2024学生版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题五　培优点6　概率与统计的创新题型37

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考点一 概率和数列的综合问题
例1 (2023·晋中模拟)晋中市是晋商文化的发源地，且拥有丰富的旅游资源，其中有保存完好的大院人文景观(如王家大院，常家庄园等)，也有风景秀丽的自然景观(如介休绵山，石膏山等)．某旅行团带游客来晋中旅游，游客可自由选择人文景观和自然景观中的一处游览．若每位游客选择人文景观的概率是eq \f(2,3)，选择自然景观的概率为eq \f(1,3)，游客之间选择意愿相互独立．
(1)从游客中随机选取5人，记5人中选择人文景观的人数为X，求X的均值与方差；
(2)现对游客进行问卷调查，若选择人文景观记2分，选择自然景观记1分，记已调查过的累计得分为n分的概率为Pn，求Pn.
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规律方法 概率问题与数列的交汇，综合性较强，主要有以下类型：
(1)求通项公式：关键是找出概率Pn或均值E(Xn)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)，求出通项公式．
(2)求和：主要是数列中的倒序相加法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和．
(3)利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限．
跟踪演练1 (2023·邯郸模拟)某市为了让广大市民更好地了解并传承成语文化，当地文旅局拟举办猜成语大赛．比赛共设置n道题，参加比赛的选手从第一题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完所有题目．设某选手答对每道题的概率均为p(0(1)记答题结束时答题个数为X，当n＝3时，若E(X)>1.75，求p的取值范围；
(2)①记答题结束时答对题的个数为Y，求E(Y)；
②当p＝eq \f(5,6)时，求使E(Y)>4的n的最小值．
参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477.
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考点二 概率和函数的综合问题
例2 (2023·淮北模拟)社会人口学是研究人口因素对社会结构和社会发展的影响和制约的一门社会学分支学科．其基本内容包括：人口作为社会变动的原始依据的探讨，将人口行为作为引起社会体系特征变动的若干因素中的一个因素来研究．根据社会人口学研究发现，一个家庭有ξ个孩子(仅考虑不超过3个孩子家庭)的分布列为：
其中m>0,0(1)若p＝eq \f(1,2)，求P(B)；
(2)参数p受到各种因素的影响(如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等)，通过改变参数p的值来调控未来人口结构．若希望P(ξ＝2)增大，如何调控p的值？
参考公式：P(M|N)＝eq \f(PMN,PN)，
P(M)＝eq \i\su(k＝0,n,P)(M|Nk)P(Nk)．
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规律方法 构造函数求最值时，要注意变量的选取，以及变量自身的隐含条件对变量范围的限制．
跟踪演练2 (2023·浙江金丽衢十二校联考)某公司生产一种大件产品的日产为2件，每件产品质量为一等的概率为0.5，二等的概率为0.4，若达不到一、二等，则为不合格，且生产两件产品品质结果相互独立．已知生产一件产品的利润如下表：
(1)求生产两件产品中至少有一件一等品的概率；
(2)求该公司每天所获利润ξ(万元)的均值；
(3)若该工厂要增加日产量，需引入设备及更新技术，但增加n件，其成本也将相应提升n－ln n(万元)，假如你作为工厂决策者，你觉得该厂目前该不该增产？请回答，并说明理由．
(ln 2≈0.69，ln 3≈1.1)
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________________________________________________________________________ξ
1
2
3
0
P
eq \f(m,p)
m
m(1－p)
m(1－p)2
等级
一等
二等
三等
利润(万元/每件)
0.8
0.6
－0.3