（课标全国版）高考数学第一轮复习讲练第52讲古典概型与几何概型（讲+练）原卷版+解析

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1．袋子里有3个白球，4个黑球，5个红球，某人一次抽取3个球，若每个球被抽到的机会均等，则此人抽到的球颜色互异的概率是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(2,7) D.eq \f(3,11)
2．2022年河北新高考实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率为( )
A.eq \f(1,36) B.eq \f(1,16)
C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,6)
3.如图，在圆O的圆心O处有一个通信基站，θ＝2，假设其信号覆盖范围是该圆内的白色区域(该圆形区域内无其他信号来源，基站工作正常)，若在圆内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )
A.eq \f(1－sin 2,π) B.eq \f(2,π)
C.eq \f(1,π)－eq \f(sin 2,2) D.eq \f(2－sin 2,2π)
4．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sin x＋cs x≥eq \f(\r(2),2)”发生的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(7,12) D.eq \f(2,3)
5．有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,4) D.eq \f(1,4)
6．为了解我国古代数学的辉煌成就，学校决定从《周髀算经》《九章算术》等10部古代数学专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，已知这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期，则所选2部专著中至多有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为( )
A.eq \f(1,15) B.eq \f(7,15)
C.eq \f(8,15) D.eq \f(14,15)
7．如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1 089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为( )
A．4 B．5
C．8 D．9
8.如图，矩形ABCD满足BC＝2AB，E为BC的中点，其中曲线为过A，D，E三点的抛物线，随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(π－2,4)
9．已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VPABC＜eq \f(1,2)VSABC的概率是( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(7,8)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
10．从1～9这9个自然数中任取7个不同的数，则这7个数的平均数是5的概率为________．
【练提升】
1．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为( )
A.eq \f(1,10) B.eq \f(1,5)
C.eq \f(3,10) D.eq \f(2,5)
2.如图，点C在以AB为直径的圆上，且满足CA＝CB，圆内的弧线是以C为圆心，CA为半径的圆的一部分．记△ABC三边所围成的区域(灰色部分)为Ⅰ，右侧月牙形区域(黑色部分)为Ⅱ，在整个图形中随机取一点，记此点取自Ⅰ，Ⅱ的概率分别为P1，P2，则( )
A．P1＝P2 B．P1>P2
C．P1＋P2＝eq \f(4,π＋1) D．P2－P1＝eq \f(1,π＋1)
3．小明和小勇玩一个四面分别标有数字1,2,3,4的正四面体形玩具，每人抛掷一次，则两次朝下面的数字之和不小于5的概率为( )
A.eq \f(3,8) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(5,8) D.eq \f(3,4)
4．已知三个村庄A，B，C构成一个三角形，且AB＝5千米，BC＝12千米，AC＝13千米．为了方便市民生活，现在△ABC内任取一点M建一大型生活超市，则M到A，B，C的距离都不小于2千米的概率为( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(3,5) C．1－eq \f(π,15) D.eq \f(π,15)
5．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为( )
A.eq \f(1,7) B.eq \f(2,7)
C.eq \f(3,7) D.eq \f(4,7)
6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )
A.eq \f(3π,10) B.eq \f(3π,20)
C．1－eq \f(3π,10) D．1－eq \f(3π,20)
7．在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为eq \f(5,6)，则m＝________.
8．已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在∠CAB内作射线AM，则使∠CAM＜30°的概率为________．
9.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
10．某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁标价如下表．现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一趟地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每一站下车的可能性是相同的.
(1)若甲、乙两人共付费2元，则甲、乙下车方案共有多少种？
(2)若甲、乙两人共付费4元，求甲比乙先到达目的地的概率．
乘坐站数x，x∈N*
0＜x≤3
3＜x≤6
6＜x≤9
票价(元)
1
2
3
第52讲古典概型与几何概型
【练基础】
1．袋子里有3个白球，4个黑球，5个红球，某人一次抽取3个球，若每个球被抽到的机会均等，则此人抽到的球颜色互异的概率是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(2,7) D.eq \f(3,11)
【答案】D
【解析】基本事件总数为Ceq \\al(3,12)＝220(种)，此人抽到的球颜色互异的情况有3×4×5＝60(种)，故所求概率为eq \f(60,220)＝eq \f(3,11).故选D.
2．2022年河北新高考实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率为( )
A.eq \f(1,36) B.eq \f(1,16)
C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,6)
【答案】D
【解析】由题意，从政治、地理、化学、生物中四选二，共有6(种)方法，所以他们选课相同的概率为eq \f(1,6)，故选D.
3.如图，在圆O的圆心O处有一个通信基站，θ＝2，假设其信号覆盖范围是该圆内的白色区域(该圆形区域内无其他信号来源，基站工作正常)，若在圆内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )
A.eq \f(1－sin 2,π) B.eq \f(2,π)
C.eq \f(1,π)－eq \f(sin 2,2) D.eq \f(2－sin 2,2π)
【答案】D
【解析】设该圆的半径为R，则圆的面积是πR2，S阴影＝S扇形OAB－S△AOB＝eq \f(1,2)×2R2－eq \f(1,2)sin 2×R2＝R2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)sin 2))，故P＝eq \f(2－sin 2,2π).
4．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sin x＋cs x≥eq \f(\r(2),2)”发生的概率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(7,12) D.eq \f(2,3)
【答案】C
【解析】由题意可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x＋cs x≥\f(\r(2),2)，,0≤x≤π，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))≥\f(1,2)，,0≤x≤π，))
解得0≤x≤eq \f(7π,12)，故所求的概率为eq \f(\f(7π,12),π)＝eq \f(7,12).
5．有一底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,4) D.eq \f(1,4)
【答案】B
【解析】设点P到点O的距离小于等于1的概率为P1，
由几何概型，得P1＝eq \f(V半球,V圆柱)＝eq \f(\f(2π,3)×13,π×12×2)＝eq \f(1,3)，
故点P到点O的距离大于1的概率P＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
6．为了解我国古代数学的辉煌成就，学校决定从《周髀算经》《九章算术》等10部古代数学专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，已知这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期，则所选2部专著中至多有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为( )
A.eq \f(1,15) B.eq \f(7,15)
C.eq \f(8,15) D.eq \f(14,15)
【答案】C
【解析】设事件“所选2部专著中至多有一部是魏晋南北朝时期的专著”为事件A，所以事件“所选2部专著中2部都是魏晋南北朝时期的专著”为事件eq \x\t(A)，因为P(eq \x\t(A))＝eq \f(C\\al(2,7),C\\al(2,10))＝eq \f(7,15)，所以P(A)＝1－P(eq \x\t(A))＝1－eq \f(7,15)＝eq \f(8,15)，故选C.
7．如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1 089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为( )
A．4 B．5
C．8 D．9
【答案】B
【解析】由题意在正方形区域内随机投掷1 089个点，
其中落入白色部分的有484个点，
则其中落入黑色部分的有605个点，
由随机模拟试验可得：eq \f(S黑,S正)＝eq \f(605,1 089)，又S正＝9，
可得S黑＝eq \f(605,1 089)×9＝5，故选B.
8.如图，矩形ABCD满足BC＝2AB，E为BC的中点，其中曲线为过A，D，E三点的抛物线，随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(π－2,4)
【答案】A
【解析】以BC所在的直线为x轴，以E为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
不妨设AB＝1，BC＝2，
则B(－1,0)，C(1,0)，A(－1,1)，D(1,1)，过A，D，E三点的抛物线方程为y＝x2，
阴影部分面积为
S′＝eq \f(1,2)×2×1－eq \\al(1,－1)x2dx＝eq \b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)x3))eq \\al(1,－1)＝eq \f(1,3)，
又矩形ABCD的面积为S矩形ABCD＝1×2＝2，
故该点落在阴影部分的概率为P＝eq \f(S′,S矩形ABCD)＝eq \f(\f(1,3),2)＝eq \f(1,6).
9．已知正三棱锥SABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VPABC＜eq \f(1,2)VSABC的概率是( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(7,8)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
【答案】B
【解析】由题意知，当点P在三棱锥的中截面以下时，满足VPABC＜eq \f(1,2)VSABC，故使得VPABC＜eq \f(1,2)VSABC的概率：
P＝eq \f(大三棱锥的体积－小三棱锥的体积,大三棱锥的体积)＝eq \f(7,8).
10．从1～9这9个自然数中任取7个不同的数，则这7个数的平均数是5的概率为________．
【解析】从1～9这9个自然数中任取7个不同的数的取法共有Ceq \\al(7,9)＝36种，从(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)中任选3组，有Ceq \\al(3,4)＝4种选法，故这7个数的平均数是5的概率P＝eq \f(4,36)＝eq \f(1,9).
【答案】eq \f(1,9)
【练提升】
1．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为( )
A.eq \f(1,10) B.eq \f(1,5)
C.eq \f(3,10) D.eq \f(2,5)
【答案】C
【解析】将5张奖票不放回地依次取出共有Aeq \\al(5,5)＝120(种)不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(3,3)＝36(种)取法，所以P＝eq \f(36,120)＝eq \f(3,10).
2.如图，点C在以AB为直径的圆上，且满足CA＝CB，圆内的弧线是以C为圆心，CA为半径的圆的一部分．记△ABC三边所围成的区域(灰色部分)为Ⅰ，右侧月牙形区域(黑色部分)为Ⅱ，在整个图形中随机取一点，记此点取自Ⅰ，Ⅱ的概率分别为P1，P2，则( )
A．P1＝P2 B．P1>P2
C．P1＋P2＝eq \f(4,π＋1) D．P2－P1＝eq \f(1,π＋1)
【答案】A
【解析】设圆的半径为1，则区域Ⅰ的面积为
S1＝eq \f(1,2)×2×1＝1，
区域Ⅱ的面积为
S2＝eq \f(1,2)π×12－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)π×\r(2)2－\f(1,2)×2×1))＝1，
圆的面积为π×12＝π，所以P1＝P2＝eq \f(1,π).
3．小明和小勇玩一个四面分别标有数字1,2,3,4的正四面体形玩具，每人抛掷一次，则两次朝下面的数字之和不小于5的概率为( )
A.eq \f(3,8) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(5,8) D.eq \f(3,4)
【答案】C
【解析】用(x，y)表示两次朝下面的数字的结果：
由题意可得(x，y)可能出现的结果有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个基本事件．
满足“两次朝下面的数字之和不小于5”的基本事件有：(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共10个基本事件，所以两次朝下面的数字之和不小于5的概率为eq \f(10,16)＝eq \f(5,8).故选C.
4．已知三个村庄A，B，C构成一个三角形，且AB＝5千米，BC＝12千米，AC＝13千米．为了方便市民生活，现在△ABC内任取一点M建一大型生活超市，则M到A，B，C的距离都不小于2千米的概率为( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(3,5) C．1－eq \f(π,15) D.eq \f(π,15)
【答案】C
【解析】在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，
则△ABC为直角三角形，且∠B为直角，则△ABC的面积S＝eq \f(1,2)×5×12＝30，若在△ABC内任取一点，该点到三个定点A，B，C的距离都不小于2，则该点位于阴影部分，则三个小扇形的圆心角转化为180°，半径为2，则对应的面积之和为S＝eq \f(π×22,2)＝2π，则阴影部分的面积S＝30－2π，则对应的概率P＝eq \f(S阴影,S△ABC)＝eq \f(30－2π,30)＝1－eq \f(π,15).
5．如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为( )
A.eq \f(1,7) B.eq \f(2,7)
C.eq \f(3,7) D.eq \f(4,7)
【答案】B
【解析】根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，∴一共要走3次向上，2次向右，2次向前，共7次，∴最近的行走路线共有Ceq \\al(3,7)Ceq \\al(2,4)＝210(种)．∵不能连续向上，∴最近的行走路线中不连续向上攀登的路线共有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(3,5)＝60(种)，∴其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率P＝eq \f(60,210)＝eq \f(2,7).故选B.
6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )
A.eq \f(3π,10) B.eq \f(3π,20)
C．1－eq \f(3π,10) D．1－eq \f(3π,20)
【答案】D
【解析】直角三角形的斜边长为eq \r(82＋152)＝17，
设内切圆的半径为r，则8－r＋15－r＝17，解得r＝3.
∴内切圆的面积为πr2＝9π，
∴豆子落在内切圆外的概率P＝1－eq \f(9π,\f(1,2)×8×15)＝1－eq \f(3π,20).
7．在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为eq \f(5,6)，则m＝________.
【答案】3
【解析】由|x|≤m，得－m≤x≤m(易知m>0)．
当0当28．已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，在∠CAB内作射线AM，则使∠CAM＜30°的概率为________．
【解析】如图，在∠CAB内作射线AM0，使∠CAM0＝30°，于是有P(∠CAM＜30°)＝eq \f(∠CAM0的度数,∠CAB的度数)＝eq \f(30°,45°)＝eq \f(2,3).
【答案】eq \f(2,3)
9.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
【解析】用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)}|x∈N，y∈N,1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，
所以基本事件总数n＝16.
(1)记“xy≤3”为事件A，
则事件A包含的基本事件共5个，
即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，
所以P(A)＝eq \f(5,16)，
即小亮获得玩具的概率为eq \f(5,16).
(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.
则事件B包含的基本事件共6个，
即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，
所以P(B)＝eq \f(6,16)＝eq \f(3,8).
事件C包含的基本事件共5个，
即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，
所以P(C)＝eq \f(5,16).
因为eq \f(3,8)＞eq \f(5,16)，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
10．某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁标价如下表．现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一趟地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每一站下车的可能性是相同的.
(1)若甲、乙两人共付费2元，则甲、乙下车方案共有多少种？
(2)若甲、乙两人共付费4元，求甲比乙先到达目的地的概率．
【解析】(1)由题意知甲、乙乘坐地铁均不超过3站，前3站设为A1，B1，C1，甲、乙两人共有(A1，A1)，(A1，B1)，(A1，C1)，(B1，A1)，(B1，B1)，(B1，C1)，(C1，A1)，(C1，B1)，(C1，C1)9种下车方案．
(2)设9站分别为A1，B1，C1，A2，B2，C2，A3，B3，C3，因为甲、乙两人共付费4元，共有甲付1元，乙付3元；甲付3元，乙付1元；甲付2元，乙付2元三类情况．由(1)可知每类情况中有9种方案，所以甲、乙两人共付费4元共有27种方案．而甲比乙先到达目的地的方案有(A1，A3)，(A1，B3)，(A1，C3)，(B1，A3)，(B1，B3)，(B1，C3)，(C1，A3)，(C1，B3)，(C1，C3)，(A2，B2)，(A2，C2)，(B2，C2)，共12种，故所求概率为eq \f(12,27)＝eq \f(4,9).所以甲比乙先到达目的地的概率为eq \f(4,9).
乘坐站数x，x∈N*
0＜x≤3
3＜x≤6
6＜x≤9
票价(元)
1
2
3