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所属成套资源：人教版八年级数学下册尖子生培优必刷题专题特训+章节检测
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人教版八年级下册18.2.1 矩形课时训练
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这是一份人教版八年级下册18.2.1 矩形课时训练，共27页。试卷主要包含了5矩形的性质专项提升训练，5 ．等内容，欢迎下载使用。
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春•阜平县期末）如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，∠AOB＝40°，则∠ACD的度数为（ ）
A．50°B．55°C．65°D．70°
2．（2022春•喀什地区期末）如图，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AC＝2，则AB的长为（ ）
A．1B．2C．D．
3．（2022春•覃塘区期末）在矩形ABCD中，若相邻的两边长分别是4和，则对角线所夹的锐角度数是（ ）
A．30°B．40°C．45°D．60°
4．（2022春•平泉市期末）求证：矩形的两条对角线相等．
已知：如图，四边形ABCD为矩形．求证：AC＝BD．
以下是排乱的证明过程：
①∵BC＝CB
②∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB
③∵四边形ABCD是矩形
④∴AC＝DB
⑤∴△ABC≌△DCB
证明步骤正确的顺序是（ ）
A．①②③⑤④B．③①②⑤④C．①⑤②③④D．③②①⑤④
5．（2022春•海口期末）如图，在矩形ABCD中，DE∥AC，CE∥BD．AC＝4，则四边形OCED的周长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
6．（2022春•长乐区期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB＝4，BC＝8，则AE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．2
7．（2022春•静海区校级期中）如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于E交AB于E，点G是AE的中点，且∠AOG＝30°，OE＝1，则下列结论：（1）DC＝3OG；（2）OG＝BC；（3）四边形AECF为菱形；（4）S△AOE＝S四边形ABCD．其中正确的个数为（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④
8．（2022•荣昌区自主招生）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠DAC＝60°，点F在线段AO上，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①DO＝DA；②DF＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④∠BDE＝∠EFC中正确结论的序号为（ ）
A．①④B．①②③C．②③④D．①②③④
9．（2022秋•章丘区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形．则AE的长是（ ）
A．15B．20C．D．
10．（2022秋•姜堰区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝cm，点P从A点出发沿AB以cm/s的速度向点B运动，当PA＝PC时，点P运动的时间为（ ）
A．sB．2sC．10sD．10s或2s
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022春•费县期末）如图所示．在矩形ABCD中，AB＝2．BD＝4，则∠AOD＝ 度．
12．（2022春•仙居县期末）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若∠COB＝120°，AB＝6，则对角线BD＝ ．
13．（2022春•二道区期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分线度OB，垂足为点E，若BD＝15，则AB＝ ．
14．（2022春•洛江区期末）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，AD＝8cm，CE＝3cm，则AB＝ cm．
15．（2022春•盐都区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC的长为5，作AC的垂直平分线交BC于点M，连接AM，则△ABM的周长为 ．
16．（2022•南京模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OF⊥AB，垂足为点F，BE⊥AC，垂足为点E，且E是OC的中点．若OF＝2，则BD的长为 ．
17．（2022春•上犹县期末）如图，矩形ABCD中，已知：AB＝3，AD＝5，点P是BC上一点，且△PAD是等腰三角形，则BP＝ ．
18．（2022春•邗江区校级月考）点P在矩形ABCD内部，当点P到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“和谐点”．如图，点P在矩形ABCD内部，且AB＝10，BC＝6．若P是边AD的“和谐点”，连接PA，PB，PD，则tan∠PAB•tan∠PBA的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春•前郭县期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠AOB＝56°，求∠EAB的度数．
20．（2022春•玉州区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，OE＝OF．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积．
21．（2022春•铜官区期末）如图1，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，过对角线AC中点O的直线分别交边BC、AD于点E、F
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）如图2，当EF⊥AC时，求EF的长度．
22．（2021春•柳南区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AD＝2，∠AOB＝120°，求AB的长．
23．（2022秋•莲湖区校级月考）已知，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，DF，BP．
（1）如图1，当CF＝2BE＝2时，试说明△DEF是直角三角形；
（2）如图2，若点E是边AB的中点，DE平分∠ADF，求BF的长．
24．（2022春•嘉祥县期末）如图①，在矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．直线EF分别交BA、DC的延长线于点G、H．
（1）求证：四边形BHDG是平行四边形；
（2）如图②，若四边形BHDG是菱形，且AB＝4，BC＝8，求CH的长．
专题18.5矩形的性质专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春•阜平县期末）如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，∠AOB＝40°，则∠ACD的度数为（ ）
A．50°B．55°C．65°D．70°
【分析】根据矩形的性质可知，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，所以OC＝OD，根据对顶角相等得到∠AOB＝∠COD＝40°，再利用等腰三角形的性质求得∠ACD的度数即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵∠AOB＝40°，
∴∠COD＝40°，
∴∠OCD＝∠ODC＝70°．
故选：D．
2．（2022春•喀什地区期末）如图，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AC＝2，则AB的长为（ ）
A．1B．2C．D．
【分析】由矩形的性质得出OA＝OB＝1，再证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OA即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AC＝2，
∴OA＝AC＝1，OB＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB＝1，
∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝1；
故选：A．
3．（2022春•覃塘区期末）在矩形ABCD中，若相邻的两边长分别是4和，则对角线所夹的锐角度数是（ ）
A．30°B．40°C．45°D．60°
【分析】根据矩形的性质得出∠ABC＝90°，根据AB和BC的长求出AC，得出等边三角形AOB，即可求出对角线所夹的锐角度数．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，AC＝2AO，BD＝2BO，
∵AB＝4，BC＝4，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝8，
∴AO＝BO＝×8＝4，
∵AB＝4，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
即对角线所夹的锐角度数是60°．
故选：D．
4．（2022春•平泉市期末）求证：矩形的两条对角线相等．
已知：如图，四边形ABCD为矩形．求证：AC＝BD．
以下是排乱的证明过程：
①∵BC＝CB
②∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB
③∵四边形ABCD是矩形
④∴AC＝DB
⑤∴△ABC≌△DCB
证明步骤正确的顺序是（ ）
A．①②③⑤④B．③①②⑤④C．①⑤②③④D．③②①⑤④
【分析】写出证明过程，由证明过程可以判断顺序．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，
又∵BC＝BC，
∴△ABC≌△DCB，
∴AC＝BD，
故顺序为③②①⑤④．
故选：D．
5．（2022春•海口期末）如图，在矩形ABCD中，DE∥AC，CE∥BD．AC＝4，则四边形OCED的周长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】首先利用平行四边形的判定证明四边形ODEC为平行四边形，然后利用矩形的性质得到OD＝OC＝2即可求出四边形OCED的周长．
【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形ODEC为平行四边形，
∴DE＝OC，CE＝OD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD，OD＝OC＝OA＝OB，
∴OD＝OC＝2，
∴DE＝CE＝2，
∴四边形OCED的周长为8．
故选：B．
6．（2022春•长乐区期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB＝4，BC＝8，则AE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．2
【分析】连接CE，根据矩形的对边相等可得AD＝BC＝8，CD＝AB＝4，根据矩形的对角线互相平分可得OA＝OC，然后判断出OE垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE＝CE，设AE＝CE＝x，表示出DE，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列出方程求解即可．
【解答】解：如图，连接CE，
在矩形ABCD中，
∵AB＝4，BC＝8，
∴AD＝BC＝8，CD＝AB＝4，OA＝OC，
∵OE⊥AC，
∴OE垂直平分AC，
∴AE＝CE，
设AE＝CE＝x，则DE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
即AE的长为5．
故选：C．
7．（2022春•静海区校级期中）如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于E交AB于E，点G是AE的中点，且∠AOG＝30°，OE＝1，则下列结论：（1）DC＝3OG；（2）OG＝BC；（3）四边形AECF为菱形；（4）S△AOE＝S四边形ABCD．其中正确的个数为（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④
【分析】根据条件，OG是直角△AOE斜边上的中线，且△FOC≌△EOA，然后利用三角函数求得BC、AB以及OA、OC之间的关系即可作出判断．
【解答】解：∵EF⊥AC，G是AF的中点，
∴AG＝OG＝GF，
∴∠OAF＝∠AOG＝30°，
在直角△ABC中，∠CAB＝30°，
∴BC＝AC＝OC，设BC＝a，AC＝2a，AO＝OC＝a．
AE＝a，AB＝a，OG＝a，
∴CD＝AB＝3OG，故①正确；
OG＝a≠a＝BC，故②错误；
∵∠FCO＝∠EAO，∠CFO＝∠AEO，OA＝OC，
∴△FOC≌△EOA（AAS），
∴OE＝OF，
又∵AO＝OC，EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形，故③正确；
∵S△AOE＝a•a＝a2，S矩形ABCD＝a•a＝a2，
∴S△AOE＝S矩形ABCD，故④正确．
故选：B．
8．（2022•荣昌区自主招生）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠DAC＝60°，点F在线段AO上，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①DO＝DA；②DF＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④∠BDE＝∠EFC中正确结论的序号为（ ）
A．①④B．①②③C．②③④D．①②③④
【分析】①根据∠DAC＝60°，OD＝OA，得出△OAD为等边三角形，即可得出结论①正确；
②如图，连接OE，利用SAS证明△DAF≌△DOE，再证明△ODE≌△OCE，即可得出结论②正确；
③通过等量代换即可得出结论③正确；
④根据△DAO，△DEF是等边三角形可以证明∠EFC＝∠ADF，然后根据②∠ADF＝∠BDE，等量代换即可得到∠BDE＝∠EFC．
【解答】解：①在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∵∠DAC＝60°，OD＝OA，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD，故①正确，
②连接OE．
∵△DFE为等边三角形，
∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE，
∵∠BDE+∠FDO＝∠ADF+∠FDO＝60°，
∴∠BDE＝∠ADF，
∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°，
∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠DAF＝120°，
∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°，
∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°，
∴∠ADF＝∠EFC，
∴∠BDE＝∠EFC，
在△DAF和△DOE中，
，
∴△DAF≌△DOE（SAS），
∴∠DOE＝∠DAF＝60°，
∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°，
∴∠COE＝∠DOE，
在△ODE和△OCE中，
，
∴△ODE≌△OCE（SAS），
∴ED＝EC＝DF，故②正确；
③∵∠ODE＝∠ADF，
∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，
故结论③正确；
④∵△DAO，△DEF是等边三角形，
∴∠DAO＝∠DFE＝60°，
∴∠EFC+∠AFD＝∠ADF+∠AFD＝120°，
∴∠EFC＝∠ADF，
根据②知∠ADF＝∠BDE，
∴∠BDE＝∠EFC．
故④正确．
故选：D．
9．（2022秋•章丘区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形．则AE的长是（ ）
A．15B．20C．D．
【分析】连接EF交AC于点O，连接CE，根据菱形的性质可得CF＝CE，证明△CFO≌△AEO，可得CF＝AE，再根据勾股定理可得CE的长，进而可得结论．
【解答】解：如图，连接EF交AC于点O，连接CE，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥GH，OE＝OF，
∴CF＝CE，
在△CFO和△AEO中，
，
∴△CFO≌△AEO（AAS），
∴CF＝AE，
∴CE＝AE，
∴BE＝AB﹣AE＝24﹣CE，
在Rt△CEB中，根据勾股定理，得
CE2＝BE2+BC2，
∴CE2＝（24﹣CE）2+122，
解得CE＝15．
∴AE＝15．
故选：A．
10．（2022秋•姜堰区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝cm，点P从A点出发沿AB以cm/s的速度向点B运动，当PA＝PC时，点P运动的时间为（ ）
A．sB．2sC．10sD．10s或2s
【分析】设点P运动的时间为ts，根据题意得：AP＝tcm，PC＝＝tcm，PB＝AB﹣AP＝（3﹣t）cm，然后根据勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：设点P运动的时间为ts，
根据题意得：AP＝tcm，
∴PC＝＝tcm，
∵PB＝AB﹣AP＝（3﹣t）cm，
∴PC2＝BC2+PB2，
∴t2＝2+（3﹣t）2，
解得t＝2或t＝10（舍去），
∴点P运动的时间为2s，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022春•费县期末）如图所示．在矩形ABCD中，AB＝2．BD＝4，则∠AOD＝ 120 度．
【分析】根据矩形的性质可知OA＝OB，OB＝BD，证得OB＝OA＝AB＝2，所以△AOB是等边三角形，得出∠AOB＝60°，则∠AOD＝120°．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝AC，OB＝BD，
∴OA＝OB，
∵BD＝4，AB＝2，
∴OB＝OA＝AB＝2，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠AOD＝120°．
故答案为：120．
12．（2022春•仙居县期末）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若∠COB＝120°，AB＝6，则对角线BD＝ 12 ．
【分析】根据矩形性质求出BD＝2OB，OA＝OB，求出∠AOB＝60°，得出等边△AOB，求出OB＝AB，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝2OB，AC＝2OA，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB＝AB＝6，
∴BD＝2OB＝12，
故答案为：12．
13．（2022春•二道区期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分线度OB，垂足为点E，若BD＝15，则AB＝ 7.5 ．
【分析】首先利用矩形的性质得到OA的长度，然后利用线段的垂直平分线的性质得到AB＝OB＝OA即可求解．
【解答】解：∵矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴AO＝OB＝OC＝OD，
而BD＝15，
∴OB＝OA＝BD＝7.5，
∵AE垂直平分线段OB，
∴AB＝OA，
∴AB＝OB＝OA，
∴AB＝7.5．
故答案为：7.5．
14．（2022春•洛江区期末）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，AD＝8cm，CE＝3cm，则AB＝ 5 cm．
【分析】首先利用矩形的性质得到可以证明∠DAE＝∠BEA，然后利用角平分线的性质证明∠BAE＝∠BEA，接着利用等腰三角形的判定得到AB＝BE即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
∵AD＝8cm，CE＝3cm，
∴BC＝8，
∴AB＝BE＝BC﹣CE＝8﹣3＝5cm．
故答案为：5．
15．（2022春•盐都区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC的长为5，作AC的垂直平分线交BC于点M，连接AM，则△ABM的周长为 7 ．
【分析】由勾股定理可求BC的长，由线段垂直平分线的性质可得AM＝CM，可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴BC＝＝＝4，
∵AC的垂直平分线交BC于点M，
∴AM＝CM，
∴△ABM的周长＝AB+BM+AM＝AB+BC＝7，
故答案为：7．
16．（2022•南京模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OF⊥AB，垂足为点F，BE⊥AC，垂足为点E，且E是OC的中点．若OF＝2，则BD的长为 8 ．
【分析】根据矩形的性质可以得到OC＝OB，再根据BE⊥AC及E点为CO的中点，根据线段垂直平分线的性质证得△CBO是等边三角形，从而得到∠DBA＝30°，然后根据30°直角三角形的性质求得BO长，BD＝2BO，即可得出答案．
【解答】解：∵BE⊥AC，E点为CO的中点，
∴BE垂直平分OC，
∴BC＝OB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OC＝OA，OD＝OB，∠CBA＝90°，
∴OC＝OB，
∴CB＝BO＝CO，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠CBD＝60°，
∴∠DBA＝30°，
∵OF⊥AB，OF＝2，
∴BO＝2OF＝4，
∵O点为BD中点，
∴BD＝2BO＝8．
故答案为：8．
17．（2022春•上犹县期末）如图，矩形ABCD中，已知：AB＝3，AD＝5，点P是BC上一点，且△PAD是等腰三角形，则BP＝ 1或4或2.5 ．
【分析】根据矩形的性质可知DC＝AB＝3，AD＝BC＝5，再根据△PAD是等腰三角形的性质可得DP＝AD＝5，勾股定理可得CP的长度，则BP＝BC﹣CP，即可求得BP的长度．
【解答】解：①当DP＝AD时，
∵矩形ABCD，
∴DC＝AB＝3，AD＝BC＝5，
∵△PAD是等腰三角形，
∴DP＝AD＝5，
在Rt△PCD中，
PC＝＝4，
∴BP＝BC﹣CP＝5﹣4＝1．
②当AD＝AP时，
∴AP＝AD＝5，
在Rt△ABP中，
由勾股定理得，
BP＝＝4，
③当AP＝DP时，
过P作PE⊥AD于点E，
∴AE＝AD＝2.5，
∵∠B＝∠BAE＝∠AEP＝90°，
∴四边形ABPE是矩形，
∴BP＝AE＝2.5．
综上所述，BP＝1或4或2.5．
故答案为：1或4或2.5．
18．（2022春•邗江区校级月考）点P在矩形ABCD内部，当点P到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“和谐点”．如图，点P在矩形ABCD内部，且AB＝10，BC＝6．若P是边AD的“和谐点”，连接PA，PB，PD，则tan∠PAB•tan∠PBA的最小值为 ．
【分析】过点P作PN⊥AB于N，tan∠PAB•tan∠PBA＝•＝，设AN＝x，则BN＝10﹣x，求出AN•BN有最大值25，即可求得tan∠PAB•tan∠PBA的最小值是．
【解答】解：过点P作PN⊥AB于N，如图：
∵点P是边AD的“和谐点”，
∴PA＝PD，
∴PN＝BC＝3，
∴tan∠PAB＝，tan∠PBA＝，
∴tan∠PAB•tan∠PBA＝•＝，
设AN＝x，则BN＝10﹣x，
∴AN•BN＝x（10﹣x）＝﹣（x﹣5）2+25，
当x＝5时，AN•BN有最大值25，
∴有最小值，
∴tan∠PAB•tan∠PBA的最小值是．
三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春•前郭县期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠AOB＝56°，求∠EAB的度数．
【分析】根据矩形的性质可知OA＝OB，根据∠AOB的度数求出∠ABO的度数，然后根据直角三角形的锐角互余求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴AO＝OB，
又∵∠AOB＝56°，
∴∠OBA＝∠OAB＝62°，
∵AE⊥BD，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝28°．
20．（2022春•玉州区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，OE＝OF．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积．
【分析】（1）由矩形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，证出OE＝OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE＝CF；
（2）证出△AOB是等边三角形，得出OA＝AB＝3，AC＝2OA＝6，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC，即可得出矩形ABCD的面积．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴OA＝OC，
在△AOE和△COF
∵，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．
（2）∵四边形ABCD是矩形
∴AC＝BD
∵，
∴AO＝DO
∴
∴在Rt△ADB中，BD＝2AB＝4，
∴
∴矩形ABCD的面积＝．
21．（2022春•铜官区期末）如图1，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，过对角线AC中点O的直线分别交边BC、AD于点E、F
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）如图2，当EF⊥AC时，求EF的长度．
【分析】（1）证明△AOF≌△COE全等，可得AF＝EC，∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形；
（2）由（1）知四边形AECF是平行四边形，且EF⊥AC，∴四边形AECF为菱形，假设BE＝a，根据勾股定理求出a，从而得知EF的长度；
【解答】解：∵矩形ABCD，∴AF∥EC，AO＝CO
∴∠FAO＝∠ECO
∴在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE（ASA）
∴AF＝EC
又∵AF∥EC
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）由（1）知四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF为菱形，
设BE＝a，则AE＝EC＝3﹣a
∴a2+22＝（3﹣a）2
∴a＝
则AE＝EC＝，
∵AB＝2，BC＝3，
∴AC＝＝
∴AO＝OC＝，
∴OE＝＝＝，
∴EF＝2OF＝．
22．（2021春•柳南区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AD＝2，∠AOB＝120°，求AB的长．
【分析】（1）根据平行四边形的判定即可求出答案．
（2）根据矩形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
（2）由（1）可知：OA＝OB，
∵∠AOB＝120°，
∴∠DBA＝30°，
∵AD＝2，
∴AB＝AD＝6．
23．（2022秋•莲湖区校级月考）已知，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，DF，BP．
（1）如图1，当CF＝2BE＝2时，试说明△DEF是直角三角形；
（2）如图2，若点E是边AB的中点，DE平分∠ADF，求BF的长．
【分析】（1）在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2＝62+72＝85，在Rt△DCF中，DF2＝DC2+CF2＝82+22＝68，在Rt△BEF中，EF2＝BE2+BF2＝12+42＝17，得出DF2+EF2＝DE2，即可得出结论；
（2）作EH⊥DF于H，则∠A＝∠DHE＝90°，证明△AED≌△HED（AAS），得出DA＝DH＝6，EA＝EH＝4，得出EH＝EB＝4，证明Rt△EHF≌Rt△EBF（HL），得出BF＝HF．设BF＝x，则HF＝x，CF＝6﹣x，得出DF＝DH+HF＝6+x，在Rt△CDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明；∵CF＝2BE＝2，
∴BE＝1，
∴AE＝AB﹣BE＝7．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝6，
在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2＝62+72＝85，
在Rt△DCF中，DF2＝DC2+CF2＝82+22＝68，
在Rt△BEF中，EF2＝BE2+BF2＝12+42＝17，
∴DF2+EF2＝DE2，
∴△DEF是直角三角形，且∠DFE＝90°；
（2）解：作EH⊥DF于H，
则∠A＝∠DHE＝90°．
∵DE平分∠ADF，
∴∠ADE＝∠HDE，
在△AED和△HED中，
，
∴△AED≌△HED（AAS），
∴DA＝DH＝6，EA＝EH＝4，
∴EH＝EB＝4，
在Rt△EHF和Rt△EBF中，
，
∴Rt△EHF≌Rt△EBF（HL），
∴BF＝HF．
设BF＝x，则HF＝x，CF＝6﹣x，
∴DF＝DH+HF＝6+x，
在Rt△CDF中，DC2+CF2＝DF2，
∴82+（6﹣x）2＝（6+x）2，
∴x＝，
即BF＝．
24．（2022春•嘉祥县期末）如图①，在矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．直线EF分别交BA、DC的延长线于点G、H．
（1）求证：四边形BHDG是平行四边形；
（2）如图②，若四边形BHDG是菱形，且AB＝4，BC＝8，求CH的长．
【分析】（1）由“AAS”证△AGE≌△CHF，得AG＝CH，即可解决问题；
（2）由菱形的性质得BH＝DH＝4+CH，再由勾股定理得BH2＝BC2+CH2，即（4+CH）2＝82+CH2，求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠AGE＝∠CHF，∠GAE＝∠HCF＝90°，
在△AGE和△CHF中，
，
∴△AGE≌△CHF（AAS），
∴AG＝CH，
∴AB+AG＝CD+CH，
即BG＝DH，
∵AB∥CD
∴四边形BHDG是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，
∵四边形BHDG是菱形，
∴BH＝DH＝4+CH，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：BH2＝BC2+CH2，
即（4+CH）2＝82+CH2，
解得：CH＝6，
即CH的长为6．
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春•阜平县期末）如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，∠AOB＝40°，则∠ACD的度数为（ ）
A．50°B．55°C．65°D．70°
2．（2022春•喀什地区期末）如图，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AC＝2，则AB的长为（ ）
A．1B．2C．D．
3．（2022春•覃塘区期末）在矩形ABCD中，若相邻的两边长分别是4和，则对角线所夹的锐角度数是（ ）
A．30°B．40°C．45°D．60°
4．（2022春•平泉市期末）求证：矩形的两条对角线相等．
已知：如图，四边形ABCD为矩形．求证：AC＝BD．
以下是排乱的证明过程：
①∵BC＝CB
②∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB
③∵四边形ABCD是矩形
④∴AC＝DB
⑤∴△ABC≌△DCB
证明步骤正确的顺序是（ ）
A．①②③⑤④B．③①②⑤④C．①⑤②③④D．③②①⑤④
5．（2022春•海口期末）如图，在矩形ABCD中，DE∥AC，CE∥BD．AC＝4，则四边形OCED的周长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
6．（2022春•长乐区期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB＝4，BC＝8，则AE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．2
7．（2022春•静海区校级期中）如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于E交AB于E，点G是AE的中点，且∠AOG＝30°，OE＝1，则下列结论：（1）DC＝3OG；（2）OG＝BC；（3）四边形AECF为菱形；（4）S△AOE＝S四边形ABCD．其中正确的个数为（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④
8．（2022•荣昌区自主招生）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠DAC＝60°，点F在线段AO上，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①DO＝DA；②DF＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④∠BDE＝∠EFC中正确结论的序号为（ ）
A．①④B．①②③C．②③④D．①②③④
9．（2022秋•章丘区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形．则AE的长是（ ）
A．15B．20C．D．
10．（2022秋•姜堰区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝cm，点P从A点出发沿AB以cm/s的速度向点B运动，当PA＝PC时，点P运动的时间为（ ）
A．sB．2sC．10sD．10s或2s
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022春•费县期末）如图所示．在矩形ABCD中，AB＝2．BD＝4，则∠AOD＝ 度．
12．（2022春•仙居县期末）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若∠COB＝120°，AB＝6，则对角线BD＝ ．
13．（2022春•二道区期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分线度OB，垂足为点E，若BD＝15，则AB＝ ．
14．（2022春•洛江区期末）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，AD＝8cm，CE＝3cm，则AB＝ cm．
15．（2022春•盐都区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC的长为5，作AC的垂直平分线交BC于点M，连接AM，则△ABM的周长为 ．
16．（2022•南京模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OF⊥AB，垂足为点F，BE⊥AC，垂足为点E，且E是OC的中点．若OF＝2，则BD的长为 ．
17．（2022春•上犹县期末）如图，矩形ABCD中，已知：AB＝3，AD＝5，点P是BC上一点，且△PAD是等腰三角形，则BP＝ ．
18．（2022春•邗江区校级月考）点P在矩形ABCD内部，当点P到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“和谐点”．如图，点P在矩形ABCD内部，且AB＝10，BC＝6．若P是边AD的“和谐点”，连接PA，PB，PD，则tan∠PAB•tan∠PBA的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春•前郭县期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠AOB＝56°，求∠EAB的度数．
20．（2022春•玉州区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，OE＝OF．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积．
21．（2022春•铜官区期末）如图1，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，过对角线AC中点O的直线分别交边BC、AD于点E、F
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）如图2，当EF⊥AC时，求EF的长度．
22．（2021春•柳南区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AD＝2，∠AOB＝120°，求AB的长．
23．（2022秋•莲湖区校级月考）已知，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，DF，BP．
（1）如图1，当CF＝2BE＝2时，试说明△DEF是直角三角形；
（2）如图2，若点E是边AB的中点，DE平分∠ADF，求BF的长．
24．（2022春•嘉祥县期末）如图①，在矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．直线EF分别交BA、DC的延长线于点G、H．
（1）求证：四边形BHDG是平行四边形；
（2）如图②，若四边形BHDG是菱形，且AB＝4，BC＝8，求CH的长．
专题18.5矩形的性质专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春•阜平县期末）如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，∠AOB＝40°，则∠ACD的度数为（ ）
A．50°B．55°C．65°D．70°
【分析】根据矩形的性质可知，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，所以OC＝OD，根据对顶角相等得到∠AOB＝∠COD＝40°，再利用等腰三角形的性质求得∠ACD的度数即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵∠AOB＝40°，
∴∠COD＝40°，
∴∠OCD＝∠ODC＝70°．
故选：D．
2．（2022春•喀什地区期末）如图，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AC＝2，则AB的长为（ ）
A．1B．2C．D．
【分析】由矩形的性质得出OA＝OB＝1，再证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OA即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AC＝2，
∴OA＝AC＝1，OB＝BD，AC＝BD，
∴OA＝OB＝1，
∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝1；
故选：A．
3．（2022春•覃塘区期末）在矩形ABCD中，若相邻的两边长分别是4和，则对角线所夹的锐角度数是（ ）
A．30°B．40°C．45°D．60°
【分析】根据矩形的性质得出∠ABC＝90°，根据AB和BC的长求出AC，得出等边三角形AOB，即可求出对角线所夹的锐角度数．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，AC＝2AO，BD＝2BO，
∵AB＝4，BC＝4，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝8，
∴AO＝BO＝×8＝4，
∵AB＝4，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
即对角线所夹的锐角度数是60°．
故选：D．
4．（2022春•平泉市期末）求证：矩形的两条对角线相等．
已知：如图，四边形ABCD为矩形．求证：AC＝BD．
以下是排乱的证明过程：
①∵BC＝CB
②∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB
③∵四边形ABCD是矩形
④∴AC＝DB
⑤∴△ABC≌△DCB
证明步骤正确的顺序是（ ）
A．①②③⑤④B．③①②⑤④C．①⑤②③④D．③②①⑤④
【分析】写出证明过程，由证明过程可以判断顺序．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，
又∵BC＝BC，
∴△ABC≌△DCB，
∴AC＝BD，
故顺序为③②①⑤④．
故选：D．
5．（2022春•海口期末）如图，在矩形ABCD中，DE∥AC，CE∥BD．AC＝4，则四边形OCED的周长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】首先利用平行四边形的判定证明四边形ODEC为平行四边形，然后利用矩形的性质得到OD＝OC＝2即可求出四边形OCED的周长．
【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形ODEC为平行四边形，
∴DE＝OC，CE＝OD，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD，OD＝OC＝OA＝OB，
∴OD＝OC＝2，
∴DE＝CE＝2，
∴四边形OCED的周长为8．
故选：B．
6．（2022春•长乐区期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB＝4，BC＝8，则AE的长为（ ）
A．3B．4C．5D．2
【分析】连接CE，根据矩形的对边相等可得AD＝BC＝8，CD＝AB＝4，根据矩形的对角线互相平分可得OA＝OC，然后判断出OE垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AE＝CE，设AE＝CE＝x，表示出DE，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列出方程求解即可．
【解答】解：如图，连接CE，
在矩形ABCD中，
∵AB＝4，BC＝8，
∴AD＝BC＝8，CD＝AB＝4，OA＝OC，
∵OE⊥AC，
∴OE垂直平分AC，
∴AE＝CE，
设AE＝CE＝x，则DE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
即AE的长为5．
故选：C．
7．（2022春•静海区校级期中）如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于E交AB于E，点G是AE的中点，且∠AOG＝30°，OE＝1，则下列结论：（1）DC＝3OG；（2）OG＝BC；（3）四边形AECF为菱形；（4）S△AOE＝S四边形ABCD．其中正确的个数为（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④
【分析】根据条件，OG是直角△AOE斜边上的中线，且△FOC≌△EOA，然后利用三角函数求得BC、AB以及OA、OC之间的关系即可作出判断．
【解答】解：∵EF⊥AC，G是AF的中点，
∴AG＝OG＝GF，
∴∠OAF＝∠AOG＝30°，
在直角△ABC中，∠CAB＝30°，
∴BC＝AC＝OC，设BC＝a，AC＝2a，AO＝OC＝a．
AE＝a，AB＝a，OG＝a，
∴CD＝AB＝3OG，故①正确；
OG＝a≠a＝BC，故②错误；
∵∠FCO＝∠EAO，∠CFO＝∠AEO，OA＝OC，
∴△FOC≌△EOA（AAS），
∴OE＝OF，
又∵AO＝OC，EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形，故③正确；
∵S△AOE＝a•a＝a2，S矩形ABCD＝a•a＝a2，
∴S△AOE＝S矩形ABCD，故④正确．
故选：B．
8．（2022•荣昌区自主招生）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠DAC＝60°，点F在线段AO上，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①DO＝DA；②DF＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④∠BDE＝∠EFC中正确结论的序号为（ ）
A．①④B．①②③C．②③④D．①②③④
【分析】①根据∠DAC＝60°，OD＝OA，得出△OAD为等边三角形，即可得出结论①正确；
②如图，连接OE，利用SAS证明△DAF≌△DOE，再证明△ODE≌△OCE，即可得出结论②正确；
③通过等量代换即可得出结论③正确；
④根据△DAO，△DEF是等边三角形可以证明∠EFC＝∠ADF，然后根据②∠ADF＝∠BDE，等量代换即可得到∠BDE＝∠EFC．
【解答】解：①在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∵∠DAC＝60°，OD＝OA，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD，故①正确，
②连接OE．
∵△DFE为等边三角形，
∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE，
∵∠BDE+∠FDO＝∠ADF+∠FDO＝60°，
∴∠BDE＝∠ADF，
∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°，
∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠DAF＝120°，
∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°，
∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°，
∴∠ADF＝∠EFC，
∴∠BDE＝∠EFC，
在△DAF和△DOE中，
，
∴△DAF≌△DOE（SAS），
∴∠DOE＝∠DAF＝60°，
∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°，
∴∠COE＝∠DOE，
在△ODE和△OCE中，
，
∴△ODE≌△OCE（SAS），
∴ED＝EC＝DF，故②正确；
③∵∠ODE＝∠ADF，
∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，
故结论③正确；
④∵△DAO，△DEF是等边三角形，
∴∠DAO＝∠DFE＝60°，
∴∠EFC+∠AFD＝∠ADF+∠AFD＝120°，
∴∠EFC＝∠ADF，
根据②知∠ADF＝∠BDE，
∴∠BDE＝∠EFC．
故④正确．
故选：D．
9．（2022秋•章丘区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形．则AE的长是（ ）
A．15B．20C．D．
【分析】连接EF交AC于点O，连接CE，根据菱形的性质可得CF＝CE，证明△CFO≌△AEO，可得CF＝AE，再根据勾股定理可得CE的长，进而可得结论．
【解答】解：如图，连接EF交AC于点O，连接CE，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥GH，OE＝OF，
∴CF＝CE，
在△CFO和△AEO中，
，
∴△CFO≌△AEO（AAS），
∴CF＝AE，
∴CE＝AE，
∴BE＝AB﹣AE＝24﹣CE，
在Rt△CEB中，根据勾股定理，得
CE2＝BE2+BC2，
∴CE2＝（24﹣CE）2+122，
解得CE＝15．
∴AE＝15．
故选：A．
10．（2022秋•姜堰区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝cm，点P从A点出发沿AB以cm/s的速度向点B运动，当PA＝PC时，点P运动的时间为（ ）
A．sB．2sC．10sD．10s或2s
【分析】设点P运动的时间为ts，根据题意得：AP＝tcm，PC＝＝tcm，PB＝AB﹣AP＝（3﹣t）cm，然后根据勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：设点P运动的时间为ts，
根据题意得：AP＝tcm，
∴PC＝＝tcm，
∵PB＝AB﹣AP＝（3﹣t）cm，
∴PC2＝BC2+PB2，
∴t2＝2+（3﹣t）2，
解得t＝2或t＝10（舍去），
∴点P运动的时间为2s，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022春•费县期末）如图所示．在矩形ABCD中，AB＝2．BD＝4，则∠AOD＝ 120 度．
【分析】根据矩形的性质可知OA＝OB，OB＝BD，证得OB＝OA＝AB＝2，所以△AOB是等边三角形，得出∠AOB＝60°，则∠AOD＝120°．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝AC，OB＝BD，
∴OA＝OB，
∵BD＝4，AB＝2，
∴OB＝OA＝AB＝2，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠AOD＝120°．
故答案为：120．
12．（2022春•仙居县期末）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若∠COB＝120°，AB＝6，则对角线BD＝ 12 ．
【分析】根据矩形性质求出BD＝2OB，OA＝OB，求出∠AOB＝60°，得出等边△AOB，求出OB＝AB，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝2OB，AC＝2OA，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB＝AB＝6，
∴BD＝2OB＝12，
故答案为：12．
13．（2022春•二道区期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分线度OB，垂足为点E，若BD＝15，则AB＝ 7.5 ．
【分析】首先利用矩形的性质得到OA的长度，然后利用线段的垂直平分线的性质得到AB＝OB＝OA即可求解．
【解答】解：∵矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴AO＝OB＝OC＝OD，
而BD＝15，
∴OB＝OA＝BD＝7.5，
∵AE垂直平分线段OB，
∴AB＝OA，
∴AB＝OB＝OA，
∴AB＝7.5．
故答案为：7.5．
14．（2022春•洛江区期末）如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，AD＝8cm，CE＝3cm，则AB＝ 5 cm．
【分析】首先利用矩形的性质得到可以证明∠DAE＝∠BEA，然后利用角平分线的性质证明∠BAE＝∠BEA，接着利用等腰三角形的判定得到AB＝BE即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，
∵AD＝8cm，CE＝3cm，
∴BC＝8，
∴AB＝BE＝BC﹣CE＝8﹣3＝5cm．
故答案为：5．
15．（2022春•盐都区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC的长为5，作AC的垂直平分线交BC于点M，连接AM，则△ABM的周长为 7 ．
【分析】由勾股定理可求BC的长，由线段垂直平分线的性质可得AM＝CM，可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴BC＝＝＝4，
∵AC的垂直平分线交BC于点M，
∴AM＝CM，
∴△ABM的周长＝AB+BM+AM＝AB+BC＝7，
故答案为：7．
16．（2022•南京模拟）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OF⊥AB，垂足为点F，BE⊥AC，垂足为点E，且E是OC的中点．若OF＝2，则BD的长为 8 ．
【分析】根据矩形的性质可以得到OC＝OB，再根据BE⊥AC及E点为CO的中点，根据线段垂直平分线的性质证得△CBO是等边三角形，从而得到∠DBA＝30°，然后根据30°直角三角形的性质求得BO长，BD＝2BO，即可得出答案．
【解答】解：∵BE⊥AC，E点为CO的中点，
∴BE垂直平分OC，
∴BC＝OB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OC＝OA，OD＝OB，∠CBA＝90°，
∴OC＝OB，
∴CB＝BO＝CO，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠CBD＝60°，
∴∠DBA＝30°，
∵OF⊥AB，OF＝2，
∴BO＝2OF＝4，
∵O点为BD中点，
∴BD＝2BO＝8．
故答案为：8．
17．（2022春•上犹县期末）如图，矩形ABCD中，已知：AB＝3，AD＝5，点P是BC上一点，且△PAD是等腰三角形，则BP＝ 1或4或2.5 ．
【分析】根据矩形的性质可知DC＝AB＝3，AD＝BC＝5，再根据△PAD是等腰三角形的性质可得DP＝AD＝5，勾股定理可得CP的长度，则BP＝BC﹣CP，即可求得BP的长度．
【解答】解：①当DP＝AD时，
∵矩形ABCD，
∴DC＝AB＝3，AD＝BC＝5，
∵△PAD是等腰三角形，
∴DP＝AD＝5，
在Rt△PCD中，
PC＝＝4，
∴BP＝BC﹣CP＝5﹣4＝1．
②当AD＝AP时，
∴AP＝AD＝5，
在Rt△ABP中，
由勾股定理得，
BP＝＝4，
③当AP＝DP时，
过P作PE⊥AD于点E，
∴AE＝AD＝2.5，
∵∠B＝∠BAE＝∠AEP＝90°，
∴四边形ABPE是矩形，
∴BP＝AE＝2.5．
综上所述，BP＝1或4或2.5．
故答案为：1或4或2.5．
18．（2022春•邗江区校级月考）点P在矩形ABCD内部，当点P到矩形的一条边的两个端点距离相等时，称点P为该边的“和谐点”．如图，点P在矩形ABCD内部，且AB＝10，BC＝6．若P是边AD的“和谐点”，连接PA，PB，PD，则tan∠PAB•tan∠PBA的最小值为 ．
【分析】过点P作PN⊥AB于N，tan∠PAB•tan∠PBA＝•＝，设AN＝x，则BN＝10﹣x，求出AN•BN有最大值25，即可求得tan∠PAB•tan∠PBA的最小值是．
【解答】解：过点P作PN⊥AB于N，如图：
∵点P是边AD的“和谐点”，
∴PA＝PD，
∴PN＝BC＝3，
∴tan∠PAB＝，tan∠PBA＝，
∴tan∠PAB•tan∠PBA＝•＝，
设AN＝x，则BN＝10﹣x，
∴AN•BN＝x（10﹣x）＝﹣（x﹣5）2+25，
当x＝5时，AN•BN有最大值25，
∴有最小值，
∴tan∠PAB•tan∠PBA的最小值是．
三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022春•前郭县期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠AOB＝56°，求∠EAB的度数．
【分析】根据矩形的性质可知OA＝OB，根据∠AOB的度数求出∠ABO的度数，然后根据直角三角形的锐角互余求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴AO＝OB，
又∵∠AOB＝56°，
∴∠OBA＝∠OAB＝62°，
∵AE⊥BD，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝28°．
20．（2022春•玉州区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，OE＝OF．
（1）求证：AE＝CF．
（2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积．
【分析】（1）由矩形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，证出OE＝OF，由SAS证明△AOE≌△COF，即可得出AE＝CF；
（2）证出△AOB是等边三角形，得出OA＝AB＝3，AC＝2OA＝6，在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC，即可得出矩形ABCD的面积．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形
∴OA＝OC，
在△AOE和△COF
∵，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴AE＝CF．
（2）∵四边形ABCD是矩形
∴AC＝BD
∵，
∴AO＝DO
∴
∴在Rt△ADB中，BD＝2AB＝4，
∴
∴矩形ABCD的面积＝．
21．（2022春•铜官区期末）如图1，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，过对角线AC中点O的直线分别交边BC、AD于点E、F
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）如图2，当EF⊥AC时，求EF的长度．
【分析】（1）证明△AOF≌△COE全等，可得AF＝EC，∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形；
（2）由（1）知四边形AECF是平行四边形，且EF⊥AC，∴四边形AECF为菱形，假设BE＝a，根据勾股定理求出a，从而得知EF的长度；
【解答】解：∵矩形ABCD，∴AF∥EC，AO＝CO
∴∠FAO＝∠ECO
∴在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE（ASA）
∴AF＝EC
又∵AF∥EC
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）由（1）知四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF为菱形，
设BE＝a，则AE＝EC＝3﹣a
∴a2+22＝（3﹣a）2
∴a＝
则AE＝EC＝，
∵AB＝2，BC＝3，
∴AC＝＝
∴AO＝OC＝，
∴OE＝＝＝，
∴EF＝2OF＝．
22．（2021春•柳南区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，AE＝CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AD＝2，∠AOB＝120°，求AB的长．
【分析】（1）根据平行四边形的判定即可求出答案．
（2）根据矩形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
（2）由（1）可知：OA＝OB，
∵∠AOB＝120°，
∴∠DBA＝30°，
∵AD＝2，
∴AB＝AD＝6．
23．（2022秋•莲湖区校级月考）已知，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F分别是边AB，BC上的点，连接DE，DF，BP．
（1）如图1，当CF＝2BE＝2时，试说明△DEF是直角三角形；
（2）如图2，若点E是边AB的中点，DE平分∠ADF，求BF的长．
【分析】（1）在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2＝62+72＝85，在Rt△DCF中，DF2＝DC2+CF2＝82+22＝68，在Rt△BEF中，EF2＝BE2+BF2＝12+42＝17，得出DF2+EF2＝DE2，即可得出结论；
（2）作EH⊥DF于H，则∠A＝∠DHE＝90°，证明△AED≌△HED（AAS），得出DA＝DH＝6，EA＝EH＝4，得出EH＝EB＝4，证明Rt△EHF≌Rt△EBF（HL），得出BF＝HF．设BF＝x，则HF＝x，CF＝6﹣x，得出DF＝DH+HF＝6+x，在Rt△CDF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明；∵CF＝2BE＝2，
∴BE＝1，
∴AE＝AB﹣BE＝7．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝6，
在Rt△ADE中，DE2＝AE2+AD2＝62+72＝85，
在Rt△DCF中，DF2＝DC2+CF2＝82+22＝68，
在Rt△BEF中，EF2＝BE2+BF2＝12+42＝17，
∴DF2+EF2＝DE2，
∴△DEF是直角三角形，且∠DFE＝90°；
（2）解：作EH⊥DF于H，
则∠A＝∠DHE＝90°．
∵DE平分∠ADF，
∴∠ADE＝∠HDE，
在△AED和△HED中，
，
∴△AED≌△HED（AAS），
∴DA＝DH＝6，EA＝EH＝4，
∴EH＝EB＝4，
在Rt△EHF和Rt△EBF中，
，
∴Rt△EHF≌Rt△EBF（HL），
∴BF＝HF．
设BF＝x，则HF＝x，CF＝6﹣x，
∴DF＝DH+HF＝6+x，
在Rt△CDF中，DC2+CF2＝DF2，
∴82+（6﹣x）2＝（6+x）2，
∴x＝，
即BF＝．
24．（2022春•嘉祥县期末）如图①，在矩形ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．直线EF分别交BA、DC的延长线于点G、H．
（1）求证：四边形BHDG是平行四边形；
（2）如图②，若四边形BHDG是菱形，且AB＝4，BC＝8，求CH的长．
【分析】（1）由“AAS”证△AGE≌△CHF，得AG＝CH，即可解决问题；
（2）由菱形的性质得BH＝DH＝4+CH，再由勾股定理得BH2＝BC2+CH2，即（4+CH）2＝82+CH2，求解即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠AGE＝∠CHF，∠GAE＝∠HCF＝90°，
在△AGE和△CHF中，
，
∴△AGE≌△CHF（AAS），
∴AG＝CH，
∴AB+AG＝CD+CH，
即BG＝DH，
∵AB∥CD
∴四边形BHDG是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，
∵四边形BHDG是菱形，
∴BH＝DH＝4+CH，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：BH2＝BC2+CH2，
即（4+CH）2＝82+CH2，
解得：CH＝6，
即CH的长为6．
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