的通项公式为Tr+1=（- 12 ）r C7r x 7−3r2 .
令7- 3r2=4 .
解得r=2.
即x4的系数为（- 12 ）2 C72 = 214 .
故选：D．
【点评】：本题考查了二项式定理.重点考查了二项式展开式通项公式.属基础题．
6.（单选题.5分）函数f（x）=x+ 4x -3lnx的单调减区间是（ ）
A.（-1.4）
B.（0.1）
C.（4.+∞）
D.（0.4）
【正确答案】：D
【解析】：求出函数的导数.解关于导函数的不等式.求出函数的单调区间即可．
【解答】：解：函数的定义域是（0.+∞）.
f′（x）=1- 4x2 - 3x = x+1x−4x2 .
令f′（x）＜0.解得：0＜x＜4.
故f（x）在（0.4）递减.
故选：D．
【点评】：本题考查了函数的单调性问题.考查导数的应用.是一道常规题．
7.（单选题.5分）点P是曲线y=x2-lnx上任意一点.则点P到直线y=x-2的距离的最小值是（ ）
A.1
B. 2
C.2
D.2 2
【正确答案】：B
【解析】：画出函数的图象.故当点P是曲线的切线中与直线y=x-2平行的直线的切点时.然后求解即可．
【解答】：解：由题意作图如下.
当点P是曲线的切线中与直线y=x-2平行的直线的切点时.最近；
故令y′=2x- 1x =1解得.x=1；
故点P的坐标为（1.1）；
故点P到直线y=x-2的最小值为 1−2−11+1 = 2 ；
故选：B．
【点评】：本题考查了几何意义的运用及导数的综合应用.平行线之间距离的求法.考查转化思想以及计算能力.属于中档题．
8.（单选题.5分）已知函数f（x）=x3-3x+m只有一个零点.则实数m的取值范围是（ ）
A.[-2.2]
B.（-∞.-2）∪（2.+∞）
C.（-2.2）
D.（-∞.-2]∪[2.+∞）
【正确答案】：B
【解析】：利用导数求出函数的极大值和极小值.要使函数f（x）=x3-3x+m只有一个零点.则满足极大值小于0或极小值大于0．
【解答】：解：∵f（x）=x3-3x+m.∴f'（x）=3x2-3.
由f'（x）＞0.得x＞1或x＜-1.此时函数单调递增.
由f'（x）＜0.得-1＜x＜1.此时函数单调递减．
即当x=-1时.函数f（x）取得极大值.
当x=1时.函数f（x）取得极小值.
要使函数f（x）=x3-3x+m只有一个零点.则满足极大值小于0或极小值大于0.
即极大值f（-1）=-1+3+m=m+2＜0.解得m＜-2．
极小值f（1）=1-3+m=m-2＞0.解得m＞2．
综上实数m的取值范围：m＜-2或m＞2．
故选：B．
【点评】：本题主要考查三次函数的图象和性质.利用导数求出函数的极值是解决本题的关键．
9.（多选题.5分）函数f（x）的定义域为R.它的导函数y=f'（x）的部分图象如图所示.则下面结论正确的是（ ）
A.在（1.2）上函数f（x）为增函数
B.在（3.5）上函数f（x）为增函数
C.在（1.3）上函数f（x）有极大值
D.x=3是函数f（x）在区间[1.5]上的极小值点
【正确答案】：AC
【解析】：结合导数与单调性及极值的关系分析各选项即可判断．
【解答】：解：由图象可得.当1＜x＜2时.f′（x）＞0.函数单调递增.当2＜x＜4时.f′（x）＜0.函数单调递减.当4＜x＜5时.f′（x）＞0.函数单调递增.
故当x=2时.函数取得极大值.当x=4时.函数取得极小值．
故选：AC．
【点评】：本题主要考查了导数与单调性及极值的关系.体现了数形结合思想的应用.属于基础题．
10.（多选题.5分）甲盒中有3个红球和2个白球.乙盒中有2个红球和3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒．用事件E表示“从甲盒中取出的是红球”.用事件F表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球.用事件G表示“从乙盒中取出的是红球”.则下列结论正确的是（ ）
A.事件F与G是互斥事件
B.事件E与G不是相互独立事件
C. PG=1330
D. PG|E=12
【正确答案】：BCD
【解析】：对于A.结合互斥事件的定义.即可求解.对于B.结合相互独立事件的定义.即可求解.对于C.结合相互独立事件的概率公式.即可求解.对于D.结合条件概率公式.即可求解．
【解答】：解：对于A.事件F和G能同时发生.事件F和G不是互斥事件.故A错误.
对于B.事件E发生与否与事件G有关.故B正确.
对于C.P（G）= C31C51×C31C61 + C21C51×C21C61=1330 .故C正确.
对于D.P（G|E）= PEGPE=930×53=12 .故D正确．
故选：BCD．
【点评】：本题主要考查概率的求解.以及互斥事件的定义.属于基础题．
11.（多选题.5分）下列说法正确的为（ ）
A.6本不同的书分给甲、乙、丙三人.每人两本.有 C62C42C22 种不同的分法
B.6本不同的书分给甲、乙、丙三人.其中一人1本.一人2本.一人3本.有 C61C52C33 种不同的分法
C.6本相同的书分给甲、乙、丙三人.每人至少一本.有10种不同的分法
D.6本不同的书分给甲、乙、丙三人.每人至少一本.有540种不同的分法
【正确答案】：ACD
【解析】：根据题意.依次分析选项：
对于A.分析三人没2本的分法数目.由分步计数原理计算可得A正确；
对于B.先将6本书分为1、2、3的三组.再将分好的三组分成甲乙丙三人.由分步计数原理计算可得B错误；
对于C.用挡板法分析.在6本书之间的5个空位中任选2个.插入挡板即可.由组合数公式计算可得C正确；
对于D.分三种情况讨论： ① 三人每人2本. ② 三人中一人1本.一人2本.一人3本. ③ 三人中一人4本.其余2人各1本.由加法原理可得D正确；综合即可得答案．
【解答】：解：根据题意.依次分析选项：
对于A.6本不同的书分给甲、乙、丙三人.每人两本.先分给甲.有C62种情况.再分给乙.有C42种情况.最后2本分给丙.有 C62C42C22 种不同的分法.A正确；
对于B.先将6本书分为1、2、3的三组.有 C61C52C33 种分组方法.再将分好的三组分成甲乙丙三人.有A33种情况.则有 C61C52C33 A33种不同分法.B错误；
对于C.6本相同的书分给甲、乙、丙三人.每人至少一本.用挡板法分析.在6本书之间的5个空位中任选2个.插入挡板即可.有C52=10种分法.C正确；
对于D.分三种情况讨论：
① 三人每人2本.有 C62C42C22 =90种不同的分法.
② 三人中一人1本.一人2本.一人3本.有 C61C52C33 A33=360种不同的分法.
③ 三人中一人4本.其余2人各1本.有 C64 C31 A22 =90种不同的分法.
则有90+360+90=540种不同的分法.D正确；
故选：ACD．
【点评】：本题考查排列组合的应用.涉及分步计数原理的应用.属于基础题．
12.（多选题.5分）已知函数f（x）= x2+x−1ex .则下列结论正确的是（ ）
A.函数f（x）存在两个不同的零点
B.函数f（x）既存在极大值又存在极小值
C.当-e＜k＜0时.方程f（x）=k有且只有两个实根
D.若x∈[t.+∞）时.f（x）max= 5e2 .则t的最小值为2
【正确答案】：ABC
【解析】：利用导数分析函数的图象的可能情况.即可得到结论．
【解答】：解： f′x=−x2+x+2ex .令f′（x）=0.解得x=-1或x=2.
当x＜-1或x＞2时.f′（x）＜0.故函数f（x）在（-∞.-1）.（2.+∞）上单调递减.当-1＜x＜2时.f′（x）＞0.故函数在（-1.2）上单调递增.
且函数f（x）有极小值f（-1）=-e.有极大值 f2=5e2 .当x→-∞时.f（x）→+∞.当x→+∞时.f（x）→0.
故作函数草图如下.
由图可知.选项ABC正确.选项D错误．
故选：ABC．
【点评】：本题主要考查导数在函数问题中的运用.考查数形结合思想.属于基础题．
13.（填空题.5分）曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为1+ 1e （e为自然对数的底数）.该切线的方程为 ___ ．
【正确答案】：[1]（1+ 1e ）x-y+1=0
【解析】：根据切线的斜率等于切点处的导数值.求出切点坐标.问题可解．
【解答】：解：设切点为（m.lnm+m+1）.
由 y′=1x+1 得. 1m+1=1+1e .故m=e.
故切点为（e.2+e）.斜率为 1+1e .
故切线方程为：y-（2+e）=（1+ 1e ）（x-e）.
即（1+ 1e ）x-y+1=0．
故答案为：（1+ 1e ）x-y+1=0．
【点评】：本题考查切线方程的求法.导数的几何意义等知识与方法.属于基础题．
14.（填空题.5分）某校要求每位学生从8门课程中选修5门.其中甲、乙两门课程至多只能选修一门.则不同的选课方案有___ 种（以数字作答）．
【正确答案】：[1]36
【解析】：本题是一个排列组合的实际应用.甲、乙两门课程至多只能选修一门则包括选一门和选两门两种情况第一类甲和乙两门课都不选.第二类甲和乙中选一门.剩余6门课中选两门．
【解答】：解：由题意知本题是一个排列组合的实际应用.
∵甲、乙两门课程至多只能选修一门
则包括选一门和选两门两种情况
第一类甲和乙两门课都不选.有C65=6种方案；
第二类甲和乙中选一门.剩余6门课中选四门.有C21C64=30种方案．
∴根据分类计数原理知共有6+30=36种方案．
故答案为：36
【点评】：本题考查排列组合的实际应用.这是经常出现的一个问题.解题时一定要分清做这件事需要分为几类.每一类包含几种方法.把几个步骤中数字相加得到结果．
15.（填空题.5分）已知函数 fx=f′π3sinx−csx .则 fπ3 的值为___ ．
【正确答案】：[1]1
【解析】：先将f（x）求导得出f′（x）= f′π3csx+sinx ．令x= π3 得出 f′π3 = 3 确定出f（x）的解析式后.问题易解．
【解答】：解： f′x=f′π3sinx′−csx′ = f′π3csx+sinx ．令x= π3 得出 f′π3=f′π3×12+ 32 .解得 f′π3 = 3 ．
∴ fx=3sinx−csx . fπ3 = 3×32−12 =1
故答案为：1．
【点评】：本题考查函数求导.函数值得计算.对f（x）求导后令x= π3 得出 f′π3 = 3 确定出f（x）的解析式是关键．考查分析解决问题能力、计算能力．
16.（填空题.5分）已知定义在（0.+∞）上的函数f（x）.f'（x）是f（x）的导函数.满足xf'（x）-f（x）＜0.且f（2）=2.则不等式f（2x）-2x＞0的解集是 ___ ．
【正确答案】：[1]（-∞.1）
【解析】：构造新函数g（x）= fxx （x＞0）.求导后可知g（x）在（0.+∞）上单调递减；由f（2）=2可推出g（2）=1；不等式f（2x）-2x＞0等价于g（2x）= f(2x)2x ＞1=g（2）⇒0＜2x＜2.解之即可．
【解答】：解：设g（x）= fxx （x＞0）.
∵xf'（x）-f（x）＜0.x∈（0.+∞）.
∴g'（x）= xf′x−fxx2 ＜0.
∴g（x）在（0.+∞）上单调递减.
∵f（2）=2.
∴g（2）= f22 =1.
不等式f（2x）-2x＞0等价于g（2x）= f(2x)2x ＞1=g（2）.
∴0＜2x＜2.解得x＜1.∴不等式的解集为（-∞.1）.
故答案为：（-∞.1）．
【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性.解不等式.构造新函数是解题的关键.考查等价转化思想与运算求解能力.属于中档题．
17.（问答题.10分）3位男同学和2位女同学站成一排．
（Ⅰ）2位女同学必须站在一起.有多少种不同的排法（用数字作答）；
（Ⅱ）2位女同学彼此不相邻.有多少种不同的排法（用数字作答）．
【正确答案】：
【解析】：（Ⅰ）利用相邻问题捆绑法进行求解即可.
（Ⅱ）利用不相邻问题插空法进行求解即可．
【解答】：解：（Ⅰ）把2位女生看作一个元素.则有 A44A22 =48种不同的排法．
（Ⅱ）先排3位男同学.然后隔开4个空.在排2位女同学.共有 A33A42 =6×12=72种不同的排法．
【点评】：本题主要考查排列的简单计数问题.利用相邻问题捆绑法.不相邻问题插空法是解决本题的关键.是基础题．
18.（问答题.12分）已知函数f（x）=x3-3x+1．
（1）求曲线y=f（x）在点（0.f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．
【正确答案】：
【解析】：（1）求出函数的导数.计算f（0）.f′（0）.求出切线方程即可；
（2）解关于导函数的不等式.求出函数的单调区间即可．
【解答】：解：（1）f（x）=x3-3x+1.所以f（0）=1.
又f'（x）=3x2-3.
所以k=f'（0）=-3.
故切线方程为：3x+y-1=0．
（2）f'（x）=3x2-3＞0.则x＞1或x＜-1；
f'（x）=3x2-3＜0.则-1＜x＜1．
故函数的递增区间是（-∞.-1）和（1.+∞）.递减区间是（-1.1）．
【点评】：本题考查了切线方程问题.考查函数的单调性以及导数的应用.是一道常规题．
19.（问答题.12分）一道数学题甲做对的概率是 23 .乙做对的概率是 12 .假设二人做题对错互相独立.求：
（1）甲、乙两人都做对的概率；
（2）甲、乙两人至少有一人做对的概率．
【正确答案】：
【解析】：（1）利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙两人都做对的概率．
（2）利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙两人至少有一人做对的概率．
【解答】：解：（1）一道数学题甲做对的概率是 23 .乙做对的概率是 12 .假设二人做题对错互相独立.
甲、乙两人都做对的概率为：
P= 23×12 = 13 ．
（2）甲、乙两人至少有一人做对的概率为：
P=1-（1- 23 ）（1- 12 ）= 56 ．
【点评】：本题考查概率的求法.考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．
20.（问答题.12分）已知函数f（x）=x3-3ax-1在x=-1处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）当x∈[-2.1]时.求函数f（x）的最小值．
【正确答案】：
【解析】：（1）f（x）在x=-1处取得极值.则f′（-1）=0可求出a 的值；
（2）求出函数在[-2.1]上的单调区间.从而得出函数的最小值；
【解答】：解：（1）f′（x）=3x2-3a.
又函数f（x）在x=-1处取得极值.则f′（-1）=3-3a=0；
即a=1.此时f（x）在（-∞.-1）上单调递增.在（-1.1）上单调递减.在（1.+∞）上单调递增；
所以当a=1时满足条件；
所以a=1；
（2）由（1）可知f（x）在[-2.-1]上单调递增.[-1.1]单调递减；
所以 当x∈[-2.1]时.函数f（x）的最小值是f（-2）.f（1）中的较小者；
f（-2）=-3.f（1）=-3；
故函数f（x）的最小值为-3．
【点评】：本题考查极值.函数最值.属于基础题．
21.（问答题.12分）甲同学参加化学竞赛初赛.考试分为笔试、口试、实验三个项目.各单项通过考试的概率依次为 34 . 23 . 12 ．记甲同学三个项目中通过考试的个数为X.求随机变量X的分布列．
【正确答案】：
【解析】：随机变量X的所有可能取值为分别求出对应的概率.即可得X的分布列.即可求解．
【解答】：解：随机变量X的所有可能取值为．
P（X=0）=（1- 34 ）× 1−23×1−12 = 124 .
P（X=1）= 14 × 13 × 12 + 14 × 23 × 12 + 34 × 13 × 12 = 14 .
P（X=2）= 14 × 23 × 12 + 34 × 13 × 12 + 34 × 23 × 12 = 1124 .
P（X=3）= 34 × 23 × 12 = 14 ．
故随机变量X的分布列为：
【点评】：本题主要考查了离散型随机变量及其分布列.考查计算能力.属于基础题．
22.（问答题.12分）福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品.属于福州三宝之一.纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架.第二步裱伞面；第三步绘花刷油．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外.更要有制作上的技术要求.已知某工艺师在每个环节制作合格的概率分别为 34 . 45 . 23 .只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作．
（1）求该工艺师进行3次制作.恰有一件优秀作品的概率；
（2）若该工艺师制作4次.其中优秀作品数为X.求X概率分布列及期望；
【正确答案】：
【解析】：（1）先求出制作一件优秀作品的概率.再结合二项分布概率公式.即可求解．
（2）该工艺师制作4次.其中优秀作品数为X.X的所有可能取值为即可得X的分布列.并结合期望公式.即可求解．
【解答】：解：（1）由题意可知.制作一件优秀作品的概率为 34×45×23=25 .
∴该工艺师进行3次制作.恰有一件优秀作品的概率P= C3125352=54125 ．
（2）该工艺师制作4次.其中优秀作品数为X.X的所有可能取值为
由题意可知.X～ B4，25 .
P（X=0）= C40354=81625 .P（X=1）= C4125353=216625 .
P（X=2）= C42252352=216625 .P（X=3）= C4325335=96625 .
P（X=4）= C44254=16625 .
故X的分布列为：
E（X）=4× 25=85 ．
【点评】：本题主要考查了离散型随机变量及其分布列.需要学生熟练掌握期望公式.属于基础题．X
1
2
3
P
124
14
1124
14
X
1
2
3
4
P
81625
216625
216625
96625
16625
1.（单选题.5分） C32+C62 =（ ）
A.9
B.18
C.28
D.36
2.（单选题.5分）从甲地到乙地一天有汽车8班.火车2班.轮船3班.某人从甲地到乙地.共有不同的走法种数为（ ）
A.24
B.16
C.13
D.48
3.（单选题.5分）已知随机变量X服从正态分布N（120.52）.若P（115＜X＜120）=p.则P（X＞125）=（ ）
A.1-p
B. 1+p2
C. 1−p2
D. 1−2p2
4.（单选题.5分）下列求导运算正确的是（ ）
A. exlnx′=ex1x+lnx
B. csπ3′=−sinπ3
C.（x2sinx）′=2xcsx
D.（3x）′=3x
5.（单选题.5分）在二项式 x−12x7 的展开式中.x4的系数为（ ）
A.35
B.7
C. −72
D. 214
6.（单选题.5分）函数f（x）=x+ 4x -3lnx的单调减区间是（ ）
A.（-1.4）
B.（0.1）
C.（4.+∞）
D.（0.4）
7.（单选题.5分）点P是曲线y=x2-lnx上任意一点.则点P到直线y=x-2的距离的最小值是（ ）
A.1
B. 2
C.2
D.2 2
8.（单选题.5分）已知函数f（x）=x3-3x+m只有一个零点.则实数m的取值范围是（ ）
A.[-2.2]
B.（-∞.-2）∪（2.+∞）
C.（-2.2）
D.（-∞.-2]∪[2.+∞）
9.（多选题.5分）函数f（x）的定义域为R.它的导函数y=f'（x）的部分图象如图所示.则下面结论正确的是（ ）
A.在（1.2）上函数f（x）为增函数
B.在（3.5）上函数f（x）为增函数
C.在（1.3）上函数f（x）有极大值
D.x=3是函数f（x）在区间[1.5]上的极小值点
10.（多选题.5分）甲盒中有3个红球和2个白球.乙盒中有2个红球和3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒．用事件E表示“从甲盒中取出的是红球”.用事件F表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球.用事件G表示“从乙盒中取出的是红球”.则下列结论正确的是（ ）
A.事件F与G是互斥事件
B.事件E与G不是相互独立事件
C. PG=1330
D. PG|E=12
11.（多选题.5分）下列说法正确的为（ ）
A.6本不同的书分给甲、乙、丙三人.每人两本.有 C62C42C22 种不同的分法
B.6本不同的书分给甲、乙、丙三人.其中一人1本.一人2本.一人3本.有 C61C52C33 种不同的分法
C.6本相同的书分给甲、乙、丙三人.每人至少一本.有10种不同的分法
D.6本不同的书分给甲、乙、丙三人.每人至少一本.有540种不同的分法
12.（多选题.5分）已知函数f（x）= x2+x−1ex .则下列结论正确的是（ ）
A.函数f（x）存在两个不同的零点
B.函数f（x）既存在极大值又存在极小值
C.当-e＜k＜0时.方程f（x）=k有且只有两个实根
D.若x∈[t.+∞）时.f（x）max= 5e2 .则t的最小值为2
13.（填空题.5分）曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为1+ 1e （e为自然对数的底数）.该切线的方程为 ___ ．
14.（填空题.5分）某校要求每位学生从8门课程中选修5门.其中甲、乙两门课程至多只能选修一门.则不同的选课方案有___ 种（以数字作答）．
15.（填空题.5分）已知函数 fx=f′π3sinx−csx .则 fπ3 的值为___ ．
16.（填空题.5分）已知定义在（0.+∞）上的函数f（x）.f'（x）是f（x）的导函数.满足xf'（x）-f（x）＜0.且f（2）=2.则不等式f（2x）-2x＞0的解集是 ___ ．
17.（问答题.10分）3位男同学和2位女同学站成一排．
（Ⅰ）2位女同学必须站在一起.有多少种不同的排法（用数字作答）；
（Ⅱ）2位女同学彼此不相邻.有多少种不同的排法（用数字作答）．
18.（问答题.12分）已知函数f（x）=x3-3x+1．
（1）求曲线y=f（x）在点（0.f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．
19.（问答题.12分）一道数学题甲做对的概率是 23 .乙做对的概率是 12 .假设二人做题对错互相独立.求：
（1）甲、乙两人都做对的概率；
（2）甲、乙两人至少有一人做对的概率．
20.（问答题.12分）已知函数f（x）=x3-3ax-1在x=-1处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）当x∈[-2.1]时.求函数f（x）的最小值．
21.（问答题.12分）甲同学参加化学竞赛初赛.考试分为笔试、口试、实验三个项目.各单项通过考试的概率依次为 34 . 23 . 12 ．记甲同学三个项目中通过考试的个数为X.求随机变量X的分布列．
22.（问答题.12分）福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品.属于福州三宝之一.纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架.第二步裱伞面；第三步绘花刷油．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外.更要有制作上的技术要求.已知某工艺师在每个环节制作合格的概率分别为 34 . 45 . 23 .只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作．
（1）求该工艺师进行3次制作.恰有一件优秀作品的概率；
（2）若该工艺师制作4次.其中优秀作品数为X.求X概率分布列及期望；
2021-2022学年河北省石家庄市元氏四中高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
试题数：22.满分：150
1.（单选题.5分） C32+C62 =（ ）
A.9
B.18
C.28
D.36
【正确答案】：B
【解析】：根据组合以及组合数的性质化简即可求解．
【解答】：解：因为C 32+C62 = 3×22×1+6×52×1 =3+15=18.
故选：B．
【点评】：本题考查了组合以及组合数公式的应用.考查了学生的运算求解能力.属于基础题．
2.（单选题.5分）从甲地到乙地一天有汽车8班.火车2班.轮船3班.某人从甲地到乙地.共有不同的走法种数为（ ）
A.24
B.16
C.13
D.48
【正确答案】：C
【解析】：根据分类加法原理进行计算即可．
【解答】：解：从甲地到乙地.坐汽车.火车.轮船都能到达乙地.
则共有8+2+3=13种不同的走法.
故选：C．
【点评】：本题主要考查简单的计数问题.利用分类问题用加法的方法是解决本题的关键.是基础题．
3.（单选题.5分）已知随机变量X服从正态分布N（120.52）.若P（115＜X＜120）=p.则P（X＞125）=（ ）
A.1-p
B. 1+p2
C. 1−p2
D. 1−2p2
【正确答案】：D
【解析】：根据已知条件.结合正态分布的对称性.即可求解．
【解答】：解：∵随机变量X服从正态分布N（120.52）.P（115＜X＜120）=p.
∴P（115＜X＜120）=P（120＜X＜125）=p.
∴P（X＞125）= 12−p=1−2p2 ．
故选：D．
【点评】：本题主要考查正态分布的对称性.考查转化能力.属于基础题．
4.（单选题.5分）下列求导运算正确的是（ ）
A. exlnx′=ex1x+lnx
B. csπ3′=−sinπ3
C.（x2sinx）′=2xcsx
D.（3x）′=3x
【正确答案】：A
【解析】：直接利用常见函数的导数公式以及导数的运算性质对各个选项逐一判断即可．
【解答】：解： exlnx′=ex′lnx+exlnx′=ex+2x+lnx .故选项A正确；
csπ3′=12′=0 .故选项B错误；
（x2sinx）′=（x2）′sinx+x2（sinx）′=2xsinx+x2csx.故选项C错误；
（3x）′=3xln3.故选项D错误．
故选：A．
【点评】：本题考查了导数的运算.解题的关键是掌握常见函数的导数以及导数的运算法则.属于基础题．
5.（单选题.5分）在二项式 x−12x7 的展开式中.x4的系数为（ ）
A.35
B.7
C. −72
D. 214
【正确答案】：D
【解析】：由二项式定理.结合二项式展开式通项公式求解即可．
【解答】：解：由二项式 x−12x7 的展开式的通项公式为Tr+1=（- 12 ）r C7r x 7−3r2 .
令7- 3r2=4 .
解得r=2.
即x4的系数为（- 12 ）2 C72 = 214 .
故选：D．
【点评】：本题考查了二项式定理.重点考查了二项式展开式通项公式.属基础题．
6.（单选题.5分）函数f（x）=x+ 4x -3lnx的单调减区间是（ ）
A.（-1.4）
B.（0.1）
C.（4.+∞）
D.（0.4）
【正确答案】：D
【解析】：求出函数的导数.解关于导函数的不等式.求出函数的单调区间即可．
【解答】：解：函数的定义域是（0.+∞）.
f′（x）=1- 4x2 - 3x = x+1x−4x2 .
令f′（x）＜0.解得：0＜x＜4.
故f（x）在（0.4）递减.
故选：D．
【点评】：本题考查了函数的单调性问题.考查导数的应用.是一道常规题．
7.（单选题.5分）点P是曲线y=x2-lnx上任意一点.则点P到直线y=x-2的距离的最小值是（ ）
A.1
B. 2
C.2
D.2 2
【正确答案】：B
【解析】：画出函数的图象.故当点P是曲线的切线中与直线y=x-2平行的直线的切点时.然后求解即可．
【解答】：解：由题意作图如下.
当点P是曲线的切线中与直线y=x-2平行的直线的切点时.最近；
故令y′=2x- 1x =1解得.x=1；
故点P的坐标为（1.1）；
故点P到直线y=x-2的最小值为 1−2−11+1 = 2 ；
故选：B．
【点评】：本题考查了几何意义的运用及导数的综合应用.平行线之间距离的求法.考查转化思想以及计算能力.属于中档题．
8.（单选题.5分）已知函数f（x）=x3-3x+m只有一个零点.则实数m的取值范围是（ ）
A.[-2.2]
B.（-∞.-2）∪（2.+∞）
C.（-2.2）
D.（-∞.-2]∪[2.+∞）
【正确答案】：B
【解析】：利用导数求出函数的极大值和极小值.要使函数f（x）=x3-3x+m只有一个零点.则满足极大值小于0或极小值大于0．
【解答】：解：∵f（x）=x3-3x+m.∴f'（x）=3x2-3.
由f'（x）＞0.得x＞1或x＜-1.此时函数单调递增.
由f'（x）＜0.得-1＜x＜1.此时函数单调递减．
即当x=-1时.函数f（x）取得极大值.
当x=1时.函数f（x）取得极小值.
要使函数f（x）=x3-3x+m只有一个零点.则满足极大值小于0或极小值大于0.
即极大值f（-1）=-1+3+m=m+2＜0.解得m＜-2．
极小值f（1）=1-3+m=m-2＞0.解得m＞2．
综上实数m的取值范围：m＜-2或m＞2．
故选：B．
【点评】：本题主要考查三次函数的图象和性质.利用导数求出函数的极值是解决本题的关键．
9.（多选题.5分）函数f（x）的定义域为R.它的导函数y=f'（x）的部分图象如图所示.则下面结论正确的是（ ）
A.在（1.2）上函数f（x）为增函数
B.在（3.5）上函数f（x）为增函数
C.在（1.3）上函数f（x）有极大值
D.x=3是函数f（x）在区间[1.5]上的极小值点
【正确答案】：AC
【解析】：结合导数与单调性及极值的关系分析各选项即可判断．
【解答】：解：由图象可得.当1＜x＜2时.f′（x）＞0.函数单调递增.当2＜x＜4时.f′（x）＜0.函数单调递减.当4＜x＜5时.f′（x）＞0.函数单调递增.
故当x=2时.函数取得极大值.当x=4时.函数取得极小值．
故选：AC．
【点评】：本题主要考查了导数与单调性及极值的关系.体现了数形结合思想的应用.属于基础题．
10.（多选题.5分）甲盒中有3个红球和2个白球.乙盒中有2个红球和3个白球．先从甲盒中随机取出一球放入乙盒．用事件E表示“从甲盒中取出的是红球”.用事件F表示“从甲盒中取出的是白球”；再从乙盒中随机取出一球.用事件G表示“从乙盒中取出的是红球”.则下列结论正确的是（ ）
A.事件F与G是互斥事件
B.事件E与G不是相互独立事件
C. PG=1330
D. PG|E=12
【正确答案】：BCD
【解析】：对于A.结合互斥事件的定义.即可求解.对于B.结合相互独立事件的定义.即可求解.对于C.结合相互独立事件的概率公式.即可求解.对于D.结合条件概率公式.即可求解．
【解答】：解：对于A.事件F和G能同时发生.事件F和G不是互斥事件.故A错误.
对于B.事件E发生与否与事件G有关.故B正确.
对于C.P（G）= C31C51×C31C61 + C21C51×C21C61=1330 .故C正确.
对于D.P（G|E）= PEGPE=930×53=12 .故D正确．
故选：BCD．
【点评】：本题主要考查概率的求解.以及互斥事件的定义.属于基础题．
11.（多选题.5分）下列说法正确的为（ ）
A.6本不同的书分给甲、乙、丙三人.每人两本.有 C62C42C22 种不同的分法
B.6本不同的书分给甲、乙、丙三人.其中一人1本.一人2本.一人3本.有 C61C52C33 种不同的分法
C.6本相同的书分给甲、乙、丙三人.每人至少一本.有10种不同的分法
D.6本不同的书分给甲、乙、丙三人.每人至少一本.有540种不同的分法
【正确答案】：ACD
【解析】：根据题意.依次分析选项：
对于A.分析三人没2本的分法数目.由分步计数原理计算可得A正确；
对于B.先将6本书分为1、2、3的三组.再将分好的三组分成甲乙丙三人.由分步计数原理计算可得B错误；
对于C.用挡板法分析.在6本书之间的5个空位中任选2个.插入挡板即可.由组合数公式计算可得C正确；
对于D.分三种情况讨论： ① 三人每人2本. ② 三人中一人1本.一人2本.一人3本. ③ 三人中一人4本.其余2人各1本.由加法原理可得D正确；综合即可得答案．
【解答】：解：根据题意.依次分析选项：
对于A.6本不同的书分给甲、乙、丙三人.每人两本.先分给甲.有C62种情况.再分给乙.有C42种情况.最后2本分给丙.有 C62C42C22 种不同的分法.A正确；
对于B.先将6本书分为1、2、3的三组.有 C61C52C33 种分组方法.再将分好的三组分成甲乙丙三人.有A33种情况.则有 C61C52C33 A33种不同分法.B错误；
对于C.6本相同的书分给甲、乙、丙三人.每人至少一本.用挡板法分析.在6本书之间的5个空位中任选2个.插入挡板即可.有C52=10种分法.C正确；
对于D.分三种情况讨论：
① 三人每人2本.有 C62C42C22 =90种不同的分法.
② 三人中一人1本.一人2本.一人3本.有 C61C52C33 A33=360种不同的分法.
③ 三人中一人4本.其余2人各1本.有 C64 C31 A22 =90种不同的分法.
则有90+360+90=540种不同的分法.D正确；
故选：ACD．
【点评】：本题考查排列组合的应用.涉及分步计数原理的应用.属于基础题．
12.（多选题.5分）已知函数f（x）= x2+x−1ex .则下列结论正确的是（ ）
A.函数f（x）存在两个不同的零点
B.函数f（x）既存在极大值又存在极小值
C.当-e＜k＜0时.方程f（x）=k有且只有两个实根
D.若x∈[t.+∞）时.f（x）max= 5e2 .则t的最小值为2
【正确答案】：ABC
【解析】：利用导数分析函数的图象的可能情况.即可得到结论．
【解答】：解： f′x=−x2+x+2ex .令f′（x）=0.解得x=-1或x=2.
当x＜-1或x＞2时.f′（x）＜0.故函数f（x）在（-∞.-1）.（2.+∞）上单调递减.当-1＜x＜2时.f′（x）＞0.故函数在（-1.2）上单调递增.
且函数f（x）有极小值f（-1）=-e.有极大值 f2=5e2 .当x→-∞时.f（x）→+∞.当x→+∞时.f（x）→0.
故作函数草图如下.
由图可知.选项ABC正确.选项D错误．
故选：ABC．
【点评】：本题主要考查导数在函数问题中的运用.考查数形结合思想.属于基础题．
13.（填空题.5分）曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为1+ 1e （e为自然对数的底数）.该切线的方程为 ___ ．
【正确答案】：[1]（1+ 1e ）x-y+1=0
【解析】：根据切线的斜率等于切点处的导数值.求出切点坐标.问题可解．
【解答】：解：设切点为（m.lnm+m+1）.
由 y′=1x+1 得. 1m+1=1+1e .故m=e.
故切点为（e.2+e）.斜率为 1+1e .
故切线方程为：y-（2+e）=（1+ 1e ）（x-e）.
即（1+ 1e ）x-y+1=0．
故答案为：（1+ 1e ）x-y+1=0．
【点评】：本题考查切线方程的求法.导数的几何意义等知识与方法.属于基础题．
14.（填空题.5分）某校要求每位学生从8门课程中选修5门.其中甲、乙两门课程至多只能选修一门.则不同的选课方案有___ 种（以数字作答）．
【正确答案】：[1]36
【解析】：本题是一个排列组合的实际应用.甲、乙两门课程至多只能选修一门则包括选一门和选两门两种情况第一类甲和乙两门课都不选.第二类甲和乙中选一门.剩余6门课中选两门．
【解答】：解：由题意知本题是一个排列组合的实际应用.
∵甲、乙两门课程至多只能选修一门
则包括选一门和选两门两种情况
第一类甲和乙两门课都不选.有C65=6种方案；
第二类甲和乙中选一门.剩余6门课中选四门.有C21C64=30种方案．
∴根据分类计数原理知共有6+30=36种方案．
故答案为：36
【点评】：本题考查排列组合的实际应用.这是经常出现的一个问题.解题时一定要分清做这件事需要分为几类.每一类包含几种方法.把几个步骤中数字相加得到结果．
15.（填空题.5分）已知函数 fx=f′π3sinx−csx .则 fπ3 的值为___ ．
【正确答案】：[1]1
【解析】：先将f（x）求导得出f′（x）= f′π3csx+sinx ．令x= π3 得出 f′π3 = 3 确定出f（x）的解析式后.问题易解．
【解答】：解： f′x=f′π3sinx′−csx′ = f′π3csx+sinx ．令x= π3 得出 f′π3=f′π3×12+ 32 .解得 f′π3 = 3 ．
∴ fx=3sinx−csx . fπ3 = 3×32−12 =1
故答案为：1．
【点评】：本题考查函数求导.函数值得计算.对f（x）求导后令x= π3 得出 f′π3 = 3 确定出f（x）的解析式是关键．考查分析解决问题能力、计算能力．
16.（填空题.5分）已知定义在（0.+∞）上的函数f（x）.f'（x）是f（x）的导函数.满足xf'（x）-f（x）＜0.且f（2）=2.则不等式f（2x）-2x＞0的解集是 ___ ．
【正确答案】：[1]（-∞.1）
【解析】：构造新函数g（x）= fxx （x＞0）.求导后可知g（x）在（0.+∞）上单调递减；由f（2）=2可推出g（2）=1；不等式f（2x）-2x＞0等价于g（2x）= f(2x)2x ＞1=g（2）⇒0＜2x＜2.解之即可．
【解答】：解：设g（x）= fxx （x＞0）.
∵xf'（x）-f（x）＜0.x∈（0.+∞）.
∴g'（x）= xf′x−fxx2 ＜0.
∴g（x）在（0.+∞）上单调递减.
∵f（2）=2.
∴g（2）= f22 =1.
不等式f（2x）-2x＞0等价于g（2x）= f(2x)2x ＞1=g（2）.
∴0＜2x＜2.解得x＜1.∴不等式的解集为（-∞.1）.
故答案为：（-∞.1）．
【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性.解不等式.构造新函数是解题的关键.考查等价转化思想与运算求解能力.属于中档题．
17.（问答题.10分）3位男同学和2位女同学站成一排．
（Ⅰ）2位女同学必须站在一起.有多少种不同的排法（用数字作答）；
（Ⅱ）2位女同学彼此不相邻.有多少种不同的排法（用数字作答）．
【正确答案】：
【解析】：（Ⅰ）利用相邻问题捆绑法进行求解即可.
（Ⅱ）利用不相邻问题插空法进行求解即可．
【解答】：解：（Ⅰ）把2位女生看作一个元素.则有 A44A22 =48种不同的排法．
（Ⅱ）先排3位男同学.然后隔开4个空.在排2位女同学.共有 A33A42 =6×12=72种不同的排法．
【点评】：本题主要考查排列的简单计数问题.利用相邻问题捆绑法.不相邻问题插空法是解决本题的关键.是基础题．
18.（问答题.12分）已知函数f（x）=x3-3x+1．
（1）求曲线y=f（x）在点（0.f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．
【正确答案】：
【解析】：（1）求出函数的导数.计算f（0）.f′（0）.求出切线方程即可；
（2）解关于导函数的不等式.求出函数的单调区间即可．
【解答】：解：（1）f（x）=x3-3x+1.所以f（0）=1.
又f'（x）=3x2-3.
所以k=f'（0）=-3.
故切线方程为：3x+y-1=0．
（2）f'（x）=3x2-3＞0.则x＞1或x＜-1；
f'（x）=3x2-3＜0.则-1＜x＜1．
故函数的递增区间是（-∞.-1）和（1.+∞）.递减区间是（-1.1）．
【点评】：本题考查了切线方程问题.考查函数的单调性以及导数的应用.是一道常规题．
19.（问答题.12分）一道数学题甲做对的概率是 23 .乙做对的概率是 12 .假设二人做题对错互相独立.求：
（1）甲、乙两人都做对的概率；
（2）甲、乙两人至少有一人做对的概率．
【正确答案】：
【解析】：（1）利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙两人都做对的概率．
（2）利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙两人至少有一人做对的概率．
【解答】：解：（1）一道数学题甲做对的概率是 23 .乙做对的概率是 12 .假设二人做题对错互相独立.
甲、乙两人都做对的概率为：
P= 23×12 = 13 ．
（2）甲、乙两人至少有一人做对的概率为：
P=1-（1- 23 ）（1- 12 ）= 56 ．
【点评】：本题考查概率的求法.考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．
20.（问答题.12分）已知函数f（x）=x3-3ax-1在x=-1处取得极值．
（1）求实数a的值；
（2）当x∈[-2.1]时.求函数f（x）的最小值．
【正确答案】：
【解析】：（1）f（x）在x=-1处取得极值.则f′（-1）=0可求出a 的值；
（2）求出函数在[-2.1]上的单调区间.从而得出函数的最小值；
【解答】：解：（1）f′（x）=3x2-3a.
又函数f（x）在x=-1处取得极值.则f′（-1）=3-3a=0；
即a=1.此时f（x）在（-∞.-1）上单调递增.在（-1.1）上单调递减.在（1.+∞）上单调递增；
所以当a=1时满足条件；
所以a=1；
（2）由（1）可知f（x）在[-2.-1]上单调递增.[-1.1]单调递减；
所以 当x∈[-2.1]时.函数f（x）的最小值是f（-2）.f（1）中的较小者；
f（-2）=-3.f（1）=-3；
故函数f（x）的最小值为-3．
【点评】：本题考查极值.函数最值.属于基础题．
21.（问答题.12分）甲同学参加化学竞赛初赛.考试分为笔试、口试、实验三个项目.各单项通过考试的概率依次为 34 . 23 . 12 ．记甲同学三个项目中通过考试的个数为X.求随机变量X的分布列．
【正确答案】：
【解析】：随机变量X的所有可能取值为分别求出对应的概率.即可得X的分布列.即可求解．
【解答】：解：随机变量X的所有可能取值为．
P（X=0）=（1- 34 ）× 1−23×1−12 = 124 .
P（X=1）= 14 × 13 × 12 + 14 × 23 × 12 + 34 × 13 × 12 = 14 .
P（X=2）= 14 × 23 × 12 + 34 × 13 × 12 + 34 × 23 × 12 = 1124 .
P（X=3）= 34 × 23 × 12 = 14 ．
故随机变量X的分布列为：
【点评】：本题主要考查了离散型随机变量及其分布列.考查计算能力.属于基础题．
22.（问答题.12分）福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品.属于福州三宝之一.纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架.第二步裱伞面；第三步绘花刷油．一个优秀的作品除了需要有很好的素材外.更要有制作上的技术要求.已知某工艺师在每个环节制作合格的概率分别为 34 . 45 . 23 .只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作．
（1）求该工艺师进行3次制作.恰有一件优秀作品的概率；
（2）若该工艺师制作4次.其中优秀作品数为X.求X概率分布列及期望；
【正确答案】：
【解析】：（1）先求出制作一件优秀作品的概率.再结合二项分布概率公式.即可求解．
（2）该工艺师制作4次.其中优秀作品数为X.X的所有可能取值为即可得X的分布列.并结合期望公式.即可求解．
【解答】：解：（1）由题意可知.制作一件优秀作品的概率为 34×45×23=25 .
∴该工艺师进行3次制作.恰有一件优秀作品的概率P= C3125352=54125 ．
（2）该工艺师制作4次.其中优秀作品数为X.X的所有可能取值为
由题意可知.X～ B4，25 .
P（X=0）= C40354=81625 .P（X=1）= C4125353=216625 .
P（X=2）= C42252352=216625 .P（X=3）= C4325335=96625 .
P（X=4）= C44254=16625 .
故X的分布列为：
E（X）=4× 25=85 ．
【点评】：本题主要考查了离散型随机变量及其分布列.需要学生熟练掌握期望公式.属于基础题．X
1
2
3
P
124
14
1124
14
X
1
2
3
4
P
81625
216625
216625
96625
16625
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