广西壮族自治区贵港市桂平市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份广西壮族自治区贵港市桂平市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．的值等于（ ）
A．B．C．D．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣5x＝0B．x+1＝0C．y﹣2x＝0D．2x3﹣2＝0
3．已知四条线段的长如下，则能成比例线段的是（ ）
A．1，1，2，3B．1，2，3，4C．1，2，2，4D．2，3，4，5
4．下列各点在反比例函数的图象上的是（ ）
A．B．C．D．
5．如果2是方程的一个根，则m的值为（ ）
A．2B．﹣4C．3D．4
6．一元二次方程的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
7．如图，四边形为的内接四边形．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．如图所示是甲、乙两种甜玉米产量数据整理的情况，则产量较为稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．甲、乙一样稳定D．无法确定
9．将抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
10．已知关于x的一元二次方程的解为，，则二次函数的对称轴是（ ）
A．直线B．直线C．直线D．直线
11．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ ）
A．B．C．D．
12．已知二次函数（m为不等于0的常数），当时，函数y的最小值为－2，则m的值为（ ）
A．B．或C．或D．或2
二、填空题
13．抛物线的开口方向是向 （填“上”或“下”）．
14．已知蓄电池电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）的反比例函数关系式为．则当时，R的值为 ．
15．为了估计水塘中的鱼数，老张从鱼塘中捕获100条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，过一段时间，他再从鱼塘中随机打捞200条鱼，发现其中25条有记号，则鱼塘中鱼的总条数大约为 ．
16．如图，线段两端点的坐标分别为和，以原点为位似中心，将线段放大得到线段．若点B的坐标为（10，0），则点A的坐标为 ．
17．如图，从楼顶处看楼下荷塘处的俯角为，看楼下荷塘处的俯角为，已知楼高为米，则荷塘的宽为 米．（结果保留根号）
18．在矩形中，，，点F是边上的一个动点，连接，过点B作于点G，交射线于点E，连接，则的最小值是 ．
三、解答题
19．计算：．
20．解方程：．
21．如图，是的外接圆，是直径．
(1)尺规作图：作的平分线交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，，当的半径为2时，求的长．
22．某市在调整城镇居民用水价格前，对居民生活用水情况进行了调查，下表是通过简单随机抽样调查获得的40个家庭去年的月平均用水量（单位：吨）：
收集数据：
整理数据：
城镇居民用水频数分布表
(1)请补全样本频数分布表和频数分布直方图；
(2)若整个小区有800户居民，请你估算用水量小于或等于35吨的用户有多少户？
(3)为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按倍价格收费若要使的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭月平均用水量的标准应该定为多少吨？
23．如图，某校数学兴趣小组借助无人机测量某隧道的长度，一架水平飞行的无人机在处测得正前方隧道的入口处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方隧道出口处的俯角为．线段的长为无人机距地面的垂直高度，点，，在地面的正投影在同一条直线上，其中，隧道高度米，米．
(1)求无人机的飞行高度；
(2)求隧道的长度．（参考数据：，，
24．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量x成正比例关系，如图1所示；种植花卉的利润与投资量x成二次函数关系，如图2所示（注：利润与投资量的单位都是万元）．
(1)直接写出利润与关于投资量x的函数关系式；
(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
25．如图，已知是的直径，，垂足为，弦平行于，直线、相交于点．

(1)求证：直线是的切线；
(2)当，，求的值．
26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别相交于，两点，
(1)求a，b的值；
(2)点是第一象限内该抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点．
①求的最大值；
②是的中点，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
33
5
8
37
10
58
27
28
45
36
49
74
5
16
16
26
20
21
38
24
25
55
52
26
26
30
27
80
29
48
30
32
38
22
22
42
22
48
62
18
用水量分组
频数
频率
8
17
9
2
合计
40
1
参考答案：
1．A
【分析】根据特殊角的三角函数值求解．
【详解】解：
故选A
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.
2．A
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】A、是一元二次方程，故A正确；
B、是一元一次方程，故B错误；
C、是二元一次方程，故C错误；
D、是一元三次方程，故D错误；
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
3．C
【分析】根据成比例线段的定义逐项判定即可得到结论．
【详解】解：A、∵1×2≠1×3，
∴1，1，2，3不能成比例线段，故不符合题意；
B、∵1×4≠2×3，
∴1，2，3，4不能成比例线段，故不符合题意；
C、∵1：2＝2：4，
∴1，2，2，4；能成比例线段，故符合题意；
D、∵2×5≠3×4，
∴2，3，4，5不能成比例线段，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了成比例线段的定义，并且注意叙述线段成比例时，各个线段的顺序，掌握线段顺序，再按定义解题是解题的关键．
4．B
【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．根据得，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于，就在函数图象上．
【详解】解：A、，所以，点不在函数图象上，故本选项不符合题意；
B、，所以，点在函数图象上，故本选项符合题意；
C、，所以，点不在函数图象上，故本选项不符合题意；
D、，所以，点不在函数图象上，故本选项不符合题意；
故选：B．
5．D
【分析】把方程的根代入方程，再解方程即可求m的值．
【详解】解：把代入得，
，解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握解的概念，把方程的根代入原方程求解．
6．A
【分析】本题考查了一元二次方程(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式；把，，代入，然后计算，最后根据计算结果判断方程根的情况．
【详解】解：，，，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．D
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，由得到，又由圆内接四边形的性质可得即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴，
故选：．
8．B
【分析】本题考查了方差的意义．根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【详解】解：根据图形可知，乙种甜玉米产量比甲的产量波动小，即方差小，所以产量较为稳定的是乙．
故选：B．
9．B
【分析】此题考查了抛物线的平移．按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．
【详解】解：抛物线先向左平移3个单位得到解析式：，再向上平移1个单位得到抛物线的解析式为：．
故选：B．
10．C
【分析】本题考查的是抛物线和轴的交点．由题意得，二次函数和轴的交点坐标为：、，即可求解．
【详解】解：由题意得，二次函数和轴的交点坐标为：、，
则函数的对称轴为直线，
故选：C．
11．D
【分析】设边衬的宽度为x米，则整幅图画宽为(1.4+2x)米, 整幅图画长为(2.4+2x)米,根据整幅图画宽与长的比是8：13，列出方程即可．
【详解】解：设边衬的宽度为x米，根据题意，得
，
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．
12．B
【分析】由二次函数y=mx2-4mx可得对称轴为x=2，分为m＞0和m＜0两种情况，当m＞0时，二次函数开口向上，当-2≤x≤3时，函数在x=2取得最小值-2，将x=2，y=-2代入y=mx2-4mx中，解得，当m＜0时，二次函数开口向下，当-2≤x≤3时，函数在x=-2取得最小值-2，将x=-2，y=-2代入y=mx2-4mx中，解得，即可求解．
【详解】解：∵二次函数为y=mx2-4mx，
∴对称轴为，
①当m＞0时，
∵二次函数开口向上，
∴当-2≤x≤3时，函数在x=2取得最小值-2，
将x=2，y=-2代入y=mx2-4mx中， 解得：m=，
②当m＜0时，
∵二次函数开口向下，
∴当-2≤x≤3时，函数在x=-2取得最小值-2，
将x=-2，y=-2代入y=mx2-4mx中， 解得：，
综上，m的值为或，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值，解题的关键是分情况讨论，掌握二次函数对称轴的求法．
13．下
【分析】根据题目中的抛物线，可以直接写出该抛物线的开口方向，从而可以解答本题．
【详解】解：∵抛物线解析式为y＝﹣x2，a＝﹣1＜0，
∴该抛物线开口向下，
故答案为：下．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
14．4
【分析】本题考查反比例函数的应用．把代入，解方程即可得到结论．
【详解】解：当时，，
，
故答案为：4．
15．800
【分析】此题考查了用样本估计总体．首先求出有记号的25条鱼在200条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
【详解】解：∵池塘中有记号的鱼所占的百分比为：，
∴池塘中共有鱼（条）．
故答案为：800．
16．
【分析】本题考查了位似变换．利用D点和B点的坐标特征得到相似比，把放大倍得到，然后把C点的横纵坐标都乘以得到A点坐标．
【详解】解：∵以原点为位似中心，将线段放大得到线段，
而点的横纵坐标都乘以得到B点坐标，
∴把横纵坐标都乘以2.5得到A点坐标．
故答案为：．
17．
【分析】由三角函数分别求出BC、BD，即可得出CD的长．
【详解】解：由题意知：∠BAC=90°-45°=45°，△ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，tan∠BAC = ，AB=30米，
∴BC=AB•tan45°=30米，
∵∠BAD=90°-60°=30°，tan∠BAD = ，
∴BD=AB•tan30°=（米），
∴CD=BC-BD= （米）；
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，由三角函数求出BC和BD是解决问题的关键解题的关键．
18．/
【分析】根据题意可得点G的运动轨迹为以AB为直径，H为圆心的圆弧．当C、G、H三点共线时，CG取最小值，根据勾股定理进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴点G的运动轨迹为以AB为直径，H为圆心的圆弧．当C、G、H三点共线时，CG取最小值，如图，
∴CG最小值为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理以及勾股定理，根据题意得出点G的运动轨迹是解本题的关键．
19．
【分析】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算．先算乘方，再算乘除，后算加减，有括号先算括号里，即可解答．
【详解】解：
．
20．，
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方的方法是解题的关键．
直接根据因式分解法求解即可．
【详解】解：
或
解得：，
21．(1)图详见解析；
(2)．
【分析】本题考查作图复杂作图、圆周角定理，弧长公式．
（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2）连接，由题意可得，利用弧长公式计算可得答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求
；
（2）解：连接．
平分，
，
，
，
，
半径为2，
．
22．(1)，4；补全频数分布直方图见解析
(2)500户
(3)50吨
【分析】本题考查了频数分布直方图和频数分布表，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据表格数据作答即可；
（2）根据样本中的频数估计总数即可；
（3）先求出的家庭是多少户，再看这一户对应的用水量即可求解．
【详解】（1）解：由表格得，的频率为：，
的频数为：，
补全样本频数分布表和频数分布直方图，如下：
（2）解：（户），
答：用水量小于或等于35吨的用户有500户；
（3）解：（户），
∵家庭月平均用水量从小到大分组来看，第34户的月平均用水量为49吨，
∴要使的家庭水费支出不受影响，家庭月平均用水量的标准应该定为50吨．
23．(1)无人机的飞行高度为185米；
(2)隧道的长度约为430米．
【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题．
（1）过点作，垂足为，根据题意得到，，米，解直角三角形即可得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到米，求得（米），于是得到结论．
【详解】（1）解：过点作，垂足为，
由题意可知，，，米，
在中，，米，
米，
米，
（米），
答：无人机的飞行高度为185米；
（2）解：在中，
，即，
米，
（米），
（米），
答：隧道的长度约为430米．
24．(1)，
(2)他至少获得万元利润，他能获取的最大利润是万元
【分析】（1）利用待定系数法求出正比例函数和二次函数解析式即可；
（2）设种植花卉万元（），则投入种植树木万元，利润为万元，根据题意列出函数关系式，求出函数的最大值和最小值即可．
【详解】（1）解：设，由图1所示，函数的图像过，
∴，
∴，且，
故利润关于投资量的函数关系式是；
由图2所示，抛物线的顶点是原点，
∴设，
∵函数的图像过，
∴，
∴，且，
故利润关于投资量的函数关系式是．
（2）解：设种植花卉万元（），则投入种植树木万元，利润为万元，根据题意得：
，
∵二次函数图像开口向上，且，
∴当时，的最小值是；
∴当时，随的增大而增大；
∴当时，的最大值是；
∴他至少获得万元利润，他能获取的最大利润是万元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求正比例函数解析式和二次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法．
25．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由已知的平行，根据两直线平行，同位角相等，内错角也相等得到两对角的相等，然后由半径，根据等角对等边得到，等量代换得，再由半径，公共边的相等，根据证明，最后根据全等三角形的对应角相等得到，利用经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线可得证；
（2）由（1）证得的，根据全等三角形的对应边相等得到，再由已知的的长相加求出的长，然后在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，再根据一对公共角的相等和一对直角的相等，得到，根据相似三角形的对应边成比例即可得到的值，等量代换可得的值，即为的值．
【详解】（1）证明：如图，连接，

∵，
，，
，
，
，
又，，
，
，
，
直线是的切线；
（2）解：由（1）知，
，，
在中，，
，，
，
，
在中，．
26．(1)，；
(2)①9；②或．
【分析】（1）将，两点的坐标代入解析式，求出，的值即可；
（2）①由，可得直线解析式为，设第一象限，则，可得，即可得的最大值是9；
②由，，得，以点，，为顶点的三角形与相似，只需或，而，，用含的代数式表示，，分情况列出方程即可得的值，从而得到答案．
【详解】（1）将，代入解析式得：
，
解得：，
，；
（2）①的值为，的值为，
抛物线的解析式为：；
，
设直线解析式为，将，代入可得：，
解得，
直线解析式为，
设第一象限，则，
，，
，
当时，的最大值是9；
②，，，
，，，，
，，
，
而，
，
，
，
轴于，
，
，
以点，，为顶点的三角形与相似，只需或，
而为中点，，，
，，，
由①知：，，
当时，，
解得或（此时与重合，舍去），
，
当时，，
解得或（舍去），
，
综上所述，以点，，为顶点的三角形与相似，则的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查抛物线与坐标轴交点、线段和的最大值、相似三角形的判定等，解题的关键是分类讨论处理相似三角形存在性问题．
用水量分组
频数
频率
8
17
9
4
2
合计
40
1