2023-2024学年福建省福州八中高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州八中高二（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在等差数列{an}中，若a1=1，a2+a4=10，则a20=( )
A. 38B. 39C. 40D. 41
2.为抛物线y2=2px(p>0)的焦点与椭圆x29+y25=1的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为( )
A. x=−1B. x=1C. x=2D. x=−2
3.若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2−8x−6y+m=0内切，则m=( )
A. 25B. 9C. −9D. −11
4.在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+bx(a,b为常数)过点P(2,−5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则( )
A. a=−1，b=2B. a=1，b=2
C. a=−1，b=−2D. a=1，b=−2
5.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线为l，过点F2且与l平行的直线交双曲线C于点M，若|MF1|=3|MF2|，则双曲线C的离心率为( )
A. 2B. 3C. 5D. 3
6.已知函数f(x)=(2−x)ex−ax在(0,5)上为减函数，则a的取值范围是( )
A. (−∞,5e)B. [5e,+∞)C. (1,+∞)D. [1,+∞)
7.如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小正三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小正三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基三角形.设An是第n次挖去的小正三角形面积之和(如A1是第1次挖去的中间小正三角形面积，A2是第2次挖去的三个小正三角形面积之和)，则( )
A. A2= 364
B. An是等差数列
C. An= 316(34)n
D. 前n次挖去的所有小正三角形面积之和为 34[1−(34)n]
8.已知函数f(x)=lnxx，直线l：y=a(2x−1)，若有且仅有一个整数x0，使得点P(x0,f(x0))在直线l上方，则实数a的取值范围是( )
A. [ln2,ln3)B. (ln2,ln3]C. [ln315,ln26)D. (ln315,ln26]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知C：x2+y2−6x=0，则下述正确的是( )
A. 圆C的半径r=3B. 点(1,2 2)在圆C的内部
C. 直线l：x+ 3y+3=0与圆C相切D. 圆C′：(x+1)2+y2=4与圆C相交
10.已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是( )
A. 若Sn=2n2+1，则{an}是等差数列
B. 若Sn=(12)n−1，则{an}是等比数列
C. 若{an}是等差数列，则S199=199a100
D. 若{an}是等比数列，则S99⋅S101>S1002
11.已知F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)和双曲线E：x2a02−y2b02=1(a0>0,b0>0)的公共左，右焦点，P(在第一象限)为它们的一个交点，且∠F1PF2=60°，直线PF2与双曲线交于另一点Q，若|PF2|=2|F2Q|，则下列说法正确的是( )
A. △PF1Q的周长为16a5B. 双曲线E的离心率为 133
C. 椭圆C的离心率为 135D. |PF1|=4|PF2|
12.已知a>0，b>0且ea+lnb>a+b，则下列结论一定正确的是( )
A. a>bB. ea>bC. ea+b>2D. a+lnb>0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若直线l1：2x+my+1=0与直线l2：m2x−y+12=0垂直，则实数m的值为______．
14.设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)=f′(π3)sinx+csx，则f′(5π6)= ______．
15.已知双曲线C2：y22−x2=1的上、下焦点分别为F1，F2.点P在x轴上，线段PF1交C于Q点，△PQF2的内切圆与直线QF2相切于点M，则线段MQ的长为______．
16.若数列{an}的前n项和为Sn，bn=Snn，则称数列{bn}是数列{an}的“均值数列”.已知数列{bn}是数列{an}的“均值数列”且bn=n，设数列{1 an+ an+1}的前n项和为Tn，若12(m2−m+ 3−3)四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=x3+32x2−4ax+2．
(1)若函数g(x)=6lnx−x3+(4a−9)x+f(x)，求g(x)的单调区间；
(2)若f(x)有两个都小于0的极值点，求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足(c+2b)csA+acsC=0．
(1)求角A的值；
(2)若a=14，c=6，求△ABC的面积．
19.(本小题12分)
如图，AE⊥平面ABCD，BF/​/平面ADE，CF/​/AE，AD⊥AB，AB=AD=2，AE=BC=4．
(1)求证：AD//BC；
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值．
20.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F( 3,0)，长半轴长与短半轴长的比值为2．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设B为椭圆C的上顶点，直线l：y=x+m(m≠1)与椭圆C相交于不同的两点M，N，若BM⊥BN，求直线l的方程．
21.(本小题12分)
已知数列{an}满足anan+2=12an+1(n∈N*)，a1=1．
(1)证明：数列{1an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)若记bn为满足不等式(12)n22.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2+ax+aex．
(1)当a=2时，求f(x)在(−1,f(−1))处的切线方程；
(2)当x≥0时，不等式f(x)≤2恒成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：等差数列{an}中，a1=1，a2+a4=2+4d=10，
所以d=2，
则a20=a1+19d=1+38=39．
故选：B．
由已知结合等差数列的通项公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∵椭圆x29+y25=1的右焦点坐标为(2,0)，
∴抛物线的焦点坐标为(2,0)，
∴抛物线的准线方程为x=−2．
故选：D．
先求出椭圆的焦点坐标即是抛物线的焦点坐标，即可求出准线方程．
本题考查了抛物线的标准方程及其性质，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由圆C1：x2+y2=1的方程可得圆心C1(0,0)，半径r1=1，
由圆C2：x2+y2−8x−6y+m=0的方程可得圆心C2(4,3)，半径r2= 25−m，
所以圆心距|C1C2|= 32+42=5，
因为两圆内切，所以r2−r1=|C1C2|，
即 25−m−1=5，解得m=−11，
故选：D．
由圆的方程可得圆心坐标及半径，再由两圆外切可得圆心距等于两个半径之差，可得m的值．
本题考查两圆内切的性质的应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵函数y=ax2+bx的导数为y′=2ax−bx2，
∴曲线在点P(2,−5)处的切线斜率为k=4a−b4，
由两直线平行可得4a−b4=−72①.
又∵点P(2,−5)在曲线y=ax2+bx上，
∴4a+b2=−5②，由①②解得a=−1，b=−2．
故选：C．
由题意将点P(2,−5)代入y=ax2+bx得4a+b2=−5，求导得y′=2ax−bx2，由题意将点P(2,−5)代入得4a−b4=−72，联立即可得解．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
5.【答案】B
【解析】解：根据双曲线的对称性，不妨设一条渐近线l的方程为y=bax，
因此直线MF2的倾斜角α的正切值为ba，即tanα=ba=sinαcsα⇒sinα=bk,csα=ak(k>0)，
所以有(bk)2+(ak)2=1⇒ck=1⇒k=1c⇒csα=ac，
设|MF2|=m，|MF1|=3m，由双曲线定义可知：|MF1|−|MF2|=2a=2m⇒a=m⇒|MF2|=a，|MF1|=3a，
由余弦定理可知：(3a)2=a2+(2c)2−2a⋅2c⋅ac⇒c2=3a2⇒e= 3．
故选：B．
根据双曲线的定义，结合余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可．
本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：因为函数f(x)=(2−x)ex−ax在(0,5)上为减函数，
所以f′(x)=−ex+(2−x)ex−a≤0在(0,5)上恒成立，
所以a≥(1−x)ex在(0,5)上恒成立，令g(x)=(1−x)ex，
所以g′(x)=−ex+(1−x)ex=−xex<0，
所以g(x)在(0,5)上单调递减，所以−4e5=g(5)故a≥1，所以a的取值范围是[1,+∞)．
故选：D．
由题意可得f′(x)≤0在(0,5)上恒成立，即a≥(1−x)ex在(0,5)上恒成立，令g(x)=(1−x)ex，求出g(x)取值范围即可．
本题考查导数的综合应用，属中档题．
7.【答案】D
【解析】解：由题意知，原等边三角形的面积为A=12×1×1×sin60°= 34，
所以A1=14A=14× 34= 316，
A2=3×14A1=34× 316=3 364，选项A错误；
由题意，可知：
每次都是在前一次的基础上挖去几个相同大小的三角形，
第一次挖去的三角形是原等边三角形的14，第一次挖去1个三角形；
第二次挖去的三角形是原等边三角形的(14)2，第二次挖去3个三角形；
第三次挖去的三角形是原等边三角形的(14)3，第三次挖去32个三角形；
...
所以第n次挖去的三角形是原等边三角形的(14)n，第n次只挖去3n−1个三角形；
所以An=3n−1⋅(14)n⋅A=3n−1⋅(14)n⋅ 34= 316×(34)n−1，(n≥2，且n∈N*)．
所以{An}是等比数列，且An= 316⋅(34)n−1，n∈N*；选项B、C错误；
等比数列{An}的前n项和为Sn= 316×[1−(34)n]1−34= 34[1−(34)n]，选项D正确．
故选：D．
由题意分别计算等边三角形的面积，求出数列{An}中的前几项A1、A2，归纳出通项公式An，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了等比数列的定义与应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．
8.【答案】C
【解析】解：点P(x0,f(x0))在直线l上方，即lnx0x0>a(2x0−1)，
因为x>0，
所以lnxx>a(2x−1)有且仅有一个正整数解．
f(x)=lnxx,f′(x)=1−lnxx2，
则x∈(0,e)，f′(x)>0，f(x)单调递增；
x∈(e,+∞)，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)≤f(e)=1e．
又01，f(x)>0，故可得f(x)图象如下图，
直线l：y=a(2x−1)过定点M(12,0)，
当a≤0，lnxx>a(2x−1)有无数个正整数解，不合题意，故a>0，
又lnxx>a(2x−1)有且仅有一个正整数解，故2是唯一的正整数解，即ln22>a(4−1)ln33≤a(6−1)⇒ln315≤a故选：C．
由定义域得x0为正整数，由导数法研究f(x)=lnxx的图象，直线l过定点(12,0)，由数形结合可判断x0的值，进而列不等式组确定参数范围．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查转化能力，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：圆C的方程即(x−3)2+y2=9，则圆的半径为3，选项A正确；
(1−3)2+(2 2)2>9，则点(1,2 2)在圆的外部，选项B错误；
圆心到直线x+ 3y+3=0的距离d=|3+0+3| 1+3=3，则直线与圆相切，选项C正确；
C与C′的圆心距d= (−1−3)2+02=4，由于1<4<5，故两圆相交，选项D正确．
故选：ACD．
将圆的方程化为标准方程，结合直线方程和圆的方程考查所给的选项是否正确即可．
本题主要考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等知识，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：选项A，n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n2+1−2(n−1)2−1=4n−2，
a1=S1=3，a2=6，a3=10，a3−a2≠a2−a1，{an}不是等差数列，故A错；
选项B，a1=S1=−12，n≥2时，an=Sn−Sn−1=(12)n−1−(12)n−1+1=(−12)n，
a2=14，a3=−18，a2a1=−12=a3a2，{an}是等比数列，故B正确；
选项C，若{an}是等差数列，则S199=199(a1+a199)2=199×2a1002=199a100，故C正确；
选项D，若an=1，则Sn=n，S99⋅S101=99×101=9999，而S1002=1002=10000>9999，故D错误．
故选：BC．
由前n项和求得an后判断AB，根据等差数列、等比数列的性质判断CD．
本题主要考查了等差数列的定义，考查了等差数列的前n项和公式，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：设|QF2|=t，
则|PF2|=2t，|PF1|=2t+2a0，|QF1|=t+2a0，
在△PF1Q中，由余弦定理|QF1|2=|PF1|2+|PQ|2−2|PF1||PQ|cs∠F1PQ，
得(t+2a0)2=(2t+2a0)2+9t2−2(2a0+2t)⋅3t⋅cs60°，
化简得a0=3t，|PF1|=2t+2a0=8t=4|PF2|，D正确；
又2a=|PF1|+|PF2|=10t，
所以a=5t，
又|QF1|=t+2a0=7t，
则△PF1Q的周长为8t+3t+7t=18t=185a，A错误；
△PF1F2中，|F1F2|=2c，由余弦定理得4c2=(8t)2+(2t)2−2×8t×2t×cs60°，
所以c= 13t，
因此双曲线的离心率为e1=ca0= 13t3t= 133，B正确；
椭圆的离心率为e2=ca= 13t5t= 135，C正确，
故选：BCD．
设|QF2|=t，则|PF2|=2t，由双曲线定义得|PF1|=2t+2a0，|QF1|=t+2a0，再由余弦定理得a0=3t，然后由椭圆定义得a=5t，利用余弦定理求得c= 13t，再求三角形周长，求出椭圆、双曲线的离心率，从而判断各选项．
本题考查椭圆以及双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及函数极小值、最小值的求解，需要学生较强的数学综合知识，属于较难题．
先用特殊值法，排除A、D选项，其次构造函数f(x)=ex−x，判断其单调性，最后结合选项即可解答．
【解答】
解：取a=1，b=1，e1+ln1=e，a+b=2，
满足a>0，b>0且ea+lnb>a+b，故A不一定成立，
取a=1，b=1e，e1+ln1e=e−1，a+b=1+1e，
满足a>0，b>0且ea+lnb>a+b，但a+lnb=1+ln1e=0，故D不一定成立；
令f(x)=ex−x，则f′(x)=ex−1，
当x>0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(−∞,0)上单调递减，
∴f(x)极小值=f(x)最小值=f(0)=1，
∵a>0，b>0且ea+lnb>a+b，
∴ea−a>b−lnb⇔ea−a>elnb−lnb⇔f(a)>f(lnb)，
当a>lnb>0，∴ea>elnb=b>e0=1，故B满足题意，
，∴ea>b，ea+b>2，
当a>0>lnb，此时01>b，故C满足题意，
故选：BC．
13.【答案】0或12
【解析】解：由两条直线垂直可得2m2−m=0，解得m=0或12．
故答案为：0或12．
写出两条直线垂直的充要条件，解出m的值．
本题考查两条直线垂直的性质的应用，属于基础题．
14.【答案】1
【解析】解：因为f(x)=f′(π3)sinx+csx，所以f′(x)=f′(π3)csx−sinx，
令x=π3，则f′(π3)=f′(π3)csπ3−sinπ3，即f′(π3)=12f′(π3)− 32，
解得f′(π3)=− 3，所以f′(x)=− 3csx−sinx，
所以f′(56π)=− 3cs56π−sin56π=− 3×(− 32)−12=1．
故答案为：1．
根据题意，求导可得f′(x)，令x=π3，即可得到f′(π3)，然后代入计算，即可得到结果．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
15.【答案】 2
【解析】解：设|QM|=x，|F2M|=y，则|QN|=x，|F2H|=y，
因为|PF1|=|PF2|，∴|NF1|=|HF2|，
故x+|QF1|=y，
由双曲线的定义可知|QF2|−|QF1|=2a=2 2，即x+y−|QF1|=2a，
解得：x=a= 2．
故答案为： 2．
根据内切圆，可得切线长相等，根据双曲线定义，可列出式子即可求解．
本题主要考查双曲线的几何性质，属于基础题．
16.【答案】(−1,2)
【解析】解：由题意，可知bn=Snn=n，
即Sn=n2，n∈N*，
则当n=1时，a1=S1=1，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2−(n−1)2=2n−1，
∵当n=1时，a1=1也符合上式，
∴an=2n−1，n∈N*，
∴1 an+ an+1=1 2n−1+ 2n+1
= 2n−1− 2n+1( 2n−1+ 2n+1)( 2n−1− 2n+1)
= 2n+1− 2n−12，
∴Tn=1 a1+ a2+1 a2+ a3+…+1 an+ an+1
= 3−12+ 5− 32+…+ 2n+1− 2n−12
= 2n+1−12，
故不等式12(m2−m+ 3−3)化简整理，可得m2−m< 2n+1+2− 3，
∵n∈N*，∴ 2n+1≥ 2×1+1= 3，
∴ 2n+1+2− 3≥ 3+2− 3=2，
∵不等式12(m2−m+ 3−3)∴m2−m<2对n∈N*恒成立，
即m2−m−2<0恒成立，
解得−1∴满足不等式12(m2−m+ 3−3)故答案为：(−1,2)．
先根据题干已知条件推导出Sn的表达式，再结合公式an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2计算出数列{an}的通项公式，进一步计算出数列{1 an+ an+1}的通项公式并进行分母有理化，然后运用裂项相消法计算出前n项和Tn的表达式并代入不等式12(m2−m+ 3−3)本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了分类讨论，整体思想，转化与化归思想，裂项相消法，分母有理化，不等式的运算，不等式的求解，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
17.【答案】解：(1)g(x)=6lnx−x3+(4a−9)x+f(x)=6lnx−x3+(4a−9)x+x3+32x2−4ax+2=6lnx−9x+32x2+2，x>0，
g′(x)=6x−9+3x=6−9x+3x2x=3(x2−3x+2)x=3(x−2)(x−1)x，
所以在(0,1)上，g′(x)>0，g(x)单调递增，
在(1,2)上，g′(x)<0，g(x)单调递减，
在(2,+∞)上，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以g(x)的单调递增区间为(0,1)，(2,+∞)，单调递减区间为(1,2)．
(2)因为f(x)有2个极值点且都小于0，
所以f′(x)=3x2+3x−4a=0有2个不相等的负实数根，
所以Δ=9+48a>0x1+x2=−1<0x1x2=−4a3>0，
解得−316所以实数a的取值范围为(−316,0)．
【解析】(1)根据题意可得g(x)=6lnx−9x+32x2+2，x>0，求导可得g′(x)，分析g′(x)的符号，进而可得g(x)的单调性．
(2)由f(x)有2个极值点且都小于0，则f′(x)=3x2+3x−4a=0有2个不相等的负实数根，进而可得Δ=9+48a>0x1+x2=−1<0x1x2=−4a3>0，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由(2b+c)csA+acsC=0，
根据正弦定理有(2sinB+sinC)csA+sinAcsC=0，
所以2sinBcsA+sinCcsA+sinAcsC=0，
所以2sinBcsA+sin(C+A)=0，即2sinBcsA+sinB=0，
因为0因为0(2)∵csA=b2+c2−a22bc，
∴−12=b2+62−1422×b×6，
∴b=10或−16(舍)，
∴S△ABC=12bcsinA=12×10×6× 32=15 3．
【解析】(1)先用正弦定理边化角，再逆用两角和的正弦公式进行化简即可求解；(2)利用余弦定理求出b边，然后代入三角形面积公式计算．
本题考查了正、余弦定理和三角形面积的计算，属于基础题．
19.【答案】解：(1)证明：∵CF//AE，CF⊄面AED，AE⊂面AED，
∴CF/​/面AED，
又∵BF/​/面AED，BF∩CF=F，BF、CF⊂面BCF，
∴面BCF/​/面AED，
又∵面BCF∩面ABCD=BC，面ADE∩面ABCD=AD，
∴AD/​/BC．
(2)以A为原点，分别以AB、AD、AE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,2,0)，E(0,0,4)，
∴BD=(−2,2,0)，BE=(−2,0,4)，CE=(−2,−4,4)，
设平面BDE的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅BD=−2x+2y=0n⋅BE=−2x+4z=0，
取z=1，则x=2，y=2，则n=(2,2,1)，
设直线CE与平面BDE所成角为φ，
则sinφ=|cs|=86×3=49．
所以直线CE与平面BDE所成角为49．
【解析】(1)运用线面平行判定定理、面面平行判定定理可证得面BCF//面AED，运用面面平行性质可证得AD//BC．
(2)建立空间直角坐标系，运用坐标法求线面角即可．
本题考查线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，向量法求解线面角问题，化归转化思想，属中档题．
20.【答案】解：(1)由题意得，c= 3，ab=2，a2=b2+c2，
∴a=2，b=1，
∴椭圆C的标准方程为x24+y2=1．
(2)依题意，知B(0,1)，设M(x1,y1)，N(x2,y2).
联立y=x+mx2+4y2=4，消去y，可得5x2+8mx+4m2−4=0，
∴Δ=16(5−m2)>0，即− 5且x1+x2=−8m5，x1x2=4m2−45．
∵BM⊥BN，
∴BM⋅BN=0．
∵BM⋅BN=(x1,x1+m−1)⋅(x2,x2+m−1)=2x1x2+(m−1)(x1+x2)+(m−1)2=0，
∴2×4m2−45+(m−1)−8m5+(m−1)2=0，
整理得5m2−2m−3=0，
解得m=−35或m=1(舍去)．
∴直线l的方程为y=x−35．
【解析】(1)由条件写出关于a，b，c的方程组，即可求椭圆方程；
(2)首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示BM⋅BN=0，即可求参数m．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由anan+2=12an+1取倒数得an+2an=2an+1，故1an+1−1an=12，
又1a1=1，所以数列{1an}是首项为1，公差为12的等差数列，
则1an=1+12(n−1)=n+12，所以an=2n+1；
(2)当(12)n故2n−1≤k+12<2n，解得2n−1≤k<2n+1−1，
所以满足条件的整数k的个数为2n+1−1−(2n−1)=2n，即bn=2n，
所以bnan=2n2n+1=(n+1)⋅2n−1>0，故数列{Sn}递增，
所以Sn=2×20+3×21+4×22+⋯+(n+1)×2n−1，
则2Sn=2×21+3×22+4×23+⋯+n×2n−1+(n+1)×2n，
两式相减可得−Sn=2+2+22+⋯+2n−1−(n+1)⋅2n=2+2−2n1−2−(n+1)⋅2n=−n⋅2n，
所以Sn=n⋅2n，
.因为S7=7×27=896,S8=8×28=2048，所以S7<2024因此，满足Sn<2024的最大正整数n的值为7．
【解析】(1)anan+2=12an+1两边取倒数得到1an+1−1an=12，从而得到{1an}是首项为1，公差为12的等差数列，求出1an=n+12，求出通项公式；
(2)在(1)的基础上解不等式得到2n−1≤k<2n+1−1，从而得到bn=2n，bnan=(n+1)⋅2n−1>0，数列{Sn}递增，再利用错位相减法求和得到Sn=n⋅2n，结合S7=896，S8=2048，得到答案．
本题考查了等差数列的判断与通项公式，错位相减法数列求和，属于中档题．
22.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=x2+2x+2ex，∴f′(x)=−x2ex，
故切线的斜率k=f′(−1)=−e，又f(−1)=e，∴切点为(−1,e)，
∴切线方程为y−e=−e(x+1)，化简得ex+y=0．
(2)法1：当x≥0时，f(x)≤2恒成立，故x2+ax+aex≤2，
也就是x2+ax+a≤2ex，即a(x+1)≤2ex−x2，
由x+1>0得a≤2ex−x2x+1，令h(x)=2ex−x2x+1(x≥0)，
则h′(x)=(2ex−2x)(x+1)−(2ex−x2)(x+1)2=x(2ex−x−2)(x+1)2，
令t(x)=2ex−x−2，则t′(x)=2ex−1，
可知t′(x)在[0,+∞)单调递增，则t′(x)≥t′(0)=1，即t′(x)>0在(0,+∞)恒成立，
故t(x)在[0,+∞)单调递增，所以t(x)≥t(0)=0，故h′(x)≥0在[0,+∞)恒成立，
所以h(x)在[0,+∞)单调递增，而h(0)=2，所以h(x)≥2，故a≤2，
即实数a的取值范围是(−∞,2]．
法2：因为当x≥0时，f(x)≤2恒成立，故f(x)max≤2，
由f′(x)=−x2+(2−a)xex=−x[x−(2−a)]ex(x≥0)，
令f′(x)=0，得x=0或x=2−a，
①当2−a≤0，即a≥2时，f′(x)≤0在x∈[0,+∞)上恒成立，∴f(x)在[0,+∞)上单调递减，
∴f(x)max=f(0)=ae0=a≥2，∴a>2不合题意，a=2合题意．
②当2−a>0，即a<2时，
当x∈[0,2−a)时f′(x)>0，当x∈(2−a,+∞)时f′(x)<0，
故f(x)在[0,2−a)上单调递增，在(2−a,+∞)上单调递减，∴f(x)max=f(2−a)=4−ae2−a，
设2−a=t>0,y=t+2et，则y′=−1−tet<0恒成立，∴y=t+2et在(0,+∞)上单调递减，
故t+2et<0+21=2，即f(x)max<2，合题意．
综上，a≤2，即实数a的取值范围是(−∞,2]．
法3：因为当x≥0时，f(x)≤2恒成立，也就是x2+ax+a≤2ex，
即2ex−x2−ax−a≥0恒成立，令h(x)=2ex−x2−ax−a，x∈[0,+∞)，
令S(x)=h′(x)=2ex−2x−a，S′(x)=2ex−2，∵x≥0，∴ex≥1，∴S′(x)≥0恒成立，
∴h′(x)在[0,+∞)上单调递增．∴h′(x)min=h′(0)=2−a．
①当2−a≥0，即a≤2时，h′(x)≥0，∴h(x)在[0,+∞)上单调递增，∴h(x)min=h(0)=2−a≥0，合题意；
②当2−a<0，即a>2时，lna2>0，
因为h′(0)=2−a<0，h′(lna2)=−2lna2<0，
存在x0∈(0,+∞)，使得h′(x0)=0，即2ex0=2x0+a，
∴h(x)在[0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，
∴h(x)min=h(x0)=2ex0−x02−ax0−a=(2x0+a)−x02−ax0−a=−x02+(2−a)x0<0，不合题意．
综上，a≤2，即实数a的取值范围是(−∞,2]．
【解析】(1)求出函数的导数后可求切线的斜率，从而可求切线方程．
(2)法1：利用参变分离结合导数可求参数的取值范围；
法2：利用分类讨论求出函数的最值，根据最值的性质讨论参数的取值范围；
法3：将不等式转化为2ex−x2−ax−a≥0恒成立，令h(x)=2ex−x2−ax−a，x∈[0,+∞)，利用导数求出函数的最值，根据最值的性质讨论参数的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．