2024学生版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题一　第3讲　导数的几何意义及函数的单调性16

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考点一 导数的几何意义与计算
核心提炼
1．导数的几何意义
(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率．
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．
(3)切点既在切线上，又在曲线上．
2．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′ x＝y′u·u′x.
例1 (1)(2023·全国甲卷)曲线y＝eq \f(ex,x＋1)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(e,2)))处的切线方程为( )
A．y＝eq \f(e,4)x B．y＝eq \f(e,2)x
C．y＝eq \f(e,4)x＋eq \f(e,4) D．y＝eq \f(e,2)x＋eq \f(3e,4)
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是__________________．
易错提醒 求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．
跟踪演练1 (1)(2023·湖北省七市(州)联考)已知m>0，n>0，直线y＝eq \f(1,e)x＋m＋1与曲线y＝ln x－n＋2相切，则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值是( )
A．16 B．12 C．8 D．4
(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________________，__________.
考点二 利用导数研究函数的单调性
核心提炼
利用导数研究函数单调性的步骤
(1)求函数y＝f(x)的定义域．
(2)求f(x)的导数f′(x)．
(3)求出f′(x)的零点，划分单调区间．
(4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号．
例2 (2023·武汉华中师大一附中模拟)已知函数f(x)＝(x－2)ex－eq \f(a,2)x2＋ax，a∈R.
(1)当a＝0时，求f(x)在x＝0处的切线方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
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规律方法 (1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制；
(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，根据根的大小进行分类讨论；
(3)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．
跟踪演练2 (2023·北京模拟)已知函数f(x)＝eq \f(ln x－ln t,x－t).
(1)当t＝2时，求f(x)在x＝1处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间．
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考点三 单调性的简单应用
核心提炼
1．函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在x∈D上恒成立．
2．函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f′(x)>0(或f′(x)<0)在x∈D上有解．
例3 (1)(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为( )
A．e2 B．e
C．e－1 D．e－2
(2)(2023·洛阳模拟)已知函数f(x)＝e|x|－x2，若a＝f(ln 4)，b＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln \f(1,e2)))，c＝f(21.1)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
规律方法 利用导数比较大小或解不等式的策略
利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或解不等式的问题，转化为利用导数研究函数单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．
跟踪演练3 (1)(2023·山西统考)若对于∀x1，x2∈(－∞，m)，且x11，则m的最大值是( )
A．2e B．e
C．0 D．－1
(2)(2023·咸阳模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝ex－cs x，则不等式f(x－1)－1