2024学生版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题一　第4讲　函数的极值、最值25

这是一份2024学生版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题一　第4讲　函数的极值、最值25，共3页。

考点一 利用导数研究函数的极值
核心提炼
判断函数的极值点，主要有两点
(1)导函数f′(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点．
(2)利用函数f(x)的单调性可得函数的极值点．
例1 (2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋a))ln(1＋x)．
(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))关于直线x＝b对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由；
(3)若f(x)在(0，＋∞)上存在极值，求a的取值范围．
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
易错提醒 (1)不能忽略函数的定义域．
(2)f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，即f′(x)的变号零点才是f(x)的极值点，所以判断f(x)的极值点时，除了找f′(x)＝0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性．
(3)函数的极小值不一定比极大值小．
跟踪演练1 (多选)(2023·临沂模拟)已知函数f(x)＝2ex－ax2＋2存在两个极值点x1，x2(x1A．0B．0C．若x2＝2x1，则a＝2ln 2
D．ln x1＋x2>0
考点二 利用导数研究函数的最值
核心提炼
1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值．
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)．
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
2．若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．
例2 (1)(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋eq \f(b,x)取得最大值－2，则f′(2)等于( )
A．－1 B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D．1
(2)(2023·抚州模拟)已知函数f(x)＝ex－2x，g(x)＝－x，且f(x1)＝g(x2)，则x1－x2的最小值为( )
A．1 B．e C．1－ln 2 D．2－ln 2
易错提醒 (1)求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论．
(2)求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性和极值情况，画出函数图象，借助图象得到函数的最值．
跟踪演练2 (1)(2023·葫芦岛模拟)函数f(x)＝cs x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0,2π]上的最大值为( )
A．－eq \f(π,2) B．2 C．－eq \f(3π,2) D.eq \f(π,2)＋2
(2)(2023·宝鸡模拟)函数f(x)＝x2＋(a－1)x－3ln x在(1,2)上有最小值，则实数a的取值范围为________．
考点三 极值、最值的简单应用
例3 (2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝ax2－2x＋ln x有两个不同的极值点x1，x2，若不等式f(x1)＋f(x2)≤t恒成立，则实数t的最小值为________．
易错提醒 方程、不等式恒成立，有解问题都可用分离参数法．分离参数时，等式或不等式两边符号变化以及除数不能等于0，易忽视．
跟踪演练3 (多选)(2023·福州模拟)已知函数f(x)＝eq \f(cs x,x2＋1)，以下结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．x＝0是f(x)的极值点
C．f(x)的最小值为－eq \f(1,π2＋1)
D．f(x)的最大值为1