云南省玉溪市红塔区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份云南省玉溪市红塔区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共19页。
注意事项：
1．本卷为试题卷，考生必须在答题卡上解题作答，答案书写在答题卡相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效．
2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，满分36分）
1. “龙马腾霄绝胜景，山中深藏白玉城”，冬日某一天的龙马山，山脚最低气温为零上，记作，山顶最低气温为零下，可记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正负数的实际意义，根据山脚最低气温为零上，记作得零上记为正，零下记为负，即可得，掌握正负数的实际意义是解题的关键．
【详解】解：∵山脚最低气温为零上，记作，
∴零上记为正，零下记为负，
∴山顶最低气温为零下，可记作，
故选：C．
2. 如图，已知直线与直线都相交．若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查邻补角互补，平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题关键．根据两直线平行同位角相等即可得出，再根据邻补角互补求解即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴．
故选B．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查积的乘方，算术平方根，合并同类项，零指数幂．利用零指数幂，二次根式的化简的法则，积的乘方的法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
4. 函数的自变量的取值范围为（ ）
A. B. C. 且D. 任意实数
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查求自变量取值范围，根据分式的分母不为0，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故选B．
5. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解．
【详解】解：，
∴方程无实数根，
故选：C
6. 下列汉字中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转后与原图重合的图形是中心对称图形，进而分析即可．此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
【详解】A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
7. 如图，点在上，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，掌握“同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”是解题的关键．
观察图形可得，所对的圆周角是，所对的圆心角是，根据圆周角定理计算即可．
详解】解：∵，，
∴
故选：C．
8. 按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了数字变化规律．观察已知式子，总结规律即可得第个单项式是．
【详解】解：由，，，，，，
总结规律得第个单项式是．
故选：A．
9. 已知二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点．
根据该二次函数的图象的开口和对称轴可判断，，即可解答．
【详解】∵二次函数的图象开口向下，
∴，
∵二次函数的图象的顶点在第一象限，
∴对称轴，
∴，
∴点在第二象限．
故选：B
10. 在多次重复抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，随机事件“正面向上”发生的频率为，每次试验该事件的概率为．下列说法错误的是（ ）
A. 的值为0.5
B. 随着试验次数的增加，的值可能发生变化
C. 当试验次数很大时，在附近摆动，并趋于稳定
D. 试验次数越多，的值越大
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查频率与概率，掌握频率随着试验次数的变化而变化，概率是频率的稳定值，是一个常数，是解题的关键，根据频率与概率的关系，逐一判断即可．
【详解】解：A、的值为0.5，选项正确，不符合题意；
B、随着试验次数的增加，的值可能发生变化，选项正确，不符合题意；
C、当试验次数很大时，在附近摆动，并趋于稳定，选项正确，不符合题意；
D、试验次数越多，值越趋于稳定，选项错误，符合题意；
故选D．
11. 如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则阴影部分（即四边形）的面积为（ ）
A. 4B. 6.25C. 7.5D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三角形的内切圆，根据切线的性质，判断出四边形为正方形，利用直角三角形的内切圆的半径的计算公式，求出的长，进一步求出阴影部分的面积即可，掌握直角三角形的内切圆的半径的计算方法，是解题的关键．
【详解】解：∵的内切圆与，，分别相切于点，，，
∴，
又，
∴四边形为正方形，
∵，，，
∴，
设，则：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为；
故选A．
12. 近年来，国内汽车市场经历了翻天覆地的变化，随着新能源的发展普及，越来越多的人购买新能源汽车，燃油汽车销量持续下滑．某款燃油汽车从售价25万元，经过两次降价后售价为16万元．设该款汽车每次降价的平均下降率是，则所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．利用这款汽车经过两次降价后的售价原价该款汽车每次降价的平均下降率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，满分8分）
13. 红塔区自2018年启动义务教育优质均衡发展创建工作以来，新增义务教育阶段学位5240个，有效应对了首批“全面二孩”入小学高峰期．将数字“5240”用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数字“5240”用科学记数法表示为．
故答案为：．
14. 若点和点关于原点对称，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是关于原点对称的点的坐标的特征，掌握关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数是解题的关键．
利用关于原点对称的点的坐标的特点，取1和的相反数即可．
【详解】解：∵点和点关于原点对称，
∴点的坐标为．
故答案为：．
15. 若方程的两根为m，n，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值．
根据一元二次方程根与系数的关系可得，，将通分后代入即可解答．
【详解】∵m，n是方程的两根，
∴，，
∴．
故答案为：
16. 某数学兴趣小组用一张半径为的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果扇形纸板的面积为，那么做成的圆锥形帽子的底面半径为______．
【答案】##8厘米
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算．先根据扇形的面积公式求出扇形的弧长为，再扇形的弧长等于圆锥底面的周长即可求出答案．
【详解】解：设扇形的弧长为，
∴，
∴，
设圆锥形帽子的底面半径为，
∴，
∴，
∴做成的圆锥形帽子的底面半径为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，满分56分）
17. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解和配方法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和配方法解一元二次方程是解答本题的关键．
（1）将方程左边因式分解成的形式，利用或，即得答案；
（2）将常数项移项到等式右边，然后利用等式性质将方程配方成方程左边是完全平方式，右边为非负常数的形式，再将方程两边开平方，即得答案．
【小问1详解】
因式分解，得，
，或，
，；
【小问2详解】
移项，得，
方程两边都加上1，得 ，
配方，得，
或，
，．
18. 如图，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题关键．利用“”证明，由全等三角形的性质可证明结论．
详解】证明：∵，
∴，即．
在和中，
，
∴，
∴．
19. 已知抛物线与轴交于点，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大．
（1）求的值；
（2）若点（其中）在抛物线上，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）把代入可得的值，根据函数增减性可得对称轴是直线，可求的值；
（2）将点代入（1）所求解析式，再结合进行化简可以的解．
【小问1详解】
解：抛物线与轴交于点，
∴
∵当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∴抛物线对称轴为：，
∴，解得：．
【小问2详解】
由（1）知，抛物线的解析式为：．
∵点在抛物线上，
∴．
原式，将代入可得，
原式
，
∴的值为．
20. 红塔区各义务教育学校按照“一校一案”的要求，每学期坚持以校内教师提供项目为主，按需求从区级“白名单”二次遴选非学科校外培训机构和团体提供相关项目进入学校，拓宽课后服务渠道，满足学生兴趣特长发展需求．甲、乙两名同学准备报名参加学校课后服务活动，各自随机选择篮球、舞蹈、书法三种中的一种，记篮球为，舞蹈为，书法为．假设这两名同学选择参加哪种课后服务活动不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲同学的选择为，乙同学的选择为．
（1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数；
（2）求甲、乙两名同学选择参加同一种课后服务活动的概率．
【答案】（1）9种 （2）
【解析】
【分析】本题考查了列表和画树状图求概率，掌握列表和画树状图的方法是解题的关键．
（1）用表格的行表示，表格的列表示，列表并写出；画树状图时可以先确定，再确定，再写出即可；
（2）由（1）知所有可能出现的等可能结果，再确定甲、乙两名同学选择参加同一种课后服务活动的结果，最后利用概率的公式计算即可．
【小问1详解】
解：方法一，列表如下：
∴所有可能出现的结果为：，，，，，， ，，，它们出现的可能性相等，一共有9种．
答：所有可能出现的结果共有9种．
方法二，画树状图如图1：
图1
∴所有可能出现的结果为：，， ，，，，，，，它们出现的可能性相等，一共有9种．
答：所有可能出现的结果共有9种．
【小问2详解】
解：由表（图）可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等．其中甲、乙两名同学选择参加同一种课后服务活动的结果有3种：，故．
答：甲、乙两名同学选择参加同一种课后服务活动的概率为．
21. 如图，在中，弦和半径相交于点与互相平分，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若扇形（图中阴影部分）的面积为，求与间的距离．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查的是线段垂直平分线的性质、菱形的判定及性质、扇形的面积．
（1）根据垂直平分线的性质可得，，然后根据圆的半径相等证出，然后根据菱形的判定定理即可证出结论；
（2）易求得是等边三角形，即可求得，得到，根据扇形面积公式，从而得出半径，然后求得等边三角形的高，就是与间的距离．
【小问1详解】
证明：弦垂直平分半径，
，，
，
，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：作于，
，
是等边三角形，
，
，
扇形（图中阴影部分）的面积为，
，
，
，，
∴，
，
与间的距离为．
22. 雪是冬天的来信，碎碎坠琼芳，雪花落处，诗意陡升，在云南，遇见雪山的烂漫，看“高原精灵”翩翩起舞，感受“南国雾凇美如画”的韵味，有一种叫云南的生活，它总是呼唤着你，岁岁年年，四时不变．云南某雪山景区经过市场调查发现，某天门票的销售量（单位：张）与门票的售价（单位：元/张）的函数关系如图所示，门票售价不低于50元，不高于300元．
（1）求与的函数解析式（也称关系式）；
（2）求这一天该景区销售门票获得的总收入的最大值．
【答案】（1）
（2）1210000元
【解析】
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，二次函数的应用，解题的关键是根据题意求出函数解析式，注意分类讨论．
（1）分两种情况：求出与的函数解析式即可；
（2）分两种情况：当时，当时，求出W的最大值即可．
【小问1详解】
解：当时，设与的函数解析式为，由图可得：
，
解得：，
∴与的函数解析式为：．
【小问2详解】
解：由题意得：
①当时，．
当时，
有最大值为：；
②当时，，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，有最大值为：．
∵，
∴当时，有最大值为1210000，
∴这一天该景区销售门票获得的总收入的最大值是1210000元．
23. 如图，是的外接圆，是的直径，点是延长线上一点，连接，交于点，点在上，．
（1）试判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，圆周角定理，得到，进而得到，根据等边对等角，结合等角的余角相等，得到，即可得出结果；
（2）连接，先证明，得到，根据，设，勾股定理得到，进而得到，在，利用勾股定理求出的值，进一步求解即可．
【小问1详解】
解：直线与相切，
证明：如图3，连接．

∵是的直径，
∴，
∵点是延长线上一点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线与相切．
【小问2详解】
如图4，连接，
∵，
．
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
设，则，
∴，
∴在中，，即，
解得：，
∴，
∴的半径为．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．
24. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事非．切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．请结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．
设函数（实数为常数）的图象为图象．
（1）求证：无论取什么实数，图象与轴总有公共点；
（2）是否存在非负整数，使图象与轴的公共点都是整点？若存在，求所有非负整数的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2）存在，0或2或6．
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，一次函数，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是理解整点的意义．
（1）分一次函数和二次函数分别证明函数图象与轴总有交点即可；
（2）当和时，分两种情况讨论解答即可．
【小问1详解】
解：①当，即时，函数为一次函数，
当时，，解得：，
∴图象与轴有公共点；
②当，即时，函数二次函数，
当时，为一元二次方程，
，
∵，
∴，
∴一元二次方程总有实数根，
∴图象与轴总有公共点，
综上所述，无论取什么实数，图象与轴总有公共点．
【小问2详解】
解：存在非负整数，使图象与轴的公共点都是整点，
理由如下：
①当时，由（1）知，图象与轴有公共点，不符合题意；
②当时，函数为二次函数，
当时，为一元二次方程，将方程左边分解因式，
可得：，
∴或，
∴或，
∵是非负整数，
∴，
∴，
∴当是的因数且时，是整数，
∴或或，
∴或或，
综上所述，存在非负整数，使图象与轴的公共点都是整点，非负整数的值为0或2或6．