初中人教版18.2.1 矩形课时练习

这是一份初中人教版18.2.1 矩形课时练习，共27页。试卷主要包含了6矩形的判定专项提升训练等内容，欢迎下载使用。
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春•东莞市校级期中）如图，要使平行四边形ABCD为矩形，则可添加下列哪个条件（ ）
A．BO＝DOB．AC⊥BDC．AB＝BCD．AO＝DO
2．（2022春•同安区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是（ ）
A．∠BAD＝∠ABCB．AB⊥BDC．AC⊥BDD．AB＝BC
3．（2022•宜兴市校级二模）添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD成为矩形的是（ ）
A．AB＝CDB．AC⊥BDC．∠BAD＝90°D．AB＝BC
4．（2022•南京模拟）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
A．AB＝BEB．CE⊥DEC．∠ADB＝90°D．BE⊥AB
5．（2022春•德城区校级期中）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法，其中正确的有（ ）个
①四边形AEDF是平行四边形：
②如果∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形：
③如果AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形：
④如果AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形，
A．1B．2C．3D．4
6．（2022•路南区三模）问题背景：如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形．讨论交流：
小明说：“若AB＝AC，则四边形ADCE是矩形．”
小强说：“若∠BAC＝90°，则四边形ADCE是菱形．”
下列说法中正确的是（ ）
A．小明不对，小强对B．小明对，小强不对
C．小明和小强都对D．小明和小强都不对
7．（2022春•宜阳县期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，DF平分∠ADC，则（ ）
A．AE＝DFB．四边形AFED是菱形
C．四边形FBCE是菱形D．四边形AFED是矩形
8．（2022春•新罗区期末）在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，设∠DBC＝θ，∠BOC＝β，若β关于θ的函数解析式是β＝180°﹣2θ（0°＜θ＜90°），则下列说法正确的是（ ）
A．BO＝BCB．OC＝BC
C．四边形ABCD是菱形D．四边形ABCD是矩形
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022秋•砀山县校级月考）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC＝BD，请添加一个条件 ，使四边形ABCD是矩形．
10．（2022春•铁东区期末）一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是 ．
11．（2022春•北京期末）如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，再添加一个条件，使得四边形ABCD是矩形，可添加的条件是 ．（写出一个条件即可）
12．（2022春•朝阳区期末）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC与点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
13．（2022春•丹阳市校级月考）将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为，如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移，在平移的过程中，当点B的移动距离为 时，四边形ABC1D1为矩形．
14．（2022秋•二七区校级月考）如图，线段AB⊥BC，以C为圆心，BA为半径画弧，然后再以A为圆心，BC为半径画弧，两弧交于点D，则四边形ABCD是矩形，其依据是 ．
15．（2022春•平谷区期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DF∥EG．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
16．（2021春•贵港期末）过△ABC的顶点C画线段CD，使得线段CD与AB边平行且相等，则下列说法：
①若∠BAC＝90°，则以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形；
②若以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则∠BAC＝90°；
③若AB＝AC＝BC，则以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形；
④若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则AB＝AC．
其中正确的说法有 个．
17．（2021春•金东区期末）如图，在平面直角坐标系中，有点A（3，0），点B（3，5），射线AO上的动点C，y轴上的动点D，平面上的一个动点E，若∠CBA＝∠CBD，以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，则AC的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（2018春•邢台期末）如图，DB∥AC，DE∥BC，DE与AB交于点F，E是AC的中点．
（1）求证：F是AB的中点；
（2）若要使DBEA是矩形，则需给△ABC添加什么条件？并说明理由．
19．（2021秋•天府新区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形；
20．（2022秋•奉贤区月考）如图，已知四边形ABCD和四边形ABEF都是平行四边形，分别联结FD、EC．
（1）求证：四边形CDFE是平行四边形；
（2）设AB与EC交于点G，如果EG＝CG，∠AFD＝∠ADF，求证：四边形CDFE是矩形．
21．（2022春•相城区校级期中）已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点G、H分别是AD、BC的中点，点E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）当AB与BD满足条件 时，四边形GEHF是矩形．
22．（2022春•隆回县期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1．
（1）求BE和EC的长，并判断△BEC的形状；
（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并说明理由．
（3）求四边形EFPH的面积．
23．如图，▱ABCD中，AC＝12cm，BD＝16cm，在对角线BD上，E，F两点分别从B，D点往终点D，B运动，它们的速度都是每秒1cm/s，且同时出发，同时停止，若它们运动时间为t．
（1）当t≠8时，判断四边形AECF的形状，并说明你的结论．
（2）当运动时间t为多少时，四边形AECF为矩形？
24．（2022春•河北区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：四边形AEFD为平行四边形；
（2）①当t＝ s时，四边形AEFD为菱形；
②当t＝ s时，四边形DEBF为矩形；
专题18.6矩形的判定专项提升训练（重难点培优）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022春•东莞市校级期中）如图，要使平行四边形ABCD为矩形，则可添加下列哪个条件（ ）
A．BO＝DOB．AC⊥BDC．AB＝BCD．AO＝DO
【分析】根据矩形的判定方法即可得出结论．
【解答】解：需要添加的条件是AO＝DO，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝OD，
∵AO＝DO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；
故选：D．
2．（2022春•同安区期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是（ ）
A．∠BAD＝∠ABCB．AB⊥BDC．AC⊥BDD．AB＝BC
【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝∠ABC，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A符合题意；
B、∵AB⊥BD，
∴∠ABD＝90°，不能判定平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：A．
3．（2022•宜兴市校级二模）添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD成为矩形的是（ ）
A．AB＝CDB．AC⊥BDC．∠BAD＝90°D．AB＝BC
【分析】由矩形的判定即可得出结论．
【解答】解：∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴当∠BAD＝90°，平行四边形ABCD是矩形，
故选：C．
4．（2022•南京模拟）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
A．AB＝BEB．CE⊥DEC．∠ADB＝90°D．BE⊥AB
【分析】先证四边形DBCE为平行四边形，再由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，BC＝AD，BC∥AD，AB∥CD，
∵DE＝AD，
∴BC＝DE，
∵BC∥AD，
∴BC∥DE，
∴四边形DBCE是平行四边形
A、∵AB＝BE时，AB＝CD，
∴BE＝CD，
∴平行四边形DBCE是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵CE⊥DE，
∴∠CED＝90°时，
∴平行四边形DBCE是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵∠ADB＝90°，
∴∠BDE＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴平行四边形DBCE是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵BE⊥AB，AB∥CD，
∴BE⊥CD，
∴平行四边形DBCE是菱形，故选项D符合题意．
故选：D．
5．（2022春•德城区校级期中）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法，其中正确的有（ ）个
①四边形AEDF是平行四边形：
②如果∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形：
③如果AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形：
④如果AD⊥BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形，
A．1B．2C．3D．4
【分析】先由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，根据DE∥CA，DF∥BA，得出AEDF为平行四边形，得出①正确；当∠BAC＝90°，根据推出的平行四边形AEDF，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形可得出②正确；若AD平分∠BAC，得到一对角相等，再根据两直线平行内错角相等又得到一对角相等，等量代换可得∠EAD＝∠EDA，利用等角对等边可得一组邻边相等，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得出③正确；由AB＝AC，AD⊥BC，根据等腰三角形的三线合一可得AD平分∠BAC，同理可得四边形AEDF是菱形，④正确，进而得到正确说法的个数．
【解答】解：∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，选项①正确；
若∠BAC＝90°，
∴平行四边形AEDF为矩形，选项②正确；
若AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD，
又∵DE∥CA，
∴∠EDA＝∠FAD，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴AE＝DE，
∴平行四边形AEDF为菱形，选项③正确；
若AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
同理可得平行四边形AEDF为菱形，选项④正确，
则其中正确的个数有4个．
故选：D．
6．（2022•路南区三模）问题背景：如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形．讨论交流：
小明说：“若AB＝AC，则四边形ADCE是矩形．”
小强说：“若∠BAC＝90°，则四边形ADCE是菱形．”
下列说法中正确的是（ ）
A．小明不对，小强对B．小明对，小强不对
C．小明和小强都对D．小明和小强都不对
【分析】利用矩形的判定和菱形的判定可直接判断．
【解答】解：若AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴平行四边形ADCE是矩形，
若∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，
∴AD＝CD，
∴平行四边形ADCE是菱形，
故小明和小强的说法都对，
故选：C．
7．（2022春•宜阳县期末）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，DF平分∠ADC，则（ ）
A．AE＝DFB．四边形AFED是菱形
C．四边形FBCE是菱形D．四边形AFED是矩形
【分析】根据平行四边形的性质得出DC∥AB，AD∥BC，AD＝BC，根据平行线的性质得出∠DEA＝∠BAE，∠EDF＝∠AFD，根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠DAE，∠EDF＝∠ADF，求出∠DAE＝∠DEA，∠ADF＝∠AFD，根据等腰三角形的判定得出AD＝DE，AF＝AD，求出DE＝AF，再逐个判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB（即DE∥AF），
∴∠DEA＝∠BAE，∠EDF＝∠AFD，
∵AE平分∠DAB，DF平分∠ADC，
∴∠BAE＝∠DAE，∠EDF＝∠ADF，
∴∠DAE＝∠DEA，∠ADF＝∠AFD，
∴AD＝DE，AF＝AD，
∴DE＝AF，
∴四边形AFED是菱形，
∴AD∥EF，AD＝EF，AE⊥DF（AE不一定等于DF）
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∴四边形FBCE是平行四边形，不能推出四边形FBCE是菱形，
所以只有选项B符合题意，选项A、选项C、选项D都不符合题意；
故选：B．
8．（2022春•新罗区期末）在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，设∠DBC＝θ，∠BOC＝β，若β关于θ的函数解析式是β＝180°﹣2θ（0°＜θ＜90°），则下列说法正确的是（ ）
A．BO＝BCB．OC＝BC
C．四边形ABCD是菱形D．四边形ABCD是矩形
【分析】由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证∠OCB＝θ，则∠DBC＝∠OCB，得OB＝OC，然后得AC＝BD，即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵∠DBC＝θ，∠BOC＝β，β＝180°﹣2θ，
∴2θ+β＝180°，
∵∠DBC+∠BOC+∠OCB＝180°，
即θ+β+∠OCB＝180°，
∴∠OCB＝θ，
∴∠DBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
∴AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
9．（2022秋•砀山县校级月考）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC＝BD，请添加一个条件 AB＝CD（答案不唯一） ，使四边形ABCD是矩形．
【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：添加一个条件为：AB＝CD，使四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵AB＝CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．
10．（2022春•铁东区期末）一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯两次，就能得到矩形踏板．理由是 有一个角为直角的平行四边形是矩形． ．
【分析】根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”进行判断即可．
【解答】解：∵在一边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次得到的两条边平行，
∴得到了一个平行四边形，
∵与两边分别垂直，
∴就能得到矩形踏板，
故答案为：有一个角为直角的平行四边形是矩形．
11．（2022春•北京期末）如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，再添加一个条件，使得四边形ABCD是矩形，可添加的条件是 AC＝BD（答案不唯一） ．（写出一个条件即可）
【分析】由矩形的判定定理即可得出结论．
【解答】解：可添加的条件是：AC＝BD，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，
故答案为：AC＝BD（答案不唯一）．
12．（2022春•朝阳区期末）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC与点E，点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是 BE＝CF（答案不唯一） （写出一个即可）．
【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，再证AD＝EF，得四边形AEFD是平行四边形，然后证∠AEF＝90°，即可得出结论．
【解答】解：添加条件为：BE＝CF，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
∴AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
又∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD是矩形，
故答案为：BE＝CF（答案不唯一）．
13．（2022春•丹阳市校级月考）将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为，如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移，在平移的过程中，当点B的移动距离为 1 时，四边形ABC1D1为矩形．
【分析】当点B的移动距离为时，∠C1BB1＝60°，则∠ABC1＝90°，根据有一直角的平行四边形是矩形，可判定四边形ABC1D1为矩形．
【解答】解：如图：
当四边形ABC1D是矩形时，∠B1BC1＝90°﹣30°＝60°，
∵B1C1＝，
∴BB1＝，
当点B的移动距离为1时，四边形ABC1D1为矩形，
故答案为：1．
14．（2022秋•二七区校级月考）如图，线段AB⊥BC，以C为圆心，BA为半径画弧，然后再以A为圆心，BC为半径画弧，两弧交于点D，则四边形ABCD是矩形，其依据是 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ．
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，由有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论．
【解答】解：∵AB＝CD，CB＝AD，
∴四边形ABCD为平行四边形（两组对边相等的四边形是平行四边形），
又∵∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
故答案为：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
15．（2022春•平谷区期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DF∥EG．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 ∠DFG＝90°（答案不唯一） ．（写出一个即可）
【分析】由三角形中位线定理得DE∥BC，再由DF∥EG，得四边形DFGE是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论．
【解答】解：添加条件为：∠DFG＝90°，理由如下：
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∵DF∥EG，
∴四边形DFGE是平行四边形，
又∵∠DFG＝90°，
∴平行四边形DFGE是矩形，
故答案为：∠DFG＝90°（答案不唯一）．
16．（2021春•贵港期末）过△ABC的顶点C画线段CD，使得线段CD与AB边平行且相等，则下列说法：
①若∠BAC＝90°，则以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形；
②若以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则∠BAC＝90°；
③若AB＝AC＝BC，则以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形；
④若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则AB＝AC．
其中正确的说法有 1 个．
【分析】根据矩形的判定和菱形的判定解答即可．
【解答】解：∵CD∥AB，CD＝AB，
∴以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
①若∠BAC＝90°，则以A，B，C，D为顶点的四边形不是矩形，故①错误；
②若以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则∠ABC＝90°，故②错误；
③若AB＝AC＝BC，则以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，故③正确；
④若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则AB＝BC，故④错误；
正确的说法有1个，
故答案为：1．
17．（2021春•金东区期末）如图，在平面直角坐标系中，有点A（3，0），点B（3，5），射线AO上的动点C，y轴上的动点D，平面上的一个动点E，若∠CBA＝∠CBD，以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，则AC的长为 或或15 ．
【分析】存在三种情况：①作辅助线，构建等腰△BDF，先根据三角形内角和得∠BDC＝∠F，再由等腰三角形三线合一的性质得CD＝CF，最后证明△DCO≌△FCA（AAS），可得结论．②如图2，同理构建直角三角形，利用勾股定理可得结论；③如图3，同理可得结论．
【解答】解：存在三种情况：
①如图1，延长BA和DC交于点F，
∵点A（3，0），点B（3，5），
∴AB⊥x轴，OA＝3，
∵四边形DCBE是矩形，
∴∠DCB＝90°，
∴∠BCF＝∠DCB＝90°，
∵∠CBD＝∠CBF，
∴∠BDC＝∠BFC，
∴BD＝BF，
∴CD＝CF，
在△DCO和△FCA中，
，
∴△DCO≌△FCA（AAS），
∴OC＝AC，
∵AC＝OA＝．
②如图2，过点B作BM⊥y轴于M，则∠BMD＝90°，
∵四边形CDBE是矩形，
∴∠CDB＝90°，
∵∠CBA＝∠CBD，∠CAB＝90°，
∴BD＝BA＝5，AC＝CD，
∵BM＝3，
∴DM＝4，
∴CD＝5﹣4＝1，
设AC＝x，则OC＝3﹣x，CD＝x，
由勾股定理得：CD2＝OD2+OC2，
即x2＝12+（3﹣x）2，
解得：x＝，
∴AC＝；
③如图3，过点D作NL∥x轴，交AB的延长线于L，过C作CN⊥NL于N，则∠N＝∠L＝90°，
∵∠CDB＝∠CBA＝90°，∠CBA＝∠CBD，
∴CD＝AC，
设AC＝b，则CD＝b，OC＝DN＝b﹣3，
∵AB＝BD＝5，
∵DL＝3，
∴BL＝4，
∴CN＝AL＝5+4＝9，
由勾股定理得：CN2+DN2＝CD2，
即92+（b﹣3）2＝b2，
解得：b＝15，
综上，AC的长为或或15；
故答案为：或或15．
三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（2018春•邢台期末）如图，DB∥AC，DE∥BC，DE与AB交于点F，E是AC的中点．
（1）求证：F是AB的中点；
（2）若要使DBEA是矩形，则需给△ABC添加什么条件？并说明理由．
【分析】（1）由题意可证四边形DBCE是平行四边形，可得DB＝EC，且E是AC中点，可证四边形DBEA是平行四边形，可得结论．
（2）添AB＝BC，且AE＝EC可证BE⊥AC，即可得四边形DBEA是矩形．
【解答】证明：（1）∵DE∥BC，BD∥AC
∴四边形DBCE是平行四边形
∴DB＝EC，
∵E是AC中点
∴AE＝EC
∵AE＝EC＝DB，AC∥DB
∴四边形ADBE是平行四边形
∴AF＝BF，即F是AB中点．
（2）添加AB＝BC
∵AB＝BC，AE＝EC
∴BE⊥AC
∴平行四边形DBEA是矩形．
19．（2021秋•天府新区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
求证：四边形ADCE为矩形；
【分析】根据三个角是直角是四边形是矩形即可证明；
【解答】证明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．
∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN．
∴∠DAE＝90°，
∵CE⊥AN，
∴∠AEC＝90°．
∴四边形ADCE为矩形．
20．（2022秋•奉贤区月考）如图，已知四边形ABCD和四边形ABEF都是平行四边形，分别联结FD、EC．
（1）求证：四边形CDFE是平行四边形；
（2）设AB与EC交于点G，如果EG＝CG，∠AFD＝∠ADF，求证：四边形CDFE是矩形．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，AB∥EF，AB＝EF，则CD∥EF，CD＝EF，即可得出结论；
（2）先证AF＝AD，再由平行四边形的性质证出BC＝BE，然后由等腰三角形的性质得AB⊥CE，则EF⊥CE，即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵四边形ABEF是平行四边形，
∴AB∥EF，AB＝EF，
∴CD∥EF，CD＝EF，
∴四边形CDFE是平行四边形；
（2）∵∠AFD＝∠ADF，
∴AF＝AD，
∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD＝BC，
∵四边形ABEF是平行四边形，
∴AF＝BE，
∴BC＝BE，
∵EG＝CG，
∴AB⊥CE，
由（1）得：AB∥EF，
∴EF⊥CE，
∴∠CEF＝90°，
又∵四边形CDFE是平行四边形，
∴平行四边形CDFE是矩形．
21．（2022春•相城区校级期中）已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点G、H分别是AD、BC的中点，点E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）当AB与BD满足条件 BD＝2AB 时，四边形GEHF是矩形．
【分析】（1）由三角形中位线定理得GF∥OA，GF＝OA，同理EH∥OC，EH＝OC，再由平行四边形的性质得OA＝OC，则EH∥GF，EH＝GF，即可得出结论；
（2）连接GH，由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，再证四边形ABHG是平行四边形，得AB＝GH，然后证GH＝EF，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵G，F分别为AD，DO的中点，
∴GF为△AOD的中位线，
∴GF∥OA，GF＝OA，
同理可得：EH∥OC，EH＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∴EH∥GF，EH＝GF，
∴四边形GEHF是平行四边形；
（2）解：当BD＝2AB时，四边形GEHF是矩形．
理由：如图，连接GH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，
∵G，H分别是AD，BC的中点，
∴AG＝BH，AG∥BH，
∴四边形ABHG是平行四边形，
∴AB＝GH，
∵E，F分别是BO，DO的中点，
∴BE＝OE＝OF＝DF，
∴BD＝2EF，
∵BD＝2AB，
∴EF＝AB，
∴GH＝EF，
∴平行四边形GEHF是矩形．
22．（2022春•隆回县期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1．
（1）求BE和EC的长，并判断△BEC的形状；
（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并说明理由．
（3）求四边形EFPH的面积．
【分析】（1）由勾股定理求出BE和EC的长，再由勾股定理的逆定理可得∠BEC＝90°，即可得出结论；
（2）证四边形APCE、四边形DEBP均为平行四边形，得AP∥CE，BE∥PD，再证四边形EFPH为平行四边形，即可得出结论；
（3）利用勾股定理分别求解EP，PH的长，即可求出矩形EFPH的面积．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝5，CD＝AB＝2，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵DE＝BP＝1，
∴AE＝5﹣1＝4，
在Rt△ABE和Rt△DEC中，由勾股定理得：BE＝＝＝2，EC＝＝＝，
△BEC为直角三角形，理由如下：
∵BE2＝AB2+AE2＝22+42＝20，CE2＝CD2+DE2＝22+12＝5，BC＝5，
∴BE2+CE2＝25＝BC2，
∴∠BEC＝90°，
∴△BEC为直角三角形；
（2）四边形EFPH为矩形，理由如下：
∵AD∥BC，AD＝BC，ED＝BP＝1，
∴AE＝PC，
∴四边形APCE、四边形DEBP均为平行四边形，
∴AP∥CE，BE∥PD，
∴四边形EFPH为平行四边形，
由（1）可知，∠BEC＝90°，
∴平行四边形EFPH为矩形；
（3）由（2）可知，四边形EFPH为矩形，
∴∠EHP＝∠EFP＝90°，
∴BE⊥AP，DP⊥EC，
在Rt△ABP中，AB＝2，BP＝1，
∴AP＝＝＝，
∴BH＝＝＝，
∴EH＝BE﹣BH＝2﹣＝，
在Rt△HBP中，由勾股定理得：PH＝＝＝，
∴S矩形EFPH＝EH•PH＝×＝．
23．如图，▱ABCD中，AC＝12cm，BD＝16cm，在对角线BD上，E，F两点分别从B，D点往终点D，B运动，它们的速度都是每秒1cm/s，且同时出发，同时停止，若它们运动时间为t．
（1）当t≠8时，判断四边形AECF的形状，并说明你的结论．
（2）当运动时间t为多少时，四边形AECF为矩形？
【分析】（1）根据题意可得AO＝CO，EO＝FO，即可证四边形AECF是平行四边形；
（2）由四边形AECF是矩形可得AC＝EF，可列方程可解t的值．
【解答】解：（1）四边形AECF是平行四边形
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AO＝CO，BO＝EO
∵BE＝DF＝t
∴EO＝FO，AO＝CO
∴四边形AECF是平行四边形
（2）若四边形AECF是矩形
∴AC＝EF
∴12＝16﹣2t或12＝2t﹣16
解得：t＝2或14
当t＝2或14时，四边形AECF为矩形．
24．（2022春•河北区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：四边形AEFD为平行四边形；
（2）①当t＝ 10 s时，四边形AEFD为菱形；
②当t＝ s时，四边形DEBF为矩形；
【分析】（1）由题意得∠BCA＝30°，CD＝4tcm，AE＝2tcm，再由含30°角的直角三角形的性质得DF＝DC＝2tcm，得到AE＝DF，然后证AE∥DF，即可得出结论；
（2）①由AE＝AD，得四边形AEFD为菱形，得2t＝60﹣4t，进而求得t的值；
②∠EDF＝∠B＝∠DFB＝90°时，四边形DEBF为矩形，得到∠AED＝90°，再证AD＝2AE，得60﹣4t＝4t，即可得出结论．
【解答】（1）证明：由题意可知CD＝4tcm，AE＝2tcm，
∵∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠C＝30°，
∴DF＝DC＝2tcm．
∵AE＝2tcm，DF＝2tcm，
∴AE＝DF．
又∵DF⊥BC，AB⊥BC，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
（2）解：①∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
∵AE＝DF，AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴要使平行四边形AEFD为菱形，则需AE＝AD，
即2t＝60﹣4t，
解得t＝10，
∴当t＝10时，四边形AEFD为菱形，
故答案为：10．
②要使四边形DEBF为矩形，则∠EDF＝∠B＝∠DFB＝90°，
∴∠DEB＝90°，
∴∠AED＝90°．
∵∠AED＝90°，∠A＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，
即60﹣4t＝4t，
解得t＝．
即当t＝时，四边形DEBF为矩形，
故答案为：．