2024学生版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题二　第1讲　三角函数的图象与性质7

这是一份2024学生版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题二　第1讲　三角函数的图象与性质7，共5页。

[考情分析] 1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题.2.主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下．
考点一 三角函数的运算
核心提炼
1．同角关系：sin2α＋cs2α＝1，eq \f(sin α,cs α)＝tan α
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2．诱导公式：在eq \f(kπ,2)＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
例1 (1)(2023·南宁模拟)在平面直角坐标系中，角α与β的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，它们的终边关于原点对称，且sin α＝eq \f(1,3)，则sin(α＋β)＝________.
(2)(2023·巴中模拟)勾股定理，在我国又称为“商高定理”，最早的证明是由东汉末期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，他利用了勾股圆方图，此图被称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成的大正方形图案(如图所示)，若小正方形与大正方形的面积之比为eq \f(9,17)，则“赵爽弦图”里的直角三角形中最小角的正弦值为( )
A.eq \f(2,17) B.eq \f(\r(34),34)
C.eq \f(4,17) D.eq \f(\r(17),17)
二级结论 (1)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则sin α<α(2)由(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α知，
sin α＋cs α，sin α－cs α，sin αcs α三者知一可求二．
跟踪演练1 (1)(2023·鹰潭模拟)设sin 23°＝m，则tan 67°等于( )
A．－eq \f(m,\r(1－m2)) B.eq \f(m,\r(1－m2))
C.eq \r(\f(1,m2)－m) D.eq \r(\f(1,m2)－1)
(2)已知2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＝cs(α－π)，则sin 2α＋cs 2α＝________.
考点二 三角函数的图象
核心提炼
由函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的步骤
例2 (1)(2023·海东模拟)为了得到函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的图象，只需将函数g(x)＝cs 2x的图象( )
A．向左平移eq \f(3π,8)个单位长度
B．向右平移eq \f(3π,8)个单位长度
C．向左平移eq \f(π,8)个单位长度
D．向右平移eq \f(π,8)个单位长度
(2)(多选)如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)等于( )
A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))) B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))
C．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))) D．cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2x))
规律方法 由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中参数的值
(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝eq \f(M＋m,2)，A＝eq \f(M－m,2).
(2)T定ω：由周期的求解公式T＝eq \f(2π,ω)，可得ω＝eq \f(2π,T).
(3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势．
跟踪演练2 (1)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移eq \f(π,3)个单位长度，得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的图象，则f(x)等于( )
A．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(7π,12))) B．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,12)))
C．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(7π,12))) D．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,12)))
(2)(2023·鞍山模拟)函数f(x)＝Acs(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数g(x)的图象，则geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),3) D．1
考点三 三角函数的性质
核心提炼
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
(1)单调性：由－eq \f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)可得单调递增区间，由eq \f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)可得单调递减区间．
(2)对称性：由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)可得对称轴．
(3)奇偶性：当φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；当φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．
例3 (1)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))单调递增，直线x＝eq \f(π,6)和x＝eq \f(2π,3)为函数y＝f(x)的图象的两条相邻对称轴，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,12)))等于( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),2)
(2)(多选)(2023·佛山模拟)已知函数f(x)＝3sin(2x＋φ)的初相为eq \f(π,6)，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的图象关于直线x＝－eq \f(π,3)对称
B．函数f(x)的一个单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)，－\f(π,3)))
C．若把函数f(x)的图象向右平移eq \f(π,12)个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)为偶函数
D．函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,4)))上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))
规律方法 研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，然后结合正弦函数y＝sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y＝sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t＝ωx＋φ的范围，然后由y＝sin t的性质判断各选项．
跟踪演练3 (1)(2023·广州模拟)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，0<φ<π，若f(x)≤eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))))恒成立，则f(x)的单调递增区间为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)
B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)
D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(2π,3)，kπ－\f(π,6)))(k∈Z)
(2)已知函数f(x)＝a－eq \r(3)tan 2x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，b))上的最大值为7，最小值为3，则ab的值为( )
A.eq \f(5π,12) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,6) D.eq \f(π,12)