2024学生版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题六　培优点7　隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形28

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考点一 隐圆(阿波罗尼斯圆)
核心提炼
“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(－a,0)，B(a,0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ2＋1,λ2－1)a，0))为圆心，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2aλ,λ2－1)))为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆．
例1 (多选)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“若A，B为平面上相异的两点，则所有满足：eq \f(|PA|,|PB|)＝λ(λ>0，且λ≠1)的点P的轨迹是圆，后来人们称这个圆为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，A(－2,0)，B(4,0)，动点P满足eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \f(1,2)，则下列关于动点P的结论正确的是( )
A．点P的轨迹方程为x2＋y2＋8x＝0
B．△APB面积的最大值为6
C．在x轴上必存在异于A，B的两定点M，N，使得eq \f(|PM|,|PN|)＝eq \f(1,2)
D．若点Q(－3,1)，则2|PA|＋|PQ|的最小值为5eq \r(2)
规律方法 对于动点的轨迹问题，一是利用曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线等)的定义识别动点的轨迹，二是利用直接法求出方程，通过方程识别轨迹．
跟踪演练1 (多选)在平面直角坐标系中，A(－1,0)，B(2,0)，动点C满足eq \f(|CA|,|CB|)＝eq \f(1,2)，直线l：mx－y＋m＋1＝0，则( )
A．动点C的轨迹方程为(x＋2)2＋y2＝4
B．直线l与动点C的轨迹一定相交
C．动点C到直线l距离的最大值为eq \r(2)＋1
D．若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且|PQ|＝2eq \r(2)，则m＝－1
考点二 蒙日圆
核心提炼
在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴与短半轴平方和的算术平方根，这个圆叫蒙日圆．
设P为蒙日圆上任一点，过点P作椭圆的两条切线，交椭圆于点A，B，O为原点．
性质1 PA⊥PB.
性质2 kOP·kAB＝－eq \f(b2,a2).
性质3 kOA·kPA＝－eq \f(b2,a2)，kOB·kPB＝－eq \f(b2,a2)(垂径定理的推广)．
性质4 PO平分椭圆的切点弦AB.
性质5 延长PA，PB交蒙日圆O于两点C，D，则CD∥AB.
性质6 S△AOB的最大值为eq \f(ab,2)，S△AOB的最小值为eq \f(a2b2,a2＋b2).
性质7 S△APB的最大值为eq \f(a4,a2＋b2)，S△APB的最小值为eq \f(b4,a2＋b2).
例2 (2023·合肥模拟)已知A是圆x2＋y2＝4上的一个动点，过点A作两条直线l1，l2，它们与椭圆eq \f(x2,3)＋y2＝1都只有一个公共点，且分别交圆于点M，N.
(1)若A(－2,0)，求直线l1，l2的方程；
(2)①求证：对于圆上的任意点A，都有l1⊥l2成立；
②求△AMN面积的取值范围．
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规律方法 蒙日圆在双曲线、抛物线中的推广
双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是蒙日圆：x2＋y2＝a2－b2(只有当a>b时才有蒙日圆)．
抛物线y2＝2px(p>0)的两条互相垂直的切线PA，PB交点P的轨迹是该抛物线的准线：x＝－eq \f(p,2)(可以看作半径无穷大的圆)．
跟踪演练2 定义椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的“蒙日圆”的方程为x2＋y2＝a2＋b2，已知椭圆C的长轴长为4，离心率为e＝eq \f(1,2).
(1)求椭圆C的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；
(2)过“蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆C的一条切线MA，A为切点，延长MA与“蒙日圆”E交于点D，O为坐标原点，若直线OM，OD的斜率存在，且分别设为k1，k2，证明：k1·k2为定值．
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考点三 阿基米德三角形
核心提炼
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．
性质1 阿基米德三角形底边上的中线MQ平行于抛物线的轴．
性质2 若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线．
性质3 抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹．
性质4 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点(若直线l方程为：ax＋by＋c＝0，则定点的坐标为Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)，－\f(bp,a))).
性质5 底边为a的阿基米德三角形的面积最大值为eq \f(a3,8p).
性质6 若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值为p2.
例3 (多选)(2023·南平模拟)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作抛物线的弦与抛物线交于A，B两点，M为AB的中点，分别过A，B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P.下面关于△PAB的描述正确的是( )
A．点P必在抛物线的准线上
B．AP⊥PB
C．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则△PAB的面积S的最小值为eq \f(p2,2)
D．PF⊥AB
规律方法 (1)椭圆和双曲线也具有多数上述抛物线阿基米德三角形类似性质；
(2)当阿基米德三角形的顶角为直角时，阿基米德三角形顶点的轨迹为蒙日圆．
跟踪演练3 已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上的点的距离的最小值为4.
(1)求p；
(2)若点P在圆M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．
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