湖北省武汉市第二中学2023-2024学年高一上学期期末数学试卷

这是一份湖北省武汉市第二中学2023-2024学年高一上学期期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“∃m∈(0,+∞)，m3+1>m”的否定是( )
A. ∃m∈(0,+∞)，m3+1≤mB. ∃m∉(0,+∞)，m3+1≤m
C. ∀m∈(−∞,0]，m3+1>mD. ∀m∈(0,+∞)，m3+1≤m
2.设集合A={x|x−1x≤0},B={x|3x2−7x≤10}，则A∩B=( )
A. (−1,1)B. (0,103)C. [0,1]D. (0,1]
3.已知a>0，b>0，且12a+1b=1，则a+2b的最小值为( )
A. 92B. 52C. 52+ 2D. 4 2
4.a=lg1.10.9，b=1.11.3，c=sin1，则a、b、c的大小关系为( )
A. a>b>cB. a>c>bC. a5.若θ∈(0,π)，tanθ+1tanθ=6，则sinθ+csθ=( )
A. 2 33B. −2 33C. ±2 33D. 23
6.若要得到函数f(x)=sin(2x+π6)的图象，只需将函数g(x)=cs(2x+π3)的图象( )
A. 向左平移π6个单位长度B. 向右平移π6个单位长度
C. 向左平移π3个单位长度D. 向右平移π3个单位长度
7.已知函数f(x)= 2cs(ωx−π4)，其中ω>0.若f(x)在区间(π4,π2)上单调递增，则ω的取值范围是( )
A. (0,12]B. (0,4]C. [12,4]D. [1,52]
8.为迎接大运会的到来，学校决定在半径为20 2m，圆心角为π4的扇形空地OPQ的内部修建一平行四边形观赛场地ABCD，如图所示，则观赛场地的面积最大值为( )
A. 200m2 B. 400(2− 2)m2C. 400( 3−1)m2D. 400( 2−1)m2
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 2rad的角是一个锐角
B. 24°与2024°的终边相同
C. 将时钟拨快30分钟，则分钟转过的角度是−180°
D. 若α是第一象限角，则为α2第一或第三象限角
10.下列各式中值为1的是( )
A. tan2025°B. 2(cs222.5°−sin222.5°)
C. 2−cs220°3−sin50∘D. sin40°( 3−tan10°)
11.已知函数f(x)=1ex+1,g(x)=sin2(x−π4)，则以下结论正确的是( )
A. 函数g(x)的最小正周期为π
B. 函数f(x)的图象关于点(0,1)成中心对称
C. 函数f(x)与g(x)的图象在[−2024,2024]上有偶数个交点
D. 当x∈[π2,π]时，f(x)12.已知函数f(x)=3x+x，g(x)=lg3x+x，h(x)=x3+lg3x的零点分别为a，b，c，下列各式正确的是( )
A. a+b=0B. b>cC. 3a+lg3b=0D. 3a>c3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知扇形的周长为4，圆心角为2rad，则扇形面积为______．
14.已知幂函数f(x)=(m2−2m−2)xm是R上的增函数，则m的值为______．
15.某公园有一座摩天轮，其旋转半径30米，最高点距离地面70米，匀速运行一周大约18分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第3分钟时，他距地面大约为______米.
16.已知函数f(x)=−1x+1,x四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)计算2×( π)0÷( 32)−4+2×(6427)−23−(8116)0.5；
(2)计算13lg68+3lg34+2lg6 3−32lg281⋅lg272.
18.(本小题12分)
已知p：实数x满足x2−3ax+2a2<0，a>0．
(1)若a=1，求实数x的取值范围；
(2)已知q：实数x满足219.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(π−x)⋅cs(π+x)sin(−π+x)．
(1)化简f(x)的解析式；
(2)若π4<β<π<α<3π2，且f(α+β)=− 210，f(π2−2β)=45，求α−β．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)，如图A、B是直线y= 32与曲线y=f(x)的两个交点，且|AB|=π12，又f(2π3)=0．
(1)求函数y=f(x)的解析式；
(2)求函数y=f(x+π4)+f(x+π8)的增区间．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg3(9x+1)−x．
(1)判断并证明f(x)的奇偶性，并求出使f(2cs2θ−3)−f(2+sinθ)<0成立的sinθ的取值范围；
(2)设(1)中sinθ的取值范围为集合A.现有函数g(x)，其定义域为D，若对A中任意一个元素m0，都存在n个不同的实数x1，x2，x3，…，xn∈D，使g(xi)=m0(其中i=1，2，3，⋯，n，n∈N*)，则称g(x)为A的“n重对应函数”.试判断g(x)=2sin(2x−π3)(0≤x≤2π)是否为A的“n重对应函数”？如果是，写出n并计算出x1+x2+x3+⋯+xn；如果不是，请说明理由．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)满足：对∀x∈R，都有f(x+3)=−12f(x)，且当x∈[0,3]时，f(x)=−x2+mx+8.函数g(x)=lg5(13x−12x)．
(1)求实数m的值，并写出函数y=f(x)−g(x)在区间[0,3]的零点(无需证明)；
(2)函数h(x)=−4x+k⋅2x+1−k2+3，x∈[0,1]，是否存在实数k，使得g(h(x))>f(h(x))恒成立？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为命题“∃m∈(0,+∞)，m3+1>m”是存在量词命题，
所以其否定是全称量词命题即∀m∈(0,+∞)，m3+1≤m．
故选：D．
利用含有一个量词的命题的否定的定义求解．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：由题意可知，A={x|0故A∩B=(0,1]．
故选：D．
先求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：a+2b=(12a+1b)(a+2b)=52+ab+ba≥52+2 ab⋅ba=92，
当且仅当ab=ba时，即a=b=32取等号，
所以a+2b的最小值为92．
故选：A．
利用乘“1”法即得．
本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查三个数的大小的求法，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用，属于基础题．
利用对数函数和指数函数的性质求解即可．
【解答】
解：∵a=lg1.10.9∵b=1.11.3>1.10=1，∴b>1，
∵0<1<π2，∴0∴b>c>a，
故选D．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查利用sinα+csα与sinαcsα之间的关系求值，属于基础题．
推导出sinθcsθ+csθsinθ=1sinθcsθ=6，从而得出sinθcsθ=16，由此能求出sinθ+csθ的值．
【解答】
解：∵tanθ+1tanθ=6，
∴sinθcsθ+csθsinθ=1sinθcsθ=6，
∴sinθcsθ=16，
∵θ∈(0,π)，
∴sinθ>0,csθ>0，θ∈(0,π2)，
∴sinθ+csθ= (sinθ+csθ)2= 1+2sinθcsθ= 1+26=2 33．
故选A．
6.【答案】D
【解析】解：函数f(x)=sin(2x+π6)=cs(π2−2x−π6)=cs(2x−π3)=cs[2(x−π3)+π3]，
所以只需将函数g(x)=cs(2x+π3)的图象向右平移π3个单位长度，
即可得到函数f(x)=sin(2x+π6)的图象．
故选：D．
利用诱导公式化简三角函数为同名函数，然后判断函数图象平移的单位与方向．
本题考查三角函数的图象的平移以及诱导公式的应用，是基本知识的考查．
7.【答案】A
【解析】解：f(x)= 2cs(ωx−π4)，
∵函数f(x)在区间(π4,π2)内单调递增，
∴π2−π4=π4≤T2=πω，
∴ω≤4，
∵x∈(π4,π2)，
∴ωπ4−π4≤ωx−π4≤ωπ2−π4，
若f(x)在区间(π4,π2)上单调递增，
则ωπ2−π4≤2kπωπ4−π4≥2kπ−π，k∈Z
解得8k−3≤ω≤4k+12，
当k=0时，−3≤ω≤12，
又因为0<ω≤4，
∴0<ω≤12．
故选：A．
若f(x)= 2cs(ωx−π4)在区间上(π4,π2)单调递增，满足两条件：①区间(π4,π2)的长度超过T2；②ωx−π4的整体范围在余弦函数的增区间内，取合适的整数k求出ω的取值范围．
本题考查的知识要点：余弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查函数的函数的实际应用，三角函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．作DE⊥OP，CF⊥OP，平行四边形面积即为矩形EFCD的面积，设∠POC=θ，利用参数表示出面积S，即可得到其最大值．
【解答】
解：如图，作DE⊥OP，CF⊥OP，垂足分别为E、F，则平行四边形面积即为矩形EFCD的面积，
设∠POC=θ，由题∠POQ=π4，则CD=DE=OE=20 2sinθ，EF=OF−OE=20 2(csθ−sinθ)，
所以矩形EFCD面积S=20 2(csθ−sinθ)⋅20 2sinθ=400(sin2θ+cs2θ−1)
=400 2[sin(2θ+π4)− 22]，其中θ∈(0,π4)，
则2θ+π4∈(π4,3π4)，所以当θ=π8时，矩形EFCD面积最大，最大值为400( 2−1)，
此时平行四边形ABCD的面积也取得最大值．
故选：D．
9.【答案】CD
【解析】解：A项，2rad≈2×56.7°=113.4°，是钝角，A错误；
B项，2024°=360°×5+224°，2024°与224°终边相同，
180°<224°<270°，是第三象限角，而24°是第一象限角，B错误；
C项，时钟拨快30分钟，则分钟转过的角为负角，且是整个表盘的一半，则为−180°，C正确；
D项，∵α是第一象限角，∴2kπ<α<π2+2kπ，k∈Z，
∴kπ<α2<π4+kπ,k∈Z，∴α2是第一或第三象限角，D正确．
故选：CD．
根据终边三角函数的定义判断A，B，C，根据角的范围判断D项．
本题考查任意角三角函数的定义，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：选项A，tan2025°=tan(11×180°+45°)=tan45°=1，即A符合题意；
选项B， 2(cs222.5°−sin222.5°)= 2cs45°=1，即B符合题意；
选项C，2−cs220°3−sin50∘=2−cs220°3−cs40∘=2−cs220°3−(2cs220∘−1)=2−cs220°2(2−cs220∘)=12，即C不符合题意．
选项D，sin40°( 3−tan10°)=sin40°( 3−sin10°cs10∘)
=sin40°× 3cs10°−sin10°cs10°
=sin40°×2sin(60°−10°)cs10∘
=sin40°×2cs40°cs10∘
=sin80°cs10∘
=1，即D符合题意．
故选：ABD．
选项A，由2025°=11×180°+45°，结合诱导公式，化简即可；
选项B，利用二倍角公式，可得解；
选项C，结合诱导公式与二倍角公式，化简运算，得解；
选项D，由辅助角公式化简，结合正弦的二倍角公式，即可得到结果．
本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握两角和的正弦公式，二倍角公式，诱导公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运输能力，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：对于选项A：∵g(x)=sin2(x−π4)=1−cs(2x−π2)2=1−sin2x2，
∴函数g(x)的最小正周期为T=2π2=π，故A正确；
对于选项B：∵f(x)+f(−x)=2ex+1+1e−x+1=1e2+1+exex+1=1，
∴函数f(x)的图象天于点(0,12)成中心对称，故B错误；
对于选项C：∵g(x)+g(−x)=12[1−sin2x+1−sin2(−x)]=1，
∴函数g(x)的图象关于点(0,12)成中心对称，
即函数f(x)与g(x)的图象均关于点(0,12)成中心对称，
∵f(0)=g(0)=12，即(0,12)为函数f(x)与g(x)的一个交点，
当x>0，函数f(x)与g(x)的图象有n∈N个交点，
则当x<0，函数f(x)与g(x)的图象有n∈N个交点，
综上所述：函数f(x)与g(x)的图象有2n+1个交点，为奇数个，故C错误；
对于选项D：当x∈[π2,π]时，则ex>e0=1，所以f(x)=1ex+1<12，
且2x∈[π,2π]，sin2x∈[−1,0]，g(x)=1−sin2x2∈[12,1]，
∴f(x)故选：AD．
对于选项A，化简得g(x)=1−sin2x2，求得其周期，可判断A；
对于选项B，整理得f(−x)+f(x)=1，可判断B；
对于选项C，分析可得函数f(x)与g(x)的图象均关于点(0,12)成中心对称，且f(0)=g(0)=12，由此可判断C；
对于选项D，当x∈[π2,π]时，分析得f(x)<12，g(x)=1−sin2x2∈[12,1]，可判断D．
本题考查函数与方程的综合运用，考查逻辑推理与综合运算能力，属于难题．
12.【答案】ACD
【解析】解：函数f(x)=3x+x，g(x)=lg3x+x，h(x)=x3+lg3x，
显然f(x)，g(x)，h(x)均为单调递增函数，
由题意得：f(a)=32+a=0，g(b)=lg3b+b=0，即f(a)=f(lg3b)=0，
又由于f(x)单调递增，故a=lg3b,3a=b，
即a+b=0，3a+lg3b=0，故A，C正确
又h(c)=lg3c+c3=0，h(1)>0，故c∈(0,1)
故g(c)=lg3c+c=−c3+c>0，
又g(b)=0，因此有bg(c3)=3lg3c+c3=−3c3+c3=−2c3<0，因此c3故选：ACD．
根据已知条件，结合函数的性质，以及零点存在定理，即可求解．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
13.【答案】1
【解析】解：设扇形的半径为r，由题意可得：2r+2r=4，解得r=1，
则扇形的面积S=12×2×12=1．
故答案为：1．
利用扇形的周长、弧长的计算公式可得半径r，再利用扇形面积计算公式即可得出．
本题考查了扇形的周长、弧长的计算公式、扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14.【答案】3
【解析】解：因为f(x)=(m2−2m−2)xm为幂函数，
所以m2−2m−2=1即m=3或m=−1，
又因为f(x)为R上的增函数，所以m=3．
故答案为：3．
由幂函数的定义可知，m2−2m−2=1，又由f(x)为R上的增函数，可得m>0．
本题主要考查幂函数的性质，属于基础题．
15.【答案】25
【解析】解：如图设AF为地面，圆O为摩天轮，其旋转半径30米，最高点距离地面70米，
则摩天轮的最低点B离地面10米，即AB=10，
以AF所在直线为x轴，BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
某人在最低点B的位置坐上摩天轮，则第t分钟时所在位置的高度为h，
则h=30sin(ωt−π2)+40，
由题意，T=18=2πω，
则ω=π9，
所以h=30sin(π9t−π2)+40，
当t=3时，h=30sin(π9×3−π2)+40=30sin(−π6)+40=25．
故答案为：25．
建立平面直角坐标系，求出某人第h分钟时所在位置h关于t的解析式，利用函数解析式求出t=3时h的值即可．
本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
16.【答案】[−1,−14]
【解析】解：函数y=x2−2x+2=(x−1)2+1，当x=3时，y=5，当x=1时，y=1，
而−1x≠0，即有−1x+1≠1，依题意，1∈[c,3]，即c≤1，又c2−2c+2≤5，则有−1≤c≤1，
当0≤c≤1时，函数f(x)在(−∞,0)上的取值集合为(1,+∞)，不符合题意，
于是−1≤c<0，函数y=−1x+1在+∞)上单调递增，则1<−1x+1<−1c+1，
有−1c+1≤5，因此−1≤c≤−14，
所以实数c的取值范围是[−1,−14]．
故答案为：[−1,−14]．
根据给定条件，由函数f(x)最小值为1可得−1≤c≤1，再按c<0，0≤c≤1结合y=−1x+1的取值情况求解即得．
本题主要考查了分段函数性质的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)原式=2÷(43)2+2×(43)−2−94=2×(43)−2+2×(43)−2−94=4×(34)2−94=0；
(2)原式=lg62+4+lg63−32×4×13lg23 lg32=lg66+4−2=3．
【解析】利用幂的运算(am)n=amn 和对数的运算法则即可计算．
本题考查幂的运算，对数的运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)a=1时，由不等式x2−3x+2<0可得：1(2)由不等式x2−3ax+2a2<0可得：(x−a)(x−2a)<0，因a>0，故a<2a，则有：a因p是q的必要不充分条件，故q⇒p，p⇏q，则(2,3]≠⊂(a，2a)，故得：2a>3a≤2，
即实数a的取值范围为(32,2]．
【解析】(1)代入a的值，求解一元二次不等式即得；
(2)先求出命题p表示的范围，再根据p是q的必要不充分条件推得两个范围之间的包含关系，继而求得a的取值范围．
本题考查必要不充分条件的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)f(x)=sin(π−x)⋅cs(π+x)sin(−π+x)=−sinx⋅csx−sinx=csx；
(2)由于f(α+β)=− 210，
故cs(α+β)=− 210，
所以f(π2−2β)=cs(π2−2β)=sin2β=45，
由于π4<β<π<α<3π2，
故π2<2β<π，π<α<3π2，π4<β<π2，
所以π2<α−β<5π4，5π4<α+β<2π，
故cs2β=−35，sin(α+β)=−7 210，
故sin(α−β)=sin[(α+β)−2β]=sin(α+β)cs2β−cs(α+β)sin2β=−7 210×(−35)−(− 210)×45= 22，
所以α−β=3π4．
【解析】(1)直接利用三角函数的诱导公式求出结果；
(2)利用三角函数的值和角的恒等变换求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的诱导公式，角的恒等变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意设A(x1, 32)，B(x2, 32)，则sin(ωx1+φ)=sin(ωx2+φ)= 32，sin(2π3ω+φ)=0，
由图可知点A，B，(2π3,0)在同一个周期内，
则ωx1+φ=π3+2kπ,ωx2+φ=2π3+2kπ，2π3ω+φ=2π+2kπ,k∈Z，
又因为|AB|=π12，则x2−x1=π12，可得ωx2−ωx1=π12ω=π3，解得ω=4，
则2π3×4+φ=2π+2kπ,k∈Z，解得φ=−2π3+2kπ,k∈Z，
所以f(x)=sin(4x−2π3+2kπ)=sin(4x−2π3)，k∈Z，
即f(x)=sin(4x−2π3)；
(2)函数y=f(x+π4)+f(x+π8)=sin[4(x+π4)−2π3]+sin[4(x+π8)−2π3]
=sin(4x+π3)+sin(4x−π6)，
令θ=4x+π3，则4x−π6=θ−π2，
所以y=f(x)=sinθ+sin(θ−π2)=sinθ−csθ= 2sin(θ−π4)= 2sin(4x+π12)，
令2kπ−π2≤4x+π12≤2kπ+π2,k∈Z，
解得kπ2−7π48≤x≤kπ2+5π48,k∈Z，
所以函数的单调递增区间为[kπ2−7π48,kπ2+5π48]，k∈Z．
【解析】(1)设出点A，B的坐标，然后根据正弦函数的性质以及数形结合求出ω，φ的值，由此即可求解；(2)化简函数的解析式得y=sin(4x+π3)+sin(4x−π6)，然后令θ=4x+π3，则4x−π6=θ−π2，从而化简得出函数y= 2sin(4x+π12)，然后利用正弦函数的单调性整体代换即可求解．
本题考查了求解三角函数解析式以及单调性问题，考查了学生的识图能力以及运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)函数f(x)为偶函数，证明如下：
函数f(x)=lg3(9x+1)−x=lg3(3x+13x)，其定义域为R，
又f(−x)=lg3(3x+13x)=f(x)，则函数f(x)为偶函数．
设0又由0又由f(2cs2θ−3)−f(2+sinθ)<0⇔f(2cs2θ−3)则|2cs2θ−3|<|2+sinθ|，即3−2cs2θ<2+sinθ，
变形可得2sin2θ−sinθ−1<0，解得−12即sinθ的取值范围是(−12,1)．
(2)因为0≤x≤2π，所以−π3≤2x−π3≤11π3，作出y=2sinx在[−π3,11π3]上的图象如下图，

由图象可知，当−12≤t<1时，函数y=t与y=2sinx在[−π3,11π3]上的图象恒有4个交点，
根据定义可得g(x)=2sin(2x−π3)(0≤x≤2π)是A的“4重覆盖函数”，即n=4．
由y=2sinx的对称性知：(2x1−π3)+(2x2−π3)=π，(2x3−π3)+(2x4−π3)=5π，
则x1+x2+x3+x4=11π3，
所以g(x)=2sin(2x−π3)(0≤x≤2π)是A的“4重对应函数”，
n=4,x1+x2+x3+x4=113π．
【解析】(1)根据对数运算法则将函数f(x)化简之后判断奇偶性与单调性，从而将不等式进行转化，即可得解；
(2)y=2sinx在[−π3,11π3]上的图象，数形结合即可得解．
本题主要考查函数与方程的综合，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由题意可得：f(3)=−12f(0)，则−32+3m+8=−4，解得m=−1，
函数y=f(x)−g(x)在区间[0,3]的零点是2；
(2)令13x−12x>0，可得(1312)x>1，即x>0，
∴g(x)定义域为(0,+∞)，
∵13x−12x=12x[(1312)x−1]，则对∀x1，x2∈(0,+∞)，且x1可得0<12x1<12x2,0<(1312)x1−1<(1312)x2−1，且y=lg5x在(0,+∞)是增函数，
则lg5(13x1−12x1)∴g(x)=lg5(13x−12x)在(0,+∞)是增函数，
若g(h(x))>f(h(x))恒成立，则首先要满足h(x)>0恒成立，
又h(x)=−4x+k⋅2x+1−k2+3，x∈[0,1]，
令2x=t，H(t)=−t2+2kt−k2+3，t∈[1,2]，
则H(1)=−1+2k−k2+3>0H(2)=−4+4k−k2+3>0，解得2− 3又h(x)=−(2x−k)2+3≤3，
故当2− 3而g(t)在(0,3]上是增函数，f(t)在(0,3]上是减函数，
∴g(t)−f(t)在(0,3)上是增函数，又g(2)−f(2)=0，
故g(h(x))>f(h(x))恒成立只需h(x)>2恒成立，
即H(1)=−1+2k−k2+3>2H(2)=−4+4k−k2+3>2，解得1综上所述：存在实数k，使得g(h(x))>f(h(x))恒成立，k的取值范围为(1,2)．
【解析】(1)根据f(3)=−12f(0)求出答案；
(2)根据g(x)的定义域，得到g(x)=lg5(13x−12x)在(0,+∞)是增函数，若g(h(x))>f(h(x))恒成立，则首先要满足h(x)>0恒成立，利用换元法结合g(t)在(0,3]上是增函数，f(t)在(0,3]上是减函数，即可求解．
本题考查了函数的恒成立问题，属于难题．