（课标全国版）高考数学第一轮复习讲练 第50讲 二项式定理（讲+练）原卷版+解析

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1．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))－2x))9的展开式中，常数项是( )
A．Ceq \\al(3,9) B．－Ceq \\al(3,9)
C．8Ceq \\al(3,9) D．－8Ceq \\al(3,9)
2．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax－\f(1,\r(x))))6展开式的常数项为60，则a值为( )
A．4 B．±4
C．2 D．±2
3．(2x＋y)(x－y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A．30 B．10
C．－30 D．－10
4．(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是( )
A．60 B．80
C．84 D．120
5．若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，则a0＋a1＋a2＋…＋a6的值为( )
A．1 B．2
C．129 D．2 188
6．已知(a＋x2)(1＋x)n的展开式中各项系数之和为192，且常数项为2，则该展开式中x4的系数为( )
A．30 B．45
C．60 D．81
7．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,\r(x))))n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为( )
A．－126 B．－70
C．－56 D．－28
8.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－y＋2z))5的展开式中，xy3z的系数为( )
A．16 B．8
C．－1 D．－20
9．若二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(a,x)))7的展开式中的各项系数之和为－1，则含x2的项的系数为( )
A．560 B．－560
C．280 D．－280
10．(eq \r(3,2)＋x)5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为( )
A．1 B．20
C．21 D．31
【练提升】
1．已知(1＋2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A．512 B．210
C．211 D．212
2．已知(2m＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则m＝( )
A.eq \f(7,4) B.eq \f(7,2)
C．4 D．7
3．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,\r(x))))n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为( )
A．50 B．70
C．90 D．120
4．设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则eq \f(a2＋a4,a1＋a3)的值为( )
A．－eq \f(61,60) B．－eq \f(122,121)
C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(90,121)
5．已知m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于( )
A．5 B．6
C．7 D．8
6．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,x)))5的展开式中，x3的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
7．(eq \r(3,2)＋x)5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为( )
A．1 B．20
C．21 D．31
8．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,x)))5的展开式中，x3的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
9.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(1,x)－3))5的展开式中常数项是________．
10．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))n的展开式中，前三项的系数成等差数列．
(1)求n；
(2)求展开式中的有理项；
(3)求展开式中系数最大的项．

第50讲 二项式定理
【练基础】
1．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))－2x))9的展开式中，常数项是( )
A．Ceq \\al(3,9) B．－Ceq \\al(3,9)
C．8Ceq \\al(3,9) D．－8Ceq \\al(3,9)
【答案】D
【解析】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))－2x))9展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq \\al(r,9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))9－r(－2x)r＝Ceq \\al(r,9)(－2)rxeq \f(3r－9,2)，令eq \f(3r－9,2)＝0，解得r＝3.所以常数项是－8Ceq \\al(3,9).
2．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax－\f(1,\r(x))))6展开式的常数项为60，则a值为( )
A．4 B．±4
C．2 D．±2
【答案】D
【解析】因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax－\f(1,\r(x))))6展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,6)a6－kx6－k(－1)kx＝Ceq \\al(k,6)a6－k(－1)kx，令6－eq \f(3,2)k＝0，则k＝4，所以常数项为Ceq \\al(4,6)a6－4(－1)4＝60，即7a2＝60，所以a＝±2.故选D.
3．(2x＋y)(x－y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A．30 B．10
C．－30 D．－10
【答案】D
【解析】(x－y)5的展开式中x3y2，x2y3的系数分别为Ceq \\al(2,5)，－Ceq \\al(3,5)，所以(2x＋y)(x－y)5的展开式中x3y3的系数为Ceq \\al(2,5)－2Ceq \\al(3,5)＝－10.故选D.
4．(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是( )
A．60 B．80
C．84 D．120
【答案】D
【解析】(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数为Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,3)＋…＋Ceq \\al(2,9)＝Ceq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,3)＋…＋Ceq \\al(2,9)＝Ceq \\al(3,10)＝120.故选D.
5．若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，则a0＋a1＋a2＋…＋a6的值为( )
A．1 B．2
C．129 D．2 188
【答案】C
【解析】令x＝0，则a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27.二项式(2－x)7＝[3－(1＋x)]7的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,7)37－r(－1)r(1＋x)r，令r＝7，得T8＝Ceq \\al(7,7)30[－(1＋x)]7＝－(1＋x)7.∴a7＝－1，∴a0＋a1＋a2＋…＋a6＝129.
6．已知(a＋x2)(1＋x)n的展开式中各项系数之和为192，且常数项为2，则该展开式中x4的系数为( )
A．30 B．45
C．60 D．81
【答案】B
【解析】令x＝0，得a＝2，所以(a＋x2)(1＋x)n＝(2＋x2)(1＋x)n，令x＝1，得3×2n＝192，所以n＝6，故该展开式中x4的系数为2Ceq \\al(4,6)＋Ceq \\al(2,6)＝45.故选B.
7．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,\r(x))))n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为( )
A．－126 B．－70
C．－56 D．－28
【答案】C
【解析】∵只有第5项的二项式系数最大，
∴n＝8，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,\r(x))))8的展开式的通项为
Tk＋1＝(－1)kCeq \\al(k,8)x (k＝0,1,2，…，8)，
∴展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的二项式系数最大，因此展开式中第4项和第6项的系数相等且最小，为(－1)3Ceq \\al(3,8)＝－56.
8.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－y＋2z))5的展开式中，xy3z的系数为( )
A．16 B．8
C．－1 D．－20
【答案】D
【解析】因为Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－y))5－r(2z)r，所以r＝1.
因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－y))4的展开式的通项公式为Tk＋1＝Ceq \\al(k,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))4－k·(－y)k，所以k＝3，所以xy3z的系数为Ceq \\al(1,5)×2×Ceq \\al(3,4)×eq \f(1,2)×(－1)3＝－20.
9．若二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(a,x)))7的展开式中的各项系数之和为－1，则含x2的项的系数为( )
A．560 B．－560
C．280 D．－280
【答案】A
【解析】取x＝1，得二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(a,x)))7的展开式中的各项系数之和为(1＋a)7，即 (1＋a)7＝－1，解得a＝－2.二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(2,x)))7的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,7)·(x2)7－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,x)))r＝ Ceq \\al(r,7)·(－2)r·x14－3r.令14－3r＝2，得r＝4.因此，二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(2,x)))7的展开式中含x2项的系数为 Ceq \\al(4,7)·(－2)4＝560，故选A.
10．(eq \r(3,2)＋x)5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为( )
A．1 B．20
C．21 D．31
【答案】C
【解析】因为(eq \r(3,2)＋x)5展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,5)(eq \r(3,2))5－kxk＝Ceq \\al(k,5)2xk，因此，要使系数为有理数，只需eq \f(5－k,3)为正整数，又因为0≤k≤5且k∈Z，所以k＝2,5，
因此系数为有理数的项为Ceq \\al(2,5)(eq \r(3,2))3x2，x5，
故所求系数之和为20＋1＝21.
【练提升】
1．已知(1＋2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A．512 B．210
C．211 D．212
【答案】A
【解析】因为(1＋2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以Ceq \\al(3,n)＝Ceq \\al(7,n)，解得n＝10，所以(1＋2x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为eq \f(1,2)×210＝29＝512，故选A。
2．已知(2m＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则m＝( )
A.eq \f(7,4) B.eq \f(7,2)
C．4 D．7
【答案】B
【解析】设(2m＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，得(2m＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②
①－②，得16(2m＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×64，解得m＝eq \f(7,2)，故选B。
3．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,\r(x))))n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为( )
A．50 B．70
C．90 D．120
【答案】C
【解析】令x＝1，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,\r(x))))n＝4n，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,\r(x))))n的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以eq \f(4n,2n)＝2n＝32，解得n＝5。二项展开式的通项Tk＋1＝Ceq \\al(k,5)x5－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,\r(x))))k＝Ceq \\al(k,5)3kx5－eq \f(3,2)k，令5－eq \f(3,2)k＝2，得k＝2，所以x2的系数为Ceq \\al(2,5)32＝90。
4．设(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则eq \f(a2＋a4,a1＋a3)的值为( )
A．－eq \f(61,60) B．－eq \f(122,121)
C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(90,121)
【答案】C
【解析】由二项式定理，得a1＝－Ceq \\al(1,5)·24＝－80，a2＝Ceq \\al(2,5)·23＝80，a3＝－Ceq \\al(3,5)·22＝－40，a4＝Ceq \\al(4,5)·2＝10，所以eq \f(a2＋a4,a1＋a3)＝－eq \f(3,4)，故选C.
5．已知m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于( )
A．5 B．6
C．7 D．8
【答案】B
【解析】由题意可知，a＝Ceq \\al(m,2m)，b＝Ceq \\al(m,2m＋1)，
∵13a＝7b，∴13·eq \f(2m！,m！m！)＝7·eq \f(2m＋1！,m！m＋1！)，即eq \f(13,7)＝eq \f(2m＋1,m＋1)，解得m＝6.
6．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,x)))5的展开式中，x3的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】B
【解析】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,x)))5的展开式的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)x5－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,x)))r＝(－a)rCeq \\al(r,5)x5－2r，令5－2r＝3，则r＝1，所以－a×5＝－5，即a＝1，展开式中第2,4,6项的系数为负数，第1,3,5项的系数为正数，故各项的系数中最大值为Ceq \\al(2,5)＝10，故选B.
7．(eq \r(3,2)＋x)5的展开式中系数为有理数的各项系数之和为( )
A．1 B．20
C．21 D．31
【答案】C
【解析】因为(eq \r(3,2)＋x)5展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,5)(eq \r(3,2))5－kxk＝Ceq \\al(k,5)2eq \f(5－k,3)xk，因此，要使系数为有理数，只需eq \f(5－k,3)为正整数，又因为0≤k≤5且k∈Z，所以k＝2,5，
因此系数为有理数的项为Ceq \\al(2,5)(eq \r(3,2))3x2，x5，
故所求系数之和为20＋1＝21.
8．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,x)))5的展开式中，x3的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】B
【解析】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,x)))5的展开式的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)x5－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,x)))r＝(－a)rCeq \\al(r,5)x5－2r，令5－2r＝3，则r＝1，所以－a×5＝－5，即a＝1.又展开式中第2,4,6项的系数为负数，第1,3,5项的系数为正数，故各项的系数中最大值为Ceq \\al(2,5)＝10，故选B.
9.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(1,x)－3))5的展开式中常数项是________．
【解析】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(1,x)－3))5表示五个eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(1,x)－3))相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，第一种是从五个eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(1,x)－3))中分别抽取2x,2x，eq \f(1,x)，eq \f(1,x)，－3，则此时的常数项为Ceq \\al(2,5)·Ceq \\al(2,3)·22·(－3)＝－360；第二种情况是从五个eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(1,x)－3))中都抽取－3，则此时的常数项为(－3)5＝－243；第三种情况是从五个eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(1,x)－3))中分别抽取2x，eq \f(1,x)，－3，－3，－3，则此时的常数项为Ceq \\al(1,5)·Ceq \\al(1,4)·21·(－3)3＝－1 080.综上，展开式中常数项为－360－243－1 080＝－1 683.
【答案】－1 683
10．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))n的展开式中，前三项的系数成等差数列．
(1)求n；
(2)求展开式中的有理项；
(3)求展开式中系数最大的项．
【解析】(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为Ceq \\al(0,n)，eq \f(1,2)Ceq \\al(1,n)，eq \f(1,4)Ceq \\al(2,n)，
由已知得2×eq \f(1,2)Ceq \\al(1,n)＝Ceq \\al(0,n)＋eq \f(1,4)Ceq \\al(2,n)，解得n＝8(n＝1舍去)．
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))8的展开式的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,8)(eq \r(x))8－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2\r(4,x))))r＝2－rCeq \\al(r,8)x(r＝0,1，…，8)，
要求有理项，则4－eq \f(3r,4)必为整数，即r＝0,4,8，共3项，这3项分别是T1＝x4，T5＝eq \f(35,8)x，T9＝eq \f(1,256x2).
(3)设第r＋1项的系数ar＋1最大，则ar＋1＝2－rCeq \\al(r,8)，
则eq \f(ar＋1,ar)＝eq \f(2－rC\\al(r,8),2－r－1C\\al(r－1,8))＝eq \f(9－r,2r)≥1，
eq \f(ar＋1,ar＋2)＝eq \f(2－rC\\al(r,8),2－r＋1C\\al(r＋1,8))＝eq \f(2r＋1,8－r)≥1，解得2≤r≤3.
当r＝2时，a3＝2－2Ceq \\al(2,8)＝7，当r＝3时，a4＝2－3Ceq \\al(3,8)＝7，
因此，第3项和第4项的系数最大，
故系数最大的项为T3＝7x，T4＝7x.