2023-2024学年广东省潮州市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省潮州市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四个图形中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在−3x、5x+y、−1x、6π、−1m−2、x−13中，分式的个数是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
3.下列各组中的三条线段，能组成三角形的是( )
A. 3，2，5B. 2，6，11C. 3，3，7D. 5，6，9
4.如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是( )
A. SSS
B. SAS
C. AAS
D. ASA
5.下列计算正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. a3÷a=a3C. (a3)3=a9D. a2+a2=a4
6.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=( )
A. 95°B. 85°C. 75°D. 65°
7.如图，AB=AC，BD=CD.若∠B=70°，则∠DAC=( )
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
8.下列分式中，是最简分式的是( )
A. 3xyx2B. x−1x2−1C. x+y2xD. 1−xx−1
9.如图，已知线段AB=20米，MA⊥AB于点A，MA=5米，射线BD⊥AB于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，使△MAP与△PBQ全等，则x的值为( )
A. 5B. 5或10C. 10D. 6或10
10.如图，点M是线段AB的中点，点P在MB上，分别以AP、PB为边，在线段AB同侧作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME，设AP=m、BP=n，且m+n=6，mn=7，则图中阴影部分的面积为( )
A. 24.5
B. 21
C. 18
D. 13
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.化简：x2yxy2=______．
12.因式分解：x2−9= ．
13.如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，则∠CAE的度数是______．
14.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，以大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AD于点D，连接CD.若∠B=30°，∠ACB=90°，BD=4，则AC= ______．
15.如图所示，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=13cm，AB=7cm，那么DE的长度为______cm．
三、解答题：本题共9小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：(1)a3⋅a+(−2a2)2；
(2)aa+3÷a2a2−9．
17.(本小题6分)
解方程：3x+1=2x−1．
18.(本小题6分)
如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形ABC(三角形的顶点都在网格格点上)，请在图中画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′(要求：点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′相对应)．
19.(本小题7分)
先化简，再求值：(1−2x−1)⋅x2−xx2−6x+9，其中x=2．
20.(本小题8分)
如图，已知A(0,a)，B(2a,0)，且|a|−4a2+8a+16的值为0．
(1)求A，B的坐标；
(2)若C点与B点关于y轴对称，M点在第二象限，点D在y轴上，△ABC≌△MDA，求OD的长．
21.(本小题8分)
如图所示，已知△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD．
(1)求证AD=AE；
(2)判断△ADE的形状，并加以证明．
22.(本小题8分)
如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形(如图2所示)．
(1)实验与操作：上述操作能验证的等式是：______(请选择正确的选项)：
A.a2−ab=a(a−b)
B.a2−2ab+b2=(a−b)2
C.a2+ab=a(a+b)
D.a2−b2=(a+b)(a−b)
(2)应用与计算：请利用你从(1)选出的等式，完成下列各题：
①根据以上等式简便计算：1022−982．
②已知116x2−y2=36，14x+y=16，计算x−4y的值．
23.(本小题12分)
某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲工程队单独施工完成的天数是乙工程队单独施工完天数的2倍．
(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？
(2)甲工程队独做a天后，再由甲、乙两工程队合作______天(用含a的代数式表示)可完成此项工程；
(3)如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？
24.(本小题12分)
在△ABC中，点E在AC上，连接BE，∠AEB=∠ABE+2∠CBE．

(1)如图1，求证：AB=AC；
(2)如图2，点F在BE的延长线上，连接AF，若AF=AE，∠BAF=60°，求证：∠CBE=30°；
(3)如图3，在(2)的条件下，点D在EF的延长线上，连接AD、CD，过点A作∠DAF的平分线交DF于H，若CD=CA，若AH=10，EF=6，求HF的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，故A选项错误，不符合题意；
B、不是轴对称图形，故B选项错误，不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C选项错误，不符合题意；
D、是轴对称图形，故D选项正确，符合题意；
故选：D．
如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据定义，结合图形即可求解．
本题主要考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的概念，数形结合是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：分式分别是5x+y，−1x，−1m−2，共3个．
故选：A．
根据分式的定义(A与B为整式，B≠0，且B中含有字母，形如AB的式子称为分式)，即可得出答案．
本题主要考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解决本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、3+2=5，不能构成三角形，故此选项不合题意；
B、6+2<11，不能构成三角形，故此选项不合题意；
C、3+3<7，不能构成三角形，故此选项不合题意；
D、5+6>9，能构成三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形．
4.【答案】D
【解析】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：D．
根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出即可．
本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、a2⋅a3=a5，故该选项错误；
B、a3÷a=a2，故该选项错误；
C、(a3)3=a9，故该选项正确；
D、a2+a2=2a2，故该选项错误；
故选：C．
根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项的计算法则求解判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵CE是∠ACD的平分线，∠ACE=60°，
∴∠ACD=2∠ACE=120°，
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠A=∠ACD−∠B=120°−35°=85°，
故选：B．
根据角平分线的定义求出∠ACD，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
本题考查的是三角形的外角性质、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵AB=AC，∠B=70°，
∴∠B=∠C=70°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=40°，
在△ABD和△ACD中，
AB=ACBD=CDAD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠DAB=∠DAC，
∵∠DAB+∠DAC=∠BAC，
∴∠DAC=20°，
故选：B．
根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠BAC=40°，利用SSS证明△ABD≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得解．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：A、3xyx2=3yx，不是最简分式，不符合题意；
B、x−1x2−1=x−1(x+1)(x−1)=1x+1，不是最简分式，不符合题意；
C、x+y2x是最简分式，符合题意；
D、1−xx−1=−(x−1)x−1=−1，不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
根据最简分式的概念判断即可．
本题考查的是最简分式的概念，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
9.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了全等三角形的判定与性质，分类讨论思想，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．
分两种情况考虑：当△APM≌△BQP时与△APM≌△BPQ时，根据全等三角形的性质即可确定出时间．
【解答】解：如图：PB=x米，BQ=3x米，则AP=(20−x)米
当△APM≌△BQP时，AP=BQ，即20−x=3x，
解得：x=5；
当△APM≌△BPQ时，AP=BP=12AB=10米，
此时所用时间x为10秒，AM=BQ=30米，不合题意，舍去；
综上，出发5秒后，使△MAP与△PBQ全等．
故选A．
10.【答案】D
【解析】解：AP=m，BP=n，
所以AB=m+n，
S正方形APCD=m2，
S正方形PBEF=n2，
又因为点M是AB的中点，m+n=6，
所以AM=BM=m+n2=62=3
所以S△DAM=12⋅AM⋅AD=12⋅3⋅m=32m，
S△MBE=12⋅BM⋅BE=12⋅3⋅n=32n，
所以S阴影面积=(S正方形APCD+S正方形PBEF)−(S△DAM+S△MBE)
=(m2+n2)−(32m+32n)
=(m2+n2)−32(m+n)，
因为m+n=6，
所以(m+n)2=36，
所以m2+n2=(m+n)2−2mn=36−2×7=22，
所以(m2+n2)−32(m+n)
=22−32×6
=22−9
=13．
故答案为：D．
先求出两个正方形的面积，根据图可得阴影面积=两正方形面积之和−S△DAM−S△MBE，再将m，n关系代入即可．
本题主要考查完全平方公式的转化，解题的关键在于正确表示出阴影部分的面积．
11.【答案】xy
【解析】解：x2yxy2=xy．
故答案为：xy．
直接利用分式的性质化简进而得出答案．
此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键．
12.【答案】(x+3)(x−3)
【解析】解：原式=(x+3)(x−3)，
故答案为：(x+3)(x−3)．
【分析】本题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式的特点是解本题的关键．
原式利用平方差公式分解即可．
13.【答案】72°
【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC，∠B=∠BAE=(5−2)×180°÷5=108°，
∴∠BAC=∠BCA=12×(180°−108°)=36°，
∴∠CAE=∠BAE−∠BAC=108°−36°=72°．
故答案为：72°．
根据多边形的内角和公式求出正五边形每个内角的度数，在△ABC中，根据等腰三角形两底角相等求出∠BAC的度数，从而得到∠CAE=∠BAE−∠BAC的度数．
本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和=(n−2)⋅180°是解题的关键．
14.【答案】4
【解析】解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠A=90°−30°=60°，
由作图可知MN垂直平分线段BC，
∴DC=DB=4，
∴∠B=∠DCB=30°，
∴∠CDA=∠B+∠DCB=60°，
∴∠A=∠CDA=60°，
∴AC=CD=4．
故答案为：4．
证明CD=BD=4，再证明AC=CD，可得结论．
本题考查作图−基本作图，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
15.【答案】3
【解析】解：作CF⊥AB交AB的延长线于点F，
∵AC平分∠BAD，CF⊥AB，CE⊥AD，
∴CF=CE，∠F=∠DEC=∠AEC=90°，
∵∠ABC+∠CBF=180°，∠ABC+∠D=180°，
∴∠CBF=∠D，
在△CBF和△CDE中，
∠CBF=∠D∠F=∠DECCF=CE，
∴△CBF≌△CDE(AAS)，
∴BF=DE，
在Rt△ACF和Rt△ACE中，
AC=ACCF=CE，
∴Rt△ACF≌Rt△ACE(HL)，
∴AF=AE，
∵AD=13cm，AB=7cm，
∴7+BF=13−DE，
∴7+DE=13−DE，
∴DE=3，
∴DE的长为3cm，
故答案为：3．
作CF⊥AB交AB的延长线于点F，由角平分线的性质得CF=CE，再根据同角的补角相等证明∠CBF=∠D，即可证明△CBF≌△CDE，得BF=DE，再证明Rt△ACF≌Rt△ACE，得AF=AE，于是得7+BF=13−DE，所以7+DE=13−DE，即可求得DE的长为3cm．
此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明△CBF≌△CDE及Rt△ACF≌Rt△ACE是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=a4+4a4
=5a4；
(2)原式=aa+3÷a2(a+3)(a−3)
=aa+3⋅(a+3)(a−3)a2
=a−3a．
【解析】(1)先按照同底数幂相乘法则和积的乘方法则计算乘方和乘法，然后合并即可；
(2)先把分母分解因式，然后按照除法法则，把除法化成乘法进行约分即可．
本题主要考查了整式和分式的混合运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、积的乘方法则和分式的乘除法则．
17.【答案】解：方程两边同乘(x+1)(x−1)，
得：3(x−1)=2(x+1)，
3x−3=2x+2，
解得：x=5，
经检验x=5是原方程的解，
原方程的解是x=5．
【解析】两边同乘最简公分母(x+1)(x−1)，把分式方程化为整式方程求解．
本题考查了解分式方程，注意解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解后，一定注意要检验是否为原方程的解，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
18.【答案】解：△A′B′C′如图所示：
．
【解析】先根据轴对称的性质分别作出点A′，点B′，点C′，再依次连接，即可作答．
本题主要考查了作图−轴对称变换，理解轴对称的定义是解题的关键．
19.【答案】解：原式=(x−1x−1−2x−1)⋅x(x−1)(x−3)2
=x−3x−1⋅x(x−1)(x−3)2
=xx−3，
当x=2时，
原式=22−3=−2．
【解析】先将括号内的式子进行通分计算，再算括号外面的，最后代入求值．
本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序(先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的)和计算法则是解题关键．
20.【答案】解：(1)∵|a|−4a2+8a+16的值为0，
∴|a|−4=0a2+8a+16≠0，
解得a=4，
∴A(0,4)，B(8,0)；
(2)∵C点与B点关于y轴对称，
∴C(−8,0)，
∴BC=8−(−8)=16，
∵△ABC≌△MDA，
∴BC=DA=8，
∵A(0,4)，
∴OA=4，
∴OD=DA+OA=8+4=12．
【解析】(1)由分子为0，且分母不为0，求得a的值，进而求得A，B的坐标；
(2)由对称得到点C(−8,0)，再根据点的坐标求出BC=16，OA=4，根据全等三角形的性质得到BC=DA=8，根据线段的和差关系即可求出OD的长．
本题考查了坐标与图形，分式的值为0及轴对称，全等三角形的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵△ABC等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACD=120°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=12∠ACD=60°，
∴∠ACE=∠B，
在△ABD和△ACE中，AB=AC∠B=∠ACEBD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD=AE；
(2)解：△ADE为等边三角形．
证明：∵△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，∠CAE=∠BAD，
∴∠CAE−∠CAD=∠BAD−∠CAD，
∴∠DAE=∠BAC=60°，
∴△ADE为等边三角形．
【解析】(1)根据等边三角形的性质得出AB=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，求出∠ACE=∠B，根据SAS推出△ABD≌△ACE，即可证明AD=AE；
(2)根据全等三角形的性质得出AD=AE，∠CAE=∠BAD，求出∠DAE=∠BAC=60°，根据等边三角形的判定得出即可．
本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，能推出△ABD≌△ACE是解此题的关键．
22.【答案】D
【解析】解：(1)由图1可得，阴影部分的面积为a2−b2，
由图2可得，阴影部分的面积为(a+b)(a−b)，
∵图1和图2阴影部分的面积相等，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)，
故选：D；
(2)①1022−982=(102+98)×(102−98)=200×4=800；
②∵116x2−y2=36，
∴(14x+y)(14x−y)=36，
∵14x+y=16，
∴16×(14x−y)=36，
∴14x−y=94，
∴x−4y=9．
(1)分别表示出图1和图2阴影部分的面积，根据面积相等即可求解；
(2)①利用平方差公式直接计算即可求解；
②利用平方差公式把等式左边转化成(14x+y)(14x−y)，代入14x+y=16即可求解．
本题考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键．
23.【答案】(1)设乙单独完成此项工程需要x天，则甲单独完成需要2x天，
202x+20x=1，
解得：x=30，
经检验x=30是原方程的解．
∴x+30=60，
答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天，30天；
(2)(20−a3)
(3)设甲单独做了y天，
y+(20−y3)×(1+2.5)≤64，
解得：y≥36
答：甲工程队至少要单独施工36天．
【解析】解：(1)见答案
(2)(1−a60)÷(160+130)=(20−a3)天；
故答案为：(20−a3)；
(3)见答案
【分析】
(1)关系式为：甲20天的工作量+乙20天的工作量=1；
(2)算出剩下的工作量除以甲乙的工作效率之和即可；
(3)关系式为：甲需要的工程费+乙需要的工程费≤64，注意利用(2)得到的代数式求解．
本题主要考查分式方程的应用：工程问题，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意应用前面得到的结论求解．
24.【答案】(1)证明：∵∠AEB=∠C+∠CBE，且∠AEB=∠ABE+2∠CBE，
∴∠C+∠CBE=∠ABE+2∠CBE，
∴∠C=∠ABE+∠CBE=∠ABC，
∴AB=AC；
(2)证明：设∠FAE=2α，
∵AF=AE，
∴∠F=∠AEF，
∵∠F+∠AEF=180°−∠FAE=180°−2α，
∴∠F=∠AEF=90°−α，
∴∠AEB=180°−∠AEF=90°+α，
∴∠CAB=∠BAF−∠FAE=60°−2α
∴∠ABE=180°−∠CAB−∠AEB=30°+α，
∵∠AEB=∠ABE+2∠CBE，
即90°+α=30°+α+2∠CBE，
∴∠CBE=30°；
(3)解：如图，过点A作AM⊥BD于点M，作AG⊥CB于点G，过点C作CK⊥BD于点K，

在Rt△BKC中，∵∠BKC=90°，∠CBD=30°，
∴CK=12CB，
∵AB=AC，AG⊥CB，
∴CG=12CB，
∴CG=CK，
在Rt△ACG和Rt△DCK中，
CG=CKAC=DC，
∴Rt△ACG≌Rt△DCK(HL)，
∴∠ACG=∠DCK，
∴∠ACG−∠ECK=∠DCK−∠ECK，
∴∠ACD=∠BCK=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∵AF=AE，AM⊥EF
∴∠FAM=∠EAM，
又∵AH平分∠DAF，
∴∠DAH=∠HAF，
∴∠HAM=12∠DAC=12×60°=30°，
∴HM=12AH=5，
∵AF=AE，AM⊥EF，
∴FM=12EF=3，
∴HF=HM−FM=5−3=2．
【解析】(1)根据三角形外角的性质可得∠AEB=∠C+∠CBE，结合∠AEB=∠ABE+2∠CBE可证∠C=∠ABC，即可证明AB=AC；
(2)设∠FAE=2α，根据等边对等角、三角形内角和定理，用含α的代数式表示出∠AEB，∠ABE，代入∠AEB=∠ABE+2∠CBE即可证明；
(3)过点A作AM⊥BD于点M，作AG⊥CB于点G，过点C作CK⊥BD于点K，先证Rt△ACG≌Rt△DCK，推出∠ACD=∠BCK=60°，进而可得△ACD是等边三角形，可证∠HAM=12∠DAC=30°，再根据含30度角的直角三角形的性质求出HM，根据等腰三角形三线合一的性质求出FM，即可求出HF的长．
本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，第3问有一定难度，正确添加辅助线是解题的关键．