浙江省宁波市余姚市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份浙江省宁波市余姚市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共24页。试卷主要包含了考试期间不能使用计算器等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，试题卷6页，满分120分，考试时间120分钟．
2．所有答案都必须做在答题卷规定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应．
3．考试期间不能使用计算器．
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标．熟练掌握的顶点坐标为是解题的关键．
由顶点式可得顶点坐标，然后判断即可．
【详解】解：由题意知，顶点坐标为，
故选：A．
2. 若线段，，则a和b的比例中项线段等于（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了比例中项．熟练掌握比例中项是解题的关键．
根据比例中项的定义求解即可．
【详解】解：设比例中项线段为，，
依题意得，，即，
解得，或（舍去），
故选：B．
3. 任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，发生可能性最大的事件是（ ）
A. 朝上一面的点数大于3B. 朝上一面的点数小于3
C. 朝上一面的点数是3的倍数D. 朝上一面的点数是3的因数
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根据概率公式计算概率，计算出各选项的概率即可求解．
【详解】解：朝上一面点数大于的概率为：，
朝上一面的点数小于的概率为：，
朝上一面的点数是的倍数的概率为：，
朝上一面的点数是的因数的概率为：，
故选：A
4. 已知点A是外一点，且的半径为5，则的长可能为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离大于半径时，点在圆外是解题的关键．
由题意知，，然后判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，
故选：D．
5. 在中，，，，则边的长为（ ）
A. 3B. 4C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正弦，勾股定理．熟练掌握是解题的关键．
如图，由题意知，，可求，然后根据勾股定理求即可．
【详解】解：如图，
由题意知，，即，
解得，，
由勾股定理得，，
故选：B．
6. 如果正多边形的一个内角等于，那么这个正多边形的边数是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据正多边形的一个内角是，则该正多边形的一个外角为，再根据多边形的外角之和为，即可求出正多边形的边数．
【详解】解：正多边形的一个内角是，
该正多边形的一个外角为，
多边形的外角之和为，
边数，
该正多边形的边数是
故选D．
【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是知道多边形的外角之和为．
7. 下列命题中，错误的是（ ）
A. 直径是圆中最长的弦B. 直径所对的圆周角是直角
C. 平分弦的直径垂直于弦D. 垂直平分弦的直线必定经过圆心
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了直径是圆中最长弦，直径所对的圆周角为直角，垂径定理等知识．熟练掌握直径是圆中最长的弦，直径所对的圆周角为直角，垂径定理是解题的关键．
根据直径是圆中最长的弦，直径所对的圆周角为直角，垂径定理对各选项进行判断即可．
【详解】解：由题意知，直径是圆中最长的弦，正确，故A不符合要求；
直径所对的圆周角是直角，正确，故B不符合要求；
平分弦的直径不一定垂直于弦，错误，故C符合要求；
垂直平分弦的直线必定经过圆心，正确，故D不符合要求；
故选：C．
8. 若二次函数的图象经过和两点，则m的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是关键．
【详解】解：由题可得，
解得，
故选B．
9. 如图，矩形的内部有5个全等的小正方形，小正方形的顶点分别落在边上，若，则小正方形的边长为（ ）

A. B. 5C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由矩形的性质可得，求出，证得，得出，过点K作于K，可证明，利用相似三角形对应边成比例求出，再求出，然后利用勾股定理列式求出EG，然后求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵5个小正方形全等，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
过点K作于K，如下图所示，

则四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴小正方形的边长为，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
10. 如图，在中，点D是上一点（不与点重合），过点D作交于点E，过点D作交于点F，点G是线段上一点，，点H是线段上一点，，若已知的面积，则一定能求出（ ）
A. 的面积B. 的面积C. 的面积D. 的面积
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，同底等高的三角形面积相等等知识，相似三角形的判定与性质并证得是关键．
连接，利用平行线的性质可得，由中点性质即可得，再利用三边对应成比例的三角形相似得到，从而得；利用平行线间的距离相等及同底等高的三角形面积相等即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即已知的面积，则一定能求出的面积，
故选：B．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 若两个相似三角形的相似比为，则它们对应周长的比为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了相似三角形的性质．由两个相似三角形的相似比为，根据相似三角形周长的比等于相似比，即可求得答案．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为，
∴它们的周长比为：．
故答案为：．
12. 技术变革带来产品质量的提升．某企业技术变革后，抽检某一产品5000件，欣喜发现产品合格的频率已达到，若在相同条件下，我们可以用频率估计该产品合格的概率约为______．（结果保留两位小数）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率，一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性，据此即可求解．
【详解】解：由题意得：该产品合格的概率约为，
故答案为：
13. 把函数的图象向上平移1个单位后所得图象的函数表达式是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解．
【详解】解：由题意得：平移后所得图象的函数表达式是：，
故答案为：
14. 如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的：先画正三角形，然后分别以点为圆心，长为半径画弧．若正三角形的边长为，则弧三角形的周长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，根据弧长公式求出AB的长，计算即可．
【详解】解：∵△ABC是正三角形，
∴∠A=∠B=∠C＝60°，
∴的长=（cm），
则弧三角形的周长=，
故答案为：2π．
【点睛】本题考查的是弧长的计算、等边三角形的性质，掌握弧长公式是解题的关键．
15. 如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，，将绕点顺时针旋转得到……，如此进行下去，得到一条连续的曲线，若点在这条曲线上，则m的值为______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据抛物线与轴的交点问题得到，图象与轴交点坐标为∶ ，，再利用旋转的性质图象与轴交点坐标为∶ ，，则抛物线∶，于是可推出抛物线：，由于，则有在抛物线上，然后根据二次函数图象上点的坐标特征计算的值即可．
【详解】∵如图抛物线：，
∴图象与轴交点坐标为∶ ，，
∵将绕点旋转得，交轴于点，
∴抛物线∶，
∴将绕点旋转得，交轴于点，
…，
如此进行下去，
∴抛物线：，
∵，
∴抛物线上，
∴当时，，
故答案为：6．
【点睛】此题考查了二次函数与几何变换，正确记忆旋转的特点，找到图形变换的规律是解题关键．
16. 如图，在四边形中，，点E是上一点，连结，，，，，，将沿翻折得到，若点恰好落在的延长线上，则______，______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
设，由折叠的性质可知，，，，证明，则，，可得，，证明，则是等腰三角形，，，，，则，可求，证明，则，即，，可求，根据，计算求解即可．
【详解】解：设，
由折叠的性质可知，，，，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，即，
∵，，
∴，
∴是等腰三角形，，，
∴，，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得，，
∴，
故答案为：，．
三、解答题（第17、18、19题各6分，第20、21、22各8分，第23题10分，第24题12分，共66分）
17. 计算：
（1）
（2）已知，求
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】本题考查特殊角三角函数的混合运算，比例的基本性质：
（1）将特殊角三角函数值代入计算即可；
（2）根据比例式设，，代入计算即可．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：设，，
原式．
18. 在一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的球，其中1个白球，3个红球．
（1）从袋中随机摸出一个球，求摸出的球是白球的概率．
（2）从袋中随机摸出一个球，放回，摇匀，再随机摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的球颜色相同的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了简单的概率计算，列举法求概率．正确的画树状图是解题的关键．
（1）利用概率公式计算求解即可；
（2）根据题意画树状图，然后求概率即可．
【小问1详解】
解：由题意知，从袋中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率为．
【小问2详解】
解：记三个红球为，，，
依题意画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中两次摸出的球颜色相同共有种等可能的结果，
∵，
∴两次摸出的球颜色相同的概率为．
19. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图．
（1）在图1中，将绕点A顺时针方向旋转，作出经旋转后的．（其中点D，E分别是点B，C的对应点）．
（2）在图2中，请用无刻度直尺找出过A，B，C三点的圆的圆心，标出圆心O的位置．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了旋转作图，三角形外接圆的圆心．熟练掌握旋转作图，三角形外接圆的圆心是解题的关键．
（1）根据旋转的性质作图即可；
（2）根据三角形外接圆的圆心为三角形任意两边垂直平分线的交点进行作图即可．
【小问1详解】
解：如图（1），就是所求作的三角形．
图（1）
【小问2详解】
解：如图（2），作线段的垂直平分线，交点O即为所求．
图（2）
20. 如图，在中，是角平分线，点E是边上一点，且满足．
（1）证明：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】（1）证出．根据相似三角形的判定可得出结论；
（2）由相似三角形的性质可得出，则可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵是角平分线，
∴．
∵，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
21. 如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连结，．
（1）求点A和点C的坐标．
（2）若在第一象限的二次函数图象上存在点D，使，求点D的坐标．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，，计算求解，进而可求，当时，，则．
（2）如图，设与x轴交于点E，则，，待定系数法求直线的函数表达式为．令，计算求解，进而可求点坐标．
【小问1详解】
解：当时，，
解得，，，
，；
当时，，
．
【小问2详解】
解：如图，设与x轴交于点E，
∵，，，
∴，
∴，即，
设直线的函数表达式为．
将 代入得，，
解得，，
直线的函数表达式为．
令，
解得，，，
当时，，即．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式，二次函数与角度综合等知识．熟练掌握二次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式，二次函数与角度综合是解题的关键．
22. 如图，四边形内接于，延长，交于点E，．
（1）求证：是等腰三角形．
（2）若点C是中点，，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了圆得内接四边形互补，弧、弦、角、距等关系，相似三角形的判定与性质等知识点，熟记相关知识点内容是解题关键．
（1）由得，根据，得，据此即可求证；
（2）证得，即可求解．
【小问1详解】
证明： ，
，
四边形内接于，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
【小问2详解】
解： 点C是中点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
23. 平面直角坐标系中，点，在函数（b，c是常数）的图象上．
（1）若，，求该函数的表达式，
（2）若，求证：该函数的图象经过点．
（3）已知点，，在该函数图象上，若，，试比较，的大小，并说明理由．
【答案】（1）
（2）见解析 （3），见解析
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质，熟知待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
（1）用待定系数法即可解决问题；
（2）用去表示，再将点坐标代入即可；
（3）根据及抛物线经过点可判断出抛物线对称轴所处位置的范围，再根据抛物线开口方向及，离对称轴的远近即可解决问题．
【小问1详解】
解：点，在函数（b，c为常数）的图象上，
，，
，解得，
该函数的表达式为．
【小问2详解】
解：，
，
，
，
时，，
该函数的图象经过点．
【小问3详解】
解：，
当时，，
，
当时，，
抛物线经过点，
抛物线的对称轴在直线的右侧，在直线的左侧，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，而抛物线开口向上，
．
24. 如图，内接于，是的直径，，过点A作，交于点E，点F是上一点，连接交于点G，连接交于点H．
（1）求证：．
（2）若，，求的长．
（3）设，，求y关于x的函数表达式．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）①如图，当点G在线段上时，；②如图，当点G在线段上时，
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理和同弧所对的圆周角相等，能够推导出，即可证明三角形相似；
（2）连接, 由题意可得, 在中，利用勾股定理求出再由, 得到，在中，利用勾股定理求出, ，则，证明，求得则再由，求出 ；
（3）设, 则 分两种情况讨论：①当点在线段上时, 则 , 过点作交于点, 推导出, 再由, 推导出 从而求出 即可求 ②当点在线段上时，同理可得
【小问1详解】
是的直径，，
，
，
和是所对圆周角，
，
．
【小问2详解】
如图，连结，
是的直径，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【小问3详解】
设，则，
，
，，
，，
①如图，当点G在线段上时，
，
，，，
过点G作于点M，
，
，，
，
，
，
，
．
，
，即，
又，
，
，
，
，
．
②如图，当点G在线段上时，
同理可求得．
【点睛】本题考查圆综合应用，熟练掌握垂径定理，同弧所对的圆周角相等，三角形相似的判定及性质是解题的关键.