2024学生版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题一　第1讲　函数的图象与性质18

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[考情分析] 1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域与值域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题．
考点一 函数的概念与表示
核心提炼
1．复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．
2．分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．
例1 (1)(2023·南昌模拟)已知函数f(x)的定义域为(1，＋∞)，则函数F(x)＝f(2x－3)＋eq \r(3－x)的定义域为( )
A．(2,3] B．(－2,3]
C．[－2,3] D．(0,3]
(2)(2023·重庆模拟)设a>0且a≠1，若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋7，x≤2，,3＋lgax，x>2))的值域是[5，＋∞)，则a的取值范围是( )
A．[eq \r(2)，＋∞) B．(1，eq \r(2))
C．(1，eq \r(2)] D．(eq \r(2)，＋∞)
规律方法 (1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．
(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．
跟踪演练1 (1)(2023·潍坊模拟)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3，x≥10，,ffx＋4，x<10，))则f(8)等于( )
A．10 B．9 C．7 D．6
(2)(多选)设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“M函数”．下列为“M函数”的是( )
A．f(x)＝sin xcs x B．f(x)＝ln x＋ex
C．f(x)＝2x D．f(x)＝x2－2x
考点二 函数的图象
核心提炼
1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．
例2 (1)(2023·宁波十校联考)函数f(x)＝ln |x|cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x))的图象可能为( )
(2)(多选)(2023·吉安模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2－4x，x≤0，,|lg2x|，x>0，))若x1A．x1＋x2＝－4
B．x3x4＝1
C．1D．0规律方法 (1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象．
(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．
跟踪演练2 (1)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]的大致图象，则该函数是( )
A．y＝eq \f(－x3＋3x,x2＋1) B．y＝eq \f(x3－x,x2＋1)
C．y＝eq \f(2xcs x,x2＋1) D．y＝eq \f(2sin x,x2＋1)
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x，－1≤x≤0，,\r(x)，0考点三 函数的性质
核心提炼
1．函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有
f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)．
2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法．
3．函数的周期性
若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)，则函数y＝f(x)的周期为2|a|.
4．函数图象的对称中心和对称轴
(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
考向1 单调性与奇偶性
例3 (2023·泰安模拟)已知奇函数f(x)在R上是减函数，g(x)＝xf(x)，若a＝g(－lg25.1)，b＝g(3)，c＝g(20.8)，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．b考向2 奇偶性、周期性与对称性
例4 (多选)(2023·盐城统考)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f(x)为偶函数，且f(x)＋g(2－x)＝1，g(x)－f(x－4)＝3，下列说法正确的有( )
A．函数g(x)的图象关于直线x＝1对称
B．函数f(x)的图象关于点(－1，－1)对称
C．函数f(x)是以4为周期的周期函数
D．函数g(x)是以6为周期的周期函数
二级结论 (1)若f(x＋a)＝－f(x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或fx＋a＝\f(1,fx)))，其中f(x)≠0，则f(x)的周期为2|a|.
(2)若f(x)的图象关于直线x＝a和x＝b对称，则f(x)的周期为2|a－b|.
(3)若f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则f(x)的周期为4|a－b|.
跟踪演练3 (1)(2023·林芝模拟)已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2]上单调递减，且f(x＋2)为偶函数，则不等式f(x－1)>f(2x)的解集为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(5,3)))∪(6，＋∞)
B．(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，＋∞))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，1))
D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(5,3)))
(2)(多选)已知函数f(x)，g(x)的定义域为R，g′(x)为g(x)的导函数，g(x)为偶函数且f(x)＋g′(x)＝2，f(x)－g′(4－x)＝2，则下列结论正确的是( )
A．g′(x)为奇函数
B．f(2)＝2
C．g′(2)＝2
D．f(2 022)＝2