浙江省台州市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份浙江省台州市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了01， 反复进行上述运算，必会得到1等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．直线y=2x−1的斜率等于
A．−1B．1C．2D．−2
2．若双曲线x2m2−y212=1m>0的离心率为2，则实数m=
A．2B．23C．4D．16
3．若空间向量a=1,0,1,b=2,1,2，则a与b的夹角的余弦值为
A．23B．23C．223D．−13
4．已知等差数列{an}n∈N∗的前n项和为Sn. 若S5=35,a4=3a1，则其公差d为
A．−2B．−1C．1D．2
5．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，记AB=a,AD=b,AD1=c，则D1C=
A．a+b−cB．−a+b+cC．−a+b+cD．−a−b+c
6．人们发现，任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2. 反复进行上述运算，必会得到1. 这就是数学史上著名的“冰雹猜想”现给出冰雹猜想的递推关系如下：对于数列{an}n∈N∗,a1=m（m为正整数），an+1=an2,an为偶数,3an+1,an为奇数.若a5=1，则m所有可能的取值的和为
A．16B．18C．20D．41
7．已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F,A,B两点在抛物线C上，并满足AF=3FB,过点A作x轴的垂线，垂足为M，若FM=1，则p=
A．12B．1C．2D．4
8．在空间四边形ABCD中，AB⋅BC=BC⋅CD=CD⋅DA=DA⋅AB，则下列结论中不一定 正确的是
A．AB+BC=−CD+DAB．AB2+BC2=CD2+DA2
C．△ABD≅△DCAD．AC⊥BD
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知数列{an}和{bn}n∈N∗是等比数列，则下列结论中正确的是
A．{an2}是等比数列B．{an+bn}一定不是等差数列
C．{an⋅bn}是等比数列D．{an+bn}一定不是等比数列
10．已知a>−4且a≠0，曲线C:x24+a+y2a=1，则下列结论中正确的是
A．当a>0时，曲线C是椭圆
B．当−4C．当a>0时，曲线C的焦点坐标为0,2,0,−2
D．当−411．如图，在四面体ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，EG,FH相交于点M，则下列结论中正确的是
A．AC//平面EFGH
B．AC⊥BD
C．AM=14AB+AC+AD
D．若S,T分别为AC,BD的中点，则M为ST的中点
12．已知S={x,y∣x−22+y−m2=1,y≥0}∪{x,y∣x−22+y+m2=1,y≥0}，
T={x,y|y=12x}，P=S∩T，则下列结论中正确的是
A．当m=12时，S∩{x,y∣y=0}={2−32,0,2+32,0}
B．当m=2时，P有2个元素
C．若P有2个元素，则52−1D．当0三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．点1,2到直线3x+4y−6=0的距离为 .
14．已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1,F2. P为椭圆上的点，若∠F1PF2=60∘，PF1=2PF2，则椭圆的离心率等于 .
15．已知数列{2n+12n+n2n+1+n+1}n∈N∗的前n项和为Sn. 当Sn>1760时，n的最小值是 .
16．已知抛物线C1:x2=4y和C2:x2=−8y. 点P在C2上（点P与原点不重合），过点P作C1的两条切线，切点分别为A,B，直线AB交C2于C,D两点，则ABCD的值为 .
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题共10分）已知圆C经过原点及点A2,0,B0,23.
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）过原点的直线l与圆C相交于P,Q两点，若PQ=2，求直线l的方程.
18．（本小题共12分）已知数列{an}n∈N∗是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn. 已知3a1,2a2,a3成等差数列，S3=26.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=n+12an，求数列{bn}的前n项和Tn.
19．（本小题共12分）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1. 从①②这两个条件中任选一个解答该题.
①直线AB与平面ACD1所成角的正弦值为23；
②平面ABB1A1与平面ACD1的夹角的余弦值为23.
（Ⅰ）求AA1的长度；
（Ⅱ）E是线段BD1（不含端点）上的一点，若平面A1C1E⊥平面ADE,求BEBD1的值.
20．（本小题共12分）如图，圆C的半径为4，A是圆内一个定点且CA=2，P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径CP相交于点Q，点P在圆上运动.
（Ⅰ）求点Q的轨迹；
（Ⅱ）当CP⊥CA时，证明：直线l与点Q形成的轨迹相切.
21．（本小题共12分）某游乐园中有一座摩天轮. 如图所示，摩天轮所在的平面与地面垂直，摩天轮为东西走向. 地面上有一条北偏东为θ的笔直公路，其中csθ=27. 摩天轮近似为一个圆，其半径为35m，圆心O到地面的距离为40m，其最高点为A. A点正下方的地面B点与公路的距离为70m. 甲在摩天轮上，乙在公路上. （为了计算方便，甲乙两人的身高、摩天轮的座舱高度和公路宽度忽略不计）
（Ⅰ）如图所示，甲位于摩天轮的A点处时，从甲看乙的最大俯角的正切值等于多少？
（Ⅱ）当甲随着摩天轮转动时，从乙看甲的最大仰角的正切值等于多少？
22．（本小题共12分）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的实轴长为22，直线x=2交双曲线于A,B两点，AB=2.
（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；
（Ⅱ）已知点M2,3，过点Tt,0的直线l与双曲线交于P,Q两点，且直线MP与直线MQ的斜率存在，分别记为k1,k2. 问：是否存在实数t，使得k1+k2为定值？若存在，则求出t的值；若不存在，请说明理由.
【参考答案】
台州市2023学年第一学期高二年级期末质量评估试题
数学 2024.01
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．C 2．A 3．C 4．D 5．A 6．B 7．B 8．D
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．AC 10．ABD 11．ACD 12．ABD
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．1
14．33
15．4
16．22
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（Ⅰ）
解：设原点为O，易知OA⊥OB，线段AB的中点为圆心，圆心坐标为1,3.
线段AB的长为圆C的直径，AB=4，半径r=2.
圆C的标准方程为x−12+y−32=4 …………5分
（Ⅱ）
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0,
令x=0，代入圆C的标准方程，
解得y=0或y=23，则PQ=23，不符合题意.
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，将其转化为一般式方程kx−y=0,
圆心到直线的距离为d,则d=k−3k2+1=22−12=3,得k−32=3k2+1，
化简得k=0或k=−3，即直线l的方程为y=0或y=−3x.…………10分
18．（Ⅰ）
解：设等比数列{an}的公比为q，由题意得：
3a1+a3=4a2，即3a1+a1q2=4a1q,
∵a1≠0，得3+q2=4q，解得q=1或q=3.
由于q=1不符合题意，因此q=3.
由S3=26得，a1+a2+a3=26，即13a1=26，a1=2.所以an=2⋅3n−1. …………6分
（Ⅱ）
由题意得，bn=2n+13n−1，则Tn=3×30+5×31+7×32+⋯+2n−13n−2+2n+13n−1，
则3Tn=3×31+5×32+7×33+⋯+2n−13n−1+2n+13n，
则−2Tn=3×30+2×31+32+⋯+3n−1−2n+13n=3+231−3n−11−3−2n+13n，
则−2Tn=3+33n−1−1−2n+13n=−2n⋅3n，
Tn=n⋅3n. …………12分
19．（Ⅰ）
解：如图，以B点为坐标原点，以BC,BA,BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.
则B0,0,0,A0,1,0,C1,0,0，
设AA1=a，则D11,1,a,AC=1,−1,0,AD1=1,0,a,
设平面ACD1的法向量n=x1,y1,z1.
n⋅AC→=x1−y1=0,n⋅AD1→=x1+az1=0,取x1=a，y1=a，z1=−1，则n=a,a,−1.
若选择条件①，AB=0,−1,0，设直线AB与平面ACD1所成角为θ，
则sinθ=cs⟨n,AB⟩=a2a2+1=23，
解得a=2. 即AA1=2.
若选择条件②，易知平面ABB1A1的法向量为m=1,0,0,
设平面ABB1A1与平面ACD1的夹角为α，
则csα=m⋅n∥m∥n∥=a2a2+1=23，
解得a=2.AA1=2. …………6分
（Ⅱ）
由题（Ⅰ）得，D11,1,2，A10,1,2，C11,0,2，BD1=1,1,2，A1C1=1,−1,0.
设BE=λBD1=λ,λ,2λλ≠1，则Eλ,λ,2λ,AlE=λ,λ−1,2λ−2.
设平面A1C1E的法向量s=x2,y2,z2.s⋅A1C1→=x2−y2=0,s⋅A1E→=λx2+λ−1y2+2λ−2z2=0,取x2=y2=1，z2=1−2λ2A−2，则s=1,1,1−2λ2λ−2
又AE=λ,λ−1,2A，AD=1,0,0，设平面ADE的法向量t=x3,y3,z3.
t⋅AE→=−λx3+λ−1y3+2λz3=0,t⋅AD→=x3=0,令y3=−2λ，z3=λ−1，则t=0,−2λ,λ−1.
∵平面A1C1E⊥平面ADE，∴S⋅t=0,即−2λ+1−2λλ−12λ−2=−2λ+1−2λ2=0,
解得λ=16，所以BEBD1=16. …………12分
20．（Ⅰ）
解：∵CP=QC+QP=4，QP=QA，∴QC+QA=4.
因为QC+QA>CA=2. 所以Q与两个定点C,A的距离的和等于常数（大于CA）,
由椭圆的定义得，Q点的轨迹是以C,A为焦点，长轴长等于4的椭圆. …………6分
注：若Q点的轨迹表述不当，则酌情扣分.
（Ⅱ）
以线段CA的中点为坐标原点O，以过点C,A的直线为x轴，以线段CA的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1a>b>0,
由椭圆的定义得：2a=4，即a=2；2c=2，即c=1.
则椭圆的标准方程为x24+y23=1.
当CP⊥CA时，P点的坐标为−1,4和−1,−4.
当P点的坐标为−1,4时，已知A点的坐标为1,0，
线段PA的中点坐标为0,2，直线AP的斜率为4−0−1−1=−2，
直线l的方程y=12x+2，联立方程y=12x+2,x24+y23=1,得3x2+412x+22−12=0，
整理得x2+2x+1=0，可得Δ=0.
所以直线l与点Q形成的轨迹只有1个交点，即直线l与点Q形成的轨迹相切.
当P点的坐标为−1,−4时，同理可证.
注：选择P点的其中1个位置证明即可 …………12分
21．（Ⅰ）
解：如图所示，设公路所在直线为l，过B点作l的垂线，垂直为D,BD=70m. 因为圆的半径为35m，圆心O到地面的距离为40m，所以AB=75m. 从甲看乙的最大俯角与∠ADB相等，由题意得。AB⊥BD，则tan∠ADB=ABBD=7570=1514. …………6分
（Ⅱ）
如图所示，设甲位于圆O上的R点处，直线OF垂直于OA且交圆O于F点，射线OR可以看成是射线OF绕着O点按逆时针方向旋转α角度得到. 过R点正下方的地面T点向l作垂线，垂足为S. 当tan∠RST取得最大值时，∠RST即为从乙看甲的最大仰角. 山题意得：
tan∠RST=35sinα+4070−35csα⋅27=72⋅sinα+877−csα=−72⋅−87−sinα7−csα
其中，−87−sinα7−csα表示点csα,sinα和点7,87构成的直线a的斜率，当直线a的斜率取得最小值时，tan∠RST取最大值. 因为点csα,sinα在单位圆x2+y2=1上，所以当直线a与单位圆相切时，斜率取得最大值或最小值，设过点7,87的直线方程为：y+87=kx−7，即49k+871+k2=1，解得k=−14±15184，则直线a的斜率最小值为−14−15184，代入可得tan∠RST取最大值是14+15124. …………12分
22．（Ⅰ）
解：由已知得2a=22,a=2. 将x=2代入方程x22−y2b2=1，得y=±b,
由AB=2得，2b=2,b=1. 因此双曲线的标准方程为x22−y2=1.
（Ⅱ）
设Px1,y1,Qx2,y2,则k1=y1−3x1−2，k2=y2−3x2−2，则k1+k2=y1−3x1−2+y2−3x2−2
①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx−t,
则y1=kx1−t,y2=kx2−t.
k1+k2=kx1−t−3x1−2+kx2−t−3x2−2=kx1−tx2−2−3x2−2+kx2−tx1−2−3x1−2x1−2x2−2
=2kx1x2−kt+2+3x1+x2+4kt+12x1x2−2x1+x2+4. 联立方程y=kx−t,x22−y2=1,可得1−2k2x2+4k2tx−2k2t2+2=0，
则x1+x2=−4k2t1−2k2，x1x2=−2k2t2+21−2k2.
k1+k2=12k2t+4kt−24k2−4k+12−2k2t2+8k2t−8k2+2=12k2t−2+4kt−1+122k2−t2+4t−4+2
令12k2t−2+4kt−1+122k2−t2+4t−4+2=λ，整理得[12t−2+2λt−22]k2+4t−1k+12−2λ=0.
要使得对任意的k上式恒成立，则
12t−2+2λt−22=0,4t−1=0,12−2λ=0,解得：t=1,λ=6.
所以，当t=1时，k1+k2=−12k2+12−2k2+2=6. …………11分
②当直线l的斜率不存在时，由①得，k1+k2为定值的必要条件是t=1，即直线l过定点1,0，
此时直线l的方程为x=1，易知直线l与双曲线没有交点，不符合题意的要求.