2023年广西南宁市兴宁区中考二模数学试题
展开A.B.C.2D.﹣2
2.(3分)下列图形中,既是轴对称又是中心对称图形的是( )
A.B.
C.D.
3.(3分)一个整数用科学记数法表示为8.1666×1010,则原数中“0”的个数为( )
A.4B.6C.7D.10
4.(3分)下列计算正确的是( )
A.2a+3b=5abB.2(2a﹣b)=4a﹣b
C.(3a)2=9aD.a6÷a4=a2
5.(3分)点P(5,﹣3)关于原点对称的点P'的横坐标是( )
A.5B.﹣5C.D.﹣
6.(3分)下列四个说法中,正确的是( )
A.平行于同一直线的两直线互相平行
B.旋转既改变图形的形状和大小,又改变图形的位置
C.两条直线被第三条直线所截,内错角相等
D.垂直于同一条直线的两条直线互相平行
7.(3分)若△ABC的三边分别为a、b、c,且关于x的一元二次方程(c+b)x2﹣2ax+c﹣b=0有两个相等的实数根,|a﹣10|+(b﹣10)2=0,则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形B.等边三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形
8.(3分)下列事件中为必然事件的是( )
A.随意翻到书的一页,页码是偶数
B.任掷一枚骰子,朝上的点数大于0
C.画一个三角形,它的内角和为360°
D.运动员射击1次,命中靶心
9.(3分)明代大数学家程大位著《算法统宗》一书中,记载了这样一道数学题:“八万三千短竹竿,将来要把笔头安,管三套五为期定,问君多少能完成?”用现代的话说就是:有83000根短竹,每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个,怎样安排笔管和笔套的短竹的数量,使制成的1个笔管与1个笔套正好配套?设用于制作笔管的短竹数为x根,用于制作笔套的短竹数为y根,则可列方程为( )
A.B.
C.D.
10.(3分)如图,△ABC内接于⊙O,∠B=65°,∠C=70°.若BC=3,则弧BC的长为( )
A.πB.πC.πD.3π
11.(3分)如图所示,货车匀速通过隧道,隧道长大于货车长,从货车进入隧道开始,货车在隧道内的长度y与行驶的时间x之间的关系用图象描述大致是( )
A.B.
C.D.
12.(3分)如图,在平面直角坐标系中,∠AOB=90°,∠OAB=30°,反比例函数y1=的图象经过点A,反比例函数y2=﹣的图象经过点B,则m的值是( )
A.m=3B.C.D.
二.填空题(共6小题,满分12分,每小题2分)
13.(2分)若最简二次根式与是同类二次根式,则m= .
14.(2分)当m= 时,分式的值为0.
15.(2分)如图,热气球的探测器显示,从热气球底部A处看一栋楼顶部的俯角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球A处与地面距离为150m,则这栋楼的高度是 m.
16.(2分)某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会,组织了6次预选赛,其中甲,乙两名运动员较为突出,他们在6次预选赛中的成绩(单位:秒)如下表所示:
由于甲,乙两名运动员的成绩的平均数相同,学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔,那么被选中的运动员是 .
17.(2分)已知A(x1,y1)、B(x2,y2)是一次函数y=kx+2的图象上的不同两个点,(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0时,k的取值范围是 .
18.(2分)为满足春节市场需求,某商场在节前购进大批某品牌童装,该品牌童装若每件盈利40元,平均每天可售出20件,经调查发现,若每件童装降价1元,商场平均每天可多售出2件,若商场希望该品牌童装日盈利为1200元,同时为了尽量减少库存,请问该童装应降价 元.
三.解答题(共8小题,满分72分)
19.(6分)计算:.
20.(6分)先化简,再求值:÷(﹣2x),其中x=+1.
21.(10分)我们知道,如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.证明这种文字性命题一般思路为:画草图,写出已知求证并证明.
按以上思路完成下面的作图与填空.
求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.
已知:如图,∠CAE是△ABC的外角,AD平分∠CAE,AD∥BC.
求证:AB=AC.
证明:用直尺和圆规作∠CAE的平分线AD.(只保留作图痕迹)
∵AD∥BC,
∴① ,② ,
∵AD平分∠CAE,
∴③ ,
∴④ ,
∴AB=AC(等角对等边).
22.(10分)某校为了解七八年级学生对卫生安全知识的掌握情况,从七、八年级各随机抽取20名学生进行测试,并对成绩(百分制)进行收集、整理和分析.部分信息如下:
收集数据:
七年级:99 90 92 85 80 67 83 87 87 79 56 87 85 84 68 66 62 60 76 59
八年级:97 95 80 96 88 79 92 78 86 83 86 86 75 72 60 77 78 76 58 65
整理数据:
分析数据:
请根据以上信息,回答下列问题:
(1)填空:b= ,c= .
(2)补全频数分布直方图.
(3)小亮同学参加了测试,他说“这次测试我得了83分,在我们年级属于中游略偏上!”你认为小亮同学可能是 (填“七”或“八”)年级的学生,你的理由是 .
(4)若该校七年级学生共有800人,假设全部参加此次测试,请估计七年级测试成绩超过平均数77.6分的人数.
23.(10分)如图,一次函数y=kx+b的图象交反比例函数y=的图象于A(2,﹣4),B(a,﹣1)两点.
(1)求反比例函数与一次函数解析式.
(2)连接OA,OB,求△OAB的面积.
(3)根据图象直接回答:当x为何值时,一次函数的值大于反比例函数的值?
24.(10分)某校七、八年级师生开展“一日游”活动,已知七年级师生共300人,八年级师生共220人.
(1)已知七年级教师比八年级教师多6人,七年级学生比八年级学生多37%,求七年级教师与学生各有多少人;
(2)参观某景点时、需要乘船游玩,现有A、B两种型号的游船,A型船的座位数是B型船的1.5倍,若七年级师生全部乘坐A型船若干艘,刚好坐满,八年级全部乘坐B型船,要比七年级乘坐的A型船多一艘且空20个座位,问:
①A、B两种游船每艘分别有多少个座位;
②若两个年级的师生联合租船,且每艘游船恰好全部坐满,请写出所有的租船方案.
25.(10分)如图1,在直角三角形纸片ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8.
【数学活动】
将三角形纸片ABC进行以下操作:第一步:折叠三角形纸片ABC使点C与点A重合,然后展开铺平,得到折痕DE;第二步:然后将△DEC绕点D顺时针方向旋转得到△DFG,点E,C的对应点分别是点F,G,直线GF与边AC交于点M(点M不与点A重合),与边AB交于点N.
【数学思考】
(1)折痕DE的长为 ;
(2)在△DEC绕点D旋转的过程中,试判断MF与ME的数量关系;并证明你的结论;
【数学探究】
(3)在△DEC绕点D旋转的过程中,探究下列问题:
①如图2,当直线GF经过点B时,AM的长为 ;
②如图3,当直线GF∥BC时,求AM的长;
【问题延伸】
(4)在△DEC绕点D旋转的过程中,连接AF,则AF的最小值为 .
26.(10分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+4x+c与直线AB相交于点A(0,1)和点B(3,4).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设C为直线AB上方的抛物线上一点,连接AC,BC,以AC,BC为邻边作平行四边形ACBP,求四边形ACBP面积的最大值;
(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线(a1≠0),平移后的抛物线与原抛物线相交于点D,是否存在点E使得△ADE是以AD为腰的等腰直角三角形?若存在,直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案与试题解析
一.选择题(共12小题,满分36分,每小题3分)
1. 解:﹣的相反数是.
故选:A.
2. 解:A、是轴对称图形,也是中心对称图形,故本选项符合题意,
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意,
C、不是轴对称图形,是中心对称图形,故本选项不合题意,
D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意,
故选:A.
3. 解:∵8.1666×1010表示的原数为81666000000,
∴原数中“0”的个数为6,
故选:B.
4. 解:A.2a与3b不是同类项,所以不能合并,故本选项不合题意;
B.2(2a﹣b)=4a﹣2b,故本选项不合题意;
C.(3a)2=9a2,故本选项不合题意;
D.a6÷a4=a2,故本选项符合题意.
故选:D.
5. 解:点P(5,﹣3)关于原点对称的点P'的横坐标是:﹣5.
故选:B.
6. 解:A、两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线平行,故原说法正确,选项符合题意;
B、旋转不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置,故原说法错误,选项不符合题意;
C、两条平行线被第三条直线所截,内错角相等,故原说法错误,选项不符合题意;
D、在同一平面内,如果两条直线同时垂直于同一条直线,那么这两条直线平行,故原说法错误,选项不符合题意.
故选:A.
7. 解:∵一元二次方程(c+b)x2﹣2ax+c﹣b=0有两个相等的实数根,
∴Δ=(﹣2a)2﹣4(c+b)(c﹣b)=0,
即a2+b2=c2,
∴△ABC为直角三角形,
又|a﹣10|+(b﹣10)2=0,
∴a=10,b=10,
∴△ABC为等腰直角三角形,
故选:D.
8. 解:A、随意翻到一本书的某页,这一页的页码是偶数,是随机事件,不符合题意;
B、任掷一枚骰子,朝上的点数大于0是必然事件,符合题意;
C、画一个三角形,它的内角和为360°,是不可能事件,不符合题意;
D、运动员射击1次,命中靶心,是随机事件,不符合题意;
故选:B.
9. 解:依题意,得:.
故选:B.
10. 解:连接OB、OC,
∵∠ABC=65°,∠ACB=70°,
∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=45°,
由圆周角定理得:∠BOC=2∠A=90°,
∵OB=OC,BC=3,
∴OB=3=3,
∴的长==,
故选:B.
11. 解:根据题意可知货车进入隧道的时间x与货车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为:
当货车开始进入时y逐渐变大,货车完全进入后一段时间内y不变,当货车开始出来时y逐渐变小,
∴反映到图象上应选A.
故选:A.
12. 解:过A、B分别作AM⊥x轴,BN⊥x轴,垂足为M、N,
∵∠AOB=90°,∠OAB=30°,
∴tan30°==,
由△BON∽△OAM得,
===,
设ON=a,BN=b,则MA=a,OM=b,
∴B(﹣a,b),A(b,a),
∵点B在反比例函数y2=﹣的图象上,
∴ab=1,
∵点A在反比例函数y1=的图象上,
∴m=a•b=3ab=3,
故选:A.
二.填空题(共6小题,满分12分,每小题2分)
13. 解:==2,
则m+1=3,
解得:m=2,
故答案为:2.
14. 解:由分式的值为零的条件得m2﹣4=0,2﹣m≠0,
由m2﹣4=0,得m2=4,
∴m=2或m=﹣2,
由2﹣m≠0,得m≠2.
综上,得m=﹣2,即m的值为﹣2.
故答案为:﹣2.
15. 解:如图,过A作AH⊥BC,交CB的延长线于点H,
在Rt△ACD中,
∵∠CAD=30°,AD=150m,
∴CD=AD•tan30°=150×=50(m),
∴AH=CD=50m.
在Rt△ABH中,
∵∠BAH=30°,AH=50m,
∴BH=AH•tan30°=50×=50(m),
∴BC=AD﹣BH=150﹣50=100(m),
答:这栋楼的高度为100m.
故答案为:100.
16. 解:甲的平均成绩为:(12.0+12.0+12.2+11.8+12.1+11.9)=12秒,
乙的平均成绩为:(12.3+12.1+11.8+12.0+11.7+12.1)=12秒;
分别计算甲、乙两人的百米赛跑成绩的方差为:
S甲2=[(12.2﹣12)2+(11.8﹣12)2+(12.1﹣12)2+(11.9﹣12)2]=,
S乙2=[(12.3﹣12)2+2(12.1﹣12)2+(11.8﹣12)2+(11.7﹣12)2]=,
∵<,
∴甲运动员的成绩更为稳定;
故答案为:甲.
17. 解:∵(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0,
∴x1﹣x2与y1﹣y2同号,
∴在一次函数y=kx+2中,y的值随x值的增大而增大,
∴k>0,
故答案为:k>0.
18. 解:设该童装每件降价x元,则每件盈利(40﹣x)元,平均每天可售出(20+2x)件,
依题意得:(40﹣x)(20+2x)=1200,
整理得:x2﹣30x+200=0,
解得:x1=10,x2=20.
又∵要尽量减少库存,
∴x=20.
答:该童装应每件降价20元最合适.
故答案为:20.
三.解答题(共8小题,满分72分)
19. 解:原式=2﹣2×+2﹣(﹣1)
=2﹣+2﹣+1
=3.
20. 解:÷(﹣2x)
=
=
=
=,
当x=+1时,原式=.
21. 证明:用直尺和圆规作∠CAE的平分线AD.(只保留作图痕迹)
∵AD∥BC,
∴①∠EAD=∠B,②∠CAD=∠C,
∵AD平分∠CAE,
∴③∠EAD=∠CAD,
∴④∠B=∠C,
∴AB=AC(等角对等边).
故答案为:∠EAD=∠B,∠CAD=∠C,∠EAD=∠CAD,∠B=∠C.
22. 解:(1)b=20﹣2﹣5﹣2﹣3=8(人),
将这20名学生的成绩从小到大排列,处在中间位置的两个数的平均数为=81.5,因此中位数是81.5,即c=81.5,
故答案为:8,81.5;
(2)∵a=20﹣(1+7+6+4)=2(人),
∴补全的频数分布直方图如解图所示:
(3)故答案为:七,小亮同学的成绩在年级属于中游略偏上,说明他的成绩比中位数要略大,即他所在年级测试成绩的中位数比83略小;
(4)(人).
答:估计七年级测试成绩超过平均数77.6分的大约为480人.
23. 解:(1)把A(2,﹣4)的坐标代入y=得:m=﹣8,
∴反比例函数的解析式是y=﹣;
把B(a,﹣1)的坐标代入y=﹣得:﹣1=﹣,
解得:a=8,
∴B点坐标为(8,﹣1),
把A(2,﹣4)、B(8,﹣1)的坐标代入y=kx+b,得:,
解得:,
∴一次函数解析式为y=x﹣5;
(2)设直线AB交x轴于C.
∵y=x﹣5,
∴当y=0时,x=10,
∴OC=10,
∴△AOB的面积=△AOC的面积﹣三角形BOC的面积
=×10×4﹣×10×1
=15;
(3)由图象知,当0<x<2或x>8时,一次函数的值大于反比例函数的值.
24. 解:(1)设八年级教师有x人,学生有y人,
依题意,得:,
解得:,
∴x+6=26,(1+37%)y=274.
答:七年级教师有26人,学生有274人.
(2)①设B型船每艘有m个座位,则A型船每艘有1.5m个座位,
依题意,得:﹣=1,
解得:m=40,
经检验,m=40是原分式方程的解,且符合题意,
∴1.5m=60.
答:A型船每艘有60个座位,B型船每艘有40个座位.
②设需租用A型船a艘,租用B型船b艘,
依题意,得:60a+40b=300+220,
∴b=13﹣a.
又∵a,b均为非负整数,
∴,,,,,
∴共有5种租船方案,方案1:租用13艘B型船;方案2:租用2艘A型船,10艘B型船;方案3:租用4艘A型船,7艘B型船;方案4:租用6艘A型船,4艘B型船;方案5:租用8艘A型船,1艘B型船.
25. 解:(1)由折叠的性质得:AE=EC,DE⊥AC,
∴DE∥AB,
∴==1,
∴DC=BD,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE=AB=3,
故答案为:3;
(2)MF=ME,证明如下:
如图1,连接DM,
由旋转的性质得:DE=DF,∠DFM=∠DEM=90°,
在Rt△DMF和Rt△DME中,
,
∴Rt△DMF≌Rt△DME(HL),
∴MF=ME;
(3)①由旋转的性质得:∠DGB=∠C,DG=DC,
∵DB=DC,
∴DG=DB,
∴∠DGB=∠DBG,
∴∠MBC=∠C,
∴BM=MC,
设BM=MC=x,
在Rt△ABM中,BM2=AB2+AM2,
即62+(8﹣x)2=x2,
解得:x=,
∴AM=AC﹣CM=8﹣=,
故答案为:;
②如图3,过A作AH⊥BC于H,交FG于K.
则四边形DFKH是矩形,
∴DF=KH=3,
∵∠BAC=90°,AB=6,AC=8,
∴BC===10,
∵AH⊥BC,
∴S△ABC=BC•AH=AB•AC,
∴AH==,
∴AK=AH﹣KH=,
∵GF∥BC,
∴△AKM∽△AHC,
∴=,
即=,
解得:AM=3;
(4)如图4,连接AD,
则AF+DF≥AD,
当A、F、D三点共线时,AF+DF=AD,
此时AF+DF的值最小,AF最小,
∵∠BAC=90°,BD=CD,
∴AD=BC=5,
∵DF=DE=3,
∴AF的最小值=AD﹣DF=5﹣3=2,
故答案为:2.
26. 解:(1)将A、B两点代入到解析式中,得,
,
解得,
∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+4x+1;
(2)设直线AB为:y=k1x+1,
代入点B,得,3k1+1=4,
解得k1=1,
∴直线AB为:y=x+1,
设C(m,﹣m2+4m+1),过C作CM∥y轴交AB于M,如图,
则M(m,m+1),
∴CM=﹣m2+4m+1﹣m﹣1=﹣m2+3m,
∵四边形ACBP为平行四边形,
∴S四边形ACBP=2S△ABC=2(S△ACM+S△BCM)=2×CM×3=4CM=3(﹣m2+3m)=﹣3(m﹣)2+,
∵﹣3<0,
∴m=时,四边形ACBP面积的最大值为;
(3)∵抛物线y=﹣x2+4x+1=﹣(x﹣2)2+5,
∴将抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线为:y=﹣x2+5,
联立,解得,
∴D(1,4),
①如图,当DA=DE,∠EDA=90°,E在AD右侧时,过D作x轴平行线交y轴于N,过E作y轴平行线,两线交于F点,
∵∠DAN+∠NDA=∠NDA+∠EDF=90
∴∠DAN=∠EDF,
又∠DNA=∠EFD=90°,DA=DE,
∴△DNA≌△EFD(AAS),
∴DN=EF=1,AN=DF=3,
∴E(4,3),
②当DA=DE,∠EDA=90°,E在AD左侧,
同理可得,E(﹣2,5),
③当AD=AE,∠DAE=90°,E在AD左侧时,
同理可得,E(﹣3,2),
④当AD=AE,∠DAE=90°,E在AD右侧时,
同理可得,E(3,0),
综上所述,E(4,3)或(﹣2,5)或(﹣3,2)或(3,0).
甲
12.0
12.0
12.2
11.8
12.1
11.9
乙
12.3
12.1
11.8
12.0
11.7
12.1
成绩/分
年级
50≤x<60
60≤x<70
70≤x<80
80≤x<90
90≤x≤100
七年级
2
5
2
b
3
八年级
1
a
7
6
4
年级
平均数
中位数
众数
七年级
77.6
c
87
八年级
80.35
79.5
86
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