2023-2024学年江苏省盐城市射阳高级中学、上冈中学、新丰中学、东元中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年江苏省盐城市射阳高级中学、上冈中学、新丰中学、东元中学高一（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|2A. {x|32}C. {x|23}
2.已知sinα<0，且tanα>0，则α的终边所在的象限是( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知a，b∈R，则“a+b>6”是“a>3且b>3”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
4.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级γ可定义为γ=年6月22日下午甲市发生里氏3.1级地震，2020年9月2日乙市发生里氏4.3级地震，则乙市地震所散发出来的能量与甲市地震所散发出来的能量的比值为( )
A. 2B. 10C. 100D. 10000
5.函数f(x)=cs(x+π2)|x|的部分图像大致是( )
A. B. C. D.
6.已知α∈[−π2,π2],sinα+csα=−15，则tanα=( )
A. −43B. −34C. 34D. 43
7.已知a=lg43，b=sinπ3，c=2−csπ3，则a，b，c的大小关系是( )
A. a8.已知函数f(x)=lnx−mx+2−n(m>0,n>0)是奇函数，则1m+2n的最小值为( )
A. 32+ 2B. 32C. 32+2 2D. 52
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列不等式中成立的是( )
A. 若a>b>0，则ac2>bc2B. 若a>b>0，则a2>b2
C. 若a1b
10.下列命题是真命题的有( )
A. 函数f(x)=sin2x+csx+1的值域为[0,94]
B. g(x)= 3−lg2(3−x)的定义域为[−5,+∞)
C. 函数f(x)=lnx−2x的零点所在的区间是(2,3)
D. 对于命题p：∃x∈R，使得x2−1>0，则¬p：∀x∈R，均有x2−1<0
11.已知函数f(x)=Acs(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的图象关于直线x=π6对称
B. 函数f(x)的图象关于点(3π2,0)对称
C. 函数f(x)在[π12,13π24]的值域为[− 2,2]
D. 将函数f(x)的图象向右平移π12个单位，所得函数为g(x)=2sin2x
12.已知方程x+lnx=0与ex+x=0的根分别为x1，x2，则下列说法正确的是( )
A. x1+x2>0B. 0C. x1x2−1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数f(x)的图象经过点(2, 22)，则f(4)的值为______．
14.已知0<α<π2，且sin(α−π3)=14，则sin(5π6−α)= ______．
15.数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角(如图所示).若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是______．
16.若方程x2+2x+m2+3m=mcs(x+1)+7有且仅有1个实数根，则实数m的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|3≤x<6}，B={x|x2−13x+36<0}．
(1)分别求A∩B，A∪B；
(2)已知C={x|a18.(本小题12分)
化简下面两个题：
(1)已知角α终边上一点P(−4,3)，求cs(π+α)sin(−π2−α)cs(32π−α)sin(π−α)的值；
(2)已知2x=5y=20，求2x+1y的值．
19.(本小题12分)
函数f(x)=Asin(ωx+α)(A>0,ω>0,−π2<α<π2)的最小正周期是π，且当x=π3时，f(x)取得最大值12．
(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；
(2)存在x∈[−π4,π4]，使得f(x)−m<0成立，求实数m的取值范围．
20.(本小题12分)
科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%．
(1)现有三个奖励函数模型：①f(x)=0.03x+8，②f(x)=0.8x+200，③f(x)=100lg20x+50.试分析这三个函数模型是否符合公司要求．
(2)根据(1)中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到350万元，公司的投资收益至少为多少万元？
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=4x+m⋅2x−2，x∈[−2,1]，m为实数．
(1)当m=1时，求f(x)的值域；
(2)设g(x)=2x2+1，若对任意的x1∈[−2,1]，总存在x2∈[0,1]，使得f(x1)≥g(x2)成立，求m的取值范围．
22.(本小题12分)
已知x=1是函数g(x)=ax2−3ax+2的零点，f(x)=g(x)x．
(1)求实数a的值；
(2)若方程f(|2x−1|)+k(3|2x−1|)−3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为B={x|3x−7<8−2x}={x|x<3}，
又A={x|2故选：C．
利用集合的交集运算即可得解．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵sinα<0，∴α的终边在第三、第四象限或在y轴负半轴上，
∵tanα>0，∴α的终边在第一或第三象限，
取交集可得，α的终边所在的象限是第三象限角．
故选：C．
分别由sinα<0，tanα>0求得α的终边的位置，取交集得答案．
本题考查三角函数的象限符号，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由“a+b>6”推不出“a>3且b>3”，例如a=2，b=5，
由“a>3且b>3”可以推出“a+b>6”，
所以“a+b>6”是“a>3且b>3”的必要而不充分条件．
故选：B．
根据充分条件和必要条件的定义判断即可．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：设里氏3.1级地震所散发出来的能量为I1，里氏4.3级地震所散发出来的能量为I2，
则3.1=0.6lgI1⋅⋅⋅①，4.3=0.6lgI2⋅⋅⋅②，
②−①得：1.2=0.6lgI2I1，解得：I2I1=100．
故选：C．
把两个震级代入γ=0.6lgI后，两式作差即可解决此题．
本题考查对数运算性质，考查数学运算能力，属基础题．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意，函数f(x)=cs(x+π2)|x|=−sinx|x|，其定义域为{x|x≠0}，
有f(−x)=sinx|x|=−f(x)，则f(x)为奇函数，排除A、C，
在区间(0,π)上，sinx>0，有f(x)=−sinx|x|<0，排除B．
故选：D．
根据题意，分析函数的奇偶性排除A、C，由函数值的符号排除B，综合可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及三角函数的图象性质，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由题意，α∈[−π2,π2],sinα+csα=−15，
∴csα>0，sinα<0，
(sinα+csα)2=1+2sinαcsα=125，
解得：2sinαcsα=−2425，
∴sinα−csα=− sin2α+cs2α−2sinαcsα=− 1−(−2425)=−75，
∴解得：sinα=−45csα=35，
∴tanα=sinαcsα=−43，
故选：A．
通过求出sinα，csα的值，即可得出结论．
本题考查的知识要点：同角三角函数关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：c=2−csπ3=2−12= 22,b=sinπ3= 32,c则只需比较 2, 3,lg23的大小关系，
lg23>lg2 8=lg2232=32> 2，
21.6<2 3，而35=243<28=256，
所以35<28,(35)15=3<(28)15=21.6，
所以3<21.6<2 3，所以lg23所以 2所以c故选：C．
先将a，b，c进行化简，然后通过比较 2, 3,lg23的大小关系来确定正确答案．
本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：由于f(x)是奇函数，f(−x)+f(x)=0，
即ln−x−m−x+2−n+lnx−mx+2−n=ln(−x−m−x+2−n⋅x−mx+2−n)
=ln(m2−x2(2−n)2−x2)=0,m2−x2(2−n)2−x2=1，
所以m2=(2−n)2①，由x−mx+2−n=x−mx−(n−2)>0⇔(x−m)[x−(n−2)]>0②，
可知，若m=n−2，则②的解集为{x|x≠m,m>0}与f(x)是奇函数矛盾，
所以由①得m=2−n，m+n=2，其中m>0，n>0，此时m+(n−2)=0，
②的解集满足奇函数f(x)定义域的要求．
所以1m+2n=12(1m+2n)(m+n)=12(3+nm+2mn)≥12(3+2 nm×2mn)=32+ 2，
当且仅当n= 2m，即n=4−2 2，m=2 2−2时等号成立．
故选：A．
先求得m，n的关系式，然后利用基本不等式求得正确答案．
本题主要考查了函数奇偶性的应用，还考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A，当c=0时，ac2=bc2，故A错误；
对于B，因为a>b>0，则a+b>0，a−b>0，
所以a2−b2=(a+b)(a−b)>0，即a2>b2，故B正确；
对于C，取a=−2，b=−1，满足a2=ab，故C错误；
对于D，因为a0，ab>0，
所以1a−1b=b−aab>0，即1a>1b，故D正确．
故选：BD．
利用不等式的性质，结合作差法即可得解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：对于A选项，f(x)=sin2x+csx+1=−cs2x+csx+2，
令t=csx，t∈[−1,1]，则y=−t2+t+2的开口向下，对称轴为t=12，
所以当t=12时，y取得最大值为−(12)2+12+2=94；
当t=−1时，y取得最小值为−(−1)2−1+2=0，所以f(x)的值域为[0,94]，A选项正确．
对于B选项，对于函数g(x)= 3−lg2(3−x)，
由3−x>03−lg2(3−x)≥0，得x<3lg2(3−x)≤3，解得−5≤x<3，
所以g(x)的定义域为[−5,3)，B选项错误．
对于C选项，f(x)=lnx−2x在(0,+∞)上单调递增，
f(2)=ln2−1<0,f(3)=ln3−23>0,f(2)f(3)<0，
所以函数f(x)=lnx−2x的零点所在的区间是(2,3)，C选项正确．
对于D选项，命题p：∃x∈R，使得x2−1>0，
其否定是¬p：∀x∈R，均有x2−1≤0，D选项错误．
故选：AC．
根据三角函数的值域、函数的定义域、零点存在性定理、存在量词命题的否定等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题考查三角函数的最值，函数的零点，命题的否定，函数的定义域的求法，是中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：由图可知，A=2，周期T=4×(2π3−5π12)=π，
所以ω=2ππ=2，
所以f(x)=2cs(2x+φ)，
因为函数f(x)的图象过点(2π3,−2)，
所以f(2π3)=2cs(2⋅2π3+φ)=−2，即cs(4π3+φ)=−1，
所以4π3+φ=π+2kπ，k∈Z，即φ=−π3+2kπ，k∈Z，
因为|φ|<π2，所以φ=−π3，
所以f(x)=2cs(2x−π3)，
选项A，f(π6)=2cs(2⋅π6−π3)=2，所以函数f(x)的图象关于直线x=π6对称，即选项A正确；
选项B，f(3π2)=2cs(2⋅3π2−π3)=−1≠0，所以函数f(x)的图象不关于点(3π2,0)对称，即选项B错误；
选项C，当x∈[π12,13π24]时，2x−π3∈[−π6,3π4]，
所以cs(2x−π3)∈[− 22,1]，2cs(2x−π3)∈[− 2,2]，
所以函数f(x)在[π12,13π24]的值域为[− 2,2]，即选项C正确；
选项D，将函数f(x)的图象向右平移π12个单位，得到y=2cs[2(x−π12)−π3]=2sin2x=g(x)，即选项D正确．
故选：ACD．
由图可知，A=2，T=π，由ω=2πT，可得ω的值，再将点(2π3,−2)代入f(x)的解析式中，可求出φ的值，然后结合余弦函数的图象与性质，分析选项ABC，根据函数图象的平移法则，分析选项D．
本题考查三角函数的图象与性质，理解y=Acs(ωx+φ)中A，ω，φ的几何意义，熟练掌握余弦函数的图像与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】CD
【解析】解：对于A选项，由题意得x1+lnx1=0，ex2+x2=0，
ex2+x2=0可变形为ex2+lnex2=0，
令f(x)=x+lnx，则f(x1)=f(ex2)=0，
又f(x)=x+lnx在(0,+∞)上单调递增，故ex2=x1，
由ex2+x2=0，可得x1+x2=0，故A选项错误；
对于B选项，由于f(12)=12+ln12=12−ln2=ln e−ln2<0，f(1)=1>0，
因为f(x)=x+lnx在(0,+∞)上单调递增，
由零点存在性定理得12对于C选项，由AB选项可知，x1+x2=0，由B选项得12故x1x2−1−x1+x2=(x1+1)(x2−1)=−(x1+1)2<0，
故x1x2−1对于D选项，由x1+lnx1=0，ex2=x1，得ex2+lnx1=0，D正确．
故选：CD．
A选项，ex2+x2=0可变形为ex2+lnex2=0，构造f(x)=x+lnx，由函数单调性得到ex2=x1，故x1+x2=0，lnx1+ex2=0；B选项，由函数单调递增和零点存在性定理得到B错误；C选项，由AB选项结论，作差法比较出大小；D选项，可以根据A选项得出．
本题考查函数零点与方程的根，属中档题．
13.【答案】12
【解析】解：∵幂函数f(x)=xa过点(2, 22)，
∴f(2)=2a= 22，解得a=−12，
∴f(x)=x−12，故f(4)=12．
故答案为：12．
由幂函数所过的点求f(x)解析式，进而求f(4)的函数值．
本题主要考查了幂函数解析式的求解，还考查了函数值的求解，属于基础题．
14.【答案】 154
【解析】解：由于0<α<π2，所以−π3<α−π3<π6，
而sin(α−π3)=14，所以cs(α−π3)= 1−(14)2= 154，
所以sin(5π6−α)=sin(π2+π3−α)=cs(π3−α)=cs(α−π3)= 154．
故答案为： 154．
根据诱导公式以及同角三角函数的基本关系式求得正确答案．
本题主要考查了同角基本关系及诱导公式的应用，属于中档题．
15.【答案】2π−2 3
【解析】解：由己知得：AB=BC=AC=2π3，则AB=BC=AC=2，故扇形的面积为2π3，
法1：弓形AB的面积为2π3− 34×22=2π3− 3，
可得所求面积为3(2π3− 3)+ 34×22=2π−2 3．
法2：由扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍即可得解，
所以所求面积为3×2π3−2× 34×22=2π−2 3．
故答案为：2π−2 3．
由题设可得AB=BC=AC=2，法1：求三个弓形的面积，再加上三角形的面积即可；法2：求出一个扇形的面积并乘以3，减去三角形面积的2倍即可．
本题考查扇形的面积公式、三角形的面积公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．
16.【答案】2
【解析】解：因为方程x2+2x+m2+3m=mcs(x+1)+7有且仅有1个实数根，
函数y=x2+2x+m2+3m的图象关于直线x=−1对称，y=mcs(x+1)+7的图象关于直线x=−1对称，
所以方程x2+2x+m2+3m=mcs(x+1)+7有且仅有1个实数根−1，
所以1−2+m2+3m=m+7，解得m=2或m=−4；
当m=−4时，函数y=x2+2x+4与y=−4cs(x+1)+7的图象如下图所示：
两个函数图象不止一个公共点，不符合题意，舍去；
当m−2时，函数y=x2+2x+10=(x+1)2+9≥9，y=2cs(x+1)+7≤9，
所以两个函数有唯一公共点(−1,9)，
综上，实数m的值为2．
故答案为：2．
根据二次函数、三角函数的对称性和最值进行分析，从而确定正确答案．
本题考查函数的零点与方程根的关系，转化、数形结合的数学思想方法，属中档题．
17.【答案】解：(1)由x2−13x+36<0，可得(x−4)(x−9)<0，
解得4所以B={x|4所以A∩B=(4,6)，A∪B=[3,9)；
(2)由于C⊆B，且C不是空集，
所以a≥4a+1<9，
解得4≤a<8，
即实数a的取值范围为[4,8)．
【解析】(1)解不等式求得集合B，进而求得A∩B，A∪B；
(2)根据包含关系列不等式，由此求得a的取值范围．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本运算，以及集合间的基本关系，属于基础题．
18.【答案】解：(1)角α终边上一点P(−4,3)，
所以sinα=3 (−4)2+32=35,csα=−4 (−4)2+32=−45，
所以cs(π+α)sin(−π2−α)cs(32π−α)sin(π−α)=(−csα)(−csα)(−sinα)×sinα=−cs2αsin2α=−169；
(2)由2x=5y=20，
得x=lg220,y=lg520,1x=lg202,1y=lg205，
所以2x+1y=2lg202+lg205=lg20(22×5)=1．
【解析】(1)根据三角函数的定义、诱导公式求得正确答案．
(2)利用对数运算求得正确答案．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义、诱导公式以及对数的运算性质，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
19.【答案】解：(1)f(x)的最小正周期为π，
所以ω=2ππ=2，
当x=π3时，f(x)取得最大值12，
所以A=12，
且sin(2×π3+α)=1,−π2<α<π2,π6<α+2π3<7π6，
所以α+2π3=π2,α=−π6，
所以f(x)=12sin(2x−π6)，
由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2,k∈Z，解得−π6+kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z，
所以单调递增区间为：[−π6+kπ,π3+kπ]，k∈Z；
(2)若x∈[−π4,π4]，则2x−π6∈[−2π3,π3]，
所以在区间[−π4,π4]上，当2x−π6=−π2,x=−π6时，f(x)取得最小值为−12，
依题意，存在x∈[−π4,π4]，使得f(x)所以m>−12．
【解析】(1)根据已知条件求得A，ω，α，从而求得f(x)，利用整体代入法求得f(x)的单调递增区间；
(2)通过求f(x)在区间[−π4,π4]上的最小值来求得m的取值范围．
本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式以及正弦函数的性质的综合应用，考查了函数思想，属于中档题．
20.【答案】解：(1)根据题意可知，符合公司要求的函数f(x)在[3000,9000]上单调递增，
且对任意x∈[3000,9000]，恒有f(x)⩾100，f(x)⩽x5．
①对于函数f(x)=0.03x+8，f(x)在[3000,9000]上单调递增，
当x=3000时，f(3000)=98<100，不符合题意；
②对于函数f(x)=0.8x+200，f(x)在[3000,9000]上单调递减，不符合题意；
③对于函数f(x)=100lg20x+50，f(x)在[3000,9000]上单调递增，
当x=3000时，f(3000)>100lg2020+50>100，
f(x)⩽f(9000)=100lg209000+50<100lg20160000+50=450，
而x5⩾30005=600，
所以当x∈[3000,9000]时,f(x)(2)根据题意可知，100lg20x+50⩾350，即lg20x⩾3，解得x⩾8000，
故公司的投资收益至少为8000万元．
【解析】(1)根据公司要求知函数f(x)为增函数，同时应满足f(x)≥100且f(x)≤x5，一一验证所给的函数模型即可；
(2)由100lg20x+50≥350，解不等式即可．
本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)当m=1时，f(x)=4x+2x−2，x∈[−2,1]，
令t=2x,14≤t≤2，
则y=t2+t−2在区间[14,2]上单调递增，t=14,y=−2716,t=2,y=4，
所以f(x)的值域为[−2716,4]．
(2)对于函数g(x)=2x2+1(0≤x≤1)，
1≤x2+1≤2,12≤1x2+1≤1,1≤2x2+1≤2，
所以g(x)在区间[0,1]上的值域为[1,2]，最小值为1．
对于函数f(x)=4x+m⋅2x−2(−2≤x≤1)，
令t=2x,14≤t≤2，
则y=t2+mt−2的开口向上，对称轴为t=−m2．
当−m2≤14,m≥−12时，
函数y=t2+mt−2在[14,2]上单调递增，
ymin=(14)2+14m−2=14m−3116，
要使“对任意的x1∈[−2,1]，总存在x2∈[0,1]，使得f(x1)≥g(x2)成立”，
则14m−3116≥1,m≥474．
当14<−m2<2,−4即ymin=(−m2)2−m22−2=−14m2−2<0<1，不符合题意．
当−m2≥2,m≤−4时，函数函数y=t2+mt−2在[14,2]上单调递减，
ymin=22+2m−2=2m+2，
要使“对任意的x1∈[−2,1]，总存在x2∈[0,1]，使得f(x1)≥g(x2)成立”，
则2m+2≥1,m≥−12，与m≤−4矛盾，不符合．
综上所述，m∈[474,+∞)．
【解析】(1)利用换元法来求得f(x)的值域；
(2)通过求g(x)在区间[0,1]上的最值、f(x)在区间[−2,1]上的最值，以及对m进行分类讨论来求得m的取值范围．
本题考查了指数函数、二次函数的性质，考查了转化思想，属于中档题．
22.【答案】解：(1)∵x=1是函数g(x)=ax2−3ax+2的零点
∴g(1)=a−3a+2=2−2a=0，解之得a=1；
(2)由(1)得g(x)=x2−3x+2，则f(x)=x−3+2x，
则方程f(|2x−1|)+k(3|2x−1|)−3k=0
可化为|2x−1|+2|2x−1|−3+3k|2x−1|−3k=0，
∵x≠0，∴两边同乘|2x−1|得：|2x−1|2−(3+3k)|2x−1|+3k+2=0，则此方程有三个不同的实数解．
令t=|2x−1|则t>0，则t2−(3+3k)t+3k+2=0，解之得t=1或t=3k+2，
当t=1时，|2x−1|=1，得x=1；
当t=3k+2时，|2x−1|=3k+2，则此方程有两个不同的实数解，
则0<3k+2<1，解之得−23则实数k的取值范围为(−23,−13).
【解析】(1)依据题给条件列出关于实数a的方程，解之即可求得实数a的值；
(2)先将题给方程化简整理，利用换元法转化为二次方程有二根，再利用指数函数列出关于实数k的不等式，解之即可求得实数k的取值范围．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．