2023-2024学年广东省肇庆市四会市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省肇庆市四会市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一元二次方程x2−4=0的解是( )
A. −2B. 2C. ± 2D. ±2
2.任意掷一枚质地均匀的骰子，正面朝上的点数为3的概率是( )
A. 12B. 13C. 23D. 16
3.下列图形中不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.关于x的方程ax2−3x+1=0是一元二次方程，则( )
A. a>0B. a≥0C. a≠0D. a=1
5.如图，⊙O的弦AB=2 3，M是AB的中点，且OM=1.则⊙O的半径等于( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.关于x的一元二次方程x2−3x+k=0有实数根，则k的取值范围是( )
A. k≤94B. k≥94C. k<94D. k≤94且k≠0
7.抛物线y=13x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是( )
A. y=13(x+1)2−2B. y=13(x−1)2+2
C. y=13(x−1)2−2D. y=13(x+1)2+2
8.如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A(−2,5)的对应点A′的坐标是( )
A. (5,2)B. (2,5)C. (2,−5)D. (5,−2)
9.如图，四边形ABCD内接于圆O，AD//BC，∠DAB=48°，则∠AOC的度数是( )
A. 48°
B. 96°
C. 114°
D. 132°
10.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(−2,0)、B(1,0)两点.则以下结论：①ac>0；②2a+c=0；③a−b+c>0.其中正确的有个．( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知x=1是关于x的方程x2−mx+1=0的一个根，则m=______．
12.若圆锥的侧面积是24πcm2，母线长是8cm，则该圆锥底面圆的半径是______cm．
13.若A(−2,y1)，B(2,y2)两点都在二次函数y=x2+2x的图象上，则y1，y2的大小关系是______(用”<”排序)．
14.如图，将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，点E在BC边上，EF与AC交于点G.若∠B=70°，∠C=25°，则∠FGC= ______．
15.烟花厂为庆祝元旦晚会特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=−52t2+20t+π(π>0)，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为______s.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
已知二次函数y=x2+a的图象过点(−2,−3)．
(Ⅰ)求函数的解析式；
(Ⅱ)判断点(−1,−34)是否在抛物线上．
17.(本小题8分)
一个盒中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．
(1)请用列表法(或画树状图法)列出所有可能的结果；
(2)求两次取出的小球标号的和大于6的概率．
18.(本小题8分)
如图所示，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，C为弧AB的中点，M、N分别是OA、OB的中点.求证：∠MCO=∠NCO．
19.(本小题9分)
某校要求九年级同学在课外活动中，必须在五项球类(篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球)活动中任选一项(只能选一项)参加训练，为了了解九年级学生参加球类活动的整体情况，现以九年级2班作为样本，对该班学生参加球类活动的情况进行统计，并绘制了如图所示的不完整统计表和扇形统计图：
根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)a=______，b=______；
(2)该校九年级学生共有600人，则该年级参加足球活动的人数约______人；
(3)该班参加乒乓球活动的4位同学中，有2位男同学(A,B)和2位女同学(C,D)，现准备从中选取两名同学组成双打组合，用树状图或列表法求恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率．
20.(本小题9分)
2023年杭州亚运会吉祥物组合名为“江南忆”，吉祥物一开售，就深受大家的喜爱.某商家销售吉祥物进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低1元，平均每天可多售出40件．
(Ⅰ)若每件商品降价3元，则商店每天的平均销量是______件；
(Ⅱ)不考虑其他因素的影响，若平均每天的利润为1280元，则每件商品应降价多少元？
21.(本小题9分)
如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC，BD，F为AC的中点，且OF=1．
(Ⅰ)求BC的长；
(Ⅱ)当∠BCD=30°时，求△ABC的面积．
22.(本小题12分)
如图所示，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆O，分别与BC、AB相交于点D、E，连接AD，已知∠CAD=∠B．
(Ⅰ)求证：AD是⊙O的切线；
(Ⅱ)若AD=2CD=3时，求阴影部分的面积．
23.(本小题12分)
定义：平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．

(Ⅰ)如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A(−1,2)，B(−1,−1)，C(3,−1)，D(3,2)，在点P1(−2.−2)，P2(0,0)，P3(1,1)，P4(2,2)中，是矩形ABCD“梦之点”的是______；
(Ⅱ)如图②，已知点A、B是抛物线y=−12x2+x+92上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．
(i)求出AC，AB，BC三条线段的长度；
(ⅱ)判断△ABC的形状，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：移项得，x2=4
开方得，x=±2，
故选：D．
这个式子先移项，变成x2=4，从而把问题转化为求4的平方根．
(1)用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a(a≥0)；ax2=b(a,b同号且a≠0)；(x+a)2=b(b≥0)；a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
(2)用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
2.【答案】D
【解析】解：掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为3的概率是16．
故选：D．
根据概率的意义即可得解．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握概率的意义．
3.【答案】D
【解析】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项正确．
故选：D．
根据中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形的概念，寻找中心对称图形关键是寻找对称中心，图形绕对称中心旋转180度后与原图形重合．
4.【答案】C
【解析】解：使x的方程ax2−3x−2=0是一元二次方程，
根据一元二次方程的定义可知：
二次项系数不为0，
∴a≠0．
故选：C．
根据一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c都是常数)及其定义，即可求解．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(且a≠0).特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
5.【答案】B
【解析】解：如图所示：连接OA，OB，
∵M是AB的中点，OA=OB，
∴OM⊥AB，
∴∠AMO=90°，
∵AB=2 3，
∴AM=12AB= 3，
在Rt△AOM中，
∵AO2=AM2+OM2，
∴OA= AM2+OM2= ( 3)2+12=2，
故选：B．
先连接OA，OB，利用等腰三角形的性质可得OM⊥AB，然后利用垂径定理求出AM，最后利用勾股定理求出答案即可．
本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是熟练掌握、灵活应用垂径定理和勾股定理．
6.【答案】A
【解析】解：根据题意得Δ=(−3)2−4k≥0，
解得k≤94．
故选：A．
根据判别式的意义得到Δ=(−3)2−4k≥0，然后解不等式即可．
此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．
7.【答案】D
【解析】解：抛物线y=13x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式是y=13(x+1)2+2．
故选：D．
根据函数图象平移的法则解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．根据旋转的性质和点A(−2,5)，构造全等三角形，可以求得点A′的坐标．
【解答】
解：作AD⊥x轴于点D，作A′D′⊥x轴于点D′，
则OA=OA′，∠AOA′=90°，∠ADO=∠A′D′O=90°，
∴∠AOD+∠A′OD′=90°，
∵∠OA′D′+∠A′OD′=90°，
∴∠AOD=∠OA′D′，
∴△OAD≌△A′OD′(AAS)，
∴OD=A′D′，AD=OD′
∵A(−2,5)，
∴OD=2，AD=5，
∴点A′的坐标为(5,2)，
故选A．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、平行线的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
根据平行线的性质求出∠B，根据圆内接四边形的性质求出∠D，根据圆周角定理解答．
【解答】
解：∵AD/​/BC，
∴∠B=180°−∠DAB=132°，
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠D=180°−∠B=48°，
由圆周角定理得，∠AOC=2∠D=96°，
故选：B．
10.【答案】C
【解析】解：由所给函数图象可知，
a<0，b<0，c>0，
所以ac>0．
故①错误．
因为抛物线与x轴交于点(−2,0)和点(1,0)，
所以抛物线的对称轴为直线x=−12．
即−b2a=−12，
所以b=a．
将x=1代入函数解析式得，
a+b+c=0，
所以2a+c=0．
故②正确．
当x=−1时，函数值大于零，
即a−b+c>0．
故③正确．
故选：C．
根据所给二次函数的图象，得出a，b，c的正负，再结合抛物线上某些特殊点的位置及其对称性即可解决问题．
本题考查二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
11.【答案】2
【解析】解：把x=1代入得：1−m+1=0，
解得：m=2．
故答案为：2．
直接把x=1代入方程中即可求出m的值．
本题考查了一元二次方程的知识，掌握代入法解一元二次方程是关键．
12.【答案】3
【解析】解：设圆锥底面圆的半径是rcm．
由题意，12×8×2πr=24π，
解得，r=3，
故答案为3．
利用圆锥的侧面积公式计算即可．
本题考查圆锥的计算，扇形的面积等知识，解题的关键是记住圆锥的侧面积S=πrl(r为底面半径，l为母线长)．
13.【答案】y1【解析】解：由题知，
二次函数y=x2+2x的对称轴为直线x=−1，且开口向上．
因为−1−(−2)=1，2−(−1)=3，且1<3，
所以y1故答案为：y1根据所给二次函数的对称轴及开口方向即可解决问题．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
14.【答案】65°
【解析】解：∵将△ABC绕点A旋转到△AEF的位置，
∴AB=AE，∠B=∠AEF，
∴∠B=∠AEB，
∵∠B=70°，
∴∠AEB=∠AEF=70°，
∴∠GEC=180°−∠AEB−∠AEF=40°，
∵∠C=25°，
∴∠FGC=∠GEC+∠C=65°．
故答案为：65°．
根据旋转的性质得到AB=AE，∠B=∠AEF，则∠B=∠AEB，∠GEC=180°−∠AEB−∠AEF，再根据三角形的外角性质得∠FGC=∠GEC+∠C，以此即可求解．
本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
15.【答案】4
【解析】解：∵h=−52t2+20t+π，
∴h=−52(t−4)2+40+π，
∴t=4时，h最大=40+π．
故答案为：4．
将抛物线的解析式h=−52t2+20t+π化为顶点式就可以直接求出答案．
本题考查了二次函数由一般式化为顶点式的运用，解答时转化为顶点式是关键．
16.【答案】解：(Ⅰ)把(−2,−3)代入y=x2+a得−3=4+a，
解得a=−7，
所以二次函数解析式为y=x2−7；
(Ⅱ)当x=−1时，y=x2−7=1−7=−6≠−34，
所以点(−1,−34)不在抛物线y=x2−7上．
【解析】(Ⅰ)把已知点的坐标代入y=x2+a中求出a得到抛物线解析式；
(Ⅱ)根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．
17.【答案】解：(1)根据题意可画树状图如下：

则共有16种等可能的结果；
(2)∵共有16种等可能的结果，两次取出的小球标号的和大于6的有3种结果，
∴两次取出的小球标号的和大于6的概率为316．
【解析】(1)根据题意可画出树状图，根据树状图即可求得所有可能的结果；
(2)根据树状图，即可求得两次取出的小球标号和大于6的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查了列表法与树状图法求概率的知识．解题的关键是注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】证明：∵C为弧AB的中点，
∴弧AC和弧BC相等，
∴∠AOC=∠BOC，
又∵OA=OB，M、N分别是OA、OB的中点
∴OM=ON，
在△MOC和△NOC中，
OM=ON∠AOC=∠BOCOC=OC，
∴△MOC≌△NOC(SAS)，
∴∠MCO=∠NCO．
【解析】根据弧与圆心角的关系，可得∠AOC=∠BOC，又由M、N分别是半径OA、OB的中点，可得OM=ON，利用SAS判定△MOC≌△NOC，即可证得结论．
此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
19.【答案】16 20 90
【解析】解：(1)调查的总人数为6÷15%=40(人)，
所以a=40×40%=16，
b%=840×100%=20%，则b=20；
(2)600×15%=90，
所以估计该年级参加足球活动的人数约90人；
故答案为16；20；90；
(3)画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中选出一男一女组成混合双打组合的结果数为8，
所以恰好选出一男一女组成混合双打组合的概率=812=23．
(1)用参加足球的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后计算参加篮球的人数和参加排球人数的百分比得到a、b的值；
(2)用600乘以样本中参加足球人数的百分比即可；
(3)画树状图展示所有12种等可能的结果，找出选出一男一女组成混合双打组合的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
20.【答案】200
【解析】解：(Ⅰ)根据题意得：80+40×3
=80+120
=200(件)，
∴若每件商品降价3元，则商店每天的平均销量是200件．
故答案为：200；
(Ⅱ)设每件商品降价x元，则每件的销售利润为(25−x−15)元，平均每天能售出(80+40x)件，
根据题意得：(25−x−15)(80+40x)=1280，
整理得：x2−8x+12=0，
解得：x1=2，x2=6．
答：每件商品应降价2或6元．
(Ⅰ)利用平均每天的销售量=80+40×每件商品降低的钱数，即可求出结论；
(Ⅱ)设每件商品降价x元，则每件的销售利润为(25−x−15)元，平均每天能售出(80+40x)件，利用总利润=每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵F为AC中点，O为AB中点，
∴OF/​/BC且OF=12BC，
∵OF=1，
∴BC=2OF=2；
(2)∵∠BAC=∠BCD=30°，∠ACB=90°，
∴AC= 3BC=2 3，
∴△ABC的面积为12AC⋅BC=12×2 3×2=2 3．
【解析】(1)由题意可得OF/​/BC且OF=12BC，即可求解；
(2)由圆周角定理可得∠BAC=∠BCD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质得AC= 3BC=2 3，根据三角形的面积公式即可求解．
本题以圆为几何背景，考查了中位线定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质等知识点．熟记定理内容是解题关键．
22.【答案】(Ⅰ)证明：连接OD，如图所示：

∵OB=OD，
∴∠ODB=∠B，
∵∠B=∠CAD，
∴∠CAD=∠ODB，
在Rt△ACD中，∠CAD+∠CDA=90°，
∴∠ADO=180°−(∠ADC+∠ODB)=90°，
∴OD⊥AD，
∵OD是半径，
∴AD为⊙O的切线；
(Ⅱ)∵AD=2CD=3，∠C=90°，
∴CD=32，∠CAD=30°，
∵∠CAD=∠B，
∴∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵OD=OB，
∴∠ODB+∠B=30°，
∴∠DOB=120°，
∵AD=3，AO=2OD，
∴AO2=AD2+OD2，
∴(2OD)2=32+OD2，
∴OD= 3，
∴阴影部分的面积=120⋅π×3360=π．
【解析】(Ⅰ)连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到∠CAD=∠ODB，求出∠ADO为90°，即可证AD是⊙O的切线；
(Ⅱ)根据直角三角形的性质得到CD=32，∠CAD=30°，求得∠B=30°，得到∠CAB=60°，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、扇形面积公式等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
23.【答案】P3，P4
【解析】解：(Ⅰ)∵矩形ABCD的顶点坐标分别是A(−1,2)，B(−1,−1)，C(3,−1)，D(3,2)，
∴矩形ABCD的“梦之点”(x,y)满足−1≤x≤3，−1≤y≤2，
∴点P3(1,1)，P4(2,2)是矩形ABCD的“梦之点”，P1、P2不是矩形ABCD的“梦之点”，
故答案为：P3，P4；
(Ⅱ)(i)∵点A，B是抛物线的“梦之点”，
∴y=−12x2+x+92=x，
解得：x1=3，x2=−3，
当x=3时，y=3；
当x=−3时，y=−3，
∴A(3,3)，B(−3,−3)，
∵由抛物线的表达式知，顶点C(1,5)，
∴由点A、B、C的坐标得，AC= (3−1)2+(3−5)2=2 2，
同理可得：BC=4 5，AB=6 2；
(ⅱ)△ABC是直角三角形，理由：
由(i)知，AB2+AC2=80=BC2，
∴△ABC是直角三角形．
(Ⅰ)矩形ABCD的顶点坐标得到矩形ABCD的“梦之点”(x,y)满足−1≤x≤3，−1≤y≤2，即可求解；
(Ⅱ)(i)由点A，B是抛物线的“梦之点”，得到y=−12x2+x+92=x，求出点A、B的坐标，即可求解；
(ⅱ)由(i)知，AB2+AC2=80=BC2，即可求解．
本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、勾股定理以及勾股定理逆定理、一次函数等知识，熟练掌握以上知识点，理解题意，采用数形结合的思想是解此题的关键．九年级2班参加球类活动人数统计表
项目
篮球
足球
乒乓球
排球
羽毛球
人数
a
6
4
8
6