2024学生版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题四　第2讲　空间点、直线、平面之间的位置关系45

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考点一 空间直线、平面位置关系的判定
核心提炼
判断空间直线、平面位置关系的常用方法
(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题．
(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断．
例1 (1)(2023·宝鸡模拟)已知α，β是空间两个不同的平面，m，n是空间两条不同的直线，则下列结论错误的是( )
A．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
B．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n
C．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
(2)(多选)(2023·金丽衢十二校联考)每个面均为正三角形的八面体称为正八面体，如图．若点G，H，M，N分别是正八面体ABCDEF的棱DE，BC，AD，BF的中点，则下列结论正确的是( )
A．四边形AECF是平行四边形
B．GH与MN是异面直线
C．GH∥平面EAB
D．GH⊥BC
规律方法 对于线面关系的存在性问题，一般先假设存在，然后再在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足，则假设成立；若得出矛盾，则假设不成立．
跟踪演练1 (1)(多选)(2023·广州模拟)已知直线m与平面α有公共点，则下列结论一定正确的是( )
A．平面α内存在直线l与直线m平行
B．平面α内存在直线l与直线m垂直
C．存在平面β与直线m和平面α都平行
D．存在过直线m的平面β与平面α垂直
(2)(多选)(2023·长春模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，O为线段B1D1的中点，则下列结论正确的是( )
A．A，M，O三点共线
B．M，O，A1，B四点不共面
C．B，B1，O，M四点共面
D．B，D1，C，M四点共面
考点二 空间平行、垂直关系
核心提炼
平行关系及垂直关系的转化
考向1 平行、垂直关系的证明
例2 (2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.
(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
(2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1－BB1C1C的高．
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规律方法 (1)证明线线平行的常用方法
①三角形的中位线定理；②平行公理；③线面平行的性质定理；④面面平行的性质定理．
(2)证明线线垂直的常用方法
①等腰三角形三线合一；②勾股定理的逆定理；③利用线面垂直的性质证线线垂直．
跟踪演练2 如图，正方形ABCD与平面BDEF交于BD，DE⊥平面ABCD，EF∥平面ABCD，且DE＝EF＝eq \f(\r(2),2)AB.
(1)求证：BF∥平面AEC；
(2)求证：DF⊥平面AEC.
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考向2 翻折问题
核心提炼
翻折问题，关键是分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变，一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决．
例3 (1)(2023·成都模拟)如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边AD，BC上的点，且AD＝3AE，BC＝3BF，设P，Q分别为线段AF，CE的中点，将四边形ABFE沿着直线EF进行翻折，使得点A不在平面CDEF上，在这一过程中，下列关系不能成立的是( )
A．AB∥CD B．AB⊥PQ
C．PQ∥ED D．PQ∥平面ADE
(2)(多选)(2023·山东名校大联考)如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折的过程中，下面四个命题中正确的是( )
A．BM的长是定值
B．点M的运动轨迹在某个圆周上
C．存在某个位置，使DE⊥A1C
D．A1不在底面BCD上时，MB∥平面A1DE
易错提醒 注意图形翻折前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系．
跟踪演练3 (2023·郑州质检)已知正方形ABCD的边长为2，现将△ACD沿对角线AC翻折，得到三棱锥D－ABC.记AC，BC，AD的中点分别为O，M，N，则下列结论错误的是( )
A．AC⊥平面BOD
B．三棱锥D－ABC体积的最大值为eq \f(2\r(2),3)
C．三棱锥D－ABC的外接球的表面积为定值
D．MN与平面BOD所成角的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))