（课标全国版）高考数学第一轮复习讲练 第56讲 参数方程（讲+练）原卷版+解析

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1．将圆x2＋y2＝4上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的eq \f(1,2)，得曲线C.
(1)写出曲线C的参数方程；
(2)设直线l：2x＋y＋2＝0与曲线C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程．
2．已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4cs2θ，,y＝4sin2θ))(θ为参数)，C2：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t＋\f(1,t)，,y＝t－\f(1,t)))(t为参数)．
(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．
3．已知直线l的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t＋4\r(2)))(t是参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))).
(1)求圆心C的直角坐标；
(2)由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．
4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs α，,y＝2＋sin α))(α为参数)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝eq \f(4,1＋3sin2θ).
(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，切点为A，求|PA|的最大值．
5．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝a＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝eq \f(3,1＋2cs2θ).
(1)求直线l的普通方程以及曲线C的参数方程；
(2)当a＝1时，P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最大值．
6．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2＋\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t))
(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2acs θ(a>0)．
(1)求曲线C的直角坐标方程，直线l的普通方程；
(2)设直线l与曲线C交于M，N两点，点P(－2,0)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．
7．已知曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3csα，,y＝sinα))(α为参数)，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \r(2).
(1)求直线l的直角坐标方程及曲线C上的动点P到坐标原点O的距离|OP|的最大值；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且与x轴相交于点E，求|eq \(EA,\s\up6(→))|＋|eq \(EB,\s\up6(→))|的值．
8．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)，过点(0，－eq \r(2))且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
【练提升】
1．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－5＋\r(2)cs t，,y＝3＋\r(2)sin t))(t为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝－eq \r(2).
(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任意一点，求A，B两点的极坐标和△PAB面积的最小值．
2．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m＋tcsα，,y＝tsinα))(t是参数)．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ＝4csθ.
(1)当m＝－1，α＝30°时，判断直线l与曲线C的位置关系；
(2)当m＝1时，若直线l与曲线C相交于A，B两点，设P(1,0)，且||PA|－|PB||＝1，求直线l的倾斜角．
3．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcs α，,y＝1＋tsin α))(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝6cs θ.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(2,1)，求|PA|＋|PB|的最小值．
4．平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcsα，,y＝tsinα))(其中t为参数，且0<α<π)，在以O为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系取相同的单位长度)中，曲线C的极坐标方程为ρtan2θ＝eq \f(2,csθ).设直线l经过定点P，且与曲线C交于A，B两点．
(1)求点P的坐标及曲线C的直角坐标方程；
(2)求证：不论α为何值，eq \f(1,|PA|2)＋eq \f(1,|PB|2)为定值．
5．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝eq \f(4cs θ,1－cs2θ)，直线l的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcs α，,y＝2＋tsin α))(t为参数，0≤α<π)．
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，且线段AB的中点为M(2,2)，求α.
6．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m＋2t，,y＝\r(2)t))(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝eq \f(4,1＋sin2θ).
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)设P为曲线C上的点，PQ⊥l，垂足为Q，若|PQ|的最小值为2，求m的值．
7．已知曲线C1的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C2的极坐标方程是ρ＝2sin θ.
(1)写出曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知点M1，M2的极坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2)))和(2,0)，直线M1M2与曲线C2相交于P，Q两点，射线OP与曲线C1相交于点A，射线OQ与曲线C1相交于点B，求eq \f(1,|OA|2)＋eq \f(1,|OB|2)的值．
8．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝csθ，,y＝sinθ))(θ为参数)，过点(0，－eq \r(2))且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
第56讲 参数方程
【练基础】
1．将圆x2＋y2＝4上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的eq \f(1,2)，得曲线C.
(1)写出曲线C的参数方程；
(2)设直线l：2x＋y＋2＝0与曲线C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程．
【解析】(1)因为圆x2＋y2＝4的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2csφ，,y＝2sinφ))(φ为参数)，所以曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝csφ，,y＝2sinφ))(φ为参数)．
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝csφ，,y＝2sinφ))得x2＋eq \f(y2,4)＝1.
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋\f(y2,4)＝1，,2x＋y＋2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝0.))
所以P1(0，－2)，P2(－1,0)．
所以线段P1P2的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－1)).
易知与直线l垂直的直线的斜率k＝eq \f(1,2)，
所以过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的方程为y－(－1)＝eq \f(1,2)x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))，即2x－4y－3＝0.
又x＝ρcsθ，y＝ρsinθ，
所以其极坐标方程为2ρcsθ－4ρsinθ－3＝0.
2．已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4cs2θ，,y＝4sin2θ))(θ为参数)，C2：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t＋\f(1,t)，,y＝t－\f(1,t)))(t为参数)．
(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．
【解析】(1)C1的普通方程为x＋y＝4(0≤x≤4)．
由C2的参数方程得x2＝t2＋eq \f(1,t2)＋2，
y2＝t2＋eq \f(1,t2)－2，所以x2－y2＝4.
故C2的普通方程为x2－y2＝4.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝4，,x2－y2＝4))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(5,2)，,y＝\f(3,2)，))
所以P的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(3,2))).
设所求圆的圆心的直角坐标为(x0,0)，
由题意得xeq \\al(2,0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(5,2)))2＋eq \f(9,4)，解得x0＝eq \f(17,10).
因此，所求圆的极坐标方程为ρ＝eq \f(17,5)cs θ.
3．已知直线l的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t＋4\r(2)))(t是参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))).
(1)求圆心C的直角坐标；
(2)由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．
【解析】(1)∵ρ＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝2eq \r(2)csθ－2eq \r(2)sinθ，
∴ρ2＝2eq \r(2)ρcsθ－2eq \r(2)ρsinθ，
∴圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2eq \r(2)x＋2eq \r(2)y＝0，
即(x－eq \r(2))2＋(y＋eq \r(2))2＝4.
∴圆心C的直角坐标为(eq \r(2)，－eq \r(2))．
(2)由直线l上的点向圆C引切线，则切线长为
eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)t－\r(2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)t＋4\r(2)＋\r(2)))2－4)＝eq \r(t2＋8t＋48)
＝eq \r(t＋42＋32)，又eq \r(t＋42＋32)≥4eq \r(2)，
∴由直线l上的点向圆C引切线，切线长的最小值为4eq \r(2).
4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs α，,y＝2＋sin α))(α为参数)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝eq \f(4,1＋3sin2θ).
(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，切点为A，求|PA|的最大值．
【解析】(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs α，,y＝2＋sin α，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs α，,y－2＝sin α，))
又sin2α＋cs2α＝1，
所以曲线C1的普通方程为x2＋(y－2)2＝1.
由ρ2＝eq \f(4,1＋3sin2θ)得ρ2＋3(ρsin θ)2＝4.
因为ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，
所以曲线C2的直角坐标方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)因为点P在曲线C2：eq \f(x2,4)＋y2＝1上，
所以可设点P的坐标为(2cs φ，sin φ)．
因为曲线C1的方程为x2＋(y－2)2＝1，
所以圆心为C1(0,2)，半径r＝1.
所以|PA|＝eq \r(|PC1|2－r2)＝eq \r(2cs φ2＋sin φ－22－1)＝ eq \r(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin φ＋\f(2,3)))2＋\f(25,3))
当sin φ＝－eq \f(2,3)时，|PA|有最大值eq \f(5\r(3),3).
所以|PA|的最大值为eq \f(5\r(3),3).
5．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝a＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝eq \f(3,1＋2cs2θ).
(1)求直线l的普通方程以及曲线C的参数方程；
(2)当a＝1时，P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最大值．
【解析】(1)直线l的普通方程为y＝eq \r(3)(x－a)，
曲线C的极坐标方程可化为ρ2＋2ρ2cs2θ＝3，
化简可得x2＋eq \f(y2,3)＝1，
故曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝csθ，,y＝\r(3)sinθ))(θ为参数)．
(2)当a＝1时，直线l的普通方程为eq \r(3)x－y－eq \r(3)＝0.
由曲线C的参数方程，可设点P的坐标为P(csθ，eq \r(3)sinθ)，
因此点P到直线l的距离可表示为
d＝eq \f(|\r(3)csθ－\r(3)sinθ－\r(3)|,2)＝eq \f(\r(3),2)|csθ－sinθ－1|
＝eq \f(\r(3),2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\r(2)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－1)).
当cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝－1时，d取得最大值为eq \f(\r(6)＋\r(3),2).
6．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2＋\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t))
(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2acs θ(a>0)．
(1)求曲线C的直角坐标方程，直线l的普通方程；
(2)设直线l与曲线C交于M，N两点，点P(－2,0)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．
【解析】(1)由ρsin2θ＝2acs θ(a>0)两边同乘以ρ得，
曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a＞0)．
由直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2＋\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t))(t为参数)，消去t，
得直线l的普通方程为x－y＋2＝0.
(2)将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2＋\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t))代入y2＝2ax，得t2－2eq \r(2)at＋8a＝0，
由Δ>0得a>4，
设M，N对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝2eq \r(2)a，t1t2＝8a，
∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，
∴|t1－t2|2＝|t1t2|，∴(2eq \r(2)a)2－4×8a＝8a，∴a＝5.
7．已知曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3csα，,y＝sinα))(α为参数)，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \r(2).
(1)求直线l的直角坐标方程及曲线C上的动点P到坐标原点O的距离|OP|的最大值；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且与x轴相交于点E，求|eq \(EA,\s\up6(→))|＋|eq \(EB,\s\up6(→))|的值．
【解析】(1)由ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \r(2)，得ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)csθ－\f(\r(2),2)sinθ))＝eq \r(2)，所以直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0.
根据题意，得|OP|＝eq \r(9cs2α＋sin2α)＝eq \r(8cs2α＋1)，
因此曲线C上的动点P到原点O的距离|OP|的最大值为3.
(2)由(1)知直线l：x－y－2＝0与x轴的交点E的坐标为(2,0)，得直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(2),2)t＋2，,y＝\f(\r(2),2)t))(t为参数)，曲线C的直角坐标方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1，联立得5t2＋2eq \r(2)t－5＝0，则t1＋t2＝－eq \f(2\r(2),5)，t1t2＝－1，
所以|eq \(EA,\s\up6(→))|＋|eq \(EB,\s\up6(→))|＝|t1－t2|＝ eq \r(t1＋t22－4t1t2)
＝eq \f(6\r(3),5).
8．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)，过点(0，－eq \r(2))且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
【解析】(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝eq \f(π,2)时，l与⊙O交于两点．
当α≠eq \f(π,2)时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－eq \r(2).
l与⊙O交于两点需满足eq \f(\r(2),\r(1＋k2))<1，
解得k<－1或k>1，
即α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))或α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))).
综上，α的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))).
(2)l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝－\r(2)＋tsin α))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t为参数，eq \f(π,4)<α则tP＝eq \f(tA＋tB,2)，且tA，tB满足t2－2eq \r(2)tsin α＋1＝0.
于是tA＋tB＝2eq \r(2)sin α，tP＝eq \r(2)sin α.
又点P的坐标(x，y)满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tPcs α，,y＝－\r(2)＋tPsin α，))
所以点P的轨迹的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(2),2)sin 2α，,y＝－\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)cs 2α))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α为参数，eq \f(π,4)<α【练提升】
1．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－5＋\r(2)cs t，,y＝3＋\r(2)sin t))(t为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝－eq \r(2).
(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任意一点，求A，B两点的极坐标和△PAB面积的最小值．
【解析】(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－5＋\r(2)cs t，,y＝3＋\r(2)sin t))消去参数t，得(x＋5)2＋(y－3)2＝2，
所以圆C的普通方程为(x＋5)2＋(y－3)2＝2.
由ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝－eq \r(2)，得ρcs θ－ρsin θ＝－2，
所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
(2)直线l与x轴，y轴的交点分别为A(－2,0)，B(0,2)，
化为极坐标为A(2，π)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,2))).
设点P的坐标为(－5＋eq \r(2)cs t,3＋eq \r(2)sin t)，
则点P到直线l的距离为d＝
eq \f(|－5＋\r(2)cs t－3－\r(2)sin t＋2|,\r(2))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－6＋2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(π,4))))),\r(2)).
所以dmin＝eq \f(4,\r(2))＝2eq \r(2)，又|AB|＝2eq \r(2)，
所以△PAB面积的最小值是S＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×2eq \r(2)＝4.
2．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m＋tcsα，,y＝tsinα))(t是参数)．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ＝4csθ.
(1)当m＝－1，α＝30°时，判断直线l与曲线C的位置关系；
(2)当m＝1时，若直线l与曲线C相交于A，B两点，设P(1,0)，且||PA|－|PB||＝1，求直线l的倾斜角．
【解析】(1)由ρ＝4csθ，得ρ2＝4ρcsθ，
又x＝ρcsθ，y＝ρsinθ，
所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，
所以曲线C是以点M(2,0)为圆心，2为半径的圆．
由直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t))(t为参数)，
得直线l的直角坐标方程为x－eq \r(3)y＋1＝0.
由圆心M到直线l的距离d＝eq \f(|2－0＋1|,\r(1＋3))＝eq \f(3,2)<2，
可知直线l与曲线C相交．
(2)由题意可得直线l是经过点P(1,0)，倾斜角为α的直线，
将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcsα，,y＝tsinα))代入(x－2)2＋y2＝4，
整理得t2－2tcsα－3＝0，Δ＝(－2csα)2＋12>0.
设A，B对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝2csα，t1t2＝－3<0，所以t1，t2异号，
则||PA|－|PB||＝|t1＋t2|＝|2csα|＝1，所以csα＝±eq \f(1,2).
又α∈[0，π)，所以直线l的倾斜角为eq \f(π,3)或eq \f(2π,3).
3．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcs α，,y＝1＋tsin α))(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝6cs θ.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(2,1)，求|PA|＋|PB|的最小值．
【解析】(1)由ρ＝6cs θ得ρ2＝6ρcs θ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝6x，即(x－3)2＋y2＝9.
(2)将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得t2＋2(sin α－cs α)t－7＝0.
由Δ＝4(sin α－cs α)2＋4×7>0，
故可设t1，t2是上述方程的两根，
所以t1＋t2＝2(cs α－sin α)，t1t2＝－7，
又由直线过点(2,1)，故结合参数的几何意义得
|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝eq \r(4sin α－cs α2＋28)
＝eq \r(32－4sin 2α)≥2eq \r(7)，当sin 2α＝1时取等号．
所以|PA|＋|PB|的最小值为2eq \r(7).
4．平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcsα，,y＝tsinα))(其中t为参数，且0<α<π)，在以O为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系取相同的单位长度)中，曲线C的极坐标方程为ρtan2θ＝eq \f(2,csθ).设直线l经过定点P，且与曲线C交于A，B两点．
(1)求点P的坐标及曲线C的直角坐标方程；
(2)求证：不论α为何值，eq \f(1,|PA|2)＋eq \f(1,|PB|2)为定值．
【解析】(1)直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcsα，,y＝tsinα))(其中t为参数，且0<α<π)，
当t＝0时，得点P(1,0)，即定点P的坐标为(1,0)．
又曲线C的极坐标方程为ρtan2θ＝eq \f(2,csθ)，
∴ρsin2θ＝2csθ≠0，∴ρ2sin2θ＝2ρcsθ≠0，∴y2＝2x(x≠0)，
即曲线C的直角坐标方程为y2＝2x(x≠0)．
(2)证明：将直线l的参数方程代入y2＝2x(x≠0)，
整理，得t2sin2α－2tcsα－2＝0，其中0<α<π，
Δ＝4cs2α＋8sin2α＝4＋4sin2α>0，
∴t1＋t2＝eq \f(2csα,sin2α)，t1t2＝eq \f(－2,sin2α)，
∴eq \f(1,|PA|2)＋eq \f(1,|PB|2)＝eq \f(1,t\\al(2,1))＋eq \f(1,t\\al(2,2))＝eq \f(t1＋t22－2t1t2,t1t22)
＝eq \f(4cs2α＋4sin2α,4)＝1.
∴不论α为何值，eq \f(1,|PA|2)＋eq \f(1,|PB|2)都为定值1.
5．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝eq \f(4cs θ,1－cs2θ)，直线l的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcs α，,y＝2＋tsin α))(t为参数，0≤α<π)．
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，且线段AB的中点为M(2,2)，求α.
【解析】(1)曲线C：ρ＝eq \f(4cs θ,1－cs2θ)，即ρsin2θ＝4cs θ，
于是有ρ2sin2θ＝4ρcs θ，化为直角坐标方程为y2＝4x.
(2)法一：联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,x＝2＋tcs α，,y＝2＋tsin α，))
则(2＋tsin α)2＝4(2＋tcs α)，
即t2sin2α＋(4sin α－4cs α)t－4＝0.
由AB的中点为M(2,2)，得t1＋t2＝0，
有4sin α－4cs α＝0，所以k＝tan α＝1，
由0≤α<π得α＝eq \f(π,4).
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝4x1，,y\\al(2,2)＝4x2))⇒(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
∵y1＋y2＝4，∴k＝tan α＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝1，
由0≤α<π得α＝eq \f(π,4).
法三：设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,1),4)，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,2),4)，y2))(y1则由M(2,2)是AB的中点，得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,1),4)＋\f(y\\al(2,2),4)＝4，,y1＋y2＝4))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝4，,y1y2＝0，))
∵y1∴k＝tan α＝1，由0≤α<π得α＝eq \f(π,4).
法四：依题意设直线l：y－2＝k(x－2)，
与y2＝4x联立得y－2＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y2,4)－2))，
即ky2－4y－8k＋8＝0.
由y1＋y2＝eq \f(4,k)＝4，得k＝tan α＝1，
因为0≤α<π，所以α＝eq \f(π,4).
6．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m＋2t，,y＝\r(2)t))(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝eq \f(4,1＋sin2θ).
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)设P为曲线C上的点，PQ⊥l，垂足为Q，若|PQ|的最小值为2，求m的值．
【解析】(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m＋2t，,y＝\r(2)t))消去参数t，得x－eq \r(2)y＝m，
所以直线l的普通方程为x－eq \r(2)y－m＝0.
因为曲线C的极坐标方程为ρ2＝eq \f(4,1＋sin2θ)，即ρ2＋ρ2sin2θ＝4，
将ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y代入上式并化简得eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1，
所以曲线C的直角坐标方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.
(2)设P(2csθ，eq \r(2)sinθ)．由点到直线的距离公式，得
|PQ|＝eq \f(|2csθ－2sinθ－m|,\r(3))＝eq \f(2\r(2)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－m,\r(3)).
由题意知m≠0.
当m>0时，|PQ|min＝eq \f(|2\r(2)－m|,\r(3))＝2，
解得m＝2eq \r(3)＋2eq \r(2)；
当m<0时，|PQ|min＝eq \f(|－2\r(2)－m|,\r(3))＝2，
解得m＝－2eq \r(3)－2eq \r(2).
所以m＝2eq \r(3)＋2eq \r(2)或m＝－2eq \r(3)－2eq \r(2).
7．已知曲线C1的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C2的极坐标方程是ρ＝2sin θ.
(1)写出曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知点M1，M2的极坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2)))和(2,0)，直线M1M2与曲线C2相交于P，Q两点，射线OP与曲线C1相交于点A，射线OQ与曲线C1相交于点B，求eq \f(1,|OA|2)＋eq \f(1,|OB|2)的值．
【解析】(1)曲线C1的普通方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1，
化成极坐标方程为eq \f(ρ2cs2θ,4)＋ρ2sin2θ＝1.
曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.
(2)在直角坐标系下，M1(0,1)，M2(2,0)，M1M2：x＋2y－2＝0，恰好过x2＋(y－1)2＝1的圆心，所以∠POQ＝90°.
由OP⊥OQ得OA⊥OB，A，B是椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上的两点．
在极坐标下，设A(ρ1，θ)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ2，θ＋\f(π,2)))，分别代入eq \f(ρ2cs2θ,4)＋ρ2sin2θ＝1中，
有eq \f(ρ\\al(2,1)cs2θ,4)＋ρeq \\al(2,1)sin2θ＝1和eq \f(ρ\\al(2,2)cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2))),4)＋ρeq \\al(2,2)sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))
＝1，
所以eq \f(1,ρ\\al(2,1))＝eq \f(cs2θ,4)＋sin2θ，eq \f(1,ρ\\al(2,2))＝eq \f(sin2θ,4)＋cs2θ，
则eq \f(1,ρ\\al(2,1))＋eq \f(1,ρ\\al(2,2))＝eq \f(5,4)，即eq \f(1,|OA|2)＋eq \f(1,|OB|2)＝eq \f(5,4).
8．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝csθ，,y＝sinθ))(θ为参数)，过点(0，－eq \r(2))且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
【解析】(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝eq \f(π,2)时，l与⊙O交于两点．
当α≠eq \f(π,2)时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－eq \r(2).
l与⊙O交于两点当且仅当eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),\r(1＋k2))))<1，
解得k<－1或k>1，即α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))或α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4))).
综上，α的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))).
(2)l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcsα，,y＝－\r(2)＋tsinα))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t为参数，\f(π,4)<α<\f(3π,4))).
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝eq \f(tA＋tB,2)，且tA，tB满足t2－2eq \r(2)tsinα＋1＝0.
于是tA＋tB＝2eq \r(2)sinα，tP＝eq \r(2)sinα.
又点P的坐标(x，y)满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tPcsα，,y＝－\r(2)＋tPsinα，))
所以点P的轨迹的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(2),2)sin2α，,y＝－\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)cs2α))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α为参数，\f(π,4)<α<\f(3π,4))).