初中数学人教版八年级下册第十六章 二次根式16.1 二次根式单元测试精练

这是一份初中数学人教版八年级下册第十六章 二次根式16.1 二次根式单元测试精练，共17页。试卷主要包含了善于思考的小明进行了以下探索等内容，欢迎下载使用。
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋•朝阳区校级期末）要使二次根式5x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x=25B．x≠25C．x≥25D．x≤25
2．（2022秋•二道区校级期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．25B．26C．27D．28
3．（2022秋•宜宾期末）下列运算正确的是（ ）
A．5−3=2B．2+2=4C．8+2=32D．(23)2=43
4．（2022秋•上城区校级期中）实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣a+|b﹣a|+c2的结果是（ ）
A．﹣b﹣cB．c﹣bC．2a﹣2b+2cD．2a+b+c
5．（2022秋•武侯区校级期中）已知x=1+5，则代数式x2﹣2x﹣6的值是（ ）
A．−25−8B．﹣10C．﹣2D．25
6．（2022春•保山期末）若2、5、n为三角形的三边长，则化简(3−n)2+(8−n)2的结果为（ ）
A．5B．2n﹣10C．2n﹣6D．10
7．（2022春•遵义期中）当x＝﹣3时，m2x2+5x+7的值为5，则m等于（ ）
A．2B．22C．55D．5
8．（2021秋•思明区校级期末）若a＝2021×2022﹣20212，b＝1013×1008﹣1012×1007，c=20192+2020+2021，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜aB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a
9．（2021秋•双牌县期末）先阅读下面例题的解答过程，然后作答．
例题：化简8+215．
解：先观察8+215，
由于8＝5+3，即8＝（5）2+（3）2，
且15＝5×3，即215=2×5×3，
则有8+215=(5+3)2=5+3．
试用上述例题的方法化简：15+414=（ ）
A．2+13B．2+11C．1+14D．7+22
10．（2022春•辛集市期末）已知T1=1+112+122=94=32，T2=1+122+132=4936=76，T3=1+132+142=(1312)2=1312，…Tn=1+1n2+1(n+1)2，其中n为正整数．设Sn＝T1+T2+T3+…+Tn，则S2021值是（ ）
A．202120212022B．202220212022
C．202112021D．202212021
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2021秋•阳城县期末）化简820的结果是 ．
12．（2022春•聊城期末）若2x+11−x=2x+11−x，则x的取值范围为 ．
13．（2022秋•海淀区校级期末）已知m＝2+3，n＝2−3，则m2+n2−3mn的值为 ．
14．（2022秋•漳州期中）已知16−x2−4−x2=22，则16−x2+4−x2= ．
15．（2022秋•南安市期中）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+(a−b)2−|b|的结果是 ．
16．（2022秋•浦东新区期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在底面为长方形（长为21cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图中两块阴影部分的周长和是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2021秋•毕节市期末）计算：
（1）18+|1−2|﹣412+68÷22；
（2）（32+3）（32−3）﹣（1−5）2．
18．（2022秋•济南期中）已知实数a，b，c满足：|a+3|+c−2=b−5+5−b．
（1）a＝ ；b＝ ；c＝ ；
（2）求﹣b﹣3a+2c的平方根．
19．（2022春•庐阳区校级月考）已知x=2−3，y=2+3，求下列代数式的值：
（1）x2﹣y2；
（2）x2﹣xy+y2．
20．（2022秋•锦江区校级月考）（1）若m﹣2=n−3+3−n，求nm的值；
（2）已知有理数a，b，c在数轴上对应位置如图所示：
①用“＜”或“＞”填空：a+c 0，b﹣c 0；
②化简：|a+c|−(b−c)2+3(b+c)3．
21．（2022春•定远县期末）在学习了算术平方根和二次根式等内容后，我们知道以下的结论：
结论①：若实数a≥0时，(a)2=a；结论②：对于任意实数a，a2=|a|．
请根据上面的结论，对下列问题进行探索：
（1）若m＜2，化简：(m+3)2+|m﹣3|．
（2）若a2=4，|b|＝8，且ab＞0，求a+b的值．
（3）若A=(m−2)2+|1﹣m|有意义，化简A．
22．（2022秋•二道区校级期末）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如35，23，45+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：35=3×55×5=355；23=2×33×3=63；45+1=4(5−1)(5+1)(5−1)=5−1．
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简：13= ；25= ．
（2）填空：5+6的倒数为 ．
（3）化简：(13+1+15+3+17+5+⋯⋯+12n+1+2n−1)×(2n+1+1)．
23．（2022秋•邯山区期末）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如3+22=（1+2）2.善于思考的小明进行了以下探索：设a+b2=（m+n2）2（其中a，b，m，n均为整数），则有a+b2=m2+2n2+2mn2．故a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把类似a+b2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b3=（m+n3）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： + 3=（ + 3）2；
（3）若a+43=（m+n3）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
第16章二次根式单元测试（培优压轴卷，八下人教）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋•朝阳区校级期末）要使二次根式5x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x=25B．x≠25C．x≥25D．x≤25
【分析】根据二次根式有意义的条件可得5x﹣2≥0，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得：5x﹣2≥0，
解得：x≥25，
故选：C．
2．（2022秋•二道区校级期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．25B．26C．27D．28
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；依次进行判断即可．
【详解】解：A、25=5，不符合题意；
B、26是最简二次根式，符合题意；
C、27=33，不符合题意；
D.28=27，不符合题意．
故选：B．
3．（2022秋•宜宾期末）下列运算正确的是（ ）
A．5−3=2B．2+2=4C．8+2=32D．(23)2=43
【分析】根据二次根式的加减运算以及乘法运算即可求出答案．
【详解】解：A、5与−3不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意．
B、原式＝22，故B不符合题意．
C、原式＝22+2=32，故C符合题意．
D、原式＝12，故D不符合题意．
故选：C．
4．（2022秋•上城区校级期中）实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简﹣a+|b﹣a|+c2的结果是（ ）
A．﹣b﹣cB．c﹣bC．2a﹣2b+2cD．2a+b+c
【分析】根据数轴，确定a、b、c的正负，确定b﹣a的正负，然后再化简．
【详解】解：由数轴知：c＜0，b＜0＜a，
∴b﹣a＜0，
∴原式＝﹣a﹣（b﹣a）﹣c
＝﹣a﹣b+a﹣c
＝﹣b﹣c．
故选：A．
5．（2022秋•武侯区校级期中）已知x=1+5，则代数式x2﹣2x﹣6的值是（ ）
A．−25−8B．﹣10C．﹣2D．25
【分析】求出x﹣1=5，再根据完全平方公式进行变形得出x2﹣2x﹣6＝（x﹣1）2﹣7，再代入求出答案即可．
【详解】解：∵x=1+5，
∴x﹣1=5，
∴x2﹣2x﹣6
＝（x﹣1）2﹣7
＝（5）2﹣7
＝5﹣7
＝﹣2，
故选：C．
6．（2022春•保山期末）若2、5、n为三角形的三边长，则化简(3−n)2+(8−n)2的结果为（ ）
A．5B．2n﹣10C．2n﹣6D．10
【分析】先确定n的取值范围，再化简二次根式得结论．
【详解】解：∵2、5、n为三角形的三边长，
∴3＜n＜7．
∴(3−n)2+(8−n)2
＝|3﹣n|+|8﹣n|
＝n﹣3+8﹣n
＝5．
故选：A．
7．（2022春•遵义期中）当x＝﹣3时，m2x2+5x+7的值为5，则m等于（ ）
A．2B．22C．55D．5
【分析】把x＝﹣3代入解答即可．
【详解】解：当x＝﹣3时，
原式＝m18−15+7
＝m10，
∵m10=5，
∴m=22，
故选：B．
8．（2021秋•思明区校级期末）若a＝2021×2022﹣20212，b＝1013×1008﹣1012×1007，c=20192+2020+2021，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜aB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a
【分析】先化简各式，然后再进行比较即可．
【详解】解：a＝2021×2022﹣20212
＝2021×（2022﹣2021）
＝2021×1
＝2021；
b＝1013×1008﹣1012×1007
＝（1012+1）（1007+1）﹣1012×1007
＝1012×1007+1012+1007+1﹣1012×1007
＝1012+1007+1
＝2020；
c=20192+2020+2021
=(2020−1)2+2020+2021
=20202−2×2020+1+2020+2021
=20202+2；
∴2020＜20202+2＜2021，
∴b＜c＜a，
故选：D．
9．（2021秋•双牌县期末）先阅读下面例题的解答过程，然后作答．
例题：化简8+215．
解：先观察8+215，
由于8＝5+3，即8＝（5）2+（3）2，
且15＝5×3，即215=2×5×3，
则有8+215=(5+3)2=5+3．
试用上述例题的方法化简：15+414=（ ）
A．2+13B．2+11C．1+14D．7+22
【分析】先把被开方数拆项，化为完全平方的形式，再根据二次根式的性质化简．
【详解】解：15+414=(7)2+414+(22)2=(7+22)2=7+22；
故选：D．
10．（2022春•辛集市期末）已知T1=1+112+122=94=32，T2=1+122+132=4936=76，T3=1+132+142=(1312)2=1312，…Tn=1+1n2+1(n+1)2，其中n为正整数．设Sn＝T1+T2+T3+…+Tn，则S2021值是（ ）
A．202120212022B．202220212022
C．202112021D．202212021
【分析】将T1、T2、T3…T2021的结果写成下列的形式，T1＝1+（1−12），T2＝1+（12−13），T3＝1+（13−14），……T2021＝1+（12021−12022），进而根据规律求解即可．
【详解】解：由T1、T2、T3…的规律可得，
T1=32=1+（1−12），
T2=76=1+（12−13），
T3=1312=1+（13−14），
……
T2021=2021×2022+12021×2022=1+（12021−12022），
所以S2021＝T1+T2+T3+…+T2021
＝1+（1−12）+1+（12−13）+1+（13−14）+…+1+（12021−12022）
＝（1+1+1+…+1）+（1−12+12−13+13−14+⋯+12021−12022）
＝2021+（1−12022）
＝2021+20212022
＝202120212022，
故选：A．
二．填空题（共6小题）
11．（2021秋•阳城县期末）化简820的结果是 105 ．
【分析】原式利用二次根式除法法则计算即可求出值．
【详解】解：原式=820=25=105，
故答案为：105
12．（2022春•聊城期末）若2x+11−x=2x+11−x，则x的取值范围为 −12≤x＜1 ．
【分析】根据商的算术平方根的性质即可得到结果．
【详解】解：∵2x+11−x=2x+11−x，
∴2x+1≥01−x＞0，
解得：−12≤x＜1，
故答案为：−12≤x＜1．
13．（2022秋•海淀区校级期末）已知m＝2+3，n＝2−3，则m2+n2−3mn的值为 11 ．
【分析】先根据二次根式的加法法则和乘法法则求出m+n和mn的值，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出答案即可．
【详解】解：∵m＝2+3，n＝2−3，
∴m+n＝（2+3）+（2−3）＝4，mn＝（2+3）×(2−3)=1，
∴m2+n2−3mn
=(m+n)2−5mn
=42−5×1
=11，
故答案为：11．
14．（2022秋•漳州期中）已知16−x2−4−x2=22，则16−x2+4−x2= 32 ．
【分析】利用平方差公式得到（16−x2−4−x2）•（16−x2+4−x2）＝12，然后利用16−x2−4−x2=22可计算出16−x2+4−x2的值．
【详解】解：∵（16−x2−4−x2）•（16−x2+4−x2）＝16﹣x2﹣（4﹣x2）＝12，
而16−x2−4−x2=22，
∴22×（16−x2+4−x2）＝12，
∴16−x2+4−x2=32．
故答案为：32．
15．（2022秋•南安市期中）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+(a−b)2−|b|的结果是 ﹣2a ．
【分析】直接利用数轴结合a，b的位置得出a＜0，a﹣b＜0，b＞0，进而化简得出答案．
【详解】解：由数轴可得：a＜0，a﹣b＜0，b＞0，
故|a|+(a−b)2−|b|
＝﹣a+（b﹣a）﹣b
＝﹣a+b﹣a﹣b
＝﹣2a．
故答案为：﹣2a．
16．（2022秋•浦东新区期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在底面为长方形（长为21cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图中两块阴影部分的周长和是 16cm ．
【分析】设小长方形的长和宽分别为acm，bcm，大长方形的长和宽分别为mcm，ncm，由题意可得：m+b＝4，n+a＝4，即可求解．
【详解】解：设小长方形的长和宽分别为acm，bcm，大长方形的长和宽分别为mcm，ncm，
由题意可得：m+b＝4，n+a＝4，
∴两块阴影部分的周长和＝2（a+b）+2（m+n）＝16cm，
故答案为：16cm．
三．解答题（共7小题）
17．（2021秋•毕节市期末）计算：
（1）18+|1−2|﹣412+68÷22；
（2）（32+3）（32−3）﹣（1−5）2．
【分析】（1）化简二次根式，绝对值，然后先算乘除，再算加减；
（2）利用完全平方公式和平方差公式先计算乘方和乘法，然后去括号，再算加减．
【详解】解：（1）原式＝32+2−1﹣4×22+34
＝32+2−1﹣22+6
＝22+5；
（2）原式＝（32）2﹣（3）2﹣（1﹣25+5）
＝18﹣3﹣6+25
＝9+25．
18．（2022秋•济南期中）已知实数a，b，c满足：|a+3|+c−2=b−5+5−b．
（1）a＝ ﹣3 ；b＝ 5 ；c＝ 2 ；
（2）求﹣b﹣3a+2c的平方根．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求得b＝5，再根据绝对值以及算术平方根的非负性求得a与c．
（2）将（1）中a、b与c的值代入，再求得﹣b﹣3a+2c的平方根．
【详解】解：（1）由题意得，b﹣5≥0，5﹣b≥0．
∴b＝5．
∴|a+3|+c−2=0．
∵|a+3|≥0，c−2≥0，
∴a+3＝0，c﹣2＝0．
∴a＝﹣3，c＝2．
故答案为：﹣3；5；2．
（2）由（1）得，a＝﹣3，b＝5，c＝2．
∴﹣b﹣3a+2c＝﹣5+9+4＝8．
∴﹣b﹣3a+2c的平方根是±8=±22．
19．（2022春•庐阳区校级月考）已知x=2−3，y=2+3，求下列代数式的值：
（1）x2﹣y2；
（2）x2﹣xy+y2．
【分析】（1）利用平方差公式展开，将x、y的值代入计算即可求出值；
（2）利用完全平方公式变形，将x+y与xy的值代入计算即可求出值．
【详解】解：（1）∵x=2−3，y=2+3，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
=(2−3+2+3)(2−3−2−3)
=4×(−23)
=−83；
（2）∵x=2−3，y=2+3，
∴x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy
=(2−3+2+3)2−3(2−3)(2+3)
＝16﹣3＝13．
20．（2022秋•锦江区校级月考）（1）若m﹣2=n−3+3−n，求nm的值；
（2）已知有理数a，b，c在数轴上对应位置如图所示：
①用“＜”或“＞”填空：a+c ＜ 0，b﹣c ＞ 0；
②化简：|a+c|−(b−c)2+3(b+c)3．
【分析】（1）利用二次根式有意义的条件得到n﹣3≥0且3﹣n≥0，则n＝3，所以m﹣2＝0，则m＝2，然后利用乘方的意义计算nm；
（2）①利用数轴表示数的方法进行判断；
②根据二次根式的性质和立方根的定义得到原式|＝|a+c|﹣|b﹣c|+b+c，再利用①中的结论去绝对值，然后取括号合并即可．
【详解】解：（1）根据题意得n﹣3≥0且3﹣n≥0，
解得n＝3，
∴m﹣2＝0，
解得m＝2，
∴nm＝32＝9；
（2）①a+c＜0，b﹣c＞0；
故答案为：＜，＞；
②|a+c|−(b−c)2+3(b+c)3=|a+c|﹣|b﹣c|+b+c
＝﹣（a+c）﹣（b﹣c）+b+c
＝﹣a﹣c﹣b+c+b+c
＝﹣a+c．
21．（2022春•定远县期末）在学习了算术平方根和二次根式等内容后，我们知道以下的结论：
结论①：若实数a≥0时，(a)2=a；结论②：对于任意实数a，a2=|a|．
请根据上面的结论，对下列问题进行探索：
（1）若m＜2，化简：(m+3)2+|m﹣3|．
（2）若a2=4，|b|＝8，且ab＞0，求a+b的值．
（3）若A=(m−2)2+|1﹣m|有意义，化简A．
【分析】（1）先根据二次根式的性质和绝对值进行计算，再算加减即可；
（2）先根据二次根式的性质和绝对值求出a、b的值，再求出a+b的值即可；
（3）根据二次根式的性质得出m﹣2≥0，求出m≥2，再进行化简即可．
【详解】解：（1）分为两种情况：①当m≤﹣3时，
(m+3)2+|m﹣3|．
＝|m+3|+|m﹣3|
＝﹣m﹣3﹣m+3
＝﹣2m，
②当﹣3＜m＜2时，
(m+3)2+|m﹣3|
＝|m+3|+|m﹣3|
＝m+3+3﹣m
＝6；
（2）∵a2=4，
∴|a|＝4，
∴a＝±4，
∵|b|＝8，
∴b＝±8，
∵ab＞0，
∴a＝4，b＝8或a＝﹣4，b＝﹣8，
当a＝4，b＝8时，则a+b＝4+8＝12，
当a＝﹣4，b＝﹣8时，则a+b＝﹣4﹣8＝﹣12，
∴a+b＝±12；
（3）∵A=(m−2)2+|1−m|有意义，
∴m﹣2≥0，
∴m≥2，
∴1﹣m＜0，
∴A＝m﹣2+m﹣1
＝2m﹣3．
22．（2022秋•二道区校级期末）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如35，23，45+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：35=3×55×5=355；23=2×33×3=63；45+1=4(5−1)(5+1)(5−1)=5−1．
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简：13= 33 ；25= 105 ．
（2）填空：5+6的倒数为 6−5 ．
（3）化简：(13+1+15+3+17+5+⋯⋯+12n+1+2n−1)×(2n+1+1)．
【分析】（1）根据题目的定义化简即可；
（2）根据倒数的定义即可求解；
（3）首先把每个代数式分母有理化，然后合并即可求解．
【详解】解：（1）13=33×3=33；25=2×55×5=105；
（2）∵（5+6）（6−5）＝6﹣5＝1，
∴5+6的倒数为 6−5；
故答案为：（1）33；105；（2）6−5；
（3）原式=12（3−1+5−3++2n+1−2n−1）×（2n+1+1）
=12（2n+1−1）×（2n+1+1）
=12（2n+1﹣1）
＝n．
23．（2022秋•邯山区期末）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如3+22=（1+2）2.善于思考的小明进行了以下探索：设a+b2=（m+n2）2（其中a，b，m，n均为整数），则有a+b2=m2+2n2+2mn2．故a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把类似a+b2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a，b，m，n均为正整数时，若a+b3=（m+n3）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： 28 + 16 3=（ 4 + 2 3）2；
（3）若a+43=（m+n3）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
【分析】（1）先根据完全平方公式展开，再得出a、b的值即可；
（2）设a+3=（m+3）2，根据完全平方公式求出（m+3）2＝m2+3+2m3，得出2m＝1，a＝m2+3，再求出答案即可；
（3）根据完全平方公式求出（m+n3）2＝m2+3n2+2mn3，求出2mn＝4，a＝m2+3n2，求出mn＝2，根据m、n为正整数得出m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，再求出a即可．
【详解】解：（1）∵（m+n3）2＝m2+3n2+2mn3，
又∵a+b3=（m+n3）2，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn，
故答案为：m2+3n2，2mn；
（2）设a+b3=（m+n3）2，
∵（m+n3）2＝m2+3n2+2mn3，
∴2mn＝b，a＝m2+3n2，
取n＝2，m＝4，则b＝16，a＝16+12＝28，
故答案为：28，16，4，2；
（3）（m+n3）2＝m2+3n2+2mn3，
∵a+43=（m+n3）2，
∴2mn＝4，a＝m2+3n2，
∴mn＝2，
∵m、n都为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，
当m＝2，n＝1时，a＝22+3×12＝4+3＝7；
当m＝1，n＝2时，a＝12+3×22＝1+12＝13，
所以a的值是7或13．