上杭县第一中学2022-2023学年高一上学期期末复习（四）数学试卷(含答案)

这是一份上杭县第一中学2022-2023学年高一上学期期末复习（四）数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知,,,则a,b,c的大小关系是( )
A.B.C.D.
3．设实数x满足,函数的最小值为( )
A.B.C.D.6
4．函数,的图象形状大致是( )
A.B.
C.D.
5．若函数的定义域是,则函数的定义域是( )
A.B.C.D.
6．将的图象向右平移个单位,再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象,则( )
A.B.C.D.
7．设m,n为正数,且,则的最小值为( )
A.B.C.D.
8．设函数,则下列函数中为奇函数的是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列命题为真命题的是( )
A.若,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,则
10．图中矩形表示集合U，A，B是U的两个子集，则阴影部分可以表示为( )
A.B.C.D.
11．已知函数,则以下结论正确的是( )
A.函数为增函数
B.,,
C.若在上恒成立,则n的最小值为2
D.若关于x的方程有三个不同的实根,则
12．规定,若函数,则( )
A.是以为最小正周期的周期函数
B.的值域是
C.当且仅当时,
D.当且仅当时,函数单调递增
三、填空题
13．______________.
14．若函数在单调递增,则实数a的取值范围为__________.
15．已知函数集合,若集合M中有3个元素,则实数t的取值范围为_____________.
16．以等边三角形每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现,所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图,已知某勒洛三角形的一段弧的长度为,则该勒洛三角形的面积为___________.
四、解答题
17．已知集合,集合或,全集.
(1)若,求;
(2)若,求实数a的取值范围.
18．已知函数为奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)若恒成立,求实数m的取值范围.
19．已知函数.
(1)当时,求的值域;
(2)若关于x的方程在区间上恰有三个不同的实根,求实数m的取值范围.
20．我们知道,函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数,有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知.
(1)利用上述结论,证明：的图象关于成中心对称图形;
(2)判断的单调性（无需证明）,并解关于x的不等式.
21．2022年是苏颂诞辰1001周年,苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟.水运仪象台的原动轮叫枢轮,是一个直径约3.4米的水轮,它转一圈需要30分钟.如图,退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处,当点P从枢轮最高处随枢轮开始转动时,打开退水壶出水口,壶内水位以每分钟0.017米的速度下降,将枢轮转动视为匀速圆周运动.以枢轮中心为原点,水平线为x轴建立平面直角坐标系,令P点纵坐标为,水面纵坐标为,P点转动经过的时间为x分钟.（参考数据：,,）
(1)求,关于x的函数关系式;
(2)求P点进入水中所用时间的最小值（单位：分钟,结果取整数）.
22．已知函数,.
(1)求证：为奇函数;
(2)若恒成立,求实数k的取值范围;
(3)解关于a的不等式.
参考答案
1．答案：C
解析：集合,
,
故选:C.
2．答案：B
解析：函数在上单调递增,而,则, ,
函数在R上单调递增,而,
则,即,所以.
故选：B.
3．答案：A
解析：因为,所以,
所以,
当且仅当,即时,等号成立,
所以函数的最小值为.
故选：A.
4．答案：D
解析：
5．答案：C
解析：函数 的定义域是,
由,得,即的定义域为,
又且,函数的定义域是.
故选：C.
6．答案：A
解析：将的图象所有点的横坐标缩短到原来的倍得到,
再把所得图像向左平移个单位,得到,
故选：A.
7．答案：B
解析：
8．答案：A
解析：根据题意,函数,
则的图象关于点对称,
依次分析选项:
对于A,,由函数的图象向右平移1个单位,
向下平移一个单位得到,即的图象
关于对称,是奇函数,A正确;
对于B,,由函数的图象向右平移1个单位,
向上平移一个单位得到,即的图象关于对称,不是奇函数,B错误;
对于C,,由函数的图象向左平移1个单位,
向下平移一个单位得到,即的图象关于对称, 不是奇函数,C错误;
对于D,,由函数的图象向左平移1个单位,
向上平移一个单位得到,即的图象关于对称, 不是奇函数,D错误;
故选：A.
9．答案：AC
解析：因为,且,不等式两边同乘以得：;A正确;
,由于,,而可能大于 0 ,也可能小于 0 ,故B选项错误;
由,则,
由不等式的基本性质得:,C正确;
当,时,满足,,但,D错误.
故选：AC.
10．答案：AC
解析：由图知，阴影部分中的元素在集合B中但不在集合A中，
所以阴影部分所表示的集合是 QUOTE B∩CUA，CA∪BA B∩CUA，CA∪BA，
11．答案：BCD
解析：
12．答案：AC
解析：根据题意,当时,;
当时,;
对选项A,的周期为,故正确;
对选项B,根据正弦函数和余弦函数的性质,可知的最小值在处取得,
即有,因此值域不可能为,故错误;
对选项C,函数的特点知, 当且仅当x在第三象限时,函数值的为负, 故正确;
对选项D,当 时,函数也单调递增, 因此选项遗漏了该区间,故错误;
故选：AC.
13．答案：
解析：,
故答案为：.
14．答案：
解析：令 ,则,
因为为减函数,
所以在上单调递增等价于在上单调递减,且,
即,解得,
故答案为：.
15．答案：或
解析：令,记的零点为,,
因为集合M中有3个元素,所以的图象与直线,共有三个交点,
则,或或
当时,得,,满足题意;
当时,得,,满足题意;
当时,,解得.
综上,t的取值范围为或.
故答案为：或
16．答案：
解析：设等边三角形ABC的边长为a,则,解得,
所以,由弧与AB所围成的弓形的面积为,
所以该勒洛三角形的面积.
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,
所以,
又或,
所以.
（2）因为,或,,
所以或,解得或,
所以实数a的取值范围是.
18．答案：（1）,经检验符合题意
（2）
解析：（1）由题意得：,即,解得：,
当时,,不合题意,舍去,所以,经检验符合题意;
（2）由,解得：,由得：或,
综上：不等式中,变形为,
即恒成立,
令,当时,,
所以,实数m的取值范围为.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）.
,,
因此可得：,故的值域为.
（2）,,
或,故或.
,,
只有1个实根,有2个不同的实根,
结合正弦函数图象可知,解得,故实数m的取值范围是.
20．答案：（1）见解析
（2）当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为或;
当时,不等式的解集为或
解析：（1）证明：,令,
,即,
又,
为奇函数,
有题意可知,的图象关于成中心对称图形;
（2）易知函数为单调递增函数,且对于恒成立,
则函数在R上为单调递减函数,
由（1）知,的图象关于成中心对称图形,即,
不等式得： ,
即,则,
整理得,
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为或;
当时,不等式的解集为或.
21．答案：（1）
（2）,,P点进入水中所用时间的最小值为13分钟
解析：（1）可设,
转动的周期为30分钟, ,
枢轮的直径为3.4米,∴,
点P的初始位置为最高点, , ,
退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处,水面的初始纵坐标为-1.19,
水位以每分钟0.017米的速度下降,;
（2）P点进入水中,则,即..
作出和的大致图像,显然在内存在一个交点.
令,
,
,
P点进入水中所用时间的最小值为13分钟;
综上,,,P点进入水中所用时间的最小值为13分钟.
22．答案：（1）是奇函数
（2）
（3）
解析：（1）函数,
由解得或,可得定义域,关于原点对称,
因为,
所以是奇函数;
（2）由或,解得,
所以恒成立,即,
则,即对恒成立,
因为,当且仅当,即时等号成立,
所以,即k的取值范围为;
（3）不等式即为,
设,即,可得在R上递减,
所以,则,解得,
所以不等式的解集为.