山东省聊城市2024届高三上学期期末教学质量检测数学试题

这是一份山东省聊城市2024届高三上学期期末教学质量检测数学试题，共21页。试卷主要包含了答题前，考生务必用0，第Ⅱ卷必须用0， 整数除以7，所得余数为， 直线， 设等差数列的前项和为，已知等内容，欢迎下载使用。

高三数学试题
审题人：莘县实高 李存才 罗增交
注意事项：
1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出集合A和B，然后根据图中阴影部分是由在B中不在A中的元素构成的集合即可得出答案.
【详解】，所以，
，所以，所以，
图中阴影部分是由在B中不在A中的元素构成的集合，所以为，
故选：D.
2. 设，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】现根据复数的四则运算求出，然后即可得出答案.
【详解】,
所以，
所以，，
故选：C.
3. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由直线的一般式方程得斜率，由斜率与倾斜角的关系求得倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，由题得直线的斜率为，
所以，
故选：B.
4. 已知两条不重合的直线和，两个不重合的平面和，下列四个说法：
①若，，，则 ②若，，，则
③若，，，则 ④若，，，则
其中所有正确的序号为（ ）
A. ②④B. ③④C. ④D. ①③
【答案】B
【解析】
【分析】①②错误，举出反例即可，③④正确，给出证明.
【详解】对于①：如果，，也能满足条件，①错误；
对于②：与相交或异面也能满足条件，②错误；
对于③：因为，，则，又因为，所以，③正确；
对于④：因为，所以平面内必有直线，又因为，所以，
因为，，所以，而，所以，④正确.
故选：B
5. 整数除以7，所得余数为（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】,然后用二项式定理展开即可得出答案.
【详解】
,
前六项均能被7整除，6除以7余6，所以答案为6，
故选：D.
6. 直线：（）与圆：相交于、两点，下列说法正确的个数为（ ）
①直线过定点 ②时，弦最长
③时，为等腰直角三角形 ④时，弦长为
A 3B. 2C. 1D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】求出直线所过定点，可判断①；由圆的弦长公式计算可判定②③④．
【详解】由题可知圆心，半径，
当时，恒成立，所以直线过定点，①正确；
时，：，圆心到的距离为，此时直线l过圆心，弦AB就是直径，最长，②正确；
时，：，圆心到的距离为，
所以弦长，此时，
所以不为直角三角形，③错误；
时，：，圆心到的距离为，
所以弦长，故④正确，
故选：A.
7. 最优化原理是指要求目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答：若点是曲线上任意一点，则到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数求得平行于直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由函数，可得，令，可得，
因为，可得，则，
即平行于直线且与曲线相切的切点坐标为，
由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为.
故选：B
8. 设等差数列的前项和为，已知：，，则下列结论正确的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】由题设，构造函数，分析的奇偶性和单调性，结合等差数列的性质及前n项和公式，求解即可.
【详解】设函数，易知的定义域为，
且，
所以是上的奇函数，由单调性的性质知在上单调递增，
由题意：，，两式相加得：，
因为是上的奇函数，所以，
又在上单调递增，所以，即，
等差数列的前项和为，则，
因为，，所以，
又在上单调递增，所以，所以.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 尊重自然、顺应自然、保护环境，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求，近年来，各地区以一系列卓有成效的有力措施逐步改善生态环境，我国生态文明建设发生了历史性、全局性的变化.一地区的科研部门调查某绿色植被培育的株高（单位：）的情况，得出，则下列说法正确的是（ ）
A. 该地植被株高的均值为100
B. 该地植被株高的方差为10
C. 若，则
D. 随机测量一株植被，其株高在以上的概率与株高在以下的概率一样
【答案】AC
【解析】
【分析】由于，所以，从而可直接判断A，B，对于CD，利用正态分布的对称性分析判断.
【详解】解：因为，所以，
对于A，因为，所以均值为100，所以A正确;
对于B，因为，所以方差为100，所以B错误；
对于C，因为，所以，解得，所以C正确；
对于D，因为，
，
所以随机测量一株水稻，其株高在以上的概率比株高在以下的概率大， 所以D错误
故选：AC.
10. 已知，函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 函数在区间上单调递增
C. 将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象
D. 函数的图象关于直线对称
【答案】BC
【解析】
【分析】现根据题意求出，然后根据正弦函数的性质依次判定即可.
【详解】
,
所以，故A错误；
即，
当时，，所以函数单调递增，故B正确；
将函数的图象向左平移个单位长度得，故C正确；
，所以函数的图象不关于直线对称.
故选：BC.
11. 下列说法中正确的是（ ）
A. 函数的最小值为4
B. 若，则的最小值为4
C. 若，，，则的最大值为1
D. 若，，且满足，则的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据基本不等式和“1”的妙用依次判定即可.
【详解】对于A：当时，，故A错误；
对于B：，当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C：，
即，解得，当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D: ，
当且仅当时等号成立，此时，故D正确；
故选：BCD
12. 正方体的棱长为1，为侧面上的点，为侧面上的点，则下列判断正确的是（ ）
A. 直线平面
B. 若，则，且直线平面
C. 若，则到直线的距离的最小值为
D. 若，则与平面所成角正弦的最小值为
【答案】AB
【解析】
【分析】A选项，作出辅助线，证明出，同理可得，从而得到线面垂直；B选项，在A选项基础上，得到线面平行；C选项，得到为以点为圆心，为半径的圆上，结合图形求出最小值；D选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到，结合的取值范围得到线面角正弦值的最小值.
【详解】对于A项，如图，连结，.
因为平面，平面，所以.
又，平面，平面，，
所以平面.
又平面，所以.
同理可得，.
又平面，平面，，
所以平面.故A项正确；
对于B项，由A项可知：平面.
又，平面，所以直线平面，故B项正确；
对于C，因为，所以在以为球心，为半径的球上.
又为侧面上的点，所以在球被平面截得的交线上.
因为平面，，，
所以，
所以为以点为圆心，为半径的圆上.
如图，，则，到直线的距离的最小值为，故C项错误；
对于D项，以点为坐标原点，分别以，，为，，轴的正方向，
如图建立空间直角坐标系，则，，，，，
，.
因为，设，（），
.
设是平面的一个法向量，则，即，
取，则，是平面的一个法向量.
则，
又，当时，有最小值1，
所以，，即，
所以与平面所成角正弦的最大值为，故D项错误.
故选：AB.
【点睛】立体几何线面角求解方法：
（1）作出辅助线，找到线面角，并结合余弦定理或勾股定理进行求解；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解.
三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，，若与所成的角为钝角，则实数的取值范围：______.
【答案】
【解析】
【分析】与所成角为钝角即且与不平行，列式求解即可.
【详解】与所成的角为钝角即且与不平行，
即，
所以.
故答案：.
14. 每年月第三个星期六是我国法定的全民国防教育日，同学们积极参与到国防教育之中为实现中国梦、强军梦凝聚强大力量.某校国防教育活动中拟将本不同的国防知识书分给甲、乙、丙三个班，其中一个班得本，另外两个班每班得本.则共有______种不同的分配方式.（请用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】先将本不同的国防知识书分为三组，各组的书本数分别为、、，再将这三组书分配给甲、乙、丙三个班，结合分步乘法计数原理可得结果.
【详解】先将本不同的国防知识书分为三组，各组的书本数分别为、、，
再将这三组书分配给甲、乙、丙三个班，
由分步乘法计数原理可知，不同的分配方法种数为种.
故答案为：.
15. 函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】得到分段函数在上是减函数，从而得到不等式，求出答案.
【详解】由已知对任意，都有成立，即在上是减函数，
故需满足，解得，即.
故答案为：
16. 椭圆：的左右焦点分别为，，为坐标原点，给出以下四个命题：
①过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为12；
②椭圆上存在点，使得；
③椭圆的离心率为；
④为椭圆：上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为4.
其中正确的序号有______.
【答案】①②④
【解析】
【分析】①由的周长为4a求解判断；②根据以原点为圆心以c为半径的圆交y轴于椭圆的外部判断；③根据椭圆方程判断；④设，求得点P到圆心（0，0）的距离判断.
【详解】由椭圆得，，，
①过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为，故①正确；
②因为，所以以原点为圆心以为半径的圆交轴于椭圆的外部，
所以存在点，使得，即使得，故②正确；
③椭圆的离心率为，故③错误；
④因为为椭圆上一点，设，，
则点到圆心的距离为
则其最大值为3，所以最大值为：，故④正确；
故答案为：①②④.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 记的内角的对边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）设，，求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，求出；
（2）利用向量数量积公式计算出，结合余弦定理得到，求出周长.
【小问1详解】
由及正弦定理，
得，即，
所以，
因为，所以.
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的周长为.
18. 已知等差数列的前项和为，且，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和，求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；
（2）求出的表达式，利用裂项相消法求出，结合放缩法可证得结论成立.
【小问1详解】
解：设等差数列的公差为，则，解得，
所以.
【小问2详解】
解：由（1）可得，
则，
所以
，所以.
19. 如图，梯形中，，，平行四边形的边垂直于梯形所在的平面，，，是的中点，
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理，即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面和平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.
【小问1详解】
证明：∵平行四边形的边垂直于梯形所在的平面，而在平面内，
则，又因为，
∴平行四边形为正方形，
∵垂直于梯形所在的平面，，
∴平面，
∵平面，∴；
在直角梯形中，连接，，，
则，，
在中，，∴，
∵，与平面，
∴平面，
又∵面，
∴平面平面，即平面平面；
【小问2详解】
由（1）知平面，∵平面，
∴，又，，故；
∴，，三线两两垂直，故以为原点，
、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系：
则，，，，
则，，
设为平面的法向量，
，即，
取，则，
取平面的法向量为，
设二面角的大小为，由图可知为锐角，
则，
∴即二面角的正弦值为.
20. 乒乓球起源于英国的19世纪末，因为1959年的世界乒乓球锦标赛，中国参赛运动员为中国获得了第一个世界冠军，而使国人振奋，从此乒乓球运动在中国风靡，成为了事实上中国的国球的体育项目.国球在校园中的普及也丰富了老师、同学们的业余生活.某校拟从5名优秀乒乓球爱好者中抽选人员分批次参加社区共建活动.共建活动共分3批次进行，每次活动需要同时派送2名选手，且每次派送选手均从5人中随机抽选.已知这5名选手中，2人有比赛经验，3人没有比赛经验.
（1）求5名选手中的“1号选手”，在这3批次活动中有且只有一次被抽选到的概率；
（2）求第二次抽选时，选到没有比赛经验的选手的人数最有可能是几人？请说明理由；
（3）现在需要2名乒乓球选手完成某项特殊比赛任务，每次只能派一个人，且每个人只派一次，如果前一位选手不能赢得比赛，则再派另一位选手.若有A、两位选手可派，他们各自完成任务的概率分别为、，且，各人能否完成任务相互独立.试分析以怎样的顺序派出选手，可使所需派出选手的人员数目的数学期望达到最小.
【答案】（1）
（2）最有可能是1人，理由见解析
（3）按照先A后的顺序所需人数期望最小.
【解析】
【分析】（1）5名选手中的“1号选手”在每轮抽取中被抽取到的概率为，然后用独立事件概率公式和事件和公式求解即可；
（2）用期望或概率判断即可；
（3）分别求出按先A后的顺序和先后A完成任务所需人员数目的数学期望，比较即可得出答案.
【小问1详解】
5名选手中的“1号选手”在每轮抽取中被抽取到的概率为，
则三次抽取中，“1号选手”恰有一次被抽取到的概率为.
【小问2详解】
第二次抽取到的没有比赛经验的选手人数最有可能是1人.
设表示第二次抽取到的无比赛经验的选手人数，可能的取值有0，1，2，
则有：，，
，
（法一）因为，
故第二次抽取到的无比赛经验的选手人数最有可能是1人.
（法二）∵，
∴第二次抽取到的无比赛经验的选手人数最有可能是1人.
【小问3详解】
按照先A后的顺序所需人数期望最小.
由题意：，
设表示先A后完成任务所需人员数目，则
，
设表示先后A完成任务所需人员数目，则
，
∵，
∴故按照先A后的顺序所需人数期望最小.
21. 已知函数（）.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）直接利用导数的几何意义求出切线的斜率，再求出切线方程；
（2）由于函数的定义域为，当时，函数只有一个极值点，当时，的两个解为和，所以当时分，，三种情况.
【小问1详解】
解：（1）当时，.
，切点为，
，切线斜率
所以曲线在处的切线方程为：
【小问2详解】
由题意，函数（）的定义域为，
可得，
①当时，可得，当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增；
②当时，可得在上恒成立，
所以函数在上单调递增；
③当时，当时，；当时，；当时，，
所以在递减，在，递增；
④当时，当时，；当时，；当时，，
所以在递减，在，递增.
综上，当时，在递减，在递增；
当时，在上单调递增；
当时，在递减，在，递增；
当时，在递减，在，递增.
22. 已知椭圆：（）左、右焦点分别为、，椭圆与双曲线有共同的焦点，点是椭圆上任意一点，则的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点任作一动直线交椭圆于，两点，记，若在线段上取一点，使得，则当直线转动时，点在某一定直线上运动，求该定直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据共焦点结合最值列方程得出即可得出椭圆方程；
（2）先联立方程得出韦达定理，再结合向量关系得出，计算即可得出定直线.
【小问1详解】
点是椭圆上任意一点，则的最大值为：，所以.
又与双曲线有共同的焦点，所以，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
由题意可知，直线的斜率必存在.
故可设直线的方程为，
，，由，
消去得，
由根与系数的关系得，，
由，得
所以，所以，
设点的坐标为，由，得，
所以，解得.
而，
，所以.
故点在定直线上.
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