河南省开封市2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷（含解析）

这是一份河南省开封市2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列长度的各组线段中，可以组成三角形的是( )
A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，
3.式子，，，，，中，属于分式的有( )
A. 个B. 个C. 个D. 个
4.纳米是非常小的长度单位，把的物体放在乒乓球上，就如同把乒乓球放在地球上等于( )
A. B. C. D.
5.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，在中，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线，交于点，连接，若的周长为，，则的周长为( )
A.
B.
C.
D.
7.使分式的值等于的的值是( )
A. B. C. D.
8.年月日，世界大学生运动会在成都举行，在设计比赛场地时，融合了许多几何元素，其中有一个等腰三角形的模型，它的顶角为，腰长为，则底边上的高为( )
A. B. C. D.
9.综合实践活动小组为测量池塘两端，的距离，活动小组的三位同学分别设计出如下三种方案：
小华：如图，先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，量出的长即为，的距离．
小欣：如图，先过点作的垂线，在上取，两点，使，再过点作的垂线，交的延长线于点，则量出的长即为，的距离．
小彤：如图，过点作的垂线，在上取一点，连接，然后在的延长线上取一点，连接，使这时只要量出的长即为，的距离．
以上三位同学设计的方案中可行的是( )
A. 小华和小欣B. 小欣和小彤
C. 小华和小彤D. 三个人的方案都可以
10.小静同学观察台球比赛，从中受到启发，抽象成数学问题如下：如图，已知长方形，小球从出发，沿如图所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为，当小球第次碰到长方形的边时，若不考虑阻力，点的坐标是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，其中的数学道理是______．
12.一个多边形的内角和是它外角和的倍，则它的边数是____．
13.如图，巡逻艇在游轮北偏东的方向上，巡逻艇在游轮北偏东的方向上，游轮位于游轮的正东方向，则的度数为______
14.长宽分别为、的长方形，其周长为，面积为，则的值为______．
15.如图，在中，，，平分，点、分别是射线和线段上的动点，连接、，则的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：；
计算：；
解方程：．
17.本小题分
先化简，再求值：，并在，，中选取一个合适的数作为的值代入求值．
18.本小题分
如图是一个平分角的仪器，其中，，将点放在角的顶点，和沿着角的两边放正，沿画一条射线，就是角平分线，请说明它的道理．
19.本小题分
格点的三个顶点的坐标分别为，，．
请在图中画出适当的平面直角坐标系；
请画出关于纵轴对称的；
在横轴上找一点，使最短，并在图中标出点的位置．
20.本小题分
学习过等边三角形，小丽用折纸的方法裁出一个等边三角形如图，先将正方形纸片对折后展开，折痕为点在线段上，连接，将沿折叠，点落在上的点处，连接，，沿和裁剪得到，则即为等边三角形，请给予证明．
21.本小题分
如图，小明在制作手工时，想把一块直角三角形的卡纸均匀分成大小、形状都相同的三个三角形，如果，，小明利用直尺无刻度和圆规进行了如下操作，请你帮小明完成下面的尺规作图保留作图痕迹，不写作法．
作的平分线，交与点．
作______的垂直平分线选择正确选项并完成作图．
A.线段
B.线段
C.线段
根据以上信息请判断：
点在直线上吗？______填“在”或“不在”；
理由：______．
22.本小题分
中国某外贸企业从国外某地区进口了，两种材料已知种材料比种材料每吨多万元，用万元购进种材料吨数是用万元购进种材料吨数的倍．
求，两种材料每吨各多少万元．
由于市场的需要，该企业再次用万元购进，两种材料共吨，种材料的单价较上次上涨了，种材料的单价较上次下降了，求该企业最多能购买种材料的数量．
23.本小题分
问题初探
在数学社团活动中，李老师给同学们出了这样一道题：
如图，在中，高，交于点，且，试说明，有怎样的数量关系．
小明经过思考，说出了他的方法：根据已知条件，易证≌，从而得出．
小明证明≌的依据可能是______填序号．




引导发现
老师看同学们的兴致很高，又出了一道题：
如图，在中，，，平分，，垂足在的延长线上．
填空： ______；
判断线段与的数量关系，并写出证明过程．
拓展延伸
中，，，如图，点在线段上，于点，交于点，且，请直接写出和的数量关系．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：选项D的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项A、、的图形能找到一条或多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】
【解析】解：，，，不能组成三角形，不符合题意；
B.，，，能组成三角形，正确，符合题意；
C.，，，不能组成三角形，不符合题意；
D.，，，不能组成三角形，不符合题意；
故选：．
根据三角形三条边的关系计算即可，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边解答即可．
本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．
3.【答案】
【解析】解：式子，，的分母中含有字母，属于分式，共有个．
故选：．
根据分式的定义：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式判断即可．
本题考查了分式的定义，分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
4.【答案】
【解析】解：，
，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题考查了同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法法则和用科学记数法表示的一般形式为，其中，是本题的关键，注意单位之间的换算．
5.【答案】
【解析】解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B正确，符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法可以判断；根据幂的乘方可以判断；根据平方差公式可以判断；根据完全平方公式可以判断．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
6.【答案】
【解析】解：由尺规作图可知是线段的垂直平分线，则．
的周长，
，
的周长．
故选：．
由尺规作图知是线段的垂直平分线，则，根据的周长，进而可得答案．
本题主要考查作图基本作图，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图及线段的垂直平分线的性质．
7.【答案】
【解析】解：由分式的值为零的条件得，，
由，得或，
由，得，
所以，
故选：．
根据分式的值为零的条件可以求出的值．
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．
8.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，

在中，，，
，
，
，
故选：．
过点作于点，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，再根据含度角的直角三角形的性质即可得出结论．
本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：小华同学的方案：
在和中，
，
≌，
，
小华同学的方案可行；
小欣同学的方案：
在和中，
，
≌
，
小欣同学的方案可行；
小彤同学的方案：
在和中，
，
≌
，
小彤同学的方案可行．
故选：．
小华同学利用的是“边角边”，小欣和小彤同学的方案利用的是“角边角”．
本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的“”和“”定理是解决问题的关键．
10.【答案】
【解析】解：因为点的坐标为，
根据点的运动方式，结合反射角等于入射角可知，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
，
由此可见，点每反弹次，点的坐标循环出现，
由因为余，
所以点的坐标为．
故选：．
依次求出点为正整数的坐标，发现规律即可解决问题．
本题考查点的坐标变化规律，能根据点的运动方式得出点每反弹次，点的坐标循环出现是解题的关键．
11.【答案】三角形具有稳定性
【解析】解：工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，其中的数学道理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
根据三角形具有稳定性解答即可．
此题主要考查了三角形的稳定性，是需要记忆的内容．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是．
根据多边形的内角和公式以及外角和定理列出方程，然后求解即可．
【解答】
解：设这个多边形的边数是，
根据题意得，，
解得．
答：这个多边形的边数是．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：由题意可知，，，
．
故答案为：．
根据方向角的定义以及三角形内角和定理进行计算即可．
本题考查方向角，理解方向角的定义，掌握三角形内角和是是解决问题的关键．
14.【答案】
【解析】解：长宽分别为、的长方形，其周长为，面积为，
，，
．
故答案为：．
根据题意得出，，然后将整式因式分解化简，整体代入求解即可．
此题主要考查了因式分解提公因式法，正确将原式变形是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：作关于的对称点为，作边上的高，连接交射线于，
平分，
必在上，
关于的对称点为，
，
，
即垂线段最短，
，，
，
，
，
即的最小值为
故答案为：．
根据题意画出符合条件的图形，作关于的对称点为，作边上的高，求出，根据垂线段最短得出，求出即可得出的最小值．
本题考查了平面展开最短路线问题，等腰三角形的性质，含度直角三角形的性质，解题的关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
16.【答案】解：


；




；
，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是．
【解析】先根据零指数幂，有理数的乘方和负指数指数幂进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
先根据分式的基本性质通分，再根据分式的减法法则进行计算即可；
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算，分式的加减和解分式方程，能正确根据实数的运算法则进行计算是解的关键，能正确根据分式的加减法法则进行计算是解的关键，能把分式方程转化成整式方程是解的关键．
17.【答案】解：



，
要使分式有意义，必须且，
解得：不能为和，
取，
所以原式．
【解析】先根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，再根据分式的加法法则进行计算，根据分式有意义的条件求出不能为和，取，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
18.【答案】解：与中，
，，，
≌，
．
即平分．
不论的大小，始终有平分．
【解析】本题考查了全等三角形的应用，用判断全等，再运用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意．
为公共边，其中，，利用判断两个三角形全等，根据全等三角形的性质解题．
19.【答案】解：建立平面直角坐标系如图所示．
如图，即为所求．
如图，取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，
此时，为最小值，
则点即为所求．

【解析】根据各点的坐标建立平面直角坐标系即可．
根据轴对称的性质作图即可．
取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求．
本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
20.【答案】证明：四边形是正方形，
，
由折叠的性质得：，
是正方形的对称轴，
垂直平分，
，
，
是等边三角形．
【解析】由正方形的性质得到，由折叠的性质得：，由线段垂直平分线的性质得到，于是得到，即可证明等边三角形．
本题考查折叠的性质，关键是由折叠的性质得到，由线段垂直平分线的性质推出．
21.【答案】 在 ，，
，
平分，
，
，
在的垂直平分线上．
【解析】解：作的平分线，交于点，如图：
作线段的垂直平分线，如上图；
故答案为：；
点在直线上，
理由：，，
，
平分，
，
，
在的垂直平分线上．
故答案为：在；
，，
，
平分，
，
，
在的垂直平分线上．
作的平分线，交于点即可；
作线段的垂直平分线；
由，，得，而平分，可得，故AD，从而在的垂直平分线上．
本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是掌握角平分线，线段垂直平分线的尺规作图方法．
22.【答案】解：设种材料每吨万元，则种材料每吨万元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：种材料每吨各万元，种材料每吨万元；
设该企业能购买种材料吨，则购买种材料吨，
由题意得：，
解得：，
答：该企业最多能购买种材料吨．
【解析】设种材料每吨万元，则种材料每吨万元，根据用万元购进种材料吨数是用万元购进种材料吨数的倍．列出分式方程，解方程即可；
设该企业能购买种材料吨，则购买种材料吨，根据该企业再次用万元购进，两种材料共吨，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】
【解析】证明：，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：；
延长交延长线于，
平分，
，
，
，
，
，
故答案为：；
，理由如下：
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
．
结论：理由如下：
过点作，交的延长线于点，与相交于，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
．
根据可证明≌，则可得出答案；
延长交延长线于，证明≌，推出，再证明≌，可得结论；
过点作，交的延长线于点，与相交于，过点作，交的延长线于点，与相交于，证明方法类似．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．