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初中数学17.1 勾股定理课时作业
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这是一份初中数学17.1 勾股定理课时作业，共38页。试卷主要包含了5C．4D．7，其中正确的是________．等内容，欢迎下载使用。
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题
1．（2022春·江苏无锡·八年级校考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=24，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（ ）
A．13B．10C．15D．9
2．（2022春·四川成都·八年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列三个结论：①x2+y2=25；②x−y=1；③xy=12；④x+y=40．其中正确的是( )
A．①②③B．①②C．①③D．②③
3．（2021秋·广东潮州·八年级统考期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab=6，则图中大正方形的边长为（ ）
A．5B．13C．4D．3
4．（2022秋·河南信阳·八年级统考期中）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6,BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．52B．68C．72D．76
5．（2022春·山东济南·八年级统考期中）图1是第七届国际数学教育大会(ICME−7)的会徽，主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成，其中OA1=A1A2=A2A3=……=An−1An=1，若OA5⋅OAn的值是整数，且1≤n≤100，则符合条件的n有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2022春·陕西宝鸡·八年级统考期中）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为（ ）
A．8B．9C．10D．11
7．（2022秋·江西·八年级校考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则EF的长为（ ）
A．9B．92C．32D．3
8．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（ ）
A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD
C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE
D．S四边形AECD＝S四边形DEBC
9．（2022春·浙江衢州·八年级校联考期中）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点P，如图所示，若正方形ABCD的面积为28，AE+EB=7，则S△CFP−S△AEP的值是（ ）
A．3B．3.5C．4D．7
10．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期中）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC:BC=4:3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4:3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（ ）
A．225B．250C．275D．300
二、填空题
11．（2022春·陕西西安·八年级西安市曲江第一中学校考期中）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．下图是3世纪我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．此图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则a+b2的值是____________．
12．（2022秋·山东济宁·八年级统考期中）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个全等的直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重处，无缝隙）．若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a，b，则a+b2=________．
13．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期中）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连接CG．若AE＝2BE＝25cm，则线段CG＝_____cm．
14．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为2，图3中阴影部分的面积为S，那么S的值为______．
15．（2022春·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）如图，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE为四个全等的直角三角形，BD与CH、EG、AF分别交于点M、O、N，且满足DN=DC，则两个阴影部分的面积和与四边形ABCD面积的比值为___________．
16．（2022春·福建宁德·八年级统考期中）我国古代数学家赵爽在注解《周牌算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形．如图，若拼成的大正方形为正方形ABCD，面积为9，中间的小正方形为正方形EFGH，面积为2，连结AC，交BG于点P，交DE于点M，①△CGP≌△AEM，②S△AFP−S△CGP=12，③DH+HC=4，④HC=2+22，以上说法正确的是______．（填写序号）
17．（2022春·江苏泰州·八年级校考期中）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周碑算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”． 图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成． 记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3．若S1+S2+S3=24，则正方形EFGH的边长为___________．
18．（2022春·福建三明·八年级统考期中）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图，如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，下列四个说法：①a2+b2=49,②a−b=4,③2ab+4=49,④a+b=9.其中正确的是________．
19．（2022秋·北京·八年级101中学校考期中）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，设AB＝2，则图中阴影部分面积为__________．
20．（2021春·辽宁锦州·八年级统考期中）如图，正方形ABCD的边长为1，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，按照此规律继续下去，则S2021的值为______．
三、解答题
21．（2023春·江苏南京·八年级统考期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图1所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．
(1)请利用这个图形证明勾股定理；
(2)图2所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个Rt△ABC绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转90°得到的，如果中间小正方形的面积为1cm2，这个图形的总面积为113cm2，AD=2cm，则徽标的外围周长为________cm．
22．（2022春·江苏·八年级统考期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1的“弦图”（史称“赵爽弦图”） ．
(1)弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；
(2)如图2，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廊（粗线）的周长为24，OC=3，求该“勾股风车”图案的面积；
(3)如图3，将八个全等的直角三角形（外围四个和内部四个）紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+2S2+S3=20，则S2= ．
23．（2019秋·广西河池·八年级统考期中）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC=b，BC=a，∠ACB=90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求(a+b)2的值．
24．（2022春·江苏·八年级统考期中）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成如图2所示的“赵爽弦图”，得到大小两个正方形．
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长；
(2)已知图2中小正方形面积为36，求大正方形的面积？
25．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．
请你观察下列三组勾股数：(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)…分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
当勾为3时，股4=12×(9−1)，弦5=12×(9+1)；
当勾为5时，股12=12×(25−1)，弦13=12×(25+1)；
当勾为7时，股24=12×(49−1)，弦25=12×(49+1)．
(1)如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝ ，弦＝ ，则据此规律第四组勾股数是 ．
(2)若a=m2−1,b=2m,c=m2+1，其中m>1且m是整数．求证：以a,b,c为边的△ABC是直角三角形．
26．（2022春·福建宁德·八年级统考期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．
(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示： ；
(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足AE=BC=a，DE=AC=b，AD=AB=c，∠AED=∠ACB=90°，求证（1）中的定理结论；
(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE=m，HG=n，求正方形BDFA的面积．（用m，n表示）
27．（2022春·江西抚州·八年级统考期中）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题：
(1)如图①是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理；
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，求CD的长度；
(3)如图①，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求a+b2的值．
28．（2022春·福建泉州·八年级泉州七中校考期中）我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，即如果一个直角三角形的内条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a2+b2=c2．
(1)直接填空：如图①，若a=3，b=4，则c=__________；
(2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明a2+b2=c2．
(3)如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8，BC=10，利用上面的结论求EF的长？
29．（2022秋·广西河池·八年级统考期中）我国三国时期数学家赵爽在《周髀算经》中利用了“弦图”．如图，由4个全等的直角三角形(RtΔAFB≅RtΔBGC ≅RtΔCHD≅RtΔDEA)和与一个小正方形EFGH恰好拼成一个大正方形ABCD，每个直角三角形的两条直角边分别为a，ba(1)根据题意，写出下列数量关系（用a，b表示）：
AE=BF=CG=DH= ，AF=BG=CH=DE= ， EF=FG=GH=HE= ；
(2)现假设你未知勾股定理，请证明：a2+b2=c2．
30．（2022秋·山东潍坊·八年级统考期中）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．
(1)请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程；
探索研究：
(2)小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
问题解决：
(3)如图2，若a=6，b=8，此时空白部分的面积为__________；
(4)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC=3，求该风车状图案的面积．
专题17.6勾股定理与弦图问题专项提升训练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题
1．（2022春·江苏无锡·八年级校考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=24，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（ ）
A．13B．10C．15D．9
【答案】D
【分析】根据小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，求得小正方形的面积，再计算其算术平方根即可．
【详解】因为小正方形的面积=129−12ab×4=129−48=81，
所以小正方形的边长为81=9，
故选D．
【点睛】本题考查了弦图的计算，熟练掌握图形的面积分割法计算，会求算术平方根是解题的关键．
2．（2022春·四川成都·八年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列三个结论：①x2+y2=25；②x−y=1；③xy=12；④x+y=40．其中正确的是( )
A．①②③B．①②C．①③D．②③
【答案】A
【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可．
【详解】解：∵△ABC为直角三角形，
∴根据勾股定理得：x2＋y2=AB2=25，故①正确；
由图可知，x−y=EF，即为小正方形的边长，
∵正方形EFGH的面积为1
∴EF=1，
∴x−y=1，故②正确；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
即4×12×xy+1=25，
∴xy=12，故③正确．
∵x+y2=x2+y2+2xy=25+24=49，x,y>0
∴x+y=7，
故④不正确，
∴正确结论有①②③．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．
3．（2021秋·广东潮州·八年级统考期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab=6，则图中大正方形的边长为（ ）
A．5B．13C．4D．3
【答案】B
【分析】根据大正方形面积等于4个三角形面积与小正方形面积和即可求解．
【详解】解：∵直角三角形的两直角边分别为a、b且ab=6，
∴S△=12ab=12×6=3，
大正方形的面积为：4S△+小正方形面积=4×3＋1＝13，
所以大正方形的边长为13．
故选B．
【点睛】本题考查勾股弦图的应用，算术平方根，掌握勾股弦图的应用，算术平方根是解题关键．
4．（2022秋·河南信阳·八年级统考期中）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6,BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．52B．68C．72D．76
【答案】D
【分析】先根据勾股定理求出BD的长度，然后利用外围周长=4×(BD+AD)即可求解．
【详解】
由题意可知CD=2AC=12
∵∠BCD=90°,BC=5
∴BD=CD2+BC2=122+52=13
∴风车的外围周长是4×(BD+AD)=4×(13+6)=76
故选：D．
【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
5．（2022春·山东济南·八年级统考期中）图1是第七届国际数学教育大会(ICME−7)的会徽，主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成，其中OA1=A1A2=A2A3=……=An−1An=1，若OA5⋅OAn的值是整数，且1≤n≤100，则符合条件的n有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据勾股定理分别计算OA2、OA3、OA4、OA5，…即可得出OAn，再根据OA5⋅OAn的值是整数，且1≤n≤100，得5⋅n=5n，从而解决问题．
【详解】解：由勾股定理得，OA2=12+12=2，
OA3=12+(2)2=3，
OA4=12+(3)2=4，
OA5=5，
…
OAn=n，
∵OA5⋅OAn的值是整数，且1≤n≤100，
∴5⋅n=5n，
∴n=5或20或45或80，
∴符合条件的n有4个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查勾股定理，图形的变化类，解答本题的关键是找到规律得出OAn的值．
6．（2022春·陕西宝鸡·八年级统考期中）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【分析】根据正方形面积公式，由面积的和差关系可得8个直角三角形的面积，进一步得到1个直角三角形的面积，再由面积的和差关系可得正方形EFGH的面积，进一步求出正方形EFGH的边长．
【详解】解：一个直角三角形的面积：（14×14−2×2）÷8
＝（196−4）÷8
＝192÷8
＝24，
正方形EFGH的面积为：24×4＋2×2
＝96＋4
＝100，
∴正方形EFGH的边长为10．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，关键是熟练掌握正方形面积公式，以及面积的和差关系，难点是得到正方形EFGH的面积．
7．（2022秋·江西·八年级校考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则EF的长为（ ）
A．9B．92C．32D．3
【答案】C
【分析】首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为：a-b；接下来根据ab=8，大正方形的面积为25求出小正方形的边长，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b，
∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8=4，
从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，
∴4×12ab+(a−b)2=25，
∴(a−b)2=25−16=9，
∴a-b=3，
∴EF=32+32=32．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
8．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（ ）
A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD
C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE
D．S四边形AECD＝S四边形DEBC
【答案】B
【分析】利用梯形面积等于3个三角形面积之和解答即可．
【详解】解：由题意可得：S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明依据．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．
9．（2022春·浙江衢州·八年级校联考期中）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点P，如图所示，若正方形ABCD的面积为28，AE+EB=7，则S△CFP−S△AEP的值是（ ）
A．3B．3.5C．4D．7
【答案】B
【分析】先证明△AEP≅△CGMASA，则S△AEP=S△CGM，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设AE=x，BE=7−x，根据勾股定理得：AE2+BE2=AB2，x2+7−x2=28，则2x2−14x=−21，整体代入计算即可；
【详解】∵正方形ABCD的面积为28，
∴AB2=28，
设AE=x，
∵AE+EB=7，
∴BE=7−x，
Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+BE2=AB2，
∴x2+7−x2=28，
∴2x2−14x=−21，
∵AH⊥BE，BE⊥CF，
∴AH∥CF，
∴∠EAP=∠GCM，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，
∴△AEB≅△CGD，
∴AE=CG，
∴△AEP≅△CGMASA，
∴S△AEP=S△CGM，EP=MG，
∴S△CFP−S△AEP=S△CFP−S△CGM=S梯形FPMG=12MG+PF·FG=12EF·FG=12S正方形EHGF，
∵S矩形EHGF=S正方形ABCD−4S△AEB=28−4×12x7−x=28−2x7−x=28−21=7，
则S△CFP−S△AEP的值是3.5；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了“赵爽弦图”，多边形面积，勾股定理等知识点，首先要求学生正确理解题意，然后利用勾股定理和三角形全等的性质解题．
10．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期中）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC:BC=4:3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4:3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（ ）
A．225B．250C．275D．300
【答案】D
【分析】根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，
∴设AC=4x，则BC=3x，
根据勾股定理得，AB=AC2+BC2=(4x)2+(3x)2=5x，
∵3x+4x+5x=12，
∴x=1，
∴AB=5，BC=3，AC=4，
∴图①中正方形面积和为：32+42+52=25+25=2×25=50，
图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：
32+42+32+42+52=25+25+25=25+50，
图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：
32+42+32+42+32+42+52=25+25+25+25=2×25+50
⋯
∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为25n+50，
∴10次操作后的图形中所有正方形的面积和为：25×10+50=300，故D正确．
故答案为：25n+50．
【点睛】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题
11．（2022春·陕西西安·八年级西安市曲江第一中学校考期中）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．下图是3世纪我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．此图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则a+b2的值是____________．
【答案】49
【分析】根据题意和图形，可以得到a2+b2=c2，c2=25，a−b2=1然后变形即可得到ab的值，再将(a+b)2展开，将a2 + b2和ab的值代入计算即可．
【详解】解：由图可得，
a2+b2=c2，c2=25，
∴a2+b2=25，
∵小正方形的面积是1，
∴a−b2=1，
∴a2−2ab+b2=1，
∴ab=12，
∴(a+b)2 =a2+2ab+b2
=a2+b2+2ab
=25+2×12
= 25+ 24
=49；
故答案为：49．
【点睛】本题考查勾股定理、完全平方公式，解答本题的关键是求出ab的值，利用数形结合的思想解答．
12．（2022秋·山东济宁·八年级统考期中）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个全等的直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重处，无缝隙）．若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a，b，则a+b2=________．
【答案】25
【分析】由菱形的性质可得四边形ABCD是正方形，可得AD2=13=a2+b2，中间空白处的四边形EFGH也是正方形，可得（b-a）2=1，求出2ab=12，即可求解．
【详解】解：由题意得：四边形ABCD和四边形EFGH是正方形，
∵正方形ABCD的面积为13，
∴AD2=13=a2+b2①，
∵中间空白处的四边形EFGH的面积为1，
∴（b-a）2=1，
∴a2-2ab+b2=1②，
①-②得：2ab=12，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=13+12=25，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，完全平方公式等知识，掌握菱形的性质，求出2ab=12是解题的关键．
13．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期中）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连接CG．若AE＝2BE＝25cm，则线段CG＝_____cm．
【答案】52
【分析】过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于N．根据全等三角形的性质得到BE＝AN＝CM＝DF＝5，AE＝BM＝CF＝DN＝25，根据正方形的性质得到∠EFH＝∠TFG＝45°，∠NFE＝∠DFG＝45°，根据勾股定理即可得到答案．
【详解】解：如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于N．
∵BE＝AN＝CM＝DF＝5，AE＝BM＝CF＝DN＝25，
∴EN＝EM＝MF＝FN＝5，
∵四边形ENFM是正方形，
∴∠EFH＝∠TFG＝45°，∠NFE＝∠DFG＝45°，
∵GT⊥TF，DF⊥DG，
∴∠TGF＝∠TFG＝∠DFG＝∠DGF＝45°，
∴TG＝FT＝DF＝DG＝5，
∴CT＝35，
∴CG＝(35)2+(5)2=52，
故答案为：52．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
14．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为2，图3中阴影部分的面积为S，那么S的值为______．
【答案】21
【分析】阴影部分由四个全等的三角形和一个小正方形组成，分别求三角形和小正方形面积即可．
【详解】由题意作出如下图，阴影部分由四个与△ABD全等的三角形和一个边长为BD的正方形组成
由题意得：AB=CD=2，BC=5，BD=BC−CD=3
∴S△ABD=12AB⋅BD=12×3×2=3，
S小正方形=BD2=32=9
∴S=4S△ABD+S小正方形=4×3+9=21
故答案为：21．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，根据正方形的面积公式和三角形形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键．
15．（2022春·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）如图，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE为四个全等的直角三角形，BD与CH、EG、AF分别交于点M、O、N，且满足DN=DC，则两个阴影部分的面积和与四边形ABCD面积的比值为___________．
【答案】1−22
【分析】设AE=BF=a，AF=DE=b，先证明Rt△ADE≌Rt△NDEHL，得出AE=NE=a，然后根据等积法求出a=2−1b，再分别求阴影部分的面积和四边形ABCD面积，最后求出比值即可．
【详解】解：∵△ABF、△BCG、△CDH、△DAE为四个全等的直角三角形，
∴AD=CD=BC=AB，∠AED=90°=∠DEN，四边形ABCD是正方形，AE=BF=CG=DH，AF=BE，
又DN=DC，
∴AD=DN，
又DE=DE，
∴Rt△ADE≌Rt△NDEHL，
∴AE=NE，
设AE=BF=a，AF=DE=b，
则NE=a，
∴S△ABD=S△ABN+S△ADN=12AN⋅BF+12AN⋅DE=12×2a⋅a+12×2a⋅b=a2+ab，
在Rt△ABF中，AB2=AF2+BF2=a2+b2，
∴S△ABD=12AB2=12a2+b2，
∴12a2+b2=a2+ab，
∴a2+2ab=b2，
∴a2+2ab+b2=2b2，即a+b2=2b2，
∴a=2−1b或a=−2+1b（不符合题意，舍去），
∴S阴影=2×12AN⋅BF=2×12×2a⋅a=2a2=22−12b2，
S四边形ABCD=a2+b2=2−12b2+b2=4−22b2，
∴两个阴影部分的面积和与四边形ABCD面积的比值为22−12b24−22b2=22−12b2222−1b2=2−12=1−22．
故答案为：1−22．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质等知识，根据等积法求出a=2−1b是解题的关键．
16．（2022春·福建宁德·八年级统考期中）我国古代数学家赵爽在注解《周牌算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形．如图，若拼成的大正方形为正方形ABCD，面积为9，中间的小正方形为正方形EFGH，面积为2，连结AC，交BG于点P，交DE于点M，①△CGP≌△AEM，②S△AFP−S△CGP=12，③DH+HC=4，④HC=2+22，以上说法正确的是______．（填写序号）
【答案】①③④
【分析】根据正方形得性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质和梯形面积的计算逐项判断即可．
【详解】解：∵四边形EFGH为正方形，
∴∠AEM=∠HEF=∠FGH=∠CGP=90°，EM∥PF，AF∥CH，AD=BC，
∴∠EAM=∠GCP，
由题意得，Rt△AED≅Rt△CGB，
∴AE=CG，
在△AEM和△CGP中，
∠AEM=∠CGPAE=CG∠EAM=∠GCP，
∴△CGP≌△AEM ASA，故①正确；
由①得S△AEM=S△CGP，EM=PG，
∴S△AFP−S△CGP=S△AFP−S△AEM
=S梯形FPME=12(EM+PF)·EF
=12(PG+PF)·EF=12FG·EF
=12S正方形EFGH
∵S正方形EFGH=2，
∴S△AFP−S△CGP=1，故②错误；
用x，y表示直角三角形的两条边(x∵大正方形面积为9，小正方形面积为2，
∴x2+y2=9，(y−x)2=2，
∴直角三角形的面积和为4×12xy=2xy=9−2=7，
于是得到(x+y)2=x2+y2+2xy=9+7=16，
解得x+y=4；
即DH+HC=4，故③正确；
∵CG=DH，HG=2，
∴DH+CH=2DH+HG=2DH+2=4，
∴DH=4−22=2−22，
∴CH=CG+HG=DH+HG=2−22+2=2+22．
故④正确，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了正方形得性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质和梯形面积的计算，解决此题的关键是熟练地运用这些性质和读懂题目意思并把图形联系起来．
17．（2022春·江苏泰州·八年级校考期中）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周碑算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”． 图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成． 记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3．若S1+S2+S3=24，则正方形EFGH的边长为___________．
【答案】22
【分析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解．
【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a>b，
由题意可知：
S1=(a+b)2，S2=a2+b2，S3=(a−b)2，
因为S1+S2+S3=24，即
(a+b)2+a2+b2+(a−b)2=24，
3(a2+b2)=24，
所以3S2=24，
S2的值是8．
所以正方形EFGH的边长为8=22．
故答案为：22．
【点睛】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积．
18．（2022春·福建三明·八年级统考期中）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图，如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，下列四个说法：①a2+b2=49,②a−b=4,③2ab+4=49,④a+b=9.其中正确的是________．
【答案】①③##③①
【分析】分别求出小正方形及大正方形的边长，然后根据面积关系得出a与b的关系式，依次判断所给关系式即可．
【详解】解∶由题意可得小正方形的边长=2，大正方形的边长=7，故可得a−b=2，即②错误；
a2+b2等于大正方形斜边的平方=大正方形的面积=49，即①正确；
小正方形的面积+四个直角三角形的面积等于大正方形的面积，即可得2ab+4=49，即③正确；
根据③可得2ab=45，故可得(a+b)2=a2+b2+45=94，从而可得a+b=94，即④错误．
综上可得①③正确，
故答案为∶①③
【点睛】本题考查了勾股定理及直角三角形的知识，根据所给图形，利用面积关系判断a与b的关系是解答本题的关键．
19．（2022秋·北京·八年级101中学校考期中）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，设AB＝2，则图中阴影部分面积为__________．
【答案】8+43##43+8
【详解】解：如图，
设AC＝x，则BC＝AD＝2+x，
∵∠ADC＝30°，
∴AC=12AD
∴AD=3AC，
∴2+x=3x，
∴x=3+1，
∴AC=3+1，
∵将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，DE=AC=3+1
∴图中阴影部分面积＝4×12AC2＝4×12×3+12＝8+43
故答案为8+43．
【点睛】本题考查旋转角的定义以及直角三角形的性质，本题关键在于用AB表示出AC的长度
20．（2021春·辽宁锦州·八年级统考期中）如图，正方形ABCD的边长为1，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，按照此规律继续下去，则S2021的值为______．
【答案】122020##(12)2020
【分析】根据题意求出面积标记为S2的正方形边长，得到S2，同理求出S3，根据规律解答．
【详解】解：∵正方形ABCD的边长为1，
∴面积标记为S2的正方形边长为22，
则S2=（22）2=12=121，
面积标记为S3的正方形边长为22×22=12，
则S3=（12）2=14=122，
……，
则S2021的值为：122020，
故答案为：122020．
【点睛】本题考查的是勾股定理、正方形的性质，根据勾股定理求出等腰直角三角形的边长是解题的关键．
三、解答题
21．（2023春·江苏南京·八年级统考期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图1所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．
(1)请利用这个图形证明勾股定理；
(2)图2所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个Rt△ABC绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转90°得到的，如果中间小正方形的面积为1cm2，这个图形的总面积为113cm2，AD=2cm，则徽标的外围周长为________cm．
【答案】(1)见解析
(2)52
【分析】（1）从整体和部分分别表示正方形的面积即可证明；
（2）设Rt△ABC的较长直角边为a，短直角边为b，斜边为c，则有a−b=3，4×12ab+1=113，利于整体思想可求出斜边c的长，从而解决问题．
【详解】（1）证明：∵正方形的边长为c，
∴正方形的面积等于c2，
∵正方形的面积还可以看成是由4个直角三角形与1个边长为a−b的小正方形组成的，
∴正方形的面积为：4×12ab+a−b2=a2+b2，
∴c2=a2+b2；
（2）解：设Rt△ABC的较长直角边为a，短直角边为b，斜边为c，
根据题意得，a−b=3，4×12ab+1=113，
又∵c2=a2+b2
=a−b2+2ab
=32+112
=121
∴c=11cm，
故徽标的外围周长为：4×11+2=52cm．
故答案为：52．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，完全平方公式等知识，运用整体思想求出斜边c的长，是解题的关键．
22．（2022春·江苏·八年级统考期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1的“弦图”（史称“赵爽弦图”） ．
(1)弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；
(2)如图2，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廊（粗线）的周长为24，OC=3，求该“勾股风车”图案的面积；
(3)如图3，将八个全等的直角三角形（外围四个和内部四个）紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+2S2+S3=20，则S2= ．
【答案】(1)证明见详解
(2)“勾股风车”图案的面积为24
(3)5
【分析】（1）根据图形可知S大正方形=4S△ABC+S小正方形，由此即可求解；
（2）已知图形的周长，可求出直角三角形的斜边长，已知OC=3，则可求出直角三角形的两条直角边，由此即可求出“勾股风车”图案的面积；
（3）八个全等的直角三角形，且图形的面积是由三角形和正方形组成，S1+2S2+S3=20，设直角三角形的两条直角边分别为m，n，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：由图①可知S大正方形=4S△ABC+S小正方形，
∵S大正方形=c2，S△ABC=12ab，S小正方形=(a−b)2，
∴c2=4×12ab+(a−b)2=2ab+a2−2ab+b2，
即c2=a2+b2．
（2）解：四个全等的直角三角形，外围轮廊（粗线）的周长为24，OC=3，设AC=x，
∴4AB+4AC=24，即4AB+4x=24，
∴AB=6−x，
在Rt△OAB中，AB2=OB2+OA2，OB=OC=3，OA=OC+AC=3+x，
∴(6−x)2=32+(3+x)2，解方程得，x=1，即AC=1，
∴OA=3+1=4，OB=3，
∴S△OAB=12×3×4=6，
∴“勾股风车”图案的面积是6×4=24．
（3）解：设AE=m，AH=n，
∴S1=4×12mn+m2+n2，S2=m2+n2，S3=(n−m)2=n2−2mn+m2，
∴S1+2S2+S3=2mn+m2+n2+2m2+2n2+m2−2mn+n2=4m2+4n2=4S2=20，
∴S2=5．
【点睛】本题主要考查勾股定理，理解直角三角形三边关系是解题的关键．
23．（2019秋·广西河池·八年级统考期中）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC=b，BC=a，∠ACB=90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求(a+b)2的值．
【答案】(a+b)2=79
【分析】根据正方形的面积公式和三角形的面积公式即可求出(b−a)2=5，2ab=37，然后根据完全平方公式的变形即可求出结论．
【详解】解：小正方形面积=(b−a)2=5
4个小直角三角形的面积=4×12ab =42−5
∴2ab=37
∴(a+b)2 =(b−a)2+4ab =5+2×37 =79
【点睛】此题考查的是全等三角形的性质和完全平方公式的变形，掌握全等三角形的性质、正方形的面积公式、三角形的面积公式和完全平方公式的变形是解决此题的关键．
24．（2022春·江苏·八年级统考期中）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成如图2所示的“赵爽弦图”，得到大小两个正方形．
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长；
(2)已知图2中小正方形面积为36，求大正方形的面积？
【答案】(1)a+3
(2)90
【分析】（1）用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边即可；
（2）先根据小正方形的面积求出a的值，再根据正方形的面积＝边长的平方求解即可．
【详解】（1）解：∵直角三角形较短的直角边=12×2a=a，
较长的直角边=2a+3，
∴小正方形的边长=2a+3−a=a+3；
（2）解：小正方形的面积=(a+3)2=36，
∴a+3=6或a+3=−6，
∴a=3，或a=−9（舍去），
∴2a+3=9，
∴大正方形的面积=92+32=90．
【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算，整式的加减，利用平方根的定义解方程，数形结合是解题的关键．
25．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．
请你观察下列三组勾股数：(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)…分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
当勾为3时，股4=12×(9−1)，弦5=12×(9+1)；
当勾为5时，股12=12×(25−1)，弦13=12×(25+1)；
当勾为7时，股24=12×(49−1)，弦25=12×(49+1)．
(1)如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝ ，弦＝ ，则据此规律第四组勾股数是 ．
(2)若a=m2−1,b=2m,c=m2+1，其中m>1且m是整数．求证：以a,b,c为边的△ABC是直角三角形．
【答案】(1)12(n2−1)，12(n2+1)，(9,40,41)
(2)见解析
【分析】（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股=12(n2−1)，弦=12(n2+1)；当n=9时，即可求出第四组勾股数；
（2）根据勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形进行解答即可．
【详解】（1）解：如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股=12(n2−1)，弦=12(n2+1)；
当n=9时，12(n2−1)=12×(92−1)=40，12(n2+1)=12×(92+1)=41；
∴第四组勾股数是(9,40,41)．
故答案为：12(n2−1)，12(n2+1)，(9,40,41)；
（2）证明：∵a=m2−1,b=2m,c=m2+1，其中m>1且m是整数，
∴(m2−1)2+(2m)2=m4−2m2+1+4m2=m4+2m2+1=(m2+1)2，
∴a2+b2=c2，
∴以a,b,c为边的△ABC是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、完全平方式的应用等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题关键．
26．（2022春·福建宁德·八年级统考期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．
(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示： ；
(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足AE=BC=a，DE=AC=b，AD=AB=c，∠AED=∠ACB=90°，求证（1）中的定理结论；
(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE=m，HG=n，求正方形BDFA的面积．（用m，n表示）
【答案】(1)c2=a2+b2
(2)见解析
(3)m2+n22
【分析】（1）由大正方形的面积的两种表示列出等式，可求解；
（2）由四边形ABCD的面积两种计算方式列出等式，即可求解；
（3）分别求出a，b，由勾股定理可求解．
【详解】（1）解：∵大正方形的面积=c2，大正方形的面积=4×12×a×b+b−a2，
∴c2=4×12×a×b+b−a2，
∴c2=a2+b2，
故答案为：c2=a2+b2；
（2）证明：如图：连接BD，
∵Rt△ABC≌Rt△DAE，
∴∠ADE=∠BAC，
∴∠DAE+∠ADE=90°=∠DAE+∠BAC，
∴∠DAB=90°，
∵S四边形ABCD=12c2+12ab−a， S四边形ABCD=2×12ab+12bb−a，
∴12c2+12ab−a=2×12ab+12bb−a，
∴c2=a2+b2；
（3）解：由题意可得：CE=CD+DE，GH=AG−AH，
∴m=a+b，n=b−a，
∴a=m−n2，b=m+n2，
∴BD2=BC2+CD2=a2+b2=m2+n22，
∴正方形BDFA的面积为m2+n22．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
27．（2022春·江西抚州·八年级统考期中）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题：
(1)如图①是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理；
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，求CD的长度；
(3)如图①，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求a+b2的值．
【答案】(1)见解析
(2)CD=125
(3)25
【分析】（1）分别用两种方法求出大正方形的面积，根据面积相等列等式，即可证明；
（2）先根据勾股定理求出AB，再根据等面积法即可求解；
（3）根据（1）的结果，可得c2=a2+b2=13，b−a2=a2+b2−2ab=1，即有a2+b2−a2+b2−2ab=2ab=13−1=12，则问题得解．
【详解】（1）∵S大正方形=c2，S小正方形=b−a2，4个直角三角形的面积为：S=4×12ab=2ab，
又∵S大正方形=S小正方形+S，
∴c2=2ab+b−a2=2ab+b2−2ab+a2=a2+b2，
即c2=a2+b2；
（2）由勾股定理得：BC2+AC2=AB2，AC=4，BC=3，
∴32+42=AB2，
∴AB=5，
∵S△ABC=12×AC×BC=6，
又∵S△ABC=12×AB×CD，
∴12×AB×CD=12×AC×BC=6，
∵AB=5，
∴CD=6×2AB=125；
（3）根据（1）有：S大正方形=c2，S小正方形=b−a2，c2=a2+b2，
又∵S大正方形=c2=13，S小正方形=b−a2=1，
∴c2=a2+b2=13，b−a2=a2+b2−2ab=1，
∴a2+b2−a2+b2−2ab=2ab=13−1=12，
∴a+b2=a2+b2+2ab=13+12=25，
即值为25．
【点睛】本题考查了勾股定理的验证，勾股定理以及完全平方公式的知识，理解并灵活运用等面积法是解答本题的关键．
28．（2022春·福建泉州·八年级泉州七中校考期中）我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，即如果一个直角三角形的内条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a2+b2=c2．
(1)直接填空：如图①，若a=3，b=4，则c=__________；
(2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明a2+b2=c2．
(3)如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8，BC=10，利用上面的结论求EF的长？
【答案】(1)5
(2)见解析
(3)EF=5
【分析】（1）直接根据直角三角形三条边的关系进行计算即可；
（2）根据梯形面积等于三个三角形的面积和推导即可；
（3）根据折叠的性质得出DE=EF,AD=AF=10,然后根据直角三角形三边关系得出BF=AF2−AB2=102−82=6，进而得出CF=4，设DE=EF=x，则CE=8−x，在Rt△EFC中，EF2=FC2+EC2，列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵a2+b2=c2，
∴c=a2+b2=32+42=5，
故答案为：5；
（2）根据题意得：12(a+b)×(a+b)=12ab+12ab+12c2，
则12(a2+2ab+b2)=ab+12c2，
∴12a2+ab+12b2=ab+12c2，
∴12a2+12b2=12c2，
∴a2+b2=c2；
（3）∵折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
∴DE=EF,AD=AF=10,
∴BF=AF2−AB2=102−82=6,
∴CF=4,
设DE=EF=x，则CE=8−x，
在Rt△EFC中，EF2=FC2+EC2，
即x2=42+(8−x)2，
解得x=5，
∴EF=5．
【点睛】本题考查了直角三角形的三边关系－勾股定理，以及勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
29．（2022秋·广西河池·八年级统考期中）我国三国时期数学家赵爽在《周髀算经》中利用了“弦图”．如图，由4个全等的直角三角形(RtΔAFB≅RtΔBGC ≅RtΔCHD≅RtΔDEA)和与一个小正方形EFGH恰好拼成一个大正方形ABCD，每个直角三角形的两条直角边分别为a，ba(1)根据题意，写出下列数量关系（用a，b表示）：
AE=BF=CG=DH= ，AF=BG=CH=DE= ， EF=FG=GH=HE= ；
(2)现假设你未知勾股定理，请证明：a2+b2=c2．
【答案】(1)a，b；b−a
(2)见解析
【分析】（1）根据题意可直接得出答案；
（2）根据S正方形EFGH+SRtΔAFB+SRtΔBGC+SRtΔCHD+SRtΔDEA=S正方形ABCD列式整理即可得出a2+b2=c2．
（1）
解：由题意得：AE=BF=CG=DH=a，AF=BG=CH=DE=b，EF=FG=GH=HE=b−a，
故答案为：a，b，b−a；
（2）
由题意得：S正方形EFGH+SRtΔAFB+SRtΔBGC+SRtΔCHD+SRtΔDEA=S正方形ABCD，
∴b−a2+4×12×ab=c2，
∴a2−2ab+b2+2ab=c2，
∴a2+b2=c2．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算，利用图形面积得出等式是解题的关键．
30．（2022秋·山东潍坊·八年级统考期中）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．
(1)请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程；
探索研究：
(2)小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
问题解决：
(3)如图2，若a=6，b=8，此时空白部分的面积为__________；
(4)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC=3，求该风车状图案的面积．
【答案】(1)见详解；
(2)见详解；
(3)52；
(4)24．
【分析】（1）运用等面积法S大正方形=S小正方形+4S△计算即可；
（2）连接大正方形一条对角线，运用等面积法S梯形ACDE=2S△+S△BDE化简计算即可；
（3）先用勾股定理计算出c，再利用S空白=S大正方形−2S△计算面积即可；
（4）将风车周长表示出来C风车=4(c+b−a)=24，其中a=OC=3，得到b、c的等量关系，再结合勾股定理求解出b，最后计算面积即可．
【详解】（1）证明：由图可知，每个直角三角形的面积为S△=12ab，
空白小正方形的面积为S小正方形=(b−a)2，
整个围成的大正方形的面积为S大正方形=c2，
∵S大正方形=S小正方形+4S△，即c2=(b−a)2+4⋅12ab=b2+a2−2ab+2ab=b2+a2，
故c2=b2+a2；
（2）如下图所示，连接大正方形一条对角线DE
可知S梯形ACDE=2S△+S△BDE ，
其中，S梯形ACDE=12(a+b)(a+b)，S△BDE=12c2，S△=12ab，
代入可得，12(a+b)2=2⋅12ab+12c2，
即a2+b2=c2；
（3）由图2可知，S空白=S大正方形−2S△，
∵a=6，b=8，
∴c=62+82=10，
则S大正方形=c2=100，
∴S空白=c2−2⋅12ab=100−6⋅8=52，
故空白部分的面积为52；
（4）由题意可知，风车的周长为C风车=4(c+b−a)=24 ，
其中OC=a=3，代入上式可得c+b=9，则c=9-b，
且a2+b2=c2，即c2−b2=a2=9，将c=9-b代入得，
(9−b)2−b2=9，解得b=4，
则S风车=4⋅12ab=4⋅12⋅3⋅4=24．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键．
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题
1．（2022春·江苏无锡·八年级校考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=24，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（ ）
A．13B．10C．15D．9
2．（2022春·四川成都·八年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列三个结论：①x2+y2=25；②x−y=1；③xy=12；④x+y=40．其中正确的是( )
A．①②③B．①②C．①③D．②③
3．（2021秋·广东潮州·八年级统考期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab=6，则图中大正方形的边长为（ ）
A．5B．13C．4D．3
4．（2022秋·河南信阳·八年级统考期中）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6,BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．52B．68C．72D．76
5．（2022春·山东济南·八年级统考期中）图1是第七届国际数学教育大会(ICME−7)的会徽，主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成，其中OA1=A1A2=A2A3=……=An−1An=1，若OA5⋅OAn的值是整数，且1≤n≤100，则符合条件的n有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（2022春·陕西宝鸡·八年级统考期中）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为（ ）
A．8B．9C．10D．11
7．（2022秋·江西·八年级校考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则EF的长为（ ）
A．9B．92C．32D．3
8．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（ ）
A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD
C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE
D．S四边形AECD＝S四边形DEBC
9．（2022春·浙江衢州·八年级校联考期中）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点P，如图所示，若正方形ABCD的面积为28，AE+EB=7，则S△CFP−S△AEP的值是（ ）
A．3B．3.5C．4D．7
10．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期中）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC:BC=4:3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4:3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（ ）
A．225B．250C．275D．300
二、填空题
11．（2022春·陕西西安·八年级西安市曲江第一中学校考期中）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．下图是3世纪我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．此图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则a+b2的值是____________．
12．（2022秋·山东济宁·八年级统考期中）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个全等的直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重处，无缝隙）．若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a，b，则a+b2=________．
13．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期中）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连接CG．若AE＝2BE＝25cm，则线段CG＝_____cm．
14．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为2，图3中阴影部分的面积为S，那么S的值为______．
15．（2022春·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）如图，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE为四个全等的直角三角形，BD与CH、EG、AF分别交于点M、O、N，且满足DN=DC，则两个阴影部分的面积和与四边形ABCD面积的比值为___________．
16．（2022春·福建宁德·八年级统考期中）我国古代数学家赵爽在注解《周牌算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形．如图，若拼成的大正方形为正方形ABCD，面积为9，中间的小正方形为正方形EFGH，面积为2，连结AC，交BG于点P，交DE于点M，①△CGP≌△AEM，②S△AFP−S△CGP=12，③DH+HC=4，④HC=2+22，以上说法正确的是______．（填写序号）
17．（2022春·江苏泰州·八年级校考期中）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周碑算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”． 图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成． 记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3．若S1+S2+S3=24，则正方形EFGH的边长为___________．
18．（2022春·福建三明·八年级统考期中）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图，如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，下列四个说法：①a2+b2=49,②a−b=4,③2ab+4=49,④a+b=9.其中正确的是________．
19．（2022秋·北京·八年级101中学校考期中）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，设AB＝2，则图中阴影部分面积为__________．
20．（2021春·辽宁锦州·八年级统考期中）如图，正方形ABCD的边长为1，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，按照此规律继续下去，则S2021的值为______．
三、解答题
21．（2023春·江苏南京·八年级统考期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图1所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．
(1)请利用这个图形证明勾股定理；
(2)图2所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个Rt△ABC绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转90°得到的，如果中间小正方形的面积为1cm2，这个图形的总面积为113cm2，AD=2cm，则徽标的外围周长为________cm．
22．（2022春·江苏·八年级统考期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1的“弦图”（史称“赵爽弦图”） ．
(1)弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；
(2)如图2，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廊（粗线）的周长为24，OC=3，求该“勾股风车”图案的面积；
(3)如图3，将八个全等的直角三角形（外围四个和内部四个）紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+2S2+S3=20，则S2= ．
23．（2019秋·广西河池·八年级统考期中）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC=b，BC=a，∠ACB=90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求(a+b)2的值．
24．（2022春·江苏·八年级统考期中）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成如图2所示的“赵爽弦图”，得到大小两个正方形．
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长；
(2)已知图2中小正方形面积为36，求大正方形的面积？
25．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．
请你观察下列三组勾股数：(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)…分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
当勾为3时，股4=12×(9−1)，弦5=12×(9+1)；
当勾为5时，股12=12×(25−1)，弦13=12×(25+1)；
当勾为7时，股24=12×(49−1)，弦25=12×(49+1)．
(1)如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝ ，弦＝ ，则据此规律第四组勾股数是 ．
(2)若a=m2−1,b=2m,c=m2+1，其中m>1且m是整数．求证：以a,b,c为边的△ABC是直角三角形．
26．（2022春·福建宁德·八年级统考期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．
(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示： ；
(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足AE=BC=a，DE=AC=b，AD=AB=c，∠AED=∠ACB=90°，求证（1）中的定理结论；
(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE=m，HG=n，求正方形BDFA的面积．（用m，n表示）
27．（2022春·江西抚州·八年级统考期中）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题：
(1)如图①是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理；
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，求CD的长度；
(3)如图①，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求a+b2的值．
28．（2022春·福建泉州·八年级泉州七中校考期中）我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，即如果一个直角三角形的内条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a2+b2=c2．
(1)直接填空：如图①，若a=3，b=4，则c=__________；
(2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明a2+b2=c2．
(3)如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8，BC=10，利用上面的结论求EF的长？
29．（2022秋·广西河池·八年级统考期中）我国三国时期数学家赵爽在《周髀算经》中利用了“弦图”．如图，由4个全等的直角三角形(RtΔAFB≅RtΔBGC ≅RtΔCHD≅RtΔDEA)和与一个小正方形EFGH恰好拼成一个大正方形ABCD，每个直角三角形的两条直角边分别为a，ba
AE=BF=CG=DH= ，AF=BG=CH=DE= ， EF=FG=GH=HE= ；
(2)现假设你未知勾股定理，请证明：a2+b2=c2．
30．（2022秋·山东潍坊·八年级统考期中）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．
(1)请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程；
探索研究：
(2)小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
问题解决：
(3)如图2，若a=6，b=8，此时空白部分的面积为__________；
(4)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC=3，求该风车状图案的面积．
专题17.6勾股定理与弦图问题专项提升训练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单选题
1．（2022春·江苏无锡·八年级校考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=24，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（ ）
A．13B．10C．15D．9
【答案】D
【分析】根据小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，求得小正方形的面积，再计算其算术平方根即可．
【详解】因为小正方形的面积=129−12ab×4=129−48=81，
所以小正方形的边长为81=9，
故选D．
【点睛】本题考查了弦图的计算，熟练掌握图形的面积分割法计算，会求算术平方根是解题的关键．
2．（2022春·四川成都·八年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正方形ABCD的面积为25，正方形EFGH的面积为1，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列三个结论：①x2+y2=25；②x−y=1；③xy=12；④x+y=40．其中正确的是( )
A．①②③B．①②C．①③D．②③
【答案】A
【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可．
【详解】解：∵△ABC为直角三角形，
∴根据勾股定理得：x2＋y2=AB2=25，故①正确；
由图可知，x−y=EF，即为小正方形的边长，
∵正方形EFGH的面积为1
∴EF=1，
∴x−y=1，故②正确；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
即4×12×xy+1=25，
∴xy=12，故③正确．
∵x+y2=x2+y2+2xy=25+24=49，x,y>0
∴x+y=7，
故④不正确，
∴正确结论有①②③．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．
3．（2021秋·广东潮州·八年级统考期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab=6，则图中大正方形的边长为（ ）
A．5B．13C．4D．3
【答案】B
【分析】根据大正方形面积等于4个三角形面积与小正方形面积和即可求解．
【详解】解：∵直角三角形的两直角边分别为a、b且ab=6，
∴S△=12ab=12×6=3，
大正方形的面积为：4S△+小正方形面积=4×3＋1＝13，
所以大正方形的边长为13．
故选B．
【点睛】本题考查勾股弦图的应用，算术平方根，掌握勾股弦图的应用，算术平方根是解题关键．
4．（2022秋·河南信阳·八年级统考期中）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6,BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．52B．68C．72D．76
【答案】D
【分析】先根据勾股定理求出BD的长度，然后利用外围周长=4×(BD+AD)即可求解．
【详解】
由题意可知CD=2AC=12
∵∠BCD=90°,BC=5
∴BD=CD2+BC2=122+52=13
∴风车的外围周长是4×(BD+AD)=4×(13+6)=76
故选：D．
【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
5．（2022春·山东济南·八年级统考期中）图1是第七届国际数学教育大会(ICME−7)的会徽，主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成，其中OA1=A1A2=A2A3=……=An−1An=1，若OA5⋅OAn的值是整数，且1≤n≤100，则符合条件的n有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据勾股定理分别计算OA2、OA3、OA4、OA5，…即可得出OAn，再根据OA5⋅OAn的值是整数，且1≤n≤100，得5⋅n=5n，从而解决问题．
【详解】解：由勾股定理得，OA2=12+12=2，
OA3=12+(2)2=3，
OA4=12+(3)2=4，
OA5=5，
…
OAn=n，
∵OA5⋅OAn的值是整数，且1≤n≤100，
∴5⋅n=5n，
∴n=5或20或45或80，
∴符合条件的n有4个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查勾股定理，图形的变化类，解答本题的关键是找到规律得出OAn的值．
6．（2022春·陕西宝鸡·八年级统考期中）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【分析】根据正方形面积公式，由面积的和差关系可得8个直角三角形的面积，进一步得到1个直角三角形的面积，再由面积的和差关系可得正方形EFGH的面积，进一步求出正方形EFGH的边长．
【详解】解：一个直角三角形的面积：（14×14−2×2）÷8
＝（196−4）÷8
＝192÷8
＝24，
正方形EFGH的面积为：24×4＋2×2
＝96＋4
＝100，
∴正方形EFGH的边长为10．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，关键是熟练掌握正方形面积公式，以及面积的和差关系，难点是得到正方形EFGH的面积．
7．（2022秋·江西·八年级校考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则EF的长为（ ）
A．9B．92C．32D．3
【答案】C
【分析】首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为：a-b；接下来根据ab=8，大正方形的面积为25求出小正方形的边长，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b，
∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8=4，
从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，
∴4×12ab+(a−b)2=25，
∴(a−b)2=25−16=9，
∴a-b=3，
∴EF=32+32=32．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
8．（2022秋·福建福州·八年级校考期中）利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（ ）
A．S△EDA＝S△CEB
B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD
C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE
D．S四边形AECD＝S四边形DEBC
【答案】B
【分析】利用梯形面积等于3个三角形面积之和解答即可．
【详解】解：由题意可得：S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明依据．此类证明要转化成该图形面积的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．
9．（2022春·浙江衢州·八年级校联考期中）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点P，如图所示，若正方形ABCD的面积为28，AE+EB=7，则S△CFP−S△AEP的值是（ ）
A．3B．3.5C．4D．7
【答案】B
【分析】先证明△AEP≅△CGMASA，则S△AEP=S△CGM，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设AE=x，BE=7−x，根据勾股定理得：AE2+BE2=AB2，x2+7−x2=28，则2x2−14x=−21，整体代入计算即可；
【详解】∵正方形ABCD的面积为28，
∴AB2=28，
设AE=x，
∵AE+EB=7，
∴BE=7−x，
Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+BE2=AB2，
∴x2+7−x2=28，
∴2x2−14x=−21，
∵AH⊥BE，BE⊥CF，
∴AH∥CF，
∴∠EAP=∠GCM，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，
∴△AEB≅△CGD，
∴AE=CG，
∴△AEP≅△CGMASA，
∴S△AEP=S△CGM，EP=MG，
∴S△CFP−S△AEP=S△CFP−S△CGM=S梯形FPMG=12MG+PF·FG=12EF·FG=12S正方形EHGF，
∵S矩形EHGF=S正方形ABCD−4S△AEB=28−4×12x7−x=28−2x7−x=28−21=7，
则S△CFP−S△AEP的值是3.5；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了“赵爽弦图”，多边形面积，勾股定理等知识点，首先要求学生正确理解题意，然后利用勾股定理和三角形全等的性质解题．
10．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期中）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC:BC=4:3，这个直角三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为4:3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周长为12，那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（ ）
A．225B．250C．275D．300
【答案】D
【分析】根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，
∴设AC=4x，则BC=3x，
根据勾股定理得，AB=AC2+BC2=(4x)2+(3x)2=5x，
∵3x+4x+5x=12，
∴x=1，
∴AB=5，BC=3，AC=4，
∴图①中正方形面积和为：32+42+52=25+25=2×25=50，
图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为：
32+42+32+42+52=25+25+25=25+50，
图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为：
32+42+32+42+32+42+52=25+25+25+25=2×25+50
⋯
∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为25n+50，
∴10次操作后的图形中所有正方形的面积和为：25×10+50=300，故D正确．
故答案为：25n+50．
【点睛】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
二、填空题
11．（2022春·陕西西安·八年级西安市曲江第一中学校考期中）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．下图是3世纪我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．此图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则a+b2的值是____________．
【答案】49
【分析】根据题意和图形，可以得到a2+b2=c2，c2=25，a−b2=1然后变形即可得到ab的值，再将(a+b)2展开，将a2 + b2和ab的值代入计算即可．
【详解】解：由图可得，
a2+b2=c2，c2=25，
∴a2+b2=25，
∵小正方形的面积是1，
∴a−b2=1，
∴a2−2ab+b2=1，
∴ab=12，
∴(a+b)2 =a2+2ab+b2
=a2+b2+2ab
=25+2×12
= 25+ 24
=49；
故答案为：49．
【点睛】本题考查勾股定理、完全平方公式，解答本题的关键是求出ab的值，利用数形结合的思想解答．
12．（2022秋·山东济宁·八年级统考期中）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个全等的直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重处，无缝隙）．若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a，b，则a+b2=________．
【答案】25
【分析】由菱形的性质可得四边形ABCD是正方形，可得AD2=13=a2+b2，中间空白处的四边形EFGH也是正方形，可得（b-a）2=1，求出2ab=12，即可求解．
【详解】解：由题意得：四边形ABCD和四边形EFGH是正方形，
∵正方形ABCD的面积为13，
∴AD2=13=a2+b2①，
∵中间空白处的四边形EFGH的面积为1，
∴（b-a）2=1，
∴a2-2ab+b2=1②，
①-②得：2ab=12，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=13+12=25，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，完全平方公式等知识，掌握菱形的性质，求出2ab=12是解题的关键．
13．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期中）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连接CG．若AE＝2BE＝25cm，则线段CG＝_____cm．
【答案】52
【分析】过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于N．根据全等三角形的性质得到BE＝AN＝CM＝DF＝5，AE＝BM＝CF＝DN＝25，根据正方形的性质得到∠EFH＝∠TFG＝45°，∠NFE＝∠DFG＝45°，根据勾股定理即可得到答案．
【详解】解：如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于N．
∵BE＝AN＝CM＝DF＝5，AE＝BM＝CF＝DN＝25，
∴EN＝EM＝MF＝FN＝5，
∵四边形ENFM是正方形，
∴∠EFH＝∠TFG＝45°，∠NFE＝∠DFG＝45°，
∵GT⊥TF，DF⊥DG，
∴∠TGF＝∠TFG＝∠DFG＝∠DGF＝45°，
∴TG＝FT＝DF＝DG＝5，
∴CT＝35，
∴CG＝(35)2+(5)2=52，
故答案为：52．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
14．（2022春·江苏宿迁·八年级统考期中）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为2，图3中阴影部分的面积为S，那么S的值为______．
【答案】21
【分析】阴影部分由四个全等的三角形和一个小正方形组成，分别求三角形和小正方形面积即可．
【详解】由题意作出如下图，阴影部分由四个与△ABD全等的三角形和一个边长为BD的正方形组成
由题意得：AB=CD=2，BC=5，BD=BC−CD=3
∴S△ABD=12AB⋅BD=12×3×2=3，
S小正方形=BD2=32=9
∴S=4S△ABD+S小正方形=4×3+9=21
故答案为：21．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，根据正方形的面积公式和三角形形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键．
15．（2022春·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）如图，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE为四个全等的直角三角形，BD与CH、EG、AF分别交于点M、O、N，且满足DN=DC，则两个阴影部分的面积和与四边形ABCD面积的比值为___________．
【答案】1−22
【分析】设AE=BF=a，AF=DE=b，先证明Rt△ADE≌Rt△NDEHL，得出AE=NE=a，然后根据等积法求出a=2−1b，再分别求阴影部分的面积和四边形ABCD面积，最后求出比值即可．
【详解】解：∵△ABF、△BCG、△CDH、△DAE为四个全等的直角三角形，
∴AD=CD=BC=AB，∠AED=90°=∠DEN，四边形ABCD是正方形，AE=BF=CG=DH，AF=BE，
又DN=DC，
∴AD=DN，
又DE=DE，
∴Rt△ADE≌Rt△NDEHL，
∴AE=NE，
设AE=BF=a，AF=DE=b，
则NE=a，
∴S△ABD=S△ABN+S△ADN=12AN⋅BF+12AN⋅DE=12×2a⋅a+12×2a⋅b=a2+ab，
在Rt△ABF中，AB2=AF2+BF2=a2+b2，
∴S△ABD=12AB2=12a2+b2，
∴12a2+b2=a2+ab，
∴a2+2ab=b2，
∴a2+2ab+b2=2b2，即a+b2=2b2，
∴a=2−1b或a=−2+1b（不符合题意，舍去），
∴S阴影=2×12AN⋅BF=2×12×2a⋅a=2a2=22−12b2，
S四边形ABCD=a2+b2=2−12b2+b2=4−22b2，
∴两个阴影部分的面积和与四边形ABCD面积的比值为22−12b24−22b2=22−12b2222−1b2=2−12=1−22．
故答案为：1−22．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质等知识，根据等积法求出a=2−1b是解题的关键．
16．（2022春·福建宁德·八年级统考期中）我国古代数学家赵爽在注解《周牌算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的一个大正方形．如图，若拼成的大正方形为正方形ABCD，面积为9，中间的小正方形为正方形EFGH，面积为2，连结AC，交BG于点P，交DE于点M，①△CGP≌△AEM，②S△AFP−S△CGP=12，③DH+HC=4，④HC=2+22，以上说法正确的是______．（填写序号）
【答案】①③④
【分析】根据正方形得性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质和梯形面积的计算逐项判断即可．
【详解】解：∵四边形EFGH为正方形，
∴∠AEM=∠HEF=∠FGH=∠CGP=90°，EM∥PF，AF∥CH，AD=BC，
∴∠EAM=∠GCP，
由题意得，Rt△AED≅Rt△CGB，
∴AE=CG，
在△AEM和△CGP中，
∠AEM=∠CGPAE=CG∠EAM=∠GCP，
∴△CGP≌△AEM ASA，故①正确；
由①得S△AEM=S△CGP，EM=PG，
∴S△AFP−S△CGP=S△AFP−S△AEM
=S梯形FPME=12(EM+PF)·EF
=12(PG+PF)·EF=12FG·EF
=12S正方形EFGH
∵S正方形EFGH=2，
∴S△AFP−S△CGP=1，故②错误；
用x，y表示直角三角形的两条边(x
∴x2+y2=9，(y−x)2=2，
∴直角三角形的面积和为4×12xy=2xy=9−2=7，
于是得到(x+y)2=x2+y2+2xy=9+7=16，
解得x+y=4；
即DH+HC=4，故③正确；
∵CG=DH，HG=2，
∴DH+CH=2DH+HG=2DH+2=4，
∴DH=4−22=2−22，
∴CH=CG+HG=DH+HG=2−22+2=2+22．
故④正确，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了正方形得性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质和梯形面积的计算，解决此题的关键是熟练地运用这些性质和读懂题目意思并把图形联系起来．
17．（2022春·江苏泰州·八年级校考期中）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周碑算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”． 图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成． 记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3．若S1+S2+S3=24，则正方形EFGH的边长为___________．
【答案】22
【分析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解．
【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a>b，
由题意可知：
S1=(a+b)2，S2=a2+b2，S3=(a−b)2，
因为S1+S2+S3=24，即
(a+b)2+a2+b2+(a−b)2=24，
3(a2+b2)=24，
所以3S2=24，
S2的值是8．
所以正方形EFGH的边长为8=22．
故答案为：22．
【点睛】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积．
18．（2022春·福建三明·八年级统考期中）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图，如果大正方形的面积是49，小正方形的面积为4，直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，下列四个说法：①a2+b2=49,②a−b=4,③2ab+4=49,④a+b=9.其中正确的是________．
【答案】①③##③①
【分析】分别求出小正方形及大正方形的边长，然后根据面积关系得出a与b的关系式，依次判断所给关系式即可．
【详解】解∶由题意可得小正方形的边长=2，大正方形的边长=7，故可得a−b=2，即②错误；
a2+b2等于大正方形斜边的平方=大正方形的面积=49，即①正确；
小正方形的面积+四个直角三角形的面积等于大正方形的面积，即可得2ab+4=49，即③正确；
根据③可得2ab=45，故可得(a+b)2=a2+b2+45=94，从而可得a+b=94，即④错误．
综上可得①③正确，
故答案为∶①③
【点睛】本题考查了勾股定理及直角三角形的知识，根据所给图形，利用面积关系判断a与b的关系是解答本题的关键．
19．（2022秋·北京·八年级101中学校考期中）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，设AB＝2，则图中阴影部分面积为__________．
【答案】8+43##43+8
【详解】解：如图，
设AC＝x，则BC＝AD＝2+x，
∵∠ADC＝30°，
∴AC=12AD
∴AD=3AC，
∴2+x=3x，
∴x=3+1，
∴AC=3+1，
∵将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，DE=AC=3+1
∴图中阴影部分面积＝4×12AC2＝4×12×3+12＝8+43
故答案为8+43．
【点睛】本题考查旋转角的定义以及直角三角形的性质，本题关键在于用AB表示出AC的长度
20．（2021春·辽宁锦州·八年级统考期中）如图，正方形ABCD的边长为1，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，按照此规律继续下去，则S2021的值为______．
【答案】122020##(12)2020
【分析】根据题意求出面积标记为S2的正方形边长，得到S2，同理求出S3，根据规律解答．
【详解】解：∵正方形ABCD的边长为1，
∴面积标记为S2的正方形边长为22，
则S2=（22）2=12=121，
面积标记为S3的正方形边长为22×22=12，
则S3=（12）2=14=122，
……，
则S2021的值为：122020，
故答案为：122020．
【点睛】本题考查的是勾股定理、正方形的性质，根据勾股定理求出等腰直角三角形的边长是解题的关键．
三、解答题
21．（2023春·江苏南京·八年级统考期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图1所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．
(1)请利用这个图形证明勾股定理；
(2)图2所示的徽标，是我国古代弦图的变形，该图是由其中的一个Rt△ABC绕中心点O顺时针连续旋转3次，每次旋转90°得到的，如果中间小正方形的面积为1cm2，这个图形的总面积为113cm2，AD=2cm，则徽标的外围周长为________cm．
【答案】(1)见解析
(2)52
【分析】（1）从整体和部分分别表示正方形的面积即可证明；
（2）设Rt△ABC的较长直角边为a，短直角边为b，斜边为c，则有a−b=3，4×12ab+1=113，利于整体思想可求出斜边c的长，从而解决问题．
【详解】（1）证明：∵正方形的边长为c，
∴正方形的面积等于c2，
∵正方形的面积还可以看成是由4个直角三角形与1个边长为a−b的小正方形组成的，
∴正方形的面积为：4×12ab+a−b2=a2+b2，
∴c2=a2+b2；
（2）解：设Rt△ABC的较长直角边为a，短直角边为b，斜边为c，
根据题意得，a−b=3，4×12ab+1=113，
又∵c2=a2+b2
=a−b2+2ab
=32+112
=121
∴c=11cm，
故徽标的外围周长为：4×11+2=52cm．
故答案为：52．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，完全平方公式等知识，运用整体思想求出斜边c的长，是解题的关键．
22．（2022春·江苏·八年级统考期中）我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1的“弦图”（史称“赵爽弦图”） ．
(1)弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理；
(2)如图2，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廊（粗线）的周长为24，OC=3，求该“勾股风车”图案的面积；
(3)如图3，将八个全等的直角三角形（外围四个和内部四个）紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+2S2+S3=20，则S2= ．
【答案】(1)证明见详解
(2)“勾股风车”图案的面积为24
(3)5
【分析】（1）根据图形可知S大正方形=4S△ABC+S小正方形，由此即可求解；
（2）已知图形的周长，可求出直角三角形的斜边长，已知OC=3，则可求出直角三角形的两条直角边，由此即可求出“勾股风车”图案的面积；
（3）八个全等的直角三角形，且图形的面积是由三角形和正方形组成，S1+2S2+S3=20，设直角三角形的两条直角边分别为m，n，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：由图①可知S大正方形=4S△ABC+S小正方形，
∵S大正方形=c2，S△ABC=12ab，S小正方形=(a−b)2，
∴c2=4×12ab+(a−b)2=2ab+a2−2ab+b2，
即c2=a2+b2．
（2）解：四个全等的直角三角形，外围轮廊（粗线）的周长为24，OC=3，设AC=x，
∴4AB+4AC=24，即4AB+4x=24，
∴AB=6−x，
在Rt△OAB中，AB2=OB2+OA2，OB=OC=3，OA=OC+AC=3+x，
∴(6−x)2=32+(3+x)2，解方程得，x=1，即AC=1，
∴OA=3+1=4，OB=3，
∴S△OAB=12×3×4=6，
∴“勾股风车”图案的面积是6×4=24．
（3）解：设AE=m，AH=n，
∴S1=4×12mn+m2+n2，S2=m2+n2，S3=(n−m)2=n2−2mn+m2，
∴S1+2S2+S3=2mn+m2+n2+2m2+2n2+m2−2mn+n2=4m2+4n2=4S2=20，
∴S2=5．
【点睛】本题主要考查勾股定理，理解直角三角形三边关系是解题的关键．
23．（2019秋·广西河池·八年级统考期中）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC=b，BC=a，∠ACB=90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求(a+b)2的值．
【答案】(a+b)2=79
【分析】根据正方形的面积公式和三角形的面积公式即可求出(b−a)2=5，2ab=37，然后根据完全平方公式的变形即可求出结论．
【详解】解：小正方形面积=(b−a)2=5
4个小直角三角形的面积=4×12ab =42−5
∴2ab=37
∴(a+b)2 =(b−a)2+4ab =5+2×37 =79
【点睛】此题考查的是全等三角形的性质和完全平方公式的变形，掌握全等三角形的性质、正方形的面积公式、三角形的面积公式和完全平方公式的变形是解决此题的关键．
24．（2022春·江苏·八年级统考期中）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成如图2所示的“赵爽弦图”，得到大小两个正方形．
(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长；
(2)已知图2中小正方形面积为36，求大正方形的面积？
【答案】(1)a+3
(2)90
【分析】（1）用直角三角形较长的直角边减去较短的直角边即可；
（2）先根据小正方形的面积求出a的值，再根据正方形的面积＝边长的平方求解即可．
【详解】（1）解：∵直角三角形较短的直角边=12×2a=a，
较长的直角边=2a+3，
∴小正方形的边长=2a+3−a=a+3；
（2）解：小正方形的面积=(a+3)2=36，
∴a+3=6或a+3=−6，
∴a=3，或a=−9（舍去），
∴2a+3=9，
∴大正方形的面积=92+32=90．
【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算，整式的加减，利用平方根的定义解方程，数形结合是解题的关键．
25．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数．
请你观察下列三组勾股数：(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)…分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．
当勾为3时，股4=12×(9−1)，弦5=12×(9+1)；
当勾为5时，股12=12×(25−1)，弦13=12×(25+1)；
当勾为7时，股24=12×(49−1)，弦25=12×(49+1)．
(1)如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝ ，弦＝ ，则据此规律第四组勾股数是 ．
(2)若a=m2−1,b=2m,c=m2+1，其中m>1且m是整数．求证：以a,b,c为边的△ABC是直角三角形．
【答案】(1)12(n2−1)，12(n2+1)，(9,40,41)
(2)见解析
【分析】（1）如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股=12(n2−1)，弦=12(n2+1)；当n=9时，即可求出第四组勾股数；
（2）根据勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形进行解答即可．
【详解】（1）解：如果勾用n（n≥3，且n为奇数）表示时，则股=12(n2−1)，弦=12(n2+1)；
当n=9时，12(n2−1)=12×(92−1)=40，12(n2+1)=12×(92+1)=41；
∴第四组勾股数是(9,40,41)．
故答案为：12(n2−1)，12(n2+1)，(9,40,41)；
（2）证明：∵a=m2−1,b=2m,c=m2+1，其中m>1且m是整数，
∴(m2−1)2+(2m)2=m4−2m2+1+4m2=m4+2m2+1=(m2+1)2，
∴a2+b2=c2，
∴以a,b,c为边的△ABC是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、完全平方式的应用等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题关键．
26．（2022春·福建宁德·八年级统考期中）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形（如图1）与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图2）．
(1)利用图2正方形面积的等量关系得出直角三角形勾股的定理，该定理的结论用字母表示： ；
(2)用图1这样的两个直角三角形构造图3的图形，满足AE=BC=a，DE=AC=b，AD=AB=c，∠AED=∠ACB=90°，求证（1）中的定理结论；
(3)如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE=m，HG=n，求正方形BDFA的面积．（用m，n表示）
【答案】(1)c2=a2+b2
(2)见解析
(3)m2+n22
【分析】（1）由大正方形的面积的两种表示列出等式，可求解；
（2）由四边形ABCD的面积两种计算方式列出等式，即可求解；
（3）分别求出a，b，由勾股定理可求解．
【详解】（1）解：∵大正方形的面积=c2，大正方形的面积=4×12×a×b+b−a2，
∴c2=4×12×a×b+b−a2，
∴c2=a2+b2，
故答案为：c2=a2+b2；
（2）证明：如图：连接BD，
∵Rt△ABC≌Rt△DAE，
∴∠ADE=∠BAC，
∴∠DAE+∠ADE=90°=∠DAE+∠BAC，
∴∠DAB=90°，
∵S四边形ABCD=12c2+12ab−a， S四边形ABCD=2×12ab+12bb−a，
∴12c2+12ab−a=2×12ab+12bb−a，
∴c2=a2+b2；
（3）解：由题意可得：CE=CD+DE，GH=AG−AH，
∴m=a+b，n=b−a，
∴a=m−n2，b=m+n2，
∴BD2=BC2+CD2=a2+b2=m2+n22，
∴正方形BDFA的面积为m2+n22．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
27．（2022春·江西抚州·八年级统考期中）我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题：
(1)如图①是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理；
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，求CD的长度；
(3)如图①，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求a+b2的值．
【答案】(1)见解析
(2)CD=125
(3)25
【分析】（1）分别用两种方法求出大正方形的面积，根据面积相等列等式，即可证明；
（2）先根据勾股定理求出AB，再根据等面积法即可求解；
（3）根据（1）的结果，可得c2=a2+b2=13，b−a2=a2+b2−2ab=1，即有a2+b2−a2+b2−2ab=2ab=13−1=12，则问题得解．
【详解】（1）∵S大正方形=c2，S小正方形=b−a2，4个直角三角形的面积为：S=4×12ab=2ab，
又∵S大正方形=S小正方形+S，
∴c2=2ab+b−a2=2ab+b2−2ab+a2=a2+b2，
即c2=a2+b2；
（2）由勾股定理得：BC2+AC2=AB2，AC=4，BC=3，
∴32+42=AB2，
∴AB=5，
∵S△ABC=12×AC×BC=6，
又∵S△ABC=12×AB×CD，
∴12×AB×CD=12×AC×BC=6，
∵AB=5，
∴CD=6×2AB=125；
（3）根据（1）有：S大正方形=c2，S小正方形=b−a2，c2=a2+b2，
又∵S大正方形=c2=13，S小正方形=b−a2=1，
∴c2=a2+b2=13，b−a2=a2+b2−2ab=1，
∴a2+b2−a2+b2−2ab=2ab=13−1=12，
∴a+b2=a2+b2+2ab=13+12=25，
即值为25．
【点睛】本题考查了勾股定理的验证，勾股定理以及完全平方公式的知识，理解并灵活运用等面积法是解答本题的关键．
28．（2022春·福建泉州·八年级泉州七中校考期中）我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，即如果一个直角三角形的内条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么a2+b2=c2．
(1)直接填空：如图①，若a=3，b=4，则c=__________；
(2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明a2+b2=c2．
(3)如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8，BC=10，利用上面的结论求EF的长？
【答案】(1)5
(2)见解析
(3)EF=5
【分析】（1）直接根据直角三角形三条边的关系进行计算即可；
（2）根据梯形面积等于三个三角形的面积和推导即可；
（3）根据折叠的性质得出DE=EF,AD=AF=10,然后根据直角三角形三边关系得出BF=AF2−AB2=102−82=6，进而得出CF=4，设DE=EF=x，则CE=8−x，在Rt△EFC中，EF2=FC2+EC2，列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵a2+b2=c2，
∴c=a2+b2=32+42=5，
故答案为：5；
（2）根据题意得：12(a+b)×(a+b)=12ab+12ab+12c2，
则12(a2+2ab+b2)=ab+12c2，
∴12a2+ab+12b2=ab+12c2，
∴12a2+12b2=12c2，
∴a2+b2=c2；
（3）∵折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，
∴DE=EF,AD=AF=10,
∴BF=AF2−AB2=102−82=6,
∴CF=4,
设DE=EF=x，则CE=8−x，
在Rt△EFC中，EF2=FC2+EC2，
即x2=42+(8−x)2，
解得x=5，
∴EF=5．
【点睛】本题考查了直角三角形的三边关系－勾股定理，以及勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
29．（2022秋·广西河池·八年级统考期中）我国三国时期数学家赵爽在《周髀算经》中利用了“弦图”．如图，由4个全等的直角三角形(RtΔAFB≅RtΔBGC ≅RtΔCHD≅RtΔDEA)和与一个小正方形EFGH恰好拼成一个大正方形ABCD，每个直角三角形的两条直角边分别为a，ba
AE=BF=CG=DH= ，AF=BG=CH=DE= ， EF=FG=GH=HE= ；
(2)现假设你未知勾股定理，请证明：a2+b2=c2．
【答案】(1)a，b；b−a
(2)见解析
【分析】（1）根据题意可直接得出答案；
（2）根据S正方形EFGH+SRtΔAFB+SRtΔBGC+SRtΔCHD+SRtΔDEA=S正方形ABCD列式整理即可得出a2+b2=c2．
（1）
解：由题意得：AE=BF=CG=DH=a，AF=BG=CH=DE=b，EF=FG=GH=HE=b−a，
故答案为：a，b，b−a；
（2）
由题意得：S正方形EFGH+SRtΔAFB+SRtΔBGC+SRtΔCHD+SRtΔDEA=S正方形ABCD，
∴b−a2+4×12×ab=c2，
∴a2−2ab+b2+2ab=c2，
∴a2+b2=c2．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算，利用图形面积得出等式是解题的关键．
30．（2022秋·山东潍坊·八年级统考期中）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．
(1)请根据“赵爽弦图”写出勾股定理的推理过程；
探索研究：
(2)小亮将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
问题解决：
(3)如图2，若a=6，b=8，此时空白部分的面积为__________；
(4)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC=3，求该风车状图案的面积．
【答案】(1)见详解；
(2)见详解；
(3)52；
(4)24．
【分析】（1）运用等面积法S大正方形=S小正方形+4S△计算即可；
（2）连接大正方形一条对角线，运用等面积法S梯形ACDE=2S△+S△BDE化简计算即可；
（3）先用勾股定理计算出c，再利用S空白=S大正方形−2S△计算面积即可；
（4）将风车周长表示出来C风车=4(c+b−a)=24，其中a=OC=3，得到b、c的等量关系，再结合勾股定理求解出b，最后计算面积即可．
【详解】（1）证明：由图可知，每个直角三角形的面积为S△=12ab，
空白小正方形的面积为S小正方形=(b−a)2，
整个围成的大正方形的面积为S大正方形=c2，
∵S大正方形=S小正方形+4S△，即c2=(b−a)2+4⋅12ab=b2+a2−2ab+2ab=b2+a2，
故c2=b2+a2；
（2）如下图所示，连接大正方形一条对角线DE
可知S梯形ACDE=2S△+S△BDE ，
其中，S梯形ACDE=12(a+b)(a+b)，S△BDE=12c2，S△=12ab，
代入可得，12(a+b)2=2⋅12ab+12c2，
即a2+b2=c2；
（3）由图2可知，S空白=S大正方形−2S△，
∵a=6，b=8，
∴c=62+82=10，
则S大正方形=c2=100，
∴S空白=c2−2⋅12ab=100−6⋅8=52，
故空白部分的面积为52；
（4）由题意可知，风车的周长为C风车=4(c+b−a)=24 ，
其中OC=a=3，代入上式可得c+b=9，则c=9-b，
且a2+b2=c2，即c2−b2=a2=9，将c=9-b代入得，
(9−b)2−b2=9，解得b=4，
则S风车=4⋅12ab=4⋅12⋅3⋅4=24．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键．
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