2023-2024学年安徽省滁州市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省滁州市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.二次函数y=(a−1)x2的图象是一条抛物线，若抛物线开口向上，则a的取值范围是( )
A. a≥1B. a>1C. a≤1D. a<1
2.如图，l1//l2//l3，直线m，n与这三条平行线分别相交于点A，B，C和D，E，F，若ABBC=43，DE=3，则DF的值为( )
A. 94
B. 4
C. 214
D. 7
3.若M(−2,a)，N(2,b)，P(4,c)三点都在反比例函数y=m2+1x的图象上，则a，b，c的大小关系为( )
A. b>c>aB. a>b>cC. c>a>bD. c>b>a
4.在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在点(1,0)，半径为2，则下面各点在⊙O上的是( )
A. (2,0)B. (0,2)C. (0, 3)D. ( 3,0)
5.如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，BC=4米，∠A=30°，则横梁AC的长为( )
A. 4 3米B. 8米C. 8 3米D. 12米
6.高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=8米，净高CD=8米，则此圆的半径OA=( )
A. 5米
B. 112米
C. 6米
D. 132米
7.如图，小明先在凉亭A处测得湖心岛C在其北偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶200米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其北偏西60°的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为( )
A. 400米
B. (100 3+100)米
C. (100 2+100)米
D. (100 3−100)米
8.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，对角线AC⊥CD，过点B作BE⊥AC于点E，若CE=2AE=4，CD=3，则AB的长为( )
A. 5
B. 3
C. 2 5
D. 5
9.如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=6x(x>0)的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为( )
A. y=−6x
B. y=−4x
C. y=−2x
D. y=2x
10.如图，菱形ABCD的边长为3cm，∠B=60°，动点P从点B出发以3cm/s的速度沿着边BC−CD−DA运动，到达点A后停止运动；同时动点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达点A后停止运动.设点P的运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，则y关于x的函数图象为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.已知锐角α满足csα=sin55°，则α= ______°.
12.如图，⊙O的直径是AB，∠BPQ=45°，圆的半径是4，则弦BQ=______．
13.如图，A，B是双曲线y=kx(x>0)上的两点，连接OA，OB.过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D.若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为(m,2)，则m的值为______．
14.已知二次函数y=x2−2mx+m2+3．
(1)若抛物线经过点(m,n)，则n= ______．
(2)若当1≤x≤3时，其对应的函数值y的最小值为4，则m= ______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
已知一个二次函数的图象过点(0,1)，它的顶点坐标是(8,9)，求这个二次函数的关系式．
16.(本小题8分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A (2,6)，B (6,8)，C (8,2)，请你分别完成下面的作图．
(1)以O为位似中心，在第三象限内作出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的位似比为1：2；
(2)以O为旋转中心，将△ABC沿顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2．
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6．
(1)求sinB的值；
(2)延长BC至点D，使得∠ADB=30°，求CD的长．
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E．
(1)求证：△CDE∽△CAB．
(2)若∠C=60°，求S△CDE：S△CAB的值．
19.(本小题10分)
如图，以BC为底的等腰△ABC的三个顶点都在⊙O上，过点A作AD//BC交BO的反向延长线于点D．
(1)求证：AD是⊙O的切线．
(2)若四边形ADBC是平行四边形，且BC=12，求⊙O的半径．
20.(本小题10分)
2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站.如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°．
(1)求点A离地面的高度AO；
(2)求飞船从A处到B处的平均速度.(结果精确到0.1km/s，参考数据： 3≈1.73)
21.(本小题12分)
如图，一次函数y1=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y2=kx(k为常数，k≠0)的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，连接OA，已知OC=2，tan∠AOC=32，B(m,−2)．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)结合图象直接写出：当y1>y2时，x的取值范围．
22.(本小题12分)
如图，抛物线y=ax2−6x+c(a≠0)与x轴负半轴交于A(−5,0)，B两点，与y轴交于点C(0,−5)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若M是直线AC上方抛物线上一点，过点M作MN⊥AC交直线AC于点N.设点M的横坐标为m．
①若N点与A点重合，求M的坐标；
②请用含m的代数式表示出线段MN的长，并求出线段MN的最大值．
23.(本小题14分)
如图，矩形ABCD中，点E在DC上，DE=BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F．
(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；
(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；
(3)若OF=3，EF=2，求DE的长度．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵二次函数y=(a−1)x2开口向上，
∴a−1>0，即a>1，
故选：B．
根据题意利用二次函数性质即可得到本题答案．
本题考查二次函数的定义，关键是二次函数图象及性质的应用．
2.【答案】C
【解析】解：∵l1/​/l2/​/l3，
∴EFDE=BCAB，即EF3=34，
∴EF=94，
∴DF=DE+EF=3+94=214．
故选：C．
由l1//l2//l3，利用平行线分线段成比例，可求出EF的值，再将其代入DF=DE+EF中，即可求出结论．
本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵k=m2+1>0，
∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小．
又∵M(−2,a)，N(2,b)，P(4,c)三点都在函数y=m2+1x的图象上，且−2<0<2<4，
∴M(−2,a)在第三象限，N(2,b)，P(5,c)在第一象限，
∴a<0，b>c>0，
故a、b、c的大小关系为b>c>a．
故选：A．
根据反比例函数的增减性解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、点(2,0)到⊙O的圆心(1,0)的距离为：2−1=1<2，所以点(2,0)在⊙O内，错误；
B、点(0,2)到⊙O的圆心(1,0)的距离为： 12+22= 5>2，所以点(2,0)在⊙O外，错误；
C、点(0, 3)到⊙O的圆心(1,0)的距离为： 12+( 3)2=2，所以点(2,0)在⊙O上，正确；
D、点( 3,0)到⊙O的圆心(1,0)的距离为： 3−1<2，所以点(2,0)在⊙O内，错误；
故选：C．
逐项判断，即可得解．
此题主要考查了点与圆的位置关系，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：∵立柱BC垂直于横梁AC，
∴∠BCA=90°，
∵BC=4米，∠A=30°，
∴AB=8米，
∴AC=4 3米，
故选：A．
根据题意利用在直角三角形中含30°角所对的边是斜边的一半即可得到本题答案．
本题考查含30°的直角三角形三边关系，解答本题的关键是熟练掌握在直角三角形中含30°角所对的边是斜边的一半．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查垂径定理，勾股定理，关键是应用勾股定理列出关于半径的方程，设⊙O的半径是r米，由垂径定理，勾股定理，列出关于r的方程，即可求解．
【解答】
解：设⊙O的半径是r米，
∵CD⊥AB，
∴AD=12AB=4(米)，
∵OA2=OD2+AD2，
∴r2=(8−r)2+42，
∴r=5，
∴⊙O的半径OA是5米．
故选：A．
7.【答案】B
【解析】解：过点A作AD⊥BC于点D．
由题意可得∠BAD=30°，∠ACB=45°，
在Rt△ABD中，AB=200米，∠BAD=30°，
∴sin30°=ADAB=AD200=12，cs30°=BDAB=BD200= 32，
解得AD=100，BD=100 3，
在Rt△ACD中，∠ACB=45°，
则AD=CD=100米，
∴BC=BD+CD=(100 3+100)米．
故选：B．
过点A作AD⊥BC于点D.由题意可得∠BAD=30°，∠ACB=45°，在Rt△ABD中，sin30°=ADAB=AD200=12，cs30°=BDAB=BD200= 32，解得AD=100，BD=100 3，在Rt△ACD中，∠ACB=45°，则AD=CD=100米，根据BC=BD+CD可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用−方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵CE=2AE=4，
∴AE=2，
∴AC=3AE=6
∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2，CD=3，
∴AD= AC2+CD2= 62+32=3 5，
∵∠BAD=90°，∠ACD=90°，
∴∠BAE+∠CAD=90°，∠CAD+∠ADC=90°，
∴∠BAE=∠ADC，
∵BE⊥AC，
∴∠BEA=∠ACD，
∴△ABE∽△DAC，
∴ABAD=AECD，
∴AB=AE⋅ADCD=3 5×23=2 5，
故选：C．
先求出AC=6，AD=3 5，证得∠ACD=∠BEA=90°，∠BAE=∠ADC，得到△ABE∽△DAC，根据相似三角形的判定即可得出结论．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，
∵∠BOA=90°，
∴∠BOC+∠AOD=90°，
∵∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BOC=∠OAD，
又∵∠BCO=∠ADO=90°，
∴△BCO∽△ODA，
∴BOAO=tan30°= 33，
∴S△BCOS△AOD=13，
∵12×AD×DO=12xy=3，
∴S△BCO=12×BC×CO=13S△AOD=1，
∵经过点B的反比例函数图象在第二象限，
故反比例函数解析式为：y=−2x．
故选：C．
直接利用相似三角形的判定与性质得出S△BCOS△AOD=13，进而得出S△AOD=3，即可得出答案．
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数数的性质，正确得出S△AOD=2是解题关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵点P的速度是3cm/s，点Q的速度为1cm/s，运动时间为x(s)，
∴点P运动的路程为3x cm，点Q运动的路程为x cm．
①当0≤x≤1时，点P在线段BC上，点Q在线段AB上．
过点Q作QE⊥BC于点E，
∴∠BEQ=90°．
∵∠B=60°，
∴∠BQE=30°．
∴BE=12x cm．
∴QE= 32x cm．
∴S△BPQ=12BP⋅QE=12×3x⋅ 32x=3 34x2(cm2).
∴y=3 34x2(0≤x≤1)．
∴此段函数图象为开口向上的二次函数图象，排除B；
②当1过点C作CF⊥AB于点F，则CF为△BPQ中BQ边上的高．
∴∠BFC=90°．
∵∠ABC=60°，
∴∠BCF=30°．
∵BC=3cm，
∴BF=32cm．
∴CF=3 32cm．
∴S△BPQ=12BQ⋅CF=12x⋅3 32=3 34x(cm2).
∴y= 34x(1∴此段函数图象为y随x的增大而增大的正比例函数图象，故排除A；
③当2过点P作PM⊥AB于点M．
∴∠M=90°．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC．
∵∠ABC=60°，
∴∠MAP=60°．
∴∠APM=30°．
由题意得：AP=(9−3x)cm．
∴AM=9−3x2cm．
∴PM=9 3−3 3x2cm．
∴S△BPQ=12BQ⋅PM=12x⋅9 3−3 3x2=−3 3x2+9 3x4(cm2).
∴y=−3 3x2+9 3x4．
∴此段函数图象为开口向下的二次函数图象．
故选：D．
易得点P运动的路程为3x cm，点Q运动的路程为xcm.当0≤x≤1时，点P在线段BC上，点Q在线段AB上，过点Q作QE⊥BC于点E，求得QE的长度，然后根据面积公式可得y与x关系式；当点P在线段CD上时，1本题考查动点问题的函数图象．根据拐点得到各个自变量范围内的函数解析式是解决本题的关键．用到的知识点为：30°的直角三角形三边比是1： 3：2．
11.【答案】35
【解析】解：∵csα=sin55°，
∴α+55°=90°，即：α=35°，
故答案为：35．
根据题意利用正弦余弦等值则角度互余，即可得到本题答案．
本题考查正弦余弦关系，掌握互余两角的正弦余弦关系是解题关键．
12.【答案】4 2
【解析】解：连接OQ，
∵∠BPQ=45°，
∴∠BOQ=90°，
∵OB=OQ=4，
∴BQ=4 2，
故答案为：4 2．
连接OQ，利用圆周角得出∠BOQ=90°，进而解答即可．
此题考查圆周角，关键是根据圆周角定理和等腰直角三角形的性质解答．
13.【答案】6
【解析】解：∵D为AC的中点，△AOD的面积为3，
∴△AOC的面积为6，
∴k=12
∴双曲线的解析式为：y=12x，
将B(m,2)代入可得2=12m
解得：m=6．
故答案为：6．
应用k的几何意义及中线的性质求解．
本题考查了反比例函数中k的几何意义，关键是利用△AOD的面积转化为△AOC的面积．
14.【答案】3 0或4
【解析】解：(1)∵抛物线经过点(m,n)，
∴将点(m,n)代入y=x2−2mx+m2+3中得：n=m2−2m2+m2+3=3，
∴n=3；
故答案为：3；
(2)∵当1≤x≤3时，其对应的函数值y的最小值为4，
①当x=1处取得最小值，则1−2m+m2+3=4，解得：m=0或m=2，
∵抛物线对称轴是x=−b2a=m，当m=2时，即对称轴为x=2与讨论情况矛盾，故舍去，
∴m=0；
②当x=3处取得最小值，则32−6m+m2+3=4，解得：m=4或m=2，
∵抛物线对称轴是x=−b2a=m，当m=2时，即对称轴为x=2与讨论情况矛盾，故舍去，
∴m=4；
③当对称轴取得最小值，
∵y=x2−2mx+m2+3，
∴对称轴为：x=−b2a=m，此时m2−2m2+m2+3≠4，
∴此种情况舍去，
故答案为：0或4．
(1)根据题意先将点(m,n)代入y=x2−2mx+m2+3中即可求出n的值；
(2)根据给定的1≤x≤3，分情况讨论最小值情况即可求出本题答案．
本题考查二次函数图象及性质，正确记忆相关知识点解题关键．
15.【答案】解：∵顶点坐标为(8,9)，
∴设所求二次函数关系式为y=a(x−8)2+9．
把(0,1)代入上式，得a(0−8)2+9=1，
∴a=−18．
∴y=−18(x−8)2+9，
即y=−18x2+2x+1．
【解析】由题意可以设函数的顶点式：y=a(x−8)2+9，然后再把点(0,1)代入函数的解析式，求出a值，也可以设出函数的一般式，根据待定系数法求出二次函数的解析式．
本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，设解析式时要根据具体情况选择适当形式．
16.【答案】解：(1)如图所示：△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示：△A2B2C2即为所求．
【解析】(1)利用位似图形的性质以及位似比得出对应点坐标画出图形即可；
(2)利用旋转的性质得出对应点A1、B1、C2的坐标进而得出答案．
此题主要考查了位似图形的画法以及旋转图形画法，根据已知图形变换得出对应点坐标是解题关键．
17.【答案】解：(1)过点A作BC的垂线，垂足为M，
∵AB=AC，BC=6，
∴BM=CM=3．
在Rt△ABM中，
AM= 42−32= 7，
sinB=AMAB= 74．
(2)在Rt△ADM中，
tanD=AMDM，
即 7DM= 33，
∴DM= 21．
∴CD=DM−CM= 21−3．
【解析】(1)过点A作BC的垂线，构造出直角三角形即可解决问题．
(2)利用30°角的正切即可解决问题．
本题考查解直角三角形，构造出合适的直角三角形及熟知特殊角的三角函数值是解题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BEC，
∴CDCE=CACB，
∴CDCA=CECB，
∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAB；
(2)解：∵∠C=60°，
∴CDAC=cs60°=12，
∴S△CDE：S△CAB=(CDAC)2=(12)2=14．
【解析】(1)先证明△ADC∽△BEC，根据相似三角形的性质得到CDCA=CECB，再利用公共角即可证明△CDE∽△CAB；
(2)根据余弦的定义得到CDAC=12，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：如图，连接OA，
∵△ABC是以BC为底的等腰三角形；
∴AB=AC，
∴BC⊥OA，
∵AD/​/BC，
∴AD⊥OA，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
(2)解：如图，设OA与BC交于E，
∵四边形ADBC是平行四边形，
∴AC/​/OD，
∴∠C=∠CBO，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠ABC=∠CBO，
∵OA⊥BC，
∴BA=BO，
∵AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∵BC=12，
∴BE=12BC=6，
∴OB=BEsin60∘=4 3，
∴⊙O的半径为4 3．
【解析】(1)如图，连接OA，根据等腰三角形的性质得到BC⊥OA，根据平行线的性质得到AD⊥OA，由切线的性质即可得到结论；
(2)如图，设OA与BC交于E，根据平行四边形的性质得到AC/​/OD，求得∠C=∠CBO，由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C，求得∠ABC=∠CBO，推出△ABO是等边三角形，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
20.【答案】解：(1)在Rt△AOC中，∵∠AOC=90°，∠ACO=30°，AC=8km，
∴AO=12AC=12×8=4(km)，
(2)在Rt△AOC中，∵∠AOC=90°，∠ACO=30°，AC=8km，
∴OC= 32AC=4 3(km)，
在Rt△BOC中，∵∠BOC=90°，∠BCO=45°，
∴∠BCO=∠OBC=45°，
∴OB=OC=4 3km，
∴AB=OB−OA=(4 3−4)km，
∴飞船从A处到B处的平均速度=4 3−410≈0.3(km/s)．
【解析】(1)根据直角三角形的性质即可得到结论；
(2)在Rt△AOC中，根据直角三角形的性质得到OC= 32AC=4 3(km)，在Rt△BOC中，根据等腰直角三角形的性质得到OB=OC=4 3km，于是得到结论．
本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题，正确地求得结果是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵OC=2，tan∠AOC=32，
∴AC=3，
∴A(2,3)，
把A(2,3)代入y2=kx可得，k=6，
∴反比例函数的解析式为y=6x，
把B(m,−2)代入反比例函数，可得m=−3，
∴B(−3,−2)，
把A(2,3)，B(−3,−2)代入一次函数y1=ax+b，可得
3=2a+b−2=−3a+b，
解得a=1b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1．
(2)由图可得，当y1>y2时，x的取值范围为−32．
【解析】(1)求得A(2,3)，把A(2,3)代入y2=kx可得反比例函数的解析式为y=6x，求得B(−3,−2)，把A(2,3)，B(−3,−2)代入一次函数y1=ax+b，可得一次函数的解析式为y=x+1．
(2)由图可得，当y1>y2时，x的取值范围为−32．
本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是学会利用待定系数法确定函数解析式，知道两个函数图象的交点坐标可以利用解方程组解决，学会利用图象确定自变量取值范围．
22.【答案】解：(1)∵点A(−5,0)，点C(0,−5)在抛物线上，
∴25a+30+c=0c=−5，
解得a=−1c=−5，
∴y=−x2−6x−5；
(2)过点M作MG⊥x轴于G，并延长交直线AC于H，过点N作NJ⊥MH于J，

∵若M是直线AC上方抛物线上一点，点M的横坐标为m，
∴M(m,−m2−6m−5)，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵点A(−5,0)，点C(0,−5)在直线上，
∴−5k+b−0b=−5，
解得k=−1b=−5，
∴直线AC的解析式为y=−x−5，
∴H(m,−m−5)，
∴MH=−m2−5m，
∵OA=OC=5，
∴∠OAC=45°，
∵MA⊥AC，
∴∠MAG=45°，
∴AG=MG，
∴−m2−6m−5=m−(−5)，
解得m1=−2，m2=−5(不符合题意，舍去)，
∴−m2−6m−5=−4+12−5=3，
∴M(−2,3)；
(3)设MN与x轴交于K，
∵MN⊥AC，
∴∠ANK=90°，
∴∠KAN=∠AKN=45°，
∵∠GKM=∠AKN=45°，
∴∠KMG=MKG=45°，
∴∠NMH=∠MHN=45°，
∴NM=NH，
∴NJ=MJ=HJ=12MH=12(−m2−5m)，
∴MN= 2MJ=− 22m2−5 22m=− 22(m+52)2+25 28，
∵− 22<0，
∴当m=−52时，MN的最大值=25 28．
【解析】(1)把点A(−5,0)，点C(0,−5)代入y=ax2−6x+c，解方程组即可得到结论；
(2)过点M作MG⊥x轴于G，并延长交直线AC于H，过点N作NJ⊥MH于J，得到M(m,−m2−6m−5)，设直线AC的解析式为y=kx+b，求得直线AC的解析式为y=−x−5，得到H(m,−m−5)，求得MH=−m2−5m，推出AG=MG，得到−m2−6m−=m−(−5)，解方程即可得到结论；
(3)设MN与x轴交于K，根据等腰直角三角形的性质得到NM=NH，求得NJ=MJ=HJ=12MH=12(−m2−5m)，得到MN=− 22(m+52)2+25 28，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，二次函数的性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：如图，
在矩形ABCD中，OD=OC，AB/​/CD，∠BCD=90°，
∴∠2=∠3=∠4，∠3+∠5=90°，
∵DE=BE，
∴∠1=∠2，
又∵BE平分∠DBC，
∴∠1=∠6，
∴∠3=∠6，
∴∠6+∠5=90°，
∴BF⊥AC；
(2)解：与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF，理由如下：
∵DE=BE，
∴∠1=∠2，
∵OD=OC，AB/​/CD，
∴∠2=∠3=∠4，
∴∠1=∠4，
又∠AFB=∠BFO，
∴△ABF∽△BOF，
∵∠1=∠3，∠EFC=∠OFB，
∴△ECF∽△OBF，
(3)解：∵△ECF∽△OBF，
∴EFOF=CFBF，
∴23=CFBF，即3CF=2BF，
∴3OA=2BF+9①，
∵△ABF∽△BOF，
∴OFBF=BFAF，
∴BF2=OF⋅AF，
∴BF2=3(OA+3)②，
联立①②，可得BF=1+ 19(负值舍去)，
∴DE=BE=2+1+ 19=3+ 19．
【解析】(1)根据矩形的性质和角平分线的定义，求得∠3=∠6，从而求证BF⊥AC；
(2)根据相似三角形的判定进行分析判断；
(3)利用相似三角形的性质分析求解．
本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．